Formulações Numéricas para Análise de Vigas em Contato com Bases Elásticas

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DE OURO PRETO - ESCOA DE MINAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVI PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVI Formulações Numércas para Aálse de Vgas em Coao com Bases Eláscas AUTOR: EINGTON UÍS ASSIS PEREIRA ORIENTADOR: Pro. Dr. Rcardo Azoubel da Moa Slvera Dsseração apreseada ao Programa de Pós- Graduação do Deparameo de Egehara Cvl da Escola de Mas da Uversdade Federal de Ouro Preo, como pare egrae dos requsos para obeção do íulo de Mesre em Egehara Cvl, área de coceração: Esruuras Meálcas. Ouro Preo, uho de 003

2 Teho dezeove aos. Poda er dezessee. Poda er ve e um. Sou dgado, sou alegre, sou puro, sou malcoso, goso da vda, amo uma garoa, amo odas as garoas, odeo as guerras, sou moralsa, sou uz, sou advogado de deesa e de acusação, sou relgoso, sou agósco, sou um saseo, sou realzado, sou rrealzado, sou um poço de coradção, gesculo, dscuo, provo por A + B que A é B e que B é A, ão racoco, peso, às vezes racoco demas e udo a cuca, gro, alo em slêco, sou um vulcão de amor e ão se o que quero, mas se que quero alguma cosa de melhor para mm e para o mudo. Sou dspesável, meus pas me dolaram, meus pas se rusaram comgo, dolaro meus pas e me rusro com eles, aço ala e, às vezes, comodo quem me ama, agrdo os que vvem por mm e chego a me empolgar pelos que ão querem ada comgo. Sou bascamee um olo, como o são odos os adulos de mha vda. O homem é sso mesmo. Teho muas déas que peso que são mhas e descubro que são dos ouros. Plago-me a mm mesmo e me egao as mhas cerezas, mas muas vezes acero em cheo os meus erros. Sou uma parábola e um evagelho, quado ldo por ere lhas. Deus é muo pacee comgo porque só Ele eede que esou buscado aqulo que me espera: A DIGNIDADE DE HOMEM E DE FIHO DE DEUS. Sou o cara mas couso do mudo, mas sou ambém o cara mas realsa que á passou pela ace da erra. Quem ão quser presar aeção ao que eu dgo, pode car raqülo que um da erá que passar pelo que esou passado. Acho que sou um resumo de odas as coradções da humadade e um mosruáro de odas as vrudes da mesma. Um adulo é um ovem que cresceu. É uma verdade elemear muo prouda que os homes ão eederam ada. Você que me vu, ou me vê passado por sua pora, poderá perceber que meu passo é o de alguém que va a camho de algum lugar. Não mage o por. Pode ser que eu esea do coversar com Deus e aé mesmo pedr por você. Se alguém quser saber quem sou, ão que muo couso: dga smplesmee que você ão me cohece muo bem porque sou um pouco de udo, e que o udo sou bom e quero audar o mudo a ser melhor. DIGA AO MUNDO QUE SOU JOVEM. APENAS ISSO. Pe. Zezho. Dga ao Mudo que Sou Jovem A odas as pessoas de bem e ambém Àquelas que acredam em um mudo melhor III

3 Agradecmeos Cera vez, asssdo a uma reporagem com Paulo Coelho sobre o laçameo de seu mas ovo lvro, Oze muos, perguas va... resposas vem, e um momeo culmae desse programa, o repórer que realzará a erevsa ez a segue colocação: Paulo Coelho, você em sua vda á coseguu muas cosas...clusve erar para Academa de leras, que por sal muo coesado em ução de seu eslo. Paulo Coelho, ão lhe ala mas ada em sua carrera, ou você ada êm algum soho que ão coseguu realzar? A úca cosa que eu ão quero azer é morrer vvo, respodeu Paulo Coelho, e explcou sua resposa Equao eu esver vvo luare pelo meus sohos, ão dessre de ehum...porque o quê os maém vvo são ossos sohos. Na verdade, a palavra soho quer dzer: uma voade do coração. Se você em um soho, quer sea ser uma pessoa bem sucedda os egócos, ou smplesmee vsar sua mãe, que há aos ão a vê. Acrede, você pode, cê é capaz, cê em odas as codções do mudo para r arás, pos se ão osse assm, você ão era a voade mesa que exse dero de você, o de ser elz...acrede...! A Deus, pela orça, pela saúde, pelo eedmeo, pela sabedora, por m pela mssão cumprda;! À mha amíla, pelo ecoraameo e apoo essa ase de mha vda;! Ao meu oreador, Proº Rcardo Azoubel, pelos seus esameos, amzade, oporudade e coaça que colocou em mha pessoa o desevolvmeo desse rabalho;! A odos os proessores, se que ão são poucos, que me audaram em mha ormação e passagem pela UFOP esses dos aos que esve em Ouro Preo;! À odos os amgos e colegas que z em Mas Geras, e que ão co omes pelo ao das poucas lhas que me resam e pelo ao de ser uso com alguém;! À Fudação Gorcex e a USIMINAS pela auda acera. IV

4 Resumo Ese rabalho em como obevo prcpal o desevolvmeo de duas meodologas capazes de resolver o problema de equlíbro de vgas com resrções de coao. Essas resrções de coao são mposas aqu por bases eláscas modeladas com um parâmero de rgdez (modelo de kler ou molas dscreas), e duas suações de coao são cosderadas, a saber: blaeral e ulaeral. No caso de coao ulaeral, a udação elásca reage somee às solcações de compressão; á a suação de coao blaeral, a base reage às solcações de ração e compressão. Na prmera pare do rabalho, uma meodologa geral de solução baseada o emprego do méodo de Raylegh Rz é proposa e usada em seguda para resolver rês problemas parculares de vgas com resrções ulaeras de coao. Uma esraéga de solução erava, baseada o méodo de Newo Raphso, é usada para resolver o ssema de equações ão-leares resulae da ormulação do problema. Na seguda pare da pesqusa, o méodo dos elemeos os é usado para dscrezar a vga e a udação elásca, e o problema de coao é raado dreamee como um problema de mmzação, evolvedo somee as varáves orgas do problema, sueas às resrções de desgualdade e à codção de complemeardade. Duas ormulações são eão desevolvdas (prmal e dual) ode as equações relevaes para a solução do problema de coao são escras a orma de um problema de complemeardade lear (PC) e resolvdas aravés do algormo de emke. As duas meodologas proposas são aalsadas e esadas aravés de város exemplos e as resposas obdas aravés das mplemeações compuacoas realzadas são comparadas com os resulados ecorados a leraura. Por m, algumas coclusões sobre as meodologas e as ormulações desevolvdas e mplemeadas, e sobre as aproxmações dos resulados são apreseadas o al do rabalho. V

