ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND NÃO LINEAR PARA PROBLEMAS DE PLANEJAMENTO DE REATIVOS EM SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O ALORTMO DE BRANCH AND BOUND NÃO LNEAR ARA ROBLEMAS DE LANEJAMENTO DE REATOS EM SSTEMAS DE ENERA ELÉTRCA CELA R. NUOL * MARCOS J. RDER E JOSÉ R. S. MANTOAN * * Deparameo de Egehara Elérca Faculdade de Egehara de lha Solera Uversdade Esadual aulsa Caxa osal: 03 CE: lha Solera S Brasl Deparameo de Ssemas de Eerga Elérca Faculdade de Egehara Elérca e de Compuação Uversdade Esadual de Campas Caxa osal: 60 CE: Campas S Brasl E-mals: cela.ugol@gmal.com mrder@dsee.ee.ucamp.br ma@dee.es.uesp.br Resumo Nese rabalho propõe-se um algormo Brach-ad-Boud (B&B) ão lear para resolver um problema práco mporae a área de egehara ue é o plaeameo de reavos. Ese problema é modelado como um problema de programação ão lear era msa. Desa orma em cada ó da árvore de B&B é resolvdo um problema de programação ão lear de grade pore. Eses problemas são resolvdos ulzado-se um algormo de poos erores predor correor. São apreseadas proposas de eses de sodagem do algormo B&B para cosderar a aureza ão lear dos problemas. Resulados do desempeho do algormo B&B ão lear dedcado ao plaeameo de reavos obdos com a smulação de ssemas eses da leraura especalzada EEE e o EEE0 são apreseados e aalsados. alavras-chaves Algormo Brach ad Boud Despacho de Reavos Méodo de oos erores rogramação Não Lear era Msa. Absrac Ths wor proposes a Brach ad Boud (B&B) olear algorhm o solve a mpora praccal problem he egeerg area whch s he reacve plag. Ths problem s modeled as a olear mxed eger programmg problem. Ths wa each ode o he B&B ree a large o-lear programmg problem s solved. These problems are solved usg he predcor-correcor eror po algorhm. Resuls are preseed or he olear dedcaed B&B algorhm o he reacve plag usg es ssems o he specalzed leraure (EEE- ad EEE0). Kewords Brach ad Boud algorhm eror po mehod Mxed eger olear programmg Reacve power plag. XXX SBO [ 466 ]

2 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O. NTRODUÇÃO Desde o surgmeo dos méodos de poos erores para omzação lear e o grade desevolvmeo ue eses algormos alcaçaram a área de omzação lear e ão lear a década de 990 város rabalhos êm sdo proposos mosrado o grade poecal dese méodo para resolver problemas a área de omzação ão lear em ssemas de poêca (. L. Torres e. H. uaa 998; M. J. Rder e al 004). Uma lha de pesusa mporae esa área é o problema de plaeameo e despacho ómo de oes reavas ue é um subproblema do luxo de poêca ómo (FO) (ravlle 994; ba 988; Lebow e al 984; Maova e al 00). O FO reavo cosse em deermar um cuso mímo da localzação capacdade e aureza das oes reavas a serem saladas o ssema de orma ue o mesmo opere em codções aceáves (perl de esão preesabelecdo aeder resrções de seguraça operação e ualdade de servço). Nese rabalho propõe-se o desevolvmeo de um algormo de Brach-ad-Boud (B&B) especalzado a problemas de omzação ão leares e mulmodas para resolver o problema de plaeameo e despacho ómo de oes reavas em ssemas de eerga elérca. Ese algormo de B&B ão lear coempla éccas ecees de escolha das varáves para separação dos subproblemas e da ordem de escolha da resolução dos subproblemas a árvore de B&B. Os eses de sodagem são rededos para coorar os problemas de mímos locas ue podem ser ecorados a resolução dos problemas de programação ão lear (NL). ara so propõe-se adcoar ao valor da ução obevo uma margem adcoal de seguraça para cada um dos subproblemas aes de serem sodados ou sea cosdera-se ue o valor da ução obevo obda pelo NL em cada ó pode ser maor ue a cumbee em um perceual preesabelecdo. A deção desa margem pode aumear cosderavelmee o úmero de soluções de NL s ecessáras para o algormo de B&B ecorar uma solução óma de boa ualdade mas em por obevos evar a covergêca para ómos locas de má ualdade. Em cada ó da árvore de B&B é resolvdo um problema de NL relaxado. Ese problema de NL é o despacho ómo de oes reavas em ue as resrções de dscrezação dos auses dos bacos de capacores e duores são relaxadas. Os problemas NL s são resolvdos usado o méodo de poos erores redor Correor (M-C). Ulzado-se o modelo maemáco e meodologa proposa oram eeuados eses com os ssemas EEE de barras e 0 barras (Uversdade de Washgo 973) e os resulados obdos são dscudos e aalsados.. MODELO MATEMÁTCO O plaeameo de reavos é um problema de programação ão lear ero mso em ue a ução obevo é a mmzação dos cusos das oes reavas ue devem ser alocadas o ssema. As resrções cosderadas o modelo reerem-se ao aedmeo das demadas de poêcas ava e reava ualdade dos servços de orecmeo de eerga elérca maedo-se as magudes das esões dero de lmes preesabelecdos e aededo um couo de resrções íscas e operacoas dos eupameos salados o ssema as como: lmes as capacdades de geradores compesadores sícroos e esácos. Desa orma o modelo maemáco de plaeameo e despacho de oes de poêca reava é ormulado como: [ Cc Cr ] [ ] M w γ () NB s.a ( ) C 0 { NB} () ( ) C ( ) 0 { NB} (3) m K (4) m (5) J máx m m m m M m (6) XXX SBO [ 467 ]

