Física moderna I - Parte C MECÂNICA QUÂNTICA

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1 Física moderna I - Parte C MECÂNICA QUÂNTICA M.C. Baldiotti November 6, 03 Contents A Equação de Schrödinger 3. Preliminar Equações de Euler-Lagrange Coordenadas generalizadas Transformada de Legendre 9 3 Equações de Hamilton 3.0. Signi cado físico da Hamiltoniana Princípio variacional 3 4. Exemplo: a braquistócrona Equações de Euler-Lagrange Princípio de Fermat Equação de Hamilton-Jacob Ação reduzida Parênteses de Poisson (para Moderna II) 5 6 Óptica geométrica 8 6. A óptica e o princípio da mínima ação Mecânica e a óptica geométrica 3 8 A equação de Schroedinger independente do tempo A partícula numa caixa Números quânticos Valores médios Preparação de sistemas e superposição

2 9 A equação de Schroedinger dependente do tempo A quantização de Schrödinger e de Sommerfeld Outras quantizações Limite clássico 58 A equação de continuidade 59 Barreira de potencial nita 6 3 Barreira quadrada Primeiro caso E > V Segundo caso E < V Poço nito Energia negativa Raiz negativa, primeira igualdade Raiz positiva, segunda igualdade Espectro contínuo e discreto Estrutura formal da MQ Espaços vetoriais e operadores Produto interno Representação dual Mudança de base Notação de Dirac Operadores Autovalores e autovetores Espaço euclidiano de dimensão nita R N Espaço de Hilbert Operadores hermitianos Postulados da Mecânica Quântica O operador de momento Quantização O problema do ordenamento Observáveis compatíveis Partículas de spin / Relações de incerteza O oscilador harmônico Normalização Potenciais centrais 4 6. Autovalores e autovetores do momento angular O átomo de hidrogênio

3 A Equação de Schrödinger Como vimos no caso da quantização de Sommerfeld, a descrição da Mecânica Clássica (MC) adequada para se introduzir um processo de quantização não é a formulação de Newton. Isso é verdade em geral. Tanto para os processos da velha mecânica quântica, quanto da nova até a sua evolução relativística (a Teoria Quântica de Campos). Um primeiro ponto que podemos salientar é que, tendo como base uma descrição ondulatória, as equações envolvidas no processo de descrição quântica devem, assim como a equação de onda, envolver derivadas parciais. Enquanto a mecânica de Newton envolve derivadas totais. Além disso, como veremos a seguir, existe uma semelhança muito grande (notada bem antes do advento da MQ) entre estas outras descrições da MC (Hamilton, Lagrange etc) e a descrição das características da luz na óptica geométrica. De uma forma geral, não só nesta parte do curso como na segunda parte (Moderna II) é impossível apreciar o processo de surgimento e evolução da MQ sem um conhecimento (ainda que enciclopédico) da descrição clássica da Mecânica Analítica. Destarte, dedicaremos algum tempo para ganharmos uma certa familiaridade com os termos e expressões envolvidos na Mecânica Analítica.. Preliminar Se f = f (a; b) é uma função de duas variáveis a; b então e, da mesma forma, se db ; df = g:da + h:db =) f = f (a; b) ; não importando de quais variáveis depende g e h. Pois, independente desta variáveis, a função f só varia quando alteramos a e b. Além disso, ; :. Equações de Euler-Lagrange Partindo da equação de Newton temos Para forças conservativas F i = F i = m d x i dt i = m d dt _x i : () A energia cinética em coordenadas cartesianas é dada por (onde, assim como na notação da relatividade, estamos admitindo que sempre existe uma 3

4 somatória implícita quando dois índices se repetem) com isso temos Voltando _x i = m T = m ( _x k) ; ( _x k ) = _x k _x i ( _x k ) ( _x k ) _x i = m [( ik) _x k + _x k ik ] = m _x i : 3X _x k ; _x k _x k + _x _x = i dt m _x i = =) = 0 ; i = ; ; 3: (3) _x i _x i Para sistema conservativos a energia potencial depende apenas das coordenadas U = U (x i ; t). Enquanto a energia cinética é, em coordenadas cartesianas, uma função apenas das velocidades, T = T ( _x i ). Podemos com isso de nir uma função que depende de x e _x (e eventualmente do tempo) com isso Substituindo em (3) temos L (x i ; _x i ; t) = T ( _x i ) U (x i ; _x _x i i = i : A função L é chamada de lagrangiana do sistema e as (3) equações acima as equações de Lagrange. O desenvolvimento acima deixa claro que o sistema de equações acima é equivalente às equações de Newton... Coordenadas generalizadas Pela construção acima vemos que as equações diferenciais parciais de Lagrange são equivalente a equações de Newton. A princípio equações diferenciais parciais são mais complicadas que EDO. Entretanto, existe uma grande vantagem nas equações de Lagrange. Para coordenadas cartesianas, as equações do movimento são: F i = m d x i dt =) F x = mx ; F y = my Em coordenadas polares, por exemplo, a energia cinética T = _r + r _ ; m depende da coordenada r. 4

5 Já se usarmos coordenadas polares x = x = r cos ; x = y = r sin ; ^ = ^y cos ^x sin ; ^r = x cos + ^y sin ; as equações passam a ter a forma F r = mr + mr _ ; F = mr m _r _ : (4) A obtenção das equações acima implica no laborioso processo de calcular as derivadas de segunda ordem das coordenadas, isolar as componentes com versores ^ e ^r e identi car F ; F : Para o caso particular de um pêndulo de raio R, massa m sob a ação do campo gravitacional g, escolhendo [ =; =], temos U () = mgr ( cos ) onde colocamos o zero de energia em = 0. Com isso Substituindo em (4) F = mg sin ; _r = 0 F = mr m _r _ =) + g R sin = 0 : Vamos ver como obter a equação do movimento acima na mecânica de Lagrange. Primeiro nos obtemos a energia cinética e, usando a energia potencial temos T = mv ; v = R _ =) T = mr _ ; U () = mgr ( cos ) ; L = T V = mr _ mgr ( cos ) : Se esquecermos por um instante que estamos usando coordenadas polares e usarmos diretamente as equações de Lagrange (trocando x por @ mr _ mgr ( cos ) = (cos ) = mgr @ _ mr _ mgr ( cos ) = mr _ ; 5

6 com isso, ou ainda @ = d mr _ + mgr sin dt = mr + mgr sin = 0 + g R sin = 0 : Que é precisamente a equação que seria obtida a partir da equação de Newton e o laborioso processo descrito acima. Este resultado pode ser provado de forma geral usando uma transformação geral de coordenadas. Para veri car isso imaginamos uma transformação qualquer (inversível) das coordenadas (também chamada transformação de ponto) x i = x i (q; t) ; q i = q i (x; t) (ou seja, qualquer relação inversível entre x e q) com isso, podemos escrever L = L (q; _q; t) ou L = L (x; _x; t) Resultados que vamos precisar:. Observado que x não depende de _q (ou que q não depende de _x) podemos calcular De onde vemos que _q j = dq j dt i dx i dt _x i d _x i dt j i _x i : _q m = dq m dt m _x j : (5). Lembrando agora que Na verdade, a função q i = q i (x; t) i = f ij (x; t) = g j (x; t) ; L (x; _x; t) não é a mesma função das coordenadas L (q; _q; t), ou seja, se formos rigorosos devemos escrever ~L (q; _q; t). Mas podemos esquecer o til lembrando que estamos usando a de nição de que a lagrangiana é uma função escalar das coordenadas. Seu valor num determinado ponto físico não se altera por uma mudança das coordenadas. 6

7 podemos escrever 3 e calcular _q j = f ij _x i + g _q _x m _x m _x i + f _x _x m _x m onde nem f nem g dependem de _x. Com _q _x m = f _x _x m = f ij im = f mj m ou i _q _x i : (6) 3. Derivando (5) em relação a x i _q m q m _x j _x j q q m _x j q : (7) 4. Vamos agora calcular (lembre que t é um parâmetro livre), L (q; _q; t) = _q m _q i Usando (7) para reescrever o último termo = q m _x j q _q (8) 5. Lembrando que e fazendo temos 3 Lembre que se temos mas d f (x; t) _x m f kj (x; t) j k q k _x m q k : (9) j q i = q i (x; t) ; d dt q i = f i (x; _x; t) = f i (x; t) : 7

8 Voltando agora para a nossa lagrangiana L (x (q; t) ; _x (q; t) ; _x _x _q _q _x j ; e, lembrando que q = q (x; t) não depende _x _q _q _x j (0) Usando = k _x _q j Derivando a relação acima em relação ao tempo d = k _x j _q _q k j : () Substituindo (9) na relação acima = _x j _q + _q q j _x m q j : () Usando agora () e (8) podemos @qk q n _x m q m _x i _q _q q q n _q _q @qm = : _q @q i _x m q i q n _x j q _q i i i Como, lembrando que a nossa transformação é geral e que L (x; _x; t) obedece as EL, podemos a rmar = 0 : _q m Ou seja: Remark As EL têm a mesma forma para qualquer sistema de coordenada. Assim, utilizando as equações de Lagrange temos uma liberdade completa na escolha das coordenadas do sistema, o que pode ser utilizado explorando as simetrias do problema. Ou seja, a principal vantagem das equações de Lagrange é que elas independem do sistema de coordenadas usados. Com isso, se q i é um 8

9 conjunto qualquer de coordenadas que descrevem um sistema mecânico, este sistema deve obedecer as equações de Lagrange i = 0 : (3) As coordenadas q i são chamadas de coordenadas generalizadas. Em especial, observe que a relação entre as coordenadas generalizadas e as coordenadas cartesianas pode depender do tempo. A aplicação deste tipo de coordenada q (x; t) nas equações de Newton envolve, em geral, o surgimento de forças ctícias. Entretanto, na mecânica Lagrangiana, isso não acontece. Remark Mais uma vez, enquanto a equação de Newton () só tem esta forma em coordenadas cartesianas, as equações de Lagrange (3) têm esta forma em qualquer sistema de coordenadas. Exercise 3 Uma conta (miçanguinha) de massa m pode se mover livremente numa barra rígida e reta que gira com velocidade constante!. Escreva a equação do movimento da conta. Transformada de Legendre Em uma série de problemas em física é importante mudarmos as variáveis que usamos num problema. Por exemplo, na termodinâmica uma quantidade muito importante é a energia interna de um sistema U (S; V ). Um inconveniente desta quantidade é que ela depende da entropia S, uma quantidade que não pode ser medida diretamente com nenhum instrumento. Entretanto, pelas leis da termodinâmica, sabemos que a temperatura T de um corpo é a variação da sua energia interna com a entropia Vamos então de nir uma nova quantidade F como Diferenciando esta quantidade temos Sabendo que U = U (S; V ) temos com isso : (4) F = T:S U (5) df = T ds + SdT du ; df = T ds + SdT @U ds + dv @S ds ds @V dv 9

10 O fato importante na de nição de F é que, usando (4), temos df = dv ; ou seja, a função (5) assim de nida não depende da entropia F = F (T; V ) : Com isso dv ; comparando com (7) temos : O importante da quantidade F, chamada energia livre de Helmholtz, é que ela depende da temperatura e do volume, ambas quantidades que, diferente da entropia, podem ser medidas com instrumentos usuais. Ou seja: Remark 4 Podemos determinar F estudando as variações das características do sistema com respeito ao seu volume e a sua temperatura. O procedimento acima é um exemplo de um procedimento mais geral chamado de transformada de Legendre. De forma geral, se f = f (x ; x ; :::; y ; y ; :::) podemos de nir uma nova função g = p i y i f (somatória em i) onde com isso p i que, pela de nição de p i, dg = (dp i :y i + p i :dy i ) = (dp i :y i + p i :dy i = p i dx i dy i + dp i :y i dy i i dx i dg = y i i dx i Ou seja a função g não depende mais de y i, mas sim de um novo conjunto de variáveis p i. 0

11 3 Equações de Hamilton Nosso objetivo agora é usar a transformada de Legendre nas equações de Lagrange. Primeiramente lembramos que, pela de nição acima L = L (q i ; _q i ) ; ou seja, a Lagrangiana depende das posições e das velocidades. Agora vamos de nir a quantidade onde H = p i _q i L (8) p _q i é chamado momento conjugado da variável q i (i.e., para q = x temos um momento linear, para q = um momento angular e, no caso geral, um momento conjugado). Das equações de Lagrange temos que, se uma determinada coordenada q m não aparece na Lagrangiana (chamada de coordenada = 0 =) = _p i = 0 =) p i = m _q i então o momento associado a esta coordenada se conserva (e.g., para uma partícula livre L = T o momento linear em qualquer direção se conserva). Seguindo o procedimento da seção anterior temos Lembrando que L = L (q; _q) temos dh = dp i : _q i + p i :d _q i dl : com isso dh = dp i : _q i + p i :d _q i = p i i dq _q i d _q _q i d _q i + _q i :dp dq i d _q i dq i ; ; e pela de nição de p i dh = _q i i dq i (9) e, como esperávamos, a função H assim obtida é uma função de q e p e não mais de _q, H = H (q; p). A quantidade H assim de nida é chamada de Hamiltoniana. Sabendo que H = H (q; p) temos i dq i dp i :

12 Lembrando agora que q e p são coordenadas independentes em H (assim como q e _q eram em L, i.e, obviamente _q depende de q, mas é exatamente está relação que queremos encontrar ao resolver a equações de Lagrange) e comparando com = _q i i Se usarmos agora as equações de Lagrange temos Lembrando a de nição de i _q i p _q i = d dt p i = _p i Com = _q i ; = _p i : i Estas são as chamadas equações de Hamilton (EH). Problem 5 Qual a vantagem destas equações? Uma vantagem destas equações é que elas possuem apenas derivadas de primeira ordem. Como a equação de Newton, a equação de Lagrange possui derivadas das velocidades o que resulta em derivadas de segunda ordem na posição. Obviamente perdemos algo ao ganharmos esta facilidade. O ponto é que temos dois pares de EH, ou seja, usando a transformada de Legendre conseguimos transformar um sistema de n equações diferenciais de segunda ordem num sistema de n equações diferenciais de primeira ordem 4. Entretanto, uma grande vantagem em trabalharmos com a hamiltoniana é que esta possui uma interpretação física muito mais direta que a Lagrangiana Signi cado físico da Hamiltoniana No caso geral, a energia cinética de um sistema é uma função quadrática das velocidades generalizadas T = a ij _q i _q j ; a ij = a ij (q) ; (somatória em i e j) no caso de coordenadas cartesianas a ij = ij m=. Diferenciando a expressão _q k = a _q _q k _q j + a ij _q _q _q k = a ij ik _q j + a ij _q i jk = a kj _q j + a ik _q i 4 Na verdade, esta não é a maior vantagem da EH, mas sim que, além de todo o conjunto de transformações de coordenadas disponíveis na formulação de Lagrange, tempos agora um conjunto muito maior de transformações a nossa disposição. Voltaremos a isso quando falarmos em transformações canônicas.