5 Absrac Two umercal mehodologes capable o solvg equlbrum problems o beams wh coac resras are preseed hs work. These coac cosras are mposed by oe parameer elasc oudaos model (kle s model ad dscree sprg model) ad wo coac codos are cosdered,.e.: blaeral ad ulaeral. I he ormulao, specal aeo s gve o he case whch he elasc oudao reacs compresso oly, characerzg he coac as ulaeral. I he rs par, a geeral Raylegh Rz ype mehodology wh moveable boudares s proposed ad used here o solve hree parcular problems o beams uder ulaeral coac cosra. A erave soluo sraegy, based o he Newo Raphso mehod, s used o solve he o-lear equao sysem obaed he problem ormulao. I he secod par, he e eleme mehod s used o model he beam ad oudao, ad he coac problem s deal wh drecly as a mmzao problem, volvg oly he orgal varables, subeced o equaly cosras ad complemeary codo. The releva equaos are preseed or wo alerave lear complemeary problems (CP) ad solved by emke s algorhm. I he rs ormulao, amed prmal, he CP varables are he beam dsplacemes ad he elasc oudao reaco, whle he secod ormulao (dual), he CP s derved erms o he elasc oudao reaco oly. The mehodologes are llusraed ad aalyzed by may examples ad he resuls are compared wh exsg umercal resuls oud he leraure. Some coclusos abou he precso o he resuls, mplemeed ormulaos ad compuaoal ececy o hese mehodologes are preseed a he ed o he work. VI

6 Sumáro Resumo V Absrac VI sa de Fguras X sa de Tabelas XIV sa de Símbolos XVI INTRODUÇÃO. CONSIDERAÇÕES INICIAIS OBJETIVOS E ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO REVISÃO BIBIOGRÁFICA APICAÇÃO DO MÉTODO DE RAYEIGH RITZ NA SOUÇÃO DO PROBEMA DE CONTATO 9. INTRODUÇÃO O MÉTODO DE RAYEIGH RITZ MODEO DA BASE EÁSTICA Modelo de Molas Dscreas Modelo kler FORMUAÇÃO GERA DO PROBEMA DE CONTATO Problema Parcular : uma regão com coao e uma sem coao Problema Parcular : uma regão com coao e duas sem coao Problema Parcular 3: duas regões com coao e uma sem coao VII

7 3 APICAÇÃO DO MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS NA SOUÇÃO DO PROBEMA DE CONTATO INTRODUÇÃO TEORIA DA VIGA DE TIMOSHENO FORMUAÇÃO DO PROBEMA SEM CONTATO FORMUAÇÃO DO PROBEMA DE CONTATO BIATERA FORMUAÇÃO DO PROBEMA DE CONTATO UNIATERA Formulação Prmal Formulação Dual PROGRAMAS COMPUTACIONAIS 6 4. INTRODUÇÃO PROGRAMA COMPUTACIONA : MÉTODO DE RAYEIGH RITZ Sub-roa SOINEAR Sub-roa SONINEAR PROGRAMA COMPUTACIONA : MÉTODO DOS EEMENTOS FINITOS Sub-roa SOPC Sub-roa SOPCU EXEMPOS DE VAIDAÇÃO INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES GERAIS PROBEMA DE CONTATO : Vga sosáca com uma regão de coao e uma sem coao PROBEMA DE CONTATO : Vga sosáca com uma regão de coao e duas sem coao PROBEMA DE CONTATO 3: Vga sosáca com duas regões de coao e uma sem coao VIII

8 5.6 PROBEMA DE CONTATO 4: Vga hperesáca com uma regão de coao e uma sem coao PROBEMA DE CONTATO 5: Vga hperesáca com uma regão de coao e duas sem coao PROBEMA DE CONTATO 6: Vga em coao apeas com uma base elásca e suea a uma carga cocerada PROBEMA DE CONTATO 7: Vga em coao apeas com uma base elásca e suea a uma carga uormemee dsrbuída CONCUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS 3 6. CONCUSÕES SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS Reerêcas Bblográcas 35 Apêdce A 39 A. INTRODUÇÃO A. O MÉTODO DE EME IX

9 sa de Fguras Capíulo Fgura. Modelo de molas dscreas (Slva, 998) Fgura. Modelo de kler (Heéy, 946) Fgura.3 Ssema esruural com resrção de coao Fgura.4 Esraéga de solução ão-lear Fgura.5 Prmero problema parcular de coao ulaeral: (a) ssema esruural; (b) orma da deormada Fgura.6 Segudo problema parcular de coao ulaeral: (a) prmera proposa do ssema esruural; (b) Seguda proposa do ssema esruural; (c) orma da deormada Fgura.7 Tercero problema parcular de coao ulaeral: (a) prmera proposa do ssema esruural; (b) Seguda proposa do ssema esruural; (c) orma da deormada Capíulo 3 Fgura 3. Deormação da seção rasversal da vga: (a) Teora de vga esbela; (b) Teora de vga espessa Fgura 3. Elemeos soparamércos usados ese rabalho a modelagem das vgas Fgura 3.3 Problema de coao blaeral ere uma vga e uma base elásca Fgura 3.4 Problema de coao ulaeral ere uma vga e uma base elásca Fgura 3.5 Domío de valdade das resrções de coao Capíulo 4 Fgura 4. Fluxograma do programa prcpal: solução modal Fgura 4. Procedmeos adoados o processo de Newo Raphso X

10 Fgura 4.3 Exemplo de um arquvo de dados para a solução do problema de coao ulaeral Fgura 4.4 Fluxograma do programa prcpal: solução va MEF Fgura 4.5 Esquema smplcado do programa Fgura 4.6 Deção da marz de rgdez usada a aálse Fgura 4.7 Exemplo de arquvo de erada de dados: solução va MEF Capíulo 5 Fgura 5. Problemas de coao aalsados ese capíulo Fgura 5. Prmero problema de coao Fgura 5.3 Vga em coao blaeral com uma base elásca do po kler com momeo aplcado o apoo exremo A Fgura 5.4 Delexão laeral da vga para o Problema : PCB Fgura 5.5 Delexão laeral da vga para o Problema : PCB Fgura 5.6 Delexão laeral w da vga, Problema PCU Fgura 5.7 Roação θ da vga, Problema PCU Fgura 5.8 Reação R b da base elásca, Problema PCU Fgura 5.9 Comparação dos problemas de coao, Problema Fgura 5.0 Formulação prmal x Formulação dual Problema Fgura 5. Segudo problema de coao ulaeral Fgura 5. Vga em coao blaeral com uma base elásca do po kler com momeos leores os apoos e carga cocerada o cero Fgura 5.3 Delexão laeral w da vga, Problema Fgura 5.4 Roação θ da vga, Problema Fgura 5.5 Momeo leor M da vga, Problema Fgura 5.6 Reação R b da base elásca, Problema Fgura 5.7 Formulações dual x Formulação prmal, Problema Fgura 5.8 Comparação dos problemas de coao, Problema Fgura 5.9 Tercero problema de coao ulaeral Fgura 5.0 Cogurações deormadas da vga para a suação de coao blaeral XI

