Física Aplicada à Engenharia Civil I

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1 Introdução Grandezas Físcas Exstem cnco grandezas fundamentas no Sstema Internaconal (SI): comprmento (L) massa (M) tempo (T) corrente eléctrca (I) temperatura (Θ) Sstemas de undades Sstema Internaconal de Undades - SI (o mas usado em físca): o Comprmento: metro (m) o massa: qulograma (kg) o tempo: segundo (s) o Temperatura: Kelvn (K) o Corrente Eléctrca: Ampere (A) Este sstema é também conhecdo por sstema mks devdo a meter-klogramsecond. Sstema Gaussano (usado prncpalmente em químca): o comprmento: centmetro (cm) o massa: grama (g) o tempo: segundo (s) Este sstema é frequentemente referdo como sstema cgs devdo a centmetergram-second. Sstema Brtânco de Engenhara: o Comprmento: pé (ft) o massa: slug o tempo: segundo (s) Notação Centífca Por vezes é convenente expressar números pequenos ou grandes em notação centífca. Por exemplo: 5, = 5 x 1 3 e.4 = 4 x 1-4. Os prefxos comuns mas usados são apresentados como potêncas de 1 e estão apresentados na tabela segunte. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 1

2 Por exemplo: Tabela. Prefxos usados com o sstema métrco de undades. Potênca Prefxo Abrevatura 1-9 nano N 1-6 mcro 1-3 mll M 1 - cent C 1-1 dec D 1 3 klo K 1 6 Mega M a) 6. m = 6, x 1 4 m = 6, km b),3 s = 3 x 1-3 s = 3 ms Análse dmensonal A análse dmensonal refere-se à natureza qualtatva da quantdade físca (comprmento, massa, tempo). Os parentess rectos denotam a dmensão ou undades de uma quantdade físca (verfcar tabela segunte): Tabela: Dmensões Quantdade dmensão Área [A] = L m Volume [V]=L 3 m 3 Velocdade [v] = L/T Undades SI m/s Aceleração [a] = L/T m/s Massa [m] = M kg Observação: A análse dmensonal pode ser usada para a obtenção ou verfcação de fórmulas usando as dmensões como quantdades algébrcas. Apenas se podem somar ou subtrar quantdades que possuam a mesma dmensão. As quantdades em dos membros de uma equação terão de ter a mesma dmensão. Nota: A análse dmensonal não fornece factores numércos. Por exemplo: a dstânca (x) percorrda por um carro num determnado tempo (t), partndo do repouso com aceleração constante (a) é dado por: x = (1/)at. Esta equação pode ser verfcada através de análse dmensonal: Alexandra Aflhado e Pedro Slva

3 m.e. [x] = L m.d. (1/)at = (1/) [a][t ] = (L/T ) T = L. Desde que a dmensão do membro esquerdo (m.e.) da equação seja a mesma que a apresentada no membro dreto (m.d.) da equação, a equação é dta, dmensonalmente homogénea. Conversão de Undades Observação: As undades podem ser utlzadas como quantdades algébrcas. Por exemplo, podemos utlzar o factor de conversão 1 n =.54 cm para reescrever 15 polegadas em centmetros. 15 n = 15 n (.54 cm / 1 n) = 38.1 cm Notação Matemátca 1. - proporconal a. < ou > - menor ou maor que 3. << ou >> - muto menor ou muto maor que 4. - aproxmadamenrte gual a 5. - defndo como 6. x varação da quantdade x 7. - somatóro 8. x - valor absoluto de x 9. - Exste 1. - mplca que equvalente a 1. = - gual a Alexandra Aflhado e Pedro Slva 3

4 Sstemas de Coordenadas A localzação de um ponto numa lnha pode ser descrto por uma coordenada; um ponto num plano pode ser descrto por duas coordenadas; um ponto num volume trdmensonal pode ser descrto por três coordenadas. Em geral o número de coordenadas guala o número de dmensões do espaço. Um sstema de coordenadas consste em: 1. um ponto de referênca fxo (orgem). uma sére de exos com drecções e escalas especfcadas 3. nstruções que especfquem como caracterzar um ponto no espaço relatvo à orgem e exos. Sstemas de coordenadas no plano 1 cartesanas (sstema de coordenadas rectangular): (x, y) Y Y P(x o,y ) Com x e y R X X polares: (r,θ) Y r P(r,θ) θ X Com r [, + ] e θ [, π[ Alexandra Aflhado e Pedro Slva 4

5 As coordenadas clndrcas (r, θ) de um ponto (x,y), são defndas por, x = r cos θ y = r sen θ e com relações nversas dadas por, r = (x + y ) 1/ θ = arctg (y/x) Sstemas de coordenadas no espaço Sstemas de coordenadas cartesanas (x, y, z). P é a projecção de P no plano XOY x z k O j P(x,y,z) P (x,y,) y OP = P O = x + yj + zk Com x, y e z R Sstema de coordenadas clndrcas: (r, q, z) z P(r, θ, z) k e r e è OP = re + zk r O θ r y x P (r, θ, ) Com r [, + [, θ [, π[ e z R Alexandra Aflhado e Pedro Slva 5

6 As coordenadas clndrcas (r, θ, z) de um ponto (x,y,z), são defndas por, x = r cos θ y = r sn θ z = z e nversamente, r = (x + y ) 1/ θ = arctg (y/x) z = z Sstema de coordenadas esfércas: (r, q, j ) z O θ ϕ r P(r,θ,ϕ) e r y e è e ϕ OP = re r x P (rsnϕ,θ,π/) Com r [, + [, θ [, π[ e ϕ [, π] As coordenadas esfércas (r, θ, ϕ) de um ponto (x,y,z), são defndas por, x = r cos θ sn ϕ y = r sn θ sn ϕ z = r cos ϕ e nversamente, r = (x + y +z ) 1/ θ = arctg (y/x) ϕ = arcos (z/r) Defnção: O vector posção r, em qualquer sstema de coordenadas, especfca a posção de um dado ponto relatvamente à orgem do sstema de exos utlzado. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 6

7 Concetos matemátcos necessáros 1. Operações com vectores a) Adção de vectores A = B + C Notação: A = (B1 + C1 )e1 + (B + C)e + (B3 + C3) e3 Exemplo: calculo da força resultante = b) Produto de um vector por um escalar: A bb Notação: A = ba1e1 + ba e + ba3e3 Exemplo: cálculo da força efectva, quantdade de movmento c) Produto nterno: a = B C Notação: a = B C B C B C Exemplo: determnação da componente de uma força numa dada drecção, cálculo do trabalho d) Produto externo: A = B C Notação: A = e B C e B C e B C Exemplo: cálculo do momento de uma força, cálculo do momento ângular, cálculo da força magnétca e) Cálculo de determnantes 3x3 Notação: Alexandra Aflhado e Pedro Slva 7

