Modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sistemas mecânicos discretos. Ricardo M. S. Rosa

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1 Modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sistemas mecânicos discretos Ricardo M. S. Rosa Departamento de Matemática Aplicada, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal Ilha do Fundão, Rio de Janeiro RJ , Brasil

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3 Conteúdo Introdução 5 Capítulo 1. Modelagem newtoniana 7 1. Princípios da modelagem newtoniana 7 2. Exemplos de modelagem newtoniana 8 Capítulo 2. Modelagem lagrangeana Princípios da modelagem lagrangeana Exemplos de modelagem lagrangeana Modelagem lagrangeana com restrições implícitas 14 Capítulo 3. Formulação Hamiltoniana Formulação hamiltoniana a partir das equações de Newton Formulação hamiltoniana a partir do lagrangeano Exemplos de modelagem hamiltoniana a partir da lagrangeana Transformada de Legendre Colchete de Poisson e estruturas simpléticas Variáveis ação-ângulo 25 Capítulo 4. Conservação de energia, simetrias e o teorema de Nöther Conservação de energia Simetrias Quantidades conservadas e o teorema de Nöther 36 Capítulo 5. Potenciais de Forças Sistemas microscópicos e macroscópicos Forças potenciais Força gravitacional Campos eletrostáticos Atrações magnéticas Campos eletromagnéticos Forças elásticas Modelagem molecular Corpos rígidos Movimentos relativísticos 54 3

4 4 CONTEÚDO Capítulo 6. Outros exemplos de modelagem Pêndulo em rotação Sistema massa-mola-pêndulo tridimensional Osciladores acoplados e vibrações de polímeros Movimento de uma bola sobre um relevo Pêndulo de uma bola dentro de uma roda sobre um relevo Força centrífuga Força de Coriolis Movimento de um haltere girante Movimento de um cilindro dentro de outro Pêndulo magnético Partícula carregada eletricamente em um campo magnético uniforme Pêndulo relativístico Movimento de um satélite Movimentos de dois e três corpos Movimento restrito de três corpos 75 Bibliografia 79

5 Introdução Vamos comparar as modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sistemas mecânicos discretos. Em geral teremos um sistema idealizado de N N partículas pontuais de massa m i > 0 e posição x i R 3, i = 1,..., N. Vamos, ver, também, casos de corpos rígidos, onde o momento angular também deve ser modelado. Mas sistemas contínuous como gases, líquidos e sólidos elásticos, assim como sistêmas mecânicos quânticos não serão vistos. Esses necessitam de uma teoria de campos contínua, não mais discreta. Vamos nos preocupar em grande parte com a influência de restrições na geometria, como nos casos de um pêndulo que está restrito a um movimento circular e de uma bola se movendo sobre um dado relevo. Veremos que, nesses casos, a modelagem lagrangeano é bem mais apropriada que a newtoniana para nos revelar as equações de movimento do sistema. A teoria será ilustrada com diversos exemplos. O objetivo é introduzir esses conceitos para estudantes avançados de matemática que não tiveram um curso de mecânica e gostariam de entender as modelagens por detrás de diversas equações diferenciais que servem de exemplo na teoria de sistemas dinâmicos. 5

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7 CAPíTULO 1 Modelagem newtoniana 1. Princípios da modelagem newtoniana Na modelagem newtoniana, o princípio fundamental é o da segunda lei de Newton, que afirma, no caso de massa constante, que força é igual a massa vezes aceleração. Assim, buscamos analisar todas as forças que agem em cada partícula e igualar a resultante F i ao produto da massa m i com a aceleração d 2 x i /dt 2. Um notação comum em mecânica para as derivadas temporais é um ou mais pontos acima da variável, como ẋ i = dx/dt e ẍ i = d 2 x/dt 2. A relação força igual a massa vezes aceleração para cada partícula, nos dá um sistema de equações m i ẍ i = F i, i = 1,..., N. Observe que este é um sistema de 3N equações, visto que para cada partícula temos três coordenadas para a posição e três para a força. Vale ressaltar, também, que a força F i pode depender do tempo t, da posição das outras partículas, F i = F i (t, x). Em certos casos, como em eletrodinâmica, a força pode, também, depender da velocidade, F i = F i (t, x, ẋ). Podemos reescrever esse sistema na forma vetorial completa Mẍ = F(t, x, ẋ) onde M é uma matriz de massas apropriada. Essa matriz é diagonal. No caso sistemas macroscópicos tratados pontualmente só que com massa variável, como no caso em que a queima de combustível é significativa para o lançamento de um foguete, devemos usar a lei de Newton na sua forma mais geral, que implica em que a variação de momento é igual à força. O momento de cada partícula é mẋ i, assim temos d dt (m iẋ i ) = F i (t, x, ẋ), i = 1,..., N. Em certos casos em que alguma simetria está presente, podemos reduzir o número de coordenadas necessárias para descrever as posições x i e a forças F i. Por exemplo, o movimento de um corpo caindo verticalmente em queda livre pode ser descrito apenas pela altura do corpo em relação a ao solo; o movimento de uma massa presa a uma extremidade de uma mola, com a outra extremidade fixa, e apresentado apenas um movimento unidimensional, longitudinal à mola, pode ser representado apenas pelo comprimento da mola; um pêndulo com movimento planar pode ser descrito por apenas o ângulo que o pêndulo faz com o eixo vertical; um pêndulo não restrito a um 7

8 8 1. MODELAGEM NEWTONIANA movimento planar pode ser descrito por dois ângulos, como nas coordenadas esféricas com o raio fixo; etc. Em geral, podemos representar por q as coordenadas levando em consideração a geometria, com as coordenadas gerais dadas por uma função de q, da forma x = X(q). A restrição também pode variar com o tempo, sendo do tipo x = X(t, q). A dificuldade, porém, é que não basta usarmos a regra da cadeia para acharmos uma equação para q a partir de Mẍ = F(t, x, ẋ). As restrições impões certas forças virtuais (tensão, centrífuga, de Coriolis, etc.) que precisam ser reobtidas, levando a um novo sistema da forma M r q = F r (t, q, q). As coordenadas q são chamadas de posições ou coordenadas generalizadas, enquanto que os termos q e q são chamados de velocidades e acelerações generalizadas. Em geral, porém, a obtenção dessa nova força sob restrições um pouco complicadas, pode ser bastante difícil e que, nesses casos, a modelagem lagrangeana é bem mais apropriada. Vejamos alguns exemplos concretos de modelagem newtoniana. 2. Exemplos de modelagem newtoniana eixo h h = h(t) PSfrag replacements F = mg h = 0 Figura 1. Corpo em queda livre, com altura h(t) em relação ao solo e força gravitacional F = mg Corpo em queda livre. No caso de um corpo pontual de massa m em queda livre, denotamos por h = h(t) a altura do objeto no instante de tempo t em relação a um plano horizontal representando o solo (figura 1). No corpo, age uma força gravitacional vertical descendente de magnitude mg, onde g 9, 2m s 1 é a aceleração da gravidade. A velocidade vertical do objeto é ḣ(t) e a aceleração, ḧ(t). Pela lei de Newton, temos mḧ = mg. O sinal à direita é devido ao fato de que a força gravitacional age no sentido de decrescimento da altura.