13 ou, mudando o índice mudo do primeiro termo Multiplicando por _q k = a ki _q i + a ik _q i e efetuando uma somatória em _q k _q k = a ki _q i _q k + a ik _q i _q k = T + T = T Este resultado é conhecido como teorema de Euler. resultado na de nição de H temos H = p i _q i _q i _q i (T U) _q _q i (T U) = T T + U = T + U : Se usarmos agora este Ou seja, a hamiltoniana é a energia total do sistema. Observe que, diferente da Lagrangiana (T U) a energia total do sistema é uma quantidade que pode ser medida e, além disso, é uma quantidade conservada para um sistema isolado. Esta é outra vantagem da teoria de Hamilton. Assim, utilizando a mecânica de Hamilton podemos, a partir da energia total do sistema e de um sistema de n equações de primeira ordem, estudar a dinâmica dos corpos. 4 Princípio variacional Um problema importante e comumente encontrado é o seguinte: dada uma função y = f (x) para quais valores de x a função f, e conseqüente y, possui valores máximos e mínimos (estes valores são chamados de extremos da função). A resposta, obviamente, são os pontos onde a derivada de f se anula. Um problema bem mais complicado, e interessante, é o seguinte: considere uma função F dada em termos de uma outra função y (x), que depende de um parâmetro livre x, e da derivada desta função Considere agora a integral F = F (y (x) ; y 0 (x) ; x) ; y 0 = dy dx : I = Z b a F (y (x) ; y 0 (x) ; x) dx Assim, para cada função y (x) diferente I assume um valor diferente. 3

14 Figure : Figura retirada do Marion. Problem 6 Para quais funções y(x) a integral I é um extremo? Antes um pouco de nomenclaturas. Para se determinar o valor de F é necessário conhecer 3 números: x; y(x); y 0 (x), assim F : R 3! R. Ou seja, F é uma função com 3 parâmetros (ou entradas).agora, dada uma certa função y(x), para x [a; b], podemos calcular o valor de I. Assim, o cálculo de I depende, não apenas do valor da função y (x) num ponto, mas em todos os pontos. Dizemos que I depende da função y. A quantidade I, que depende de uma função, e não apenas de um conjunto nito de números, é chamada de funcional. Outro ponto importante é que, dado dos valores y(x 0 ) = a e y 0 (x 0 ) = a é sempre possível encontrar uma função y(x) que satisfaça esta condição. Ou seja, dizer que x = 3 e y (3) = não xa de forma alguma o valor de y 0 (3). Neste sentido, as variáveis y e y 0 são tratadas em F como sendo independentes. Ou seja, F depende de y e y 0 (e, obviamente, de x). É neste sentido que, quando tratamos a Lagrangeana L (q; _q; x) de um sistema dizemos que q e _q são quantidades independentes. Apesar de que, obviamente, a derivada de uma função depende da função.agora, para calcular I nós não podemos dar apenas o valor de y(x) num dado ponto x 0, mas sim o valor desta função em todo o intervalo x [a; b], ou seja, precisamos dar toda uma curva y(x). Dada uma curva o valor da derivada desta curva está completamente determinada. Assim, em I não é possível se especi car separadamente o valor de y e y 0. Resumindo, enquanto F é uma função de y, y 0 e x F = F (y; y 0 ; x) ; 4

15 I é um funcional apenas de y I = I [y] : Nosso problema de encontrar a função y para a qual I é um extremo é um problema do chamado cálculo variacional. Problem 7 Por que a derivada de uma função é nula nos extremos? Isso ocorre porque a variações do parâmetro (x) em torno deste ponto não geram variações na função y(x) (pelo menos até primeira ordem em dx). O mesmo acontece com uma função de duas variáveis (o que pode ser visualizado facilmente) ou com funções com um número qualquer de variáveis (o que não é tão simples de visualizar). Ou seja, se estivermos num ponto extremo da função, ao deslocarmos os argumentos uma quantidade in nitesimal não haverá variação da nossa função. A idéia por detrás do cálculo variacional é exatamente a mesma. Uma vez que o funcional I[y] depende de todos os valores de x [a; b], podemos imaginar um funcional como uma função de in nitas variáveis, I (y (x ) ; y (x ) ; :::). Neste caso, a variação dos parâmetros depende da variação de cada valor y(x) para x [a; b], ou seja, neste caso a variação é também uma nova função y(x) = y (x) + f (x) : Assim, se tivermos encontrado a função y(x) para a qual nosso funcional I [y] é um extremos, esperamos que ao variarmos um pouco esta função (ou seja, pegarmos uma curva y(x) muito próxima a y (x)) o valor do nosso funcional não irá variar (Figura ). Suponha que y (x) é a função que resolve este problema (obviamente esta é a função que queremos encontra). O fato de y (x) ser um extremo de I signi ca então que, com pequenas variações em torno de y (x), o valor do integrando não varia apreciavelmente (de forma análoga ao cálculo ordinário). Vamos então analisar como I varia se substituímos y pela função (Figura ) y (x) = y (x) + " (x) ; para uma função (x) que, apesar de arbitrária, vamos supor dada, i.e., vamos variar apenas o valor de ". Ou seja: Problem 8 Dada a função y (x) que fornece o menor valor da integral I, e uma função (x) qualquer, como nosso funcional I varia por uma variação de "? Na verdade, em problemas variacionais, geralmente estamos interessados em questões do tipo, qual curva sai de um ponto a e chega no ponto b minimizando um certo funcional? Por isso, usualmente queremos estudar apenas as funções para as quais a função y passa pelo mesmo ponto inicial e nal, ou seja, y (a) = y (a) ; y (b) = y (b) =) (a) = (b) = 0 : 5

16 Para a variação acima (onde y e são funções conhecidas) nosso integrando I passa a depender apenas de " R, ou seja, ser uma função de " (pois " é um número) I [y]! I (") = Z b a F (y + "; y 0 + " 0 ; x) dx : O ponto é que agora, como é uma função, podemos usar o resultado do cálculo usual. Ou seja, saindo da curva y que resolve o problema (i.e., " = 0) pequenos valores de " não devem fornecer variações no valor de I ("). Assim, a nossa função I (") é um extremo no ponto " = 0, di d" = 0 : () "=0 Tudo que precisamos agora é dar uma de nição precisa da diferencial di=d". Fazemos isso da forma usual " Z di I [y + "] I [y] b Z # b d" = lim = lim F (y + "; y 0 + " 0 ; x) dx F (y; y 0 ; x) dx "!0 "=0 " "!0 " a a = lim " = Z b "!0 a Z b lim "!0 a Agora, sendo F uma função, ou seja com isso [F (y + "; y 0 + " 0 ; x) F (y; y 0 ; x)] dx [F (y + "; y 0 + " 0 ; x) F (y; y 0 ; x)] " dx : F (y + "; y 0 + " 0 ; x) = F (y; y 0 ; 0 "0 + O " ; F (y + "; y 0 + " 0 ; x) F (y; y 0 ; x) lim "! ; di d" = "=0 Z @y 0 0 dx : () Lembrando que 0 = d=dx podemos integrar o segundo membro da expressão acima por partes Z b 0 dx 0 b a Z b a 0 dx : (3) Agora usamos o fato de que a função (x) (apesar de arbitrária) deve se anular nos extremos (a) = (b) = 0 Z b 0 dx dx = Z b a 6 0 dx :

17 Substituindo em () temos di d" = "=0 = Z b a Z b Voltando agora para () temos a di d" = 0 Z dx dx : (4) 0 dx Para qualquer função (x). Isso só é possível se o integrando for d 0 = 0 : Se repetirmos o procedimento acima para uma função F (y ; y ; ::; y 0 ; y 0 ; :::; x) de várias variáveis, obteremos um termo idêntico para a variação independente de cada uma destas variáveis. Ou seja, para variações y i (x) = y i (x) + "y i (x) (onde usamos a notação y i no lugar de para explicitar que a variação é da função y i ) teremos di d" = 0 = "=0 Z i 0 i y i dx ; (5) (somatória em i). Assim, para F uma função de várias variáveis este resultado tem de ser válido independentemente (pois cada y i é arbitrária) para cada = 0 i dx Esta é a chamada equação de Euler. Observe que, no nal, a nossa expressão (4) não depende de ". Além disso, para lembrar que não estamos falando do cálculo usual, as pessoas inventam um novo símbolo para a derivada (mas é apenas um símbolo) di d" I [y] = 0 i Z b a F (y; y 0 ; x) dx : E lesse a variação funcional de I. Ou ainda, usando a notação acima, (5) pode ser escrita como Z I [y] i 0 y i dx (7) a 7

18 e, em analogia com o cálculo ordinário de uma função f (x), costuma-se escrever df = df Z b I dx! I [y] y i dx = dx a y i ou seja, I y i Z b i ; dx 0 i y i dx ; e lesse, a derivada funcional de I em relação a função y i (x) (observe que I=y 0 não faz sentido). Mais uma vez, isso é apenas uma notação 5, mas é importante que você a conheça porque ela é muito usada em livros e artigos. Com isso, nesta simbologia, a nossa expressão ca I [y] = Z b a F (y i ; yi; 0 x) dx = 0 =) I d = y i = 0 ; e lesse que, o fato da derivada funcional de I ser um extremo implica na equação de Euler. 4. Exemplo: a braquistócrona. Um problema variacional bastante famoso, proposto em numa revista cientí ca por Bernoulli em 696, é o chamado problema da braquistócrona (do grego, o tempo mais curto). Imagine dois pontos num plano, (x ; y ) e (x ; y ), se uma força constante for aplicada na direção x e uma partícula de massa m se mover do primeiro ponto ao segundo sob ação desta força, qual o caminho que esta partícula deve percorrer para efetua o trajeto no menor tempo possível? Ou ainda, imagine que você quer colocar um cano para guiar o movimento de uma bolinha e quer saber a forma do cano para minimizar o tempo de percurso. A resposta do problema acima é exatamente a trajetória que a sua partícula terá de fazer. Ou ainda, imagine que você pendure uma corrente entre os dois pontos acima (onde a força é, novamente, a gravidade), que curva esta corrente irá desenhar (esta curva se chama catenária)? Todos estes exemplos se referem ao mesmo problema. Vamos então a sua solução. Para fazer uma referência mais natural a força gravitacional, colocamos os eixos como na gura abaixo. Sabemos que a energia total do sistema T + U se conserva. Colocando o zero do potencial no ponto de início (x ; y ) e considerando que a partícula foi lançada do repouso na direção x (podemos ignorar qualquer velocidade na direção y pois, como não há forças nesta direção, ela se conserva) temos que no ponto inicial E i = T + U = 0 5 Obviamente existe muito mais por trás do cálculo variacional. Mas, se trabalharmos apenas com funções bem comportadas (e.g., diferenciáveis em todos os pontos), na grande maioria dos casos podemos encarar apenas como uma notação. 8

19 Figure : Figura retirada do Marion de Mecânica. Seguindo a analogia da força gravitacional temos F = mg = T = ) U = mgx A conservação de energia nos dá T + U = 0 =) v = p gx : claro que não sabemos a direção desta velocidade, mas, se s é o caminho percorrido pela partícula, onde Finalmente, o tempo vale t = = Z (x;y ) (x ;y ) Z (x;y ) (x ;y ) v = ds dt ) dt = v ds ) t = Z (x;y ) (x ;y ) (ds) = (dx) + (dy) : Z (x;y ) p q(dx) + (dy) = gx s + y 0 gx (x ;y ) dx = p g Z (x;y ) (x ;y ) v ds p gx s + r + y 0 x dx : dy dx dx Ou seja, o nosso problema se reduz a minimizar o funcional (como (g) = é uma constante) Z r (x;y ) + y I = F (y 0 ; x) dx ; F (y 0 0 ; x) = x (x ;y ) 9

20 Onde, neste caso, a função F não depende explicitamente de y. A solução do nosso problema é, então, a função y que obedece a equação de Euler d 0 = 0 : Como, neste caso, F não depende explicitamente = 0 ) @y 0 = 0 = C r + y 0 = x y 0 p x ( + y 0 ) = C : Assim, a curva que a partícula deve seguir y (x) deve ser solução da equação r y 0 xc p x ( + y 0 ) = C ) y0 = xc + xy 0 C ) y 0 = xc ; ou ainda, Fazendo temos s dy dx = xc ( xc ) ) y = a = =C : x = a ( ou seja, a curva procurada é Z x x x p (ax x ) dx ; cos ) ) dx = a sin d Z y = a ( cos ) d ; y = a ( sin ) + C 0 ; com C 0 constante. Com isso, a nossa curva obedece x = a ( cos ) ; y = a ( sin ) + C 0 ; que são as equações paramétricas de uma curva chamada ciclóide. Para x = x = 0 temos C 0 = 0, e o valor de a deve ser ajustado para que a curva passe por (x ; y ). Esta é a forma que o cano deve ter para que a partícula chegue mais rápido em (x ; y ). Se a sua partícula for uma conta guiada por um o (com massa) e você prender o o nos pontos acima o o assumirá exatamente esta a forma que levará a partícula entre os dois pontos no menor tempo, i.e., o o formará uma catenária. A parte da curva entre o ponto (x ; y ) até o seu mínimo é chamada de curva tautocrônica, i.e., é a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em gravidade uniforme até seu ponto de mínimo é independente de seu ponto de partida (este problema foi resolvido por Christiaan Huygens em 659). 0

21 Figure 3: Figura retirada do Marion de Mecânica. Remark 9 Na verdade, como o desenvolvimento deve ter deixado claro, quando resolvemos um problema de cálculo variacional o que encontramos é um extremo (um mínimo, ou um máximo) do funcional. Entretanto, na maioria dos problemas em mecânica estamos interessados (e efetivamente encontramos) um valor mínimo. 4.. Equações de Euler-Lagrange O ponto importante para nós no desenvolvimento acima é o seguinte: suponha que a nossa variável independente é o tempo (x! t) e que a função que procuramos seja a trajetória de uma partícula com coordenada generalizada q(t) (y (x)! q (t)). Além disso, suponha que a função F que estamos integrando seja exatamente a lagrangiana L do sistema. Com isso a Z b a F (y; y 0 ; x) dx! Z b e a expressão (5) toma a forma: Z b L (q; _q; t) dt = 0 =) _q i a L (q; _q; i = 0 : Que é exatamente a equação de Lagrange obtida anteriormente. Por isso estas equações são chamadas de equações de Euler-Lagrange (EL). A integral Z L (q; _q; t) dt S [q] ;