8 A B C A B C A B C = A ( B C 1 3 B 3 C ) + A ( B C 3 1 B C ) A ( B C 3 1 B C 1 ) Exemplo: cálculo de momentos e rotaconas Cálculo dferencal a) Dervada e dferencal duma função Notação: f = f(x) df = df dx dx Exemplo: determnação da velocdade conhecda a posção em função do tempo b) Dervada da função composta df f = Notação: = f[ x(t) ] df dx dx Exemplo: determnação da velocdade em função do tempo, de um corpo lgado a uma mola ou lgado a um dspostvo de amortecmento vscoso c) Dervada parcal x e gradente de um campo escalar V(P) V V(P) = x x V V gradv = + j + x y Notação: V k z Exemplo: relação entre um campo de força conservatvo e a respectva energa potencal, determnação do trabalho de uma força conservatva d) Rotaconal de um campo vectoral F (P) Notação: rot F = x F x j y F y k z F z Alexandra Aflhado e Pedro Slva 8

9 Exemplo: verfcação de que um campo de força é conservatvo Cálculo ntegral a) Prmtvas e ntegras smples df Notação: f(x) = f(x)dx = df f(x)dx = F(x) + cte dx x df f(x) = f(x)dx = df f(x)dx = df f(x)dx = F dx x 1 F F 1 x x 1 F 1 Exemplo: determnação da velocdade e/ou posção de um corpo, conhecdas as forças que sobre ele actuam b) Integras de lnha de campos vectoras Notação: äw = F dp W = Exemplo: cálculo do trabalho de uma força ã F dp, em que γ representa um camnho Alexandra Aflhado e Pedro Slva 9

10 Cnemátca dos Corpos Rígdos Introdução Estudo das relações exstentes entre o tempo, as posções, as velocdades e as acelerações das váras partículas que formam um corpo rígdo. Vector posção, velocdade e aceleração A posção de uma partcula ou ponto materal (PM) num dado ntante t pode defnr-se pela utlzação de um vector r, traçado num sstema de referênca fxo OXYZ. Este vector caracterza-se pela sua: a) Intensdade b) Drecção c) Sentdo Assm, defne-se de um modo completo a posção de um PM em relação ao sstema de exos. Consdere a fgura segunte em que o representa um ponto fxo no espaço. z P (x,y,z ) r ' r s v k r P(x,y,z) O j y x O vector posção do PM num determnado nstante t em relação a é defndo como o vector O P, tal que, r = O P (m) Consdere-se agora a posção P do PM no nstante t + t, caracterzado pelo vector r. O vector r, que une P a P, traduz a varação do vector posção durante t, em termos Alexandra Aflhado e Pedro Slva 1

11 de drecção e ntensdade. Deste modo temos a velocdade méda do PM, defnda como: v m = r / t Escolhendo-se ntervalos de tempo cada vez menores e por consegunte, vectores r cada vez menores, obtemos a velocdade nstantânea: v = lm t -> ( r / t) dr / (m/s) A ntensdades v do vector v, desgna-se velocdade do PM ou ntensdade da velocdade. À medda que t se torna menor, o comprmento aproxma-se do comprmento do arco PP, sendo v dado por: v = lm t -> (PP / t) = lm t -> (D s / t) ds / (m/s) Pode-se assm obter a velocdade v, dervando em ordem a t o comprmento s do arco descrto pelo PM. De modo análogo se obtém a aceleração méda do PM, como, a m = v / t De salentar que a varação da velocdade se dá em drecção e ntensdade. A aceleração nstantânea, a qual corresponde à taxa de varação da velocdade no tempo, é representada pelo vector a dado por, a = lm t -> ( v / t) dv / = dr / (m/s ) De salentar anda que, geralmente o vector aceleração não é tangente à trajectóra descrta pelo PM. A trajectóra é a curva defnda pelas sucessvas posções do PM. Em geral a posção, velocdade e aceleração do PM dependem do tempo, ou seja, r = r (t) v = v (t) a = a (t) Alexandra Aflhado e Pedro Slva 11

12 Translacção O movmento de um corpo rígdo (CR) dz-se de translacção quando qualquer recta defnda por dos pontos genércos no CR conserva a mesma drecção durante o movmento. Todas as partculas que formam o corpo deslocam-se segundo trajectóras paralelas. a) Translacção rectlínea Quando as trajectóras são lnhas paralelas A A B B b) Translacção curvlínea Quando as trajectóras são lnhas curvas A A B B Rotação em torno de um exo fxo Neste tpo de movmento de um CR, as partículas movem-se em planos paralelos e segundo crcunferêncas em torno do mesmo exo fxo. Se o exo de rotação ntersectar o corpo rígdo, as partículas localzadas sobre ele terão velocdades e aceleração nulas. A B Observação: Translacção curvlínea Rotação Alexandra Aflhado e Pedro Slva 1

13 Movmento rectílneo varado O movmento de um corpo dz-se rectlíneo quando a respectva trajectóra é uma recta. Para o movmento rectlíneo temos, r // v // a, e pode estudar-se o movmento apenas com as seguntes expressões, r = x v = v x = v, com v = dx/ a = a x = a, com a = dv/ O movmento dz-se varado quando a aceleração não é constante. Quando a aceleração é constante o movmento dz-se unformemente varado. Dada a posção em função do tempo, a determnação de v e a é obtda drectamente por dervação. Contudo, quando se pretende determnar v e r, dada a aceleração tem que se efectuar a ntegração das equações do movmento. Aceleração como função do tempo: a = a(t) Sabendo-se que, obtém-se, a(t) = dv/ v = v + t t a(t) ou seja, dada a função a(t) e a velocdade num nstante ncal t é possível determnar a velocdade em função do tempo. Para se obter a posção efectua-se o mesmo tpo de racocno, ou seja, sendo v = v(t) e sabendo-se que, v(t) = dx/ obtém-se x = x t + v(t) t Então, dada a velocdade v(t) e a posção num nstante t é possível determnar a posção em função do tempo. Aceleração como função da velocdade: a = a(v) Quando a aceleração é dada em função da velocdade a = a(v), tem de se efectuar alguma manpulação das expressões antes de se ntegrar. Então de, Alexandra Aflhado e Pedro Slva 13

14 obtém-se a(v) = dv/ = dv/a(v) t t = v v 1 dv a(v) conhecda a expressão a(v) e a velocdade no nstante t, pode determnar-se a velocdade em função do tempo. Pode anda determnar-se x drectamente da a = a(v). Ou seja, sendo, a=a(v), então, obtendo-se a(v) = dv/ = (dv/dx)(dx/) = v dv/dx x = x + v v v a(v) dv Logo, obtém-se a posção em função da velocdade. Aceleração como função da posção: a = a(x) Segundo o mesmo tpo de racocíno, temos então, a(x) = dv/ = (dv/dx)(dx/) = v (dv/dx) obtendo-se v = v + x x a(x)dx ou seja, para determnar a velocdade basta conhecer a(x), e a posção e velocdade num nstante t. Casos Partculares 1 Movmento rectlíneo unforme Sendo, v = dx/ = cte, logo da expressão anteror, obtemos, x = x + v v v a(v) dv Alexandra Aflhado e Pedro Slva 14

