UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

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1 UNIVERSIDADE ESADUAL PAULISA Uesp FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLEIRA DEPARAMENO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ÉCNICA DE IDENIFICAÇÃO DE PARÂMEROS NO DOMÍNIO DO EMPO UILIZANDO FUNÇÕES OROGONAIS Kaa Aoa Cardoso dos Saos Dsseração apreseada à Faculdade de Egehara de Ilha Solera da Uversdade Esadual Paulsa Júlo de Mesqua Flho, como pare dos requsos para obeção do íulo de Mesre em Egehara Mecâca Oreador: Pro Dr Glbero Pechoo de Melo Ilha Solera, Juho de 4

2 ÉCNICA DE IDENIFICAÇÃO DE PARÂMEROS NO DOMÍNIO DO EMPO UILIZANDO FUNÇÕES OROGONAIS Kaa Aoa Cardoso dos Saos Esa dsseração o julgada adequada para obeção do íulo de MESRE EM ENGENHARIA MECÂNICA a área de coceração MECÂNICA DOS SÓLIDOS e aprovada em sua orma al pelo Programa de Pós-graduação em Egehara Mecâca Pro Dr Glbero Pechoo de Melo - Coordeador COMISSÃO EXAMINADORA: Pro Dr Glbero Pechoo de Melo - Oreador Pro Dr Cleudmar Amaral de Araújo Pro Dr Vcee Lopes Jr

3 3 DEDICAÓRIA A Deus, aos meus pas José do Socorro Cardoso dos Saos e Emíla Cardoso de Araújo, e aos meus rmãos Breo Cardoso dos Saos, Rogéro Cardoso dos Saos, Kleber Alexo dos Saos e Aôo Cardoso dos Saos Neo memoram

4 4 AGRADECIMENOS Ao meu oreador Pro Dr Glbero Pechoo de Melo, excelee prossoal, que me deu odo apoo, cevo, esameos presados durae a realzação dese rabalho e pela amzade Ao Pro Dr Amarldo aboe, pelas déas cosruvas A amga de aas joradas, Sadra Aparecda Hpólo; pelo covívo Em especal a obas Souza Moras, pela ajuda a coclusão dese rabalho A Vlademr de Jesus Slva Olvera, pelo grade apoo e cevo Aos éccos e secreáras do deparameo de egehara mecâca DEM/FEIS e PPGEM em especal Alex Sader Borges, Adelade Amaral dos Saos Passper, Carlos José Saaa, Elas Amaral dos Saos, Elae Nascmeo Ferrera, Mara Fáma Sabo e Olda Naves de Olvera Akasak, pelo apoo Aos colegas de pós-graduação, que parcparam dreamee e dreamee, a sução UNESP/FEIS e ao programa de pós-graduação em egehara mecâca PPGEM À CAPES, pelo apoo acero

5 5 Há momeos a vda em que semos ao a ala de alguém que o que mas queremos é rar esa pessoa de ossos sohos e abraçá-la Sohe com aqulo que você quser Seja o que você quer ser, porque você possu apeas uma vda e ela só se em uma chace de azer aqulo que se quer eha elcdade basae para azê-la doce Dculdades para azê-la ore rseza para azê-la humaa E esperaça sucee para azê-la elz Clarce Lspecor Há momeos a vda

6 6 RESUMO SANOS, K A C écca de decação de parâmeros o domío do empo ulzado uções orogoas, Ilha Solera, 4 9p Dsseração Mesrado em egehara Mecâca Mecâca dos Sóldos Faculdade de Egehara, Uversdade Esadual Paulsa Nas éccas de decação de parâmeros, procuram-se deermar os valores descohecdos pela mapulação dos sas de erada e saída do ssema O raameo e aálse de sas são relavamee recees a egehara, sedo que seu desevolvmeo deu-se juamee com o dos sesores e codcoadores de sas e mas receemee, com os ssemas auomácos de aqusção de dados Város méodos êm sdo proposos para resolver problemas de decação, embora ehum deles possa ser cosderado como sedo uversalmee adequado a odas as suações Cohecedo-se os parâmeros dos ssemas, pode-se acompahar aravés de moorameo e éccas de decação, a evolução de possíves alhas devdo à varação deses parâmeros Os processos de decação, a parr de uções orogoas, começam com a cosrução de uma marz operacoal, o que perme, aravés de egrações a coversão de um cojuo de equações derecas em um cojuo de equações algébrcas e cosequeemee a obeção dos parâmeros descohecdos Nese rabalho, apreseam-se as éccas de Idecação de Parâmeros ulzado as uções orogoas de Fourer e polomas de Legedre e Chebyshev Palavras-chave: Polômos Orogoas, Idecação de Parâmeros, Domío do empo

7 7 ABSRAC SANOS, K A C Parameer decao echque he me doma usg ucos orhogoal, Ilha Solera, 4 9p Maser s hess Mesrado em egehara Mecâca Mecâca dos Sóldos Faculdade de Egehara, Uversdade Esadual Paulsa I he parameer decao echques, s mpora o deerme he ukow values he mapulao o pu ad oupu sgal o he sysem he reame ad aalyss o sgals are relavely rece he egeerg, ad s developme ook place wh he sesors ad he sgal codog ad recely, wh he auomac daa acquso sysems Varous mehods have bee proposed o solve decao problems, alhough ay o hem ca be regarded uversally adequae o all he suaos I he parameers o he sysems, s kow ca be accompaed, hrough moorg ad decao echques, he evoluo o possble aul due o he varao o he parameers he decao process, rom hese ypes o ucos, sar wh he cosruco o a operaoal marx or he egrao o orhogoal bases vecors, whch allow he coverso o a dereal equao se o a algebrac equao se, obag he ukow parameers I hs work, he parameer decao echques used, he orhogoal ucos o Fourer ad polyomal o Legedre ad Chebyshev, s preseed Keywords: Orhogoal polyomals, Parameer decao, me-doma

8 8 SUMÁRIO LISA DE ABELAS x LISA DE FIGURAS x LISA DE SÍMBOLOS xv INRODUÇÃO 6 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ESUDADA8 FUNDAMENOS DO MÉODO - FUNÇÕES OROGONAIS - Séres de Fourer 4 - Polômos de Legedre Polômos de Jacob3 4 - Polômos de Chebyshev Fuções Block-Pulse Fuções Walsh4 3 IDENIFICAÇÃO DE SISEMAS MECÂNICOS POR MEIO DE FUNÇÕES OROGONAIS SISEMA LIVRE FORMULAÇÃO USANDO O DESLOCAMENO SISEMA LIVRE FORMULAÇÃO USANDO A VELOCIDADE SISEMA LIVRE FORMULAÇÃO USANDO A ACELERAÇÃO SISEMA FORÇADO FORMULAÇÃO USANDO O DESLOCAMENO SISEMA FORÇADO FORMULAÇÃO USANDO A VELOCIDADE SISEMA FORÇADO FORMULAÇÃO USANDO A ACELERAÇÃO PROGRAMA COMPUACIONAL57 4 SIMULAÇÃO COMPUACIONAL SISEMA MECÂNICO DE GDL GRAUS DE LIBERDADE6 4 - Méodos das Séres de Fourer6 4 - Méodo de Legedre Méodo de Chebyshev SISEMA MECÂNICO DE 3 GDL GRAUS DE LIBERDADE Méodo de Fourer7 4 - Méodo de Legedre Méodo de Chebyshev78