22 é chamada de ação. Usando a linguagem do cálculo funcional, podemos obter as equações de EL se impusermos que a derivada funcional da ação seja um extremo. Esta exigência recebe o nome de princípio da mínima ação (ou princípio de Hamilton). Neste sentido as equações de Lagrange e, consequentemente, toda a mecânica, podem ser construídas a partir do princípio da mínima ação e esta construção é equivalente a mecânica de Newton. Perceba que este é um caminho diferente do seguido no início deste texto. Aqui adotamos o princípio da mínima ação e pudemos mostrar que as equações EL assim obtidas são equivalentes as equações de Newton. 4. Princípio de Fermat O fato da mecânica de Lagrange ser uma conseqüência do princípio da mínima ação tem uma conseqüência crucial na questão do comportamento ondulatório ou corpuscular da luz. Porque todos os resultados da óptica geométrica podem ser obtidos a partir de um princípio muito semelhante chamado princípio de Fermat do tempo mínimo. Este princípio estabelece que ao atravessar meios diferentes, dentre todos os caminhos possíveis o feixe luminoso escolhe aquele que minimiza o tempo da sua trajetória. Este princípio determina todos os efeitos de refração e re exão (ou seja, efeitos que não envolvem interferência). Como analogia, imagine que você está de bicicleta na praia e quer atravessar a avenida da orla para chegar num ponto a 45 o da normal à avenida. Problem 0 Qual caminho você deve seguir para chegar mais rápido? O menor caminho é, obviamente, uma linha reta. Mas, como a bicicleta se move com maior facilidade no asfalto, é conveniente que você passe menos tempo na areia. Porém, se você se mover na direção normal na praia a distância percorrida será muito longa. Encontrar o caminho que minimize este tempo é um problema de cálculo variacional. Assim, a trajetória tanto da luz como das partículas pode ser obtida por um princípio de mínimo de um funcional. Como veremos, desde antes da Mecânica Quântica, este fato foi um indício de um comportamento corpuscular da luz. Exercise Como vimos, a mecânica clássica de um sistema pode ser determinado através do princípio da mínima ação, i.e., através da variação funcional da ação. Isso também é válido em Relatividade. Ou seja, deve ser possível encontrar uma ação que forneça as expressões da Mecânica Relativística. Obviamente, assim como as equações de movimento da Mecânica Clássica são invariantes por transformações de Galileu, as obtidas pela ação Relativística devem ser invariantes por transformações de Lorentz. Uma forma de se garantir isso é exigindo que na ação apareçam apenas invariantes (ou escalares). O primeiro invariante que temos em relatividade é o elemento de comprimento ds = dx dx = dx i c dt :

23 Assim, a ação invariante mais simples que podemos construir para a Mecânica Relativística é Z S = ds ; (8) onde é uma constante. Lembrando que a ação está relacionada com a lagrangiana L através da expressão Z S = L dt ; obtenha a Lagrangeana da ação (8). Em seguida, expanda esta lagrangena em termos de v=c e, mantendo apenas termos de segunda ordem (e lembrando que uma constante não afeta as equações do movimento) e comparando com a lagrangeana clássica para a partícula livre L = m _x ; determine quem é. Em seguida, calcule o momento Parta da de nição e mostre que H = p _x E = _x : L = E q mc : v c 4.3 Equação de Hamilton-Jacob Como vimos, a descrição da dinâmica de um sistema mecânico pode ser dada uma vez conhecia a ação do sistema: S = Z t 0 L dt : Usando agora a de nição da hamiltoniana do sistema, a ação pode ser escrita como: onde com isso S = H = p i _q i L ) S = Z t 0 p i _q i dt Z t 0 Z t 0 p _q i H dt = (p i _q i H) dt Z q q 0 p i dq i Z t 0 H dt 3

24 onde, obviamente, q 0 = q (t = 0) e q = q (t). Na forma acima, para um sistema onde a coordenada q seja conhecida e dado o seu hamiltoniano, a ação não é mais um funcional, mas apenas uma função de q e t. Ou seja, para calcular a ação você resolve o problema mecânico de uma forma qualquer (e.g., resolvendo as equações de Newton) e substitui nas integrais acima. Nestas condições, a expressão acima pode ser escrita como: ds = p i dq i Hdt Além disso, Comparando as duas equações S = S (q; t) =) @t = i = p i : (9) Lembrando agora que H (q; p; t) depende apenas da posição e do momento (e,eventualmente, do tempo), podemos usar as duas expressões acima + H q i ; t = 0 i Ou seja, se pegarmos H (q i ; p i ; t), substituirmos todos os momentos i e depois substituirmos na expressão acima, o que obtemos é uma equação diferencial parcial para a função (agora considerada desconhecida) S (q; t). Resolver esta equação é equivalente a encontrar as trajetórias reais, ou físicas (chamado de setor físico) do problema em questão. Isto é, resolvendo esta equação encontramos S em função de q(t) e, conseqüentemente, q(t). A equação diferencial acima se chama equação de Hamilton-Jacob Ação reduzida Para um sistema conservativo (H é a energia e esta se = H = E ) S = Et + W (q i) ; (3) onde E é uma constante e W uma função apenas das coordenadas. Da expressão acima temos Z Z Z W = S + Et = L dt + E dt = (L + H) dt usando temos H = p i _q i L ) H + L = p i _q i ; Z Z W = p i _q i dt = p i dq i : 4

25 A quantidade W acima se chama ação reduzida do sistema. Para uma coordenada q i periódica e um intervalo fechado neste período, esta é a quantidade envolvida na quantização de Sommerfeld. Ou seja, a quantização de Summerfeld impõe regras de quantização para a ação reduzida das coordenadas periódicas. As expressões acima fornecem mais um método que pode ser usado para resolver problemas em mecânica clássica. Para casos mais simples, como a partícula livre ou o oscilador harmônico, este método não introduz nenhuma facilidade para a resolução do problema mecânico. Entretanto, uma das grandes vantagens do método acima é que ele pode ser sistematizado, de sorte que qualquer problema em mecânica, por mais complicado que seja, pode ser tratado da mesma forma (reduzindo o problema a complicações algébricas). Entretanto, o desenvolvimento destes métodos exigiria a introdução de conceitos como transformações canônicas, variáveis de ângulo-ação etc. Mas estes conceitos fogem um pouco do nosso objetivo aqui (e serão vistos em detalhes no curso de Mecânica Analítica). Assim, infelizmente, da forma que foi apresentado, ca parecendo que não ganhamos nada nesta nova formulação. Isso não é verdade, mas o desenvolvimento completo do método de Hamilton-Jacob foge ao escopo da nossa discussão. Tudo que precisaremos é da forma explicita da equação diferencial acima. 5 Parênteses de Poisson (para Moderna II) Existe uma forma bastante compacta de se escrever as EH através dos chamados parênteses de Poisson (PP). Os PP de duas funções f (q i ; p i ) e g (q i ; p i ) são de nidos como ff; @q i (somatória em i). Vamos calcular os PP de uma função g = g (q; p; t) em relação ao Hamiltoniano fg; @p i Usando agora as eq. de Hamilton temos fg; i ( _q i ) ( _p i _q i + i dq i dt dp i dt 5

26 Lembrando agora que dg dq i dp dt dg dt dq i dt dp i temos _g = = fg; Hg + Se g não depende explicitamente do tempo, i.e., g = g (q; p), temos _g = fg; Hg : Ou seja, calculando os PP de qualquer função da posição e momento com o hamiltoniano temos a variação temporal desta função. Em especial, para as variáveis de posição e momento temos _q k = fq k ; Hg k = i _p k = fp k ; Hg = X i i Ou seja, podemos escrever as i _p k = fp k ; Hg ; _q k = fq k k k Observe que de sorte que Assim, do resultado acima temos ff; gg = fg; fg : fh; hg = 0 : _H = fh; @t Ou, se o Hamiltonianao (a energia) não depende explicitamente do tempo _H = 0 =) H = E = const. A energia do sistema se conserva. Mais ainda, para qualquer quantidade h (q; p) que não dependa explicitamente do tempo, temos que se fh; Hg = 0 =) h = const. 6

27 Quando os PP de duas quantidades é nulo ff; gg = 0 dizemos que estas quantidades comutam. Assim, uma quantidade se conserva se ela comuta com o H. Se calcularmos os PP das próprias variáveis q e p temos fq k ; p m g = i = X i ik im fq k ; p m g = km Que são chamadas regras canônicas de comutação. E as variáveis são chamadas de canonicamente conjugadas. Como vimos anteriormente, as EL mantém a sua forma para qualquer transformação de ponto nas coordenadas. Dos resultados acima vemos que as EH manterão a mesma forma (e, conseqüentemente, descreverão a mesma dinâmica) para qualquer transformação inversível P k = P k (p; q) ; Q k = Q k (p; q) que mantenha as regras canônicas de comutação fq k ; P m g = fq k ; p m g = km : Vemos assim que a liberdade na escolha das coordenadas e dos momentos é na teoria de Hamilton. Transformações que mantém a forma canônica dos PP são chamadas de transformações canônicas. Resumindo:. na MC toda a informação que caracteriza o sistema está contido nas variáveis (q; p). Estas quantidades podem ser desenhadas em um grá co que se chama espaço de fase. Ou seja, dado um ponto no espaço de fase eu sei o momento é a posição do sistema. Diz-se então que pontos no espaço de fase representam os estados físicos do sistema.. Para um sistema conservativo (onde H não depende explicitamente do tempo) toda a dinâmica do sistema (variação temporal das quantidades) depende apenas de H. Dado H a evolução de qualquer quantidade f pode ser calculada pelos parêntese de Poisson _ f = ff; Hg : 3. A liberdade na escolha das coordenadas que descrevem corretamente a dinâmica do sistema está contida nas regras canônicas de comutação fq k ; p m g = km : Estes são os resultados necessários para se entender o processo de quantização canônica. 7

28 6 Óptica geométrica Partindo da equação de onda = 0 ; podemos obter a equação da óptica que descreve a propagação de uma onda num meio, r = 0 ; (3) onde é uma função escalar, c a velocidade da luz no vácuo e n = c v ; o índice de refração do meio. Em geral n = n (x) depende do meio onde a luz se propaga. Para n constante uma solução da equação acima pode ser escrita como (x; t) = 0 exp (if (x; t)) ; f (x; t) = exp [i (k:x!t)] (33) onde o número de onda k = jkj e a freqüência angular estão relacionadas por k = = n! c : Exercise Veri que que a função acima é solução da equação de onda. A quantidade f (x; t) é chama de fase da onda. Para um tempo xo, a região do espaço com f constante é chamada de frente de onda. Por exemplo, em t = 0, toda região do espaço com k:x = c, com c constate, é uma frente de onda Observe também que df = (k: _x!) dt k = n! c = c! v c =! v Problem 3 Mas qual a dependência de x com t? Com o passar do tempo a onda se desloca no espaço. Ou seja, toda uma frente de onda, por exemplo em t = 0, se desloca no espaço. Para nossa onda plana, ou para cada região in nitesimal de uma onda qualquer, este deslocamento é normal a frente de onda. Assim, se ds é o deslocamento desta região ds dt = u ; 8

29 onde v é a velocidade da onda. Assim, se x representa o deslocamento da onda _x = ds dt = u ) k: _x = ku =! u u =! ; com isso df = (!!) = 0 : dt Ou seja, a fase é uma constante. Isso é óbvio dentro da nossa descrição, pois, tudo que estamos fazendo é seguir uma frente de onda e com isso nos deslocarmos numa região que não varia com o tempo. Voltando a equação da onda plana (33) (pana n constante) vamos introduzir a quantidade k 0 jkj n =! c ; onde k 0 é número de onda no vácuo (n = ), temos 6 f (x; t) = exp [ik 0 (n:x ct)] = exp [ik 0 (L ct)] L = n:x (34) onde jnj = n e n aponta na direção original de k. Vamos agora considerar o caso mais geral em que n = n (x i ) depende do ponto no meio. Com isso, L = L (x i ) : Neste caso, obviamente, a onda plana não é mais uma solução da equação de onda, uma vez que as variações do meio destorcem a onda. Vamos procurar por uma solução da equação de onda na forma com = (x i ) exp [ik 0 (L (x i ) ct)] ; (x i ) = exp (A (x i )) =) = exp [A (x i ) + ik 0 (L (x i ) ct)] : As quantidades A e L funções reais a serem determinadas. Vemos que A controla a amplitude da onda. Para o caso de n constante a amplitude é constante. Assim, podemos imaginar que, se n varia pouco (i.e., muito lentamente) a amplitude, e conseqüentemente A, também variarão lentamente. Como para n constante L! nz esta quantidade é chamada de comprimento de onda óptico, ou ainda a eikonal. Calculando o laplaciano de temos r = r exp [A (x i ) + ik 0 (L (x i ) ct)] = r [A + ik 0 L] ; n r = r [A + ik 0 L] + [r (A + ik 0 L)] o ; 6 Lembre-se que na refração de ondas a freqüência não muda, por isso, mesmo que n = n(z), k 0 é uma constante. 9

30 e a @t exp [A (x i) + ik 0 (L (x i ) ct)] = ik 0 = (k 0c) : Substituindo na equação de onda (3) e isolando parte real e imaginária temos r A + (ra) + k0 n (rl) = 0 ; r L + L (ra rl) = 0 : Estamos aqui interessados no caso da chamada óptica geométrica. Isto é, no caso em que o comprimento de onda da luz é muito menor que as dimensões espaciais envolvidas no sistema. Em especial, as características do meio não variam apreciavelmente com distância da ordem de alguns comprimentos de onda. Neste caso, apesar de n não ser constante, podemos a rmar que ele varia lentamente no espaço. Usando então a aproximação da óptica geométrica, de que o comprimento de onda é muito menor que a variação do meio, temos que o termo proporcional a k0 = 4 = 0 é o mais signi cativo da expressão acima. Em especial, a variação espacial de A (x i ) é, por hipótese, pequena. Lembrando ainda que para n constante L = nz, temos que rl = n, ou seja, mesmo nesta aproximação o rl é relevante. Assim, considerando k 0 >> r A + (ra) para todos os pontos dentro do material, para garantir que a primeira equação acima seja satisfeita devemos ter (rl) = n =) jrlj = n : (35) Que obviamente é verdade no limite de n constante. Esta equação é conhecida como equação de eikonal da óptica geométrica. A superfície onde L (x i ) possui o mesmo valor é uma frente de onda e esta onda se desloca na direção da normal desta superfície. Voltando a expressão (34) vemos que a equação eikonal pode também ser escrita usando diretamente a fase da onda, jrfj = n : (36) 6. A óptica e o princípio da mínima ação (Alex Smalla and Kai S. Lam, Am. J. Phys. 79 6, June 0) Como mencionado anteriormente, o princípio variacional fornece um link entre a mecânica clássica e a óptica geométrica. Nesta última a trajetória de um feixe luminoso é dado pelo princípio de Fermat do tempo mínimo. Ou seja, a trajetória que minimiza a quantidade Z b Z b Z b T = dt = a a v vdt = n a c dl 30

