Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I (GET00117) Números Índices

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1 Unversdade Federal Flumnense Insttuto de Matemátca e Estatístca Métodos Estatístcos Aplcados à Economa I (GET7) Números Índces Ana Mara Lma de Faras Departamento de Estatístca Agosto 25

2 Sumáro Índces Smples. Introdução Relatvos Taxa de varação Crtéros de avalação da fórmula de um índce Elos de relatvo e relatvos em cadea Mudança de base Índces agregatvos smples 9 2. Índce agregatvo smples (Bradstreet) Índce da méda artmétca smples (índce de Sauerbeck) Índce da méda harmônca smples Índce da méda geométrca smples Propredades dos índces agregatvos smples Identdade Reversbldade Crculardade Decomposção das causas Resumo das propredades dos índces agregatvos smples Relações entre índces agregatvos smples Índces agregatvos ponderados 7

3 SUMÁRIO 3. Índce de Laspeyres ou índce da época base Índce de Laspeyres de preço Índce de Laspeyres de quantdade Índce de Paasche ou índce da época atual Índce de Paasche de preços Índce de Paasche de quantdade Índce de Fsher Índce de Marshall-Edgeworth Índce de Dvsa Propredades dos índces agregatvos ponderados Identdade Reversbldade Crculardade Decomposção das Causas Relações entre índces Laspeyres e Paasche Fsher, Laspeyres e Paasche Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche Mudança de base Método prátco Conjugação de séres de índces Deflaconamento e poder aqustvo Introdução Deflator Poder aqustvo Exercícos propostos 49

4 SUMÁRIO 7 Solução dos exercícos propostos 59

5 Capítulo Índces Smples. Introdução De forma smplfcada, podemos dzer que um índce ou número índce é um quocente que expressa a varação relatva entre os valores de qualquer medda. Mas especfcamente, remos ldar com índces que medem varações verfcadas em uma dada varável ao longo do tempo. Quando ldamos com grandezas smples (um únco tem ou varável), o índce é chamado índce smples; por outro lado, quando pretendemos fazer comparações de um conjunto de produtos ou servços, estamos ldando com o que é chamado índce sntétco ou índce composto. é neste segundo caso que temos a parte mas complexa do problema, uma vez que desejamos uma expressão quanttatva para um conjunto de mensurações ndvduas, para as quas não exste uma medda físca comum. Nestas notas de aula, será dada ênfase aos índces econômcos, que envolvem varações de preços, quantdades e valores ao longo do tempo. Mutos comentáros e observações serão fetos tomando-se o preço como exemplo, mas tas comentáros e observações análogos também serão váldos para quantdades e valores..2 Relatvos Os relatvos, ou índces smples fazem comparação entre duas épocas época atual e época base para um únco produto.. Relatvo de preço Denotando por p e p t os preços na época base e na época atual (de nteresse), defne-se o relatvo de preço - p,t - como: p,t p t p (.) Ragnar Frsch (936). The problem of ndex numbers, Econometrca.

6 2 CAPÍTULO. ÍNDICES SIMPLES 2. Relatvo de quantdade Analogamente, denotando por q e q t as quantdades na época base e na época atual (de nteresse), defne-se o relatvo de quantdade q,t como: 3. Relatvo de valor Vale lembrar que q,t q t q (.2) Valor Preço Quantdade (.3) Denotando por v e v t os valores na época base e na época atual (de nteresse), defne-se o relatvo de valor v,t como: v,t v t v (.4) Das defnções acma, podemos ver que: v,t v t v p tq t p q p t p q t q p,t q,t (.5) O relatvo de preço compara os preços nos dos períodos; como estão sendo comparadas grandezas postvas, os valores possíves dos relatvos estão no ntervalo (, + ). Valores menores que ndcam que o preço atual é menor que o preço base; valores maores que ndcam que preço atual é maor que o preço base e, fnalmente, um relatvo gual a ndca que o preço atual é gual ao preço base. Atente para a notação: p,t faz a comparação entre o preço no mês t com relação ao preço no mês ; defnções análogas para q,t e v,t. Então, o prmero subscrto ndca o período base e o segundo subscrto, o período atual. Essas notações podem varar em dferentes lvros; assm, é mportante prestar atenção nas defnções apresentadas..3 Taxa de varação Podemos avalar, também, a dferença entre os preços nas épocas atual e base, ou seja, a dferença p t p. Essa dferença mede a varação absoluta de preços entre os dos nstantes. Consdere, agora, dos bens cujos preços na época base eram e, respectvamente, e cuja varção absoluta de preços fo de. Isso sgnfca que o prmero produto passou a custar 2 e o segundo,. Ou seja, o prmero dobrou de preço, enquanto o segundo teve um aumento de %. Isso nos leva à necessdade de uma medda de varação relatva. Defnmos, então, a varação relatva ou taxa de varação como p% p t p p (.6) que é normalmente apresentada em forma percentual, ou seja, multplca-se o valor por. Note que no numerador temos a varação absoluta de preços. Defnções análogas valem para quantdade e valor.

7 .3. TAXA DE VARIAÇÃO 3 Podemos escrever, também e sso nos dá a relação entre a taxa de varação e o relatvo. p% p t p p,t (.7) EXEMPLO. Preço de arroz Na tabela a segur temos o preço (em undades monetáras, u.m.) e a quantdade (em kg) de arroz consumda por uma famíla no últmo trmestre de determnado ano: Outubro Novembro Dezembro Preço Quant. Preço Quant. Preço Quant. Arroz (kg) Valor Tomando Outubro como base, temos os seguntes relatvos: p O,N 2 2, q O,N 8 5, 6 p O,D 3 2, 5 q O,D 8 5, 6 Não houve varação de preços entre Novembro e Outubro, sto é, o preço de Novembro é gual ao preço de Outubro, mas o preço de Dezembro é uma vez e mea o preço de Outubro, o que corresponde a um aumento de 5% essa é a taxa de varação dos preços no período em questão, obtda de acordo com a equação (.7): 5% (, 5 ) % Com relação à quantdade, tanto em novembro como em dezembro, houve um aumento de 6% com relação a outubro. Os relatvos são, em geral, apresentados multplcados por. relatvos de preço e quantdade com base Outubro são: Assm, as séres de Relatvos - Out Out Nov Dez Preço 5 Quantdade 6 6 Com relação ao valor, temos que v O,N 6 6,, 6 p O,N q O,N v O,D 24 24, 5, 6 p O,D q O,D

8 4 CAPÍTULO. ÍNDICES SIMPLES Se mudarmos a base para Dezembro, teremos: p D,O p O 2, 6667 p% (, 6667 ) 33, 33% p D 3 p D,N p N 2, 6667 p% (, 6667 ) % 33, 33% p D 3 q D,O q O 5, 625 q% (, 625 ) % 37, 5% q D 8 q D,N q N 8 q% ( ) % % q D 8.4 Crtéros de avalação da fórmula de um índce Os relatvos satsfazem uma sére de propredades, que são propredades desejadas e buscadas quando da construção de fórmulas alternatvas de números índces. Vamos representar por I,t um índce qualquer pode ser um relatvo de preço ou um índce de preços qualquer, por exemplo (nas seções seguntes veremos a defnção de outros índces). As propredades deas báscas são:. Identdade I t,t (.8) Se a data-base concdr com a data atual, o índce é sempre (ou, no caso de se trabalhar com base ). 2. Reversão (ou nversão) no tempo I,t I t, I,t I t, (.9) Invertendo-se os períodos de comparação, os índces são obtdos um como o nverso do outro. 3. Crcular I, I,2 I 2,3 I t,t I,t (.) Se o ntervalo de análse é decomposto em város subntervalos, o índce pode ser obtdo como o produto dos índces nos subntervalos. A propredade crcular é mportante no segunte sentdo: se um índce a satsfaz e se conhecemos os índces nas épocas ntermedáras, o índce de todo o período pode ser calculado sem que haja necessdade de recorrer aos valores que deram orgem aos cálculos ndvduas. Note que, como decorrênca desta propredade, podemos escrever: I,t I,t I t,t (.) Se o índce satsfzer também o prncípo de reversbldade, então (.) é equvalente a I, I,2 I 2,3 I t,t I t,