11 Fgura 5. Delexão laeral w da vga, Problema Fgura 5. Roação θ da vga, Problema Fgura 5.3 Momeo leor M da vga, Problema Fgura 5.4 Reação da base elásca R b, Problema Fgura 5.5 Formulação prmal x ormulações dual, Problema Fgura 5.6 Comparação dos problemas de coao, Problema Fgura 5.7 Vga coíua, com dos ramos, em coao com uma base elásca do po kler: (a) ssema esruural cosderado; (b) orma da deormada do ssema Fgura 5.8 Delexão laeral w da vga, Problema Fgura 5.9 Roação θ da vga, Problema Fgura 5.30 Momeo leor M da vga, Problema Fgura 5.3 Reação R b da base elásca, Problema Fgura 5.3 Vga coíua, com rês ramos, em coao com uma base elásca do po kler Fgura 5.33 Delexão laeral w da vga, Problema Fgura 5.34 Roação θ da vga, Problema Fgura 5.35 Momeo leor M da vga, Problema Fgura 5.36 Reação R b da base elásca, Problema Fgura 5.37 Vga em coao apeas com uma base elásca e suea a uma carga cocerada o cero Fgura 5.38 Modelo umérco proposo por Noguera e al. (990) Fgura 5.39 Relação ão-lear esão-deormação adoado por Noguera e al. (990) para o elemeo de relça Fgura 5.40 Exemplo da dscrezação adoada para a vga de comprmeo geérco Fgura 5.4 Delexão laeral w da vga de m, PCB Fgura 5.4 Delexão laeral w da vga de m, PCU Fgura 5.43 Reação R b da base elásca para vga de m, PCB x PCU Fgura 5.44 Delexão laeral w da vga de 6 m, PCB Fgura 5.45 Delexão laeral w da vga de 6 m, PCU XII

12 Fgura 5.46 Roação θ da vga de 6 m, PCB x PCU Fgura 5.47 Reação R b da base elásca para vga de 6 m, PCB x PCU Fgura 5.48 Delexão laeral w da vga de 3 m Fgura 5.49 Delexão laeral w da vga de.5 m Fgura 5.50 Vga em coao apeas com uma base elásca e suea a uma carga uormemee dsrbuída o cero Fgura 5.5 Vga de comprmeo o em coao com uma base elásca do po kler e suea a carregameo uormemee dsrbuído...6 Fgura 5.5 Vga de comprmeo o em coao com uma base elásca do po kler e suea a carregameo uormemee dsrbuído q Fgura 5.53 Delexão laeral w da vga de m, PCB Fgura 5.54 Delexão laeral w da vga de m, PCU Fgura 5.55 Reação R b da base elásca para vga de m, PCB x PCU Fgura 5.56 Delexão laeral w da vga de 3 m, carga uormemee dsrbuída q Apêdce A Fgura A. Algormo de emke Fgura A. Sgcado mecâco do algormo de emke XIII

13 sa de Tabelas Capíulo 3 Tabela 3. Quadraura de Gauss-egedre para < ξ < Capíulo 4 Tabela 4. Varáves presees o arquvo de dados Tabela 4. Declaração dos macro-comados Capíulo 5 Tabela 5. Valores para os coecees de empeameo α Tabela 5. Aálse de covergêca do PSC: MRR Tabela 5.3 Aálse de covergêca do PSC: MEF Elemeo Tabela 5.4 Aálse de covergêca do PSC: MEF Elemeo Tabela 5.5 Aálse de covergêca do PSC: MEF Elemeo Tabela 5.6 Solução aalíca para város valores do parâmero de rgdez elásco admesoal da base elásca (k 4 /EI) Tabela 5.7 Aálse de covergêca do PCB, MRR Tabela 5.8 Aálse de covergêca do PCB, MEF Elemeo Tabela 5.9 Aálse de covergêca do PCB, MEF Elemeo Tabela 5.0 Aálse de covergêca do PCB, MEF Elemeo Tabela 5. Aálse de covergêca do PSC, MRR Tabela 5. Aálse de covergêca do PSC, MEF: Elemeos, e Tabela 5.3 Solução aalíca para város valores do parâmero de rgdez elásco admesoal k da base elásca (k 4 /EI) Tabela 5.4 Aálse de covergêca, MRR Tabela 5.5 Aálse de covergêca, MEF: Elemeo Tabela 5.6 Aálse de covergêca, MEF: Elemeo Tabela 5.7 Aálse de covergêca, MEF: Elemeo Tabela 5.8 Modelages adoadas para solução umérca do PCB XIV

14 Tabela 5.9 Resulados do problema sem coao (PSC) Tabela 5.0 Solução aalíca para város valores do parâmero de rgdez elásco admesoal k da base elásca (k 4 /EI) Tabela 5. Valores de N e NEEM adoados a modelagem do problema de coao blaeral (PCB) Tabela 5. Aálse de covergêca do PCB, MRR Tabela 5.3 Aálse de covergêca do PCB, MEF: Elemeo Tabela 5.4 Aálse de covergêca do PCB, MEF: Elemeo Tabela 5.5 Aálse de covergêca do PCB, MEF: Elemeo Tabela 5.6 Valores de N e NEEM adoados a modelagem do problema de coao ulaeral (PCU) Tabela 5.7 Valores do parâmero NEEM adoados a modelagem do problema de coao blaeral (PCB) Tabela 5.8 Valores do parâmero NEEM adoados a modelagem do problema de coao ulaeral (PCU) Tabela 5.9 Valores do parâmero NEEM adoados a modelagem do problema de coao blaeral (PCB) Tabela 5.30 Valores do parâmero NEEM adoados a modelagem do problema de coao ulaeral (PCU) Tabela 5.3 Modelos de elemeos os adoados, carga cocerada Tabela 5.3 Modelos de elemeos os adoados, carga dsrbuída Apêdce A Tabela A. Icalzação do processo Tabela A. Resulados obdos aravés da operação do pvoeameo XV