31 onde dl = p dx é o deslocamento do feixe. Podemos escrever a equação acima como ct = Z b a ndl = Z b a n p _x dt = S podemos identi car o problema da óptica com o problema mecânico de um sistema com lagrangiana L = n (x i ) p _x : O momento conjugado deste sistema é dado por _x = n _x p _x ou seja e p = n ; (37) p _x = n p _x = L Exercise 4 Veri que as expressões acima. Com isso, temos que a hamiltoniana associada ao sistema é dada por Assim, o cálculo da ação se torna S = Z b a L dt = Z b a H = p _x L = 0 : (p _x H) dt = Z b a p _x dt = Ou seja, a nossa ação é na verdade, uma ação reduzida. Usando agora (37) e p = rs, podemos escrever jrsj = n ; Z b a p:dx que é a nossa equação eikonal. Se usarmos agora a aproximação da óptica geométrica, sabemos que, nesta aproximação, a quantidade S é proporcional a fase da onda e a nossa onda pode ser descrita por = 0 exp (is) ; (38) com uma constante. Observe que S tem dimensão de tempo vezes velocidade, enquanto a fase é adimensional. Assim, S não pode ser a fase, mas apenas proporcional a ela e a constante, além de outras coisas, ajusta as unidades do problema. Resumindo, o princípio da mínima ação da mecânica pode ser usada para descrever o comportamento de uma onda na aproximação da óptica geométrica se identi carmos a ação do problema com a fase da onda procurada. 3

32 7 Mecânica e a óptica geométrica Considere uma partícula de massa m num potencial independe do tempo. Neste caso podemos escrever: Usando agora (9) podemos escrever H (q i ; p i ) = m p i + V (q i ) = E p i + V (q i ) = E =) = m (E V i Assim, a equação de HJ para este sistema pode ser escrita = m (E V i Para coordenadas cartesianas (q i = x i ) podemos ainda escrever (rs) = m (E V ) : (40) Esta equação é formalmente igual a equação eikonal (36) para um meio com índice de refração n = p m (E V ) Esta semelhança foi percebida muito antes do surgimento da MQ. Vamos explorar um pouco mais esta semelhança associando o nosso sistema mecânico (uma partícula) com uma onda. Mas que onda é esta? Bem, comparando diretamente a equação acima com a equação eikonal da óptica, vemos que a analogia seria tratar uma superfície com um dado valor de S como a frente de uma onda. Seguindo esta analogia, associamos então a partícula de massa m num potencial V uma onda cuja frente de onda são os pontos onde S(x; t 0 ) possui os mesmos valores num dado instante t 0. Como S depende do tempo esta frente de onda se deforma e se propaga com uma certa velocidade u u = ds dt onde ds é o deslocamento in nitesimal normal a superfície de valor constante. Estamos interessados em determinar esta velocidade u. Voltando na expressão de HJ (30) e usando o fato do nosso hamiltoniano não depender do + H q i ; t 3 = = E

33 Lembrando agora que (se seguirmos uma frente de onda) a fase da onda é uma região constante (34) ds dt = 0 temos ds + rs: + jrsj u = 0 ou seja jrsj u = E =) u = u = E p m (E V ) E jrsj Ou seja, a nossa partícula, ou uma coleção de partículas não interagentes de mesma massa, num potencial V pode ser descrita por uma onda cuja fase é dada pela ação (ou proporcional a ação) e com a velocidade u acima. Assim, se estamos seguindo uma onda onde a frente de onda tem valor constante S (q; t) isso signi ca que estamos seguindo a onda cuja fase é proporcional a is, usando a expressão (38) com = =~, temos i = exp ~ S onde ~ é apenas uma constante de proporcionalidade. Lembrando que, para um sistema = E =) S (x; t) = W (x) Et : (4) i i = exp ~ S = exp ~ (W (q i) Et) Isso signi ca que a nossa onda tem uma frequência (4)!t = E ~ t =) = E =) E = ~ =) E = h : (43) ~ Além disso, lembrando da relação clássica (39) temos Com o que a relação (??) se torna p i =) p = OS = OW (44) u = E jrw j = E p (45) com p o módulo do momento linear da partícula. 33

34 O seguinte resultado da óptica nos permite relacionar a frequência da onda e seu comprimento com a sua velocidade de propagação u usando (43) e (45) = u =) = u ; = u = E=p E=h =) = h p : (46) As relações (45) e (46) relacionam a energia e o momento da partícula com a sua frequência e o seu comprimento de onda. Esta analogia tem a sua origem em trabalhos de Hamilton de 85, para tratar problemas de óptica. Porém, nesta época, não havia nenhum resultado experimental que pudesse dar uma indicação do valor da constante h e, especialmente, nenhuma razão para crer que esta constante não era zero para uma partícula (uma quantidade cujo comportamento corpuscular fosse indubitável). Mesmo assim, Hamilton teve sucesso em usar este desenvolvimento para a luz, num tipo de tratamento corpuscular, e obter todos os resultados de refração e re exão obtidos por outros métodos da ótpica geométrica. Isso mostrava que, pelo menos em certos limites, a descrição corpuscular de Newton era complemente equivalente a descrição ondulatória de Huygens. Entretanto, como este método não trazia facilidades práticas para o tratamento de problemas (em relação aos demais métodos da óptica geométrica) ele foi praticamente esquecido por décadas. Porém, com o surgimento de hipóteses de um caráter dual (onda-partícula), não apenas da luz, mas também das partículas massivas, estes resultados foram redescobertos por Erwin Schroedinger em A equação de Schroedinger independente do tempo First we have an observation, then we have numbers that we measure, then have a law which summarizes all the numbers. But the real glory of science is that we can nd a way of thinking such that the law is evident. (Feynman Physics Lectures, Vol I) Primeiramente é necessário lembrar que os resultados acima mostram uma compatibilidade entre a mecânica e a óptica apenas para o limite de curtos comprimentos de onda (onde a equação da onda se torna a equação de eikonal que é idêntica a equação de HJ). Desta igualdade Schrödinger supôs que a equação de HJ pudesse ser o limite para curtos comprimentos de onda de uma equação mais geral que descrevesse o comportamento ondulatório das partículas massivas. Para tentar encontrar esta equação mais geral, ele voltou a equação de r = 0 34

35 em seguida ele supôs que, pelo menos para comprimentos de onda curtas, a velocidade da onda associada a partícula deveria ser a velocidade (??) obtida na seção anterior u E = m (E V ) Assim, nossa equação de onda se torna m (E V = r (47) Seguindo o procedimento usual para a solução de equações parciais, podemos separar as variáveis da nossa função de onda (x i ; t) = (x i ) exp ( i!t) Vamos agora supor que a nossa onda tem uma energia bem de nida. Se usarmos agora a hipótese de De Broglie (ou a equação (43)) temos E = h ) E = ~! ) (x i ; t) = (x i ) exp i E ~ t : (48) Substituindo na equação de onda (47) r + m (E V ) = 0 =) ~ ~ m r + V = E : (49) Esta é a celebrada equação de Schroedinger independente do tempo. Ela descreve as funções de onda (os estados) das partículas quando a sua energia está bem de nida, i.e., ela descreve os estados estacionários. Com ela podemos obter a maioria dos resultados da mecânica quântica não-relativística, como o espectro de energia do átomo de hidrogênio. A maior (e talvez mais importante) parte deste curso será o estudo das soluções da equação acima. A obtenção do resultado acima exigiu a suposição de que a nossa onda, e conseqüentemente o sistema, tem uma energia bem de nida. Mas: Problem 5 Se o sistema é conservativo, a sua energia pode variar com o tempo? Problem 6 Isso não seria sempre verdade para qualquer sistema conservativo? Problem 7 O que signi ca dizer que o sistema tem uma energia bem de nida? Lembre-se que a descrição quântica do sistema é uma descrição probabilística. Assim, ao calcularmos uma quantidade qualquer (e.g., a energia), o que obtemos, em geral, é a probabilidade de numa medida desta quantidade obtermos o valor calculado. Ou seja, em geral o sistema não possui o valor bem determinado de nenhuma quantidade física. Além disso, esta probabilidade pode variar com o tempo, de sorte que em certos instantes o sistema tem maior chance de ter uma certa energia e, em outros instantes, uma energia diferente. 35

36 Problem 8 Mas se o sistema é um só, como uma quantidade pode não estar determinada, será que a quantidade está bem determinada, mas nós apenas não a conhecemos? Seria tudo isso como, por exemplo, colocar um dado numa caixa fechada e sacolejá-la? Antes de abrir a caixa e ver o resultado, cada número tem a chance de =6 de ser sorteado. Mas o número já está lá dentro, só que você não sabe. Pelas interpretações da MQ as coisas não são assim. A idéia é que, antes de abrir a caixa, o dado efetivamente não possui nenhum valor de nido. Apenas a sua observação fará com que ele adquira efetivamente este valor. A diferença entre você não saber e o sistema não ter é que este sistema (A) pode in uenciar outro (B) através do valor deste observável e, como veremos, se o valor de um observável não está determinado (ou seja, você não fez nenhuma medida) todos os valores possíveis desta medida in uenciam B (com uma in uência maior ou menor dependendo da probabilidade). Este é um fenômeno de interferência comum na teoria ondulatória, mas que desa a o senso comum numa teoria corpuscular. Assim, a rmar que o sistema tem um valor bem de nido E de um observável signi ca que, se zemos uma medida desta quantidade, obteremos sempre (independente de quando), o valor E. Problem 9 Como é possível a rmar que um observável tem seu valor bem de nido, antes de fazemos a medida? O ponto é que se zemos uma medida de um certo observável (futuramente de niremos melhor este termo) e não perturbamos mais o sistema (i.e., deixamos ele isolado) o valor deste observável não murará. Podemos garantir assim que, se alguém zer uma medida futura, obterá o valor que nós medimos. Chamamos a isso de preparar o sistema num certo estado conhecido. Ou seja, dizer que um sistema tem algum valor bem de nido signi ca, na verdade, que nós preparamos o sistema desta forma. Isto é, em algum momento, alguma medida foi feita. Problem 0 Mas e o dado na caixa, está numa superposição de todos os valores? O ponto é que o dado é um sistema grande o su ciente para o seu comportamento ser completamente determinado pelas leis da mecânica clássica. Assim, mesmo que não tenhamos aberto a caixa, é possível, num ambiente controlado o su ciente, saber o valor do resultado. Num certo sentido, sistemas clássicos são sempre sistemas quânticos preparados (como se estes estivessem sendo medidos constantemente pelo ambiente). Remark Se um sistema está num valor indeterminado de uma grandeza. É completamente impossível saber qual o valor desta grandeza antes da medida ser feita. 36

37 8. A partícula numa caixa Vamos ilustrar a aplicação da ES tratando o caso de uma partícula livre numa caixa. Ou seja, fora o fato de ser con nada dentro da caixa, nenhuma outra força age sobre esta partícula. Assim, vamos usar as idéias da seção anterior para quantizar o sistema unidimensional de uma partícula de massa m num intervalo. Um ponto importante é que este sistema em duas ou três dimensões representa, grosso modo, apenas a aplicação do tratamento a ser desenvolvido para cada dimensão separadamente. Ou seja, nosso sistema não é arti cial. Inicialmente estamos interessados em estudar os níveis de energia que esta partícula pode ter. Estado livre, a energia desta partícula é puramente cinética. Classicamente, uma ver que a partícula pode ter qualquer velocidade dentro da caixa, ela também pode assumir qualquer valor de energia. Além disso, a partícula pode estar em qualquer lugar dentro da caixa. Na descrição quântica, entretanto, veremos que as coisas são um pouco diferentes. Como estamos interessados em estados de energia bem de nidos, o problema que devemos resolver é a ES independente do tempo ~ m r + V = E : Uma vez que, dentro do intervalo (caixa), a partícula está livre, V = 0, e estamos trabalhando em uma dimensão, temos: ~ d m dx = E ; onde E é a energia da partícula. Podemos escrever esta equação como d dx = k ; k = m ~ E : (50) Para que esta equação esteja bem de nida em todos os pontos devemos exigir que a função de onda e sua primeira derivada não tenham descontinuidades (caso contrário, teríamos pontos com energia in nita). Esta é uma equação de segunda ordem, logo ela deve ter duas soluções LI e duas constantes de integração. Estas soluções podem ser escritas como (x) = A exp (ikx) ; (x) = B exp ( ikx) com A e B constantes. Assim, a solução geral do nosso problema é (x) = Ae ikx + Be ikx : Problem Como determinamos as constantes A e B? Estas constantes estão relacionadas com a chamada condição de contorno do problema. Ou seja, precisamos especi car o comportamento da nossa função nos extremos. Até agora, além de fazer V = 0 (uma condição física), 37

38 tudo que zemos foi resolver um problema matemático, mas agora, na xação destas condições, entram as características físicas do problema. Para isso precisamos lembrar o signi cado da função de onda. A quantidade j (x)j ; signi ca a probabilidade de encontrar a nossa partícula na posição x. Sabendo que a nossa partícula está presa na caixa devemos ter j (x)j = 0 para x fora da caixa. Primeiro precisamos colocar um eixo cartesiano no nosso problema e dizer onde está a nossa caixa. Por exemplo, podemos dizer que as paredes da caixa estão em L e L (obviamente isso não in uencia no resultado). Exigindo que a partícula esteja con nada no intervalo de L até L e que a função seja contínua temos (por (50) vemos que descontinuidades da função estariam relacionadas com energias in nitas e não queremos tais casos.) (L) = ( L) = 0 : Problem 3 Quais os valores possíveis de E? Observe que, por ser hermitiano, E R. Entretanto, nada impede que este assuma qualquer valor real e, em especial, valores negativos. Neste caso (E < 0) temos H = jej =) ~ m = jej =) (x) = Ae kx + Be kx ; k = m ~ jej ; Entretanto, para ser solução do nosso problema, a função não deve apenas ser solução da ES, mas respeitar as condições de fronteira, ou ainda (L) = ( L) = 0 ) Ae kl + Be kl = Ae kl + Be kl = 0 : A e kl e kl = B e kl e kl ) A = B Usando esta solução e aplicando novamente a condição de fronteira (L) = 0, temos (L) = A cosh kl = 0 ) A = 0 para L 6= 0. Assim, os estados com E < 0 são descartados por não satisfazerem as condições de contorno. Este resultado é completamente compatível com a física clássica. Porém, como veremos a seguir, os demais resultados são bastante distintos dos esperados classicamente. Voltando agora às nossas condições de fronteira e sabendo que k R temos (L) = 0 =) Ae ikl + Be ikl = 0 =) Ae ikl = A (cos kl + i sin kl) = B (cos kl i sin kl) : Be ikl 38