9 .4. CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA FÓRMULA DE UM ÍNDICE 5 4. Decomposção das causas (ou reversão dos fatores) Denotando por I V, I P e I Q os índces de valor, preço e quantdade respectvamente, o crtéro da decomposção das causas requer que 5. Homogenedade Mudanças de undade não alteram o valor do índce. 6. Proporconaldade I V I P I Q (.2) Se todas as varáves envolvdas no índce tverem a mesma varação, então o índce resultante terá a mesma varação. Todas essas propredades são satsfetas pelos relatvos. De fato: dentdade reversbldade crcular p,t p t p p t,t p t p t p t, p p t p t p p t p t p t p t 2 p 2 p p p decomposção das causas p,t q,t p t p q t q p t q t p q v t v Mudanças de undade envolvem multplcação por uma constante (qulo para tonelada, reas para mlhões de reas, etc). Tas operações não alteram o valor do relatvo, uma vez que numerador e denomnador são multplcados pelo mesmo valor. EXEMPLO.2 Preço de arroz contnuação p O,N 2 2, p N,D 3 2, 5 q O,N 8 5, 6 q N,D 8 8, p O,D,, 5, 5 p D p O 3 2 q O,D, 6,, 6 p D p O 8 5

10 6 CAPÍTULO. ÍNDICES SIMPLES.5 Elos de relatvo e relatvos em cadea Na apresentação da propredade crcular, aparecem índces envolvendo épocas adjacentes. No caso de relatvos, tas relatvos são, às vezes, denomnados elos de relatvos, ou seja, os elos relatvos estabelecem comparações bnáras entre épocas adjacentes p t p t q t q t v t v t A mesma propredade crcular envolve a multplcação desses índces; para os relatvos, tal operação é denomnada relatvos em cadea e como a propredade crcular é satsfeta pelos relatvos, tal multplcação resulta no relatvo do período. elos relatvos : p,2 p 2,3 p 3,4... p t,t relatvos em cadea : p,2 p 2,3 p 3,4 p t,t p,t EXEMPLO.3 Na tabela a segur temos dados de preço para 5 anos e calculam-se os elos de relatvos e os relatvos em cadea, ano a ano. Ano Preço Elos relatvos p t /p t Relatvos em cadea /2, 25, 25 p, / 25, 2, 2, 25, 5 p, / 3, 3, 2, 25, 3, 95 p, / 39, 2, 2, 25, 3, 2 2, 34 p,5 o que está em concordânca com: Ano Relatvo de preço Base: Ano 2 25 / % 3 3 / 2 5 5% 4 39 / % / %.6 Mudança de base Consdere a segunte sére de relatvos de preço com base em 2: Ano Relatvo 5 6 8

11 .6. MUDANÇA DE BASE 7 Isso sgnfca que p p, p 2 p, 5 p 3 p, 6 p 4 p, 8 Suponhamos, agora, que queramos colocar essa sére com base em 24, para atualzar o sstema de comparação. Como proceder? Na verdade, o que queremos é p t p 4, t,, 2, 3 Como os relatvos satsfazem as propredades de reversão e crcular, temos que: p p 4 p 4 p p, p,4 p,4 8 p p p p, p, p 4 p p 4 p 4, p,4 8 p 2 p 2 p p,2 p,2 5 p 4 p p 4 p 4, p,4 8 p 3 p 3 p p,3 p,3 6 p 4 p p 4 p 4, p,4 8 p 4 p 4 p p,4 p,4 8 p 4 p p 4 p 4, p,4 8 Logo, a sére de relatvos na nova base é obtda dvdndo-se a sére orgnal pelo valor do relatvo no ano da base desejada. Na Tabela. lustra-se o procedmento geral de mudança de base de uma sére de relatvos.

12 8 CAPÍTULO. ÍNDICES SIMPLES Tabela. Procedmento de mudança de base para sére de relatvos Período Relatvo Base: t Base: t 2 p t, p t2, p t, p t2,t... t p t,t p t2,t p t,t p t2,t p t2,t.. t 2 p t2,t p t2,t 2 p t 2,t p t2,t... T p t,t p t2,t p t,t p t2,t.

13 Capítulo 2 Índces agregatvos smples Consderemos agora a stuação em que temos mas de um produto e estamos nteressados em estudar varações de preços ou quantdade para todos os produtos conjuntamente. Vamos utlzar a segunte notação: p t, q t, v t - preço, quantdade e valor do produto no mês t; p,t, q,t, v,t em t. - relatvos de preço, quantdade e valor do produto no mês t com base Note que o sobrescrto ndca o produto; vamos assumr que temos n produtos. 2. Índce agregatvo smples (Bradstreet) Uma prmera tentatva para resolver o problema de agregação de produtos dferentes fo o índce agregatvo smples, que é a razão entre o preço, quantdade ou valor total na época atual e o preço, quantdade ou valor total na época base. Mas precsamente, PA,t p t + p 2 t + + p n t p + p2 + + pn p t p p t n p n p t p QA,t q t + q 2 t + + q n t q + q2 + + qn q t q q t n q n q t q 9

14 CAPÍTULO 2. ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES V A,t v t + v 2 t + + v n t v + v v n vt v vt n v n v t v Então, o índce de Bradstreet é um relatvo das médas artmétcas smples. O índce de Bradstreet tem séras lmtações, a prncpal sendo o fato de se estar somando preços ou quantdades expressos em dferentes undades. Tal lmtação faz com que o índce de preço ou quantdade de Bradstreet não seja útl na prátca, sendo apresentado aqu por razões hstórdas e também pelo fato de o índce de valor não apresentar esse problema, uma vez que todos os valores estão expressos na mesma undade monetára. Na verdade, esse é o índce usado para comparar valores em dferentes épocas, ndependente de como se calculam os índces de preço e quantdade, ou seja, o índce de valor é defndo como V,t V t V p tq t p q (2.) Uma solução para resolver a lmtação do índce agregatvo de Bradstreet fo a proposta de se trabalhar com médas dos relatvos de preço e quantdade, que são números admensonas. 2.2 Índce da méda artmétca smples (índce de Sauerbeck) Sauerbeck propôs que se trabalhasse com a méda artmétca dos relatvos, dando orgem aos seguntes índces: p,t - índce de preço baseado na méda artmétca smples dos relatvos p,t p,t + p2,t + + pn,t n p,t n (2.2) q,t - índce de quantdade baseado na méda artmétca smples dos relatvos q,t q,t + q2,t + + qn,t n q,t n (2.3) 2.3 Índce da méda harmônca smples A mesma déa se aplca, trabalhando com a méda harmônca dos relatvos.