3 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O máx m m m m M 0 0 S N S N M N m (7) { NB} (8) { NB} (9) (0) () Em ue NB: Couo de odas as barras do ssema NB: Couo de barras de geração; : Couo de barras caddaas a alocação de oes reavas; M: Couo de barras caddaas a oes reavas coíuas ou ue possuem oes reavas coíuas N: dem ue possuem oes reavas dscreas; w: alor da ução obevo; Cc e Cr : Cusos de alocação de oes reavas dos pos capacvas e duvas respecvamee a barra caddaa ; e : Capacdades das oes reavas capacvas e duvas respecvamee a barra caddaa ; e : e : eções Magude e âgulo das esões em odas as barras do ssema; de poêca ava e reava respecvamee a barra ; : eração de poêca ava a barra ; C e C : Demadas de poêcas ava e reava a barra respecvamee; e : Capacdades das oes reavas capacvas e duvas exsees o ssema respecvamee; : Marz dedade ue dca as barras caddaa à alocação de oes reavas dscreas e Î coíuas; Î : Marz dedade ue dca as barras ue possuem oes de geração cíca de reavos; m e m máx m m m e : Lmes eror superor e valor aual de geração reava a barra ; e : Lmes eror superor e valor aual da magude de esão a barra ; : Lmes eror e superor das oes reavas capacvas coíuas a barra m M; m máx m e m : Lmes eror e superor para as oes reavas duvas coíuas a barra m M; S: Couo de valores dscrezados dos bacos de oes de poêca reava. No modelo da ução obevo o serdo um ermo de eções reavas cícas e mulplcadas por um ermo de pealdades grade ( γ ) para orar o problema de plaeameo de reavos sempre acível. Ese ermo a ução obevo acla o créro de sodagem aravés da árvore de Brach-ad-Boud. Se a solução dos problemas de NL os ós da árvore de B&B exsrem oes reavas cícas sgca ue a solução ecorada é acível. Os couos de euações ()-(3) são as euações esácas do luxo de poêca ue represeam o balaço de poêcas ava e reava do ssema e relacoam as codções de operação da rede elérca com capacdade de geração e o aedmeo das demadas avas () e reavas () ue são dadas por: L ( ) 0... NB L ( ) 0... NB () (3) O couo de resrções (3) esá relacoado com a capacdade de geração de reavos das oes coíuas exsees o ssema. As resrções (4) e (5) garaem os lmes operacoas do ível da geração reava e das magudes das esões. As resrções (6)-() lmam as capacdades das oes de reavos coíuas e dscreas exsees ou alocadas. O problema ormulado pelas euações de () () é um problema de programação ão lear de grade pore com varáves reas e dscreas. 3. TÉCNCA DE SOLUÇÃO A solução proposa para o problema de plaeameo de reavos é abordada aravés de um algormo de B&B ão lear ue ulza como écca de solução dos NL s relaxados os ós da árvore de B&B o M redor Correor (M-C). XXX SBO [ 468 ]