39 Podemos satisfazer esta igualdade de duas formas sin kl = 0 =) kl = n ) A (cos kl) = B (cos kl) ) A = B ; cos kl = 0 =) kl = n + ) A (i sin kl) = B ( i sin kl) ) A = B : Ou seja, o nosso problema possui dois tipos de soluções estacionárias n (x) = N sin k n x ; k n = L n ) E n = ~ n ; m L + n (x) = N + cos k n + x ; k n + = n + ) E +n = ~ n + : L m L (5) O resultado acima nos mostra que, dentro da caixa, a partícula só pode assumir os níveis de energia E n e E + n. As constantes N são obtidas exigindo que a probabilidade de estar em qualquer lugar da caixa seja 00% Z L N L n dx = : Este processo se chama normalização da função de onda. Remark 4 A normalização é uma necessidade para termos a interpretação probabilística correta. Note, entretanto, que a normalização xa as constantes a menos de uma fase N 0 = e i N ) jn 0 j = jnj ; R : Entretanto, como as quantidades físicas são calculas através do módulo quadrado da função de onda, esta fase não in uencia nos resultados e pode ser xada arbitrariamente. Exercise 5 Obtenha as constantes de normalização N + e N. Além disso, existe um nível mínimo de energia que o sistema pode assumir que é E 0 +. A partícula nunca pode ter energia cinética nula (observe que E 0 = 0 implica 0 (x) = 0 e a partícula não está mais na caixa). Mais ainda, se esta partícula interagir com alguma coisa (e.g., fótons) ela só poderá absorver e emitir energias que sejam proporcionais a diferença entre dois níveis E n!n = E n Em Esta é a chamada energia de transição de n para m. Esta características, que já havíamos encontrado na descrição de Bohr do átomo de hidrogênio, são peculiaridades de qualquer sistema quântico con nado. 39

40 Para todos os casos com energia bem de nida, temos que certas regiões da caixa são proibidas para a partícula. Por exemplo, primeiro estado excitado (x) = N sin L x = 0 ) x = 0; L : Ou seja, a partícula nunca é encontrada no meio da caixa. Assim, temos uma partícula com energia diferente de zero (que classicamente indica que ela está se movendo) presa dentro da caixa (que classicamente indica que ela está indo e voltando na caixa), mas ela nunca está no meio da caixa (que classicamente..., não faz sentido). Vemos aqui que as nossas noções usuais do movimento, ou da trajetória da partícula, não fazem muito sentido na descrição quântica. Por exemplo, imagine que a partícula está no estado fundamental e você o ilumina com uma luz de freqüência, se ~ h < E 0 + E = 3 4 m L ; os fótons simplesmente irão passar pelo sistema (o sistema será transparente). Já se = E 0 + E = 3 ~ : 4 m L o sistema irá absorver este fotos e mudar de nível (ele será opaco para esta freqüência). Na prática o sistema iria posteriormente emitir esta radiação. Existem sistema onde este tempo de emissão é bem longo (ou seja, o estado excitado é bastante estável). Neste caso temos efeitos como fosforescência. Observe também que, de forma geral, E ~ : L Ou seja, se o tamanho da caixa vai para in nito (partícula livre) a diferença dos níveis de energia vão a zero e, conseqüentemente, a partícula pode assumir qualquer valor de energia. Da mesma forma, se tomamos o limite clássico 7 ~! 0 o sistema passa a adotar o comportamento clássico de poder assumir qualquer valor de energia. Remark 6 Observe como a limitação da partícula no intervalo tornou os níveis de energia discretos. Este é o fenômeno por trás do comportamento dos chamados pontos quânticos (QD). Aqui é interessante ver como a realização do nosso espaço depende muito de qual parte do sistema nos interessa. Se no exemplo acima a distância L for muito pequena, os níveis de energia vão estar tão espaçados que para sofrer uma transição de nível precisaríamos fornecer uma quantidade muito grande de energia. 7 Obviamente, como h é uma constante, este limite simboliza apenas que todas as demais grandezas físicas envolvidas (no nosso exemplo, o tamanho da caixa) são muito maiores que h. 40

41 Podemos garantir assim que o sistema não sofra nenhuma transição indesejada (e.g., térmica) e as únicas transições possíveis são aquelas que nós provocamos. Neste caso, apenas alguns níveis de energia são relevantes e podemos tratar o sistema como um problema de n níveis. Ao fazemos isso nosso sistema passa a ter um número nito de estados e passa a ser descrito por uma matriz. Esta descrição matricial é a chamada mecânica quântica de Heisenberg, que veremos no futuro. 8.. Números quânticos Ainda sobre o problema da partícula numa caixa, todas as quantidades associadas ao sistema, exceto a energia, estão indeterminadas, ou possuem a sua determinação associada a uma probabilidade. Ademais, uma vez especi - cada a energia da partícula, sabemos construir a sua função de onda, da qual retiramos todas as informações que a MQ pode nos dar sobre o sistema (e acreditamos que este seja a teoria que mais informações pode nos dar). Dizemos assim que a energia especi ca o estado do sistema. Dentro da notação utilizada, chamamos de E n a energia associada ao sistema. Ou seja, dado o valor de n podemos determinar a energia do sistema e, conseqüentemente, o seu estado. A quantidade n, que especi ca completamente o estado do sistema é chamada de número quântico. Se tivéssemos trabalhado com uma caixa bidimensional, teríamos uma energia associada ao movimento na direção x, com uma energia E n, e outra associada com o movimento na direção y, que poderíamos chamar de E m. Assim, neste caso, o sistema possui dois números quânticos. O mesmo acontecia com a descrição das órbitas elípticas de Sommerfeld, onde precisávamos de números para conhecer o estado do sistema. Remark 7 Assim, números quânticos são quantidades (discretas) que precisam ser especi cadas para se estabelecer o estado do sistema. 8.. Valores médios Sendo j (x)j a probabilidade de encontrar o sistema numa certa posição, podemos também calcular o valor médio da posição do sistema. Basta para isso usarmos a de nição usual de média e multiplicarmos o valor da variável (no caso, a posição) pela probabilidade do sistema possuir aquele valor desta variável. Assim, a posição média do sistema dentro da caixa vale Z Z hxi = x j (x)j dx = (x) x (x) dx : Onde, por razões que se tornarão claras no futuro, usamos a última forma para a expressão. De forma geral, se f(r) é uma função qualquer da posição da partícula (considerada agora em 3D), o valor médio de f pode ser calculado como Z hfi = (r) f (r) (r) d 3 V ; (5) V 4

42 onde V é o volume onde o se deseja calcular a média. Como veremos em detalhes no futuro, um dos postulados da MQ é que as quantidades clássicas observadas nada mais são do que valores médios das quantidades quânticas do sistema Preparação de sistemas e superposição Vamos preparar um sistema com um valor especí co de energia. Imagine para isso um espectrômetro de massa onde atiramos partículas de massa m e carga q conhecidas. Dependendo da velocidade, ou do momento da partícula, ela sofrerá uma certa in uência do campo e se chocará com a parede do dispositivo. Conhecendo a energia cinética da partícula, sambemos exatamente onde ela se chocará. Podemos então fazer um furo que seria alcançado apenas pelas partículas que tivessem uma determinada energia, digamos, E, E = ~ n ; n = : m L Em frente ao furo temos uma caixa para capturar a partícula. As paredes do dispositivo podem ter sensores que detectem a partícula no caso de um choque. Neste experimento vamos jogando partículas com energia desconhecida dentro do dispositivo e, sempre que esta partícula colide com a parede, ouvimos um clique. Quando, não ouvimos este clique é porque a partícula passou pelo buraco. Neste caso sabemos que temos aprisionado em nossa caixa uma partícula no estado (x) = N sin k x ; k n = L : Desta forma podemos preparar o sistema num determinado estado. Obviamente o tamanho do furo é importante, mas podemos aqui pensar num caso onde a diferença no dos níveis é grande o su ciente para sabermos que as energias E + < E e E+ 3 > E representam regiões fora do nosso furo. Imagine agora que os níveis não são tão espaçados assim. De sorte que na con guração atual, tanto as partículas com energia E, com as com energia E + possam ter passado pelos furos. Novamente, em frente a este furo, colocamos a nossa caixa. Problem 8 Qual o estado do sistema na caixa neste caso? Neste caso, a partícula entrará na caixa num estado descrito pela função: (x) = c + (x) + c (x) ; c ; c C : (53) Ou seja, ela não terá mais uma energia bem de nida. Além disso, como veremos no futuro, pelos princípios da MQ o módulo quadrado dos coe - cientes c e c acima são dados pela probabilidade do sistema ser detectado com energia E + e E, respectivamente. Além disso, como estes módulos são probabilidade e sabemos que o sistema estará (com certeza) num estado ou no outro jc j + jc j = 4

43 Por exemplo, se o experimento foi desenvolvido (depende basicamente de quão aleatória é a velocidade das partículas lançadas) para que a partícula tenha exatamente a mesma probabilidade de estar no estado E + ou E, podemos então a rmar que jc j = jc j = Obviamente, isso não xa o valor destes coe cientes, pois jc j = =) c = exp (i) p ; R : (54) A quantidade é chamada de fase do coe ciente. Futuramente trataremos da determinação destes coe cientes. Observe que estamos frisando que a partícula entra na caixa no estado acima. Isso porque, como a energia da partícula não é mais bem determinada ela não está mais num estado estacionário. Ou seja, logo depois de entrar na caixa ela pode já estar num estado diferente. Na obtenção da ES independente do tempo, usamos a seguinte separação de variáveis (48) (x; t) = (x) exp i E ~ t ; e, com isso, obtivemos a ES. Ou seja, o que estamos chamando de é, na verdade, apenas a função (x) acima. Isso signi ca que a função de onda completa do nosso sistema com uma energia E conhecida é (x; t) = (x) exp i E ~ t Agora, a probabilidade desta partícula ser encontrar numa posição x num instante t vale j (x; t)j = (x) exp i E ~ t = (x) : : E não depende do tempo. Por isso, estados com energia bem de nida são chamados de estados estacionários. Agora, para uma partícula no estado (53) acima, temos a seguinte evolução temporal (x) = c + (x)+c (x) =) (x; t) = c + (x) exp i E+ ~ t +c (x) exp i E ~ t : Usando que a probabilidade inicial do sistema ter uma ou outra energia é a 43

44 mesma (54) temos (x; t) = p + (x) exp = p exp = p exp i E + i E + i ~ t + + (x) exp ~ t + + E ~ t + E + ~ t + + E ~ t + " + (x) exp " " + (x) exp " E i ~ t + i i E + E +!# E t + ( ) + ~ (x) exp!# E t + ( ) + ~ (x) exp A probabilidade de encontrar este sistema na posição x num instante t vale " j (x; t)j = + (x) + (x) exp E i E + t + ( )!# : (55) ~ 8 = >< + (x) + (x) + + (x) (x) exp + (E E i ) ~ t + ( ) >: + (x) + (E E (x) exp i + ) ~ t + Como as nossas funções são reais ( j (x; t)j = + (x) + (x) + + (x) (x) cos E +!) E t + ( ) ~ onde a dependência temporal não mais desaparece. Assim, esta probabilidade varia com o tempo e o sistema não está mais num estado estacionário. A parte com dependência temporal oscila cada vez mais rápido, quanto maior a diferença de energia. Ou seja, quanto maior a diferença de energia, menos estacionário (ou, menos estável)é o sistema. Observe também que esta probabilidade depende da diferença de fase ( ). Esta quantidade não possui um análogo clássico e, na verdade, não pode ser medida por nenhum instrumento. Mesmo assim, como vemos acima (e veremos com mais detalhes no futuro), ela pode produzir efeitos mensuráveis. Por causa desta fase, esta descrição difere da probabilidade clássica (que seria apenas a soma das probabilidades). Veja novamente a discussão no capítulo Ondas e Partículas. (56) Problem 9 O que acontece se zemos um furo numa região que não corresponde a nenhum dos valores de E n, por exemplo, entre os valores de E e E +? A princípio pode-se imaginar que nunca capturaremos uma partícula. Ou seja, sempre ouviremos o clique da partícula se chocando com a parede do dispositivo. Mas isso não é verdade. Observe que, se não colocamos a caixa (ou seja, apenas o espectrômetro) detectaríamos o choque de partículas em todas as posições da parede, inclusive 9 >= >; 44

45 na posição correspondente a energia E 6= E + ; E. Assim, o fato de termos ou não colocado a caixa naquele ponto não deve alterar o comportamento das partículas dentro do espectrômetro. Por isso deveríamos realmente esperar que alguma partícula entrasse na caixa. Entretanto, nosso problema e entender como uma partícula que classicamente tem energia E 6= E + ; E será detectada na caixa apenas com energia E + e E. Quando não ouvirmos o clique saberemos que capturamos uma partícula na caixa e, mais ainda, esta partícula estará num estado inicial aproximadamente da forma (53). Onde o módulo quadrado dos coe cientes será tão maior quão mais próximo o furo estiver do estado de energia de nido. Por exemplo, conforme o furo se aproxima de E +, o jc j cresce até que, quando o furo estiver exatamente em E + temos jc j = ; jc j = 0 : Além disso, o sistema (que não está num estado estacionário, pois sua energia não está bem determinada), evoluirá no tempo com a forma aproximadamente (55). Isso signi ca que mesmo que, classicamente, a partícula só possa entrar na caixa se ela tiver uma energia entre E n + e E n, quanticamente ela tem uma probabilidade de entrar (e, ocasionalmente, entrará) se a sua energia não for bem determina, mas compatível com o fato dela entrar na caixa. Neste experimento, sempre que abrirmos a caixa e medirmos a energia da partícula obteremos (sempre) os valores E + ou E e nunca entre estes valores. Problem 30 Mas se detectamos o valor E e para passar pelo furo ela teria de ter uma energia E < E, para onde foi a diferença de energia? Não foi para lugar nenhum! Pense no pior: ela foi detectada na caixa com uma energia E + < E. Problem 3 Como a partícula conseguiu passar pelo furo se ela não tinha energia pra isso? O que acontece com a conservação de energia? O ponto aqui é a descrição quântica jamais a rma que a partícula passou pelo furo, mas apenas que ela está dentro da caixa. Ou seja, a única forma de saber se ela passou pelo furo é colocando um detector lá dentro. Sem fazer isso, tudo que sabemos é que uma partícula entrou na caixa. O problema está em que toda a nossa descrição anterior se baseia na idéia da trajetória seguida pela partícula e, quanticamente, tal idéia dependeria de colocarmos detectores em todos os pontos do espaço e medirmos (e, conseqüentemente, interferirmos) na partícula em cada instante de tempo. Ou seja, na MQ não existe a idéia de trajetória de uma partícula. Além disso, o fato da partícula ter entrado na caixa com uma energia E + menor que a energia clássica necessária para passar pelo furo, não viola nenhuma lei de conservação, pois, em nem um momento, a partícula teve a energia bem de nida E (nunca demos esta energia para ela). O fato de sistemas quânticos fazerem 45

