MÉTODO DE EULER NÃO LINEAR APLICADO A ÓRBITAS DO SISTEMA n-corpos

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1 DEARTAMETO DE BARRAGES DE BETÃO úcleo de Modelação Matemátca e Físca roc. 040/11/1776 MÉTODO DE EULER ÃO LIEAR ALIADO A ÓRBITAS DO SISTEMA n-oros Lsboa março de 013 I&D BARRAGES DE BETÃO RELATÓRIO 83/013 DBB/MMF

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3 MÉTODO DE EULER ÃO LIEAR ALIADO A ÓRBITAS DO SISTEMA n-oros RESUMO este relatóro é apresentado o método de Euler para calcular as órbtas do sstema n-corpos, por exemplo, o dos planetas do sstema Solar, tendo em conta a propagação das forças gravítcas entre o Sol e os planetas e entre os planetas entre s. Apenas requer como dados ncas uma observação anteror das órbtas em termos de posção e velocdade. A correcção da nteracção entre planetas não é suavzada, o que se justfca pelos seus valores. A correcção relatvsta é mportante. n-bodies SYSTEM ORBITS OMUTED BY O LIEAR EULER METHOD ABSTRAT Ths Report presents the Euler method of computng n-bodes system orbts, e.g. Solar system planet orbts, takng nto account gravty forces propagaton between planets and Sun and n between planets. The requred ntal data conssts of an early orbts montorng n what concerns poston and velocty. The planets nteracton s not smoothed, owng to thers values. The relatvst adjustment s mportant to take nto account.

4 ÍDIE ITRODUÇÃO (1) MODELO (1) OLUSÕES (4) BIBLIOGRAFIA (4) AGRADEIMETOS (4) AEXO (5)

5 MÉTODO DE EULER ÃO LIEAR ALIADO A ÓRBITAS DO SISTEMA n-oros âmara, R. ITRODUÇÃO o caso partcular das órbtas dos planetas do sstema Solar é de salentar a não valdade do prncípo da sobreposção de efetos, ou seja, não se pode somar órbtas. Isto deve-se à não lneardade do operador retardado e aos efetos relatvstas. Deste modo tem em cada nstante de se calcular a resposta à soma de todas as forças no mesmo referencal cartesano. MODELO Seja: M-Sol; m-terra;, -lanetas (nclusve Terra); -Velocdade da luz; A-Operador Retardado; G- onstante gravítaconal; B- Operador que traduz as equações de Estado, com def r ( t t) r( t t) r G% = G ; t t = ; ; f = f ( t + n t t) n = 0,1, L r( t t) r& t t ;r = x x ; r = (r ) + (r ) + (r ) Assm da gualdade das forças f : m M 1 3 G% Mm t r( t t) 1 f( t t) = δ ; ( ) t t δ t r ( t t) t f ( t t) = mr& ( t t) / t = ( mr && ) + ( mr&& ) ( ) t t t t Gr ( t t) M m& = ( ) ( ) r& + r&& r( t t) r ( r( t t) / ) m t t t t As órbtas são polgonas. um dado nstante, se actuam váras forças no planeta Terra os operadores apresentados segudamente somam-se, referdos aos exos cartesanos do Sol. Seja o operador B k =B k B B 1. Então para que a órbta seja fechada B 1 =1 B k =1. Seja A o operador retardado dado por: M GM A = t t r t t r r t t ( ) ( ( ) / ) 1