4 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O 3. Algormo Brach-ad-Boud O B&B é um algormo ue usa a esraéga de relaxação e separação para resolver um problema complexo. Tem sdo mas esudado e aalsado para resolver problemas de programação lear era msa (LM) com a capacdade de ecorar o ómo global de problemas covexos. Sua resolução basea-se a cosrução de uma árvore eumerada os vérces de cada ramo ode são apreseados os problemas caddaos e os ramos represeam as ovas resrções ue devem ser cosderadas. O algormo B&B ão lear proposo ese rabalho em como elemeos udameas: a escolha do próxmo subproblema ue deve ser resolvdo assm como a varável para a separação dos subproblemas os eses de sodagem e a orma de rabalhar com problemas ão leares. A escolha da varável para separação e o próxmo subproblema ue deve ser resolvdo são mporaes porue deerma o amaho da árvore de B&B e o esorço compuacoal. Não exse uma orma exaa para deermar a varável ue em ue ser usada para separar um subproblema e o próxmo subproblema para aálse. Nese rabalho escolhe-se para separação o subproblema ue em um meor valor da ução obevo pos a probabldade de ecorar soluções eras essa regão do espaço de busca é maor. A escolha da varável de desdobrameo é ea selecoado a ue possu maor pare racoára auele ó. Os eses de sodagem permem vercar se a regão acível de um subproblema á ão exsem soluções melhores ue as á cohecdas (a cumbee corree) e porao devem ser elmadas do processo de busca. Assm um subproblema é sodado se: () A solução or dscrea (dcado ue é a melhor solução dessa regão acível) ou se a solução or maor ue a cumbee corree; e () A solução or acível dcado ue ão exsem soluções dscreas acíves o espaço de soluções do subproblema. A grade dculdade para mplemear um algormo B&B o ue se reere à écca de sodagem dos ós para o plaeameo de reavos esá relacoada com a aureza mulodal do problema. No algormo de B&B proposo ese aspeco é cosderado o créro de sodagem e o uso das varáves arcas para deecar cogurações acíves e cosse dos segues passos:. Resolver o problema ()-() relaxado e der a solução cumbee cal. Escolha uma varável ( ) cuo valor aual é ( ) para separação; * * w w ;. erar dos ovos subproblemas descedees a parr do subproblema corree (C ) acresceado as segues resrções: 0 descedee (C * * ): ou sedo: 0 descedee (C ): * * ou ervalo de dscrezação adoado para as varáves dscreas; v. Resolver os dos NL s gerados e armazear a solução óma de cada um; v. ercar os eses de sodagem. O problema é sodado se saszer pelo meos uma das segues codções: (a) O problema é acível uado houver soluções com oes reavas cícas ( ); (b) Se > w ecorado w ε sedo w o valor da cumbee aual e ε o aor de seguraça para coorar possíves problemas com o aparecmeo de ómos locas a resolução dos problemas de NL; (c) uado ecorar uma solução ue sasaz as resrções de egraldade e o valor ómo obdo é meor do ue a cumbee eão w wecorado e aplcar o ese v(b) para odos os subproblemas caddaos ada ão sodados; v. Se exsr subproblemas (ós) remaescees ão sodados escolher o de meor w e r ao passo. Se odos os subproblemas oram sodados pare pos o processo ermou. XXX SBO [ 469 ]

5 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O O dagrama de blocos do algormo mplemeado esá lusrado a Fg.. Resolva o problema orgal relaxado e der a cumbee cal Aplcar o ese de sodagem Escolha a varável para separação erar dos ovos subproblemas ercar se há problemas para serem sodados N Resolva os dos NL's gerados e armazear a solução óma de cada um S Escolha um problema para ser sodado FM: Solução Óma é a meor cumbee ecorada Fgura : Dagrama de blocos do algormo B&B ão lear. Em relação ao algormo apreseado desaca-se a ecessdade de um algormo ecee para resolver os problemas ão leares em cada subproblema da árvore de B&B para sso ulza-se o méodo de poos erores prmal dual predor correor. Oura ecessdade o alerar o ese de sodagem adcoado o uso do aor de seguraça ε pos para problemas ão leares em sempre o valor da ução obevo de um subproblema sucessor é maor ou gual ao aecessor assm aumea-se em um deermado valor perceual a cumbee aual para ear superar ese problema e evar ecorar ómos locas de péssma ualdade. A Fg. preede explcar melhor o sgcado do aor de seguraça ε. ela caracerísca ão lear do problema é possível ue o mímo local (ó l) possa azer a sodagem dos ós ue rão audar a ecorar o mímo global (ó g) sem o uso do aor de seguraça ε como por exemplo o ó l ( v > v ). O aor de seguraça ε garae ue o ó ão sea sodado l ( v < ε v ) e aude ao algormo B&B a covergêca do mímo global (M. J. Rder 006). Esa proposa aumea a probabldade de ecorar o mímo global mas pode aumear cosderavelmee o úmero de soluções de NL s. Fgura : Não covexdade do problema de plaeameo de reavos 3. Méodo de oos erores ara resolver o problema de NL relaxados em cada ó da árvore de B&B ulzou-se o méodo de barrera logarímca. Dessa orma cosdera-se o problema ()-() em ue as resrções de desgualdades são rasormadas em resrções de gualdade aravés do uso de varáves de olga e de excesso obedo-se o segue problema euvalee: XXX SBO [ 470 ]