9 SISEMA MECÂNICO COM ADIÇÃO DE RUÍDO ALEAÓRIO AO SINAL DE ENRADA IDENIFICAÇÃO DE FALHA IDENIFICAÇÃO DE PARÂMEROS APLICADO A UMA VIGA85 5 RESULADOS EXPERIMENAIS MAERIAIS UILIZADOS Equpameos Ulzados9 5 - SISEMA PARA AQUISIÇÃO DE DADOS MODELO MAEMÁICO DO SISEMA MECÂNICO DEERMINAÇÃO DOS PARÂMEROS FÍSICOS DO SISEMA MECÂNICO Mesa Ieror9 54- Mesa Iermedára Mesa Superor ANÁLISE DO SISEMA COMPLEO COM 3 GDL GRAUS DE LIBERDADE99 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 3 7 REFERÊNCIAS 5 ANEXO A9 ANEXO B 7

10 LISA DE ABELAS abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema lvre r 6 abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema lvre r 64 abela 43 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema excado harmocamee r 65 abela 44 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema lvre r 5 68 abela 45 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema lvre r 68 abela 46 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema lvre r 5 69 abela 47 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema lvre r 7 abela 48 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema lvre r 7 abela 49 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema lvre r 7 abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema excado harmocamee r 74 abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema excado harmocamee r 5 76 abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema excado harmocamee r 3 77

11 abela 43 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema excado harmocamee r 5 78 abela 44 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema excado harmocamee r abela 45 Valores obdos a parr da resposa sem ruído r 8 abela 46 Valores obdos a parr da resposa com ruído r 83 abela 47 Resulados da Idecação dos Parâmeros com Falha em K r 85 abela 48 Parâmeros modas decados para a vga r 87 abela 5 Resulados Expermeas da Idecação dos Parâmeros r

12 LISA DE FIGURAS Fgura Polômos de Legedre 9 Fgura Polômos de Jacob 3 Fgura 3 Polômos de Chebyshev 36 Fgura 4 Cojuo de uções de Block-Pulse 39 Fgura 5 Fuções de Rademacher 4 Fgura 6 Fuções de Walsh 4 Fgura 3 Fluxograma geral 59 Fgura 4 Ssema de graus de lberdade 6 Fgura 4 Gráco de deslocameo em ução do empo para um ssema lvre de graus de lberdade 63 Fgura 43 Gráco de deslocameo em ução do empo para um ssema de graus de lberdade excado harmocamee 66 Fgura 44 Gráco de deslocameo em ução do empo para um ssema lvre de graus de lberdade 67 Fgura 45 Ssema de 3 graus de lberdade 7 Fgura 46 Sal obdo de um ssema de 3 graus de lberdade lvre 73 Fgura 47 Gráco de deslocameo em ução do empo para um ssema de 3 graus de lberdade excado harmocamee 75 Fgura 48 Ssema mecâco com 4 graus de lberdade 8 Fgura 49 Resposa do sal sem ruído 8

13 3 Fgura 4 Resposa do sal com ruído 8 Fgura 4 Gráco do erro relavo ecorado o parâmero W em ução do úmero de ermos de expasão 83 Fgura 4 Resposa do ssema com e sem alha 84 Fgura 43 Elemeo de vga 85 Fgura 5 Ssema mecâco ulzado para a aálse expermeal 89 Fgura 5 Fluxograma de comados apreseado a orma de dagramas de blocos o Soware ulzado para a obeção dos parâmeros do ssema 9 Fgura 53 Modelo maemáco para o ssema mecâco ulzado 9 Fgura 54 Mesa vbraóra eror Mesa m 93 Fgura 55 Resulados obdos pelo Soware DASYLab 94 Fgura 56 Obeção de rgdez e amorecmeo equvalees da mesa m, esado a mesa m xada em uma placa supore de erro uddo, presa à bacada 95 Fgura 57 Resposa amorecda da mesa m a uma erada mpulsva qualquer 96 Fgura 58 Freqüêca amorecda da mesa m 96 Fgura 59 Obeção de rgdez e amorecmeo equvalees da mesa m 3, esado a mesa m e a mesa m xada em uma placa supore de erro uddo, presa à bacada 97 Fgura 5 Resposa amorecda da mesa m 3 a uma erada mpulsva qualquer 98 Fgura 5 Freqüêca amorecda da mesa m 3 98 Fgura 5 Fluxograma de comados apreseado a orma de dagramas de blocos, ulzado quaro caas para aqusção dos sas de deslocameo e orça Fgura 53 Sas meddos a esruura

14 4 LISA DE SÍMBOLOS [A] Marz Dâmca do Ssema [K] Marz de Rgdez [M] Marz de Massa [P] Marz Operacoal de Iegração [C] Marz de Amorecmeo { e ~ } Veor para smplcação a orma de apreseação da marz operacoal de egração [ ~ I ] Marz para smplcação a orma de apreseação da marz operacoal de egração {} Veor das orças de excação {ϕ} Cojuo de uções orogoas ou a base veoral de Fourer {φ} Cojuo de uções oroormas {L} Base veoral de Legedre

15 5 {J} Base veoral de Jacob {} Base veoral de Chebyshev {ψ} Base veoral de Block-Pulse {w} Base veoral de Walsh ω Freqüêca de Excação ω Freqüêca Naural ω a ξ Freqüêca Amorecda Faor de amorecmeo σ Varável qualquer x ẋ Deslocameo [m] Velocdade [m/s] ẋ Aceleração [m/s ] a, a e b c ; c e d ρ Coecees da sére de Fourer Coecees de egração Desdade do maeral E Módulo de elascdade

16 6 I S L N NP Momeo de érca Área da secção rasversal Comprmeo do elemeo Número de graus de lberdade Número de poos amosrados r ermos de expasão Período de amosragem P α,β Polômo de Jacob de grau e ordem α,β

17 6 CAPÍULO INRODUÇÃO Um dos aores de eresse das dúsras o desevolvmeo de ovas éccas de deecção e localzação de alhas é a preocupação com a seguraça de seus ssemas, havedo a ecessdade de supervsão e moorameo para que as alhas sejam saadas o mas rápdo possível O desevolvmeo de ovas éccas de deecção e localzação de alhas em ssemas mecâcos submedos a carregameos dâmcos em evoluído muo os úlmos aos em ução da ecessdade cada vez maor das dúsras em maer os equpameos em ucoameo sem paradas abrupas A cêca em dedcado especal aeção os úlmos aos à cosrução de modelos maemácos capazes de represear o comporameo dâmco dos mas varados pos de ssemas Paralelamee, cosaa-se o grade eresse ceíco que em desperado a obeção de dados assocados aos eômeos em observação, que sejam capazes de levar a um maor cohecmeo dos própros eômeos, permdo a decação de caraceríscas que os represeem coveeemee dero dos modelos esabelecdos D azzo e Houps, 988 Parcularmee, o caso dos ssemas mecâcos vbraóros, em-se que descrever maemacamee seus comporameos dâmcos, pardo de modelos íscos preesabelecdos Desa orma, escrevem-se as chamadas equações do movmeo, com base as les báscas que regem os eômeos evolvdos As aálses dâmcas, eas em seguda, depedem da egração de as equações, o que podem ser eas ao por méodos aalícos como umércos

