IMPLEMENTAÇÃO DOS MÉTODOS DE RESÍDUOS PONDERADOS POR QUADRATURAS GAUSSIANAS. Eduardo Moreira de Lemos

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1 IMPLEMENTAÇÃO DOS MÉTODOS DE RESÍDUOS PONDERADOS POR QUADRATURAS GAUSSIANAS Edardo Morera de Lemos DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA QUÍMICA. Aprovada por: Prof. Evarso Chalbad Bscaa Jor D.Sc. Prof. José Carlos Cosa da Slva Po D.Sc. Prof. Argmro Resede Secch D.Sc. RIO DE JANEIRO RJ - BRASIL ABRIL DE 7

2 LEMOS EDUARDO MOREIRA DE Implemeação dos Méodos de Resídos Poderados por Qadraras Gassaas [Ro de Jaero] 7 IX 56 p. 97 cm COPPE/UFRJ M.Sc. Egehara Qímca 7 Dsseração - Uversdade Federal do Ro de Jaero COPPE. Méodos Nmércos. Méodo de Resídos Poderados I. COPPE/UFRJ II. Tílo sére

3 A mes pas Nobero Jso de Lemos e Domara Morera de Lemos por odo amor carho e dedcação. Devo do qe so ao amor de vocês.

4 AGRADECIMENTOS A mes pas Nobero e Domara por odo amor apoo e carho ao logo deses 5 aos de vda. A me oreador Prof.:Evarso Chalbad Bscaa Jor pela opordade e oreação. Agradeço pela cofaça e por acredar em me rabalho. A mha segda casa G3 obrgado a odos os Troglodas pelo apoo e ada os momeos ecessáros. A mha amorada por odo apoo carho e compreesão. Aos professores do PEQ/COPPE por odo cohecmeo adqrdo ao logo deses dos aos de programa. A mes professores da PUC/RIO em especal a professora Mara Isabel por odo apoo e cevo a mha vda para o PEQ. Obrgado pela cofaça e pelo ecepcoal eemplo de egehero e professor. Aos fcoáros do PEQ em especal aos sempre presavos amgos da secreara. A rma de mesrado de 5 por odos os momeos dfíces pelos qas passamos e qe ceramee sem a amzade e o espíro e grpo ão eríamos sperado. Aos grades amgos qe esão comgo aes de sohar em ser egehero qe ca falam de eqações de epermeos de maemáca qímca o físca mas qe sempre esveram do me lado com se apoo. Ao CNPq e ao proeo ALSOC pelo spore facero. A odos o me mo obrgado. v

5 Resmo da Dsseração apreseada à COPPE/UFRJ como pare dos reqsos ecessáros para a obeção do gra de Mesre em Cêcas M.Sc. IMPL EMENTAÇÃO DOS MÉTODOS DE RESÍDUOS PONDERADOS POR QUADRATURAS GAUSSIANAS Edardo Morera de Lemos Abrl/7 Oreador: Evarso Chalbad Bscaa Jor Programa: Egehara Qímca O presee rabalho em como obevo prcpal desevolver m méodo ssemáco de resolção de ssemas de eqações dferecas parcas e eqações dferecas ordáras com valores o cooro fdameado em apromações polomas baseado a aplcação do méodo dos momeos e de Galerk ao problema evado-se o cômpo das correspodees egras. Tas resídos poderados são calclados por m méodo de qadrara de Gass-Lobao aprmorado capaz de compar eaamee egras de gra ode é o úmero de poos eros da qadrara. Esa modfcação das fórmlas de qadraras perme qe o méodo reprodza eaamee o méodo dos momeos e méodo de Galerk qado aplcados a problemas leares com codções de cooro radcoas. Um ovo códgo compacoal fo desevolvdo. A caracerísca mas eressae desse ovo códgo é qe lza o mesmo polômo de Jacob ao para o méodo dos momeos como para o méodo de Galerk. A geeraldade da apromação com esrra dêca para os dos méodos de resídos poderados é a maor vaagem da presee corbção. v