9 2. EXEMPLOS DE MODELAGEM NEWTONIANA Pêndulo planar. No caso do pêndulo planar, temos uma massa presa em uma extremidade de uma haste rígida considerada de massa desprezível. A outra extremidade fica presa a uma estrutura que permite que a haste descreva movimentos restritos a um plano perpendicular ao solo. Por exemplo, a estrutura pode ser uma outra haste paralela ao solo e presa a outras duas hastes verticais e os movimentos possíveis da haste com a massa são perpendiculares a essa estrutura (figura 2). Podemos utilizar o ângulo θ que a haste faz com o eixo perpendicular ao solo, com θ = 0 indicando a posição em que a massa está na extremidade inferior da haste. Assim, θ aumenta em módulo quando a massa se afasta do solo, pelo menos enquanto uma meia volta não é completada, ou seja, enquanto θ estiver estritamente entre π e π. θ l Sfrag replacements T F t F n F Figura 2. Pêndulo com um objeto de massa m na ponta, preso por uma haste de comprimento l e massa desprezível. O peso da massa tem magnitude mg e gera uma força vertical F com componente tangencial dada por F t = mg sin θ. A componente normal F n é balanceada pela tensão T na haste. A velocidade angular do pêndulo é θ, enquanto que a aceleração angular é θ. Sendo l o comprimento da haste, lθ é o comprimento de arco descrito em relação à posição de equilíbrio, enquanto que a velocidade tangencial é l θ e a aceleração tangencial é l θ. A força gravitacional que age no pêndulo tem magnitude mg e é vertical, podendo ser decomposta em duas componentes, uma normal à circunferência de raio l que o pêndulo descreve e outra, tangencial à essa circunferência. A componente normal é balanceada pela tensão T na haste, que é rígida. A componente tangencial tem magnitude mg sin θ. Assim, pela lei de Newton, ml θ = mg sin θ,

10 10 1. MODELAGEM NEWTONIANA O sinal de menos se deve ao fato de que no caso em que θ é positivo, sin θ é positivo e a força gravitacional age no sentido de decrescimento de θ, devendo a resultante ser negativa. Por outro lado, no caso em que θ é negativo, sin θ é negativo e a força gravitacional age no sentido de crescimento de θ. As simetrias impostas nesse modelo fazem com que as outras duas coordenadas espaciais do pêndulo sejam constantes. A resultante das forças nas outras coordenadas se anula e essas coordenadas não aparecem explicitamente na equação.

11 CAPíTULO 2 Modelagem lagrangeana 1. Princípios da modelagem lagrangeana Na formulação lagrangeana, o princípio fundamental é o princípio da menor ação. A ação é definida como a integral no tempo de uma função chamada lagrangeano e definido como sendo a energia cinética menos a energia potencial do sistema. No caso de um sistema não-restrito de N partículas, L(x, ẋ) = K(ẋ) V (t, x, ẋ) = 1 N m i x i 2 V (t, x, ẋ), 2 onde denota a norma Euclidiana e V (t, x, ẋ) a energia potencial. Caso alguma restrição da forma x = X(t, q) seja imposta, ou mais explicitamente i=1 x i = X i (t, q 1,..., q d ), i = 1,..., N, com X = (X i ) i : R N R d, 1 d N, o lagrangeano toma a forma L r (t, q, q) = K r (t, q, q) V r (t, q, q), onde o indíce r significa termos nas novas variáveis restritas. Como ẋ i = q X i (q) q i + t X i (q), a nova energia cinética K r (t, q, q) pode, de fato, depender tanto de q como de q e t. A restrição x = X(t, q) é uma restrição explícita. Restrições implícitas, como G(t, x) = 0, requerem o uso de multiplicadores de Lagrange e serão vistas em seguida. Mesmo no caso de restrições explícitas, o princípio da menor ação é valido e, em cada intervalo de tempo [0, T ], o sistema percorre o caminho q = q(t), 0 t T, entre certos pontos q(0) = q 0 e q(t ) = q T, que minimiza a ação, dada por A(q( ), q 0, q T, T ) = T 0 L r (t, q(t), q(t)) dt. Assim, o caminho correto é o de menor ação, o que pode ser escrito da forma A(q( ), q 0, q T, T ) = min q Q A( q( ), q 0, q T, T ) onde Q indica o conjunto de todos os caminhos q possíveis iniciados em q(0) = q 0 e terminados em q(t ) = q T. Nessa minimização, as variáveis q 0, q T e T são mantidas fixas e, por isso, vamos simplificar a notação, escrevendo apenas A(q( )) = 11

12 12 2. MODELAGEM LAGRANGEANA A(q( ), q 0, q T, T ) Podemos, também, transladar Q para estar centrado no mínimo q e escrever A(q( )) = min q Q 0 A(q( ) + q( )), onde Q 0 indica o conjunto de todos os caminhos q possíveis iniciados em q(0) = 0 e terminados em q(t ) = 0, de modo que q(0) + q(0) = q 0 e q(0) + q(t ) = q T. Para acharmos os mínimos da ação, procuramos os seus pontos críticos, ou seja, os pontos em que o gradiente se anula. Só que a ação não é uma função vetorial, ela é uma função de outra função, q( ) Isso torna as coisas um pouco mais complicada. Mas, essencialmente, vamos assumir que podemos formalmente derivar sob o sinal de integração e, ainda, escrever A(q( )) q = T 0 ( q L r (t, q(t), q(t)) q(t) + q L r (t, q(t), q(t)) q(t) ) dt. Observe que a ação depende de q( ) enquanto que o lagrangeano depende de q(t) e de q(t). Isso faz sentido, porque, de fato, q(t) e q(t) são funções de q( ), são valores instantâneos relativos a função q( ) definida no intervalo [0, T ]. Além disso, em relação à notação, q L r denota apenas o gradiente de L r em relação à segunda variável, que é apenas calculada em q(t). Isso é, de fato, um abuso de notação, mas é a convenção. Para sermos mais precisos, deveríamos ter definido L r = L r (t, q, v), sem ter feito inicialmente uma relação direta entre v e q, de modo que q L r seria simplesmente v L r. Integrando por partes o segundo termo da ação e usando as condições de contorno q(0) = 0 e q(t ) = 0, temos A(q( )) q = T 0 ( q L r (t, q(t), q(t)) q(t) t q L r (t, q(t), q(t)) q(t)) dt. Como isso vale para qualquer q Q 0, necessariamente o integrando deve se anular e d dt ql r (t, q(t), q(t)) q L r (t, q(t), q(t)) = 0. Essa é a equação de Euler-Lagrange para a ação. Esta equação coincide com a equação obtida pela lei de Newton, mas a sua formulação é totalmente diferente. Veremos alguns exemplos em seguida. Antes, podemos fazer uma conexão direta com as equações de Newton introduzindo o momento generalizado e considerando o termo p(t, q, q) = q L r (t, q(t), q(t)). F(t, q, q) = q L r (t, q(t), q(t)). como representando as forças agindo no sistema restrito, incluindo as (pseudo-)forças de restrição (forças centrífuga, de Coriolis, etc.) Assim, as equações de Euler-Lagrange

