ANÁLISE DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS PARA AS EQUAÇÕES DE BATEMAN

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1 IX La Amerca IRPA Regoal Cogress o Radao Proeco ad Saey - IRPA Ro de Jaero RJ Brazl Aprl 5-9 SOCIEDADE BRASILEIRA DE PROTEÇÃO RADIOLÓGICA - SBPR ANÁLISE DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS PARA AS EQUAÇÕES DE BATEMAN Glerme G. Loc Goro Hromoo Orlado Rodrges Jr e Joyce S. Bevlacqa Iso de Maemáca e Esaísca da Uversdade de São Palo IME-USP Deparameo de Maemáca Aplcada Ra do Maão º - Baã São Palo SP gloc@me.sp.br oyce@me.sp.br Iso de Pesqsas Eergécas e Ncleares IPEN-CNEN/SP Av. Proessor Le Preses º - Baã 558- São Palo SP rodrr@pe.br romoo@pe.br ABSTRACT Te mplemeao o sable ad ece mercal meods or solvg problems volvg clear rasmao ad radoacve decay cas s e ma scope o s wor. Te pyscal processes assocaed w rradaos o samples parcle acceleraors or e brg spe clear el reacors or smply e aral decay cas ca be represeed by a se o rs order ordary dereal eqaos w cosa coeces or sace e decay radoacve cosas o eac clde e ca. Baema proposed a aalycal solo or a parclar case o a lear ca w cldes decayg seres ad w dere decay cosas. For more comple ad realsc applcaos e cosrco o aalycal solos s o vable ad e rodco o mercal ecqes s mperave. However depedg o e magdes o e decay radoacve cosas e mar o coeces cold be almos sglar geerag sable ad ocoverge mercal solos. I s wor dere mercal sraeges or solvg sysems o dereal eqaos were mplemeed e Rge-Ka - Adams Predcor-Correor PC ad e Rosebroc algorm s las oe more specc or s eqaos. Cossecy covergece ad sably o e mercal solos are sded ad e perormace o e meods s aalyzed or e case o e aral decay ca o Uram-5 comparg mercal w aalycal solos.. INTRODUÇÃO Os processos íscos evolvedo a rasmação de radoclídeos drae a rradação de amosras em aceleradores de paríclas a qema de elemeos combsíves em reaores cleares o as séres de decameo aral podem ser represeados por modelos maemácos qe descrevem a cadea de decameos radoavos e rasormações cleares. Mesmo cosderado qe para algmas cadeas como por eemplo as leares é possível deermar a solção aalíca solções mércas possblam com maor acldade adapações em ases de dados o modelagem. O desao é orecer reslados mércos para esse po de problema qe é em geral qase sglar. Porao ese rabalo em como escopo a mplemeação e a avalação de méodos mércos para a solção dessa classe de problemas evolvedo o decameo e a rasmação clear. Os eses serão eecados lzado precsão pré-ada e

2 cosderado ma pare da sére de decameo aral do Urâo-5 composa pelos see prmeros elemeos da sére coorme apreseado a Fg.. Fgra. Sére de Decameo Naral do Urâo-5 []. O rabalo apresea a seção a modelagem maemáca a solção aalíca e os méodos mércos mplemeados. Na seção são ebdos os reslados das solções mércas e a comparação com a solção aalíca permdo assm a avalação do erro absolo das solções apromadas. Na seção coclsão e rabalos ros.. MODELAGEM MATEMÁTICA E MÉTODOS NUMÉRICOS A modelagem maemáca do problema do decameo radoavo é dada pelas eqações de Baema m ssema de Eqações Derecas Ordáras EDO s de prmera ordem com coecees cosaes qe represeam as cosaes de decameo radoavo de cada clídeo presee a cadea []. As cosaes de decameo... 7 são calcladas em ção das meas vdas T apreseadas a Fg. da sege orma: l. T Cosderado a grade varação das meas vdas dos elemeos evolvdos essa cadea qe varam de 8 mos aé 7.8. aos de-se o da como dade padrão. O ssema de eqações derecas de prmera ordem é: IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.