6 Absrac of Dsserao preseed o COPPE/UFRJ as a paral flfllme of he reqremes for he degree of Maser of Scece M.Sc. IMPLEMENTATION OF THE WEIGTHED RESIDUALS METHOD BY GAUSSIAN QUADRATURE Edardo Morera de Lemos Aprl/7 Advsors: Evarso Chalbad Bscaa Jor Deparme: Chemcal Egeerg The ma prpose of he prese corbo s he developme of a ssemac polomal appromao mehod o solve paral dffereal eqao ad bodar vale problems based o he mehod of momes ad he Galerk s mehod appled o he problem avodg he compao of correspodg egrals. The relaed weghed resdals are comped b a mproved Gass-Lobao qadrare mehod capable o compe eac egrals of polomals of degree where s he mber of eral qadrare pos. Ths ew characersc of hs qadrare formla allows he mehod o reprodce he mehod of momem ad Galerk whe appled o lear problems wh classcal bodar codos. A ew comper code has bee developed. The more eresg aspec of hs ew code s ha he Jacob polomal s he same for boh weghed resdals mehods momem ad Galerk. The geeral of he proposed approach wh decal srcre for boh mehod of weghed resdals s he ma advaage of hs prese corbo. v

7 ÍNDICE GERAL CAPÍTULO... Irodção... CAPÍTULO...4 Revsão Bblográfca...4. Modelos cosídos por EDP s Modelos cosídos por EDOVC Méodos de dscrezação Méodo das lhas Méodo dos resídos poderados....5 Meodologa referee à aplcação do MRP....6 Escolha da fção eava Os dferees créros de poderação Méodo de Galerk Méodo dos sbdomíos Méodo dos mímos qadrados Méodo da colocação Méodo dos momeos Méodo da Colocação Orogoal Méodo da colocação em elemeos fos Méodo da colocação em elemeos fos móves Comparações ere os dferees créros de poderação Obeção da solção apromada....9 Aplcações do MRP ecoradas a lerara.... Iegração mérca Qadrara de Gass...3 Qadrara de Gass-Jacob...3 Qadrara de Gass-Rada com clsão da eremdade feror...3 Qadrara de Gass-Rada com clsão da eremdade speror...3 Qadrara de Gass-Lobao...3. Coclsões do capílo...33 CAPÍTULO Desevolvmeo da Meodologa Proposa Meodologa aplcada a problemas com codções de smera Eqação da dfsão com reação qímca modelo esacoáro Eqação da dfsão com reação qímca modelo rasee Meodologa aplcada a problemas sem codção de smera Reaor de leo fo com dspersão aal modelo esacoáro Reaor de leo fo com dspersão aal modelo rasee Coclsões do capílo...57 v

8 CAPÍTULO O Códgo compacoal desevolvdo Descrção algs pacoes compacoas dspoíves a lerara Vlladse e Mchelse PDECOL COLSYS EDPCOL PDECHEB TOMS HPDASSL/HPSIRK MWRTools MOVCOL BACOL A esrra proposa para o códgo compacoal Eradas de dados Programa prcpal Roas globas Roas específcas DASSL Saída de dados Coclsões do capílo...7 CAPÍTULO Aplcações da meodologa proposa Problemas com smera Eqação da dfsão com reação qímca...74 Esado esacoáro e soérmco...75 Esado rasee e soérmco...78 Esado esacoáro e ão soérmco...8 Esado ão esacoáro e ão soérmco Reaor qímco blar com raspore radal covecvo e dfsvo e raspore aal covecvo Adsorção em baho fo Problemas sem smera Reaor de leo fo...97 Esado esacoáro e soérmco...98 Esado ão esacoáro e soérmco... Esado esacoáro e ão soérmco...4 Esado ão esacoáro e ão soérmco Coclsões do capílo...3 CAPÍTULO Coclsões e perspecvas fras Coclsões Sgesões para rabalhos fros...8 v

