SEMINÁRIOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA (SEMA FEUSP) SERÁ O INFINITO UM PONTO?

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1 SMINÁRIS D NSIN D MATMÁTICA (SMA FUSP) SRÁ INFINIT UM PNT? Sergio Alves IM USP salves@ime.usp.br Inspirado no artigo de mesmo título publicado na Revista ducação e Matemática, Nº 95, Portugal (2007) : plano euclidiano Γ: circunferência (em ) de centro e raio r Definição. Para cada ponto P, P distinto de, o inverso de P em relação à Γ é o único ponto P da semi-reta tal que P.P = r 2. Γ P P Propriedades lementares P = P se, e somente se, P Γ Se P int Γ então P ext Γ Se P ext Γ então P int Γ (P ) = P

2 Notação: P = I Γ (P) I Γ : {} {} é uma aplicação bijetora (I Γ ) 1 = I Γ btenção do inverso de um ponto com régua não graduada e compasso Γ A C P P B (justificativa: conseqüência de ΔPA ΔBP ) Γ T P P (justificativa: conseqüência de ΔPT ΔTP ) Note que quanto mais o ponto P se aproxima do centro, mais o seu inverso P se afasta de e, reciprocamente, quanto mais o ponto P se afasta de, mais o seu inverso P se aproxima de.

3 Plano Inversivo A fim de preservar a bijetividade e a continuidade da aplicação inversão I Γ : {} {}, adicionamos ao plano euclidiano um ponto Ω, chamado ponto no infinito, que será, por definição, o inverso do centro. Como também queremos preservar a propriedade (I Γ ) 1 = I Γ, definimos o inverso de Ω como sendo o centro. conjunto * = {Ω} recebe o nome de plano inversivo e a nova aplicação I Γ : * *, obtida estendendo-se a inversão I Γ anteriormente definida, é uma aplicação bijetora. Uma reta m* do plano inversivo * será considerada como sendo uma reta m do plano euclidiano adicionada do ponto no infinito Ω, isto é, m* = m {Ω}. As circunferências do plano inversivo * serão as circunferências usuais do plano euclidiano. m resumo, temos * = {Ω}: plano inversivo Ω : ponto no infinito I Γ () = Ω I Γ (Ω) = I Γ : * * é uma aplicação bijetora Toda reta do plano inversivo * passa por Ω Nenhuma circunferência do plano inversivo * contém Ω Propriedades da Inversão Lema. Sejam Γ uma circunferência de centro e P, Q pontos tais que, P e Q são não colineares. Se P = I Γ (P) e Q = I Γ (Q) então ΔPQ ΔQ P. P P Q Q

4 (Prova: Basta observar que os referidos triângulos satisfazem às hipóteses do critério LAL de semelhança de triângulos.) m: reta do plano euclidiano Propriedade 1. Se m passa pelo centro da circunferência Γ então I Γ (m {}) = m {}. Se m * = m {Ω} então I Γ (m * ) = m *. Propriedade 2. Se m não passa pelo centro da circunferência Γ então I Γ (m) = δ {} onde δ é uma circunferência do plano euclidiano que contém e cujo centro está na perpendicular a m traçada a partir de. Se m * = m {Ω} então I Γ (m * ) = δ. P δ A Q m P Q (Prova: Sendo Q o pé da perpendicular a m traçada a partir de, considere Q = I Γ (Q) e tome δ a circunferência do plano euclidiano de diâmetro Q. Use o lema acima para concluir que P m se e somente se P = I Γ (P) δ.) δ: circunferência do plano euclidiano de centro A e raio a Propriedade 3. Se δ contém o centro da circunferência Γ então I Γ (δ {}) = m onde m é uma reta do plano euclidiano que não passa por e é perpendicular à reta. Se m * = m {Ω} então I Γ (δ) = m *. Propriedade 4. Se δ não contém o centro da circunferência Γ então I Γ (δ) é uma outra circunferência do plano euclidiano que também não contém. Mais precisamente, sendo H,λ a homotetia de centro e razão λ temos δ = H,λ (δ) onde λ = com p = A 2 a 2.