18 7 Assm, passa-se a cohecer a resposa do ssema a derees pos de excações, sedo possível, daqulo que se apredeu a aálse, elaborar recomedações de projeo, roduzdo-se dero da egehara propramee da Emre E Slverma, 98 e Frak, 99 Ereao, comumee, as equações derecas represeavas dos ssemas dâmcos, algus parâmeros são descohecdos, geralmee pela mpossbldade ou vabldade de obeção de seus valores aravés de meddas dreas das gradezas íscas que eles represeam dero do modelo Dg e al,994 É dero do coexo acma que se recorrem a éccas de decação de parâmeros Chow e Wllsky, 984, Cooper E Desorges, 996, Gerler, 988 e Melo, 998, as quas se procuram deermar os valores descohecdos, pela mapulação dos sas de excação, de resposa e das varáves de esado do ssema Nos úlmos aos, êm-se desevolvdo város méodos para a decação de parâmeros de ssemas dâmcos ulzado uções orogoas redalova e al,, embora ehum deles possa ser cosderado uversalmee adequado a odas as suações Rco e Heyd, Os processos de decação a parr deses pos de uções começam com a cosrução de uma marz operacoal para a egração de veores de bases orogoas, o que perme a coversão de um cojuo de equações derecas em um cojuo de equações algébrcas, que é eão resolvdo para se ober os parâmeros descohecdos Desa orma, apresea-se uma meodologa ucada para aplcação de város pos de uções orogoas a decação de ssemas mecâcos de város graus de lberdade O uso de uções orogoas reduz o problema da aálse de sesbldade do veor de esado, à solução de um ssema de equações algébrcas leares Ese procedmeo requer a versão de marzes que podem ser de ordem elevada ou possur mal codcoameo umérco Váras uções são ulzadas para a decação de parâmeros de ssemas mecâcos assm, serão apreseadas as uções de Walsh, Block-Pulse, Fourer e polomas de Chebyshev, Jacob e Legedre Che e Pao, 996, Che e Hsao, 975, Che e al, 977 e Chow e Wllsky, 984 Nese rabalho oram mplemeadas éccas de decação ulzado uções de Fourer, Legedre e Chebyshev

19 8 - Revsão Bblográca Esudada Será apreseada uma revsão bblográca, ode pode-se observar a ulzação de uções orogoas para resolver problemas de dâmca de ssemas mecâcos, mosrado ser uma erramea ecee muo ulzada Ibrahm, S R e Mkulck, E C, 973: É apreseada uma écca usado a resposa lvre do ssema para esabelecer um modelo maemáco que proporcoe a deermação dos parâmeros do ssema Smulações comprovam que a écca desevolvda à parr de ssemas com os parâmeros cocerados ou dsrbuídos, ao a preseça de reqüêcas auras próxmas quao com grades amorecmeos, apresea bos resulados Paraskevopoulos, P N, Spars, P D e Mourousos, S G, 985: É apreseada uma expressão geral, a qual é aáloga às ouras expressões desevolvdas prevamee para ouros pos de uções orogoas, como as uções de Walsh, Block-pulse, Laguerre, Legedre e Chebyshev Ese rabalho se desa mas especcamee à resolução do problema de egração das séres de Fourer Os auores desevolvem uma marz, deomada Marz Operacoal de Iegração, que pode ser ulzada em casos de decação de orças de excação bem como a esmação de parâmeros Devdo as propredades egras das uções seo e co-seo, a meodologa usada apresea melhores resulados para as séres de Fourer que para ouros pos de uções orogoas Chag, R-Y e Wag, M-L, 985: Uma equação lear é resolvda e pode ser chamada de Méodo dos Polômos de Legedre O méodo é proposo para o problema de esmação dos parâmeros do ssema A resposa do ssema é parcoada em város ervalos ode cada segmeo é represeado por uma sére de polômos de Legedre Um algormo é proposo para a resolução do ssema de equações que coém os coecees polomas de Legedre Um úmero pequeo de coecees, resulaes da expasão polomal, é sucee para alcaçar resulados acurados, obedo assm um gaho compuacoal

20 9 Frze, C-P, 986: Um procedmeo para o cálculo das marzes de érca, amorecmeo e rgdez de ssemas mecâcos é apreseado a parr dos dados de erada e saída do ssema São esmados, como exemplo, os parâmeros íscos de um ssema vbraóro com preseça de ruídos O méodo apresea meos sesbldade a ruídos que algus ouros méodos cohecdos Chug, H-Y, 987: Nese rabalho é apreseado um méodo de esmação de parâmeros baseado uma aproxmação que resolve a egração das séres de Fourer O algormo de resolução é smlar a ouros ulzados para o mesmo problema em uções orogoas Desde que a maora dos elemeos da Marz Operacoal de Iegração sejam ulos, há um gaho compuacoal cosderável Além dsso, o méodo apreseado é mas smples que ouros cohecdos Frak, P M e Selger, R, 99: É apreseada uma aproxmação por redudâca de modelos baseados a deecção e solameo de alhas em processos dâmcos O rabalho ambém rsa os deeos que podem levar a alsos alarmes, como alhas os auadores e/ou em compoees da plaa dâmca e/ou em sesores, erros ere o ssema real e o modelo maemáco ou perurbações as meddas Melo, G P, 99: Apresea um méodo para a decação de parâmeros em ssemas mecâcos com város graus de lberdade operado o domío do empo O méodo basea-se a expasão das uções de excação e de resposa do ssema em ermos de séres de Fourer e a rasormação das equações derecas do movmeo em equações algébrcas por meo de egrações sucessvas, usado a Marz Operacoal de Iegração Ca a possbldade de decação de orças de excação peródcas aravés do cohecmeo dos parâmeros do ssema e da expasão das resposas Realza smulações compuacoas e um expermeo para a comprovação das eoras Melo, G P e See Jr V, 993: Aplcado um méodo para decação de ssemas mecâcos com város graus de lberdade operado o domío do empo, baseado-se a expasão das uções de excação e de resposa do ssema em ermos de seres de Fourer e a rasormação das equações derecas do movmeo em equações algébrcas aravés de egrações sucessvas e da ulzação de uma marz operacoal para egração das uções que ormam aquelas séres O

21 méodo pode ser resumdo em rês eapas udameas: a prmera é a expasão da excação e da resposa em séres de Fourer; a seguda é a egração das equações de movmeo e emprego de uma marz operacoal para egração das séres de Fourer; e a ercera é a esmava dos parâmeros pelo méodo dos mímos quadrados Wag, D e Fellow, A H, 994: Os auores apreseam um procedmeo para a esmação de parâmeros baseado um ssema de elemeos os o domío do empo Para so, o méodo ão requer o cohecmeo das eradas do ssema, assm, as eradas podem ser de qualquer aureza Foram cosderados rês exemplos ode se dscue ambém a preseça de ruídos Slva, L A, : Eoca rês méodos para a decação das orças de excação em ssemas dâmcos, o Méodo das Coordeadas Modas, que ulza um cojuo de auo-soluções reqüêcas auras, massas geeralzadas e auoveores; o Méodo Baseado a Decovolução o Domío do empo, que é cosuído por um cojuo de resposas ao mpulso; e o Méodo Baseado o Modelo Esruural Iverso, que a parr das equações de esado ercamba veores de erada e saída Pacheco RP, : raa do esudo de méodos do domío do empo que ulzam uções orogoas, aplcados à decação e aálse de sesbldade de ssemas mecâcos Desevolvese uma meodologa ucada baseada a propredade de egração que as uções possuem, a qual perme rasormar as equações derecas em um ssema de equações algébrcas A solução dese ssema perme decar parâmeros modas ou esruuras, orças de excação e codções cas de deslocameo e velocdade, depededo do desejado Pacheco RP e See Jr V, 3: É apreseado uma meodologa para decar parâmeros íscos de ssemas ão leares por uções orogoas Esas uções são aclmee egradas usado uma marz operacoal de egração Cosequeemee so possbla a rasormação da equação derecal ão lear de movmeo em equação algébrca Depos da mapulação maemáca os parâmeros descohecdos leares e ão leares são deermados

22 Ese rabalho eve uma luêca do rabalho de Melo,99 e Pacheco,, ode se esudou as uções orogoas e dado uma especal aeção para as uções de Legedre e Chebyshev a ulzação desas uções para decação de parâmeros de dversos ssemas mecâcos excado sobre dversas maeras