9 APÊNDICE... Nova écca de qadrara de Gass-Lobao desevolvda... APÊNDICE...3 A. Dfsão com reação de prmera ordem em parícla de caalsador codzda de forma soérmca. Modelo esacoáro e méodo de Galerk...3 A. Modelo do reaor de leo fo com dspersão aal com reação rreversível de prmera ordem codzda de forma soérmca. Modelo esacoáro e méodos dos momeos e de Galerk...5 APÊNDICE Maal de Ulzação do Códgo Compacoal...3 A3.. Aspecos Geras....3 A3. Dealhameo do códgo...3 A3.. Roas globas...3 A3... Sb-Roas Globas....3 A3... Varáves Globas...33 A3.. Roas Específcas...33 A3... Sb-Roas Específcas...33 A3... Varáves Específcas A3..3 Sb-Roas Eeras A3..4 Arqvos de erada de dados...35 A3..4. Globas A3..4. Específcos A3..5 Arqvos de saída de dados...36 A3..5. Para EDOVC A3..5. Para EDPs...37 A3..6 DASSL...38 A3..7 Programa Prcpal...38 A3.3. Modelos para roas específcas...39 A3.3. Roas alares...39 A3.3.. Var_Ier A3.3.. Somaoro A3.3. Iformacoes_Especfcas A3.3.3 Marz_V_Galerk A3.3.4 Res...43 A3.3.5 Jac A3.3.6 Res_er A3.3.7 Res_Pod REFERÊNCIAS...5

10 CAPÍTULO Irodção O obevo fdameal de m modelo é represear de forma mas próma e cofável possível m deermado feômeo o processo aravés de m coo de eqações maemácas. O gra de compledade de as eqações esá dreamee relacoado aos feômeos físcos o qímcos qe goveram o ssema. Em mas das vezes o coo de eqações proveees do processo de modelagem resla em ssemas de eqações dferecas parcas EDPs o eqações dferecas ordáras com valores o cooro EDOVC. Em algs casos smplfcações podem ser adoadas de forma a dmr o gra de compledade do modelo orgal. Como por eemplo descosderar efeos de varações de parâmeros e aé mesmo de varáves em algma das dreções perecees ao domío do problema. Tas smplfcações redzem cosderavelmee o esforço ecessáro para obeção da solção. Embora em mos casos ão possam ser aplcadas sea porqe mpossblem o modelo de represea adeqadamee o feômeo o pela a ecessdade de esdos mas dealhados. Na grade maora dos casos ão é possível a obeção da solção aalíca do coo de eqações qe descrevem o problema. Assm sedo ora-se ecessára a obeção da solção mérca de forma qe a resposa obda esea mas próma possível da solção verdadera. As meodologas mas aplcadas pela lerara para resolção mérca de EDPs e EDOVCs são: Méodo de Dfereças Fas MDF Méodo de Elemeos Fos MEF Méodo de Volmes Fos MVF e o Méodo dos Resídos Poderados MRP.

11 No qe se refere ao MRP os méodos mas cohecdos e lzados são: o méodo dos momeos o méodo de Galerk o méodo dos mímos qadrados e o méodo da colocação orogoal MCO qe desde se desevolvmeo por VILLADSEN e STEWART 967 é ceramee m dos méodos mas aplcados e referecados pela lerara. Um fore dcavo da lzação do MCO em aplcações da egehara qímca é o úmero de referêcas relavas ao asso desde se srgmeo aé o presee momeo foram ecorados 33 argos apeas o baco de dados do Scece Drec. Observa-se ereao qe ada ão ese m procedmeo ssemáco para escolha dos poos de colocação mas adeqados à aplcação. Tas poos são geralmee escolhdos como as raízes de m polômo de Jacob com os parâmeros α e β da fção peso relacoados à especfcdade do problema. FINLAYSON 97 e VILLADSEN e MICHELSEN 978. Na maora dos rabalhos relavos ao MCO bsca-se a reprodção de dos MRP: o méodo dos momeos e o méodo de Galerk. Ereao a forma orgal do MCO pode apeas reprodzr o méodo dos momeos e o méodo de Galerk em m úmero basae resro de aplcações. Esa dsseração em por obevo o desevolvmeo de m procedmeo ssemáco de resolção de ssemas de EDPs e EDOVC fdameado em apromações polomas reslae da aplcação de dos MRP: o méodo dos momeos e o méodo de Galerk sem a ecessdade do cômpo das correspodees egras. Tas egras são calcladas por m méodo de qadrara de Gass-Lobao aprmorado capaz de compar eaamee egras de fções polomas de aé gra ode é o úmero de poos eros da qadrara. Um ovo códgo compacoal fo desevolvdo. A caracerísca mas eressae desse ovo códgo é qe se lza o mesmo polômo de Jacob ao para o méodo dos momeos como para o méodo de Galerk apeas o cálclo das marzes de dscrezação do ssema é qe srge a especfcdade de cada méodo. Tal aspeco perm fcar em m úco programa os rês prcpas MRP MCO covecoal Galerk e Momeos de forma basae smples sem a ecessdade de alerações as epressões do resído o modfcação algma as roas de resolção do ssema dscrezado.

