Eletromagnetismo. Energia Eletromagnética

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1 letromagnetsmo nerga letromagnétca

2 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 1 Introdução A energa eletromagnétca é uma das mutas formas de energa. Como tal, ela pode ser armazenada, transportada e transformada em outras formas de energa. A energa eletromagnétca encontra-se sob a forma de campos elétrcos e magnétcos e, como tal, ela é armazenada no espaço. Daí a relevânca de defnrmos densdade de energa. m geral, ela não é dstrbuída unformemente. A densdade de energa eletromagnétca ρ depende, em geral, dos pontos do espaço e, eventualmente, do tempo. A densdade de energa é dada por uma soma que envolve duas contrbuções: uma contrbução de orgem elétrca (assocada à densdade de energa elétrca ρ el ) e outra de orgem magnétca (descrta pela densdade de energa magnétca ρ mag ). Assm, escrevemos de forma geral: ( )= ( )+ ( ) ρ xyzt,,, ρ xyzt,,, ρ xyzt,,, el mag ( 1 ) A energa eletromagnétca pode flur de uma regão do espaço para outra. Com sso estamos tratando da questão do seu transporte. m partcular, encontraremos uma expressão para a densdade de energa no espaço e outra expressão para o fluxo de energa que flu, sando de uma determnada superfíce fechada. Do ponto de vsta do transporte de energa, o vetor relevante é o vetor de Poyntng, S, defndo pelo produto vetoral dos campos elétrcos e magnétcos: S = H ( ) Neste capítulo, vamos analsar a questão da energa eletromagnétca levando em conta todos os aspectos relevantes em relação ao tema. Começaremos pelas expressões para as densdades de energa elétrca e magnétca. m seguda, procuraremos desenvolver uma equação levando em conta a conservação da energa eletromagnétca. É nesse contexto que é relevante ntroduzr o vetor de Poyntng. Fnalmente, o que é mas mportante, porquanto sso nos permte fazer uma análse mas geral da questão da conservação da energa como um todo, dervaremos uma expressão para a conservação da energa quando analsamos todas as suas formas. Nesse caso, o ponto de partda de tal análse será a determnação da taxa de transformação da energa eletromagnétca quando levamos em conta sua dsspação, ou seja, sua conversão em outras formas de energa.

3 letromagnetsmo» nerga letromagnétca nerga létrca Quando há cargas elétrcas dstrbuídas numa certa regão do espaço, tem-se energa acumulada nessa regão. ssa energa energa elétrca se acumulou porque, no processo de agruparmos cargas no espaço, realzamos trabalho, trabalho esse que pode ser calculado a partr das forças elétrcas. Consequentemente, energa de algum tpo fo despendda para colocar essas cargas na posção em que elas se encontram. Não nos nteressaremos pela natureza da energa que fo despendda. Ao calcularmos o trabalho, determnamos apenas o quanto fo despenddo e, como consequênca, determnamos o quanto de energa fo acumulado. nerga de uma Dstrbuçao Dscreta Prmeramente, lembremo-nos de que, se uma partícula de carga Q 1 estver numa regão do espaço em que ela está sujeta a um potencal V r ( ), então, o trabalho realzado pela força elétrca ao deslocarmos essa partícula de um ponto de referênca r 0 até um ponto r é dado por: ( ) τ= Q V( r) V( r ) ( 3 ) Vamos utlzar a expressão acma para determnar não apenas a energa de uma partícula como também a energa total do sstema que envolve uma dstrbução de partículas. Vsando a um melhor entendmento, ncaremos a análse, prmeramente, para o caso de apenas duas partículas. Dada uma partícula numa posção dada pelo vetor r, o trabalho realzado para trazer outra partícula desde o ponto de referênca r 0 até a posção r 1 é dado por: QQ τ = Q ( 4 ) 1( V( r1) V( r0 ))= πε 4 r r1 r r0 onde (na expressão acma) utlzamos o potencal como aquele devdo à exstênca da outra partícula, que admtmos como puntforme. Defnmos a energa eletrostátca assocada a duas partículas como a grandeza físca dada pelo trabalho assocado ao deslocamento de qualquer uma delas desde o nfnto. Com sso, a energa eletrostátca do conjunto de duas partículas será dada pela expressão:

4 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 3 QQ 1 1 = 4πε r r 0 1 Observe-se que agora essa energa não é energa de uma ou de outra partícula. É uma energa assocada à exstênca das duas cargas em posções dstntas. A expressão acma pode ser escrta como: 1 QQ j 1 = j = 1 = 1 4πε 0 r r onde o fator ½ é necessáro, na expressão acma, para que não haja uma contagem dupla. Para quasquer pares de partículas numa dstrbução, podemos falar de uma energa assocada a esse par (par, j), energa essa que, já sabemos, é dada por: j ( 5 ) ( 6 ) j QQ j 1 = 4πε 0 r r Assm, a energa de uma dstrbução dscreta de cargas elétrcas é dada por: j ( 7 ) N N 1 QQ = 1 1 4πε j = = 1 r r onde, novamente, o fator ½ é mportante para se evtar uma contagem em dobro das contrbuções assocadas a cada par de partículas. A soma acma pode ser escrta como uma soma que envolve o produto da carga de cada partícula vezes o potencal produzdo pelas demas, desde que calculado na posção de cada uma delas. m outras palavras, escrevemos: j 0 j ( 8 ) N 1 = QV( r) j = 1 onde o potencal produzdo pelas demas na posção da -ésma partícula é dado por: ( 9 ) N Qj V( r )= 1 4 j πε 0 r r A expressão () permte-nos agora fazer uma extensão para uma dstrbução dscreta de cargas. j ( 10 )

5 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 4 nerga de uma dstrbução contínua de Cargas Para sso, vamos dvdr a dstrbução em elementos nfntesmas de volume dv. Cada elemento de volume contém uma carga nfntesmal dq. A contrbução para a energa d de uma carga nfntesmal dq na posção dada pelo vetor de posção r é, de acordo com (000), dada por: 1 d r dq r V r ( )= ( ) ( ) xpressando a carga nfntesmal em termos da densdade e do elemento de volume nfntesmal e efetuando a soma (a ntegral, portanto), obtemos para a energa armazenada numa dstrbução de cargas a segunte expressão: ( 11 ) Densdade de energa elétrca 1 V ρ r V r dv = ( ) ( ) ( 1 ) Pode-se expressar a energa eletrostátca como uma ntegral sobre uma densdade de energa de tal forma que essa densdade seja dada em termos do campo elétrco exstente no espaço. De fato, utlzando a le de Gauss da eletrostátca, podemos escrever a expressão para a energa sob a forma: 1 = ( D( r) ) V( rdv ) V Lembrando agora a dentdade, envolvendo dervadas parcas, quando consderamos produto de funções: ( 13 ) D ( r) V( r)= D ( r) V( r) D ( r) V( r) ( 14 ) vemos que podemos escrever a expressão (000) sob a forma de dos termos: 1 1 = ( D( r) ρ( r) ) dv + D( r) ( V( r) ) dv V V ( 15 )

6 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 5 O prmero termo dá uma contrbução nula, na medda em que tomamos o volume do sstema quando abarcamos todo o espaço. No segundo termo, podemos dentfcar o últmo termo do produto como campo elétrco. Chegamos, assm, à expressão: 1 ε = D( r) ( r) dv = ( r) ( r) dv onde agora ntegramos sobre todo o volume do espaço. Para o volume lmtado a V, vale a expressão. A conclusão é a de que, numa regão em que exste um campo elétrco, exste energa armazenada de tal forma que a densdade de energa é dada por: ε ρ r r ( )= ( ) Uma mportante conclusão a ser trada das expressões acma é a de que, num meo delétrco, a energa armazenada é κ vezes maor do que no caso de esse meo ser o vácuo. sso ocorre porque ( 16 ) ( 17 ) ρ del vac ( r)= κρ ( r) ( 18 ) onde κ é a constante delétrca do meo. Vemos, assm, que um meo delétrco aumenta a capacdade de se armazenar energa eletrostátca. Fgura : Onde houver campo magnétco, aí haverá energa elétrca dstrbuída. Nenerga de correntes estaconáras e densdade de energa magnétca A energa mecânca de uma corrente elétrca na aproxmação de dpolo é: U = mec µ B ( 19 ) Desgnaremos por energa magnétca U = mag µ B ( 0 )