13 2. EXEMPLOS DE MODELAGEM LAGRANGEANA 13 podem ser escritas na forma da equação de Newton: dp dt = F. 2. Exemplos de modelagem lagrangeana 2.1. Corpo em queda livre. Nesse caso, colocando o eixo z no caminho da queda do corpo, temos a sua posição x = (0, 0, h), com h = h(t). Nesse caso d = 1, q = h e x = X(h) = (0, 0, h). A energia cinética é A energia potencial é Assim, Derivando o lagrangeano temos K(ẋ) = K r (h) = 1 2 mḣ2. V (x) = V r (h) = mgh. L r (h, ḣ) = 1 2 mḣ2 mgh. h L r (h, ḣ) = mg, ḣ L r(h, ḣ) = mḣ. Assim, as equações de Euler-Lagrange têm a forma d (mḣ) + mg = 0, dt ou seja, mḧ = mg, que coincide com a equação obtida via segunda lei de Newton Pêndulo planar. No caso do pêndulo, colocando o plano xz no plano de oscilação do pêndulo, temos x = (x, 0, z) e a energia cinética tem a forma Como x = l sin θ e z = l cos θ, temos logo K(x, z) = 1 2 m(ẋ2 + ż 2 ). ẋ = l θ cos θ, ż = l θ sin θ, K(x, z) = K r ( θ) = 1 2 ml2 θ2 Nesse caso, d = 1, q = θ e x = X(θ) = (l sin θ, 0, l cos θ). gravitacional é simplesmente Assim, V (x, z) = mgz = V r (θ) = mgl cos θ. L r (θ, θ) = K r ( θ) V (θ) = 1 2 ml2 θ2 + mgl cos θ, A energia potencial

14 14 2. MODELAGEM LAGRANGEANA com as derivadas parciais θ L r (θ, θ) = mgl sin θ, A equação de Euler-Lagrange se escreve ou seja d dt (ml2 θ) + mgl sin θ = 0, ml θ = mg sin θ, θl r (θ, θ) = ml 2 θ. que coincide com a equação obtida via segunda lei de Newton. Observe que nesse caso simples, a formulação lagrangeana foi ainda mais simples do que a newtoniana, que envolve a análise geométrica da decomposição das forças. Essa diferença será ainda mais marcante em problemas com geometrias mais complicadas, como veremos posteriormente. 3. Modelagem lagrangeana com restrições implícitas A grande vantagem da formulação lagrangeana é no tratamento de restrições. Não precisamos nos preocupar com a decomposição das forças que agem em cada partícula e na reação causada por tensões com partes rígidas, como hastes e relevos. Isso vale tanto para restrições explícitas, como para implícitas. E podemos ter ambas ao mesmo tempo. Por exemplo, uma primeira restrição explícita x = X(t, q) pode ser seguida de uma restrição implícita G(t, q) = 0. Observe que a restrição explícita também pode ser tratada como uma restrição implícita, mas isso não é vantagem. Com essas restrições o problema de minimização com restrição se torna um problema de multiplicadores de Lagrange. Busca-se, assim, minimizar a ação dada pelo lagrangeano L λ (t, q, q) = L(t, q, q) λ G(t, q). A razão disso é que, ao buscarmos o mínimo da nova ação, estaremos buscando um ponto onde o gradiente da ação original é um múltiplo da ação da restrição. Assim, o gradiente da ação original é perpendicular à curva de nível da restrição, de modo que a ação original não vai, necessariamente, aumentar em uma direção e diminuir na direção oposta, nos dando, assim, um ponto crítico (figura 1). A partir do momento que temos o novo lagrangeano L λ, podemos obter as equações de Euler-Lagrange da ação correspondente. Podemos ilustrar isso refazendo o problema do corpo em queda livre, primeiro com a restrição explícita x = (x, 0, z)

15 3. MODELAGEM LAGRANGEANA COM RESTRIÇÕES IMPLÍCITAS 15 Figura 1. Curvas de nível (linhas finas) e a restrição (linha grossa), com os vetores gradientes ilustrados em dois pontos, um em que eles são transversais e o ponto não é ponto crítico e o outro em que eles são colineares e o ponto é o ponto crítico procurado. e, em seguida, com a restrição implícita Com isso, o lagrangeano é G(x, z) = x = 0. L λ (x, z) = 1 2 m(ẋ2 + ż 2 ) mgz λx. Observe que dessa maneira, d = 2 e q = (x, z). Assim, os gradientes q L λ e q L λ são de fato vetores, dados por q L λ = ( x L λ, z L λ ) = ( λ, mg), e q L λ = ( ẋl λ, żl λ ) = (mẋ, mż) As equações de Euler-Lagrange em conjunto com a restrição levam a um sistema de equações mẍ = λ, m z = mg, x = 0, que se reduz a m z = mg. Este foi um caso simples. Veremos, posteriormente, casos mais interessantes. Veremos, também, a seguir, como essa idéia de multiplicadores de Lagrange pode ser usada para relacionar a formulação lagrangeana com a hamiltoniana.

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17 CAPíTULO 3 Formulação Hamiltoniana Uma formulação mais explícita das equações de movimento é a hamiltoniana, mais ela não é obtida tão diretamente. Na verdade essa formulação depende fortemente das formulações anteriores. Mas uma vez obtida a formulação hamiltoniana, ela nos permite um tratamento melhor. Há certas estruturas matemáticas que estão diretamente ligadas à essa formulação. 1. Formulação hamiltoniana a partir das equações de Newton Dada uma equação newtoniana na forma Mẍ = F(x), podemos passar isso para a forma de um sistema ampliado de primeira ordem, { ẋ = y, ẏ = M 1 F(x). No caso em que M 1 F(x) seja uma função potencial, isto é M 1 F(x) = V (x), para alguma função potencial V = V (x), então esse sistema se torna equivalente a { ẋ = y H(x, y), ẏ = x H(x, y), onde H(t, x, y) = 1 2 y 2 + V (x) Essa função H(x, y) é chamada hamiltoniano do sistema. Ela é uma quantidade conservada do sistema, pois, ao longo de cada solução (x, y) = (x(t), y(t)), d dt H(x(t), y(t)) = H x ẋ + H y y = H x H y H y H x = 0. Observe ainda que, nesse caso, (1/2) y 2 é essencialmente a energia cinética do sistema (só estão faltando as massas), V (x) é essencialmente a energia potencial e, portanto, H(x, y) é essencialmente a energia total do sistema. Mas quando há restrições, a história não é mais tão simples. 17

18 18 3. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA logo No caso do corpo em queda livre, temos mḧ = mg, {ḣ = v, v = g. Nesse caso, g é a derivada de V (h) = gh, de modo que o hamiltoniano é No caso do pêndulo, temos H(h, v) = 1 2 v2 + gh. ml θ = mg sin θ, logo { θ = ψ, ψ = g sin θ. Nesse caso, g sin θ é a derivada de V (θ) = g cos θ, de modo que o hamiltoniano toma a forma H(θ, ψ) = 1 2 ψ2 g cos θ. As equações de Newton para o corpo em queda e para o pêndulo planar são exemplos de equações escalares de primeira ordem da forma q + g(q) = 0, Nesses casos, é trivial obter o hamiltoniano, que será sempre da forma H(q, p) = 1 2 p2 + G(q), onde G(q) é uma primitiva qualquer de g. Mais geralmente, para um sistemas bidimensional da forma { q = f(q, p), ṗ = g(q, p), uma condição para que ele seja hamiltoniano é que o divergente do campo (f, g) seja nulo: f q (q, p) + g p (q, p) = 0. Para que isso seja uma condição suficiente, é preciso que o domínio de definição de f e g seja simplesmente conexo. Sob essas duas condições, podemos reduzir a equação para uma de primeira ordem, fazendo dp dq = ṗ g(q, p) = q f(q, p),