5 P δ Q A P δ T (Prova: Suponha no exterior de δ de modo que p > 0. Dado P δ, a reta que passa por e P corta δ num segundo ponto Q (Q = P se a reta for tangente a δ) e sendo T o ponto de tangência indicado na figura temos, por uma conhecida propriedade da geometria euclidiana, P.Q = T 2 = A 2 a 2 = p. Por outro lado, P.P = r 2 donde P = λq, ou seja, P = H,λ (Q). Quando P descreve δ, o mesmo acontece com Q e como circunferências são preservadas pelas homotetias segue-se o resultado desejado. A prova quando está no interior de δ é similar.) Pelo que vimos até aqui, no que diz respeito ao plano inversivo, o infinito se reduz a um ponto. Veremos agora outra situação em que precisamos adicionar uma infinidade de infinitos (!) ao plano euclidiano para podermos estender de modo conveniente certa aplicação. Sejam e dois planos secantes do espaço euclidiano e seja um ponto não pertencente nem a nem a. P P

6 Definição. A aplicação que a cada ponto P associa o ponto P em que a reta intersecta o plano (ou seja, {P } = ) é chamada projeção central de em com centro. screveremos P = P (P). xiste uma reta especial x contida em cujos pontos não têm imagem em. Mais precisamente, x é a reta intersecção de com o plano paralelo a passando por de modo que a reta determinada por e por um ponto arbitrário da reta x é paralela ao plano. Alguns autores designam a reta x como a reta do horizonte do plano. x Analogamente, existe uma reta especial y contida em cujos pontos não têm pré-imagem em. Mais precisamente, y é a reta intersecção de com o plano paralelo a passando por de modo que a reta determinada por e por um ponto arbitrário da reta y é paralela ao plano. y

7 Propriedades lementares da Projeção Central P : x y é uma aplicação bijetora (P ) 1 = P Problema 1. Qual a imagem, pela projeção central P, de um segmento contido no plano? Solução. Se o segmento não intersecta a reta especial x, então a imagem é também um segmento. x A A B B Se um dos extremos, digamos A, do segmento pertence à reta especial x, então a imagem é uma semi-reta paralela à reta que passa por e A. x A B B

8 Se a reta especial x intersecta o segmento em um ponto do seu interior, então a imagem é a reunião de duas semi-retas colineares. A x B B A Problema 2. Qual a imagem, pela projeção central P, de uma reta contida no plano? Solução. Sendo σ o plano determinado pelo ponto e pela reta dada, sua imagem pela projeção central P é a reta intersecção dos planos σ e. C x B y B A = A C

9 Na figura acima vemos a projeção central de três pontos A, B e C pertencentes à reta dada, suposta distinta da reta especial x. À medida que o ponto C se afasta de modo que a reta determinada por e C se aproxima mais e mais da paralela à reta dada passando por, a projeção C de C vai se aproximando da reta especial y. Problema 3. Sejam r 1 e r 2 duas retas contidas no plano que se intersectam num ponto M pertencente à reta especial x. Quais as imagens, pela projeção central P, das retas r 1 e r 2? Solução. As imagens serão duas retas paralelas (ambas paralelas à reta que passa pelos pontos e M). x M r 2 r 1 r 1 r 2

10 Problema 4. Sejam r 1 e r 2 duas retas paralelas contidas no plano. Quais as imagens, pela projeção central P, das retas r 1 e r 2? Solução. Se r 1 e r 2 não são paralelas à reta especial x então as imagens serão duas retas concorrentes num ponto M pertencente à reta especial y. r 1 r 2 r 2 y r 1 M Se r 1 e r 2 são ambas paralelas à reta especial x então as imagens r 1 e r 2 são ambas paralelas à reta especial y.