12 Após a aplcação do procedmeo de dscrezação o méodo de resolção do ssema algébrco o do ssema algébrco-dferecal reslae coforme o caso passa a ser eaamee o mesmo para os dos méodos. A geeraldade da apromação com esrra dêca para os dos méodos de resídos poderados é a maor vaagem do rabalho dspesado ao sáro a escolha do polômo orogoal qe é egda a versão clássca do MCO. O segdo capílo dese rabalho apresea ma descrção sca sobre EDPs e EDOVC. Nese caplo ambém é realzada a revsão sobre os méodos de resídos poderados. Descrevedo desde sa meodologa básca de aplcação bem como os dferees créros adoados a poderação do resído e as prcpas aplcações ecoradas a lerara. Ecerrado o capílo é apreseado m breve resmo das éccas de egração mérca com especal aeção à écca de qadraras de Gass. No ercero capílo a ova meodologa é desevolvda e aplcada a dos pos báscos de problemas: problemas com codção de smera e problemas sem codção de smera. No caso dos problemas qe apreseam codção de smera a meodologa é lsrada aravés de sa aplcação a resolção do modelo de dfsão com reação em ma parícla de caalsador á para os casos qe ão apreseam codção de smera a meodologa é lsrada aravés de sa aplcação a resolção do modelo do reaor de leo fo. No qaro capílo é realzada ma revsão sobre algs dos pacoes compacoas dspoíves a lerara qe fazem so do MRP. A esrra defda para o códgo compacoal é apreseada amee com a descrção das roas e arqvos de erada e saída de dados qe compõem o pacoe bem como a coeão esabelecda ere eles. No qo capílo a meodologa proposa é aplcada a eemplos ípcos da egehara qímca. Nese capílo ecoram-se apreseados os modelos selecoados da lerara para ese do ovo procedmeo o ssema dscrezado gerado pela aplcação da meodologa e os prcpas reslados obdos. No seo e úlmo capílo são apreseadas as coclsões referees ao rabalho desevolvdo bem como algmas sgesões e perspecvas para rabalhos fros. 3

13 CAPÍTULO Revsão Bblográfca Modelar m processo de forma qe o coo de eqações reslaes represee felmee o feômeo em esdo é de grade mporâca pos possbla o eedmeo e a aálse do processo qímco o físco qe esá ocorredo. Permdo possíves ações de corole omzação e a aálse do processo o feômeo em qesão. A obeção de m modelo rgoroso para m deermado eqpameo o ssema é basae úl em odas as eapas do processo. As prcpas vaages de acordo com LUYBEN 989 são: Pesqsa e desevolvmeo: deermação de mecasmos qímcos e parâmeros cécos em laboraóros o plaas ploos e o esdo dos efeos de mdaças as codções de operação vsado esdos de omzação o corole. Proeo: avalar a flêca do amaho e dsposção dos eqpameos esdo de possíves egrações maeras o eergécas smlar pardas paradas e procedmeos de emergêcas. Operação da plaa: reameo dos operadores corole e dagósco de eapas do processo esdos dos efeos e das ecessdades para fras epasões e omzações da plaa. Ulzar m modelo maemáco a codção de as esdos é ceramee mo mas barao segro e rápdo do qe fazê-los em laboraóro o plaa dsral. Para modelar m ssema qímco o qalqer oro ssema físco bológco ecoômco ec é ecessáro qe o comporameo do ssema em esdo sea epresso 4