19 2. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA A PARTIR DO LAGRANGEANO 19 e que pode ser posta na forma g(q, p) + f(q, p) dp dq = 0. A condição de divergência nula de (f, g) é a condição de Euler para a equação acima ser exata. Com o método de resolução de equações exatas, podemos achar uma primitiva H(q, p) satisfazendo H q (q, p) = f(q, p) e H p (q, p) = g(q, p). Essa primitiva é o hamiltoniano do sistema. Um exemplo desse tipo de sistema é o do modelo de predador-presa de Lotka-Volterra. Porém, nos casos de maior dimensão e em que F(x) depender de ẋ e/ou de t, não podemos obter essa formulação tão facilmente. Nesses casos, que aparecem com freqüência em sistemas com restrições não triviais, pode não ser nada imediado achar uma integral H(x, y) cujo sistema seja equivalente a { ẋ = y H(x, y), ẏ = x H(x, y), Mas isso ainda pode ser feita via lagrangeano, de modo bastante geral, como veremos a seguir. 2. Formulação hamiltoniana a partir do lagrangeano Vamos partir de um lagrangeano da forma L(t, q, q), que pode ter sido obtido com restrições explícitas e/ou implícitas ou até sem restrições. A idéia é olhar a condição v = q como uma nova restrição e minimizar a ação de L(t, q, v) restrita à condição v = q. Assim, um novo lagrangeano deve ser considerado da forma L(t, q, v) λ (v q). Um detalhe delicado é que, agora, a restrição não é mais pontual, mas sim funcional, pois a função q( ) deve ser igual à função v( ). Nesse caso, o multiplicador de Lagrange também será uma função λ = λ( ). (Podemos pensar da seguinte forma: no caso de uma única condição algébrica, o multiplicador de lagrange é um escalar; no caso de n condições algébricas, o multiplicador de Lagrange é um vetor de n coordenadas; e no caso de infinitas condições, como y( ) = q( ), o multiplicador de Lagrange tem infinitas coordenadas λ( ).) Por motivações físicas, o multiplicador será posteriormente interpretado como um momento generalizado. Por esse motivo, vamos usar a letra p para denotar o multiplicador de Lagrange, ao invés de λ. Assim, vamos considerar o novo lagrangeano L p (t, q, v) = L(t, q, v) p (v q).

20 20 3. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA Observe, ainda, que a minimização, agora, é em relação a q e v e não apenas a q. Assim, a variável estendida (q, v) faz o papel da antiga variável q, assim como ( q, v) faz o papel de q. Temos, portanto, as derivadas parciais e Assim, as equações de Euler-Lagrange (q,v) L p = ( q L p, v L p ) = ( q L, v L p) ( q, v) L p = ( q L p, v L p ) = ( q L, 0). d dt ( q, v)l p + (q,v) L p = 0, com a restrição v = q, se tornam d dt ql q L = 0 v L + p = 0, q = v. Vamos olhar com mais cuidado para a segunda equação, que é uma equação estacionária, pois não inclui derivada temporal explicitamente. Incluindo todas as variáveis, temos p = v L(t, q, v). Podemos esperar que haja uma solução da forma v = V(t, q, p), com p = v L(t, q, V(t, q, p)), para todo t, p, q. Veremos, nos exemplos, que isso é bem natural. De fato, observe que, em certos casos, V é apenas mv e estaremos apenas trocando mv por p. Isso justifica a definição de p como um momento generalizado, ou momentos, pois estamos tratando de um sistema de várias partículas. Podemos, também, obter, do teorema da função implícita, uma condição para a existência da função V(q, p), a saber, que a diferencial de v L(t, q, v) seja inversível ao longo da solução q = q(t), com v(t) = q(t). Essa diferencial é a matriz segunda derivada ( ) 2 d D 2 vl(t, q, v) = v i v j L(t, q, v). i,j=1 Há apenas um pequeno abuso de notação acima, pois cada v i ainda pode ser um vetor. Assim, assumindo a existência de uma função V = V(t, q, p) satisfazendo podemos definir o hamiltoniano p = v L(t, q, V(t, q, p)), H(t, q, p) = p V(t, q, p) L(t, q, V(q, p)).

21 3. EXEMPLOS DE MODELAGEM HAMILTONIANA A PARTIR DA LAGRANGEANA 21 As suas derivadas parciais satisfazem q H(t, q, p) = p D q V(t, q, p) q L(t, q, V(q, p)) v L(t, q, V(q, p)) D q V(t, q, p) = (p v L(t, q, V(q, p))) D q V(t, q, p) q L(t, q, V(t, q, p)) = q L(t, q, V(t, q, p)), p H(t, q, p) = V(t, q, p) + p D p V(t, q, p)) v L(t, q, V(t, q, p)) D p V(t, q, p) Como temos E como temos = V(t, q, p) + (p v L(t, q, V(t, q, p))) D p V(t, q, p) = V(t, q, p). p = v L, V(t, q, p) = v = q, p H(t, q, p) = q. d dt ql q L = 0, v = q, ṗ = d dt ql = q L = q H. Assim, chegamos a um sistema em q e p: { q = p H(t, q, p) ṗ = q H(t, q, p). Essas equações levam o nome de equações de Hamilton. Conforme mencionado acima, as coordenadas q e p são chamadas de posições e momentos generalizados, respectivamente. 3. Exemplos de modelagem hamiltoniana a partir da lagrangeana 3.1. Corpo em queda livre. Nesse caso, o lagrangeano é L(h, v) = 1 2 mv2 mgh. Observe que h faz o papel de q e v, o de v. A equação para a definição do momento generalizado p = p é p = L v (h, v) = mv que é, na verdade, o próprio momento. Resolvendo essa equação para v, temos Assim, o Hamiltoniano toma a forma v = V (h, p) = V (p) = p m. H(h, p) = pv (p) L(h, V (p)) = 1 m p2 1 2m p2 mgh = 1 2m p2 + mgh

22 22 3. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA e as equações de Hamilton são {ḣ = p m ṗ = mgh Como p = mv, observe que esse sistema coincide com {ḣ = v, obtido via equação de Newton. v = gh, 3.2. Pêndulo planar. Nesse caso, o lagrangeano é L(θ, ψ) = 1 2 ml2 ψ 2 + mgl cos θ. A equação para a definição do momento generalizado, que agora denotaremos por π, é π = ψ L(θ, ψ) = ml 2 ψ. Resolvendo essa equação para ψ, temos Assim, o Hamiltoniano é ψ = V (π) = 1 ml 2 π. H(θ, π) = πv (π) L(θ, V (π)) = 1 ml 2 π2 1 2ml 2 π2 mgl cos θ = 1 2ml 2 π2 mgl cos θ, com as equações de Hamilton { π θ = ml, 2 π = mgl cos θ. Como π = ml 2 ψ, esse sistema coincide com { θ = ψ ψ = g l cos θ obtido via modelagem Newtoniana. 4. Transformada de Legendre A transformação do lagrangeano no hamiltoniano pode ser pensado em termos de uma função chamada de transformada de Legendre. Vamos começar com uma função convexa g que seja de continuamente diferenciável e cuja derivada g seja bijetiva em R. A transformada de Legendre (ou dual) g de g é definida por g (s) = sr(s) g(r(s)), onde r = r(s) é a inversa de g (s), dada por s = g (r(s)).