3 X' A X ode as compoees do veor X represeam os radoclídeos e a marz A é dada por: A A Tabela deca cada radoclídeo e mosra os valores correspodees às cosaes de decameo. Tabela. Cosaes de Decameo do Problema Proposo [] Elemeo Varável Cosae de Decameo da - 5 U 7 T Pa Ac T Fr Ra A solção aalíca e as apromações mércas oram cosrídas cosderado qe o sae cal ese somee ma dade de 5 U e qe o veáro dos demas elemeos da sére é lo... Solção Aalíca Baema propôs ma solção aalíca para o caso de m ssema lear o qal cada elemeo da sére deca para oro úco elemeo []. Para cadeas ode ese a probabldade de decameos múlplos ada é possível lzar a solção de Baema IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.

4 realzado o desdobrameo e acompaado cada decameo. Desa orma dvd-se a sére do Urâo-5 em das cadeas leares ma coedo o 7 T e ora coedo o Fr para ober-se a solção aalíca da sére complea. Cosderado ma cadea lear com elemeos... cas cosaes de decameo são respecvamee... e assmdo-se qe o sae cal ese apeas ma qadade do prmero elemeo a solção proposa por Baema é da orma: e. e e. p p e p.. Para cadeas mas compleas ma solção aalíca do ssema de eqações derecas ora-se vável e a lzação de méodos mércos é ecessára. No eao qado os elemeos da marz A possem ordes de gradeza mo derees a marz é qase sglar e sabldades as solções mércas são geradas. Ese é o caso do Urâo-5 5 para o qal o valor do deermae de A é 9. Dessa orma é ecessára a mplemeação de méodos mércos esáves e ecees desevolvdos para a resolção de ssemas rígdos... Solção Nmérca A dereça dscrepae esee com relação às meas vdas dos derees elemeos da cadea radoava ora-se ma dcldade eree à bsca de ma solção mérca. No caso do problema proposo eqao a cosae de decameo do 5 U é da ordem de - a do Fr é da ordem de. Essa grade dereça ere as ordes de gradeza se radz em ma marz dos coecees A qase sglar. c Um problema é cosderado rígdo qado sa solção eaa em a orma e ode c é ma cosae posva grade como é o caso do problema proposo []. A resolção mérca de ssemas rígdos mpõe dcldades aos algormos dos méodos eplícos pos para maer a esabldade do méodo são ecessáros passos de egração mo peqeos e coseqeemee smlações mo leas. Isso ocorre mesmo para méodos eplícos qe possem ala ordem de covergêca e esabldade como o méodo de Rge-Ka - e méodos do po predor-correor como o méodo Predor-Correor de Adams PC o qe pode compromeer a ecáca do méodo. Uma maera de coorar as dcldades ecoradas é a mplemeação de méodos mplícos como os méodos de Rosebroc [56]. IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.

5 IRPA Ro de Jaero RJ Brazl. O méodo de Rge-Ka - é m méodo eplíco de passo úco obdo pelo rcameo da sére de Taylor a qara ordem [] sedo escro coorme a Eq ode: O méodo Predor-Correor de Adams PC o escoldo por lzar m méodo eplíco mlpasso de Adams-Basor de qara ordem como predor e m méodo mplíco mlpasso de Adams-Molo de qara ordem como correor [] os qas são descros pela Eq. 6 e pela Eq. 7 respecvamee com e deermados aerormee por meo de oro méodo com e deermados aerormee por meo de oro méodo. Nese caso o lzado o méodo eplíco de passo úco Rge-Ka - para o cálclo das apromações cas. Coecdos a lerara como méodos de Rge-Ka learmee mplícos os méodos de Rosebroc srgram como ma alerava para resolver eqações mplícas qe geralmee eram resolvdas por processos eravos. Eses méodos são baseados a learzação de méodos de Rge-Ka mplícos sbsdo a resolção de ssemas ão leares pela resolção de ma seqêca de ssemas leares. Os méodos de Rosebroc são recomedados para eqações rígdas [6].

6 IRPA Ro de Jaero RJ Brazl. Coorme Harer e Waer [6] m méodo Rosebroc de s-eságos é dedo pela Eq. 8. s b 8 ode: J com J ' a marz Jacobaa sedo s e os coecees b deermados de orma a ober-se a ordem deseada de cossêca e esabldade para os ssemas rígdos. Aravés de ma mdaça de varáves os gasos compacoas dos méodos de Rosebroc são redzdos e sa mplemeação é aclada. O méodo de Rosebroc de ercera ordem e -eságos qe o mplemeado para ese rabalo é descro pela Eq ode e são solções dos seges ssemas leares: J I 9. J I 9. J I 9. 8 J I. 9. Usalmee o méodo de Rosebroc é mplemeado com passo de egração adapavo. Ereao esa mplemeação o lzado passo o para permr a comparação ere os méodos.