7 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 6 Podemos determnar a energa magnétca de um crcuto arbtráro subdvdndo-o em pequenos loops, cada um deles percorrdo pela corrente I (veja fgura). Cada um deles pertence a uma superfíce S delmtada de curva Γ, na qual temos uma corrente I. Fgura 3: Crcuto e uma dstrbução superfcal de dpolos equvalente. Sendo AS a área de um desses loops, a energa assocada a essa partção da superfíce S é: U = µ B = I sb n n ( 1 ) A energa total é dada por U = I sb n ( ) fetuando a soma para um número n de loops tendendo a nfnto, a energa é dada por: = mag I B nds Tendo em vsta que B = A, obtemos: U = mag I ( A ) ds ( 3 ) ( 4 ) Utlzando o teorema de Stokes, a energa magnétca de uma corrente pode ser escrta como o produto da corrente pela crculação do potencal vetor: U = mag I Adl ( 5 )

8 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 7 No caso de uma dstrbução de correntes, a expressão acma toma a forma: U 1 mag = v J AdV Levando em conta a equação de Maxwell relatva à le de Ampère, a energa magnétca pode ser escrta como: ( 6 ) U = 1 mag ( H) AdV v A densdade de energa magnétca pode ser escrta sob a forma: Donde nfermos que: H A ( ) = ( ) H = x A H A k k εjk εjk ε x j H A ( A H )+ H A ( ) = j jk ( ) ( H A) k x j ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) Portanto, a energa magnétca pode ser escrta como: U = 1 mag A 1 ( H)+ H ( AdV ) V V Quando calculada sobre todo o espaço, o prmero termo se anula. Lembrando a defnção de campo magnétco, em termos do potencal vetor, concluímos que: ( 30 ) onde agora a ntegral é efetuada sobre todo o espaço., portanto, a densdade de energa magnétca é dada por: U mag = 1 ρ mag = H BdV HB ( 31 ) ( 3 ) Fgura 4: A energa se concentra nas regões onde os campos magnétcos são mas ntensos.

9 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 8 Conservação da energa A conservação de determnadas grandezas físcas pode ser formulada em termos de concetos bastante geras. Consdere um volume V do espaço delmtado por uma superfíce A. Imagnemos, prmeramente, que a energa não seja dsspada. Nesse caso, a le que estabelece a conservação da quantdade de energa sera da forma: dentro + sau = total ( 33 ) ou seja, a quantdade de energa que está dentro do volume mas a quantdade de energa que sau (ou entrou pela superfíce A) é gual à energa total, a qual no momento estamos admtndo como constante. Isto é, d dt ( + )= 0 dentro A quantdade de energa dentro de um volume V pode ser escrta como a ntegral sobre o volume de uma densdade de energa (ρ ( rt, )): sau ( 34 ) r tdv = dentro ρ (, ) V ( 35 ) A quantdade de energa que atravessa uma superfíce (e que, portanto, dexa o volume V ) deverá ser expressa como o fluxo de um vetor sobre uma superfíce. Tal vetor recebe o nome, no eletromagnetsmo, de vetor de Poyntng. ssa grandeza é representada pelo vetor S. O vetor de Poyntng dá o quanto de energa flu através da superfíce. Tanto pode ser a quantdade que sa (como estamos admtndo) como a quantdade que entra. Dessa forma, escrevemos: d dt ( )= S da sau Assm, se a energa for conservada, essa conservação será descrta pela equação: V ρ A ( rt, ) dv + = t S da 0 A ( 36 ) ( 37 )