6 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O [ Cc Cr ] [ ] w γ (4) M NB s.a ( ) C 0 { NB} (5) C ( ) { NB} (6) ( ) 0 m K K m J J m m m 0 { } 0 { NB} (7) (8) (9) (0) () () (3) (4) NB (5) (6) (7) (8) corporado as resrções de desgualdades (7) e (8) a ução obevo (4) aravés da écca das barreras logarímcas obém-se o segue problema: [ Cc Cr ] γ [ ] l l M w NB K l l l l (9) J J NB NB K l l l l s.a. ( ) C 0 { NB} () C ( ) { NB} (3) ( ) 0 m K K m J J (3) (33) (34) (35) m (36) m (37) m (38) (39) 0 { NB} (40) 0 { NB} (4) Desa orma o problema de plaeameo de reavos passou a ser ormulado como um problema com resrções apeas de gualdade. Com as euações (9)-(4) ormula-se o problema Lagrageao (M. S. Bazarra e al 993) ue corpora as resrções de gualdade a ução obevo aravés dos mulplcadores de Lagrage (varáves duas). XXX SBO [ 47 ]

7 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O [ Cc Cr ] γ [ ] l l l l L NB K l l l l l l NB [ ( ) C ] ( ) K J NB J NB [ C ( ) ] NB K m ( ) ( ) ( ) ( ) NB J J m m ( ) ( ) ( ) K m ( ) ( ) ( ) A parr da ormulação do problema Lagrageao (L) assocado ao problema (9)-(4) serão obdas as codções de KKT (Karush-Khu-Tucer) para ese problema. Aplcado o méodo de Newo para resolver o ssema de euações ão leares de seguda ordem das codções de KKT obêm-se a segue esruura marcal: sedo: - z [ z z z ] 3 z4 A A A A 0 - z : varáves prmas: [ ] z - z : varáves de olga e de excesso: [ z] [ Lz] [ ] z : - z 3 : varáves duas das resrções de gualdade: [ ] z 3 - z 4 : varáves duas: [ ] z v v 4 Em ue: z e Lz são a dreção de busca das varáves e o gradee do Lagrageao com relação às varáves prmas e duas respecvamee. A marz A em as segues caraceríscas: grades dmesões; alo grau de esparsdade; smérca. As esruuras das submarzes ue compõem a marz A e o ermo depedee da euação (4) esão lusrados o apêdce A. Os ermos H H e H 3 da submarz A represeam os ermos da marz hessaa obdos das euações de Fluxo de oêca aravés do méodo de Newo (A. Mocell 983). O ermo depedee do ssema lear (4) é o gradee do Lagrageao () assocado ao problema () () relaxado. Depos de resolver o ssema de euações leares (4) em cada eração uma ova aproxmação para odas as varáves de decsão é obda de acordo com as segues expressões: z α z z z α z z3 z3 α z3 z4 z4 α z4 z Em ue α (0] é o amaho do passo em cada eração. A escolha do amaho do passo em ue ser esabelecda de orma aproprada. Desa orma o amaho máxmo dos passos prmal e dual em cada eração o méodo de Newo são deermados pelas segues expressões: z α p m τ m z < 0 z d z4 m τ m z < 0 4 z 4 α α m{ α α.0} O valor do escalar τ (0) é um aor de seguraça para garar ue o próxmo poo sasaça as codções de ão egavdade; um valor ípco é τ O valor resdual da codção de complemeardade é chamado de gap de T complemeardade ue é calculado em cada eração pela expressão: ( ) p ρ z z4 d (4) XXX SBO [ 47 ]