15 x = x + v(t-t ) Movmento rectlíneo unformemente acelerado Para este tpo de movmento, temos, a = dv/ = cte Consderando a expressão, v = v + t t a(t), obtém-se, v = v + at assumndo que t =. Consderando agora esta nova equação, e sabendo-se que: v = dx/ = v + at obtém-se at x = x + vt + Consderando agora a expressão, v = v + x x a(x)dx então para o tpo de movmento em questão obtemos, v = v + a(x x ) Alexandra Aflhado e Pedro Slva 15

16 Componente tangencal e normal da aceleração Como já se verfcou, a velocdade de um corpo é um vector tangente à sua trajectóra, mas, em geral a aceleração não o é. Torna-se por consegunte, convenente decompor a aceleração em componentes, drgdas segundo a tangente e a normal à trajectóra do corpo. C centro da curvatura ρ - rao da curvatura e n versôr normal à trajectóra em P dθ P e t versôr tangente à trajectóra em P e n versôr normal à trajectóra em P Trajectóra P e t versôr tangente à trajectóra em P Sendo a velocdade da partcula tangente à trajectóra, podemos expressá-la pelo produto do escalar v pelo versor v = v e t e t, ou seja, Para obter a aceleração do corpo, devemos dervar esta equação em ordem a t, ou seja, dv a = = d Desenvolvmento de: (ve ) = t e d t dv et det + v Projectando as componentes normal ( e n ) e tangencal ( e t ) no sstema de exos cartesanos, temos, y e t = cosθ + senθj e n = -senθ + cosθj e n θ j e t θ Então, x Alexandra Aflhado e Pedro Slva 16

17 de t e d t det = = d d (e t x dθ = e ) + d cosθ + n (e d t y ) j senθj = dθ ( senθ) + dθ cosθj = dθ ( senθ + cosθj) Sabendo-se que, porque, dθ dθ = ds dθ 1 = ds ρ ds e 1 = v ρ ds = v onde ρ corresponde ao rao de curvatura. Então, ρ dθ ds =ρ dθ logo, então, dθ v = ρ det = v e ρ dv dv v a = = et + en ρ n sendo, ) dv a T =, a componente tangencal da aceleração. Taxa de varção do módulo da velocdade ) a n v =, a componente normal da aceleração. Relacona-se com a taxa ρ de varação da drecção da velocdade e é sempre, logo o vector da aceleração aponta sempre para a parte concava da trajéctóra. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 17

18 O módulo da aceleração vem então dado por, a = a T + a n = dv v + ρ 4 e n P e T a T Casos partculares a n a 1) a a T n = dv v = ρ v = cte = v = cte ) Movmento rectlíneounforme ρ = v = = ou ) v = Não exstemovmento ρ = ) dv at = = v = cte Movmento v a n = = cte ρ = cte ρ crcular unforme 3) Sempre que a T = dv/ = v = cte, logo o movmento é unforme. 4) Sempre que a T = cte dv/ = cte v t, e o movmento é unformemente varado. 5) Sempre que a n = v /ρ =, então v = e não exste movmento, ou, ρ = e o movmento é rectlíneo. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 18

19 Componentes radal e transversal da velocdade e aceleração Em alguns problemas do movmento plano, a posção de um corpo defne-se através das suas coordenadas polares r e θ. y e θ e r j r θ O x Torna-se então necessáro decompor a velocdade e aceleração do corpo segundo duas drecções, uma paralela e outra perpendcular à lnha OP, as quas se desgnam por componente radal e transversal, respectvamente. P Sendo, de r deθ = eθ e = er dθ dθ e como, r = re r então, dr d dr der v = = (rer ) = er + r = re aplcando a regra da dferencação em cadea, der der dθ = e θ dθ θ Então substtundo em v, temos, r de + r r v = re + rθ e r θ onde: e 1) = r, representa a componente radal da velocdade v r ) v = r θ, representa a componente transversal da velocdade θ Dferencando novamente em ordem a t, obtemos a aceleração, ou seja, dv a = = re Sabendo-se que, r der + r + r θe θ + rθ e θ de + rθ θ Alexandra Aflhado e Pedro Slva 19

20 de r = θ eθ e e aplcando agora a regra da dferencação em cadea a d θ, temos, deθ deθ dθ = = e θ dθ r Substtundo agora na expressão da aceleração, obtemos, dv a a = (r r e = = rer + rθeθ + rθeθ + rθeθ ( θ ) )e + (rθ r + r θ) θ r ( θ ) er e com: 1) a r r( θ) r =, representando a componente radal aceleração ) a = r θ + r θ, representando a componente transversal aceleração. θ Caso Partcular Movmento Crcular Para este tpo de movmento temos, r = cte r = r = Logo, v v e r θ = = rθ a = θ r r aθ = rθ Alexandra Aflhado e Pedro Slva

21 Movmento curvlíneo varado Quando o movmento é varado, a aceleração não é constante e a determnação da velocdade e posção em função do tempo a partr da aceleração envolve ntegração das equações do movmento. Seja, então, a = a(t), v = v(t) e r = r(t) dv a = dv = a v t dv = a v = v + v t t t a e v = dr dr = v r t dr = v r = r + r t t t v Em coordenadas cartesanas estas equações vectoras passam à forma: v v v x Y Z = v = v = v x Y Z t t t t t t a a a x Y Z e x = x y = y z = z t t t t t t v x v y v z Alexandra Aflhado e Pedro Slva 1

22 Quando se conhecem as componentes tangencal e normal da aceleração pode proceder-se à ntegração das equações do movmento como se descreveu para o movmento rectlíneo, tendo em conta que se deve substtur a aceleração por aceleração tangencal, ou seja, Se a T =a T (t), pode usar-se a relação desta com v para determnar v(t): a T = dv dv = a T v t dv = at v = v + v t t t a T Se a T =a T (s) ou a T =a T (v), efectuam-se as mudanças de varável necessáras e obtêm-se expressões análogas às obtdas no caso do movmento rectlíneo. Alexandra Aflhado e Pedro Slva

23 Rotação em Torno de um exo fxo O movmento de um corpo rígdo (CR, não deformável), dz-se de rotação em torno de um exo fxo quando todas os ponto do corpo se deslocam em trajectóras crculares paralelas e centradas na mesma recta fxa, desgnada por exo de rotação. A B Deslocamento, velocdade e aceleração angular Seja um corpo rígdo plano, confnado ao plano xy, e consdere-se uma das suas partículas ncalmente sobre o exo OX. Durante o movmento da partícula, desde o exo OX (θ = ) até ao ponto P, ela descreve um arco de crcunferênca de comprmento S, que se relacona com a y posção angular θ, através da P expressão, r θ S ou s = rθ θ = s/r O x Sendo θ a razão entre o comprmento de arco e o rao da crcunferênca, então θ corresponde a um número puro. Contudo atrbu-se a θ a undade artfcal, radano (rad), para a qual: 1 rad ângulo compreenddo por um comprmento de arco gual ao rao do arco. Com o movmento da partícula em questão, de P para Q, num determnado t, o rao vector desloca-se, θ = θ f - θ (deslocamento angular) Defnndo-se então a velocdade angular méda como: Alexandra Aflhado e Pedro Slva 3

