Formulação Conservativa X Não-Conservativa para Sistemas Hiperbólicos. Prof. Diomar Cesar Lobão UFF - Volta Redonda, RJ Nov 2008
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- Felipe Marinho Jardim
- 5 Há anos
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1 ormuação Coservava X ãocoservava para Ssemas Hperbócos Prof. omar Cesar Lobão U Voa Redoda, RJ ov 8
2 ovação: Apcações Ídce éodo ãocoservavo éodo Coservavo efção do Probema de Rema éodo de fereças as para orma ãocoservava éodos de fereças as para orma Coservava Teoremas Reacoados aos éodos Coservavos Le Escaar da Coservação Propredade Teescópca dos éodos Coservavos ormuação de Voumes os com Termo oe Esuema Upwd de Goduov Ssema Lear Hperbóco Ssema ãolear Hperbóco efção de um Ssema de Euações Hperbócas Codção de Esabdade Euação de Burgers Smuações: Resuados Referêcas bbográfcas
3 Aeroespaca ovação Apcações 3
4 ovação Apcações Auomova e oores C é usada para mehorar o desempeho dos carros e camhões moderos Escoameo eero sobre carros, escoameo ero em moores 4
5 Eerodoméscos ovação Apcações 5
6 Projeo de Barcos ovação Apcações 6
7 7 éodo ãocoservavo,, / /,...,,,..., ~ / r k uo umérco Epíco,...,,,...,,,...,,,..., ~ / s k r Impíco
8 8 éodo Coservavo / / Sedo :,,...,,,..., ~ / r k uo umérco Epíco,...,,,...,,,...,,,..., ~ / s k r Impíco
9 efção do Probema de Rema Cosdere o ssema de euações dferecas escro a e da coservação da segue forma: com >, Є R,, Є R², e : R² R² uma apcação suave. O mas básco probema de vaor ca do ssema acma é o probema de Rema, o ua os dados cas são dscreos e cosae com uma descoudade smpes em : ì, í î L R para para < > 9
10 éodos de fereçasas para orma ãocoservava / / / Esuema TCS: orward Tme Cera Space / / Euação Lear de Advecção: Sedo; Subsudo a euação:
11 / / / Esuema TCS / / Euação Lear de Advecção:TCS éodos de fereçasas para orma Coservava Sedo; Subsudo a euação:
12 éodos de fereçasas para orma Coservava / / / Esuema de Laredrchs L Euação Lear de Advecção:L
13 3 Esuema Upwd de Goduov P/ Ssema Lear com arz de Coefcees Cosaes A / / A A sedo :,, / A uo umérco ï þ ï ý ü î í ì > ³ ³ < / se,, ma se,, m ãocoservava Coservava Esuema upwd de Goduov Ordem
14 4 éodos de fereçasas para orma Coservava / / ï î ï í ì Þ Þ > Þ < / ma m ] ; / [ / * / / * / / / / * se Esuema cerado de Goduov Ordem
15 5 éodos de fereçasas para orma Coservava / / / / / GodC GodC Esuema cerado de Goduov Ordem
16 6 éodos de fereçasas para orma Coservava / / / / / LW LW Esuema de os passos de LaWedroff:LW * / * / * / / * ï î ï í ì
17 Teoremas Reacoados aos éodos Coservavos Teorema de LaWedroff 96 Se um méodo a forma coservava coverge, eão ee coverge para a soução fraca weak souo da e de coservação. Teorema de LaWedroff e codção de Eropa de Hare 983 Se o esuema coservavo sasfaz a codção de eropa e coverge, eão coverge para a úca soução físca sasfazedo a eropa, weak souo. Teorema de HouLeoch 994 Se um méodo a forma ãocoservava coverge, eão a preseça de uma oda de choue, coverge para a soução errada. 7
18 Le Escaar da Coservação Seja, uma uadade coservada e o fuo. Para uma regão [a,b]є R durae um ervao de empo [¹,²]. A e escaar de coservação perme escrever: b [,, ] ò d ò[ b, a a, ] d ue represea a forma egra da e escaar de coservação da uadade. Peo Teorema udamea do Cácuo, podese escrever:,, b, a, ò d b ò a e d Levado so a euação ue defe a Le de Coservação, vem: 8
19 Le Escaar da Coservação b òò a òò b a é ê ë dd òò b a ù ú dd û dd ou Esa é a orma Coservava da Le Escaar de Coservação. Souções descouas da forma egra são chamadas de souções fraca weak souos da forma dfereca. 9
20 Le Escaar da Coservação: orma Coservava screzado o espaço e empo, vem: / / Cosderado o domío dos odos uasuer e Є [a,b] / / / / 3/ 3/ / / / 3/ 5/ / 3/ / / / / K K å å å å å
21 Le Escaar da Coservação: orma Coservava å å / / osra ue houve coservação do fuo em odo domío, mosrado ue: o ue era, assm como o ue sa de cada erface dos voumes / e / é coservado. Para recosuímos a euação gera do méodo.
