Circunferências tangentes entre si e o Lema da estrela da morte

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1 Circunferências tangentes entre si e o Lema da estrela da morte emana Olímpica/ Nível 2 rof. rmando Barbosa Maceió, 25 de janeiro de 2018 m algumas questões de olimpíada de matemática, aparecem questões que envolvam ou peçam para demonstrar que duas circeunferências são tangentes. O objetivo desse material será apresentar ideas que possam auxiliar o aluno a resolver questões com tal assunto. Basicamente, há duas formas de provar que duas circunferências são tangentes: usando os centros ou usando a reta tangente em comum. Nesse material, veremos cada uma delas. obre circunferências tangentes entre si, há um lema conhecido bastante conhecido que cai com alguma frequência: o lema da estrela da morte. proveitaremos esse material para apresentar tal lema. Dessa forma, para alcançar os objetivos desse material, ele está dividido nas seguintes seções: 1. rovando que duas circunferências são tangentes entre si usando os centros 2. rovando que duas circunferências são tangentes entre si usando a reta tangente em comum 3. Lema da estrela da morte 4. Mais exercícios ntes de seguir, vamos deixar registrado que adotaremos a notação: (BC) para se referir à circunferência que passa pelos pontos, B e C, ou seja, à circunferência circunscrita do triângulo BC. em mais delongas, vamos ao que interessa. 1 rovando que duas circunferências são tangentes entre si usando os centros primeira forma para provar a tangência entre duas circunferências é usando os centros delas. Neste caso, a ideia principal é que: Duas circunferências são tangentes os centros delas são colineares com o ponto de interseção delas. ara entender melhor a ideia, observemos o desenho a seguir: 1

2 prova do fato acima é simples: uma vez que as circunferências são tangentes entre si, então há somente um ponto pertencente a ambas. reta tangente pelo ponto forma ângulo de com as retas que ligam a cada um dos centros, podendo então concluir que essas retas são, na verdade, a mesma reta. Continuando nossos estudos, vejamos uma aplicação dessa ideia. roblema 1 (México/2016) ejam Γ 1 e Γ 2 duas circunferências tangentes externamente no ponto de tal forma que o raio de Γ 2 é o triplo do raio de Γ 1. eja l uma reta tangente a Γ 1 no ponto e a Γ 2 no ponto. eja um ponto em Γ 2 tal que é diâmetro de Γ 2. eja o ponto onde a bissetriz interna do encontra o segmento. rove que =. olução: ejam,, r 1 e r 2 os centros de Γ 1 e Γ2 e os raios de Γ 1 e Γ 2, respectivamente. elos dados do enunciado, temos que: r 2 = 3r 1. Conforme vimos nessa seção, é colinear com e. eja o ponto de encontro de l com e. eja M o segundo ponto de encontro de e Γ 1. Façamos um desenho para analisar o problema. Γ 2 r 2 M Γ 1 r 1 l Daí, notemos que, pois ambos são perpendiculares a l. or consequência, temos que =. Com isso, podemos concluir que: = M = 2 M = 2 M = M M M M = M = M = r 1 r 2 = 1 3 lém disso, sabemos que = M + 2r 1. Daí, temos que: 2 3 M =

3 3 M = = M + 2r 1 2M = 2r 1 M = r 1 e = 3r 1 = r 2 Como = r 2 =, então podemos concluir que é mediana da hipotenusa do triângulo retângulo. ortanto, podemos concluir que: r 2 = = = é equilátero é bissetriz do ângulo = 60 2 = 30 = 60 = 60 2 = = = é isósceles em = Γ 2 r 2 M Γ 1 r 1 l Um aluno observador pode perceber que os pontos, e são colineares. ara treinar um pouco, deixemos esse exerício como tarefa: roblema 2 Na questão anterior, prove que os pontos, e são colineares. colinearidade entre os centros e os pontos de tangência gera outros resultados úteis. or exemplo, o ponto na solução apresentada é o centro da uma homotetia que leva Γ 1 em Γ 2. No entanto, há questões em que provar essa colinearidade é bem difícil. Nestes casos, podemos optar pela segunda forma de provar a tangência entre circurnferências, através de uma reta esperta e marcação de ângulos. sse assunto é o tema da próxima seção. 3