8 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O O processo do méodo de Newo é repedo aé ue os créros de covergêca (a) (b) e (c) apreseados as expressões abaxo seam alcaçados. (a) rmal e Dual Lz 0 4 (b) ap de Complemeardade ρ 4 0 z (c) Desvo da Fução Obevo w w 4 0 w 3.. Méodo de oos erores redor Correor O M C reuer uma mea eração (asso redor). Nesa eapa o parâmero de barrera do ermo depedee do ssema marcal (4) é eo gual a zero (ssema marcal do passo predor apêdce B). A solução dese ssema é ulzada para calcular os ermos de seguda ordem e esmar damcamee o parâmero de barrera. Após ober eses dados realza-se a oura mea eração (asso Correor). Nesa eapa recalcula-se o veor do lado dreo do ssema (4) resolvedo-o para ober os cremeos de odas as varáves (ssema marcal do passo correor apêdce B). A segur a seüêca é a mesma do M rmal Dual calculado-se o passo os espaços rmal e Dual e realzado a aualzação das varáves. asso redor ara a solução do ssema ão lear cosdera ue prmero deve-se calcular a dreção e-scalg coorme descro o ssema de euações do asso redor (apêdce B) A dreção e-scalg é usada para aproxmar os ermos do ermo depedee do ssema (4) e para esmar um valor do parâmero de barrera ue são usados o passo correor. O amaho máxmo dos passos prmal e dual as dreções e-scalg α p e α d são calculados usado as expressões: α p z m τ m z < 0 z z 4 m τ m z < 0 z 4 α d α m{ α p αd.0} 4 Uma esmava para o gap de complemeardade ( ρ ) é calculada pela expressão: ρ T ( α z ) ( z z ) α z d 4 p 4 Uma esmava para é obda por: ρ m ρ ρ 0. dx asso Correor Com os resulados do passo predor pode-se calcular a dreção de Newo usado a mesma marz do passo predor alerado o ermo depedee do ssema (asso Correor-apêdce B). Em cada eração do algormo de poos erores ao os passos predor como o correor ulza-se a marz do ssema (4) calculada para o poo z. Esa marz é armazeada de orma compaca e aorada segudo a écca proposa por Zolleoph (97) e ulzada os passos predor e correor. Desa orma o esorço compuacoal adcoal o M-C para o cálculo da dreção e-scalg é apeas a solução de um ssema lear adcoal. 4. TESTES E RESULTADOS Na calzação dos NL s relaxados ulzou o poo cal das varáves prmas: 0 m 0 z ( z z )/ e z 0 parâmero de barrera cal 0 aor de seguraça τ e a magude das esões ere 095 e 05 pu para os dos ssemas aalsados EEE e EEE0 (Uversdade de Washgo 973). XXX SBO [ 473 ]

9 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O 4. Ssema EEE de Barras O Ssema EEE possu barras e 4 lhas. Foram eos dos eses com ese ssema Teses e. Fo adoado um ervalo de dscrezação para oes reava s Mar com cusos varados e ε %. Tese Os couos de barras caddaas à alocação de ovas oes reavas são as barras de esão corolada e a barra de carga. O algormo ecorou rês soluções eras (Fg. 3) os ós 4 e 9. A solução ecorada pelo algormo é salar um compesador de 8 Mar a barra. A solução é ecorada depos de resolver 0 NL s. Os ós 4 6 e 8 oram sodados devdo ao aor de seguraça. ode-se observar a ão leardade do problema aravés dos valores de w 7 e w 9 em ue os mosra uma redução o valor da ução obevo uado se avaça em prouddade a árvore B&B. Tese O couo de barras caddaas à alocação de ovas oes reavas são as barras de esão corolada e as barras de carga.o algormo ecorou uaro soluções eras mosradas a Fg. 4 (ver ós 8 0 e 6) e a solução ecorada pelo algormo é alocar 4 Mar a barra 6 e 4 Mar a barra. A solução óma o ecorada depos de resolver 6 NL s. Os ós oram sodados devdo ao aor de seguraça. Tao para o ese como para o ese as oes coíuas de reavos para as barra de esão corolada caram o máxmo e as da barra de reerêca caram o mímo. Nós sodados Soluções eras Solução Óma w w w w w w w w w w 00 0 w w w w w w w Fgura 3: Árvore B&B do ssema EEE do Tese Fgura 4: Árvore B&B do ssema EEE do Tese w w w w w w w w w w w Ssema EEE de 0 Barras O couo de barras caddaas à alocação de ovas oes reavas é ormado pelas barras s e algumas s ( ). Foram cosderados bacos de capacores dscreos com s 5Mar com cusos varados e ε 3%. O algormo ecorou uaro soluções eras e a solução óma o ecorada depos de resolver 3 NL s. ara esa solução óma ecorou-se como proposa a alocação dos segues bacos de capacores: 65 Mar a barra 97 5 Mar a barra 33 5 Mar a barra XXX SBO [ 474 ]