23 CAPÍULO FUNDAMENOS DO MÉODO - Fuções orogoas Seja um cojuo de uções reas, k,, 3 cojuo é do orogoal ese ervalo se Spegel, 976: ϕ dedas o ervalo [ b] k a, R al b a ϕ ϕ d K m a qual m, e k são ídces ulzados para derecar as uções e K é uma cosae gual a zero se m e deree de zero se m O cojuo de uções φ é do oroormal se or válda a relação Spegel, 976: k b a φ φ d δ m m

24 3 a qual δ m, deomado dela de Kroecker, se dee como se m ou se m e φk é o cojuo de uções oroormas Se o cojuo ϕ é oroormal em relação à ução desdade ou ução peso w a k qual w, eão o cojuo de uções oroormas é obdo aravés da equação: φ k w ϕ k, k,,3, 3 e verca-se a relação: b a ϕ φ w d δ m m 4 Se uma ução é coíua ou seccoalmee coíua o ervalo [ b] pode ser expadda em séres de uções oroormas, ou seja: a,, eão c φ 5 as séres, chamadas séres oroormas, cosuem geeralzações das séres de Fourer Admdo que o somaóro a Eq 5 covrja para, pode-se mulplcar ambos os membros φ e egrá-los o ervalo [ b] por m a,, obedo-se: c φ d m b a m 6 a qual c m são os coecees geeralzados de Fourer Nese rabalho, calculam-se eses coecees resolvedo a egral dada pela Eq 6 aplcado a Regra do rapézo Horbeck, 975

25 4 Um cojuo o de uções oroormas possu a segue propredade em relação à sua egração sucessva o ervalo [,]: φ σ dσ [P] { φ } vezes 7 a qual: é o umero de vezes que a ução o egrada, { φ m } { φ φ φr } é o cojuo o da sére oroormal e [P] é uma marz quadrada de ordem r com elemeos cosaes deomada marz operacoal de egração Na verdade, se or ulzada a base veoral complea, ou seja, se a sére ão or rucada, a relação obda a Eq 7 é de gualdade Porém, a práca, so se ora vável, devdo a ordem elevada da marz [P] - Séres de Fourer A base veoral { ϕ } das séres de Fourer, o ervalo [,], é dada por Spegel, 976: { ϕ } { ϕ * * ϕ ϕ s ϕ ϕ s } ϕ * ϕ 8 a qual: π ϕ cos * π ϕ s,,, s,,s com Período Ulzado as equações aerores, pode-se ober as prmeras uções das séres de Fourer:

26 5 ϕ π ϕ cos 4π ϕ cos * π ϕ se * 4π ϕ se 9 Uma ução pode ser expadda em séres de Fourer da segue orma: * a ϕ { aϕ bϕ } Na qual os coecees de Fourer a e b são dados por: a a b d π cos d π se d,,,, Na práca, a expasão é ea rucado-se a sére com r ermos r s ; sedo s o úmero de ermos em seos e cosseos S * a ϕ { aϕ bϕ } Para a obeção da marz operacoal de egração cada ução da base veoral é egrada o ervalo [,], Paraskevopoulos e Kekkers, 984 : ϕ σ dσ dσ 3

27 6 se cos * d d d ϕ π πσ π σ πσ σ σ ϕ 4 cos se * d d d ϕ π ϕ π πσ π σ πσ σ σ ϕ 5 Aproxmado-se da Eq 3 por uma sére rucada de Fourer, resula: { } S d c c d d * ϕ ϕ ϕ σ σ σ ϕ 6 Os coecees c e d são calculados aravés das Eq, obedo-se: s,,, s,,, π d c c 7 Cosderado as Eqs 4 a 7 em-se: } ]{ [ } { P d ϕ τ τ ϕ 8 a qual:

28 7 [ ] π π π π π π π π π π π π s s s s P 9 De uma orma mas compaca: [ ] P rxr sxs sxs s sxs sxs sx s xs I e I e [] ] [ } { ] [ [] {} } { {} ~ ~ ~ ~ π π π π a qual: s 3 [I] s 3 e} { sxs ~ s ~ Ecora-se o Aexo A, a decação dos parâmeros para o ssema de grau de lberdade ulzado as uções de Fourer, ode o desevolvda mas dealhadamee esa meodologa

29 8 - Polômos de Legedre Os polômos de Legedre z,,,,, obdos a parr da equação derecal de Legedre, são orogoas o ervalo [,] Hwag e Che, 985 e Shh e Kug, 985: p z e são gerados pela órmula recursva p z zp z p z,,, 3, 3 com: z e p z z e p é um parâmero real a ser escolhdo Na Fg ecora-se os p prmeros polômos de Legedre Para o uso práco dos polômos de Legedre o ervalo de empo de eresse,, ], é ecessáro azer uma mudaça o domío de deção aravés da segue rasormação de varáves Chag e Wag, 985: [ z 4 Os polômos rasormados de Legedre p, de agora em dae deomados L, são obdos a parr da órmula recursva: L L L, 5 com L e L

30 9 Gráco dos Polômos de Legedre p p p p3 p Z Fgura Polômos de Legedre Os polômos rasormados de Legedre sasazem a segue relação de orogoaldade o ervalo, ] Chag e Wag, 985: [ L Lm d para para m m 6 Uma ução pode ser aproxmada por um úmero o de ermos de polômos rasormados de Legedre: r L 7 a qual: Ld são os coecees das séres de Legedre

31 3 A órmula dervava recursva dos polômos rasormados de Legedre é dada por: L d d L d d L 8 Cosderado-se a base veoral { } { } L L L L r e egrado-se Eq 4 de [ ],, obém-se a marz operacoal de egração dos polômos rasormados de Legedre: { } [ ]{ } L P d L τ τ 9 a qual: [ ] P r r r 3

32 3 3 - Polômos de Jacob Os polômos de Jacob podem ser represeados em ermos de uções hpergeomércas o ervalo [ ], z Chou, 987: z, F! z P, β β α β β α 3 a qual: β α e são parâmeros com, > > β α Na Fg ecora-se os prmeros polômos de Jacob k k k k k z k z F!, β λ β β α β α λ β β β β β A órmula de recorrêca para a obeção dos polômos de Jacob é dada por Horg e Chou 986: 3 [ ] - 3,,, z P z P z z P β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α a qual: [ ] β α λ β α β α z z P z P 33

33 3 A egração dos polômos de Jacob resula: z P α, β w dw λ λ λ α β P α, β λ λ λ z P α, β λ λ z α β P Γ β α, β λ! Γ β P z α, β z a qual Γ * é a ução gama 34 Gráco dos Polômos de Jacob p p p p3 p Z Fgura Polômos de Jacob Para a coveee aplcação práca dos polômos de Jacob, a varável depedee z é rasormada para a varável empo o domío, ], da segue orma: [ z 35 Os polômos rasormados de Jacob são dedos por Horg e Chou 987:

34 33 [ ] F P J,!!, β λ β β α 36 E sua órmula de recorrêca é deda da segue orma: 37 [ ] J J J β α β α β α β α β α β α β α β α com 3,, a qual: j 38 j λ β Os polômos rasormados de Jacob sasazem a segue relação de orogoaldade: j j para j para d J J! λ α β λ Γ λ β Γ α Γ 39 A expasão de uma ução arbrára, em uma sére rucada de polômos rasormados de Jacob é dada por: r J 4 a qual J! α β λ β Γ α Γ λ Γ λ 4 são os coecees das séres de Jacob