15 2.4. ÍNDICE DA MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLES p H,t q H,t - índce de preço baseado na méda harmônca smples dos relatvos p H,t p,t + p 2,t n + + p n,t n p,t n p p t n p t, - índce de quantdade baseado na méda harmônca smples dos relatvos q H,t q,t + q 2,t n + + q n,t n q,t n q q t n q t, (2.4) (2.5) 2.4 Índce da méda geométrca smples Aqu consdera-se a méda geométrca dos relatvos. p G,t q G,t - índce de preço baseado na méda geométrca smples dos relatvos p G,t p n t p p2 t p 2 pn t p n n n p,t (2.6) - índce de quantdade baseado na méda geométrca smples dos relatvos q G,t q n t q q2 t q 2 qn t q n n n q,t (2.7) EXEMPLO 2. Consdere os dados da tabela a segur, em que temos preços (em undades monetáras) e quantdades de três produtos em três nstantes de tempo consecutvos: Produto t t 2 t 3 P Q P Q P Q Carne (kg) 8,5 8,5 2 9, 5 Fejão (kg),2 5,8 6,8 7 Pão (und.), 2,2 22,4 24 Vamos calcular os índces de preço, quantdade e valor, com base t, baseados nas três médas vstas. Os valores gastos com cada produto estão calculados na tabela abaxo. Valor t t 2 t 3 Carne 8, , 5 2 2, Fejão, 2 5 6, 8 6, 8, 8 7 2, 6 Pão, 2 2, , 4, , 6 Total , , 4 39, , , 6 8, 2

16 2 CAPÍTULO 2. ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES e os índces de valor são V,2 39, 2 V,3 8, 2 25, 4 63, 24 Como os relatvos satsfazem a propredade da dentdade, no período base todos são guas a ou, se estvermos trabalhando com base. Para os demas períodos, os relatvos com base em t são: Relatvos -t Produto t 2 t 3 P Q P Q Carne (kg) 8, 5/8, 5, 2/, 2 9/8, 5, 588 5/, 5 Fejão (kg), 8/, 2, 5 6/5, 2, 8/, 2, 5 7/5, 4 Pão (und,), 2/,, 2 22/2,, 4/,, 4 24/2, 2 e os índces de preço, com base t, baseados nas três médas são:, +, 5 +, 2 p,2 23, 33 3, 588 +, 5 +, 4 p,3 3, 96 3 p H 3,2, +,5 + 2,,2 p H 3,3,588 +,5 + 29,,4 p G,2 3,, 5, 2 2, 64 p G,3 3, 588, 5, 4 3, 52 Para quantdade, temos os seguntes índces: q,2 q,3, 2 +, 2 +, 6, 67 3, 5 +, 4 +, 2 36, 67 3 q H,2 3,2 +,2 +, 6, 47 q H,3 3,5 +,4 +,2 35, 48

17 2.5. PROPRIEDADES DOS ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES 3 q G,2 3, 2, 2, 6, 57 q G,3 3, 5, 4, 2 36, 8 Já o índce agregatvo de Bradstreet é: PA,2 8, 5 +, 8 +,2 6, 33 8, 5 +, 2 +, PA,3 9, +, 8 +, 4, 63 8, 5 +, 2 +, QA, , QA, , Note que, no índce de quantdade, estamos somando valores expressos em kg e em undades smples e no índce de preço, estamos somandos valores em R$/kg e R$/undade. A partr de agora, não remos mas trabalhar com os índces agregatvos de Bradstreet. Resumndo os outros índces: Preço Quantdade Valor t t 2 t 3 t t 2 t 3 t t 2 t 3 Méda artmétca 23, 33 3, 96 6, 67 36, 67 Méda geométrca 2, 64 3, 52 6, 57 36, 8 Méda harmônca 2, 29, 6, 47 35, 48 Podemos ver que p p G p H uma consequênca dreta da relação entre as médas artmétca, geométrca e harmônca de números postvos. 2.5 Propredades dos índces agregatvos smples 2.5. Identdade A propredade de dentdade é obvamente satsfeta por todos os índces agregatvos smples Reversbldade Vamos mostrar com os dados do Exemplo 2. que os índces das médas artmétca e harmônca smples não satsfazem a propredade de reversbldade. Para sso, vamos calcular

18 4 CAPÍTULO 2. ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES esses índces com base em t 2. p 2, 8,5 8,5 +,2,8 +,,2 3 83, 33 p,2 8, 8, 2333 p H 2, 3 8,5 8,5 +,8,2 +,2, 8, 8 p H,2 Com relação à méda geométrca smples, temos que 83, 33 2, p G,t n p,t pn,t n p t p pn t p n n p p t pn p n t p G t, ou seja, o índce baseado na méda geométrca smples satsfaz a propredade de reversbldade Crculardade Os índces da méda artmétca e da méda harmônca smples não satsfazem a propredade crcular. Vamos mostrar este resultado através de um contra-exemplo, baseado nos dados do Exemplo 2.. p 2,3 9 8,5 +,8,8 +,4,2 7, 52 3 p,2 p 2,3, 2333, , 6 3, 96 p,3 p H 2,3 3 8,5 9 +,8,8 +,2 7, 8,4 p H,2 ph 2,3, 2, 78 28, , p H,3 Com relação ao índce da méda geométrca, temos que: p p G, pg,2 n p pn p n p n p p 2 p pn p n p n 2 p pn 2 p n pn 2 p n p n 2 p pn 2 p n p G,2 ou seja, o índce baseado na méda geométrca smples satsfaz a propredade de crculardade.

19 2.6. RELAÇÕES ENTRE ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES Decomposção das causas Vamos analsar agora a propredade da decomposção das causas para esses índces. Esta propredade exge que o produto do índce de preço pelo índce de quantdade seja gual ao índce smples de valor V,t defndo em (2.) Usando os dados do Exemplo 2., temos: p 99, q 99, , 75 V 99, 25, 4 Logo, o índce de méda artmétca smples não satsfaz o crtéro de decomposção das causas. p H 99, qh 99, , 78 V 99, 63, 24 Analogamente, concluímos que o índce de méda harmônca smples também não satsfaz o crtéro de decomposção das causas. p G 99, qg 99, , 69 V 99, 25, 4 p G 99, qg 99, , 8 V 99, 63, 24 Logo, o índce de méda geométrca smples não satsfaz o crtéro de decomposção das causas Resumo das propredades dos índces agregatvos smples A segur temos o resumo das propredades dos índces: Índce agregatvo Crtéro smples Identdade Reversbldade Crculardade Decomposção das causas Méda Artmétca Sm Não Não Não Méda Harmônca Sm Não Não Não Méda Geométrca Sm Sm Sm Não 2.6 Relações entre índces agregatvos smples Note que Logo, p,t p,t + + pn,t n p t, p t, + + pn t, n p,t n p t + + pn p t p n p t + + pn p t p n n p p t + + pn p n t n n + + p p n t, t,

20 6 CAPÍTULO 2. ÍNDICES AGREGATIVOS SIMPLES ou seja, Analogamente, obtemos que p,t p H t, (2.8) p t, p H,t (2.9)