46 coisas que são classicamente proibidas devido a sua energia é bem comum em MQ. Este fenômeno é observado corriqueiramente em laboratório e recebe o nome de tunelamento. Voltaremos a este fenômeno no futuro. Exercise 3 Mas então, como uma partícula que classicamente tem energia E pode ser detectada com energia E + ou E? Para sabermos a energia da partícula precisamos saber onde ela entra no espectrômetro. Esta medida da posição causou uma completa indeterminação no momento, e conseqüentemente, na energia da partícula. O ponto aqui é que, na verdade, como o estado inicial da partícula é desconhecido, a MQ nos diz que esta partícula está no estado = X c + n + n + c n n n De sorte que ela terá uma maior probabilidade de entrar na caixa quanto maior for c + e c. Além disso, ao entrar na caixa, o estado da partícula não foi alterado. Assim, se ela inicialmente, além de um coe ciente c + e c tiver também um coe ciente c + 8 (obviamente pequeno) haverá também a probabilidade c + 8 de se detectar esta partícula com uma energia E + 8 bem maior que E. Exercise 33 Mas e se colocarmos uma caixa com tamanho diferente? Neste caso a decomposição acima não irá mais corresponder ao estado das partículas permitidas dentro da caixa e, para fazer a descrição acima, teremos de uma outra decomposição = X n c n n ; com n 6= + n ; n. Exercise 34 Mas qual das decomposições acima descreve a partícula? Ambas! Na verdade, observando explicitamente as funções n + ; n (5) vemos que as decomposições acima nada mais são que a série de Fourie da função e existem in nitas formas de se decompor a mesma função em séries diferentes. Exercise 35 Mas como a energia clássica E se relaciona com todas estas decomposições? Como veremos mais tarde, as partículas capturadas tem uma energia média igual a E E = hei = X E n + c + n + E n c n : n Além disso, mesmo no caso dos dois furos nas posições correspondentes as energias E + e E, a MQ não apóia a idéia de que a partícula passou por um ou pelo outro furo. 46

47 Remark 36 Observe que a fase em (54) não interfere nos valores médios (5). Como podemos determinar o estado da partícula no caso desta não ter uma energia bem de nida? Neste caso a ES independente do tempo não pode mais ser usada. 9 A equação de Schroedinger dependente do tempo Nosso objetivo agora é encontrar uma equação que descreva não apenas a parte espacial, mas a função completa, ou seja, nós queremos a versão dependente do tempo da expressão acima. A equação (49) só funciona (só é compatível com a equação de onda) para ondas com uma só freqüência (monocromáticas), mas gostaríamos de ter uma maior liberdade na dependência temporal do nosso problema. Para isso precisamos eliminar E (E = h) da nossa equação. Antes de tudo, é importante lembrar que, assim como obtivemos as equações de Einstein, não é possível deduzir de primeiros princípios a equação de onda. Esta equação deve ser proposta com argumentos razoáveis e, posteriormente, comprovada com experimentos. Para isso, primeiro multiplicamos a equação (49) ~ m r + V = E : por exp ( iet=~) e voltamos para a função de onda completa ~ m r + V = E ; (mas esta equação só é válida para as nossas ondas monocromáticas). Se operarmos em ambos os lados desta equação com o operador ~ =m r + V temos ~ ~ ~ m r + V m r + V = m r + V E = E ; ou seja, Agora derivamos duas vezes a equação (48) ~ m r + V = E : (57) (x i ; t) = (x i ) exp i E ~ t ; 47

48 em relação = E ~ exp i E ~ t = E ~ =) E : Substituindo na equação (57) ~ m r + V : (58) Esta equação fornece a equação correta para o caso monocromático, mas, por não depender de E, possui também outras soluções. Entretanto, esta equação possui o terrível inconveniente de ser uma equação de quarta ordem nas coordenadas espaciais. Isso signi ca que as soluções desta equação exigem uma quantidade enorme de condições iniciais e condições de contorno que di cilmente poderiam ser associadas com parâmetros físicos do sistema. Vamos então reescrever a equação anterior na forma onde introduzimos o operador ^H ; Nossa equação pode ainda ser escrita como ^H ^H = ^H = ~ m r + V : (59) : Soluções desta equação pode ser construídas com funções que respeitem ^H = ) m r + V (60) Esta é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Esta equação, diferente da equação de onda usual, é de primeira ordem no tempo e de segunda ordem nas derivadas espaciais. Problem 37 Mas como foi possível reduzir uma equação de quarta ordem numa de segunda ordem? Ao trabalhar com ondas (equações de ondas) é comum usarmos uma função complexa e, no nal, atribuirmos uma realidade física apenas a parte real. Entretanto o caso aqui é um pouco diferente, pois a nossa equação é, na verdade, (58). Se dividirmos em sua parte real e imaginária = P + iq ; 48

49 e substituirmos em (60) ~ = m r + V P + i m r + V Q comparando as partes reais e imaginárias desta equação temos = m r + V Q = m r + V P Podemos agora eliminar P ou Q diferenciando uma das equações acima com relação ao tempo e substituindo na segunda. O que obteremos com isso é que tanto Q como P respeitam a equação (58). Ou seja, temos uma equação de quarta ordem para funções reais, ou um par de equações (acopladas) de segunda ordem para uma função complexa, cujas partes não podem ser separadas. Mas, neste último caso, precisamos das relações acima, o que mostra que, neste formalismo, nós precisamos da função completa = P +iq, i.e., não podemos atribuir um signi cado físico separadamente para a parte real ou a imaginária. Voltemos agora na relação com a óptica geométrica. Lembre que obtivemos os resultados da seção anterior seguindo uma frente de onda de nida pela função S. Além disso, como vimos anteriormente, a nossa onda se relaciona com S por (4) i = exp ~ S ; (6) com = = i i i i i = S : i Substituindo na equação de Schrödinger (60) ou seja, S respeita a equação ~ m + m (rs) + V i ~ r S + = i~ m r S (6) 49

50 Vamos comparar este resultado com a equação de + H q i ; t = i Lembrando que H é o Hamiltoniano da partícula podemos escrever usando (9) rs = p =) H = (rs) m H = p m + V + V + m (rs) + V = 0 (64) As equações (6) e (64) são idênticas a menos do último termo em (6). Lembrando que h = ~ é a constante de proporcionalidade que introduzimos em (4). Em outras palavras, no mesmo sentido que a equação de HJ é um limite para as equações de onda no caso da óptica geométrica, esta equação é também um limite para a ES no caso em que todas as quantidades envolvidas são grandes com relação à h.mais uma vez, a semelhança acima já havia sido percebida por Hamilton. Mas a inexistência de qualquer evidência experimental do comportamento ondulatório das partículas o levou (talvez) a pensar que h fosse zero para partículas massivas. Além disso, ao se tratar sistemas mecânicos usuais, o fato de h ser muito pequeno, em relação às demais quantidades do sistema, faz com que a presença do termo a direita em (6) não in uencie apreciavelmente a dinâmica do sistema. Ou seja, quando h é pequeno, em relação às outras quantidades, devemos esperar um comportamento clássico. Podemos ainda dizer que a equação de HJ representa um limite da equação de Schrödinger quando todas as quantidades envolvidas são muito grandes em relação à h. Isso normalmente é chamado de tomar o limite quando h tende a zero. Obviamente, como h é uma constante, isso deve ser entendido no contexto acima de comparações de grandezas. Além disso, tomar o limite h! 0 é chamado de tomar o limite clássico do sistema quântico. Como, neste caso, a equação que descreve o sistema (ES) se torna a equação HJ, todas as quantidades calculadas através da ES (e.g., energia) deve se tornar os resultados calculados pela mecânica clássica A quantização de Schrödinger e de Sommerfeld Dado um sistema mecânico (clássico) sujeito a um potencial V (x), a ES nos permite construir a descrição quântica deste sistema, i.e., construir a equação de onda que rege o comportamento quântico do sistema clássico em questão. Assim, este é um processo de quantização que podemos considerar como o primeiro processo de quantização geral. Este processo é mais geral que o Sommerfeld por prescindir da existência de uma variável periódica no sistema. Além disso, este novo processo nos permite construir não apenas certas quantidades clássicas (e.g., energia), mas sim a própria função de onda que descreve o sistema (de onde podemos tirar muito mais informações). 50

51 Lembrando agora que a quantização de Sommerfeld pode ser considerada como uma generalização dos processos de quantização anteriores (de Bohr e de Planck), surge a dúvida: Problem 38 Será que a quantização de Schroedinger estaria relacionada com a quantização de Sommerfeld? A resposta é sim! Dado um sistema com uma coordenada (física) periódica, por exemplo, um ângulo, pontos no espaço com coordenada e + representam o mesmo ponto. Pois, uma vez que esta quantidade representa uma posição do sistema, ser periódica signi ca que o sistema revisita periodicamente esta posição. Com isso, seria de se esperar que qualquer função f() que represente uma característica de um sistema físico tenha um único valor de nido neste ponto, i.e., f() = f( + ). Neste caso dizemos que a função f tem valor único, ou que ela respeita uma condição de unicidade. Por exemplo, a função f () = exp (in), n N, respeita esta condição no intervalo de 0 a, pois f ( + ) = exp [in ( + )] = exp (in) exp (in) = exp (in) = f () : Entretanto, isso não ocorre com a função f () = exp (i=), neste mesmo intervalo, f ( + ) = exp i + = exp i exp (i) = exp i = f () : De forma geral, se q é uma variável periódica, podemos testar se uma função f (q) = exp [ig (q)] é de valor único calculando a variação da fase num período completo I dg ; e exigindo que este valor seja proporcional a, I dg = n ; n N : (65) Por exemplo, I f () = e in =) g = g () = n =) dg = f () = e i= =) g = g () = =) I dg = Z 0 Z 0 nd = n ; d = 6= n : Lembre-se agora que a ES foi obtida considerando que a partícula obedece a uma equação de onda na forma (6), i = exp ~ S : 5

52 Para um sistema conservativo temos i i = exp ~ (W (q i) Et) = exp ~ W (q i) exp i ~ Et : Como estamos interessados só na variação da parte espacial, temos g (q i ) = I I ~ W (q i) =) dg = ~ dw Lembrando que W = W (q i ) temos i dq i usando (44) com o que I p i dg = =) dw = p i dq i I ~ dw = I ~ p i dq i : Usando agora a condição de unicidade (65) temos I I I p i dq i = n =) p i dq i = ~n =) ~ p i dq i = nh ; como as variáveis são independentes, podemos respeitar a igualdade acima se, para cada variável, I p i dq i = nh : Que é a regra de quantização de Sommerfeld. Resumindo: Remark 39 A regra de quantização de Sommerfeld é uma conseqüência da unicidade da função de onda. Na teoria de Schrödinger esta unicidade é introduzida à mão, através do estabelecimento das condições de contorno do problema. Ou seja, impor a quantização de Sommerfeld é equivalente a impor condições de contorno que garantam a unicidade da função de onda na teoria de Schrödinger. Como vimos na seção anterior, a discretização dos níveis de energia de uma partícula são uma conseqüência do con namento da posição da partícula, i.e., das condições de contorno do problema. Além disso, assim como a quantização de Sommerfeld permitiu generalizar as orbitas circulares para elípticas. A ES permite impor novas condições de contorno. 5

53 Problem 40 Mas existiria algum sistema físico que não respeita a condição de unicidade? Além do comportamento curioso já veri cado de uma partícula numa caixa, existem quantidade físicas (mensuráveis) com propriedades ainda mais estranhas. Por exemplo, existe uma quantidade que, apesar de poder ser descrita por um vetor, possui a curiosa característica de,, ao ser girada de 360 o., não retorna ao seu valor original, mas ganham um sinal de menos f ( + ) = f () : Estas quantidades são chamadas de espinores e, com as devidas modi cações (teoria de Pauli), podem ser incorporadas na teoria de Schroedinger. Condições de contorno são cruciais para se determinar as características quânticas do sistema. Efeitos curiosíssimos, como o surgimento de forças (mensuráveis) e a possibilidade de se detectar efeitos provenientes da energia do vácuo, uma conseqüência do chamado efeito Casimir, são resultados do estudo das condições de fronteira do sistema. Características gerais da matéria, como o número de prótons do elemento mais pesado, podem estar ligadas aos problemas de condições de contorno. 9. Outras quantizações Voltando agora na expressão (6) = exp i ~ S podemos entender melhor porque o universo, um sistema quântico, se comporta tão classicamente. Voltando a de nição da ação como um funcional, a onda acima pode ser escrita como Z! i b (a; b) = exp L dt ; ~ onde L = L (q; _q; t) é a lagrangeana do sistema clássico correspondente. Ou seja, dado um sistema clássico descrito por uma lagrangiana L, a onda acima fornece a descrição quântica deste sistema. Além disso, se lembrarmos que j (x)j é a probabilidade de encontrar a partícula no ponto x, podemos dizes que Z j (a; b)j = exp i b L (x; _x; t) dt! ; ~ para uma função x (t) qualquer é a probabilidade da partícula sair do ponto a e chegar no ponto b seguindo a trajetória x (t). a a ; 53

54 Figure 4: The Feynman Lectures on Physics Problem 4 Mas então, qual trajetória devemos usar para calcular a ação? Consideremos novamente o experimento de duas fendas com elétrons. Suponha também que o elétron realize uma trajetória clássica. Assim, ao emitirmos o elétron da fonte ele pode chegar ao detector pela trajetória G!! D, que vamos chamar de q, ou G!! D, que vamos chamar de q. Se não zemos nenhuma medida para saber por qual fenda o elétron passou, ele possui igual probabilidade de ter efetuado qualquer uma das trajetórias. Lembrando agora que, segundo os princípios que vimos, a probabilidade nal de um evento é a amplitude quadrada da soma das possibilidades, podemos escrever (a; b) = X i= i exp ~ S i [x i ] ; S i = Z b a L (x i ; _x i ; t) dt : Imagine agora que, na frente da primeira placa, existe uma segunda placa com dois duros. Agora os caminhos possíveis são e, com isso, (a; b) = X X i= k= G!! 0! D G!! 0! D G!! 0! D G!! 0! D ; i exp ~ S ik [x i ] ; S ik = Z b a L (x ik ; _x ik ; t) dt e q ik é a trajetória da partícula quando ela passa pelos furos i e k. 54