22 Le Escaar da Coservação: orma ãocoservava / / { } 3/ / / / 3/ 5/ / 3/ / / / / K K å å å å å Observe ue devdo os ermos dos coefcees os ermos erores ão se caceam. Logo a euação escra esa forma ão ão é Coservava Coservava
23 Propredade Teescópca dos éodos Coservavos / / Rgh å å Lef Rgh Lef [ ] Rgh / Lef / Também vádo em e 3 dmesões. 3
24 4 ormuação de Voume os com ermo oe S òò ò ò I dd S S d d,.,, / / / / S / /
25 Voume os com ermo oe S I [, ] / /, ò / d ò / é d ê ë ò /, d ò / ù, d ú û / / I,, òò S, dd [ / / ] S 5
26 Voume os com ermo oe A prcpa dfereça a ere e V é a erpreação da soução os poos da maha veja fgura ao ado. o V a soução j é vsa como a méda de a céua. Em a soução j é vsa como uma fução de poo so é, a soução o poo y j e empo. Iso mpca ue em uauer poo pode ser erpoado de em dferee poos de maha e em dferees íves de empo. 6
27 Ssema Lear Hperbóco A A é uma marz cosae Os auovaores e auoveores dreos de A são R R R m m R k k k k r r... r T m efese as marzes: é ê ê L ê... ê ë m ù ú ú ú ú û ; R ér ê êr ê... ê êë rm r m r r... m r m m r r... m m ù ú ú ú ú úû A RLR «L R AR 7
28 Ssema ãolear Hperbóco A ado a marz A podese defr auovaores e auoveores de A. Os auovaores de A são as raízes do chamado poômo caracerísco de I A,..., m Os auoveores esuerdo de A correspodee aos auovaores ue sasfaz: L k A k L k Os auoveores dreos de A correspodee aos auovaores ue sasfaz: AR k k R k 8
29 efção de ssema de Euações Hperbócas Seja um ssema de m euações A É hperbóco se: A em m auovaores reas A em um cojuo compeo correspodee de m auoveores earmee depedees Eempo: As euações shaow waer são hperbócas é ê ë ù é h ù ú ê ú, û ëhuû é f ê ë f ù é ú ê û ê hu ë ù é ê ú ú ê û êë gh g hu ù ú ú úû 9
30 3 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é f f f f A ode gh a a é chamada de ceerdade aáogo a veocdade do som os gases Verfue ue os auovaores de A são: a u a u ; ú û ù ê ë é u u a A u f gh u g f f f ;, Þ Þ ú û ù ê ë é u a u u u a I A a u a u ; efção de ssema de Euações Hperbócas
31 3 Codção de Esabdade cosa < Þ CL CL C C c c Para ssema Lear: { } j S C j S CL ma ma ma Seja a euação escaar: úmero de CouraredrchLewy C CL
32 3 Euação de Burgers cosa, < Þ CL CL C C c c k k Para ssema Lear de Burgers: { } S C S CL ma ma ma Seja a euação escaar: fusão
33 Euação de Burgers Observações: Para ssemas hperbócos eares com coefcees cosaes a veocdade caracerísca são os auovaores do ssema e são dêcas as veocdades de oda o probema de Rema. Para ssemas ãoeares a veocdade caraceríscas são dsas das veocdades de oda. Cudado especa a escoha da veocdade de oda máma para a codção de CL é reuerdo. 33
34 Smuações ormuação ãocoservava ormuação Coservava 34
35 Smuação: Resuados 35
36 Smuação: Resuados 36
37 Smuação: Resuados 37
38 Smuação: Resuados 38
39 REERÊCIAS BIBLIOGRÁICAS P.. LAX A B. WERO, Sysems of coservao aws, Comm. Pure App. ah., Vo 3, 737, 96. Hare, A., Hgh resouo schemes for hyperboc coservao aws. J. Comp. Phys., 49, 357, 983. T. Y. HOU A P. G. LELOCH, Why ocoservave schemes coverge o wrog souos: error aayss, ah. of Comp., Vo 6, o 6, 49753, 994. J.. AERSO, oder Compressbe ow, cgrawh 4, 3rd revsed edo, ISB CooHyperboc.m GoduovoUP.m 39
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