23 4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE 23 A interpretação de g (s) é como o máximo da diferença entre a reta u = sr e a função u = g(r), em um plano ru, onde s passa a ser um parâmetro. Esse máximo ocorre quando a derivada g (r) tem a mesma inclinação que a reta r sr, ou seja, quando s = g (r) (figura 1) u u = g(r) PSfrag replacements g (s) u = sr r Figura 1. Idéia geométrica da transformada de Legendre. Vamos ver que ao tomarmos o segundo dual, voltamos para g (r) = g(r). Em primeiro lugar, observe que g (s) = r(s) + sr (s) g (r(s))r (s) = r(s) + (s g (r(s))r (s) = r(s) e a solução de g (s) = r é a inversa de r = r(s). Logo, g (r(s)) toma a forma g (r(s)) = rs g (s) Por outro lado, da definição de g (s), temos g(r(s)) = sr(s) g (s). Sendo r(s) sobrejetiva, temos g = g. A caracterização de g (s) como o máximo da diferença entre a reta u = sr e a função u = g(r) pode ser tornada mais explícita pela relação g (s) = sup(sr g(r)). r R A vantagem dessa caracterização é que ela pode ser tomada como definição da transformada de lagrange no caso em que g seja apenas convexa e satisfaça a propriedade g(r) lim. r r A transformada g também é convexa e satisfaz g (s) lim. s s

24 24 3. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA Em termos da passagem do lagrangeano para o hamiltoniano, podemos pensar que para cada q fixo, p H(t, q, p) é a transformada de legendre de q L(t, q, q). Não mencionamos convexidade nessa passagem, mas, de fato, exigimos que a equação p = q L(t, q, q) possa ser resolvida para q. Essa equação é a versão da equação s = g (r) nesse contexto. Vemos, também, com esse formalismo, que o lagrangeano L(t, q, q) é a transformada de Legendre do hamiltoniano H(t, q, p) na variável p. Isto segue da relação g (r) = g(r) vista no contexto acima. Isso pode ser obtido diretamente da definição da transformada de Legendre do hamiltoniano visto que já provamos anteriormente que q = p H(t, q, p). 5. Colchete de Poisson e estruturas simpléticas Uma notação que revela estruturas e generalizações importantes da formulação hamiltoniana é obtida através do colchete de Poisson. Para funções diferenciáveis F = F (q, p), G = G(q, p), o colchete de Poisson é definido por {F, G} = q F p G q F p G = ( F G F ) G. q i i p i p i q i Com essa notação, as equações de Hamilton se escrevem { q i = {q i, H}, ṗ i = {p i, H}. onde H = H(t, q, p) é o hamiltoniano do sistema. Observe que {q i, q j } = 0, {p i, p j } = 0, {q i, p j } = δ i,j, i, j, onde δ ij é o delta de Kronecker. Para uma mudança de variáveis preservando essa estrutura, as equações também são preservadas. Mais precisamente, se uma mudança de variáveis q = q(q, p), p = p(q, p) satisfaz { q i, q j } = 0, { p i, p j } = 0, { p i, q j } = δ i,j, i, j, definimos um novo colchete para funções F = F ( q, p), G = G( q, p) por ( { F, G} = q F p G q F p G F G = F G ) q i p i p i q i e é possível verificar que { F, G} = {F, G}, i

25 6. VARIÁVEIS AÇÃO-ÂNGULO 25 para toda F, G e F, G relacionadas por F ( q, q) = F (q, p), G( q, p) = G(q, p). Além disso, para o hamiltoniano transformado H(t, q, p) = H(t, q, p), temos o sistema { q i = { q i, H}, p i = { p i, H}. Mudanças de variáveis com essas propriedades são ditas simpléticas. O colchete de Poisson é uma estrutura simplética no espaço euclidiana. Outras variedades diferenciáveis também possuem estruturas simpléticas. Sistemas de equações diferenciais como acima são ditos sistemas simpléticos. As transformações simpléticas preservam essas estruturas e sistemas. 6. Variáveis ação-ângulo Buscamos transformações que sejam simpléticas e que simplifiquem o hamiltoniano e, com isso, facilitem o entendimento do sistema. Idealmente, buscamos transformações simpléticas que transformem o hamiltonino em um novo hamiltoniano que independa de uma ou mais das novas variáveis transformadas. Mais especificamente, buscamos uma transformação simplética q = q(q, p), p = p(q, p) para a qual o novo hamiltoniano H(t, q, p) = H(t, p, q) seja independente de, digamos, q d, onde d é a dimensão de q. Nesse caso, a equação para p d é p d = { p d, H} = H q d = 0. Com isso, p d é uma constante de movimento, digamos p d (t) I d. equação para q d é q d = { q d, H} = H. p d pd =I d Além disso, a Com isso, o lado direito da equação para q d depende apenas de q i, p i, para i = 1,..., d 1. Isso tem como conseqüência a redução do sistema para 2(d 1) variáveis. A existência de transformações para as quais o novo hamiltoniano seja independente de uma das variáveis é fundamentada na existência de quantidades conservadas do sistema. Caso hajam mais quantidades conservadas do sistema, podemos achar transformações para as quais o novo hamiltoniano independa de mais variáveis. Idealmente, buscamos um hamiltoniano H que seja independe de todas as posições generalizadas q. Assim, p = q H = 0 e cada p i é constante, digamos p i (t) I i, i = 1,..., d. Para cada i, q i = H = ω i (I 1,..., I d ), p i p 1 =I 1,..., p d =I d

26 26 3. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA para funções ω i dependentes apenas de I 1,..., I d. Como ω i independe de t, temos q i = q i (0) + ω i t, p i I i. Assim, o sistema é completamente integrável nas novas variáveis I, θ, dadas por I = (I 1,..., I n ) e θ = θ 0 + (ω 1 t,..., ω d t). Essas variáveis são chamadas de coordenadas ação-ângulo. Em aplicações, I corresponde a variáveis radiais enquanto que θ corresponde a variáveis cíclicas ( periódicas ), justificando a nomenclatura. A existênca das coordenadas ação-ângulo (ou seja, das transformações simpléticas apropriadas que tornam o novo hamiltoniano independente de novas coordenadas generalizadas) para sistemas com um número suficiente de quantidades conservadas é baseada na resolução de uma certa equação a derivadas parciais, chamada de Hamilton-Jacobi, que veremos adiante. A obtenção das variáveis ação-ângulo na prática não é nada explícita. Mas vamos desenvolver um dos casos mais simples possíveis para ilustrar a idéia Coordenadas ação-ângulo para o sistema massa-mola hârmônico. Vamos considerar um sistema massa-mola cuja equação de Newton tem a forma mẍ = κx, onde x é o deslocamento da mola a partir do comprimento de equilíbrio, m é a massa do objeto preso a uma das extremidades da mola e κ é o coeficiente de elasticidade da mola, que tem a sua extremidade fixa. A forma hamiltoniana da equação é { ẋ = y, ẏ = γx, onde γ = κ/m, com o hamiltoniano H(x, y) = 1 2 y2 + γ 2 x2. Pensando na forma das soluções, que (pelo fato do hamiltoniano ser uma quantidade conservada) sabemos serem elipes da forma x 2 + (y/γ 1/2 ) 2 = c, para constantes c, podemos tentar uma mudança de variáveis para (r, θ) dados por { x = r cos θ, y = γ 1/2 r sin θ. O sinal negativo em y foi escolhido apenas para alterar a orientação das soluções, que originalmente não estão no sentido trigonométrico. Segundo essa transformação, o novo hamiltoniano tem a forma H (r, θ) = 1 2 ( γ1/2 r sin θ) 2 + γ 2 (r cos θ)2 = γ 2 r2.