7 .. Esmava do Passo de Iegração Uma parclardade dese problema é qe a solção aalíca é coecda e porao é possível calclar o erro absolo de cada solção apromada a cada passo de egração. Ereao como o coecmeo da solção eaa ão é o mas sal o passo de egração cal será deermado por m processo qe depede da solção eaa. O passo de egração o esmado aravés da delmação do erro de dscrezação global do méodo de Eler para resolção mérca de EDO s. A smplcdade algébrca do méodo de Eler qe é descro pela Eq. perme aclmee ecorar ma esmava para o passo de egração qe garae qe a solção apromada esea dero de m lme de erro pré-ado.. Por ser o Eler m méodo eplíco de prmera ordem o passo de egração qe garae a esabldade e a covergêca da solção para ese méodo garae ambém para méodos de ordes sperores. Cosderado m problema do po ' ode é sceemee grade em módlo e egavo sabe-se qe a solção eaa é da orma e e qe ela deca para zero com o passar do empo. Porém a solção mérca calclada por meo do méodo de Eler pode ser reescra de acordo com a Eq. dode se cocl qe a solção mérca ambém deca para zero coorme as apromações scessvas somee se a Eq. or sasea... Segdo Soer e Blrs [7] al comporameo se esede para ssemas leares de EDO s os qas os aovalores da marz dos coecees A assmem valores sceemee grades em módlo e egavos como é o caso do problema proposo como eemplo ese rabalo. Desa orma realzado as adapações ecessáras e cosderado qe o aovalor 6 é o qe assme o maor valor em módlo dere odos sege qe o valor do passo de egração para qe o méodo de Eler sea esável deve sasazer a Eq IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.

8 Para garar a covergêca do méodo de Eler dero de ma precsão cal deseada é lzado o erro absolo e comedo pelo própro méodo o empo al coorme a Eq.. e I A e L ode e é a solção eaa do problema é a solção apromada calclada por meo do méodo de Eler I é a marz dedade de ordem 7 A é a marz dos coecees do problema e L é ma coa speror para o erro de rcameo do méodo de Eler sasazedo a Eq. 5. L ma '' : [ ]. 5 Valedo-se de algmas propredades parclares do problema proposo realzado algmas mamzações e sbsções adeqadas e cosderado qe o passo de egração sasaz a Eq. cocl-se qe o valor do passo de egração para o qal o erro absolo comedo pelo méodo de Eler o empo al é eror a ma precsão dada deve sasazer a Eq. 6. A 6 sedo A 99. Dessa orma cosderado a precsão ε= - e o empo al da o passo de egração qe garae a covergêca do méodo de Eler deve ser da ordem de -7 6 eqao qe para das a ordem do passo de egração é de -. A delmação do passo de egração sezada a Eq. 6 pode ser geeralzada para qalqer problema de decameo o qal a qadade cal dos elemeos da cadea é coecda e a marz dos coecees A é cosae o sea qado ão ese erada adcoal o veáro dos elemeos drae o processo de decameo.. RESULTADOS Os méodos mércos aerormee descros oram mplemeados em Forra 9 e os algormos oram eecados em ma máqa com processador Iel Core 5 e Wdows 7 6-b. A ordem de covergêca dos méodos mplemeados é speror à ordem de covergêca do méodo de Eler á qe os méodos de Rge-Ka - e Predor-Correor de Adams são de qara ordem o méodo de Rosebroc é de ercera ordem e o méodo de Eler é de prmera ordem. As mamzações o cálclo do passo de egração qe garae a IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.