24 θ ω = t f f θ t θ = t y Q, t f e a velocdade angular nstântanea, como, ω= lm t θ dθ = (rad/s) t O r θ f θ r x P, t A velocdade angular, ω, é postva quando θ aumenta (movmento no sentdo contráro ao dos ponteros do relógo) e negatvo quando θ dmnu (sentdo dos ponteros do relógo). A aceleração angular méda, α, de um objecto em rotação é defnda como: ωf α = t f ω t ω = t e a aceleração nstântanea, como, α = t ω dω d θ = = t lm (rad/s ) α é postvo quando a taxa de rotação aumenta no sentdo contráro ao dos ponteros dos relógo, ou quando a taxa de rotação decresce no sentdo contráro dos ponteros do relógo. Aquando da rotação em torno de um exo fxo, qualquer que seja a partícula de um objecto rígdo, roda o mesmo ângulo e tem a mesma velocdade e aceleração angular que o corpo. Isto é, as quantdades, θ, ω e α de um determnado ponto materal do corpo caracterzam o movmento rotaconal de todo esse corpo rígdo. y B r B θ B r A A O θ A x Alexandra Aflhado e Pedro Slva 4

25 Drecção de w e a Para a rotação em torno de um exo fxo, a únca drecção que específca o movmento rotaconal é a drecção ao longo do exo de rotação. Portanto as drecções de ω e α são ao longo deste exo. A drecção de ω segue a convenção da ω regra da mão dreta, sto é, v v ω v A drecção de α segue a defnção de dω /. Possu a mesma drecção de ω, se a velocdade angular aumenta com o tempo e é antparalela a ω se a velocdade angular decresce com o tempo. Componentes radal e transversal Sabendo-se que o vector posção, velocdade e aceleração, em coordenadas radal e transversal são dadas por: r = rer + zk v = re r + rθ eθ a = (r r θ )e + (rθ + r θ) e ( ) r θ x z O θ r k e r e è y então para o movmento de rotação em torno de um exo fxo, temos para cada partícula desse mesmo corpo, r = cte e z = cte. Então resulta, r = r = z = z = resumndo as expressões geras a: r = rer + zk v = rθ e θ = rω eθ a = r θ e + rθ e = rω e + rαe ( ) r θ r θ Alexandra Aflhado e Pedro Slva 5

26 De salentar que a coordenada angular θ defne completamente a posção do corpo rígdo. Relações entre as varáves lneares e angulares (forma escalar) Uma partícula move-se uma dstânca s ao longo de um arco quando o corpo gra um ângulo θ. Portanto: s = r θ Dferencando ambos os membros em ordem ao tempo, temos, ds dθ = r sendo r = cte Como a velocdade lnear é dada por, v = ds, e a velocdade angular por, ω = d θ, então é válda a segunte relação, v = ω r o que nos permte relaconar os módulos da velocdade lnear tangencal e da velocdade angular. Dferencando esta últma equação em ordem ao tempo, temos dv dω = r sendo r = cte Como, a aceleração tangencal é dada por, dv a = e a aceleração angular por, dω T = α então, temos a relação entre os módulos da aceleração tangencal e angular dada por, a T = α r Sabendo-se que a aceleração normal é dada por, v an = r e utlzando agora a expressão que relacona os módulos das velocdades temos, an = ω r Alexandra Aflhado e Pedro Slva 6

27 Propredades Na rotação de um corpo rígdo em torno de um exo fxo, tém-se, ) v é sempre transversal e exprme-se como v = ω r ) sendo para este tpo de movmento, r = cte, então a tem componentes radal e transversal que concdem com as componentes normal e tangencal, respectvamente, ou seja, a n = r ω = r (θ ) = a r e a T = r α = r θ = - a θ podendo o módulo da aceleração ser dado por, a = aθ + a = r ω + r α = r α + ω 4 r ) As equações que defnem a rotaçao de um corpo rígdo em torno de um exo fxo são: a) b) c) dθ ω() t θ θ ω() t t = = + t dω d θ α() t ω ω α() t t = = = + t dω dω dθ dω αθ ( ) ω ω ω αθ ( ) dθ θ = = = = + dθ dθ θ v) Casos partculares a) movmento de rotação unforme para este tpo de movmento temos: α = a T = ω = cte a n = cte e v = cte θ = θ + ωt, assumndo t = Alexandra Aflhado e Pedro Slva 7

28 b) movmento de rotação unformemente acelerado Para este tpo de movmento temos, α = cte a T = cte ω = ω + αt a n = f(t) e v = f(t), assumndo t = θ = θ + ω t + (1/)αt, assumndo t = Alexandra Aflhado e Pedro Slva 8

29 Operadores Dferencas Os campos podem ser classfcados tanto como escalares ou vectoras. Um campo escalar é uma função sngular do espaço e tempo, onde para cada ponto do espaço P(x, y, z) está assocado um escalar (o qual é ndependente do sstema de coordenadas escolhdas). A temperatura de um volume de gás, a alttude e a densdade de um volume de rocha são exemplos de campos escalares. Exemplos: 1 Temperatura T = T(x, y, z) Ao ponto P do espaço 3D corresponde um valor de temperatura, ou seja, T é uma função de (x, y, z). Z P(x,y,z) x Y Alttude h = h(x,y) Ao ponto P de uma superfíce corresponde um cota ou alttude, que é a coordenada z do ponto. Z P(x,y,z) h x Y Um campo vectoral, tal como o fluxo de calor, velocdade de um fludo e a atracção gravtaconal, deve ser caracterzada por três funções do espaço e tempo, nomeadamente, as componentes do campo em três drecções ortogonas. Um campo vectoral pode ser caracterzado pelas suas lnhas de campo (também conhecdas como lnhas de fluxo ou lnhas de força), lnhas essas, que são tangentes em todos os pontos ao campo vectoral. Portanto, para um campo vectoral, a cada ponto do espaço P(x, y, z) está assocado um vector. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 9

30 Exemplo: Velocdade de escoamento numa contuda Y Para qualquer ponto P(x, y, z) há uma velocdade de escoamento, em que v = vxyz (,, ) X Exemplo: Velocdade de qualquer ponto de um corpo rígdo em rotação, onde v = vr ( ), sendo r a dstânca de cada ponto ao exo de rotação. v = vr ( ) v = vr ( 1 ) v = vr ( ) 3 Exemplo: Campo gravtaconal G = Gr (), sendo r a dstânca a O. O Alexandra Aflhado e Pedro Slva 3

31 Gradente O gradente de um campo escalar num ponto é um vector que aponta no sentdo da maor varação de ntensdade do campo escalar e cujo módulo é a dervada drecconal do campo escalar. Matematcamente o gradente de uma função escalar f em coordenadas cartesanas escreve-se como: f f f grad(f) = f = e + e + e x y z x y z sendo o operador nabla, o qual é dado em coordenadas cartesanas por, = e + e + e x y z x y z Sendo u(x, y, z) = u uma função escalar representatva de uma superfíce em R 3 de valor constante u, então para qualquer ponto sobre esta superfíce tem-se a dferencal exacta u u u du = dx+ dy+ dz= x y z vsto que u = u = cte. Então u u u du = u dp= e x + e y+ e z ( dxex + dyey + dzez) = x y z ou seja, u dp, em que dp é um vector elementar sobre a superfíce. Então daqu verfca-se que u para qualquer ponto da superfíce u(x, y, z) = u = cte é perpendcular à mesma (verfque exemplo apresentado na fgura). Mas anda, o u aponta no sentdo crescente da maor varação de u. Superfíce u (x, y, z)=u u u u A dp B dp dp C Alexandra Aflhado e Pedro Slva 31