21 Capítulo 3 Índces agregatvos ponderados Uma forte lmtação dos índces baseados em médas smples é o fato de se dar o mesmo peso para todos os produtos. Surgem, então, os índces agregatvos ponderados, em que cada produto tem um peso dferente. A forma mas comum de se defnr os pesos é tomar a partcpação do valor de cada bem no valor total, ou seja, os pesos são defndos como w v v j j pq (3.) p j q j j Como um número índce compara preços e quantdades em dos nstantes de tempo, uma questão relevante aqu é defnr a que momento se referem os preços e quantdades que aparecem na defnção dos pesos. Temos, então, que especfcar a base de ponderação. 3. Índce de Laspeyres ou índce da época base O índce de Laspeyres é defndo como uma méda artmétca ponderada dos relatvos, com os pesos sendo defndos na época base. Então, os pesos são em que V n v j j w v v j j v p q V p j qj j é o valor total na é poca base, um valor constante. Note que (3.2) w v v j j v V V v v v j j V V (3.3) 7

22 8 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS 3.. Índce de Laspeyres de preço O índce de preços de Laspeyres é defndo por: L P,t w p,t (3.4) Essa expressão pode ser smplfcada, bastando, para sso, substtur os termos envolvdos pelas respectvas defnções: L P,t V v v j j ( p t p v p t p ) V ( v ) p t V p ( p p q t p ) V q p t. Logo, L P,t q p t q p (3.5) Vamos analsar essa últma expressão: no denomnador temos o valor total no mês base. Já no numerador, temos os valores das quantdades da época base aos preços atuas. Então, comparando esses dos termos, estamos comparando a varação de preços da mesma cesta de produtos, a cesta da época base, nos dos nstantes de tempo. Note que as quantdades ou a cesta de produtos é a cesta da época base e, portanto, fca fxa, enquanto não houver mudança de base. Note também que o fato de os pesos serem fxados na época base não sgnfca que temos um sstema fxo de ponderação, o que só acontece quando os pesos ndependem da base de comparação. No caso do índce de Laspeyres, os pesos mudam quando mudamos a base de comparação Índce de Laspeyres de quantdade O índce de Laspeyres de quantdade é defndo por: L Q,t w q,t (3.6) Como antes, essa expressão pode ser smplfcada, substtundo-se os termos envolvdos

23 3.2. ÍNDICE DE PAASCHE OU ÍNDICE DA ÉPOCA ATUAL 9 pelas respectvas defnções: Logo, L Q,t V v v j j ( L Q,t q t q p q q t q v V q t q ) V p q t p q t (3.7) Como antes, no denomnador temos o valor total no mês base. Já no numerador, temos os valores das quantdades da época atual aos preços da época base. Então, comparando esses dos termos, estamos comparando a varação no valor gasto para aqusção das dferentes quantdades aos mesmos preços da época base. Os preços aqu são os preços da época base, também permanecendo fxos enquanto não houver mudança de base. No índce de preços, a varação no valor gasto é devda à varação de preços (as quantdades estão fxas), enquanto no índce de quantdade, o valor total vara em função da varação nas quantdades (os preços estão fxos). p q 3.2 Índce de Paasche ou índce da época atual O índce de Paasche é uma méda harmônca dos relatvos, ponderada na época atual, sto é, os pesos são defndos como w t v t v j t j v t V t p tq t p j tq j t onde V t n v j t é o valor total da época atual. Como antes, j j wt. (3.8) 3.2. Índce de Paasche de preços O índce de preços de Paasche é defndo como P,t P wt p,t wt p t, (3.9)

24 2 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS Note a nversão dos relatvos, uma vez que p,t forma: ou seja, P P,t V t v t v j t j p p t ( vt p ) p t P P,t p t,. A smplfcação é feta da segunte ( ) v t p V t p t V t ( q t p t q t p t q t p p p t ) V t q t p (3.) Nessa fórmula fca clara a comparação sendo feta: estamos analsando a varação de preços da cesta atual. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denomnador temos o valor que sera gasto para comprar a cesta atual (quantdade atual) aos preços da época base. Uma séra lmtação no emprego dos índces de Paasche é o fato de as ponderações vararem em cada período; note que os pesos são dados pelo valor da época atual Índce de Paasche de quantdade O índce de quantdades de Paasche é defndo como P Q,t A smplfcação é feta da segunte forma: P Q,t w t q,t v t j v j t q q t wt q t, ( ) v t q V t q t (3.) V t ( v t q q t ) V t ( q t p t q q t )

25 3.3. ÍNDICE DE FISHER 2 ou seja, P Q,t p t q t p t q (3.2) Nesse fórmula fca clara a comparação sendo feta: estamos analsando a varação da quantdade aos preços atuas. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denomnador temos o valor que sera gasto para comprar a cesta da época base (quantdade da época base) aos preços atuas. A ponderação é defnda pelos valores atuas, mudando a cada período. 3.3 Índce de Fsher O índce de Fsher é defndo como a méda geométrca dos índces de Laspeyres e Paasche. F P,t L P,t PP,t (3.3) F Q,t L Q,t PQ,t (3.4) 3.4 Índce de Marshall-Edgeworth Com os índces de Laspeyres e Paasche de quantdades, estamos analsando a varação no valor gasto, em função da varação das quantdades, para adqurr os produtos aos preços da época base e da época atual, respectvamente. O índce de Marshall-Edgeworth consdera as médas desses preços e quantdades. Mas precsamente, defne-se o índce de preços de Marshall-Edgeworth como um índce que mede a varação no valor gasto, em função da varação dos preços, para adqurr a quantdade q defnda pela quantdade méda da época base e da época atual: + q t, ou seja, o índce 2 de preços é: M P,t ( q + q t 2 ( q + q t 2 ) p t ) p ( q p t + q tp t) ( q p + q tp ) ( q + q ) t p t ( q + q ) (3.5) t p Para o índce de quantdade, toma-se o preço médo da época base e da época atual

26 22 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS p + p t. Logo, 2 M Q,t ( p + p t 2 ( p + p t 2 ) q t ) q ( p q t + p tq t) ( p q + p tq ) ( p + p ) t q t ( p + p ) (3.6) t q 3.5 Índce de Dvsa Esse índce é defndo como uma méda geométrca ponderada dos relatvos, com sstema de pesos fxo na época base. ( ) p D,t P w ( ) t p 2 w 2 ( p t p n p 2 t p n ) w n n ( ) p w t (3.7) p EXEMPLO 3. ( ) D Q q w ( ),t t q 2 w 2 ( q t q n q 2 t q n ) w n n ( ) q w t (3.8) q Vamos consderar os seguntes dados, já trabalhados no capítulo anteror: Produto t t 2 t 3 P Q P Q P Q Arroz (kg) 2,5 3, 2 3,25 5 Fejão (kg),2 5,8 6,8 7 Pão (und.), 2,2 22,4 24 Com base nesses dados, vamos calcular os índces de Laspeyres, Paasche, Fsher, Marshall- Edgeworth e Dvsa, tanto de preços quanto de quantdade. Vamos tomar t como base. Na tabela a segur, temos os valores em forma absoluta e relatva (pesos). Produto t t 2 Valor Peso Valor Peso Arroz (kg) 2, 5 25, 25/5, , 36, /73, 2, 4983 Fejão (kg), 2 5 6, 6/5, 7647, 8 6, 8, 8/73, 2, 4754 Pão (und.), 2 2, 2/5, 39257, , 4 26, 4/73, 2, Soma 5,, 73, 2, Produto t 3 Valor Peso Arroz (kg) 3, , 75 48, 75/94, 95, Fejão (kg), 8 7 2, 6 2, 6/94, 95, 327 Pão (und.), , 6 33, 6/94, 95, Soma 94, 95,