15 sa de Símbolos SÍMBOOS ARÁBICOS A veor que coém as varáves descohecdas da regão de coao A área da seção rasversal a, b, c, x dsâca B marz que relacoa as compoees de deormação com os deslocameos odas do elemeo C marz de acoplameo ere a udação e a esruura C esão de compressão C b D b D dy propredade ísca da udação lexbldade, D b / C b marz cosuva do maeral varável que dee a codção de cooro à raslação E módulo de elascdade logudal e base do logarmo leperao ou aural (, ) e EI el Elemeo Elemeo Elemeo 3 Erro lera usada para dcar um elemeo geérco rgdez à lexão da vga úmero de elemeos elemeo o soparamérco com dos poos odas elemeo o soparamérco com rês poos odas elemeo o soparamérco com quaro poos odas erro calculado em perceagem (%) dado pela dereça exsee ere a solução aalíca e a umérca F veor das orças odas oal da esruura F e veor das orças exeras F veor das orças eras F carga poual (P ; M ) F e orma Eucldaa do veor do carregameo exero G módulo de elascdade rasversal XVI

16 g veor gradee, g F F e ( k) g orma Eucldaa do veor das orças desequlbradas H I mp J k E B marz hessaa momeo de érca em relação ao exo de lexão parâmero de corole de mpressão operador acobao marz de rgdez global do ssema esruural parâmero de rgdez da base elásca ou udação parâmero de rgdez admesoal da base elásca, k 4 /EI marz de rgdez da esruura marz de rgdez da base elásca e b marz de rgdez da base elásca para um elemeo geérco e l e lx DEF M, M, M 0, M c marz de rgdez da vga para um elemeo geérco parâmero de rgdez elásco da mola em coao com o ó comprmeo logudal da vga comprmeo do elemeo geérco dsâca ere dos poos cosecuvos do elemeo o úmero que dee a dmesão da marz que coém os graus de lberdade usado o algormo de emke (0: prmal; : dual) momeo leor úmero de sem-odas; úmero de poos odas úmero de poo da esruura em coao com a base elásca case úmero de casos de cargas cd úmero de elemeo com carga dsrbuída dme úmero da dmesão do problema do úmero de graus de lberdade por ó NEEM úmero de elemeos assocado ao Elemeo NEEM úmero de elemeos assocado ao Elemeo NEEM 3 úmero de elemeos assocado ao Elemeo 3 e úmero oal de elemeos usados a modelagem edge úmero que dee a leura de cargas dsrbuídas XVII

17 elem N N r N w, N θ g gaus gelm max mas ode o p pload plo pma psec p po secs ype P q q e r b e r b S S úmero de elemeos compoee da marz que coém as uções de erpolação marz que coém as uções de erpolação assocada à r b marz que coém as uções de erpolação assocada ao deslocameo odal úmero que dee a geração auomáca úmero de poos de Gauss para egração umérca úmero de grupos de elemeos úmero máxmo de erações usados o processo de Newo Raphso úmero de maeras úmero de poos odas por elemeo úmero de poos odas úmero de poos para delexão a ser mpresso úmero que dee a leura de cargas coceradas dcador de ploagem úmero de parâmero para maeras úmero de parâmero para seções úmero oal de poos de egração úmero de poos odas úmero de seções varável que dee o po de aálse do problema de coao para o caso do méodo de Raylegh Rz e dos elemeos os carga cocerada carga uormemee dsrbuída orça odal equvalee reação exercda pela base elásca veor que coém a reação à compressão da base elásca relacoada ao valor odal marz que coém as coordeadas que deem a regão de coao rgdez csalhae, S GA/α XVIII

18 Sc veor que coém as coordeadas que deem a regão de coao S c S S u T T regão de coao cooro ode as orças são prescras regão da esruura ode os deslocameos são prescros marz de lexbldade esão de ração,, coordeada que dee a regão de coao ere a vga e a udação íulo íulo do exemplo processado hea varável que dee a codção de cooro à roação old olerâca do processo eravo, créro dos deslocameos ol olerâca do processo eravo, créro das orças U veor de deslocameo oal da esruura U eerga era de deormação U b u e u u e eerga era de deormação devdo a corbução da udação veor deslocameo odal do elemeo geérco ução esacoára do ucoal p solução exaa do problema u deslocameo poual (w ; θ ) x, y coordeada caresaa ou dsâca w veor de deslocameo w delexão laeral da vga w b w c w 0 deslocameo da base elásca delexão laeral da vga em um poo arbráro C delexão laeral do poo o meo da vga w, θ, M, V deslocameo, roação, momeo leor e orça corae prescros SÍMBOOS GREGOS α, alpha aor de empeameo e α α,, parcela de corbução de eerga da esruura parâmero ausável ou varável arbrára α, α parcela de corbução de eerga da udação b α, α, 3 XIX

19 α parcela de corbução de eerga do carregameo exero M M P q, α, α, α δα varação arbrara do parâmero ausável α δ p varação do ucoal de eerga poecal oal p ε veor de deormação, ε T {ε x γ xy } ε deormação ε x φ Φ γ xy ϕ λ p, deormação especíca a dreção x âgulo de roação adcoal devdo ao csalhameo ução de aproxmação deormação de csalhameo o plao xy dsâca relava ere a vga e a udação, ϕ w b w parâmero da udação, λ 4 / 4EI ucoal de eerga poecal oal cosae rgoomérca ( 3, ) θ w âgulo de roação dos exos da vga, θ + φ x σ veor de esão, σ T {σ x τ xy } σ esão ormal σ x τ xy ξ ξ ξ Ω ω w x esão ormal o plao perpedcular ao exo x esão de csalhameo perpedcular ao exo y e paralela ao exo x coordeada aural; aor de olerâca orecdo pelo usuáro coordeada do poo de egração aor de olerâca adoado o créro de covergêca eerga poecal das orças exeras peso assocado ao poo de egração âgulo de roação em relação a lha eura XX

20 Capíulo INTRODUÇÃO. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Na práca, elemeos esruuras como vgas, arcos, placas e cascas ecoramse lgados ere s e/ou apoados em ouros corpos ou meos que oerecem ressêca ao movmeo em ceras dreções ou mpedem al movmeo. Os problemas ode a esruura pode erar ou perder coao com ouros corpos, ou mesmo deslzar sobre o seu apoo, são usualmee ecorados a leraura sob a deomação Problemas de Coao Ulaeral (Barbosa, 986; Slvera, 995; Slva, 998). Como á desacado em Slvera (995), as egeharas cvl e mecâca exsem úmeros problemas esruuras ode a clusão das resrções ulaeras de coao a aálse é de udameal mporâca a decação e descrção de dversos eômeos. Merece desaque, por exemplo, a aálse do comporameo de elemeos esruuras usados como: esruuras de udação; rlhos de errovas; ubulações eerradas; ubulações (ppele) em coao com o udo do mar; pavmeos; esruuras luuaes; peças de maeras compósos; cascas de proeção em ambees agressvos (usas ucleares); arculações com olgas; apoos udrecoas.