32 Exemplo: Seja a função escalar u = 3x + 5y 3. O seu gradente é então dado por: = + + u 6x 15y j k em que para o ponto P(1,1), temos o gradente dado por, u = j correspondendo a componente do u numa dada drecção à taxa de varação do campo escalar defndo pela função u nessa drecção: u x u = 6 e = 15 y P(1,1) P(1,1) Crculação e Rotaconal de um campo vectoral A crculação de um campo vectoral α é defndo por: C = α dp γ correspondendo por consegunte à soma da componente tangencal de α ao longo do camnho fechado γ. dp α g No exemplo da rotação de um corpo rígdo em torno de um exo fxo OZ, temos a crculação máxma da velocdade quando escolhemos um crcunferênca paralela à superfíce OXY centrada em OZ. Seja então γ uma crcunferênca de rao r = r (como se apresenta na fgura adjacente). Logo a crculação do campo vectoral de velocdade vem dado por, C= v dp = vds= v ds= vπr γ γ r= r tendo em consderação que v = ve T com v constante em γ e em qualquer nstante, e que dp = dse T ω Z g Como se pode depreender, a crculação de v corresponde ao produto do módulo da velocdade pelo perímetro de γ, mas pode também ser escrta em função da velocdade angular ω e da área (A): X O Y V = ω r C = πv r = πω(r ) = ωa Alexandra Aflhado e Pedro Slva 3

33 Se escolhermos uma crcunferênca de gual rao mas paralela a OXZ ou a OYZ, então a crculação de v será nula, ω C= v dp= γ vsto que v está restrngdo ao plano OXY enquanto que as trajectóras se enquandram em planos perpendculares a este, ou seja, v dp. g Z O Y X Rotaconal O rotaconal de um campo vectoral α num determnado ponto P corresponde a um vector cuja drecção ndca a orentação da curva fechada para a qual a crculação do campo é máxma, e de módulo gual à crculação por undade de área, ou seja, rot α= lm γ A α dp A Em coordenadas cartesanas, sendo o campo vectoral α, dado por: então α=α +α j+α k x y z î j k α α α α α α x y z y z z x x y α α α z y x z y rotα= α= = + j + x k x y z A P γ rotα em que representa o produto vectoral (ou externo). ω Exemplo: Consdere-se a rotação de um corpo rígdo em torno de um exo fxo OZ. Então, sabendo-se que o vector velocdade lnear é dado pelo produto externo entre a velocdade angular e o rao da trajectóra, temos, Z r Y P(x, y, z) X Alexandra Aflhado e Pedro Slva 33

34 î j k v=ω r = ω= ω y+ωxj x y z então o rotaconal de v, vem dado por, î j k rotv = α= =ω k+ω k = ωk x y z ωy ωx Logo verfca-se que para a rotação de um corpo rígdo, o rotaconal do campo vectoral das velocdades é um campo vectoral cujo valor é o mesmo em qualquer ponto e está drecconado ao longo do exo de rotação com o dobro da magntude da velocdade angular. Tal resultado pode anda ser verfcado a partr da defnção do módulo do rotaconal, ou seja, sendo C = ωa, obtém-se, rotv = lm A como sera de esperar. v dp ωa = lm =ω A A A Observação: Um campo vectoral α é conservatvo sse o rotα = e neste caso exste um campo escalar u tal que α = u. Para verfcar se um campo α é conservatvo, basta verfcar se todas as componentes de rotα se anulam, ou seja, verfcar se, α α z y αx αz αy α x = e e y z = = z x x y ou seja, para que α seja conservatvo deve ter-se: α α α α α α =, = e = y z z x x y z y x z y x ou seja, verfcar se as dervadas cruzadas são nulas. Exemplos: 1 Verfcar que o campo de velocdades de um corpo rígdo em rotação em torno do exo OZ não é conservatvo. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 34

35 Como já se verfcou, resultando v y =ω x v x = ω y v= ω y +ωxj logo não se verfca a gualdade para estas dervadas cruzadas, pelo que o campo de velocdades não é conservatvo. Verfcar que o campo gravítco à superfíce terrestre é conservatvo P Sendo o peso à superfíce (P ) dado por: P = mg = mgj então, verfca-se que, X Z Y P α α z y αx α α z y α x = =, = = e = = y z z x x y pelo que se conclu que o campo gravítco à superfíce terrestre é conservatvo. Integral de Lnha Para o cálculo do ntegral de lnha, ou seja, o ntegral ao longo de uma trajectóra, dado por, F dp tem que se conhecer a expressão de F =F (x, y, z) e determnar a respectva γ componente tangencal ao longo do camnho γ: Fds= F dp = (F + Fj+ Fk) (dx + dyj+ dzk) = Fdx+ Fdy+ Fdz. T x y z x y z Exemplo: Seja F = + 4j + 5zk Z Z = Z A B A e a trajectóra dada pelo gráfco, ou seja, dp B = dyj X Y A Y B Y Alexandra Aflhado e Pedro Slva 35

36 Então de A para B, temos, F dp = ( + 4j+ 5z k) (dyj) = 4dy ntegrando, obtemos, γ YB F dp = 4dy = 4 y y YA A ( B A) Quando o trajecto γ é consttudo por város segmentos como se apresenta na fgura, então podemos escrever, F dp = F dp+ F dp+ F dp γ A B B C C D Z C D X A B Y Se o campo F é conservatvo deve ter-se F = u, logo, γ ub F dp = u dp = du = u u γ u A B A Alexandra Aflhado e Pedro Slva 36

37 Dnâmca Ao estudo da relação entre o movmento de um corpo e as causas desse movmento, chama-se dnâmca. Pela experênca dára sabemos que o movmento de um corpo é um resultado drecto da sua nteracção com outros corpos que o cercam. As nteracções são convenentemente descrtas por um conceto matemátco denomnado força. O estudo da dnâmca é bascamente a análse da relação entre a força e as varações do estado de movmento de um corpo. Neste capítulo será ntroduzdo o conceto de força. Serão dscutdas as les de Newton, as quas descrevem o modo de como um corpo responde a um conjunto de forças. Serão também apresentadas as forças de atrto e o modo de como podem ser matematcamente representadas. Observações 1 - A força é a causa do movmento na mecânca clássca. A mecânca clássca trabalha com sstemas de dmensão >> 1-1 m (dmensões atómcas) e velocdades << m/s (aproxmadamente a velocdade da luz). A força é um vector 3 Exstem dos tpos de forças: a) Forças de contacto. As quas envolvem o contacto físco entre objectos. A compressão de uma bola, o puxar de uma porta, são exemplos deste tpo de força. b) Campos de forças. As quas não mplcam contacto físco entre objectos. O campo gravtaconal e o campo electromagnétco são exemplos deste tpo de forças. Prmera Le de Newton ou Le da Inérca Enuncado: um objecto que se encontre em repouso fcará em repouso e um objecto que se encontre em movmento manterá o seu movmento a velocdade constante, se não exstr qualquer tpo força externa entre o objecto e o ambente que o rodea. De salentar no entanto, que tal comportamento não exste no unverso, uma vez que toda a partícula está sujeta a nteracções com o resto do unverso físco. Um corpo que não está sujeto à nteracção é dto lvre. A expressão matemátca que traduz a Prmera Le de Newton, está de acordo com, F = a = Alexandra Aflhado e Pedro Slva 37