27 3.5. ÍNDICE DE DIVISIA 23 Os relatvos são: Relatvos -t Produto t P Q Arroz (kg) 2, 5/2, 5 / Fejão (kg), 2/, 2 5/5 Pão (und.), /, 2/2 Produto t 2 P Q Arroz (kg) 3/2, 5 2 2/ 2 Fejão (kg), 8/, 2 5 6/5 2 Pão (und.), 2/, 2 22/2 Produto t 3 P Q Arroz (kg) 3, 25/2, 5 3 5/ 5 Fejão (kg), 8/, 2 5 7/5 4 Pão (und.), 4/, 4 24/2 2 Usando ambas as fórmulas (3.4) e (3.5), temos que: L P,2, , , , , 8 + 2, L P,3, , , , , , 8 + 2, 4 5 Usando as fórmulas (3.6) e (3.7), temos que: 32, , 5 5 L Q,2, , , , , 5 2 +, 2 6 +, , , 2 5 L Q,3, , , , , 5 5 +, 2 7 +, , 5 + 8, Analogamente, usando as fórmulas (3.9), (3.), (3.) e (3.2), temos que: 69, 9 5

28 24 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS P P,2, , , , , 2 2 2, 5 + 6, , 73, 2 73, , , 2 P P,3, , , , , , 5 + 7, , 94, 95 94, 95 37, 5 + 8, , 9 P Q,2 6, 9476,4983, 4754, , 2 3 +, 8 5 +, , 2 73, P Q,3 36, 6875, 53428, , , 95 3, 25 +, 8 5 +, , 95 94, 95 32, , 5 Note que é mas fácl (e mas precso numercamente) calcular os índces de Laspeyres e Paasche pelas fórmulas (3.5), (3.7), (3.) e (3.2). F P,2 23, , , 5896 F P,3 36, , , F Q,2 6, , , 3444 F Q,3 37, , , M P,2 ( + 2) 3 + (5 + 6), 8 + (2 + 22), 2 ( + 2) 2, 5 + (5 + 6), 2 + (2 + 22), 36, 2 23, , 2 M P,3 ( + 5) 3, 25 + (5 + 7), 8 + (2 + 24), 4 ( + 5) 2, 5 + (5 + 7), 2 + (2 + 24), 64, 45 2, 9 36, 255

29 3.6. PROPRIEDADES DOS ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS 25 M Q,2 (3 + 2, 5) 2 + (, 8 +, 2) 6 + (, 2 +, ) 22 (3 + 2, 5) + (, 8 +, 2) 5 + (, 2 +, ) 2 32, 4 6, M Q,3 (3, , 5) 5 + (, 8 +, 2) 7 + (, 4 +, ) 24 64, 85 36, (3, , 5) + (, 8 +, 2) 5 + (, 4 +, ) 2 2, 5 D P,2 (2),4996 (5),7647 (2), , 9977 D P,3 (3),4996 (5),7647 (4), , 57 D Q,2 (2),4996 (2),7647 (), , D Q,3 (5),4996 (4),7647 (2), , 32 8 Como exercíco, você deve calcular esses mesmos índces com base t 2 ; o resultado é dado na tabela abaxo, onde se excluem os resultados para o período base: Índces - t 2 t t 3 P Q P Q Laspeyres L2, P 8, 8743 LQ 2, 86, 656 LP 2,3, 9 LQ 2,3 8, 33 Paasche P2, P 8, 9524 PQ 2, 86, 486 PP 2,3 9, 896 PQ 2,3 7, 84 Fsher F2, P 8, 933 F Q 2, 86, 7 F 2,3 P, 3 F Q 2,3 7, 98 Marshall-Edgeworth M2, P 8, 94 MQ 2, 86, 27 MP 2,3 9, 994 MQ 2,3 7, 93 Dvsa D2, P 8, 6344 DQ 2, 85, 9899 DP 2,3 9, 962 DQ 2,3 7, Propredades dos índces agregatvos ponderados Vamos verfcar agora quas crtéros os índces acma satsfazem Identdade É fácl verfcar que todos os índces vstos satsfazem o prncípo da dentdade.

30 26 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS Reversbldade Laspeyres e Paasche Com os dados do exemplo 3., vamos mostrar que esses índces não satsfazem a propredade de reversão. De fato: L P,2 LP 2,, , , P P,2 PP 2,, , 89524, Fsher O índce de Fsher satsfaz o crtéro de reversbldade, como provamos a segur: F P,t F P t, L P,t PP,t L P t, PP t, q p t q p q p t q p t } {{ } q t p t q t p q t p t q tp t }{{} q tp q tp t q tp q t p }{{} q p q p t q p q p } {{ } De forma análoga, prova-se para o índce de quantdade. Marshall-Edgeworth O índce de Marshall-Edgeworth satsfaz o crtéro de reversbldade, como provamos a segur: ( q + q ) t p t ( q + q ) t p M P,t MP t, ( q + q ) t p ( q + q ) t p t ( q + q ) t p t ( q + q ) t p ( q + q ) t p t ( q + q ) t p } {{ } } {{ } Dvsa

31 3.6. PROPRIEDADES DOS ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS 27 O mportante a notar aqu é que o sstema de pesos, no índce de Dvsa, é fxo. Sendo assm, o índce de Dvsa satsfaz o crtéro de reversbldade, como provamos a segur: n D,t P DP t, ( ) p w n ( t p ) w p p t n ( p t p ) w p p t Note que temos o mesmo peso, ndependente da base de comparação! Crculardade Laspeyres e Paasche Vamos usar os dados do exemplo 3. para mostrar que esses índces não satsfazem o prncípo da crculardade. Temos que: Fsher L P,2 LP 2,3, , 9 36, 7 36, 2745 LP,3 P P,2 PP 2,3, , , 88 35, 8369 PP,3 Vamos usar os dados do exemplo 3. para mostrar que esse índce também não satsfaz o prncípo da crculardade. Temos que: F P,2 F P 2,3, , , 9, 9896 Marshall-Edgeworth 35, , F P,3 Com os dados do mesmo exemplo, temos: Dvsa M P,2 MP 2,3, , , , 255 MP,3 Como na propredade de reversão, note que os pesos são fxos, ndependente da época de comparação. Assm, o índce de Dvsa satsfaz o prncípo da crculardade, como se mostra a segur: n D, P DP,2 ( p ) w p n ( p ) w 2 p n ( p p ) w p 2 p t n ( p ) w 2 D,2 P p Decomposção das Causas Laspeyres e Paasche Esses índces não satsfazem esse crtéro, conforme se mostra a segur com os dados do exemplo: L2, P LQ 2, 59, 2 73, , , 2 V 2, P P 2, PQ 2, , , 2 V 2,

32 28 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS Fsher Esse índce satsfaz o crtéro da decomposção das causas, como se mostra a segur: F P,t F Q,t q p t q p q p t p t q }{{} q t p t q t p q t p t p q p q t q t p }{{} 2 p q t p q p q p q q t p t p t q t p t q q t p t p q } {{ } guas q t p t V,t Marshall-Edgeworth Esse índce não satsfaz o crtéro da decomposção das causas, como mostra o contraexemplo abaxo. M P 99, MQ 99,, , , , , 5294 V 99, Dvsa Esse índce não satsfaz o crtéro da decomposção das causas, conforme mostra o contra-exemplo a segur: D P 99, DQ 99,, , , , , 5294 V 99, No quadro a segur apresentamos o resumo das propredades dos índces: Índce Crtéro Identdade Reversbldade Crculardade Decomposção das causas Laspeyres SIM NÃO NÃO NÃO Paasche SIM NÃO NÃO NÃO Fsher SIM SIM NÃO SIM Marshall-Edgeworth SIM SIM NÃO NÃO Dvsa SIM SIM SIM NÃO