27 6. VARIÁVEIS AÇÃO-ÂNGULO 27 Esse hamiltoniano é, de fato, independente da variável ângulo θ. Porém, esse não é o hamiltoniano das equações transformadas. De fato, derivando a definição da transformação: { ẋ = ṙ cos θ r θ sin θ, ẏ = γ 1/2 ṙ sin θ γ 1/2 r θ cos θ. Usando o sistema de equações diferenciais, chegamos a { ṙ cos θ r θ sin θ = γ 1/2 r sin θ, γ 1/2 ṙ sin θ γ 1/2 r θ cos θ = γr cos θ. Resolvendo esse sistema para ṙ e θ, obtemos { ṙ = 0, θ = γ 1/2. cujo hamiltoniano não é H, mas sim, γ 1/2 r. Para obtermos uma transformação simplética, e motivados pelo fato do novo hamiltoniano ter de ser linear em r, vamos considerar a transformação { x = αr 1/2 cos θ, y = βr 1/2 sin θ. Para verificar que a transformação é simplética, devemos ter {r, r} = 0, {θ, θ} = 0, {r, θ} = 1. Para evitar invertermos a transformação, podemos verificar a relação inversa {x, x} = 0, {y, y} = 0, {x, y} = 1. onde as derivadas são em relação a r e θ. Temos {x, x} = {αr 1/2 cos θ, αr 1/2 cos θ} = 0, {y, y} = {βr 1/2 sin θ, βr 1/2 sin θ} = 0, {x, y} = {αr 1/2 cos θ, βr 1/2 sin θ} = αβ 2. Portanto, essa transformação é simplética se αβ = 2. Quanto ao hamiltoniano, temos H(r, θ) = H(αr 1/2 cos θ, βr 1/2 sin θ) = β2 r 2 sin2 θ + γα2 r 2 cos 2 θ. Para que esse hamiltoniano seja independente de θ, devemos ter β 2 = γα 2. Resolvendo o sistema { αβ = 2, β 2 = γα 2,

28 28 3. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA achamos α = 21/2 γ 1/4, β = 21/2 γ 1/4. Portanto, a transformação x = 21/2 γ 1/4 r1/2 cos θ, y = 2 1/2 γ 1/4 r 1/2 sin θ. é uma transformação simplética que leva o sistema { ẋ = y, ẏ = γx, com hamiltoninano H(x, y) = 1 2 y2 + γ 2 x2. no sistema { ṙ = 0, θ = γ, com hamiltoniano H(r, θ) = γr. As coordenadas (r, θ) são as coordenadas ação-ângulo para o sistema massa-mola Transformações canônicas e a equação de Hamilton-Jacobi. Transformações para coordenadas ação-ângulo podem ser buscadas em uma certa forma particular. Suponha que tenhamos coordenadas originais (p, q). Suponha, ainda, que procuremos uma coordenada p(p, q) dada implicitamente pela equação p = S( p, q), q para alguma função S(P, q). Então, definindo uma nova coordenadas q por q = S( p, q), p temos que a transformação de (p, q) em ( p, q) é simplética. Isso pode ser visto apenas usando derivação implícita. Deixamos esses cálculos para o leitor. Transformações dessa forma são chamadas de transformações canônicas e a função S( p, q), de função geratriz da transformação. Funções geratrizes podem ser, também, da forma S( p, p), S( q, p), S( q, q), mas são sempre funções de uma variável antiga e uma nova. Seja, agora, S(I, q) a função geratriz de uma transformação entre variáveis (q, p) e variáveis ação-ângulo (I, θ). Queremos achar condições em S(I, q) para que essa

29 6. VARIÁVEIS AÇÃO-ÂNGULO 29 transformação seja, de fato, para coordenadas ação-ângulo. Podemos usar o fato de que S(I, q) p = q para escrever o novo hamiltoniano na forma ( ) S(I, q) H(I, ω) = H q,. q Suponde que (I, ω) sejam, de fato, coordenadas ação-ângulo, então mantendo I fixo e variando ω as soluções irão se manter em uma curva de nível de H e, logo, de H. Assim, para cada I fixo, H ( q, ) S(I, q) = E, q para algum nível E. Esta é uma equação diferencial parcial na variável q. Esta equação é conhecida como equação de Hamilton-Jacobi. Estudando as soluções dessa equação e relacionando as diversas constantes de integração que aparecem nas soluções com funções de I, podemos descobrir S(I, q). Por exemplo, no caso do sistema massa-mola, temos H(x, y) = 1 2 y2 + γ 2 x2. Fazendo S(I, x) y =, x chegamos a equação de Hamilton-Jacobi 1 S(I, x) 2 2 x + γ 2 x2 = E. Podemos escrever As soluções da equação S(I, x) x formam uma família parametrizada = ± 2E γx 2, g (x) = ± 2E γx 2 g(x) = C 0 + g 0 (x), onde g 0 (x) é uma das primitivas da equação. Considerando o parâmetro C 0 como função da variável momento I, podemos considerar as soluções da equação de Hamilton- Jacobi S(I, x) = h(i) + g 0 (x).

30 30 3. FORMULAÇÃO HAMILTONIANA Isso ilustra a forma que equação de Hamilton-Jacobi toma no problema. Para acharmos a variável ângulo, devemos considerar S(I, x) θ = = h (I). I Finalmente, h (I) pode ser encontrado forçando que (I, θ) sejam as coordenadas açãoângulo.

31 CAPíTULO 4 Conservação de energia, simetrias e o teorema de Nöther 1. Conservação de energia A minimização da ação está diretamente ligada à conservação de energia total através de simetrias de invariância por translação no tempo. Para vermos isso, vamos precisar da estrutura da energia cinética do sistema livre. Assim, assumimos que a energia cinética é da forma K r (p, q) = K(DX(q) q), onde x = X(q) é uma restrição explícita e K(y) = (1/2)M y 2 é a energia cinética livre do sistema com velocidade y = ẋ. A restrição pode ser da forma x = X(q) e a energia potencial, V r (q). Dependências no tempo não são permitidas, pois significariam uma inclusão ou exclusão de energia por forças externas. Além disso, para fins dessa análise, restrições implícitas podem, em geral, ser localmente transformadas em restrições explícitas, pelo teorema da função implícita, e resolvidas conforme faremos abaixo. Assim, o lagrangeano tem a forma e a energia total é L r (q, q) = K r (q, q) V r (q) = K(DX(q) q) V r (q) E r (q, q) = K r (q, q) + V r (q) = K(DX(q) q) + V r (q). Com as restrições acima, vamos ver que podemos escrever onde p é o momento generalizado K r (q, q) = 1 2 p q, p = q L(q, q). De fato, observe, primeiro, que, como K(y) = (1/2)M y 2, Com isso K(y) = My. p q = q L(q, q) q = q K(DX(q)q) q = MDX(q) q DX(q) q Portanto, podemos reescrever a energia total na forma E r (q, q) = p q L r (q, q) = q L(q, q) q L r (q, q). 31 = 2K(X(q) q) = 2K r (q, q).