14 aravés de m coo de eqações maemácas. Em mos casos o ssema de eqações proveee da descrção dealhada do feômeo o processo de eresse resla em m ssema de eqações dferecas parcas EDPs o em eqações dferecas ordáras com valor o cooro EDOVC. Pode-se assocar dreamee o ível de compledade adoado a cofecção do modelo a dfcldade de obeção de sa solção aalíca e para mas das sações reas al solção seqer poderá ser ecorada. Torado ecessáro o emprego de éccas mércas qe seam capazes de ober ma solção apromada sfceemee precsa em bao período de empo.. Modelos cosídos por EDP s Eqações dferecas parcas são eqações qe apreseam algma dervada parcal de ma fção descoheca em relação a algma de sas varáves depedees. Na grade maora dos problemas as varáves depedees são o espaço z o empo e espaço z. Tas Modelos cosídos por EDPs podem ser represeadas geercamee pela sege esrra de eqação NETA : F L L L L. Para...N ode... são as varáves depedees e é ma fção descohecda desas varáves. Tas ssemas de eqações srgem de modelos esacoáros dsrbídos em mas de ma varável espacal o em modelos dâmcos de ssemas dsrbídos e podem ser classfcado em rês dferees caegoras HOFFMAN e AMES 977: problemas de eqlíbro problemas de propagação e problemas de valores caraceríscos. Problemas de eqlíbro são os problemas em esado esacoáro para os qas a solção dever ser obda em m domío fechado sasfazedo ao a EDP como as codções de cooro assocadas ao problema. 5

15 Problemas de propagação ambém cohecdos como problemas de marcha são os problemas ão esacoáros para os qas a solção deve ser obda em m domío abero seo a m coo de codções cas e de cooro. Problemas de valores caraceríscos são pos de problemas especas o qal a solção ese apeas para algs valores especas valores caraceríscos dos parâmeros do problema. A solção eaa do ssema geérco represeado pela Eqação. é ma fção parclar... qe deve sasfazer esa eqação em odo domío de eresse do problema bem como aeder às codções cas e às resrções mposas o cooro qado esas esrem. Na grade maora dos casos de eresse da egehara ão é possível a obeção da solção eaa de ma EDP para eses casos ora-se fdameal a lzação de m méodo mérco qe sea capaz de forecer a solção mas próma possível da verdadera preferecalmee de forma rápda e de fácl aplcação.. Modelos cosídos por EDOVC Eqações dferecas ordáras com valor o cooro srgem qado a eqação dferecal deve obrgaoramee sasfazer às codções de cooro para m o mas valores das varáves depedees. Na maora dos casos as codções de cooro devem ser sasfeas em dos poos ormalmee o valor cal e fal do domío da varável depedee. Uma EDOVC pode ser geercamee represeado segdo o coo de eqações PRESS e al. 99: d d g L N No domío <. b L.a N b L k N Para...N e kn.b 6

16 ode represea a varável depedee do problema e represea as varáves de esado do ssema. As eqações descras por b e b represeam as resrções o cooro qado e respecvamee. Segdo ASCHER e PETZOLD 998 EDOVC ecessam de m esforço maor para sa resolção do qe problemas de valores cas PVI. Uma vez qe para PVI qalqer codção cal formada codz a m valor fal aceável da varável ao passo qe EDOVC reqerem codções cas específcas de forma qe após o érmo do processo de egração as solções obdas sasfaçam ão apeas a eqação como ambém ses valores o cooro. PRESS e al. 99 cam das classes dsas de méodos mércos para resolção dese po de problema: o méodo do che ode são escolhdos odos os valores das varáves depedees a serem lzados como codções cas cossees com ma das codções de cooro. O problema é eão egrado como m PVI aé qe a ora froera sea agda. Caso a solção obda ão aeda a resrção o cooro são geradas ovas codções cas aé qe a dscrepâca o cooro sea alada. O oro méodo empregado é o méodo da relaação qe cosse em sbsr as eqações dferecas por apromações dscreas aravés da aplcação de méodos as como dfereças fas colocação orogoal elemeos fos dere oros ao logo do domío do problema. Após aplcado o procedmeo de dscrezação o ssema orgal cosído de eqações dferecas e sas rescepvas codções de cooro é rasformado em m ssema de eqações algébrcas. O ssema reslae é resolvdo pela aplcação de m procedmeo mérco aproprado as solções obdas os poos de dscrezação devem ser capazes de sasfazer as eqações dscrezadas e as resrções o cooro. Segdo PRESS e al 99 méodos de relaações são mas dcados para os casos ode as eqações são mas sesíves às codções de cooro. 7