21 Nesa dsseração, aeção especal será dada à modelagem das duas prmeras classes de problemas cados, que ormalmee eressa a egeheros esruuras e geoéccos. Em geral, o prmero passo para a obeção da solução umérca de problemas de coao cosse em reormulá-los em espaços de aproxmação. Para so recorre-se geralmee ao méodo dos elemeos os (MEF) ou ao méodo dos elemeos de cooro (MEC), que são as éccas de dscrezação ormalmee empregada a aálse de problemas esruuras complexos. Após a dscrezação, a aeção é volada para a seleção e escolha de meodologas que possblem o raameo, de orma adequada, das resrções ulaeras de coao mposas à aálse, e que ormalmee requerem que o problema eha dmesão a. Ere as aleravas ecoradas a leraura, pode-se desacar: () a adapação de ormulações usuas da mecâca esruural ucoas derecáves e resrções blaeras ao caso do coao evolvedo resrções ulaeras. Os procedmeos resulaes, que são orçosamee de aureza erava, ou cremeal-erava, reqüeemee ão êm garaas de covergêca. Essa classe de procedmeos em como aravos: ão roduzr coceos ovos; a adapação de códgos á exsees para aálses ão-leares; o raameo de problema de coao como um po parcular de problema ão-lear; e a ecooma de empo compuacoal se ehuma mudaça a regão de coao acoece ere um passo e ouro de carga, sso o caso de procedmeo cremeal-eravo (Fracavlla e Zekewcz, 975; Se e rggers, 984; Noguera e al., 990; Perera e al., 00); () a rasormação do problema de coao em um problema de mmzação sem resrção. Essa rasormação depede dreamee da aplcação de méodos como mulplcadores de agrage, agragao aumeado e pealdades. O emprego desses méodos cosse, a maora do casos, em roduzr elemeos especas proeados para smular as codções de mpeerabldade das superíces (Smo e al., 985; Smo e al., 986; rggers e Iho, 993; Maker e aurse, 994); () o emprego de méodos de programação maemáca (PM). Essa úlma abordagem perme ober a solução do problema de coao sem que as resrções ulaeras seam elmadas explcamee da aálse, sedo assm mada a losoa

22 orgal do problema (Ascoe e Grmald, 984; Barbosa, 986; Joo e wak, 986; Johso e Qugley, 989; Slvera, 995; Slva, 998; Slva e al., 00; Slvera e Goçalves, 00). A prmera e ercera aleravas serão adoadas ese rabalho para o raameo das resrções de coao mposas à aálse.. OBJETIVOS E ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO Esa dsseração em como obevos prcpas o desevolvmeo e a mplemeação compuacoal de duas meodologas para solução do problema de equlíbro de vgas com resrções de coao. Essas resrções de coao são mposas por bases eláscas. Nas meodologas de solução proposas, aeção especal será dada ao caso em que a udação elásca reage somee às solcações de compressão, caracerzado assm o coao como ulaeral. No caso em que a udação reage ao às solcações de ração quao às de compressão, o coao será deomado blaeral. Nas aálses a serem realzadas, os eeos das orças de aro, decorree do coao ere os corpos são descosderados, haa vso que os problemas dessa aureza essas orças ão são ão mporaes. Os ópcos ecessáros para o eedmeo e a valdação das meodologas proposas serão apreseados os demas capíulos que compõem ese rabalho. A prmera proposa de solução do problema de coao ulaeral ere uma vga e uma base elásca é descra o Capíulo. Desaca-se, calmee, que essa meodologa de solução é baseada a aplcação do méodo de Raylegh Rz (MRR) uamee com a écca erava de Newo Raphso. Traa-se da adoção da prmera alerava descra a seção aeror para modelagem umérca das resrções de coao. Nesse mesmo capíulo são apreseados os udameos do MRR e os modelos de bases eláscas cosderados. No Capíulo 3 é apreseada a oura meodologa de solução para a classe do problema de coao em esudo, que é baseada o emprego do méodo dos elemeos os (MEF) e éccas de programação maemáca. A Teora de Tmosheko é usada para a vga e são apreseados os elemeos os soparamércos mplemeados a 3

23 dscrezação do ssema esruural (vga e base elásca). Nas duas úlmas seções desse capíulo são descras as ormulações que vsam rasormar o problema de mmzação com resrções de coao em um problema de complemeardade lear (PC). Um resumo dos procedmeos adoados a mplemeação compuacoal das meodologas proposas os Capíulos e 3 pode ser ecorado o Capíulo 4. No Capíulo 5 são aalsados see problemas de coao, que em como obevo valdar as meodologas proposas ese rabalho. No Capíulo 6, almee, são apreseadas as coclusões e ambém algumas sugesões para uuras pesqusas. Vale ormar que esa dsseração esá serda a lha de pesqusa Mecâca Compuacoal, do Programa de Pós-Graduação em Egehara Cvl (PROPEC/Decv/EM/UFOP), que em por obevo a aplcação de méodos umércos, como o MEF e o MEC, a obeção das resposas de ssemas esruuras em egehara (Slva, 998; Mars, 000; Maz, 00; Dors, 00; Albero, 00; Phero, 003); e ada, é mporae desacar que ela é pare egrae de um amplo proeo deomado Modelagem Compuacoal do Problema de Coao, que em como coordeador o oreador desa pesqusa. Por m, pode-se cosderar o presee rabalho uma couação drea de ouras pesqusas, a saber: Slvera (995), Slva (998), Adrade (00) e Perera e al. (00). O prmero rabalho cado eve como obevo o desevolvmeo de uma meodologa de solução umérca capaz de resolver problemas bdmesoas de equlíbro e esabldade evolvedo elemeos esruuras esbelos com resrções ulaeras de coao; Slva (998) esudou o comporameo de placas espessas e delgadas com resrções de coao; e em Adrade (00) e Perera e al. (00) podem ser ecorados os udameos da solução modal (MRR) apreseada o Capíulo desa dsseração. 4