55 Para um conjunto de N placas cada uma com N i furos, temos (a; b) = XN XN q = q = :::: N N X q =N i exp ~ S x x :::x N Podemos imaginar agora que a trajetória de uma partícula no espaço se dá no limite de in nitas placas, cada uma com um número in nito de furos. Neste caso as somatórias acima podem ser substituídas por integrais Z Z Z Z i (a; b) lim ::: exp N! ~ S [x] dx dx :::dx N Z i exp ~ S [x] Dx (t) onde agora x = x (t) é calculado em todos os pontos do espaço, ou seja, representa todas as trajetórias possíveis da partícula para ir do ponto a até o ponto b. A operação de integração acima é chamada de integral de trajetória. Este é o processo de quantização formalizado por Feynman baseado numa proposta de Dirac. Problem 4 Mas como se realiza na prática a integral acima? Apesar de extremamente poderoso, o problema do procedimento acima é ainda não existe uma matemática capaz de formalizar o processo de integração acima para o caso geral. Ou seja, ainda não existe uma teoria da medida para integrais de trajetória. Mesmo assim esta integral pode ser calculada para casos particulares e, mais ainda, mesmo sem o cálculo explicito a idéia envolvida neste procedimento permite tirar certas conclusões do sistema. Do exposto acima vemos que, graças ao comportamento ondulatório, todas as trajetórias possíveis para a partícula interferem entre si e o resultado nal desta interferência determina a trajetória mais provável para a partícula. O ponto é que, trajetórias fora de fase (assim como ondas) interferem destrutivamente. Ou seja, trajetórias que forneçam diferentes valores de ação interferem destrutivamente e não contribuem para a trajetória mais provável da partícula. Problem 43 Existe alguma ocasião onde estas trajetórias estão em fase? Para que duas trajetórias estejam em fase basta que a ação calculada em ambas tenha o mesmo valor. Ou, de outra forma, que a ação não varie quando mudamos da trajetória q (t) para q (t). Ora, de todas as trajetórias possíveis, existe apenas uma na qual, trajetórias próximas a ela não modi cam o valor da ação. Esta é exatamente a trajetória obtida pela variação funcional da ação, ou pelo princípio de Hamilton. Assim, quando mais distante a trajetória estiver da trajetória clássica, mais as trajetórias em volta irão cancelar a sua contribuição. 55

56 Ou seja, dentre todas as trajetórias possíveis, aquelas mais próximas da trajetória clássica são as de maior probabilidade de encontrar o sistema 8. Problem 44 Mas, se a probabilidade de encontrar o sistema na trajetória clássica é sempre muito maior que em qualquer outra, devemos então esperar sempre um comportamento clássico? Um ponto importante na descrição acima é que a escolha da trajetória clássica dependeu da interferência de várias trajetórias. Problem 45 Mas o que aconteceria se não houvesse tantas trajetórias possíveis? Consideremos um problema, comum em eletromagnetismo, de uma fonte que emite radiação, com um certo comprimento de onda, esta radiação é colimada e captada por um detector depois de um colimador (Figura). Se tratarmos esta radiação como a trajetória de partículas (fóton) livres podemos a rmar que o caminho que minimiza a ação entre dois pontos quaisquer é uma reta. Assim, se o detector for colocado em frente a fenda (e.g., na posição D da gura), existe uma reta que o liga a fonte e fótons serão detectados. Mas, pela descrição anterior, está linha reta é a trajetória do fóton apenas porque todas as demais, que passam pela fenda (pois apenas estas são possíveis), se interferiram destrutivamente. Desta forma, podemos dizer que o fóton escolheu a linha reta porque todas as trajetórias que passam pela fenda se interferem e esta foi a mais provável. Isso implica, também, que se colocarmos o detector num ângulo não acessível por uma linha reta (posição D 0 da gura) não detectaremos nada. Problem 46 Mas e se não houver tantos caminhos para interferir? Suponha agora que diminuímos o buraco do colimados. Quanto menor este buraco, menos trajetórias são possíveis passando por ele. Acontece que, se este furo é diminuído su cientemente, teremos tão poucas trajetórias para se interferir que trajetórias que antes eram destruídas (por interferência com estas outras) passam agora a sobreviver (i.e., apresentarem uma probabilidade não nula). Nestas circunstancias, trajetórias não físicas para o fóton (no sentido de não minimizarem a ação) passam a ser possíveis. Com isso, nesta situação, podemos esperar que o detector colocado na posição D 0 passe a detectar uma parte da radiação da fonte. E isso realmente acontece! Problem 47 Mas o que signi ca uma fenda su cientemente pequena? Neste ponto o tamanho de referência é exatamente o comprimento de onda da radiação. Para furos da ordem do comprimento de onda, devemos esperar o efeito descrito acima. É nestas condições que os efeitos quânticos se manifestam. 8 Não estamos a rmando que a partícula seguiu uma trajetória especí ca. Apenas que existe uma trajetória na qual, se uma medida da posição da partícula for realizada, temos uma maior chance de, efetivamente, encontrara a partícula. 56

57 Figure 5: The Feynman Lectures on Physics Dentro da descrição do eletromagnetismo, o efeito acima não chama muita atenção. Pois é apenas um efeito de difração de uma onda. Entretanto, na descrição com fótons, a descrição quântica se torna bastante elucidativa. Mais ainda, como sabemos que não há diferença entre partículas e radiação, devemos esperar este efeito também com partículas. Entretanto, neste caso, o comprimento de onda das quantidades é tão pequeno que estes efeitos não são observados no quotidiano. Além da integral de trajetórias, vários processos de quantização (em especial em TQQ) partem da ação clássica do sistema. Por isso, apesar de nos processos de quantização para baixas energias a hamiltoniana apresentar um papel fundamental, nas descrições de altas energias a lagrangiana é que desempenha este papel. Problem 48 Mas a lagrangiana e a hamiltoniana não são ligadas por uma transformada de Legendre? A a rmação acima deixa de ser verdade em alguns casos. Em especial, quando o sistema possui vínculos 9. Neste caso, a esta transformação pode não estar bem de nida. Teorias com este problema são chamadas de Teorias de Gauge. O estudo de Teorias de Gauge é um ponto central da física atual. 9 Aqui a palavra vínculo está sendo usada num sentido bem mais amplo daqueles presentes nos problemas de mecânica clássica usual. 57

58 0 Limite clássico Como vimos, há várias ocasiões onde devemos esperar um comportamento clássico dos sistemas. Vejamos mais um exemplo. Voltemos, mais uma vez, ao problema da partícula numa caixa de tamanho L. Vamos inicialmente analisar este problema do ponto de vista da física clássica. Neste caso, a partícula sempre teria uma velocidade constante e sua posição será dada por x = x 0 + vt : Suponha agora que você não conhece a posição inicial x 0 da partícula. Problem 49 Qual a chance de encontrar a particular numa certa posição da caixa? Ou seja, classicamente quanto vale P (x) dx? Se a velocidade da partícula variasse, poderíamos esperar que, onde ela ca mais lenta (ou seja, a região onde ela gasta mais tempo para atravessar) teria um valor maior de P (x). Como a nossa partícula tem uma velocidade constante, a probabilidade de encontrá-la em qualquer intervalo dx é simplesmente o valor deste intervalo dividido pelo tamanho da caixa (o valor da variável, dividira pelo total de valores que ela pode ter) P dx = L dx : Ou seja, a probabilidade é uma constante. Isso signi ca que, se zermos uma série de cópias da nossa caixa e as abrirmos encontraremos as partículas distribuídas igualmente por toda a caixa. Esta é a previsão clássica. Como vimos anteriormente, a descrição quântica é bem diferente. Existindo pontos onde a partícula pode estar com maior probabilidade e pontos onde ela não pode estar. Entretanto, na descrição quântica, conforme o valor da energia aumenta, surgem mais picos de probabilidade de onde a partícula pode estar. Num caso de energia muito alta para qualquer intervalo dx que tomarmos teremos sempre o mesmo número de picos dentro deste intervalo. Assim, neste caso, a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer região dx é, assim como no caso clássico, uma constante. Assim, para o caso em que n! (E! ), a descrição quântica concorda com a descrição clássica. Mais ainda, para sistemas cuja energia seja muito maior que a ordem de grandeza de h, esperamos um comportamento clássico. Em todo sistema quântico, existe um limite para o qual o comportamento do sistema tende àquele previsto pela teoria clássica. Usualmente este limite está associado ao regime de altas energias. Mas, de forma geral, basta que as grandezas envolvidas sejam muito grandes, em comparação a h. A existência deste limite clássico é chamada de princípio da correspondência de Bohr. Outra característica importante para se analisar este limite é o comprimento de onda de De Broglie. Por exemplo, num gás com densidade a distância média 58

59 Figure 6: Figura retirada do Libof das partículas vale aproximadamente 0 n, n > 0. Assim, para o regime n >> ; devemos esperar que o comportamento deste gás seja descrito pela mecânica estatística clássica (lembre do exemplo da fenda). Mas, para o caso em que n ', uma mecânica estatística quântica deve ser aplicada (este é um assunto da segunda parte do curso). Lembrando que = h p devemos esperar que n ' para valores baixos do momento das partículas. Ou seja, para o limite de baixas temperaturas. Neste regime, fenômenos como super uidez e supercondutividade passam a se mostrar, mesmo em escala macroscópica. Como mencionado no início destas notas, a física clássica começa a apresentar problemas nos limites de (muito) altas e baixas energias. Lembrando que, simbolicamente, podemos tomar o limite clássico fazendo h! 0, as comparações acima nos mostrar que, se um certo resultado quântico não contem h, este resultado deve ser mesmo que o obtido por uma teoria clássica. O exemplo mais famoso é a seção de choque de espalhamento coulombiano. Um tratamento quântico detalhado fornece um resultado que não depende de h e é exatamente igual ao resultado obtido por Rutherford usando teorias clássicas. A equação de continuidade Lembrando a lei da continuidade da carga para o eletromagnetismo temos r : 0 Na verdade, n = =3, mas, para a nossa discussão basta saber que é inversamente proporcional. Este fato é óbvio, pois, se aumentamos a densidade, diminuímos a distância média entre as partículas. 59

60 onde é a densidade de carga e J a densidade de corrente. A leitura desta equação nos diz que toda a corrente que ui para fora de uma região é igual à carga que esta região perdeu. Desde sua origem os testes e aplicações da MQ se referem ao problema do espalhamento de partículas. Ou seja, partículas vindas livremente do in nito interagem momentaneamente com um certo potencial (e.g., outra partícula) e voltam a se propagar livremente. Lembre-se, por exemplo, dos experimentos de Rutherford. Todos os problemas estudados em aceleradores de partículas são desta forma. A interação momentânea da partícula teste com o potencial é chamada de espalhamento. Usualmente neste tipo de processo a forma exata do potencial de espalhamento não é conhecida. Mas este é modelado por certas características principais. Por exemplo, podemos modelar a interação de um elétron com um neutro supondo que o nêutron é uma esfera impenetrável de raio R e usando o potencial 0 ; r R V (r) = ; r < R ; chamado de potencial de caroço duro. A quantização deste potencial fornece bons resultados desde que a energia do elétron não seja muito grande. Na maioria dos processos observamos uma partícula, ou um feixe de partículas, e queremos saber o comportamento deste feixe. Assim, como veremos mais adiante, neste tipo de problema o conceito de conservação da partícula é muito importante (obviamente para os casos onde ela não se desintegra). Por isso é importante buscar por uma lei de conservação semelhante a do eletromagnetismo. A dinâmica de uma partícula é descrita pela ES dependente do tempo ^H @t = i ~ ^H : Usando o mesmo desenvolvimento feito para obter a equação acima, mas partindo do complexo conjugado da função de onda i i = exp ~ S! = exp ~ S ; é fácil mostrar que obedece a equação Observe agora que ^H j usando as duas ES acima j j i~ = =) = = i ~ ^H ; i ~ ^H i + ~ ^H 60 :

61 Para um problema unidimensional j i ~ = ~ m = i ~ m = i m ^H = ~ i ~ + + V (x) ou j Em 3 dimensões j Se de nirmos as quantidades i = 0 + r i ~ m ( r r ) = 0 : J = i ~ m ( r r ) ; = j j ; (66) temos exatamente uma equação de continuidade. Sendo j (x; t)j a probabilidade de encontrar a partícula na posição (x; t) é fácil ver que a quantidade (x; t) acima pode ser como uma densidade de partículas. De nimos assim o conceito quântico de densidade e corrente de partículas J (x; t). Remark 50 Diferença conceitual entre densidade clássica e quântica? Além do fato da densidade das partículas estar relacionada com a probabilidade de onde a partícula está, existe também uma corrente associada a ela. Pelos princípios da MQ esta corrente não pode ser associada diretamente ao movimento da partícula. Por exemplo, uma partícula numa caixa, com energia bem de nida E é descrita por uma função na forma (x) = N sin (kx) exp i E ~ t ; e possui uma densidade (x; t) = j j = jnj sin (kx) ; 6

62 e uma corrente J = i = : Ou seja, mesmo que classicamente pensemos numa partícula andando de um lado para o outro da caixa (consequentemente um uxo na forma J c = v (x)), quanticamente não há uxo algum. Além disso, classicamente a nossa densidade seria diferente de zero apenas num ponto ( c = (x)), mas quanticamente, ela se espalha por toda a caixa. Por exemplo, um elétron de um átomo de hidrogênio in uencia a sua vizinhança como se fosse uma distribuição de carga dada por = j (r)j e não como uma distribuição de carga clássica de uma única partícula c = q (r). Obviamente, como sempre acontece em MQ, existem regimes onde os conceitos clássicos e quânticos concordam. Barreira de potencial nita Vamos agora analisar o problema de uma barreira de potencial nita. Imagine, por exemplo, um circuito como o da gura abaixo: Onde as grades estão ligadas a uma bateria. Na região I temos um potencial constante, que podemos chamar de U = 0. E na Região II temos, novamente um potencial constante U = V > 0. Uma carga se movendo em qualquer uma destas regiões não sofrerá a in uência de nenhuma força. Agora, se uma carga (positiva) tentar se mover na Região III entre as placas, sofrerá uma força constante F = qe, dada por um potencial U = Ex. O grá co deste potencial seria algo como: 6