17 .3 Méodos de dscrezação A aplcação de ma écca mérca para obeção da solção de m dado problema rasforma o domío coío em m coo dscreo e fo de poos ao qal se dá o ome de malha ode as varáves depedees do problema serão calcladas. Como m domío coío com precsão fa esá sedo apromado por m domío dscreo com precsão fa deve-se esar aeo a dos coceos fdameas qe esão dreamee relacoados às prcpas foes de erros qe podem afear o reslado fal do procedmeo qe são a precsão e a acráca. Defe-se por precsão o qão prómo o úmero se ecora do úmero qe esá represeado sedo dreamee relacoado à qadade de algarsmos sgfcavos lzados esa represeação. E a acráca como a promdade ere o valor obdo pela aplcação das apromações mércas e o valor verdadero. HOFFMAM Mas das éccas de dscrezações aplcadas a resolção de EDOVC são dêcas as éccas de dscrezações aplcadas a EDPs. Assm sedo grade pare da meodologa aplcada a resolção de ssemas de EDPs pode ambém ser aplcada a resolção de EDOVC sem a ecessdade de modfcação. No caso de EDOVC a sbsção dos operadores dferecas por sas apromações rasforma o ssema orgal de EDOs em m ssema pramee algébrco de eqações. Já para os ssemas cosídos por EDPs dos camhos dferees podem ser adoados: a prmera meodologa cosse em sbsr odas as varáves e operadores dferecas qe cosem o ssema por apromações. A aplcação de al procedmeo resla em m ssema algébrco de eqações qe ma vez resolvdo perme ober o valor da varável de eresse em cada m dos poos de dscrezação. A segda meodologa cosse em aplcar as apromações apeas as dervadas espacas de forma a coverer o ssema orgal de EDPs em m ssema de EDOs o em m ssema de eqações algébrco-dferecas EADs esa meodologa é cohecda como méodo das lhas e será melhor dealhada o ópco a segr. 8

18 .3. Méodo das lhas Como rapdamee descro o parágrafo aeror o méodo das lhas cosse bascamee a sbsção das dervadas espacas em ma o mas dmesões por apromações dscreas va dfereças fas volmes fos elemeos fos o MRP de forma a coverer o ssema orgal de EDPs em m ssema de EDOs o de EADs. Segdo VIEIRA 998 esa meodologa apresea como vaages: a efcêca compacoal ma vez qe os códgos de solções de EDOs o EADs fcam com a arefa da dscrezação emporal e a smplcdade da mplemeação á qe o sáro precsa apeas se preocpar com a dscrezação espacal. A aplcação do méodo das lhas pode ser represeado a rasformação do ssema de EDPs apreseado pela Eqação.3 de dmesão m VIEIRA998: k z z F z k.3 Em m ssema de EDOs de dmesão m.n como demosrado abao pela Eqação.4: F z F z FN z N M dz dz d dz d N.4 ode N represea o úmero de poos lzados para dscrezação o domío de. A grade maora dos méodos dspoíves a lerara para resolção mérca de EDPs e EDOVC esão fdameados a dscrezação do domío do problema. Dere eses méodos desacam-se como os mas amplamee aplcados e referecados pela lerara: o Méodo de Dfereças Fas MDF Méodo de Elemeos Fos MEF Méodo dos Volmes Fos MVF e Méodos dos Resídos Poderados MRP. 9

19 O MDF cosse em apromar os operadores dferecas presees a eqação por eqações de dfereça. Tas apromações são obdas aravés da epasão em sére de Talor rcadas o ível da ordem do erro deseada HOFFMAM O MEF em como base sbdvdr o domío do problema em peqeas regões elemeos e em cada m deses sbervalos apromar a solção aravés de m polômo. Para qe os coefcees de as fções polomas seam deermados faz-se com qe a méda poderada do resído sea la em cada m deses sbdomíos. Codções adcoas de codade e dferecabldade podem ser rodzdas a froera dos elemeos AMES 977. O MVF cosse bascamee em sbdvdr o domío do problema em volmes de corole aplcado o prcípo da coservação a eqação goverae do processo em cada m dos volmes. Ese procedmeo pode ser feo de das maeras. A prmera é a lzação do balaço da propredade coservada em cada m dos sbdomíos do problema e a segda é a egração drea das eqações goveraes do processo em sa forma coservava o volme do sbdomío. PATANKAR 98. As codções de cooro podem ser corporadas a solção do problema de rês formas dferees qe são: adeqação da malha a codção de cooro lzação de volmes fcícos e lzação de balaços para volmes eros o cooro PINTO e LAGE. Uma vez qe grade pare da meodologa aplcada e desevolvda esa dsseração esa dreamee relacoada ao méodo de resídos poderados será apreseado o prómo ópco ma descrção e revsão mas dealhada desa meodologa apreseado ses fdameos e as prcpas corbções ecoradas a lerara..4 Méodo dos resídos poderados CRANDALL em 956 fco sobre o ome de méodo de resídos poderados ambém chamado de prcípo da dsrbção de erro por AMES e COLLATZ odos os méodos qe lzam solções apromadas de eqações dferecas FINLAYSON e SCRIVEN 966. O MRP vem sedo cosaemee lzado por úmeras áreas das cêcas para resolção mércas de ssemas de EDPs e EDOVC. Dere odos os méodos perecees