24 .3 REVISÃO BIBIOGRÁFICA Esa seção em o propóso de complemear e aualzar pesqusas bblográcas á realzadas os rabalhos de Slvera (995) e Slva (998). No prmero rabalho cado, uma ampla revsão bblográca o realzada e orgazada de acordo com as esraégas de solução do problema de coao; á em Slva (998), êase o dada aos rabalhos evolvedo placas com resrções de coao. Em 964, err (964) apreseou um argo coedo város modelos de udação, as como: kler, Paserak, Resser, Vlasov, ere ouros. Nesse rabalho, ele deu as equações maemácas que regem o comporameo desses modelos de udação. esma (970), em seus esudos, assumu que as esões de ração ão eram rasmdas ere os corpos eláscos em coao (vgas ou placas e udação elásca). No modelo proposo, uma orça cocerada o aplcada o ssema esruural e os modelos de base elásca do po kler e do po Resser oram cosderados. Uma meodologa de solução o apreseada por Johso e ouskoulas (973) para o problema de uma vga sobre udação b-lear e sobre base elásca que ão oerecesse ressêca à ração, ode se cosderou para a vga a a eora de Euler Beroull e codções de carregameo rasversal arbráro. O emprego de méodos varacoas para ormular o problema de coao de vgas apoadas couamee em bases eláscas o proposo por err (976). As equações derecas apreseadas oram obdas aravés do prcípo da eerga poecal oal esacoára. A aálse de uma vga po Euler Beroull amee loga repousado sobre uma udação do po kler o apreseada por Choros e Adams (979). A solução desse problema o obda aalsado-se o rebaxameo do ssema esruural causado por uma carga móvel cocerada auado com velocdade cosae. Um esudo para se deermar a carga críca de separação ere a vga e a udação o ambém apreseado. Em 980, Celep (980), couado a vesgação calmee elaborada por Smh e Herma (97), esudou a luêca de uma udação elásca do po kler a esabldade de uma vga em balaço, suea a um carregameo auae ão- 5

25 coservavo, Celep cosderou em suas aálses os módulos da udação rasversal e roacoal, e uma solução aproxmada o obda usado o méodo de Galerk. Macer e al. (980) zeram um esudo sobre vgas apoadas em uma udação do po Paserak cosderado o coao ere os corpos como ulaeral. Nesse rabalho, o problema ão-lear o descro aravés do coao da vga com um cero recho da base elásca, e cosderado a ação de orças exeras como momeos leores, orças coceradas e/ou dsrbuída. Uma esraéga umérca o proposa por esbrook (98), baseada o emprego do MEF e resrções de desgualdade, capaz de resolver problemas de coao de vgas em preseça de obsáculos rígdos. Malaka e Abu-Husse (988) apresearam um esudo de vgas eláscas repousado sobre uma udação do po kler, que reagam apeas aos esorços de compressão, sueas à carregameos exeros depedees do empo. A equação derecal ão-lear de movmeo o obda aravés da ulzação do méodo de Galerk. Noguera e al. (990) propuseram uma solução umérca baseada o MEF para o problema de coao ulaeral ere vgas e bases eláscas do po kler. Foram usados o elemeo soparamérco com quaro poos odas para modelar a vga e o elemeo o ão-lear de relça para represear o comporameo da base elásca; o méodo de Newo Raphso o adoado a solução do ssema de equações ãoleares. Em 993, aschev e Mkhalov (993) ambém usaram o MEF e o méodo de Newo para resolver o problema de coao de uma vga sobre uma udação do po kler, que reaga somee às solcações de compressão. Como á comeado, uma solução umérca para resolver problemas de equlíbro e esabldade de elemeos esruuras esbelos com resrções de coao, mposas por bases eláscas, o apreseada por Slvera (995). Na meodologa de solução proposa oram ulzados o MEF e as éccas de programação maemáca. Como coseqüêca desse rabalho, város argos oram publcados em seguda, ou sea: Slvera e Goçalves (997, 000, 00). Também em 995, She (995) apreseou uma aálse do comporameo póslambagem de uma placa reagular ororópca e smplesmee apoada. Em seguda, 6

26 aeção o dada à aálse ão-lear de placas lamadas compósas apoadas em uma udação elásca (She e llams, 995). E, almee, o elaborado um esudo por She (996) sobre a lambagem ermodâmca de placas moderadamee espessas apoadas em uma udação elásca ão-lear. Barp (996) apreseou uma esraéga de solução cremeal-erava para placas submedas a grades deslocameos com resrções ulaeras; o eeo da orça de aro o cosderado e um elemeo o de ove poos odas o desevolvdo. Dado coudade à pesqusa calmee desevolvda por Slvera, Slva (998) propôs uma meodologa umérca para aálse de placas com resrções blaeras e ulaeras de coao que são mposas por bases eláscas. O eeo decorree da orça de aro ere a placa e a base elásca o desprezado. O MEF o usado para dscrezar a placa e a base elásca, e o problema de coao ulaeral o raado dreamee como um problema de mmzação. Como coseqüêca dessa dsseração desaca-se a segue publcação: Slva e al. (00). Em sua pesqusa de douorameo, Mars (998) esudou o problema de vbração orçada amorecda de vgas sobre udação elásca, sedo adoados para esa úlma os modelos de kler e Paserak. O caso de vbração de vgas sobre apoos pouas o ambém aalsado. adeberger e EI-Zaray (998) desevolveram uma écca para aálse de problemas de coao cosderado o acoplameo de sub-regões aravés do MEF e MEC. Um esudo da eração solo-esruura o apreseado por Perera (999), com aplcação volada às esacas usadas a udação de plaaormas marímas. Em 000, os pesqusadores Guo Xaomg e al. (000) apresearam uma ormulação cludo desgualdade varacoal para aálse de problemas de coao elasoplásco. A solução umérca o obda aravés de éccas de programação maemáca. Nesse mesmo ao, vo Esor e Fruzaa (000) vesgaram a eração dâmca solo-esruura como uma ormulação acoplada do MEC/MEF. Eles aplcaram essa vesgação em resposas rasees eláscas de esruuras em coao a um sem-espaço. Holada (000), em sua ese de douorado, desevolveu uma meodologa baseada o MEF para esudar o equlíbro e a esabldade de placas pereas e 7

27 calmee mpereas apoadas em udações eláscas. A ormulação ulzada pode ser empregada as aálses lear e ão-lear (deslocameos moderadamee grades) de placas sorópcas ou ororópcas. Em 00, Badera (00) desevolveu, se baseado o MEF e em algormos de programação maemáca, um esudo sobre problemas de coao em 3D, ode oram cluídas as orças de aro. Esudos mas recees oram realzados por ucao e al. (00), que ulzaram o MEC a modelagem de solos reorçados D. Adcoalmee, oram ulzados elemeos de barras esbelas para represear o reorço (bras) reagdo apeas aos esorços ormas, sedo o campo de deslocameo assumdo cosae ao logo da seção rasversal da bra. Nesse mesmo ao, uma meodologa geral de solução modal para aálse ão-lear de vgas com resrções ulaeras de coao o proposa por Perera e al. (00). Nesse rabalho, uma udação do po kler reagdo somee às solcações de compressão o cosderada e a écca erava de Newo Raphso o usada para resolver o ssema de equações ão-leares. Por m, Perera (003), em dsseração desevolvda e cocluída receemee o Programa de Pós-Graduação em Egehara Cvl da UFOP, resolveu o problema de coao evolvedo solos reorçados aravés de um modelo compuacoal baseado o MEF. No modelo proposo, a represeação do comporameo do solo o ea com a ulzação do elemeo plao (Q8), para o reorço oram usados os elemeos udmesoas de relça, e para a erace adoou-se o elemeo de erace com espessura ula. 8