10 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 9 Utlzando agora o teorema de Gauss, podemos escrever o fluxo do vetor de Poyntng como uma ntegral sobre o volume. Isto é: Como o volume V é um volume arbtráro, conclu-se que o prncípo da conservação de energa pode ser expresso através da equação: Note-se a semelhança da equação acma com a equação da contnudade. Para deduzr as expressões explíctas para a densdade de energa eletromagnétca e para o vetor de Poyntng, devemos analsar a questão da dsspação da energa eletromagnétca. Isso será feto na próxma seção. Transformando a energa eletromagnétca A energa eletromagnétca pode ser transformada em outras formas de energa. m se tratando de energa calorífca, o termo mas aproprado sera dsspando energa eletromagnétca. ssa energa será denomnada trans, A taxa pela qual a energa é transformada é dada pela taxa pela qual o trabalho é realzado pelas forças eletromagnétcas. Assm, escrevemos: S da = SdV Levando-se em conta a possbldade de transformações de uma forma de energa em outra, a conservação da energa agora será expressa assm: d dt A ρ A expressão acma é bem smples de entender. la estabelece que a taxa de varação da energa eletromagnétca é gual à taxa pela qual ela é convertda em outras formas de energas. V ( rt, ) + S( r, t)= 0 t d dt trans = dw dt d ( dentro + sau + trans)= ( dentro + sau + W )= 0 dt ( 38 ) ( 39 ) ( 40 ) ( 41 )

11 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 10 Para determnar as taxas pelas quas se realza o trabalho, lembramos que para uma dada força F a taxa, por undade de tempo, pela qual o trabalho é realzado é dada pelo produto escalar da força vezes a velocdade. Consderando-se uma partícula de carga q, dotada de uma velocdade v, movendo-se numa regão do espaço na qual exste um campo elétrco e um campo magnétco, a força eletromagnétca que age sobre ela será: dw dt = F v ( 4 ) F = q + v B ( ) ( 43 ) Consequentemente, O fato de o campo magnétco não aparecer na expressão acma sgnfca que o campo magnétco não realza trabalho, ou seja, a potênca assocada à força magnétca é nula. Para um conjunto de cargas dstrbuídas num volume com uma certa densdade e com dferentes velocdades em cada ponto, o análogo da expressão (000) é: dw dt Ω( rt, ) t = F v = q v = ( r, t) J( rt, ) onde agora o prmero termo representa a taxa pela qual o trabalho é realzado, taxa essa que é por undade de volume. Com sso vemos que a equação para a conservação da energa agora se escreve: ( 44 ) ( 45 ) ρ ( rt, ) S r, t rt, J r, t t + ( )+ ( ) ( )= 0 ( 46 )

12 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 11 Densdade de energa e o vetor de poyntng A partr da taxa de transformação da energa eletromagnétca, pode-se utlzar as equações de Maxwell para determnar a densdade de energa no campo eletromagnétco, bem como o vetor de Poyntng. A partr dessas grandezas físcas pode-se obter a densdade de momento e a taxa pela qual o momento é carregado pelo campo eletromagnétco que flu. Utlzando a equação de Maxwell-Ampère, podemos escrever o vetor densdade de corrente como uma soma que envolve dos termos: e, portanto, o termo que dá a taxa pela qual os campos eletromagnétcos realzam trabalho, por undade de volume, se escreve como: Utlzando agora a dentdade vetoral: D J = H t, J = H D t ( 47 ) ( 48 ) ( H)= H H bem como a le de Faraday, temos agora: ( )= H H B H. t ( 49 ) ( 50 ), portanto, de (000) podemos escrever que a taxa de trabalho realzado, por undade de volume, pelos campos eletromagnétcos é: ( )+ + + H H B D J t t = 0 ( 51 ) Para meos lneares, podemos escrever: H B D H B D t + t = 1 ( ) 1 + t t ( ) ( 5 )

13 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 1 De (000) e (000), nfermos que, de acordo com (000), a densdade de energa no campo magnétco é dada por: e que o vetor de Poyntng é dado por: 1 1 ρ = H B+ D S = H ( 53 ) ( 54 ) Fnalmente, é mportante frsar que ao fluxo de energa corresponde também, no caso do campo eletromagnétco, um fluxo de momento. Como a relação entre momento e a energa no caso dos fótons é: P fóton = 1 c é de se esperar uma relação smples entre o fluxo de momento transportado pelas ondas eletromagnétcas e o fluxo de energa. De fato, com base em argumentos sobre conservação do momento no campo eletromagnétco, pode-se mostrar que é válda a segunte relação entre a densdade do momento e o vetor de Poyntng: fóton ( 55 ) Fgura 5 P = 1 S = 1 c onde P c H (na equação acma) é a densdade de momento do campo eletromagnétco. ( 56 ) nerga e momento transportados por ondas eletromagnétcas Uma das aplcações mas mportantes das equações acma, do ponto de vsta prátco, dz respeto à propagação de ondas eletromagnétcas no vácuo, e sso porque ela nos permte entender o mecansmo de transmssão de energa eletromagnétca do sol para o nosso mundo. ssa energa faz toda a dferença do ponto de vsta da manutenção da vda no nosso planeta. O sol emte radação eletromagnétca cobrndo todo o espectro eletromagnétco. É uma radação típca de radação do corpo negro.