35 34 Das Eqs 8 e 9, a egração dos polômos rasormados de Jacob se ora: J J J J dw w J β λ β λ λ α λ λ β α λ λ λ Γ Γ 4 A equação acma pode ser represeada a orma marcal: { } [ ] { } J P d J τ τ 43 a qual [P] é a marz operacoal de egração dada por: [ ] P r r r r r r r d e b c d e b d e b c d e b c d b c b 44 a qual: λ β b 45! ] [ β λγ β Γ λ λ λ β α b 46,,! r 3, b β Γ λ β Γ 47,, r, c λ λ λ 48

36 35 d e α β,,, r λ λ α β,,, r λ λ Polômos de Chebyshev O polômo de Chebyshev de prmera ordem, deomado de P z, é a solução da equação de Chebyshev deda da segue orma Moha e Daa, 988: d y dy z z z dz dz 5 Os polômos de Chebyshev são orogoas o ervalo [,] z e são dedos como: z cos cos z P 5 ou: P [ ] z j j j! z j! j! j z j 53 a qual a oação [ ] sgca a ução mas próxma do ero Ulzado a Eq 53, os prmeros polômos de Chebyshev são dados por: P P P 3 z P3 z 4z 3z 4 z z P4 z 8z 8z 3 z z P z 6z z 5z 5 54

37 36 Na Fg 3 ecora-se os prmeros polômos de Chebyshev Gráco dos Polomos de Chebyshev 5 p p p p3 p Z Fgura 3 Polômos de Chebyshev A m de resolver problemas prácos, o domío deve ser rasormado para, ] aravés da segue rasormação de coordeadas Chou e Horg, 985: [ z 55 Os polômos rasormados de Chebyshev, P de recorrêca:, são obdos pela órmula,, com e 56

38 37 A codção de orogoaldade dos polômos rasormados de Chebyshev é: j d π π se j se j se j 57 Uma ução do empo arbrára pode ser aproxmada por polômos de Chebyshev, da segue orma: r 58 a qual são os coecees da expasão em sére de polômos rasormados de Chebyshev e são dados por: k d 59 a qual: π se k π se A órmula dervava recursva dos polômos rasormados de Chebyshev é dada por: d [ ] 6 d Ulzado a relação da Eq 56 a Eq 6 e egrado de [,], obém-se a marz operacoal de egração dos polômos rasormados de Chebyshev: a qual: { τ } dτ [ P]{ } 6

39 38 [ ] P 4 3 r r r3 r r r 4 6 r3 r r 6 Os polômos de Chebyshev são um caso especal dos polômos de Jacob 5 - Fuções Block-Pulse Um cojuo de uções Block-Pulse pode ser dedo o ervalo [, r ] Palasamy e Bhaacharya, 98: como,,,, para r ψ ora doervalo 63 A Fg 4 mosra um cojuo com quaro uções Block-Pulse r4 o ervalo [, ] s

40 39 Fgura 4 Cojuo de uções Block Pulse r4, 5 s As uções Block-Pulse sasazem a segue relação de orogoaldade: r para j d para ψ ψ j j 64 Uma ução, absoluamee egrável o ervalo [, r ] séres de uções Block-Pulse Jag e Schauelberger, 985:, pode ser expadda em r ψ 65 a qual são os coecees das uções Block-Pulse dados por:

41 4 r ψ d 66 A marz operacoal geeralzada de egração para as uções Block-Pulse é dada por Wag e Marleau 987: [ P] h h! 3 r r r 67 a qual h é o úmero de egrações sucessvas h h h,, 3,,r 6 - Fuções Walsh As uções Walsh podem ser obdas a parr das uções de Rademacher Che e Hsao, 975, as quas cosuem um cojuo de odas quadradas de alura uára com períodos guas a, /, /4, /8,, -j j,,3, As quaro prmeras uções Rademacher são mosradas a Fg5 Noa-se que o cojuo evolve apeas uções ímpares e, porao, ão é compleo As uções Walsh cosuem um cojuo compleo de uções oroormas o ervalo [, ] z e relacoam-se com as uções de Rademacher da segue maera: φ bq bq bq { } { r z } { r z },,, r z r z q q q 68

42 4 a qual: φ z é a -ésma ução Walsh r q z é a q-ésma ução Rademacher q [ log ] b q b q b é a expressão bára de Fgura 5 - Fuções Rademacher Para a aplcação das uções de Walsh, az-se a segue rasormação de coordeadas: z 69 ode, ] e cosdera-se, agora, que z φ w [ φ As uções Walsh sasazem a segue relação de orogoaldade:

43 4 w para j w j d para j 7 A Fgura abaxo apresea um cojuo com oo uções Walsh r8 Fgura 6 Fuções Walsh Uma ução absoluamee egrável o ervalo, ], pode ser expadda em séres de Walsh Shh e Ha, 978, da segue orma: [

44 43 r w 7 a qual são os coecees da expasão em sére de uções Walsh, dados por: d w 7 Em ução da esruura das uções Walsh, deve-se ulzar um úmero de ermos para a expasão que seja uma poêca de dos, ou seja, j r, a qual j é um úmero ero posvo Realzado a egração das uções Walsh, váras odas ragulares são obdas Che e al, 977 Avalado os coecees de Walsh para esas uções ragulares, obém-se a marz operacoal de egração para as uções Walsh { } [ ]{ } w P d τ τ ω 73 [ ] [] [] [] [] [] [] [] [] [] r r r r r r r r r I r I r I r I r I r I r P 74 Se a marz operacoal [ ] r r P x é parcoada em quaro marzes de guas dmesões, a sub-marz superor esquerda é dêca à marz operacoal [ ] x r r P Esa regulardade a esruura da marz operacoal perme aumeá-la aé o úmero de ermos que se deseja

45 44 CAPÍULO 3 IDENIFICAÇÃO DE SISEMAS MECÂNICOS POR MEIO DE FUNÇÕES OROGONAIS O méodo proposo ese rabalho opera o domío do empo, ou seja, ulza os sas emporas do ssema para decação de parâmeros modas reqüêcas auras, aores de amorecmeo e modos de vbrar e parâmeros esruuras marzes de massa, rgdez e amorecmeo Pode-se ulzar as resposas lvres do ssema deslocameo, velocdade ou aceleração ou as resposas orçadas depededo do caso a ser aalsado A prcpal caracerísca desa écca de decação decorre da propredade do cálculo de egras das uções orogoas ormalzadas, Che e Pao, 996, Che e Hsao, 975, Che e al, 977 e Chow e Wllsky, 984 a qual possbla a rasormação da equação derecal de movmeo do ssema mecâco em uma equação algébrca cuja resolução é muo mas smples e rápda Na seqüêca serão apreseadas as ormulações para os dversos casos possíves o que se reere ao po de excação do ssema e po do sal de resposa ulzado

46 Ssema Lvre Formulação Usado o Deslocameo O desevolvmeo do méodo pare da equação de movmeo lvre de um ssema mecâco de N graus de lberdade Merovch, 986: [ M ]{ x } [ C]{ x } [ K ]{ x } { } 3 Na qual [M], [C] e [K] são, respecvamee, as marzes de ordem N de érca, de amorecmeo e de rgdez e { x } é o veor de deslocameo obém-se: Pré-mulplcado-se a Eq 3 por [ M ] e egrado-a duas vezes o ervalo [,], {x} {x} {x} [M] [C] {x τ }dτ {x} [M] [K] {x τ }dτ 3 Na qual { x}e{x } são os veores das codções cas de deslocameo e velocdade O sal { x } é expaddo em séres de uções orogoas rucadas com r ermos: { x} [X]{ φ} 33 a qual [ X ] é a marz N r dos coecees da expasão de { x }, { φ } { φ φ } φr é o cojuo de uções da sére orogoal rucada Subsudo a Eq 33 a Eq 3, em-se: [ X ]{ φ } { x} { x} [ M ] [ C] [ X ] [ M ] [ K] [ X ]{ φ τ } dτ {} { φ τ } dτ { x} 34