4 2 rovando que duas circunferências são tangentes entre si usando a reta tangente em comum segunda forma para provar a tangência entre duas circunferências é usando a reta tangente em comum. Neste caso, a ideia principal é que: Duas circunferências são tangentes há uma reta tangente a ambas por um mesmo ponto. ara entender melhor, observemos o desenho a seguir: prova do fato acima é simples: se duas circunferências são tangentes entre si, então há exatamente um ponto que pertence a ambas. tangente que passa por este ponto a uma das circunferências será, portanto, tangente também a outra. vançando nossos estudos, vejamos uma aplicação dessa ideia. roblema 3 (OBM/ N2) eja BCD um quadrilátero convexo. s retas B e CD cortam-se em e as retas BC e D cortam-se em F. ejam e os pés das perpendiculares de sobre as retas D e BC, respectivamente, e sejam e os pés das perpendiculares de F sobre as retas B e CD, respectivamente. s retas e F cortam-se em. a) Mostre que há uma circunferência que passa pelos pontos, F,,, e. b) rove que ( ) é tangente a (B). olução: a) Fazendo um bom desenho, temos que F D C B 4

5 Daí, notemos que: F = F = F = F = Daí, podemos concluir que a circunferência de diâmetro F passa pelos pontos, F,,, e, concluindo assim esse item. b) Como queremos provar a tangência entre duas circunferências que passam por, então basta provar que há uma reta que passa por que é tangente a ambas. nalisando novamente o desenho (aqui, vale ressaltar a importância de um bom desenho), podemos conjecturar (termo matemático elegante para chutar ) que essa reta é a reta que conecta ao ponto médio de F que é o centro da circunferência do item anterior. Daí, provemos isso em forma de lema: Lema: endo M o ponto médio da reta F, temos que a reta M é tangente às circunferências ( ) e (B). rova: Melhorando o desenho do item anterior, conectando e M, temos que: F M B eja =. Nosso objetivo será provar que M =, pois isso implicaria que M seria ângulo de segmento e, por consequência, M seria tangente a ( ). elo triângulo, temos que = = e, por consequência, podemos concluir que = 2 ( ). Ligando M, temos que o triângulo M é isósceles em M. Daí, podemos concluir que: M = = M = M = 1 (180 2) 2 M = = Logo, M é tangente a ( ). 5

6 ara provar que M é tangente a (B) é mais simples ainda: analogamente, basta provar que B = BM. endo = B, temos que: B = F = F é cíclico F = F = M = M é isósceles em M = M = BM = = angleb ortanto, M é tangente a (B) e, como M também é tangente a ( ), então tais circunferências são tangentes entre si, sendo M a tangente comum entre ambas. F M B Notemos que, na questão anterior, trabalhar com os centros de ( ) e (B) seria bem complicado, enquanto na questão inicial, analisar a reta tangente em comum não facilitaria muito. ara se familiarizar mais com o tema, vejamos o famoso lema da estrela da morte. 6

7 3 Lema da estrela da morte Uma aplicação clássica de círculos tangentes internamente entre si é o lema da estrela da morte. Vejamos tal lema e sua respectiva demonstração. Lema: (strela da morte) Dadas duas circunferências tangentes internamente entre si em. seja BC uma corda da maior circunferência tangente a menor no ponto D. ntão, temos que BD = CD. rova: eja o ponto de encontro do prolongamento de D por D a circunferência grande. eja o ponto de interseção de B com a circunferência menor. Façamos um bom desenho: D C B eja o ângulo de segmento formado pela tangente que passa por, em relação ao B. Daí, temos que: D = B = D B eja = BD. Daí, temos que: BD é tangente DB = D B DB = DB = CB = BC é cíclico CB = C = CD = = BD obre o mesmo lema, há uma prova mais imediata usando homotetia que será apresentada a seguir: rova: (Com homotetia) Comecemos por um bom desenho: 7