33 3.7. RELAÇÕES ENTRE ÍNDICES Relações entre índces 3.7. Laspeyres e Paasche Relação Vmos, na seção anteror, que os índces de Laspeyres e Paasche não satsfazem o prncípo da decomposção das causas. No entanto, esses índces satsfazem a propredade de decomposção das causas, desde que se mescle os índces. Mas precsamente, L,t P PQ,t LQ,t PP,t V,t (3.9) conforme se mostra a segur: L P,t PQ,t q p t p t q t p t q t V,t q p p t q q p L Q,t PP,t p q t q t p t p t q t V,t p q q t p q p Esse resultado propca uma manera mas elegante de provar o índce de Fsher satsfaz a propredade da decomposção das causas: F P,t F Q,t L L P,t PP,t Q,t PQ,t L,t P PP,t LQ,t PQ,t L,t P PQ,t PP,t LQ,t V,t V,t V,t Relação 2 Vamos, agora, analsar a relação entre os índces de Laspeyres e Paasche. Para sso, recordemos que o estmador do coefcente de correlação para dados agrupados é dado por ( n X X ) ( Y Y ) r xy Cov(X, Y ) σ X σ Y n s x s y (3.2) em que n é a frequênca absoluta e σ x e σ y são, respectvamente, os desvos padrão de X e Y. Sabemos também que a covarânca pode ser reescrta como Cov(X, Y ) ( ) ( f X Y f X f Y ). (3.2) onde f n n é a frequênca relatva (lembre-se: covarânca é a méda dos produtos menos o produto das médas).

34 3 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS Para o caso específco dos números índces, consderemos que os X s e Y s sejam, respectvamente, os relatvos de preço e quantdade e as frequencas relatvas sejam os pesos defndos pelos valores na época base. Mas precsamente, X p t p o Y q t q o f p oq o p j oq j o j (3.22) o que sgnfca que estamos nteressados em analsar a covarânca (ou correlação entre os relatvos de preço e quantdade. Substtundo (3.22) em (3.2), obtemos: Cov(X, Y ) p oq o p j oq j o j p t p q t o q o p oq o p j oq j o j p t p o p oq o p j oq j o j q t q o p tq t q op t p oq t p oq o q op o p oq V,t L,t P LQ,t (3.23) o Mas, por 3.9, sabemos que V,t L,t P PQ,t. Substtundo em (3.23), obtemos que Cov(X, Y ) σ x σ y r xy L P,t PQ,t LP,t LQ,t σ x σ y r xy L P,t PQ,t LP,t LQ,t L P,t PQ,t LQ,t P Q,t ou seja, L Q,t P Q,t r xy σ x σ y V,t (3.24) Analsando essa equação, podemos ver que os índces de Laspeyres e Paasche serão dêntcos quando r xy ou σ x ou σ y. As duas últmas condções sgnfcam que, tanto os relatvos de preço, quanto os relatvos de quantdade são constantes (não têm varabldade), uma hpótese bastante rrealsta. A condção r xy sgnfca que os relatvos de preço e de quantdade são não correlaconados, hpótese também bastante mprovável de ocorrer na prátca. Assm, na prátca, os índces de Laspeyres e Paasche serão dferentes. Nesse caso, como σ x >, σ y > e V,t >, a relação entre os índces dependerá de r xy. Se r xy > (relatvos de preço postvamente correlaconados com os relatvos de quantdade, o que acontece quando estamos analsando um problema pelo lado da oferta, por exemplo), o índce de Laspeyres será menor que o de Paasche. Caso contráro, sto é, relatvos de preço negatvamente correlaconados com os relatvos de quantdade (análse pelo lado da demanda), o índce de Laspeyres será maor que o de Paasche.

35 3.7. RELAÇÕES ENTRE ÍNDICES 3 A stuação mas comum, na prátca, é termos r xy < e, portanto, P,t P < LP,t e PQ,t LQ,t. Neste caso, temos que q tp t q P,t P p t LP,t q tp q p ou ou Analogamente, p tq t p tq t p tq P Q,t LQ,t Vemos, assm, que, em geral p q q tp t q tp q tp t q tp p tq t p tq t q p P Q,t PP,t V,t p tq t p q p tq t p tq p tq t p tq p tq p q V,t L P,t LQ,t q p t p q t p q p q p q t p q P Q,t PP,t V,t L P,t LQ,t q p p q t p q ou seja, o índce de Paasche tende a subestmar o valor, enquanto o índce de Laspeyres tende a superestmar Fsher, Laspeyres e Paasche O índce de Fsher é defndo como a méda geométrca dos índces de Laspeyres e Paasche. Então F L P.

36 32 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS Pelo resultado anteror, temos que, em geral, os índces de Laspeyres e Paasche são dferentes. Se eles são guas, obvamente temos F L P. Das propredades da função f (x) x segue que x < x < para < x <. Veja a Fgura 3.. Fgura 3. x < x < < x < < L P Suponhamos, ncalmente, que L < P. Então, como L e P são postvos, segue que <. Então L L P < P < P L L P < P P < P L < L P < P ou seja, L < F < P. Se P < L, obtemos, de forma análoga, que P < F < L. Em resumo, se os índces de Laspeyres e Paasche são dferentes, então o índce de Fsher está compreenddo entre eles: L < P L < F < P (3.25) P < L P < F < L L P L F P

37 3.7. RELAÇÕES ENTRE ÍNDICES Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche O índce de Marshall-Edgeworth é defndo como ( q t + q ) o p t M P,t ( q t + qo). p o Vamos provar que esse índce se encontra sempre entre os índces de Laspeyres e Paasche. Mas para sso precsamos do segunte resultado. RESULTADO 3. Sejam X, X 2, Y e Y 2 são números postvos. Então Demonstração X X 2 Y Y 2 X X 2 X + Y X 2 + Y 2 Y Y 2. Como os números são postvos, temos que Analogamente, X X 2 Y Y 2 X Y 2 X 2 Y X Y 2 + X X 2 X 2 Y + X X 2 X (X 2 + Y 2 ) X 2 (X + Y ) X X 2 X + Y X 2 + Y 2 X X 2 Y Y 2 X Y 2 X 2 Y X Y 2 + Y Y 2 X 2 Y + Y Y 2 Y 2 (X + Y ) Y (X 2 + Y 2 ) X + Y X 2 + Y 2 Y Y 2 Note que esse resultado não vale quando algum dos números é negatvo. Por exemplo, se fzermos X 2, X 2 3, Y e Y 2 2, então mas X X < Y Y 2 2 X + Y X 2 + Y 2 < X X 2 Para provar a relação entre os índces de Laspeyres, Paasche e Marshall-Edgeworth, basta fazer X q op t Y q tp t X 2 q op o Y 2 q tp o

38 34 CAPÍTULO 3. ÍNDICES AGREGATIVOS PONDERADOS Nesse caso, os índces de Laspeyres e Paasche de preço são: L L p,t X X 2 P P p,t Y Y 2 e se L < P, então X X 2 < Y Y 2 L < q op t + q op o + q tp t q tp o ( q o + q ) t p t ( q o + q < P t) p o ou seja, L < M < P. Se, ao contráro, temos P < L então Y < X q op t + q tp ( t q o + q ) t p t P < Y 2 X 2 q op o + q tp ( o q o + q < L t) p o e, portanto, P < M < L. E se L P, então L P M. Resumndo, o índce de Marshall- Edegeworth está entre os índces de Laspeyres e Paasche: L < P L < M < P (3.26) P < L P < M < L L P P M L