32 32 4. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA, SIMETRIAS E O TEOREMA DE NÖTHER Podemos, agora, derivar em relação ao tempo e mostrar que o resultado é zero. De fato, d dt E r(q, q) = d dt ( ql q L) ( ) d = dt ql q + q L q q L q q L q = ( ) d dt ql q q L q. onde na última passagem reconhecemos as equações de Euler-Lagrange, nos dando ( ) d d dt E r(q, q) = dt ql r (q, q) q L r (q, q) q = Simetrias Quantidades conservadas estão diretamente ligadas a simetrias no sistema. Isso está relacionado ao teorema de Nöther, que veremos a seguir. Antes, vamos solidificar a idéia de simetria. Simetrias agem modificando as variáveis (t, q, q). Isso pode ser representado por uma transformação (t, q, q) G(t, q, q) = ( t, q, q). Onde q é a derivada de q em relação a t. Por exemplo, podemos ter uma translação no tempo por um instante τ: (t, q, q) (t + τ, q, q); uma translação no espaço por um vetor q 0 : (t, q, q) (t, q + q 0, q); e um movimento uniforme com velocidade v: (t, q, q) (t, q + vt, q + v). Podemos, também, ter um rotação no espaço, que pode ser representada por um vetor θ cujo módulo indica o ângulo de rotação, a direção indica o eixo de rotação e o sentido indica o sentido de rotação, dado pela regra da mão direita. Essa transformação pode ser indicada por (t, q, q) (t, R(θ)q, R(θ) q). As transformações ditas galilelianas são dadas por combinações das transformações mencionadas acima. Elas são caracterizadas por preservar as distâncias no espaço (t, q), segundo a norma euclidiana. Um sistema mecânico representado por um lagrangeano L(t, q, q) tem um certa simetria quando ele é invariante por uma transformação de simetria. Mais precisamente, quando L( G(t, q, q)) = L(t, q, q).

33 2. SIMETRIAS 33 para alguma simetria G. Isso tem certas conseqüências nas equações de movimento e, em particular, em suas soluções, que também terão certas simetrias Tipos de simetrias. Podemos classificar as simetrias em dois tipos. Um envolvendo explicitamente o tempo e outro, não. As que não envolvem explicitamente o tempo, agem primordialmente em q e podem ser escritas na forma G(q). Isso tem conseqüências na derivada temporal de q, que deve ser transformada para d(g(q))(t) = DG(q) q. dt Podemos escrever essas operações no espaço (t, q, q) na forma G(t, q, q), onde G pode ser decomposto em suas coordenadas G(t, q, q) = ( G t (t, q, q), G q (t, q, q), G q (t, q, q)) = (t, G(q), DG(q) q). No segundo caso, em que a simetria envolve explicitamente t, temos um operador levando (t, q) em G(t, q). Isso leva a um operador que leva (t, q, q) em G(t, q, q). Fazendo a decomposição nas coordenadas, temos G(t, q, q) = ( G t (t, q, q), G q (t, q, q), G q (t, q, q)), com a relação de compatibilidade G q (t, q, q) = d dt G q (t, q, q). No caso particular de translações no tempo, temos apenas G t (t, q, q) = t + s, G q (t, q, q) = q e G q (t, q, q) = q Grupos de simetrias. Geralmente, temos famílias de transformações de simetrias ao invés de apenas uma. Por exemplo, podemos fazer translações no tempo por vários intervalos τ. Isso pode ser representado por uma família de transformações G τ (t, q, q) = (t + τ, q, q). Translações no espaço também podem ser representadas por uma família assim como movimentos uniformes G q0 (t, q, q) = (t, q + q 0, q), G v (t, q, q) = (t, q + vt, q + v) e rotações G θ (t, q, q) = (t, R(θ)q, R(θ) q). Observe, ainda, que essas famílias de transformações tem certas estruturas. Por exemplo, translações satisfazem G τ1 +τ 2 = G τ1 G τ2 = G τ2 G τ1. Isso dá uma estrutura de grupo abeliano (ou comutativo) a {G τ } τ R. Movimentos uniformes também formam grupos abelianos. Rotações sobre um mesmo eixo também.

34 34 4. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA, SIMETRIAS E O TEOREMA DE NÖTHER Mas rotações sobre eixos diferentes não comutam e geram um grupo não-abeliano (composição de rotações ainda é uma rotação, mas não basta somar os vetores de rotação, a menos que eles sejam colineares). Em geral, vamos denotar um grupo de simetria por uma família {G s } s, com parâmetro s. Algumas simetrias são discretas, ou seja, quando s é discreto. Esse é o caso, por exemplo, de simetrias por reflexão em torno de um eixo ou da origem, ou por rotações por múltiplos de um ângulo especificado. Para a relação com leis de conservação, no entanto, vamos considerar simetrias contínuas, ou seja, em que o parâmetro de simetria s pertence a algum subconjunto conexo de um espaço Euclidiano (ou alguma variedade diferenciável, mais geralmente). Por exemplo, no caso de translações no tempo, s R; no caso de translações no espaço, s R 3 ; no caso de rotações em torno do eixo z, s R (ou, mais precisamente, o círculo unitário S 1 ) Simetrias associadas a translações no tempo. A translação no tempo de um instante τ é a transformação (t, q) (t + τ, q). Nesse caso, a translação não afeta a variável q. Com isso, ela também não altera q. Essa translação pode ser formalizada através de um operador G τ no espaço (t, q, q) que leva (t, q, q) em G τ (t, q, q) = (t + τ, q, q). Esse operador pode ser decomposto em suas coordendas G t τ (t, q, q) = t + τ, Gq τ (t, q, q) = q e G τ q (t, q, q) = q. Caso o lagrangeano seja independente t, ou seja, caso ele seja da forma então L(t, q, p) = K(q, q) V (q, q), L(t, q, q) = L(t + τ, q, q). Em termos do operador translação G τ, podemos escrever L( G τ (t, q, q)) = L(t, q, q), para todo τ R. Isso significa dizer que o lagrangeano é invariante pela simetria G τ ou, no caso, invariante por translação no tempo. Caso as restrições envolvessem explicitamente o tempo, o sistema não seria mais invariante por translação. Um exemplo é em relação a algum sistema em que a radiação solar seja modelada através de uma força externa, que necessariamente deverá depender do tempo, pois a radiação solar varia com a hora do dia e com a época do ano. Por outro lado, poderíamos incluir o sol no sistema e a radiação solar dependeria da distância e da posição relativa da Terra em relação ao Sol; nesse caso, o variação da radiação solar estaria implícita e a invariância ainda seria válida Simetrias associadas a translações no espaço. Outra simetria importante é a de translação no espaço. Podemos fazer uma translação que leva q em q + q 0. Como q 0 é constante, temos que a derivada temporal d(q + q 0 )/dt = q também não se altera. Assim, podemos considerar a translação no espaço que leva (t, q, q) em (t, q + q 0, q).

