DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO ELÉTRICAS PEA-2211: INTRODUÇÃO À ELETROMECÂNICA E À AUTOMAÇÃO

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1 PEA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO ELÉTRICAS PEA-11: INTRODUÇÃO À ELETROMECÂNICA E À AUTOMAÇÃO Produção de Forças 1

2 Introdução à Eletromecânica e à Automação PEA11 Produção de Forças Introdução O objetivo desta experiência é analisar e equacionar forças em dispositivos eletromecânicos. Há diversas formas possíveis para o cálculo de forças em dispositivos eletromagnéticos, como por ( ) exemplo, o uso da expressão da força de Lorentz F = q ( E + v B) ou pela expressão de força sobre um condutor de corrente imerso em um campo magnético (F = Il B). No entanto em dispositivos eletromecânicos, o uso do princípio da conservação de energia é extremamente útil pela sua simplicidade para a análise e equacionamento de problemas que envolvam forças. O Princípio de Conservação de Energia e a Conversão Eletromecânica de Energia Equipamentos que realizam conversão eletromecânica de energia, ou seja, transformam energia mecânica em elétrica (ou vice-versa), possuem esta capacidade graças à sua capacidade de armazenamento de energia em campo magnético ou em campo elétrico. Vamos dar ênfase aos equipamentos que tem capacidade de armazenamento de energia na forma de campo magnético. É importante lembrar que sistemas reais realizam conversão de energia elétrica em mecânica (ou vice-versa) sempre com produção de calor, ou seja, perdas. O equipamento pode ser um motor, um gerador ou um pequeno atuador, mas as perdas sempre estarão presentes. As perdas em um dispositivo são de natureza bastante distintas. Apenas para citar, pode-se encontrar em um equipamento perdas joule nos enrolamentos, perdas nos núcleos ferromagnéticos e perdas mecânicas, tais como o atrito. Sob a ótica do Princípio da Conservação de Energia, é possível a identificação de quatro tipos de energia durante o processo de conversão eletromecânica de energia: 1. A energia mecânica. A energia elétrica 3. A energia armazenada na forma de campo magnético 4. As perdas Assim, ao se aplicar o Princípio de Conservação de Energia a um sistema eletromecânico, obtém-se a seguinte expressão: Energia Elétrica Energia Mecânica Variação de Energia fornecida pela fonte = + fornecida pelo sistema Magnética do Sistema + [ perdas] (1.1) de 14

3 Introdução à Eletromecânica e à Automação PEA11 Produção de Forças É usual que se assuma, sem perda de generalidade, que o único tipo de perda existente é a perda joule. Desta forma, a expressão (1.1) para um intervalo de tempo infinitesimal dt, pode ser colocada na forma: dw elet Em que: = dw + dw + r I dt (1.) mec mag J J J dwelet é a energia elétrica introduzida no sistema no intervalo de tempo infinitesimal dt; dwmec é a energia mecânica cedida pelo sistema no intervalo de tempo infinitesimal dt; dwmag J J J é a variação de energia magnética armazenada no intervalo de tempo infinitesimal dt; r I dt é o somatório das perdas joule em todos os enrolamentos no intervalo de tempo infinitesimal dt. Para a análise de um dispositivo que realiza conversão eletromecânica de energia, torna-se necessário detalhar cada uma das parcelas de (1.). Nesta experiência o equacionamento será aplicado a um sistema de translação, que possui uma única bobina de alimentação. O Princípio da Conservação de Energia pode também ser aplicado a sistemas de rotação e para equipamentos que possuam mais de uma bobina, mas isto será objeto da próxima experiência. Princípio de Conservação de Energia aplicado a um Sistema de Translação O dispositivo a ser analisado neste item é mostrado na Figura 1. Trata-se de um sistema de translação (eletroímã) em que, ao se impor tensão v( à bobina, observa-se circulação no enrolamento de uma corrente de valor i(. Conforme visto na experiência de Circuitos Magnéticos, nesta situação estabelece-se fluxo no circuito magnético de valor φ (, que pode ser calculado através do conceito de relutância do circuito magnético, uma vez que o número de espiras, o valor de corrente, as dimensões do dispositivo e as características dos materiais são conhecidos. 3 de 14