39 Capítulo 4 Mudança de base 4. Método prátco O procedmento de mudança de base, apresentado na Seção.6 para relatvos, será sempre váldo se o índce satsfzer as propredades crcular e de reversão. No entanto, város índces utlzados na prátca não satsfazem tas propredades. Os índces de Laspeyres e Paasche são um exemplo. Para fazer a mudança de base de uma sére de índces de Laspeyres, por exemplo, é necessáro mudar os pesos e sso sgnfca trazer a antga cesta base para a época atual. Esse procedmento, além de caro, nem sempre é vável. Assm, na prátca, a mudança de base é feta como se o índce satsfzesse a propredade crcular, ou seja, obtém-se a sére na nova base dvdndo-se a antga pelo valor do índce no ano da base desejada. Vamos lustrar os procedmentos correto e aproxmado com os dados utlzados anterormente no Exemplo 3.. EXEMPLO 4. Mudança de base para os dados do Exemplo 3. Calcule a sére de índces com base em t 3 pelo método exato e pelo método aproxmado para os dados do Exemplo 3., reapresentados a segur. Produto t t 2 t 3 P Q P Q P Q Arroz (kg) 2,5 3, 2 3,25 5 Fejão (kg),2 5,8 6,8 7 Pão (und.), 2,2 22,4 24 Solução Anterormente, calculamos os índces de Laspeyres com base em t, obtendo, para os 35

40 36 CAPÍTULO 4. MUDANÇA DE BASE preços, a segunte sére: Ano t t t 2 t 3 L,t P 23, ,2745 Vamos, agora, calcular os índces com base em t 3 pelo método exato: L P 3, 5 2, 5 + 7, , 69, 9 73, , , , 4 94, 95 L P 3,2 5 3, + 7, , 2 86, 4 9, , , , 4 94, 95 Logo, pelo método exato a sére de índces com base em t 3 é: Ano t t t 2 t 3 L3,t P 73, 68 9, 995 Pelo método prátco, temos: L3, P 73, 38 36, 2745 L P 3,2 23, , , Conjugação de séres de índces Os nsttutos de pesqusa, como IBGE, FGV, responsáves pela dvulgação de séres de índces, perodcamente precsam atualzar a base das séres de índces de forma a retratar mas felmente a realdade atual. No caso de índces de Lapeyres, essa atualzação envolve, mutas vezes, consderar uma nova cesta de bens e servços. Como resultado desse processo, temos 2 conjuntos de índces: um com a base antga, e outro com a base nova. O procedmento usado para conjugar as duas séres consste em manter as mesmas taxas de varação entre os períodos, ndependente de qual base fo utlzada. Para sso, é necessáro que, para um período, seja feto o cálculo do índce nas duas bases. EXEMPLO 4.2 Conjugação de séres de índces

41 4.2. CONJUGAÇÃO DE SÉRIES DE ÍNDICES 37 Uma sére de índces vnha sendo construída com base em 997. No ano de 999, decdu-se fazer uma mudança de base que resultou nas seguntes séres: Ano Sére antga Sére nova Conjugue as duas séres, usando 997 como base e depos mude a base para o ano de 22. Solução A partr da sére nova, obtemos os seguntes relatvos: I 99, 5, 5 I 99, 5, 5 I 99,2 32, 32 I 99,3 46, 46 I 99,4 55, 55 Aplcando essas varações na sére com base em 997, obtemos: I 97,, 5 6, 55 I 97,, 5 27, 65 I 97,2, 32 46, 52 I 97,3, 46 62, 6 I 97,4, 55 72, 5

42 38 CAPÍTULO 4. MUDANÇA DE BASE Logo, a sére completa com base em 997 é Ano , , , 997, 998 2, 999, 2 6, , , , ,5 Com a sére com base 997 pronta, para calcular com base em 22, basta dvdr todos os índces pelo valor de 22, que é,4652. Ano , /, , , /, , , /, , , /, , , /, , , /, , , 55/, , , 65/, , , 52/, 4652, 23 62, 6/, 4652, , 5/, , 42 No cálculo de índces e taxas é mportante realzar os cálculos ntermedáros com váras casas decmas, para que não se perca muta precsão nos resultados.

43 Capítulo 5 Deflaconamento e poder aqustvo 5. Introdução Suponhamos que, num período t, um qulo de carne custe R$8, e em t ) 2, R$,. Se nos 2 períodos dspusermos da mesma quanta de R$25, para comprar essa carne, em t podemos comprar 25R$ 3, 25 kg 8 R$ / kg e em t 2 25 R$ 25 kg R$ / kg Logo, a relação entre as quantdades é 25, 8 3, 25 que corresponde a uma taxa de varação de ( ) ( ) 25 3, , 25 3, 25 (, 8 ) 2% Então, com esse aumento de preço, mantdo o mesmo valor dsponível, houve uma queda de 2% na quantdade de carne adqurda. Consderemos, agora, uma stuação mas geral, em que o saláro de uma pessoa se mantém fxo em R$2.5, nos anos de 999 e 2, mas a nflação em 2, medda pelo INPC, fo de 5,27%. Como avalar a perda salaral desta pessoa? Prmero, vamos nterpretar o sgnfcado da nflação de 5,27% em 2. Isto sgnfca que o custo (preço) de uma cesta de produtos e servços aumentou 5,27% em 2, comparado com 999, ou seja, o índce de preços de 2 com base em 999 é,527. Por outro lado, como o saláro é o mesmo, o índce de valor (saláro) de 2 com base em 999 é. Usando a relação aproxmada IV IP IQ, resulta que o índce de quantdade de 2 com base em 999 é ( ) IQ, 94994,

44 4 CAPÍTULO 5. DEFLACIONAMENTO E PODER AQUISITIVO ou seja, esta pessoa, com o mesmo saláro em 2, consegue comprar,94994 do que comprava em 999, o que representa uma taxa de (, ) 5, 6. O índce,94994 é chamado índce do saláro real, já que ele representa o que a pessoa pode realmente adqurr em 2, com base em 999. Uma outra forma de olhar este mesmo problema é a segunte: dzer que houve uma varação de preços de 5,27% em 2 é o mesmo que dzer que,527 reas em 2 equvalem, em poder de compra, a real em 999. Então, para determnar quanto valem os 25 reas de 2 a preços de 999, basta aplcarmos a regra de três smples: Logo, R$,527 R$ x 25 R$ x , 85, 527 o que sgnfca que o saláro de 25 reas em 2 equvale a um saláro de 2374,85 reas em 999, o que é ldo como 2374,85 reas a preços de 999. A perda salaral pode ser obtda como 2374, 85, mesmo valor obtdo através do índce do saláro real. Estes exemplos lustram o conceto de deflaconamento de uma sére de valores, que permte equparar valores monetáros de dversas épocas ao valor monetáro de uma época base, ou anda, o deflaconamento permte elmnar uma das causas de varação de uma sére de valores monetáros, qual seja, a varação de preços. 5.2 Deflator Um índce de preços usado para equparar valores monetáros de dversas épocas ao valor monetáro de uma época base é chamado deflator. Como vsto acma, para obter a sére de valores deflaconados ou valores a preços da época base, basta dvdr a sére de valores pelo respectvo índce de preço. Os valores estarão a preços constantes do ano base do índce de preços. Podemos também dvdr a sére de índces de valores pelo respectvo índce de preço para obter o índce do valor real (quantdade) com base no período base do deflator. EXEMPLO 5. Faturamento de uma empresa Consdere a sére do faturamento nomnal de uma empresa e o índce de preço