8 B D C F Liguemos o ponto aos pontos B, C e D. ejam e F os pontos de interseção de B e C com a circunferência menor, respectivamente. or homotetia, sabemos que é o centro de homotetia H que leva a circunferência pequena na grande. ssa homotetia leva F no segmento BC e, por isso, temos que F BC. Daí, analisando a circunferência menor, podemos concluir que: F BC D = DF D = F D BD = CD Conclusão Conforme vimos ao longo desse material, há basicamente duas formas de provar que duas circunferências são tangentes entre si. odemos, a título ilustrativo fazer uma tabela comparando as duas formas. Forma 1 (usando centros) Forma 2 (usando reta tangente) l l,, colineares Dificuldade principal: trabalhar colinearidade com centro pode ser difícil Forma menos comum reta l que gera os ângulos bons Dificuldade principal: saber quem é a reta l que resolve Forma mais comum m outros materiais mais avançados de geometria, podemos encontrar outras ideias que podem ser aplicadas a circunferências tangentes entre si como, por exemplo, inversão. 8

9 4 Mais exercícios roblema 4 (Balkan/2012) ejam, B e C pontos numa circunferência Γ de centro O, tais que BC >. eja D o ponto de interseção da reta B com a reta, perpendicular a C, que passa por C. eja l a reta que passa por D e é perpendicular a O. eja o ponto de interseção de l com a reta C. eja F a interseção de l com Γ, que fica entre D e. rove que os circuncírculos dos triângulos BF e CF D são tangentes em F. roblema 5 (Bielorússia/2016) eja o ponto onde o -exincírculo ω do triângulo BC toca o lado BC. ejam I 1 e I 2 os centros do -exincírculos em relação aos triângulos B e C, respectivamente. rove que (I 1 I 2 ) é tangente a ω. roblema 6 (Cone ul/ ) eja k o circuncírculo do triângulo BC e D um ponto sobre o arco B que não contém C. ejam I e I B os incentros dos triângulos DC e BDC, respectivamente. rove que (I I B C) é tangente a k se, e somente se, D BD = C + CD BC + CD roblema 7 (Irã/ ) No triângulo BC, e são pontos do lado BC tais que B = C e está entre B e. ejam {, } = B ( ) e {, F } = C ( ). eja = F. Duas retas que passam pelo ponto médio de BC e são paralelas a B e C, interscetam e F em e Y, respectivamente. rove que ( ) e ( Y ) são tangentes entre si. roblema 8 (érvia/2016) eja O o circuncentro do BC. tangente t ao circuncírculo do BOC encontra os lados B e C nos pontos D e. O ponto é a reflexão do ponto em relação a reta t. rove que os circuncírculos dos triângulos D e BC são tangentes entre si. roblema 9 (Irã/2004) e (Bósnia/ ) O incírculo do triângulo BC toca B e C nos pontos e, respectivamente. reta encontra as retas BI e CI nos pontos K e L, respectivamente. rove que (ILK) é tangente a ω se, e somente se, B + C = 3BC. 4.1 xercícios sobre estrela da morte roblema 10 Duas circunferências são tangentes internamente entre si no ponto. Uma secante intersecta as circunferências nos pontos M, N, e, nessa ordem. rove que M = N. roblema 11 (omênia/ ) s circunferências Γ e ω são tangentes internamente entre si no ponto, com ω dentro de Γ. Uma corda B de Γ é tangente a ω no ponto C. reta C encontra novamente Γ no ponto. s cordas e de Γ são tangentes a ω. ejam I, e Y os incentros dos triângulos B, B e B, respectivamente. rove que I + Y I =. roblema 12 (Cone ul/lista ) eja k o círculo inscrito de um triângulo não isósceles BC e seja I o centro de k. O círculo k toca os lados BC, C e B nos pontos, e, respectivamente. reta encontra BC no ponto M. Considere um círculo k que contém os pontos B e C e seja N a interseção de k e k. O circuncírculo do triângulo MN intersecta a reta no ponto L, diferente de. rove que os pontos I, L e M são colineares. 9