4 Introdução à Eletromecânica e à Automação PEA11 Produção de Forças Mola Parte Móvel Área de Fluxo (S) x Parte Fixa Bobina de N espiras R e( i( v( Figura 1 O Eletroímã A função da mola neste exemplo é manter fixo o espaçamento entre a peça móvel e a peça fixa. A esta região dá-se o nome de entreferro, que é um termo bastante usual na literatura de máquinas elétricas e atuadores eletromagnéticos. Note na figura que a região do entreferro possui um espaçamento entre a peça móvel e a peça fixa de valor X, área de passagem de fluxo igual a S e permeabilidade magnética igual à, uma vez que a região está localizada no ar. Conforme iremos observar, a tendência do sistema eletromagnético é realizar trabalho mecânico no sentido de diminuir o entreferro, ou seja, o sistema tende a produzir força para impor o máximo fluxo ou para alcançar a mínima relutância. Para a determinação do valor da força desenvolvida pelo eletroímã, torna-se necessário detalhar cada uma das parcelas de energia envolvidas no processo de conversão: dw elet = v( i( dt (.1) dw mec = F( dx (.) Perdas joule = ri dt (.3) Se o fluxo concatenado com a bobina vale λ( = Nφ(, sabe-se de Circuitos Elétricos que: dλ dφ v( = r i( + e( = r i( + = r i( + N dt dt (.4) 4 de 14

5 Introdução à Eletromecânica e à Automação PEA11 Produção de Forças e portanto a equação (.1) pode ser colocada na forma: dw elet = i( dλ + ri ( dt (.5) Apenas para simplificar a obtenção da expressão da variação da energia magnética adota-se mais uma hipótese: o circuito magnético do sistema em análise é linear. Esta hipótese é razoável, uma vez que a relutância do circuito magnético no ferro é sempre muitas vezes menor do que a relutância do circuito magnético no ar 1. A relutância do ferro será então desprezada e considera-se que toda força magnetomotriz produzida pela bobina será aplicada sobre a relutância do entreferro. Como toda a relutância do circuito magnético passa a ser igual à relutância do entreferro, cuja permeabilidade magnética é constante, então para um valor de entreferro fixo tem-se sempre relação fluxo-corrente linear. Matematicamente, pode-se escrever que o fluxo concatenado com a bobina é diretamente proporcional à corrente na bobina: λ(x, = Nφ( = L(x) i( (.6) A Figura propicia a análise gráfica da expressão (.6) e torna mais clara a compreensão do fenômeno físico. Nota-se que, ao se impor uma corrente de valor I ao enrolamento, o fluxo concatenado dependerá somente do valor do entreferro x na seguinte forma: quanto menor o entreferro, maior a capacidade de produção de fluxo (X 1 < X ). Note que as duas curvas são retas porque se desprezou a queda de força magnetomotriz no ferro. 1 Apenas para ilustrar, admita que o comprimento do circuito magnético no ferro na Figura 1 seja igual a 6 cm e que o valor do entreferro seja igual a.5 mm. Um valor típico de para Ferro é 1 Ar, cujo valor é 4π 1-7 H/m. Se a área de fluxo (S) do dispositivo é igual a 5 cm, tem-se: x ferro x R ferro = = 95x1 3 ar A/Wb e Rar = = 795,8 x1 3 A/Wb, ou seja, a relutância do ferro é quase 1 vezes menor Ferro S ar S que a do ar. Logo, a queda de força magnetomotriz no ferro é muito menor que a queda de força magnetomotriz no ar. Vale a mesma conclusão para a energia magnética armazenada. 5 de 14

6 Introdução à Eletromecânica e à Automação PEA11 Produção de Forças Fluxo X 1 λ 1 X λ Corrente Figura Relação entre fluxo concatenado e corrente A energia magnética armazenada no campo magnético pode ser descrita na forma: λ W mag = idλ (.7) λ 1 I Observe que em um gráfico como o da Figura, que relaciona o fluxo concatenado com a corrente, a energia magnética corresponde à área à esquerda da curva. A Figura 3 auxilia o entendimento do cálculo da variação da energia magnética armazenada, admitindo-se que durante o movimento de x até x + dx a corrente na bobina se manteve fixa. Figura 3 Energia magnética armazenada, fluxo concatenado e corrente. Assim, ao se admitir que o valor da corrente não se altera durante o intervalo de tempo dt em que se modifica a posição da parte móvel, o valor de dw mag deve ser calculado como a diferença dois 6 de 14