9 esabldade e a covergêca do méodo de Eler permem escoler o passo de egração maor do qe o esmado a seção de modo qe a esabldade e a covergêca ada seam garadas para os demas méodos dese rabalo. O valor lzado para o passo de egração o =5 da qe sasaz a codção de esabldade mposa pela Eq. e correspode a 7 mos sedo eror à mea vda do Fr elemeo da sére qe deca mas rapdamee em ção de apresear a meor das meas vdas 8 mos. Os méodos oram avalados para m empo al de 6 das cosderado como codção cal o veor. Coorme o esperado em ção da ordem de covergêca dos algormos as apromações da solção por eles realzadas covergram para a solção eaa e coseqeemee caram mo prómas mas das oras. Assm os erros comedos são da mesma ordem de gradeza em cada ma das varáves do problema. A Tabela apresea a solção aalíca e a solção apromada para o problema proposo calclada por meo do méodo de Rosebroc após erem sdo percorrdos 6 das a parr do sae cal. O erro absolo comedo em cada varável pelo méodo de Rosebroc o al dos 6 das ambém é apreseado a Tabela. Tabela. Reslados para 6 das com o méodo de Rosebroc e =5 da Elemeo Solção Aalíca Rosebroc Erro Absolo 5 U E E- E-8 T E- 9667E- 7E-5 Pa E E-6 7E-9 7 Ac E-9 798E-9 E- 7 T 575E E- 5E- Fr 556E E-7 E-5 Ra 55775E- 85E- E- O gráco da solção apromada obda pelo méodo de Rosebroc com passo de egração =5 da é apreseado a Fg.. A Tabela mosra os erros absolos comedos pelo méodo de Rosebroc em ção da solção aalíca para derees ervalos de empo. O erro absolo represea a avalação do erro global da solção apromada e como esperado amea com o decorrer do empo. O maor erro comedo para ese problema é da ordem de -8 reeree ao veáro de 5 U. Porém ese erro ada sasaz a precsão ε= - deseada mesmo com o valor do passo de egração speror ao esmado. IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.

10 Fgra. Crvas do veáro de cada elemeo da sére de decameo aral do Urâo-5 drae 6 das calcladas pelo méodo de Rosebroc com =5 da. Tabela. Erros absolos comedos pelo méodo de Rosebroc com =5 da Elemeo da das das das das 5 das 6 das 5 U E- E- E- E- E- E-9 E-8 T E-5 7E-5 7E-5 7E-5 7E-5 7E-5 7E-5 Pa 6E-6 5E- 7E- 7E- 7E- 7E- 7E-9 7 Ac 86E- 7E- 9E-9 9E-7 9E-5 E- E- 7 T E-7 88E-5 6E- E- 9E-7 E-5 5E- Fr 7E- 5E-9 E-6 56E- 8E- 6E-7 E-5 Ra 6E-7 7E-6 5E- E- 6E-7 E- E- IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.

11 . CONCLUSÕES A sére de decameo aral do Urâo-5 pode ser modelada pelas eqações de Baema qe possem para ese caso especíco solção aalíca. Porém em algs casos ão é rval o cálclo da solção eaa e az-se ecessáro o so de abordages mércas. Dessa orma os méodos mércos de Rge-Ka - Predor-Correor de Adams PC e de Rosebroc oram avalados. O passo de egração lzado o esmado em ção do erro de dscrezação global do méodo de Eler de modo qe a esabldade e a covergêca ossem garadas. Os erros absolos oram da ordem de -8 o meores e as crvas do veáro de cada elemeo da sére oram cossees com o decameo aral do Urâo- 5 o período aalsado. Os maores erros das solções mércas resdem além da escola do méodo mérco adeqado os dados de erada e a própra modelagem do problema. Erros os dados de erada se propagam de orma sgcava em ssemas rígdos. A varação do passo de egração dos méodos mércos é adeqada para ese po de problema em ção da dereça da ordem de gradeza das meas vdas dos elemeos. Uma das vaages esees o so do passo adapavo é a velocdade com a qal a solção apromada é ecorada. Em rabalos ros esses aspecos serão abordados lzado cadeas mas compleas vsado aplcações em problemas prácos a área de reeos radoavos e meo ambee. AGRADECIMENTOS Ao Coselo Nacoal de Desevolvmeo Ceíco e Tecológco CNPq pelo aílo acero. REFERÊNCIAS. G. F. Tomas D. H. Barber Sess radoacve decay cas A. Ncl. Eergy 5 pp J. Cear Geeral solo o Baema eqaos or clear rasmaos A. Ncl. Eergy pp H. Baema Te Solo o a sysem o dereal eqaos occrrg e eory o rado-acve rasormaos Proc. Cambrdge Plos. Soc. 5 pp R. L. Brde J. D. Fares Nmercal Aalyss Tomso Broos/Cole Belmo & USA J. D. Lamber Nmercal meods or ordary dereal sysems: e al vale problem Jo Wley & Sos New Yor & USA E. Harer G. Waer Solvg Ordary Dereal Eqaos II S ad Dereal- Algebrac Problems Sprger Berl & Germay J. Soer R. Blrs Irodco o mercal aalyss Sprger-Verlag New Yor & USA 996. IRPA Ro de Jaero RJ Brazl.