10 XXX SMÓSO BRASLERO DE ESUSA OERACONAL esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo a 5/09/06 oâa O Mar a barra Mar a barra 5 65 Mar a barra 57 5 Mar a barra 58 e 5 Mar a barra 7. Algus ós oram sodados devdo ao aor de seguraça e ouros devdo a acbldade. Todos os lmes de geração de reavos as barras de geração caram próxmos do lme máxmo. 5. CONCLUSÕES Os resulados obdos mosram a vabldade do modelo e da écca de solução proposa para o problema de plaeameo de reavos. No M-C ue perece a amíla dos méodos de poos erores de ordem superor resolvem-se os NL s relaxados um empo compuacoal reduzdo (da ordem de 3 segudos e 3 ceésmos de segudo para o ssema EEE0). Desa orma o algormo de B&B mosra-se mas promssor para solução do problema ue as éccas heuríscas (Maova e arca 996) ou de decomposção de Beders clássca (Lebow e al 984). Como o problema de plaeameo de reavos é alamee ão-lear e ão-covexo e esá se ulzado para sua resolução éccas de NL ão há como garar a sua covergêca para um ómo global. ARADECMENTOS Os auores agradecem a CAES e a CN pelo apoo acero. Reerêcas Bblográcas BazaraaM. S. e SheralH. D. e SheC. M. (993). Nolear rogrammg - Theor ad Algorhms Joh Wle & Sos Secod Edo. ravlle S. (994). Opmal Reacve Dspach Trough eror os Mehods EEE Tras. ower Ss. ol. 9 0 pp ba K. (988). raccal Reacve ower Allocao/Operao Usg Sucessve Lear rogrammg EEE Tras. ower Ss. 0 pp Lebow W. M. e Rouha R. e Nadra R. e Usoro. B. e Mehra R. K. e Sbes D. W. e al M. K. e Bhavarau M.. (984). Opmzao o Reacve ol-ampere (Ar) Sources Ssem lag ol. : Soluo Techues Compug Mehods ad Resuls EL-379 ol. Fal Repor. Maova J. R. S e arca A.. (996). A Heursc Mehod or Reacve ower lag EEE Trasacos o ower Ssems ol. No.. Maova J. R. S. e Scucugla J. W. e Romero R. e arca A.. (00). laeameo de Foes Reavas em Ssemas de Eerga Elérca Ulzado a Técca de Decomposção de Beders e o Algormo de Brach ad Boud SBA Corole & Auomação ol. 0 pp Mocell A. (983). Fluxo de Carga em Redes de Eerga Elérca Edora Edgard Blücher Lda. Rder M. J e Casro C. A. e Bedrñaa N. F. e arca A.. (004). Um méodo de oos erores para Omzação de Ssemas de oêca : X CBA Cogresso Braslero de Auomáca ramado RS. Rder M. J. (006). laeameo da Expasão de Ssemas de Trasmssão usado os modelos CC-CA e Téccas de programação Não Lear Tese de Douorado DSEE/FEEC Uversdade Esadual de Campas. Torres. L. e uaa. H. (998). A eror-o Mehod or No-lear Opmal ower Flow Usg olage Recagular Coordaes EEE Tras. ower Ss. vol pp.-8. Uversdade de Washgo (973). : ulmo acesso: 9/04/006 Zolleop K. (97). B-Facorsao Basc Compuaoal Algorhm ad rogrammg Techues : Large Sparse Se o Lear Euaos Academc ress. XXX SBO [ 475 ]

11 a 5/09/06 oâa O esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo XXX SMÓSO BRASLERO ESUSA OERACONAL DE Apêdce A: Esruura do ssema marcal (E. 70) 3 T H H H H A A [ ] ( ) ( ) C C Cr Cc Lz ) ( m m m m γ γ XXX SBO [ 476 ]

12 a 5/09/06 oâa O esusa Operacoal a Socedade: Educação Meo Ambee e Desevolvmeo XXX SMÓSO BRASLERO ESUSA OERACONAL DE Apêdce B: Euações dos assos redor e Correor ( ) ( ) C C Cr Cc A ) ( m m m m γ γ ( ) ( ) C C Cr Cc A ) ( m m m m γ γ Ssema: asso redor Ssema: asso Correor XXX SBO [ 477 ]