47 46 Para as uções orogoas descras o Cap, observa-se que a prmera ução da sére orogoal é gual à udade para qualquer sae, com exceção da ução Block-Pulse Porao, pode-se escrever o segue: {} e { φ } 35 Na qual {} e é um veor cosae de dmesões r cuja orma depede da sére orogoal ulzada Para o caso de uções Block-Pulse {} e { } Legedre, Jacob e Walsh { e } { } ; para séres de Fourer, Chebyshev, Iegrado-se a Eq35 o ervalo [, ] e aplcado-se a propredade de egração da base orogoal da Eq 7 obém-se: {} e [ P] { φ } 36 Na qual [ P ] é a marz operacoal de egração especíca para cada uma desas uções Ecora-se o Aexo A, a decação dos parâmeros para o ssema de grau de lberdade, ode o desevolvda mas dealhadamee esa meodologa Subsudo a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 34, aplcado a propredade de egração da base orogoal da Eq 7 e gualado os coecees de { φ }, resula: { x } { x } [ M] [ C] { x } - [ M] [ C] [ M] [ K] {} e {} e [ P] [ X ][ P] [ X ][ P] [ X ] 37 Fazedo: [ H ] { x } { x } [ M] [ C] { x } - [ M] [ C] [ M] [ K] 38

48 47 [ J ] [ E ] [ X ] {} e {} e [ P] [ X ][ P] [ X ][ P] 39 3 a qual: [H] é a marz que coém os parâmeros e as codções cas, [J] e [E] são as marzes ormadas pelos coecees de expasão da resposa do ssema A Eq 37 pode ser escra da segue orma: [ H ] N, N [ J ] N, r [ E] N, r 3 Pode-se azer uma esmava da marz [H] aravés da solução ormal do méodo dos mímos quadrados: [ H ] [ E][ J ] [ J ][ J ] 3 A esmava de [H], aravés da Eq 3, orece os parâmeros descohecdos [ M ] [ K] e [ M ] [ C], e as codções cas do ssema x } e {x } { Escrevedo a Eq 3 do movmeo do ssema mecâco o espaço de esado, em-se: { y } A { y } 33 a qual: { } {x} y é o veor de esado {x} [] [] I [ M ] [ K] [ M ] [ C] A é a marz N X N de esado do ssema Ecora-se o Aexo B, o desevolvmeo mas dealhado desa meodologa

49 48 Uma vez decada a marz de esado, deermam-se os parâmeros modas do ssema reqüêcas auras, aores de amorecmeo e modos de vbração, calculado-se os auovalores e auoveores da marz A 3 - Ssema Lvre Formulação Usado a Velocdade A ormulação apreseada a segur para o caso em que o sal de saída do ssema mecâco é a velocdade Pré-mulplcado-se a Eq 3 por [ M ] e egrado-a o ervalo [,], obém-se: { x τ } dτ [ M ] [ C] { x τ } dτ [ M ] [ K] { x τ } dτ 34 Sabe-se que: τ { x } { x} { x } dτ 35 τ { x } { x} { x } dτ 36 Ulzado a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 34, resula: 37 { x } { x} [ M ] [ C] { x τ } dτ [ M ] [ K] { x τ } dτ { x} {}

50 49 O sal { x } é expaddo em séres de uções orogoas rucadas com r ermos: { x} [V]{ φ} 38 a qual [ ] V é a marz Nxr dos coecees da expasão de { x } Subsudo a Eq38 a Eq 37, em-se: [ V ]{ φ } { x} [ M ] [ C] [ V ]{ φ τ } dτ [ M ] [ K] [ V ]{ φ τ } dτ { x} {} 39 Subsudo a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 39, aplcado a propredade para a egração da base orogoal da Eq7 e gualado os coecees de { φ }, resula: {} e [ V ][ P] [ V ][ P] {} e [ P] { x } [ M] [ C] - [ M] [ K] [ M] [ K] { x } [ V ] 3 Fazedo-se: [ H ] { x } - [ M] [ C] [ M] [ K] [ M] [ K ]{ x } 3 [ J ] {} e [ V ][ P] [ V ][ P] {} e [ P] 3

51 5 [ E ] [ V ] 33 a Eq 3 pode ser escra da segue orma: [ H ] N, N [ J ] N, r [ E] N, r 34 A esmava de [H], aravés da Eq 34, orece os parâmeros descohecdos e as codções cas do ssema 33 - Ssema Lvre Formulação Usado a Aceleração Falmee, se o sal de saída do ssema or a aceleração, mulplca-se a Eq 3 por [ M ] e ulzam-se as relações da Eq 35 e da Eq 36, obedo-se: { x } [ M ] [ C] { x τ } dτ { x} [ M ] [ K] { x τ } dτ { x} { x} {} 35 Expaddo o sal { x } em séres de uções orogoas rucadas com r ermos, escreve-se: { x} [A]{ φ} 36 a qual [ ] A é a marz N x r dos coecees da expasão de { x } Subsudo a Eq 36 a Eq 35, em-se:

52 5 [ A] { φ } [ M ] [ C] [ A] [ M ] [ K] { φ τ } dτ { x} [ A] { φ τ } dτ { x} { x} {} 37 Subsudo a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 37, aplcado a propredade para a egração da base orogoal da Eq 7 e gualado os coecees de { φ }, resula: [ M] [ C] [ M] [ C ]{ x }- [ M] [ K ]{ x } - [ M] [ K] [ M] [ K ]{ x } [ A][ P] {} e [ A][ P] {} e [ P] Fazedo: [ A] [ H ] - [ M] [ C] [ M] [ C ]{ x } [ M] [ K ]{ x } [ M] [ K] [ M] [ K ]{ x } 39 [ J ] [ A][ P] {} e [ A][ P] {} e [ P] 33 [ E ] [ A] 33 a Eq3 de decação pode ser escra da segue orma: [ H ] N, N [ J] N, r [ E] N, r 33

53 Ssema Forçado Formulação Usado o Deslocameo Se o ssema mecâco or sujeo a orças de excação é possível decar as marzes dos parâmeros esruuras, permdo a geração do modelo do ssema A equação de movmeo de um ssema mecâco de N graus de lberdade sujeo à excação é dada por: [ M ]{ x } [ C]{ x } [ K]{ x } { } 333 a qual: { } é o veor das orças de excação Iegrado a Eq 333 duas vezes o ervalo [,], obém-se: [ M ] { x } { x} { x} [ C] { x τ } dτ { x} [ K] { x τ } dτ { τ } dτ 334 Os sas { x } e { } são expaddos em séres de uções orogoas rucadas com r ermos: { x} [X]{ φ} 335 { } [F]{ φ} 336 a qual [ F] é a marz N x r dos coecees da expasão de { } Subsudo a Eq 335 e a Eq 336 a Eq 334 obém-se:

54 53 [ M ] [ K] [ X ]{ φ } { x} { x} [ C] [ X ] [ X ]{ φ τ } dτ [ F] { φ τ } dτ { φ τ } dτ { x} 337 Subsudo a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 337, aplcado a propredade para a egração da base orogoal da Eq 7 e gualado os coecees de { φ }, resula: [ X] {} e {} e [ P] [ X][ P] [ X][ P] [ M ] [ M] { x } [ M ]{x } [ C] { x } [ C] [ K] Fazedo: [ F][ P] 338 [ H] [ M] -[ M] { x } -[ M ]{x } [ C] { x } [ C] [ K] [ J ] [ X] {} e {} e [ P] [ X ][ P] [ X ][ P] [ E ] [ F][ P] 34 a Eq 338 pode ser escra da segue orma: [ H ] N, N [ J] N, r [ E] N, r 34