63 Classicamente uma carga na Região I só poderia penetrar na Região II se ela tiver energia su ciente para vencer a barreira de potencial, ou seja, apenas se ela possui uma energia E > V. Se uma carga com E < V viaja pela Região I, ao chegar na Região III ela seria desacelerada até ser re etida de volta. Além disso, toda a carga com E > V passaria pelo potencial. Vejamos agora o que nos diz a descrição quântica deste problema. Para simpli car bastante o nosso problema, nós jogamos as duas placas externas para o in nito e fazemos D! 0 ou, o que dá no mesmo, fazemos V >> D. Com isso, o potencial tem a forma da gura abaixo Então agora temos apenas duas regiões. A Região I será aquela onde o potencial vale zero, U = 0, enquanto na Região II, temos U (x) = V. Assim, nesta descrição, temos também duas ES, uma para cada região. Assim como no caso da partícula livre, imaginemos que a partícula possui uma energia bem de nida, i.e., vamos estudar a ES independente do tempo para este problema. Na Região I: 63

64 ~ d m dx + U = E! ~ m 00 I = E I =) I 00 = k I ; k = m ~ E : (67) A solução deste problema é o mesmo da partícula livre, ou seja, podemos escrever a solução como: I = A exp (ik I x) + B exp ( ik I x) : As duas soluções acima representam ondas viajando na direção x (k I = ^x) e x ( k I = ^x). Já para a Região II temos: ~ d m dx + U = E! 00 II = ~ d m dx + V II = E II k ; k = m (E V ) : (68) ~ Note que, apesar de ambos serem constante, k 6= k. Assim, a solução da equação diferencial acima é a mesma da anterior, mas, como veremos, o comportamento destas soluções é bem diferente. Ou seja, II (x) = C exp (ik x) + D exp ( ik x) : Nosso objetivo é saber o que acontece com uma partícula que vem da região I, viajando para a direita, quando esta encontra a barreira de potencial. Assim, podemos simpli car ainda mais o nosso problema fazendo D = 0. Observe que a partícula pode vir pela direita, ser re etida pela barreira e voltar viajando 64

65 para a esquerda, por isso não fazemos B = 0. Com isso, as soluções procuradas têm a forma I (x) = A exp (ik x) + B exp ( ik x) II (x) = C exp (ik x) As soluções acima representam a composição de 3 onde distintas:. i = A exp (ik x) descreve uma onda plana que vem do in nito ( ) em direção a barreira (nossa partícula inicial).. t = C exp (ik x) descreve uma onda que atravessou a barreira e se move para a direita. 3. r = B exp ( ik x) descreve uma onda para a esquerda. Como inicialmente só temos partículas vindas da direita, esta onda só pode descrever uma onda (ou uma partícula) que foi re etida pela barreira. Da descrição acima vemos que jcj é a probabilidade da nossa partícula atravessar a barreira (pois se jcj = 0 ) j II j = 0 e não há partícula na região II), enquanto jbj é a probabilidade da nossa partícula ser re etida pela barreira. Se a partícula foi re etida ela volta com a mesma energia E e se ela atravessou ela agora terá uma energia E V. Podemos associar ao sistema então uma corrente J i da partícula (ou das partículas) incidentes. Usando (66) J i = i i i i = i ~ ik jaj = m m k jaj Lembrando que, pela relação de De Broglie (ou pela de nição de k) p = h = h k = ~k ; a quantidade ~k é o momento da nossa partícula incidente. Assim, se associamos a partícula uma velocidade (clássica), v = p=m, a quantidade J i pode ser escrita como J i = ~k m jaj (^x) = p m jaj (^x) = v jaj (^x) : Além disso, lembrando a nossa de nição quântica para a densidade de partículas temos = j j ) i = jaj J i = v i Que é exatamente a expressão clássica para a corrente de uma distribuição com densidade e velocidade v. É necessário ter em mente que, apesar das 65

66 descrições baterem, a interpretação por detrás destas equações é bem diferente. Enquanto classicamente esperamos ter uma in nidade de partículas distribuídas uniformemente no eixo x (pois i é constante), e cada uma com velocidade v. Quanticamente podemos ter apenas uma partícula com momento ~k que possui a mesma probabilidade de ser encontrada em qualquer lugar do eixo x. Lembre-se que a solução com energia de nida é uma onda estacionária que ocupa (sempre) todo o espaço. Quando o número de partículas é grande estas duas interpretações fornecem resultados equivalentes. Entretanto, levando adiante esta analogia, podemos ainda de nir uma corrente para as partículas re etidas J r J r = ~ m k jbj ( ^x) : O coe ciente de re exão R de um meio mede exatamente a fração da corrente incidente (ou da intensidade da onda incidente) que este meio é capaz de re etir. Assim: R = jj rj jj i j = jaj jbj : Se pensarmos apenas em termos de ondas (como eletromagnéticas) a expressão acima simplesmente nos diz que o coe ciente de re exão de um meio é a razão entre a intensidade da onda re etida e da onda incidente. Da mesma forma, podemos de nir uma corrente transmitida J t J t = ~k m jcj (^x) ; e determinar o coe ciente de transmissão do nosso potencial T = jj tj jj i j = k k jcj jbj : Se o nosso sistema consiste numa in nidade de partículas, emitidas uma após a outras, os coe cientes acima nos dizem a proporção destas partículas que irá atravessa ou será re etida pela barreira. Estes efeitos são facilmente observados com a luz em meios translúcidos. Mas veja que agora, a expressões acima são válidas para uma única partícula (massiva, ou um fóton). Esta descrição é completamente diferente da clássica que a rma: se partícula tem energia maior que a barreira ela passa, caso contrário ela não passa. Falando novamente sobre fótons, vemos que o comportamento clássico (observado em meios translúcidos) é esperado para um sistema constituído com um grande número de partículas. Neste sentido a teoria clássica da luz funciona perfeitamente bem para intensidades altas, mas, para baixas intensidades, precisamos da teoria quântica. Baixas intensidade (apenas alguns, ou mesmo um único fóton) só foram alcançados em equipamentos mais modernos. Vemos que, no caso da luz, o limite clássico está relacionado com altas intensidades. 66

67 Bem, voltemos agora a nossa descrição quântica. Para determinarmos os coe cientes R e T da nossa barreira, precisamos obter as razões entre as intensidades da nossa função de onda, ou seja, determinar a razão entre as constantes da nossa equação diferencial. Assim como no caso da partícula na caixa, para determinar as constantes acima precisamos impor condições de contorno no problema. Mais uma vez, não queremos descontinuidades na função de onda (pois isso estaria associado com uma energia in nita). Além disso, como a ES independente do tempo envolve uma derivada segunda, pela mesma razão não queremos uma descontinuidade na primeira derivada da função de onda. Matematicamente estas exigências são necessárias para que as equações diferenciais façam sentido. Assim, devemos impor as condições Com isso I (0) = II (0) ; 0 I (0) = 0 II (0) ; A + B = C Resolvendo para C=A e B=A temos ik (A B) = ik C =) A B = k k C C A = h i ; + k k B A = k k + k k Com isso, nossos coe cientes se tornam T = 4k =k ; R = k =k + k + k =k k Usando (67) e (68) r k = k V E Vamos primeiro analisar o caso em que E V E V ) V E ) 0 k k : Como era de se esperar h T + R = k =k + + (k =k ) i = (69) + k k onde usamos explicitamente k =k. 67

68 Figure 7: Libo Para o caso especial E = V T = 0 ; R = temos uma re exão total da partícula. Conforme E cresce o coe ciente de transmissão vai aumentando enquanto o de re exão vai diminuindo. Observe que, apesar do coe ciente de transmissão aumentar com a energia (o que é natural), o comportamento é completamente diferente do esperado classicamente. Pois, mesmo que a partícula tenha uma energia E > V ela tem uma probabilidade de ser re etida pela barreira. Ou seja, se jogarmos várias partículas com uma energia E > V detectaremos algumas sendo re etidas pela barreira. No nosso exemplo da carga atravessando o campo, a nossa partícula tem energia cinética su ciente para vencer o campo, mas, mesmo assim, ela é re etida. Vejamos agora o que ocorre quando E < V. Neste caso, a ES na região II se torna d dx II = Cuja solução vale m ~ (E V ) II = d dx II = m ~ (V E) II 00 II = II ; = m (V E) > 0 ~ II (x) = C exp ( x) + C 0 exp (+x) ; > 0: Problem 5 Qual dos sinais acima usar? 68

69 A resposta para esta pergunta permite analisar uma série de características (físicas e formais) da MQ. Vamos considerar que a solução geral seja uma combinação linear dos dois sinais. Neste caso, conforme nossa onda se aproxima do in nito teremos: II (x! ) ' C exp (x)! Fisicamente isso signi ca que a partícula sempre seria encontrada no in- nito, ou seja, a probabilidade dela estar no in nito (e conseqüentemente ser transmitida seria sempre maior que qualquer outra probabilidade nita). Obviamente isso não acontece, o que nos permite (com argumentos físicos) escolher o sinal de menos na exponencial. Matematicamente o mesmo argumento a rma que uma função de onda este fato está relacionado com não podermos normalizar a função de onda acima. Assim, entre os postulados da MQ, temos que os estados físicos do sistema são dados por funções de onda que respeitam Z j (x)j dx < Ou seja, cuja probabilidade de serem encontrada em todo o espaço seja nita. Dizemos que as funções permitidas são de quadrado integrável, ou, mais tecnicamente, que elas pertencem ao espaço de Hilbert. Com isso temos II (x) = C exp ( x) : Podemos continuar usando todos os resultados anteriores fazendo e substituindo k por i. Com isso 00 II = = (i) II Se de nirmos i k B A = + i k lembrando que =k R, temos B A = z z =) R = z = + i k B A Ou seja, neste caso a partícula é sempre re etida. Para obter o coe ciente R vamos usar, T + R = ) T = 0 : = z = : z Entretanto, precisamos ver que este resultado continua válido para E < V (lembre-se que, para obter o resultado (69) acima, usamos explicitamente 69

70 E V ). Neste caso é necessário notar que no processo de espalhamento que estamos estudando todas as correntes são constantes. O que, pela equação de continuidade, signi ca que r @t = 0 : Para o caso de uma partícula, este resultado não é nada intuitivo com a nossa visão clássica. Pois não podemos imaginar a partícula entrando nem saindo de nenhuma região. Mas lembres-se que, enquanto você não detectar a partícula ela é uma onda no espaço todo. O resultado acima nos diz que com isso Z Mas sabemos = dx = J J = 0 : J = J i J r com isso J t J = J t J i + J r = 0 =) J t J i + J r J i = =) T + R = : Assim este resultado é válido para qualquer corrente estacionária. Com isso, para E < V, temos R = =) T = 0 Ou seja, para energias menores que a barreira todas as partículas são re etidas. Este último resultado concorda plenamente com o esperado classicamente. Podemos obter este resultado também diretamente da solução II (x) = C exp ( x) =) II () = 0 Ou seja, não podemos encontrar nossa partícula muito longe da barreira e, consequentemente, não há corrente J t nesta região. Além disso, como a corrente é estacionária, J t 0. 3 Barreira quadrada Vamos analisar agora um problema um pouco mais complicado, mas muito mais interessante. Imagine agora que o nosso potencial não continua constante até o in nito, mas volta a cair num certo ponto. Ou seja, a nossa partícula vem livre até x < a (U (x < a) = 0), sofre a ação de um potencial em x = a (U = V ), 70

71 Figure 8: Libo mas a in uência deste potencial torna a desaparecer numa certa distância a (U (x > a) = 0). Temos agora 3 regiões de interesse e, para cada região, temos a seguinte ES independente do tempo I (x) = Ae ikx + Be ikx ; k = me ~ ; x < a II (x) = Ce ikx + De ikx ; k = m ~ (E V ) ; a < x < a III (x) = F e ikx ; x > a Onde, na última função de onda, usamos novamente que estamos interessados apenas no espalhamento de uma partícula vinda da esquerda. Mais uma vez, estamos interessados no estudo dos coe cientes de transmissão T e re exão R deste potencial T = F A ; R = B A Mais uma vez, os coe cientes estão relacionados pela continuidade da função 7

72 e sua derivada nos pontos a B C D e ika + e ika = e ika + e ika A A A B C D k e ika e ika = k e ika e ika A A A e a, C D F e ika + e ika = e ika A A A C D F k e ika e ika = k e ika A A A Resolvendo estas equações para F=A, B=A temos: F A = eika B A = i F A cos (k a) i k + k k k k k sin (k a) Exercise 5 Obtenha as expressões acima. k k sin (k a) Usando a segunda das relações acima podemos escrever B A = F A k k 4 k k sin (k a) e suando a relação T + R = F A + B A = =) B A = F A temos T = A F = k k 4 k k sin (k a) + 3. Primeiro caso E > V Para E > V temos k = me ~ > 0 ; k = m ~ (E V ) > 0 k k =) k k k k k = k = E (E V ) k k V 7

73 com isso 4E (E V ) T = V sin g p E V + 4E (E V ) ; E > V r m g = a ~ (70) Onde agrupamos todas as características da partícula e da espessura da barreira na constante g. Mais uma vez temos o comportamento descrito anteriormente de que, mesmo para energias mais altas que V, a partícula pode ser re etida pelo potencial. Além disso, a transmissão é total (T = ) sempre que a diferença entre a energia e o potencial valer: E V = ~ n 4E (E V ) =) T = m a 4E (E V ) = Ou seja, quando a barreira respeita a relação acima ela se torna transparente para as partículas. Usando k = ; podemos escrever a relação anterior como ak = n =) a = n quando o comprimento de onda da partícula é metade do tamanho da barreira. Esta relação pode ser usada para medir a espessura da barreira. Para energias muito altas Quando E! V temos E! + V ; sin T! T = ; E! : g p E V! g p E V ; V 4E g + = g < : V + Agora temos que para energias próximas ao valor do potencial o coe ciente de transmissão não mais se anula. Além disso, para uma barrira in nita (V! ), ou uma barreira muito longa (g!, que é o caso analisado anteriormente), temos (como esperado) T = 0. 73

74 3. Segundo caso E < V Analisemos agora o caso para E < V. Novamente podemos aproveitar toda a álgebra desenvolvida anteriormente fazendo a substituição k = m ~ (E V ) i = k ) = m ~ (V E) = k : Observe então que antes e depois da barreira temos ondas (oscilantes) enquanto dentro da barreira a função de onda decai exponencialmente. Assim, devemos esperar um comportamento como o da gura abaixo. Onde a amplitude da onda depois da barreira e tão menor quanto mais longa a barreira. Libo Com isso temos: T = (i) k sin (ia) + 4 k i = k 4 k i sinh (a) + = 4 + k k sinh (a) + usando temos T = + k k = V p E (V E) 4E (V E) V sinh g p V E + 4E (V E) ; E < V 74