45 5.2. DEFLATOR 4 aproprado, dados na tabela abaxo. Ano Faturamento nomnal índce de preços (Ml R$) , 2 8 5, , , , ,87 Obtenha o faturamento real a preços de 999. Solução Como vsto anterormente, basta aplcar uma regra de três, tendo em mente a nterpretação do índce de preços: R$ em 999 equvalem a 5,272 R$ em 2, a 5,22 em 2, etc. Por exemplo, para o ano de 22 temos: R$ 32,94 R$ x 28 R$ x 28 28, 99 32, 94 Com o mesmo procedmento para os outros anos, obtemos a sére do faturamento a preços de 999 dada por: Ano Faturamento (Ml R$ de 999) 999 (6/) 6, 2 (8/5, 272) 79, 9 2 (24/5, 22) 283, 22 (28/32, 94) 28, 23 (3/45, 92) 255, 9 24 (32/54, 87) 266, 2 Para obter o índce do faturamento real com base em 999 temos que calcular o índce do faturamento nomnal e dvdí-lo pelo respectvo índce de preços. Para o ano de 22, por exemplo, temos: , Completando para os outros anos obtemos:

46 42 CAPÍTULO 5. DEFLACIONAMENTO E PODER AQUISITIVO Ano 999 índce do faturamento real (quantdade) , , , , , , Note a segunte equvalênca (ano de 22): , , 94 6 O termo no numerador é o faturamento de 22 a preços de 999, enquanto o termo no denomnador é o faturamento de 999 a preços de 999. Ou seja, podemos obter a sére de índces do faturamento real a preços de 999 smplesmente dvdndo a sére de faturamento a preços de 999 pelo faturamento real do ano base:

47 5.2. DEFLATOR 43 Ano 975 índce do faturamento real 999 6, , 9 6 6, , 6 3, , 6 32, , , , , 4 Se no exemplo tvessem sdo dadas as taxas de varação do faturamento e do preço, o deflaconamento sera feto, prmero transformando as taxas em índces. Taxa índce Deflaconamento (taxa nomnal) j j (taxa de nflação) + j EXEMPLO 5.2 Uma pessoa aplcou determnada quanta a uma taxa de juros de 5% ao semestre. A nflação no semestre apresentou uma varação de 7%. Quanto ela perdeu em duzentos reas aplcados no semestre? Solução Ao fnal do semestre, cada real aplcado resulta em,5. Mas como a nflação é de 7%, cada real, ao fnal do semestre, em termos de poder de compra, equvale a,7. Logo, cada real aplcado ao fnal do semestre corresponde a, 5, 9838, 7

48 44 CAPÍTULO 5. DEFLACIONAMENTO E PODER AQUISITIVO Duzentos reas correspondem a 2, , 266, o que equvale a uma perda de 3,7384 reas.! Índces e taxas Um erro comum consste em dvdr as taxas 5%, 7729, um valor 7% totalmente dferente. Lembre-se: não se dvdem nem se multplcam taxas! EXEMPLO 5.3 Saláro real e INPC Na tabela abaxo temos o saláro de um funconáro nos meses de janero a mao de 22 e as respectvas taxas de nflação mensal meddas pelo INPC: Mês Saláro (R$) INPC (%) dez- 3868,8,74 jan-2 46,3,7 fev ,79,3 mar-2 454,89,62 abr ,4,68 ma ,4,9 Calcule o saláro real a preços de dezembro de 2 e também o índce do saláro real com base em dez-. As taxas de nflação medem a varação mensal Solução O prmero passo consste em calcular a sére do INPC com base em dezembro de 2. Em janero de 22 a taxa de nflação fo de,7%, com relação a dezembro de 2, ou seja, Em feverero, temos que e p jan 2, 7 +, 7 p dez p fev 2, 3 +, 3 p jan 2 t t p fev 2 p dez p fev 2 p jan 2 p jan 2 p dez, 7, 3, 383 Para março, temos: p mar 2 p dez p mar 2 p fev 2 p fev 2 p jan 2 p jan 2 p dez, 62, 7, 3, 22

49 5.2. DEFLATOR 45 Para abrl: p abr 2 p dez p abr 2 p mar 2 p mar 2 p fev 2 p fev 2 p jan 2 p jan 2 p dez, 68, 62, 7, 3, 2756 Para mao: p ma 2 p dez p ma 2 p abr 2 p abr 2 p mar 2 p mar 2 p fev 2 p fev 2 p jan 2 p jan 2 p dez, 9, 68, 62, 7, 3, 2798 Obtda a sére do INPC com base em dezembro de 2, para obter o saláro real basta dvdr o saláro nomnal de cada mês pelo respectvo valor do índce: Mês Saláro (R$) INPC Saláro real % dez- a preços de dez- dez- dez- 3868,8,74, 3868, , , 8, 3868, 8 jan-2 46,3,7,7 46, 3, 7 47, 5 47, 5 3, , 8 fev ,79,3, , 79, , , 34 22, , 8 mar-2 454,89,62 2,2 454, 89 2, 2 445, , 33 5, , 8 abr ,4,68 2, , 4 2, , , 26, , 8 ma ,4,9 2, , 4 2, , 4 435, 4, , 8 Ao deflaconarmos esses saláros, estamos colocando todos eles na mesma moeda, ou seja, eles são comparáves para efetos de poder de compra. É como se tvéssemos duas pessoas em dezembro de 2, uma ganhando R$ 3668,8 e a outra, R$ 435,4; com essa comparação fca claro que a segunda pessoa ganha mas que a prmera, ou seja, em termos reas, o saláro de mao de 22 é maor que o saláro de dezembro de 2.

50 46 CAPÍTULO 5. DEFLACIONAMENTO E PODER AQUISITIVO 5.3 Poder aqustvo O poder aqustvo de um determnado volume de undades monetáras, com relação a uma certa época base, é o seu valor deflaconado com referênca a essa época base. Consderemos novamente o exemplo vsto no níco da seção: em t, um qulo de carne custava 8, reas e em t 2, reas. Se nos 2 períodos dspuséssemos da mesma quanta de 25 reas para comprar essa carne, em t poderíamos comprar 25 R$ 3, 25 kg 8 R$ / kg e em t 2 25 R$ 25 kg R$ / kg Logo, a relação entre as quantdades é 25, 8 3, 25 Isso sgnfca que o poder aqustvo (para esse únco produto) cau 2%. Note que: 25 R$ 25 3, R$ R$ / kg 8 R$ / kg 8 8 No denomnador da últma fração temos o relatvo de preço da carne com base em t, ou seja, o poder aqustvo é obtdo tomando-se o nverso do índce de preço escolhdo. EXEMPLO 5.4 Poder aqustvo do real Consdere a sére do IGP dada a segur. Calcule o poder aqustvo de R$ com base no real de 2. Ano IGP Solução Ano IGP - 2 Poder aqustvo de R$ (2) 2 (/). 2 (/), (/4), (/5), (/68), Em 22, R$ tem o mesmo poder aqustvo de,7429 R$ de 2, enquanto em 24, R$ tem o poder aqustvo de,59524 R$ em 2.