35 2. SIMETRIAS 35 Podemos reescrever essa translação com a ajuda do operador G q0 (q) = q + q 0. Temos, também, d(g q0 (q))/dt = q. No caso do lagrangeano ser independente explicitamente de t, podemos simplificar, introduzindo um operador translação apenas em (q, q) e dado por G q0 (G q0 (q), d(g q0 (q))/dt)) = (q + q 0, q). No caso do corpo em queda livre, temos uma simetria do problem em relação a translações apenas no plano xy. De fato, para q = (x, y, z), o potencial é V (x, y, z) = mgz e o lagrangeano tem a forma L(x, y, z, ẋ, ẏ, ż) = K(ẋ, ẏ, ż) mgz. Tomando q 0 = (x 0, y 0, 0), vemos que Em termos do operador translação, temos L(x + x 0, y + y 0, z) = L(t, x, y, z). L( G q0 (q, q)) = L(q, q), expressando a invariância do lagrangeano por translações no plano xy. A quebra de simetria em relação ao eixo z vem do fato de que estamos considerando a Terra fixa e movendo apenas o objeto, afastando-o da superfície da Terra e alterando a força de atração. Caso considerássemos a Terra como parte do sistema, como é feito em sistemas planetários, translações em qualquer direção moveriam todos os objetos, sem alterar a distância entre eles e, com isso, sem alterar as forças de atração. Dessa forma, translações em todas as direções seriam permitidas sem quebrar a simetria. No caso do lagrangeano também depender explicitamente de t, podemos considerar o operador G q0 (t, bq, q) = (t, q + q 0, q). Caso o sistema possua uma simetria em relação a translações no espaço, isso será expresso pela relação L(G q0 (t, q, q)) = L(t, q, q), 2.5. Simetrias associadas a rotações. Finalmente, vamos considerar rotações em torno de um eixo. Digamos, rotações em torno do eixo z por um ângulo θ no sentido trigonométrico. Podemos escrever isso através da matriz de rotação cos θ sin θ 0 R(θ) = sin θ cos θ Assim, a rotação no espaço de fase é a transformação (t, q, q) (t, R(θ)q, q). Isso pode ser escrito com a ajuda do operador rotação G θ que leva q em G θ (q) = R(θ)q. Em termos da derivada temporal, temos dg θ (q) = dr(θ)q = R(θ) q. dt dt No espaço (t, q, q), isso pode ser representado pelo operador que leva (t, q, q) em G θ (t, q, q) = (t, R(θ)q, R(θ) q) O problema do corpo em queda livre, por exemplo, satisfaz essa simetria, já que a rotação não altera a coordenada z, que é a única coordenada que aparece após

36 36 4. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA, SIMETRIAS E O TEOREMA DE NÖTHER simetria translação no tempo translação no espaço rotações no espaço quantidade conservada energia total momento linear momento angular Tabela 1. Simetrias e quantidades conservadas associadas. as restrições. Da mesma forma, o problema do pêndulo em rotação, que será visto posteriormente, também possui essa simetria, pois a energia cinética (m/2)(ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ) não é alterada sob rotações em nenhum dos eixos, enquanto que a energia potencial não é alterada sob rotações em torno do eixo z. Para ambos os lagrangeanos, podemos escrever L( G θ (t, q, q)) = L(t, q, q), para todo θ. Mas se a simetria fosse em relação a outro eixo diferente de z, a coordenada z seria alterada e, com isso, a energia potencial e o lagrangeano seriam modificados. Nesse caso, o lagrangeano não seria invariante. Já em sistemas planetários, levando todos os planetas relevantes em consideração, rotações em relação a qualquer um dos eixos são permitidas, sem alterar as distâncias relativas entre os planetas e, com isso, sem alterar o lagrangeano. Caso o lagrangeano seja independente explicitamente de t, podemos considerar simplesmente G θ (q, q) = (R(θ)q, q) e a simetria será expressa por para todo θ. L( G θ (q, q)) = L(q, q), 3. Quantidades conservadas e o teorema de Nöther Conforme mencionado acima, o teorema de Nöther está por trás de um princípio que relaciona simetrias a quantidades conservadas e vice-versa. Exemplos dessa relação aparecem na tabela 1. Nos exemplo acima, vimos como escrever a invariância por simetria na forma L(G s (t, q, q)) = L(t, q, q), em relação a alguma variável s, para algum operador G s agindo no espaço de fase formado pelas coordenadas (t, q, q). A idéia é que podemos obter certas quantidades conservadas a partir de uma simetria desse tipo. Mas essas quantidades conservadas não são novas informações sobre o sistema. As informações possíveis estão todas implícitas nas equações de Euler-Lagrange. Mas as simetrias tornam explícitas certas informações. Por exemplo, no caso do lagrangeano independer explicitamente de t, as soluções das equações de Euler-Lagrange satisfazem o princípio da conservação de energia, como vimos anteriormente. Mas esse resultado não era óbvio. Da mesma forma, outras propriedades

37 3. QUANTIDADES CONSERVADAS E O TEOREMA DE NÖTHER 37 como conservação de momento linear e de momento angular podem estar implícitas nas equações de Euler-Lagrange e podem ser trazidas à tona com o princípio mais geral do teorema de Nöther. O teorema de Nöther revela quantidades conservadas a partir das simetrias. Lembremos que as equações de Euler-Lagrange aparecem a partir da minimização da ação em relação a todos os caminhos possíveis ligando dois pontos q(0) = q 0 e q(t ) = q T em instantes diferentes. Representamos isso da forma A(q( )) = min q Q 0 A(q( ) + q( )), onde Q 0 indica o conjunto de todos os caminhos q possíveis iniciados em q(0) = 0 e terminados em q(t ) = 0, de modo que q(0) + q(0) = q 0 e q(0) + q(t ) = q T. A idéia por trás do princípio de Nöther é minimizar apenas em relação a certos caminhos possíveis. Isso nos dará menos informações que as equações de Euler-Lagrange nos dão, mas isso revelará informações que não estavam explícitas nessas equações. Os possíveis caminhos a serem tomados são os caminhos associados ao operador de simetria Quantidades conservadas por simetrias espaciais. Vimos simetrias que envolvem ou não o tempo. Vamos considerar esses dois tipos separadamente. No caso de não envolver o tempo, temos um Lagrangeano da forma L(q, q) e uma simetria que leva q em G s (q). As equações de Euler-Lagrange aparecem da minimização da ação, o que passa por achar os seus pontos críticos, dados por A(q( )) q = T 0 ( q L r (q(t), q(t)) q(t) + q L r (q(t), q(t)) q(t) ) dt. Substituindo q L r a partir das equações de Euler-Lagrange e usando que o minímo é ponto crítico da ação, temos T (( ) ) d dt ql r (q(t), q(t)) q(t) + q L r (q(t), q(t)) q(t) dt = 0. 0 Agora, vamos considerar apenas caminhos na direção das simetrias, ou seja, q = d(g s(q)) ds Com isso, T (( ) d dt ql r (q(t), q(t)) 0, com q = d (G s (q)). ds d(g s(q))(t) ds ) + q L r (q(t), q(t)) d (G s (q))(t) dt = 0. ds