11 Plano Projetivo Vamos acrescentar aos pontos do plano euclidiano uma coleção de pontos ideais, chamados pontos no infinito. Faremos isso de modo que sejam preservados os seguintes resultados: 1. Dois pontos distintos determinam uma única reta. 2. Duas retas distintas intersectam-se em um único ponto. Sejam r 1 e r 2 duas retas do plano euclidiano. Mantendo-se r 1 fixada e girandose r 2 em torno de um fixado ponto A r 2, A fora da reta r 1, à medida que r 2 aproxima-se da posição de paralelismo com r 1 o ponto P de intersecção de r 1 e r 2 se afasta mais e mais ao longo de r 1 e, na posição limite de paralelismo o ponto P deixa de existir. Para acomodar essa situação excepcional, acrescentamos ao conjunto dos pontos sobre r 1 um ponto ideal, chamado ponto no infinito sobre r 1, e dizemos que r 1 e r 2 intersectam-se neste ponto ideal quando r 1 e r 2 forem paralelas. resultado 2 acima nos garante que duas retas paralelas devem se intersectar no mesmo ponto ideal, não importando em qual direção as retas são percorridas. Sejam r 1 e r 2 duas retas paralelas intersectando-se no ponto ideal I, e seja P um ponto ordinário qualquer, P fora de r 1 e de r 2. Como P e I determinam uma reta r 3 e como r 3 não pode intersectar r 1 ou r 2 uma segunda vez, segue-se que r 3 deve ser a reta paralela a r 1 e a r 2 passando por P. m outras palavras, o ponto ideal I pertence às três paralelas r 1, r 2 e r 3 e, pelo mesmo argumento, a todas as retas paralelas a r 1. Logo, todos os membros da família de retas paralelas a r 1 concorrem no mesmo ponto ideal I. Sendo m 1 uma reta não paralela a r 1, os membros da família de retas paralelas a m 1 concorrem num ponto ideal J distinto de I. Com efeito, m 1 e r 1 intersectamse num ponto ordinário Q e sendo m 2 uma paralela a m 1, temos que m 1 e m 2 intersectam-se num ponto ideal J distinto de I, pois, caso contrário, as retas distintas r 1 e m 1 teriam dois pontos Q e I em comum. Considere agora dois pontos ideais distintos I e J. Afirmamos que a reta r por eles determinada contém somente pontos ideais. Com efeito, se existisse um ponto ordinário R pertencente a r, então a reta r 1 determinada por R e I e a reta r 2 determinada por R e J formariam um par de retas ordinárias distintas. Por outro lado, cada uma delas está contida em r uma vez que R, I e J são colineares.

12 Finalmente, não podemos ter duas retas distintas formadas exclusivamente por pontos ideais. Com efeito, se r 1 e r 2 fossem duas de tais retas, elas se intersectariam num ponto ideal I. Uma reta r 3 passando por um ponto ordinário P e não passando por I intersectaria r 1 e r 2 em pontos ideais distintos J e K, respectivamente. A reta determinada por J e K conteria o ponto ordinário P o que é impossível. m resumo, podemos acrescentar aos pontos de um plano euclidiano uma coleção de pontos ideais, chamados pontos no infinito, tais que a) Cada reta do plano euclidiano contém exatamente um ponto ideal. b) s membros de uma família de retas paralelas do plano euclidiano concorrem num mesmo ponto ideal e famílias distintas de paralelas têm pontos ideais distintos. A coleção dos pontos ideais adicionados é vista como uma reta ideal, chamada reta no infinito, que por sua vez não contém pontos do plano euclidiano. Indicamos tal coleção por r. conjunto * resultado. = r é chamado plano projetivo e temos o seguinte Teorema. m *, dois pontos distintos determinam uma única reta e duas retas distintas intersectam-se em um único ponto. Voltamos agora a considerar a projeção central P de em com centro. Sendo x e y as retas especiais contidas em e, respectivamente, vimos anteriormente que P : x y é uma aplicação bijetora. Sendo * = r e ( ) * = r os correspondentes planos projetivos, obtemos uma aplicação bijetora P : * ( ) * definindo: 1. Se M x então P (M) r é o ponto ideal associado à reta ordinária r 1 = P (r 1 ) onde r 1 é uma reta arbitrária de passando por M, r 1 distinta de x. (veja Problema 3) 2. Se I r é o ponto ideal associado à reta ordinária r 1 de, r 1 não paralela a x, então P (I) y é o ponto ordinário M em que r 1 = P (r 1 ) intersecta y. Se r 1 // x então P (I) é o ponto ideal associado á reta y. (veja Problema 4)