28 Capíulo APICAÇÃO DO MÉTODO DE RAYEIGH RITZ NA SOUÇÃO DO PROBEMA DE CONTATO. INTRODUÇÃO A deermação da resposa de uma vga carregada sobre o solo é um problema clássco a egehara cvl. Modelos smplcados da udação são usualmee adoados para modelar o solo, ou sea, cosderado o comporameo da udação elásca dêco ao às solcações de ração quao às de compressão. Ereao, uma modelagem mas realísca do solo sera obda caso os modelos ão cosderassem a sua ormulação a reação às solcações de ração, o que caracerzara o coao ere a vga e o solo como ulaeral. Para resolver essa classe de problema, apresea-se ese capíulo o desevolvmeo de uma meodologa geral de solução aravés do emprego do méodo de Raylegh Rz. Aeção será dada aos problemas de equlíbro de barras sueas à resrções ulaeras de coao, ode desprezam-se os eeos decorrees do aro exsee ere uma vga e a base elásca. Na Seção. ecora-se os udameos do méodo de Raylegh Rz, equao que a Seção.3 são mosrados os modelos de bases eláscas que serão ulzados a aálse do problema de coao. A Seção.4 apresea os dealhes da meodologa geral de solução do problema de coao proposa. Pardo-se do dcador varacoal do ssema esruural e em seguda requeredo-se que o ucoal sea esacoáro em relação às varáves prmáras do problema, chega-se um couo de equações algébrcas ão-leares. A écca erava de Newo Raphso é usada aqu para solução desse ssema de equações ão-leares. Falmee, as Subseções.4.,.4. e.4.3 são apreseados rês problemas parculares de coao usado o méodo de solução proposa.

29 . O MÉTODO DE RAYEIGH RITZ O méodo de Raylegh Rz é assm chamado pelo ao de er sdo desevolvdo pelo orde Raylegh, em 877, para resolver problemas de vbração. O ísco suíço aler Rz, em 908, reou e geeralzou o méodo desevolvdo por Raylegh, azedo aplcações para uma grade varedade de problemas, clusve aálse de vgas. Sabe-se do cálculo varacoal, que as uções que sasazem as codções de cooro e são couamee derecáves, aé a ordem ecessára para que o ucoal sea dedo o seu domío de valdade, são chamadas uções admssíves. O méodo de Raylegh Rz, coorme ecorado a leraura, opera apeas com um subcouo de uções admssíves, deermado qual é a ução do subcouo mas próxma da solução exaa do problema (Brebba e Ferrae, 978). Assm, ão se obém o mímo ou máxmo real e sm um valor aproxmado, cua precsão rá depeder das uções escolhdas. Para lusrar o méodo, cosdere o problema da deermação de uma ução u(x) que correspode ao valor esacoáro do ucoal, ou sea, que az com que a eerga poecal oal abaxo x p F (x,ue,u ), (.) x e,x ode u e é cosderada a solução exaa do problema, eha um valor mímo; cosdere ada que as codções de cooro seam dadas por: ue (x) ue (x ) 0 (.) Assume-se, eão, que a solução do problema possa ser aproxmada por uma sére de uções, mas com ceros parâmeros α, deermados, presees a sua deção, so é: ue u αφ + αφ αφ (.3) 0

30 ode as uções Φ, além de serem learmee depedees, cada uma dvdualmee deve sasazer as codções de cooro represeada pela Equação (.), ou sea: Φ ( x) Φ (x ) 0 para,,..., (.4) Observado o ucoal p (Equação.), oa-se que as uções Φ devem ser coíuas, mas suas prmeras dervadas podem ser descoíuas. Subsudo u e por u a Equação (.), e azedo com que ese ucoal sea esacoáro em relação às varáves arbráras do problema, ou sea, em relação aos parâmeros ausáves α, chega-se a: p p p δ p δα + δα δα 0 (.5) α α α e como δα são varações arbráras, a equação aeror para ser sempre sasea, mplca em cosderar que: α p 0 para,,..., (.6) que correspodem às equações de equlíbro do problema e devem ser resolvdas para obeção dos parâmeros α. Esse méodo apresea as segues codções de covergêca:. As uções aproxmadas devem ser coíuas, assm como suas dervadas, aé uma ordem eror à maor dervada que aparece o ucoal;. As uções aproxmadas devem sasazer, dvdualmee, as codções de cooro essecas (ou codções cemácas) do problema; 3. A seqüêca de uções deve ser complea, ou sea, o erro quadráco médo desas uções deve se aular quado, ou sea,

31 x lm u dx 0 α Φ (.7) x Em se raado de aálse esruural, pode-se aproxmar os deslocameos ou orças da esruura aravés de uma ução de orma que coeha um ou mas parâmeros deermados. Em seguda, ulzado-se o prcípo da eerga poecal esacoára, derva-se a eerga em relação a cada um dos parâmeros ausáves e guala-se a zero. Desse modo, obém-se um úmero de equações que é gual ao úmero de parâmeros ausáves descohecdos. De posse desses parâmeros, chega-se a ução usada para descrever o comporameo esruural. Nas aálses em que a ução é escolhda de orma aproprada, ou sea, os casos ode a ução obedece as codções de cooro geomércas da esruura, os resulados as edem para o valor exao e, além dsso, quao mas parâmeros ausáves se admr para a ução, mas precsos serão os resulados obdos. Uma grade vaagem do méodo é que, por basear-se o prcípo da eerga poecal esacoára, é aplcável ao a esruuras esacamee deermadas quao às esacamee deermadas..3 MODEO DA BASE EÁSTICA O prcpal obevo dese rabalho é a vesgação de problemas de coao ere dos corpos, dos quas um deles é cosderado como uma base elásca deormável. Esse po de problema, a práca, é resolvdo cosderado-se város modelos maemácos smplcados. A dculdade ecorada a represeação mas realísca dessa caegora de problema, ez surgr a ecessdade de modelos maemácos relavamee smples para descrever, com razoável precsão, o comporameo da base elásca a regão de coao. Os modelos maemácos cosderados mas smples são aqueles que apreseam apeas um parâmero dedo as propredades do maeral que compõe a udação