38 Segunda Le de Newton ou Le fundamental da dnâmca Antes de se consderar a ª Le, propramente dta, tem de se ter em consderação: e ) a quantdade de movmento ) o prncípo da conservação da quantdade de movmento A quantdade de movmento, também denomnado de momento cnétco, ou smplesmente momento de um partícula, é defndo como o produto da sua massa pela sua velocdade. Desgnado por, P = mv Pode-se agora dar outro enuncado à Le de Inérca, dzendo-se que, Uma partícula lvre move-se sempre com quantdade de movmento constante. O prncípo da conservação dz-nos que a quantdade de movmento total de um sstema de partículas solado é constante, ou seja, P = P = P + P + P + + P = cte n À varação temporal da quantdade de movmento de uma partícula dá-se o nome força (resultante), ou seja, dp F = Então, a massa constante, temos, d dm dv F = ( mv) = v + m = + ma dv F = m = ma ª Le de Newton Observações quando F é constante e a é nversamente proporconal à massa. Tal sgnfca, que para a mesma força, uma massa mas pequena terá uma maor aceleração. A ª Le de Newton é uma quantdade vectoral que compreende três equações escalares (em três dmensões): F = ma, F = ma, F = ma x x y y z z A 1ª Le de Newton é um caso especal da ª Le de newton. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 38

39 A undade de força no Sstema Internaconal (SI) é o Newton (N). 1 Newton é a força que produz uma aceleração de 1m/s quando actua sobre uma massa de 1kg. Equlíbro dnâmco Tendo em consderação a ª Le de Newton, na forma, F ma = a qual pode ser nterpretada como uma adção do vector ma ao conjunto das forças actuantes sobre partículas cujo resultado é um sstema de vectores equvalente a zero. Se tvermos, ma F F 1 m ( F = ma) então para o sstema se encontrar em equlíbro dnâmco teremos de ter, F m - ma ( F ma = ) F 1 em que ma corresponde à força de nérca. Defnção: a) Inérca, é a tendênca que um objecto tem em resstr a qualquer tentatva de alteração do seu estado de movmento. Por exemplo, se consderarmos as componentes normal e tangencal da aceleração, teremos o vector nérca segundo essas duas componentes, -ma n e ma t, em que, ) a componente tangencal traduz a resstênca que o corpo oferece a uma mudança da ntensdade da sua velocdade. ) a componente normal (ou força centrfuga), representa a tendênca do corpo para dexar a trajectóra curva. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 39

40 dv v As forças de nérca, como por exemplo, m e m, surgem como uma r resstênca à varação do estado de movmento dos corpos. No caso de um elevador, dv m, é a oposção à varação de v. No caso de um automóvel a efectuar uma curva, v m, corresponde à oposção à mudança de drecção de v. r b) Massa (m), é a força necessára por undade de aceleração produzda e é uma medda da nérca. A massa é uma quantdade escalar e tem como undades no sstema nternaconal (SI) o qulograma (kg). Por exemplo, se uma bola de bowlng e uma bola de golfe forem projectadas, verfcar-se-à que será mas dfícl de obter movmento para a bola de bowlng, uma vez que possu mas massa e por consegunte uma maor nérca. c) Peso ( p ), é a força exercda num objecto pelo campo gravtaconal. Da segunda le de Newton, vem, p = mg De salentar que: O peso é um vector drgdo para o centro de Terra, ou perpendcular à superfíce da Terra. O peso de um objecto é dferente na Terra e na Lua, uma vez que a ntensdade do campo gravtaconal é dferente (g Terra g Lua ). O valor de g vara com a dstânca ao centro da Terra. Como consequênca, ) como o planeta Terra não é uma esfera perfeta, o peso de um corpo vara lgeramente de lugar para lugar na superfíce terrestre. ) ) o peso de um corpo vara lgeramente com a alttude acma da superfíce terrestre. Assume-se que na superfíce terrestre, o valor de g é aproxmadamente constante e dado por 9.8m/s. Em comparação, a massa é uma quantdade escalar com valor ndependente da localzação. De salentar no entanto, assumndo-se que g é aproxmadamente constante, a massa é proporconal à magntude do peso e as duas quantdades podem ser mutuamente usadas. A tal correlação chama-se, prncípo da equvalênca. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 4

41 Tercera Le de Newton Enuncado: As forças na natureza exstem sempre aos pares. A Tercera Le de Newton dz-nos que, para cada acção, exste uma reacção de ntensdade gual e sentdo oposto. Quando dos corpos nteragem F1 = F1, ou seja a força exercda pelo corpo 1 no corpo, é de ntensdade gual e snal contráro à força exercda pelo corpo no corpo 1, ou seja a reacção. Por exemplo, quando um objecto está em queda devdo à acção da gravdade, a Terra exerce uma força sobre ele que provoca a sua aceleração na drecção do centro da Terra. De acordo com a 3ª Le de Newton, o objecto exerce uma força na Terra, assm como, a Terra acelera na drecção do objecto. Então agora questona-se o porquê de não sentrmos a aceleração da Terra? Da ª Le de Newton sabemos que, F = m a objectonaterra Terra Terra e da 3ª Le de Newton que, F = F p objectonaterra Terranoobjecto logo, a Terra p = m Terra mobjecto aterra = g g mterra conclundo-se assm, que a aceleração da Terra é demasadamente baxa para se detectar, porque a massa da Terra é muto maor que a do objecto. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 41

42 Atrto O atrto surge das forças entre átomos e moléculas aquando do contacto entre superfces. Por exemplo, o atrto surge quando um corpo se move sobre uma superfíce ou através de um meo fludo (água, ar,...). Exstem dos tpos de forças de atrto seco (ou de Coulomb): 1. força de atrto estátco ( f s ), é a força entre dos objectos quando não exste movmento.. força de atrto cnétca ( f k ), é a força de atrto entre dos objectos quando dos objectos estão em movmento Consdere um bloco sobre um superfíce rugosa horzontal. Aplque uma força externa F ext ao bloco, paralelamente à superfíce de contacto: Se F ext < f s(max) o bloco não se move. Com o aumento de F ext, a f s aumentará até atngr um valor máxmo. Quando, F ext = f s(max) o bloco ncará o movmento (obtém-se assm o ponto de deslzamento emnente). Uma vez ncado o movmento, a força de atrto será dada por f k. Factos expermentas sobre o atrto 1 f s m s N onde µ s é o coefcente de atrto estátco e N a magntude da força normal. A gualdade é obtda quando o objecto se encontra na stuação de deslzamento emnente, f s(max) = µ s N. f k = m k N onde µ k é o coefcente de atrto cnétco e é aproxmadamente constante para qualquer par de materas 3 os valores de µ k e µ s dependem da natureza das superfíces de contacto. Usualmente µ k < µ s. 4 o sentdo da força de atrto é oposto ao sentdo de movmento do objecto. 5 os valores de µ k e µ s são aproxmadamente ndependentes da área de contacto entre as duas superfíces. 6 µ k é aproxmadamente ndependente da velocdade do objecto consderado. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 4