55 54 Calculado [H] da Eq 34, obém-se os parâmeros descohecdos [M], [C] e [K], e as codções cas do ssema { } e{ x} x 35 - Ssema Forçado Formulação Usado a Velocdade Iegrado a Eq333 uma vez o ervalo [,], obém-se: [ M ] { x τ } dτ [ C] { x τ } dτ [ K] { x τ } dτ { τ } dτ 343 Ulzado a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 343, resula: [ M ]{ x } [ M ]{ x} [ C] { x τ } dτ [ K] { x τ } dτ { x} { τ } dτ 344 O sal { x} e { } são expaddos em séres de uções orogoas rucadas com r ermos Subsudo a Eq 38 e a Eq 336 a Eq 344, em-se: [ M ] [ V ]{ φ } [ M ]{ x} [ C] [ V ]{ φ τ } dτ [ K] [ V ]{ φ τ } dτ { x} [ F] { φ τ } dτ 345 Subsudo a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 345, aplcado a propredade para a egração da base orogoal da Eq 7 e gualado os coecees de { φ }, resula:

56 55 [ M ] [ ]{ x } [ C] [ K] [ K] { x } Fazedo: [ V ] {} e [ V ][ P] [ V ][ P] {} e [ P] M [ F][ P] 346 [ H ] [ M] [ M ]{ x } [ C] [ K] [ K ]{ x } 347 [ J ] [ V ] {} e [ V ][ P] [ V ][ P] {} e [ P] [ E ] [ F][ P] a Eq346 pode ser escra da segue orma: [ H ] N, N [ J] N, r [ E] N, r 35 Os parâmeros descohecdos e as codções cas do ssema são obdos aravés da resolução da Eq35

57 Ssema Forçado Formulação Usado a Aceleração Subsudo a Eq 35 e a Eq 36 a Eq 333, obém-se: [ M ]{ x } [ C] { x τ } dτ { x } [ K ] { x τ } dτ { x } { x } { } 35 Expaddo o sal { x } e { } em séres de uções orogoas rucadas com r ermos e subsudo a Eq 36 e a Eq 336 a Eq 35, resula: [ M ][ A]{ φ } [ C] [ A] { φ τ } dτ { x} [ K] [ A] { φ τ } dτ { x} { x} [ F]{ φ } 35 Subsudo a Eq35 e a Eq36 a Eq35, aplcado a propredade para a egração da base orogoal da Eq 7 e gualado os coecees de { φ }, resula: [ M] [ C] [ C ]{x } [ K ]{x } [ K] [ K ]{x [ A] [ A][ P] {} e [ A][ P] {} e [ P] } [ F] 353 Fazedo: [ H ] [ M] [ C] [ C ]{ x } [ K ]{ x } [ K] [ K ]{ x } 354

58 57 [ J ] [ E ] [ F] [ M ] [ A][ P] {} e [ A][ P] {} e [ P] a Eq 353 de decação pode ser escra da segue orma: [ H ] N, N [ J] N, r [ E] N, r 357 De orma semelhae aos casos aerores, esmado a marz [H], aravés da Eq357, obém-se os parâmeros descohecdos e as codções cas do ssema 37 Programa Compuacoal Esudamos rês méodos umércos derees para a aalse dâmca de ssemas mecâcos, o domío do empo, ulzado o méodo de uções orogoas A orma como se eeua o reameo é que dereca os méodos Eses méodos cossem em uma seqüêca de sruções que são execuadas passo a passo, algumas das quas são repedas em cclos Eeuado deermados eses, vercamos se o agdo um resulado próxmo o sucee do resulado esperado Colocamos abaxo um dagrama de luxo que os perme er uma déa de como o realzado os cálculos dos méodos Apreseamos a Fg 3 o luxograma geral do programa ulzado para a deermação dos parâmeros ulzado as uções orogoal das Séres de Fourer, polômos de Legedre e Chebyshev A segur em-se as eapas prcpas para o desevolvmeo dos programas

59 58 Erada de dados, úmero de graus de lberdade, período da amosragem, úmero de ermos da expasão da sére, úmero de poos de amosragem, sal de resposa e das orças de excação, 3 e 4 Dee-se o po de ução orogoal a ser ulzada, Fourer, Legedre ou Chebyshev Gera-se a base veoral, rucado a em R ermos e a marz operacoal de egração [P] 5 Deerma-se o coecee de expasão do deslocameo e o coecee de expasão da orça ulzado a base veoral 6 Obém-se [H] que é a marz que coém os parâmeros esruuras do ssema e as codções cas 7 Verco se o ssema é excado ou ão é excado 8 Se o ssema ão é excado, obém-se as codções cas e [ M] [ K] e [ M] [ C] 9 Se o ssema é excado, obém-se os meus parâmeros esruuras M, C e K e as codções cas Obém-se a marz dâmca e calculado-se seus auovalores e auoveores deerma-se as reqüêcas auras aores de amorecmeo e os modos de vbrar do ssema

60 59 Fluxograma Geral do Programa Ico EradadeDados Fourer Legedre 3 Chebyshev 4 X,X X e F,F F 5 H 6 Não Ssema excado? 7 Sm M, C e K 9 [M - ][K]; [M - ][C] 8 [A] Modos de vbrar, aor de amorecmeo e reqüêcas auras Fm Fgura 3 Fluxograma Geral

61 6 CAPÍULO 4 SIMULAÇÃO COMPUACIONAL A m de vercar a ecêca dos méodos de decação oram realzadas smulações compuacoas dos méodos das séres de Fourer, Legedre e Chebyshev aravés da ormulação usado os deslocameos como resposas dos ssemas seção 3 Para a smulação compuacoal, as resposas dos ssemas oram geradas aravés do méodo de Ruge-Kua Hoseer e Medch, 973 Para aálse dos méodos das Séres de Fourer, Legedre e Chebyshev oram realzadas smulações para derees valores dos parâmeros do ssema Resumdo o processo de smulação em-se: Geração dos sas ulzado o méodo de Ruge-Kua de Quara ordem Idecação dos parâmeros do ssema, a parr do sal gerado aerormee, aravés dos méodos de Fourer, Legedre e Chebyshev 4 - Ssema mecâco de gdl graus de lberdade O ssema smulado cosu-se de uma esruura de parâmeros cocerados cujo modelo ísco é apreseado a Fg 4

62 6 Fgura 4 Ssema de graus de lberdade Para a decação de parâmeros oram gerados 4 poos das resposas x e x do ssema dero do ervalo de empo cosderado e calculados os ermos de Fourer, Legedre e Chebyshev, rucado-se as séres para um dado úmero de ermos r, aravés de roas compuacoas Para cada suação é calculada a dereça relava ere os valores decados e os valores eórcos Esses resulados são mosrados as abelas reerees a cada exemplo 4 - Méodos das Séres de Fourer Exemplo : Ssema lvre Fo smulado o ssema da Fg 4 cosuído dos segues valores de parâmeros e codções cas, rucado a sére para r ermos de Fourer: Em Melo, 99 que se desevolveu a meodologa de Fourer, o cocluído que ermos é um rucameo deal para o processo M M 5 kg, C Ns/m, C 3 Ns/m, C 3 4 Ns/m, K 6 N/m, K 5 N/m, K 3 4 N/m, x,5 m, x -,75 m, x m/s, x - m/s, s, s, ervalo de amosragem N, N