32 elásca. Assm, dere esses modelos, desacam-se o ssema de molas dscreas dsposas ao logo da regão de coao (Noguera e al., 990; Slvera, 995; Slva, 998) e o modelo proposo por kler (Heéy, 946). Esse úlmo modelo é equvalee a uma camada ormada por molas esreamee espaçadas e depedees ere s. Esses modelos ão cosderam a eração ere as molas, porao, ão represeam de orma adequada algumas das caraceríscas de muas udações. A segur, são apreseados os modelos de base elásca cados o parágrao aeror, pos serão empregados o presee rabalho a descrção da meodologa proposa para solução dessa classe de problema de coao..3. Modelo de Molas Dscreas Ese modelo de udação é represeado por um ssema de apoos dscreos cosuídos por molas, como mosrado a Fgura., sedo a reação da base elásca dada por: r b w b x x (.8) ode r b e w b são, respecvamee, a reação e o deslocameo da base elásca, represea o parâmero de rgdez da mola a posção x x, que caracerza o poo da esruura e da base elásca que esão em coao. q Fgura. Modelo de molas dscreas (Slva, 998). 3

33 .3. Modelo de kler A Fgura. lusra o modelo de kler usado para represear a udação, sedo assumdo que a esdade da reação ormal r b exercda em um dado poo da base elásca é dreamee proporcoal à delexão w b que ocorre esse poo, ou sea, r b w b (.9) ode é o parâmero de rgdez da udação. Esse po de modelo é usado com mas requêca para represear as bases eláscas. q Fgura. Modelo de kler (Heéy, 946)..4 FORMUAÇÃO GERA DO PROBEMA DE CONTATO Cosdere, calmee, como mosrado a Fgura.3, um elemeo esruural em coao com uma base elásca do po kler, e submeda à carregameo coversavo. Para o ssema esruural em esudo, cosderado ada que essa base elásca só reage às solcações de compressão, o ucoal de eerga (dcador varacoal) pode ser escra como: ( w, Sc) U( w, Sc) T Fe w (.0) 4

34 ode F e é o veor das orças exeras e U é a eerga era de deormação, que é ução do veor deslocameo w e do veor Sc que coém as coordeadas que deem a exesão da regão de coao (s k ). Essas coordeadas são cosderadas cógas adcoas do problema, pos ão se cohece a pror a regão de coao. s P s regão coao P s3 P3 regão coao s4 P4 s5 y x Fgura.3 Ssema esruural com resrção de coao. Uma pequea varação a eerga poecal, δ, pode ser avalada aravés da expasão em sere de Taylor, ou sea, T T T δ δw + δsc + δw δw + δw δsc + δsc δsc + Ο( δw 3, 3 ) w Sc w Sc Sc w Sc (.) ou, usado uma oação marcal mas compaca: T T 3 δ g δa + ( δa HδA) + Ο( δa ) (.) ode o veor A coém as varáves prmáras descohecdas do problema (w e Sc), g é o veor gradee (veor das orças desequlbradas) e H represea a marz Hessaa do ssema esruural, que pode ser escra da segue orma: 5

35 C H w wsc (.3) T C S Scw Sc que é obda dervado-se a parcela da eerga era de deormação dada pela Equação (.0), em relação à w e Sc. Para o equlíbro do ssema, a prmera varação da Equação (.) deve ser esacoára com relação à δa, porao: g T A w Sc { 0 0} (.4) que pode ser rescra de acordo com: g F F 0 (.5) e sedo F e F e os veores das orças eras e exeras, respecvamee. A equação aeror represea o ssema de equações algébrcas ão-leares que deve ser resolvdo. O veor das orças exeras F e é obdo dervado-se a parcela da eerga poecal das orças exeras (Equação.0) em relação à w, equao que, para ober o veor das orças eras, derva-se a parcela da eerga era de deormação em relação à w e Sc. A Fgura.4 orece o algormo de solução adoado, que é baseado a écca erava de Newo Raphso (Bahe, 98), para resolver a Equação (.5). Observe que são ecessáras duas ases para obeção da solução do problema, a saber: () a ase preda, ode az-se a calzação de w e Sc (A 0 ); () a ase correva, ode essas aproxmações são corrgdas com o uo de sasazer as equações de equlíbro do ssema esruural. O créro de covergêca é baseado a orma Eucldaa dos veores de orças g e F e, e o Capíulo 4 são orecdos os dealhes da mplemeação compuacoal evolvedo o algormo da Fgura.4. 6

36 . Icalzação das varáves: A 0 (w e Sc). Ierações: k,,..., I máx.. Faz-se: Cálculo da marz Hessaa: H (k-) Cálculo do veor gradee: g (k-) Vercação da covergêca: g F ζ? Sm: sga ao passo 3 k (k) (k) Não: calcula a correção δa [ H ] g Varável de saída: A A 3. Imprme as varáves e alza. k k (k) e + δa k. Reore ao passo Fgura.4 Esraéga de solução ão-lear. Os procedmeos esabelecdos esa seção serão empregados a segur a solução de rês problemas parculares de coao ulaeral. 7

37 .4. Problema Parcular : uma regão com coao e uma sem coao Sea a vga de comprmeo logudal e rgdez à lexão EI, coorme mosrado a Fgura.5a, pereamee rea, smplesmee apoada e carregada por momeos leores M e M aplcados os apoos exremos. Caso se cosdere uma udação elásca do po kler que só reage à compressão, eão, para essa suação de carregameo, observa-se que a barra se deormará de acordo com a Fgura.5b. Para esse prmero problema, a expressão que dee a eerga poecal do ssema, é dada por: d w dw dw EI dx + w dx M M dx 0 dx (.6) 0 x 0 dx x ode o lme de egração presee a parcela da eerga era da udação é uma cóga adcoal do problema, pos ão se cohece a pror a exesão da regão de coao vga-udação. y,w M EI, M x (a) y,w regão de coao x (b) Fgura.5 Prmero problema parcular de coao ulaeral. 8

38 Para se ober a solução modal do problema, recorre-se ao méodo de Raylegh Rz. Como á mecoado, a aplcação desse méodo esá vculada às cosderações e prcípos varacoas. Semelhae a ouras éccas umércas, o méodo de Raylegh Rz caracerza-se por reduzr o coíuo a um ssema o de graus de lberdade. Icalmee, aproxma-se a delexão laeral w da vga usado-se a segue combação lear de uções harmôcas: x w se (.7) ode é o úmero de meas odas logudas e são os parâmeros ausáves que passam a ser as cógas do problema. Observa-se que as uções harmôcas sasazem dvdualmee as codções de cooro cemácas de uma vga bapoada. De acordo com a Equação (.6) e a aproxmação aeror pode-se escrever que: w x x se se x x cos( ) cos( + ) (.8a) dw dx d w dx d w dx x cos x se x x cos( ) cos( + ) (.8b) (.8c) (.8d) Subsudo-se eão as expressões dedas em (.7) e (.8) o dcador varacoal (.6), e em seguda azedo-se a egração ecessára, chega-se uma orma aproxmada para, ução dos parâmeros e da varável, dada por: 9