20 à classe do MRP ecoram-se como os mas amplamee lzados o méodo de Galerk o méodo dos momeos o méodo dos mímos qadrados e o MCO. A aplcação do MRP cosse bascamee em apromar a varável depedee do problema por epasões em séres de fções cohecdas com coefcees a deermar chamadas de fções eavas. A sbsção da apromação proposa a eqação dferecal dá orgem ao resído da apromação. Alado a méda poderada dese resído o domío do problema pode-se eão deermar os coefcees das fções eavas proposas. Todos os méodos perecees à classe dos MRP fazem so desa meodologa. A dsção ere os dferees méodos qe compõem o MRP é dada pela escolha da poderação a ser lzada o compo da méda poderada do resído. Embora o procedmeo de geração das apromações mércas lzadas pelo MRP seam mas compleos e rabalhosos qe para as demas meodologas o esforço compacoal lzado a resolção do ssema reslae é cosderavelmee meor possblado qe com m úmero feror de poos de dscrezação seam alcaçados reslados galmee precsos a éccas qe lzam m úmero relavamee elevado de poos como demosrado prmeramee por FINLAYSON 97 qe comparo o MCO ao méodo de dfereças fas..5 Meodologa referee à aplcação do MRP A meodologa básca de aplcação do MRP como á descro aerormee cosse a proposção de ma apromação para varável depedee do problema qe é sbsída o ssema orgal de eqações dado orgem à epressão do resído da apromação. Para deermação dos coefcees da apromação os resídos médos poderados são alados ao logo do domío do problema. Ode a fção lzada para al poderação caracerza o po MRP aplcado. O procedmeo básco de aplcação do MRP pode ser lsrado a resolção da EDOVC abao:

21 d d.5 > > Seo às codções de cooro: CC: C CC: C.5a O procedmeo de aplcação do MRP ao problema ca-se com a proposção da fção eava a ser lzada como apromação para varável : pc a.6 ode pc represea o úmero de poos de colocação adoados Um reqso fdameal para obeção da apromação é qe esa obrgaoramee sasfaça à codção de cooro assocada ao problema defda pela Eqação.5a. A sbsção da apromação proposa pela Eqação.6 a EDOVC defdo pela Eqação.5 dá orgem à epressão do resído da apromação polomal defdo pela eqação: d ERRO R.7 d Fazedo com qe as médas poderadas do resído seam las o domío do problema cram-se as codções ecessáras para deermação dos pc coefcees a qe compõem a fção eava adoada. W R d X Para... pc.8 A aplcação desa meodologa resla em m ssema algébrco cosído de pc eqações.

22 Uma alerava para aplcação da fção eava defda pela Eqação.6 fo proposa por VILLADSEN e STEWART 967 e cosse em apromar a varável depedee do problema aravés da apromação polomal de Lagrage de gra em : pc l ode l l δ : polômo em de gra al qe: para [fção δ de Kröecker]; para.9 e < < < L < Uma vez adoada a apromação de Lagrage o procedmeo segdo é dêco ao apreseado aerormee: a apromação é sbsída o ssema de eqações e o resído médo poderado é alado o domío do problema reslado ambém em m ssema algébrco de pc eqações. A grade dfereça esee ere eses dos procedmeos esá a cóga do ssema algébrco gerado pela aplcação do procedmeo de dscrezação. Para o prmero caso os coefcees a da fção eava. Já para segdo caso os valores da varável depedee os poos adoados como poos de colocação. De ma forma geral a aplcação do MRP a EDOVC resla sempre em m ssema algébrco lear o ão lear cosídos de e*pc cc eqações. Ode e represea o úmero de eqações qe cosem o ssema pc o úmero de poos de colocação adoados e cc o úmero de codções de cooro assocadas ao problema. Já para ssema de EDPs a aplcação dese procedmeo de dscrezação resla qado aplcado o méodo das lhas em m ssema algébrco dferecal de eqações cosídos de e*pc eqação dfereças ordáras e cc eqações algébrcas. Desa forma a lzação da meodologa básca de aplcação do MRP pode ser dvdda em rês eapas fdameas:. Escolha da fção eava.. Escolha de m créro de poderação para o cálclo da méda do resído. 3