43 Estratéga na resolução de problemas Desenhar a stuação e o dagrama de forças (ou de corpo lvre) de todas as forças para cada corpo. o No dagrama de forças para cada objecto, nclua apenas as forças que actuam nesse objecto. o A força exercda por um cabo é denomnada de tensão e denota-se usualmente por T. o A força de contacto exercda por uma superfíce tem duas componentes: a reacção normal, que actua sempre perpendcularmente à superfíce e a força de atrto, tangente à superfíce. Esboce um sstema de coordenadas e aplque a ª Le de Newton. Se tvermos movmento no plano, então: F = ma F F x y = ma = ma x y Se necessáro use as equações da cnemátca do movmento para a resolução das quantdades desejadas. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 43

44 Trabalho e Enega Trabalho O trabalho realzado por um agente que exerce uma força constante F no deslocamento elementar dr de A para B, defne-se como o produto nterno F dr, ou seja, dw = F dr Pode-se anda escrever, dw = Fds = Fds cosθ T sabendo ds = dr e que F T =Fcosθ é a componente tangencal da força. Em coordenadas cartesanas pode-se também ter, dw = Fdx x + Fdy y + Fdz z O trabalho realzado pela força F ao longo de um deslocamento fnto da partícula de A para B, é obtdo pela ntegração ao longo da trajectóra descrta pela partícula, ou seja, B ( x, y, z ) S W = A B F dr = Fdx + x Fdy + y Fdz = z Fcosθ ds B B B B ( ) A ( xa, ya, za) SA sendo s a varável de ntegração que mede a dstânca percorrda pela partícula ao longo da trajectóra. dr F B A Observações: Se r = W =, sto é, não é realzado trabalho quando se segura uma caxa pesada ou se empurra contra uma parede. W = se F dr, sto é, não é realzado trabalho ao se transportar qualquer peso horzontalmente. O snal do trabalho depende da drecção de F relatvamente a dr. Se: Alexandra Aflhado e Pedro Slva 44

45 ) θ < 9, então dw > ) θ > 9, então dw < O snal é dado automatcamente consderando θ como o ângulo entre F e dr e escrever-se dw = Fdscosθ Se F actua ao longo da drecção da trajectóra ds, então dw = Fds, vsto que, cosθ=cos=1. O trabalho é um escalar, quando depende do camnho entre o ponto ncal e o ponto fnal. A undade do trabalho no sstema nternaconal é o Joule (J; 1J = 1Nm=kgm s - ). Prncípo do Trabalho e da Energa A força é um vector, o trabalho e a energa são escalares, sendo frequentemente mas fácl a resolução de problemas usando consderações da energa em vez de usar as les de Newton (os escalares são de mas fácl manpulação do que os vectores). Consdere-se uma partícula de massa m sujeta à acção de uma força F e que se desloca ao longo de uma trajectóra curva ou rectlínea. Tendo em conta a ª Le de Newton em função da sua componente tangencal, F T = ma T = m dv/ sabendo que v = ds/, e aplcando a regra da dervação em cadea, resulta, então, ntegrando, F T = m dv ds =mv ds F T ds = m vdv/ds dv ds A m F T F n F B sb sa vb 1 ( T = A B = B A ) Fds mvdv W mv v va defnndo a energa cnétca de uma massa em movmento como, EC = 1 mv então podemos escrever o trabalho como, W A B = E C(B) - E C(A) Alexandra Aflhado e Pedro Slva 45

46 Esta últma equação traduz o prncípo do trabalho e energa: o trabalho realzado num objecto pela força resultante, entre duas posções A e B é gual à varação da energa cnétca entre essas duas posções. Observação: Se a velocdade do objecto aumenta (v f > v ) W >. Se W < então o objecto está a realzar trabalho no agente que exerce o conjunto de forças Pode-se nterpretar a energa cnétca da últma equação como o trabalho que um objecto pode efectuar para obter o repouso. A energa cnétca é um campo escalar. As undades da energa cnétca são as mesmas do trabalho (sto é, Joules, J). Energa Potencal e trabalho A energa potencal (E P ) corresponde à energa armazenada num sstema em consequênca da posção e orentação das sua partes consttuntes. A energa potencal ou função potencal de F é apenas defnda para forças conservatvas. O trabalho de forças conservatvas pode ser dado em função da energa potencal, correspondendo neste caso à varação da energa potencal, ou seja, W A B =E P (A) E P (B) = - E P em que E P (A) = E P (x A, y A, z A ) e E P (B) = E P (x B, y B, z B ). De salentar que o trabalho calculado deste modo, não va depender da trajectóra mas apenas da dferença de energa potencal. Se F é conservatva tem-se, F dr = ou seja, se fzermos A concdr com B ao longo de uma trajectóra fechada, o seu trabalho é nulo. Se consderarmos dos pontos vznhos A(x, y, z) e A (x+dx, y+dy, z+dz), para os quas é válda a equação W A A =E P (A) E P (A ), então o trabalho elementar dw, o qual corresponde ao deslocamento dr de A para A, é: ou dw = E P (x, y, z) E P (x+dx, y+dy, z+dz) dw = -de P (x, y, z) Alexandra Aflhado e Pedro Slva 46

47 daqu verfca-se que o trabalho elementar realzado por uma força conservatva é uma dferencal exacta. No caso undmensonal tem-se EP dep = dx x logo, comparando com dw = F dr = F x dx, resulta que, EP Fx = x e no caso trdmensonal, dw = F dr = F x dx + F y dy + F z dz EP EP EP dw = ( dx+ dy + dz) = grad( EP) = E x y z Escolha do sstema de coordenanadas Aquando da resolução de problemas com energa potencal, a escolha da orgem do sstema de exos é equvalente a escolher o lugar onde a energa potencal é nula. Sabese que a físca deve ser ndependente da escolha do sstema de exos coordenados, logo o valor da energa potencal num dado lugar não tem sgnfcado físco. A quantdade que possu sgnfcado físco é a varação de energa potencal de uma posção para outra. Conservação da Energa Exstem mutas formas de energa mecânca, químca, electroestátca, calorfca, nuclear. Num qualquer sstema solado, a energa pode ser transformada de um tpo para outro tpo de energa, mas a quantdade total de energa é constante, ou seja, conservase. Exemplos, ) uma batera contém energa químca que pode ser utlzada para produzr energa mecânca, ) quando um bloco escorrega sobre uma superfíce rugosa, a força de atrto dá orgem ao aquecmento do bloco e da superfíce. Como resultado, a energa mecânca é transformada em energa térmca, mas a quantdade total de energa conserva-se. Nesta secção estamos nteressados em dos tpos de energa mecânca: Energa cnétca (E C ) (energa do movmento) Energa potencal ( E P ) (energa da posção) Forças Conservatvas e Não Conservatvas Nem sempre é verdade que o trabalho realzado por uma força externa é armazenado como uma forma de energa potencal. Tal é apenas verdade se a força fôr conservatva, onde é válda a relação: P Alexandra Aflhado e Pedro Slva 47