7 Introdução à Eletromecânica e à Automação PEA11 Produção de Forças valores de energia magnética armazenada: o primeiro deve ser calculado quando o entreferro vale x e o segundo deve ser obtido quando o entreferro passa a valer (x+dx). Observando-se a figura 3, nota-se que o primeiro valor de energia é igual à área do triângulo OAB e que o segundo valor de energia é igual à área do triângulo OCD. Do gráfico, nota-se que a primeira área vale 1 i λ 1 e a segunda vale 1 i λ. A variação de energia é, portanto, igual à 1 ( ) 1 Wmag = i λ1 λ = i λ, o que permite afirmar, para um deslocamento dx infinitesimal que: 1 dw mag = idλ Inserindo em (1.) as equações (.), (.3), (.5) e (.8), tem-se: (.8) 1 i ( dλ + ri ( dt = i( dλ + F( dx + ri ( dt (.9) o que resulta em 1 dλ 1 d( L( x) i( ) 1 dl( x) F( = i( = i( = i ( (.1) dx dx dx Note que a força atua no sentido de aumento da indutância da bobina, ou seja, tenta fazer com que a relutância seja diminuída e que o fluxo seja incrementado. Sabe-se que o valor da indutância da bobina pode ser colocado na forma = N / R= N S/ x, L desde que o entreferro seja um paralelepípedo de altura x, base S em que a indução magnética é uniforme (a expressão R = / Sé válida somente nestas condições). x Observe que a hipótese é bastante conveniente para fins de cálculo, mas veja as restrições abaixo: Logo há linhas de campo fora do paralelepípedo definido por (x, S), denominado espraiamento de fluxo o valor da indução magnética no entreferro não deve ser constante nem todas as linhas de campo produzidas pela bobina devem passar pelo entreferro L = N S/ x fornecerá um valor aproximado de indutância. Utilizando-se a expressão (.1), obtém-se: 1 Ni( F( = ( ) S (.11) x A análise da expressão (.11) mostra que fixado o valor da corrente, a força mecânica é inversamente proporcional ao valor do entreferro ao quadrado. Note também que a força mecânica é diretamente proporcional ao quadrado da força magnetomotriz ( Ni ( ) aplicada ao circuito magnético. Lembre que neste caso a indutância da bobina vale L = N R 7 de 14

8 Introdução à Eletromecânica e à Automação PEA11 Produção de Forças Lembrando que, por hipótese, toda a força magnetomotriz (fmm) é aplicada no entreferro, então o valor Ni ( / x é igual ao módulo do vetor campo magnético (H) no entreferro. Desta forma, é possível obter expressões alternativas para a força, tais como: 1 F( = ( H ( ) S (.1) 1 ( ϕ( ) F( = (.13) S 1 ( B( ) F( = S (.14) As expressões apresentadas em (.11), (.1), (.13) e (.14) podem eventualmente criar falsas conclusões. Por exemplo: o O fechamento do eletroímã corresponde matematicamente a fazer x = em (.11), o que aparentemente implica força mecânica infinita. Este resultado é fruto das simplificações adotadas, em que se admite que o circuito magnético da bobina possui apenas uma única relutância, que corresponde à relutância do entreferro. Quando a relutância do material ferromagnético é levada em conta, o fluxo pode ser calculado ( ϕ ( = ( Ni( / R ) e valor da força mecânica passa a ser finito, conforme nos mostra (.13), quando o entreferro estiver fechado ( x = ). o Aparentemente a força mecânica não possui qualquer correlação com o valor da corrente na bobina ou com o tamanho do entreferro, ao se analisar a força por (.1), (.13) ou (.14). No entanto, note que a força mecânica depende do quadrado de H, B e φ, que por sua vez dependem dos valores de entreferro e da corrente. 8 de 14

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