14 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 13 Consderando-se uma onda eletromagnétca plana e consderando a parte real do campo, podemos escrever os campos elétrco e magnétco sob a forma: ( r, t)= 0 cos( k r ωt) B = k ω O vetor de Poyntng é um vetor na dreção de propagação da onda (na dreção do vetor de onda). Obtemos então: S H = ε c cos k r ωt 0 0 ( ) A densdade de energa, para a onda plana descrta por (000) e (000), é dada pela expressão: k k ( 57 ) ( 58 ) Defnmos a ntensdade da onda eletromagnétca (I ) como a méda, num período, do módulo do vetor de Poyntng, sto é, 1 1 ρ = H B+ D= ε00 cos k r ωt I S = ε 0 c ( ) ( 59 ) ( 60 ) Fgura 6 onde a méda no tempo de uma grandeza físca ( f ), ao longo de um período, é defnda como a ntegral dessa grandeza dvdda pelo período, ou seja: f t Da defnção acma e da defnção (000) verfca-se que enquanto a densdade de energa méda é dada por: 1 T T () = () 0 f t dt. T 1 I = S = c ( 1 k r tdt ) = c T ε0 0 cos ω ε ( 61 ) ( 6 ) ρ T ε 0 0 = k r ωtdt T cos 0 ( ) = ε 0 0 ( 63 )

15 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 14 Conclu-se que a taxa pela qual a energa é transportada do Sol para a Terra, por undade de área, é a ntensdade que, no caso de uma onda plana, é dada por: I = S = 1 ε c 0 0 ( 64 ) ou seja, I = S = cρ ( 65 ) enquanto a densdade méda, no tempo, da densdade de energa é dada, em função da ampltude do campo elétrco, por: ρ ε Momento é gualmente transportado pelo campo elétrco e a sua densdade, para uma onda plana, é: = 0 0 ( 66 ) P ρ ε = = 0 0 c c ( 67 ), portanto, P ρ I = = c c ( 68 ) Fgura 7: Uma onda eletromagnétca transporta energa e momento.

16 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 15 Como usar este ebook Orentações geras Caro aluno, este ebook contém recursos nteratvos. Para prevenr problemas na utlzação desses recursos, por favor acesse o arquvo utlzando o Adobe Reader (gratuto) versão 9.0 ou mas recente. Botões Indca pop-ups com mas nformações. Snalza um recurso mdátco (anmação, áudo etc.) que pode estar ncluído no ebook ou dsponível onlne. Ajuda (retorna a esta págna). Crédtos de produção deste ebook. Indca que você acessará um outro trecho do materal. Quando termnar a letura, use o botão correspondente ( ) para retornar ao ponto de orgem. Bons estudos!

17 letromagnetsmo» nerga letromagnétca 16 Crédtos ste ebook fo produzdo pelo Centro de nsno e Pesqusa Aplcada (CPA), Insttuto de Físca da Unversdade de São Paulo (USP). Autora: Gl da Costa Marques. Revsão Técnca e xercícos Resolvdos: Paulo Yamamura. Coordenação de Produção: Beatrz Borges Casaro. Revsão de Texto: Marna Keko Tokumaru. Projeto Gráfco e dtoração letrônca: Danella de Romero Pecora, Leandro de Olvera e Prscla Pesce Lopes de Olvera. Ilustração: Alexandre Rocha, Alne Antunes, Benson Chn, Camla Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lda Yoshno, Mauríco Rhenlander Klen e Thago A. M. S. Anmações: Celso Roberto Lourenço e Mauríco Rhenlander Klen.