48 B W = F dr = EP( A) EP( B) A Defnção: o trabalho que uma força conservatva realza num objecto que se move de A para B, é ndependente do camnho apenas depende dos pontos extremos do movmento. Para uma força não conservatva (ou dsspatva), o trabalho realzado no movmento de A para B depende do comnho efectuado (a força de atrto e a resstênca do ar são alguns exemplos). A conservação da energa mecânca Já verfcamos que o trabalho realzado por uma força conservatva pode ser expresso como uma varação da energa potencal. Quando um objecto se desloca sob a acção de força conservatvas, o prncípo do trabalho e da energa pode ser escrto como E P (A) - E P (B) = E C (B) - E C (A) E P (A) + E c (A) = E P (B) + E C (B) Tal sgnfca que quando um objecto se desloca sob a acção de forças conservatvas, a soma da sua energa cnétca e da sua energa potencal se mantém constante. Quando todas as forças que actuam num corpo são conservatvas, a quantdade, E m = E c + E P conserva-se durante o movmento e desgna-se por energa mecânca. Forças não conservatvas e o prncípo do trabalho e da energa Se exstem forças não conservatvas então a energa mecânca não se conserva, e escreve-se, W = W nc + W c = E c (f) E c () Em que W nc representa o trabalho das forças não conservatvas e W c o trabalho das forças conservatvas. Sendo, Temos, W c = E P ()-E P (f) W nc = (E c (f) E c ()) + (E P (f)-e P ()) = E C + E P = (E C + E P ) = E m Ou seja, o trabalho realzado por uma força não conservatva é gual à varação de energa mecânca. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 48

49 Potênca e rendmento mecânco Potênca (P) A potênca é o trabalho realzado por undade de tempo, ou a quantdade de trabalho realzado por segundo, ou seja, dw P = (Watt W, 1W = 1J/s=Nm/s) Sabendo-se que, dw = F dr, então, dw F dr dr P = = = F = F v para F constante. Rendmento Mecânco (h) O rendmento mecânco é dado pela razão entre o trabalho realzado e o absorvdo, ou seja, W W realzado η= < absorvdo 1 sendo o rendmento sempre nferor à undade. Este assunto será mas desenvolvdo aquando do capítulo dedcado à termodnâmca. Esta defnção pressupõe que o trabalho seja realzado a uma razão constante. Se o rendmento mecânco é dado pela razão apresentada, logo também será gual à razão entre as suas taxas de varação temporal, sto é, P P realzado η= < absorvdo 1 Alexandra Aflhado e Pedro Slva 49

50 Quantdade de Movmento A quantdade de movmento é defnda como: P = mv [kgm/s] Tendo em consderação a ª Le de newton, F = ma pode-se escrever, dv d dp F= m = (mv) = dp F = sto é, a força resultante é gual à taxa de varação da quantdade de movmento. Grafcamente, temos, m v P Prncípo da conservação da quantdade de movmento O prncípo dz-nos que perante a ausênca de forças externas aplcadas às massas, ou seja, se a a soma das forças externas fôr nula, a quantdade de movmento permanece constante. Então temos, F = P = cte Alexandra Aflhado e Pedro Slva 5

51 Impulso de uma força Defne-se o mpulso resultante I R da aplcação de uma ou váras forças durante um ntervalo de tempo como, I R Tf = F T [Ns] Prncípo do mpulso e da quantdade de movmento Expressando a ª Le de Newton na forma, d F = (mv) então, F = d(mv) F = mdv ntegrando os dos membros da equação, F= mdv F= m(v v) mv + F= mv Tf vf Tf Tf f f T vf T T Tf P + F = P T f P I R + = P f ou seja, podemos escrever, P + I = P R f o que ndca que a quantdade de movmento fnal P f de uma massa pode ser obtda pela soma vectoral da sua quantdade de movmento ncal P com o mpulso resultante exercdo pela força F durante o ntervalo de tempo consderado, ou anda, I R P= I R ou seja, a varação da quantdade de movmento de um corpo é gual ao mpulso da força resultante no mesmo ntervalo de tempo. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 51

52 Consderando o prncípo da quantdade de movmento em coordenadas cartesanas, componente a componente, temos, Tf mv + F = mv x x xf T Tf mv + F = mv y y yf T Tf mv + F = mv z z zf T Quando o F =, resulta I R =, logo a quantdade de movmento conserva-se, ou seja, de, P + I R= Pf, com I R =, resulta, P = Pf Se um sstema envolve duas ou mas partículas, deve consderar-se a soma vectoral das respectvas quantdades de movmento e mpulso. Contudo, tendo em conta que as forças de acção reacção exercdas pelas partículas entre s formam pares de forças guas e de sentdos opostos, levando a que os mpulsos exercdos por estas forças se cancelem entre s, restam apenas os mpulsos orgnados pelas forças externas, ou seja, P + I = P o qual se reduz a: R externas f P = P f para um sstema solado (ou seja, sstema para o qual não exste nteracções com forças exterores). Esta últma equação traduz a conservação da quantdade de movmento total das partículas. Movmento Impulsvo Def: Movmento sob a acção de forças mpulsvas que têm uma elevada ntensdade, embora actuem num ntervalo de tempo muto curto. I F t ( F cte) Os mpulsos de forças não mpulsvas podem em geral ser desprezados no movmento mpulsvo, como exemplos, o peso do corpo, força exercda por uma mola,... Aquando do movmento mpulsvo, podemos escrever o prncípo do mpulso e da quantdade de movmento, como, Alexandra Aflhado e Pedro Slva 5

53 P + F t = P f Problema: Consdere-se o embate entre um taco e uma bola de basebol, em que a bola com uma massa de 113 g é lançada ncalmente com uma velocdade de 4.4m/s em drecção a um taco. Após a pancada do taco a velocdade passa a ser de 36.6m/s na drecção que se apresenta na fgura segunte. Se o taco e a bola estverem em contacto durante,15s, determne a força mpulsva méda exercda sobre a bola durante o choque. 36.6m/s 4º 4.4m/s Esquematcamente temos, Quantdade de movmento ncal Forças mpulsvas Quantdade de movmento fnal Y mv + = FD t PD t= mv f 4º X Então, x: -mv + Fx t = mvf cos4 Fx = 395N y: + Fy t = mvf cos4 Fy = 177N pelo que a ntensdade da força resulta em F = 433N e o ângulo com a horzontal β = arctg(f y / F x ) = 4.º. Alexandra Aflhado e Pedro Slva 53