6 Então com: M m M r x x M = m M r& x& x& Obtém-se: M M 0 0 M r 0 I r r M = M M M m M r A ta + & & r 0 r t t & & m t t t t t t t t M M M t = M M M t t t t t r r r r& r& r& Seja V a velocdade constante em cada lado da polgonal antes e depos da actuação das forças. As fórmulas relatvstas que se seguem permtem que, vsto do Sol, haja uma quase gualdade entre a expansão do rao e do perímetro da órbta. or outro lado a dlatação do espaço e do tempo consderadas é a mesma. Assm, esta relatvdade apresenta vantagens numércas em relação à relatvdade restrta numa stuação em que se aplca a relatvdade geral, ou seja nas órbtas quase crculares. M r M r& I ti r M = M M m t M A t t t t At t t + I + I r t t m & t t Fórmulas relatvstas: V ( t t) V V mt ; t ' t ; l ' l m V ( t) t t V V Relatvdade consderada: l' = t + V t ' = t ' ; t '- relógo em M ; t- relógo em m. A nteracção dos planetas entre s começa após establzação das suas órbtas em torno do Sol. Estas são determnadas após chegada da gravdade do Sol, consderando como dados a posção do planeta e a velocdade na sua órbta. Quando se refere ao Sol (M) e lanetas (,) a nteracção entre planetas (-) é pequena e podese somar às órbtas em torno do Sol. Assm, para a nteracção entre os planetas, vem:

7 0 r I ti r = + f & + & t r A t t t A t t t t I r t t m t t ; r x x = r& x& x& e, 0 r I ti r = + f & + & r At t t A t t t I r t t t t m t t ; r x x = r& x& x& Assm: I ti x x A t t t At t t + I x& & x t t t t = A t A t I x x I ti x x M M f + & t t t t t & t t t m t t I ti x x At t t At t t + I x& x& t t t t = I ti x x M M f + & t At t t At t t I x & x t t t m t t I ti = + M M At t t At t t + I t t t t x x x x& x& x& x x& = M M At t t At t t + I x& t t t ti x x x I ti x = + M M & & x At t t At t t x + I x& t x x& I t I ti x = M M At t t At t t + I x& t t t t t onsdera-se a dferença de cada planeta com os restantes. As forças de fxação quando lbertadas orgnam o movmento do planeta. 3

8 As coordenadas do centro de massas de cada planeta ncluu o planeta e satéltes em cada nstante. A posção relatva do planeta e seus satéltes mplca a solução aproxmada das órbtas dos satéltes em torno do planeta. OLUSÕES o caso de um movmento rectlíneo unforme a expansão espacal segundo a recta é dferente da verfcada na drecção perpendcular. Trata-se de um problema de relatvdade restrta. o caso de um movmento crcular unforme a expansão segundo o perímetro tem de ser gual à expansão segundo o rao. Trata-se de um problema de relatvdade geral. este trabalho optou-se por modfcar lgeramente a relatvdade restrta de modo a obter uma melhor aproxmação no caso da relatvdade geral, como se pode constatar no anexo. A utlzação de mpulsos gravítcos do tpo de Delta de Drac permte obter órbtas polgonas que apenas serão fechadas no caso exposto no texto. om a consderação da relatvdade as órbtas são abertas. BIBLIOGRAFIA Rodrgues, João Introdução à teora da relatvdade restrta. IST ress, Henrques, Alfredo Teora da relatvdade geral. Uma ntrodução. IST ress, 009. Ensten, Albert O sgnfcado da relatvdade.gradva. AGRADEIMETOS O Autor expressa o seu agradecmento ao Investgador uno Azevedo, pela sugestão da mportânca do amortecmento t A, e ao Investgador Sérgo Olvera pela sugestão do uso dos Delta de Drac. 4

9 AEXO Seja r no referencal Sol relaconado com r no referencal Terra. A velocdade entre os dos referencas, V, admte-se proporconal a r. Substtundo a segunda na prmera relação e dferencando em relação a r obtém-se aproxmadamente a mesma relação (dr,dr) que (r,r). Enquanto (r,r) se drge segundo o perímetro da crcunferênca, (dr,dr) drge-se segundo o rao. Assm a expansão do perímetro é aproxmadamente gual à expansão do rao. V 1+ V r ' = r ; = Kr V 1 dr ' (1 + Kr)(1 K r ) + K(1 K r ) + rk (1 + Kr) = (1 K r ) dr dr ' (1 + Kr)(1 K r + rk + K) = (1 K r ) dr (1 + Kr) (1 Kr + K) dr dr dr ' = dr = (1 + Kr) (1 Kr) 1 Kr V 1 V 1+ ' πr T ' = T ; ' = π r ' ; v ' = = = v V T ' T 1 5

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11 Dvsão de Dvulgação entífca e Técnca - LE