23 3. Obeção da solção apromada..6 Escolha da fção eava A escolha das fções eavas a serem aplcadas é de grade mporâca para o scesso do MRP ma vez qe al escolha ecora-se dreamee relacoada à precsão e à velocdade com qe a solção mérca é obda. Segdo FINLAYSON 97 qado aplcada apromações de baas ordes al escolha eerce grade flêca sobre a acráca do reslado. Ao passo qe para apromações de ordes elevadas a flêca é poca eses casos a escolha afea mas a velocdade de covergêca do qe o valor fal da solção. Aé os das de hoe pocos créros para seleção de as fções foram proposos. Na grade maora dos casos é possível lzar dferees coos de fções ão sedo possível a pror defr qal desas escolhas reslarão em melhores reslados. Ereao o esdo de algma caracerísca específca do problema como smera e a aplcação das codções de cooro pode em mos casos alar esa escolha. A seleção das fções eavas a serem adoadas fca a grade maora dos casos depedee da ção e da eperêca do sáro. Sedo esa a maora das vezes cosderada a maor lmação dos MRP FINLAYSON 97. De acordo com o po de abordagem e resrção aplcada para obeção da fção eava em-se orgem às rês classes de méodos de apromação qe são cohecdos como VILLADSEN e STEWART 967: Méodos de colocação eror: a fção eava é escolhda de forma a sasfazer as codções de cooro assocadas ao problema sedo asada em poos de se domío para sasfazer a eqação dferecal. Méodos de cooro: ocorre o verso a fção eava é escolhda de forma a sasfazer a eqação dferecal sedo asada em poos de se domío para sasfazer as codções de cooro. Méodos msos: a fção eava ão sasfaz em as codções de cooro em a eqação dferecal. 4

24 A lzação de polômos orogoas como fções eavas é basae úl e apresea algmas vaages compacoas. Os prmeros rabalhos qe se em cohecmeo da aplcação desa meodologa são de LANCZOS em 956 qe fez so das raízes do polômo de Chebshev como poos de colocação para resolção de problemas em ma dmesão cocldo qe a seleção de al polômo eda a mmzar a máma magde do resído. E de FALK em 963 qe fez so das raízes do polômo de Herme como poos de colocação VILLADSEN e STEWART 967 FINLAYSON recomeda car com ma apromação polomal de caráer geral e aplcar as codções de cooro e as codções de smera de forma qe a apromação proposa sasfaça ambas as resrções. Cosderar solções para problemas smples mas correlaos ao problema de eresse bem como a solção do problema lear correspodee pode a grade maora dos casos servr como base para desevolvmeo das fções eavas do problema orgal. Segdo SNYDER e al. 964 a lzação de fções eavas qe sasfaçam as codções de cooro e eham sa própra propredade de smera proporcoa qe reslados mas precsos seam obdos com a lzação de pocos ermos de epasão. CRUZ e al. 4 comparam a lzação de dferees pos de apromações a resolção da eqação da dfsão homogêea em ma parícla esférca de caalsador. Ulzado como créro de comparação a razão ere o maor valor caracerísco e o meor valor caracerísco. A grade maora dos rabalhos ecorados a lerara faz so da apromação polomal de Lagrage adoado como poos de colocação as raízes do polômo de Jacob com os parâmeros α e β da fção peso selecoados de acordo com o po de problema. Observa-se em úmeros eemplos ecorados a lerara qe ão ese m procedmeo ssemáco para seleção deses parâmeros fazedo com qe a maora das vezes os valores seam escolhdos de forma errada compromeedo a efcêca do méodo..7 Os dferees créros de poderação Os méodos qe compõem o MRP dferecam-se s dos oros pelo créro de poderação lzado o compo da méda poderada do resído. 5