63 6 Já a abela 4 observam-se as dereças relavas ere os parâmeros eórcos e os decados aravés da ulzação das séres de Fourer e o gráco da Fg 4 vercam-se os sas dos deslocameos das duas massas em ução do empo Nas abelas são apreseados dos algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema lvre r Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,4,7,68 ω a rad/s 9,63 9,6, ξ,3,3,6 Y /Y **,6-,35,6-,35,8* ω rad/s 6,78 6,94,95 ω a rad/s 4,5 4,5, ξ,5,5,6 Y /Y ** -,96-,5 -,96-,5,4* C [Ns/m],,7,35 C [Ns/m] 3, 9,98,7 C 3 [Ns/m] 4, 4,, K [N/m] 6, 6,3, K [N/m] 5, 5,, K 3 [N/m] 4, 4,3, * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados Na qual emos que: ω Freqüêca aural; ω a Freqüêca aural amorecda; ξ Faor de amorecmeo; sedo que: ω ω a ξ

64 Gráco do Ssema de gdl x x Deslocameo m empo s Fgura 4 Gráco de deslocameo em ução do empo para um ssema lvre de graus de lberdade Exemplo : Ssema lvre Agora ulzado o mesmo ssema da Fg 4, adoado-se os segues valores de parâmeros e codções cas: M M 5 kg, C 3 Ns/m, C 4 Ns/m, C 3 5 Ns/m, K 6 N/m, K 5 N/m, K 3 4 N/m, x,5 m, x -,75 m, x m/s, x - m/s, s, s, ervalo de amosragem N, N

65 64 Observam-se a abela 4 as dereças relavas ere os parâmeros eórcos e os decados aravés da ulzação das séres de Fourer Nas abelas são apreseados dos algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema lvre r Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,4,5,9 ω a rad/s 9,35 9,37, ξ,4,4,48 Y /Y **,99-,35,99-,36,3* ω rad/s 6,78 6,8,8 ω a rad/s,3,5,6 ξ,69,7,69 Y /Y ** -,3-,57 -,4-,57,7* C [Ns/m] 3, 3,3, C [Ns/m] 4, 4,8, C 3 [Ns/m] 55, 49,97,6 K [N/m] 6, 599,98,3 K [N/m] 5, 5,4, K 3 [N/m] 4, 4,5, * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados Exemplo 3: Ssema excado harmocamee Novamee para o ssema da Fg 4, cosuído dos segues valores, emos: M M 5 kg, C 3 Ns/m, C Ns/m, C 3 5 Ns/m, K 7 N/m, K 5 N/m, K 3 45 N/m, x m, x m, x m/s, x m/s, s, s, ervalo de amosragem se 3 N, 5 se N

66 65 Na abela 43 observam-se as dereças relavas ere os parâmeros eórcos e os decados aravés da ulzação das séres de Fourer e o gráco da Fg 43 vercam - se os deslocameos das duas massas em ução do empo Nas abelas são apreseados dos algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos abela 43 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema excado harmocamee r Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,59,58, ω a rad/s,37,37,3 ξ,,,9 Y /Y **,9-,6,9-,7,* ω rad/s 7,8 7,84,6 ω a rad/s 6,65 6,66,7 ξ,36,36,3 Y /Y ** -,75-,6 -,75-,6,46* C [Ns/m] 3, 3,7,3 C [Ns/m], 9,97,5 C 3 [Ns/m] 5, 5,3, K [N/m] 7, 7,9,4 K [N/m] 5, 5,3,45 K 3 [N/m] 45, 446,97,67 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados

67 66 Deslocameo m Gráco do Ssema de gdl x x empo s Fgura 43 Gráco do deslocameo em ução do empo para um ssema de graus de lberdade excado harmocamee Com váras smulações compuacoas, vercam-se que as dereças relavas ere os valores dos parâmeros, ω, ω a e ξ, eórcos e smulados edem a zero à medda que o úmero de ermos das Séres de Fourer aumea, aé o momeo em que começam ocorrer acúmulos de erros compuacoas, porao eremos uma boa aproxmação se rucarmos as Séres de Fourer em ermos 4 - Méodo de Legedre Exemplo 4: Ssema lvre Agora ulzado o mesmo ssema da Fg 4, adoado-se os segues valores de parâmeros e codções cas: M M 5 kg, C 3 Ns/m, C 4 Ns/m, C 3 5 Ns/m,

68 67 K 6 N/m, K 5 N/m, K 3 4 N/m, x,5 m, x -,75 m, x m/s, x - m/s, s, s, ervalo de amosragem N, N Foram realzadas smulações rucado as uções de Legedre em város valores A resposa do ssema é apreseada a Fg 44 Nas abelas são apreseados dos algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos Gráco do Ssema de gdl x x Deslocameo m empos Fgura 44 Gráco de deslocameo em ução do empo para um ssema lvre de graus de lberdade Nas abelas que seguem podem-se observar as dereças relavas ere os parâmeros eórcos e os decados para város valores de ermos de expasão r preededo-se ober uma axa de aplcação deal para rucameo da base veoral e cosequeemee da marz operacoal de egração P

69 68 Para r5 em-se: abela 44 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema lvre r 5 Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,4,46,9 ω a rad/s 9,3 8,97 3,56 ξ,4,5,67 Y /Y **,99-,35,43-,6 9,7* ω rad/s 6,78 3,4,3 ω a rad/s,3,6 5,57 ξ,69,6,9 Y /Y ** -,3-,57 -,55-,67 3,53* C [Ns/m] 3,,35 8,8 C [Ns/m] 4, 35,,74 C 3 [Ns/m] 5, 44,3,45 K [N/m] 6, 459,9 3,35 K [N/m] 5, 373,48 5,3 K 3 [N/m] 4, 7,8 3,8 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados Para r em-se: abela 45 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema lvre r Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,4,4, ω a rad/s 9,3 9,3, ξ,4,4, Y /Y **,99-,35,99-,35,* ω rad/s 6,78 6,78, ω a rad/s,3,3, ξ,69,69, Y /Y ** -,3-,57 -,3-,57,* C [Ns/m] 3, 9,99,3 C [Ns/m] 4, 39,99, C 3 [Ns/m] 5, 5,, K [N/m] 6, 6,, K [N/m] 5, 499,84,3 K 3 [N/m] 4, 399,9,3 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados

70 69 Nos ssemas de graus de lberdade observa-se uma covergêca muo boa a parr de ermos, pos ão oram cosderados ruídos aleaóro e/ou ssemácos geralmee presees os ssemas A dereça relava de erro permaece muo pequea aé por vola de r5 quado começa a aumear devdo ao acúmulo de erros compuacoas 43- Méodo de Chebyshev Exemplo 5: Ssema lvre Para o mesmo ssema do exemplo aeror exemplo 4 emos: Para r5 em-se: abela 46 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema lvre r 5 Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,4 9,99,5 ω a rad/s 9,3 8,7 6, ξ,4,48 6, Y /Y ** -,99-,35,77-,7 5,89* ω rad/s 6,78 4,4 4,7 ω a rad/s,3 9,79 8,6 ξ,69,73 5, Y /Y ** -,3-,57 -,78-,57 3,83* C [Ns/m] 3, 38,54 8,47 C [Ns/m] 4, 35,5, C 3 [Ns/m] 5, 44,7,56 K [N/m] 6, 4,68 3, K [N/m] 5, 44,4,7 K 3 [N/m] 4, 53,4 36,7 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados

71 7 Para r em-se: abela 47 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema lvre r Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,4,4, ω a rad/s 9,3 9,3, ξ,4,4,4 Y /Y **,99-,35,99-,35,* ω rad/s 6,78 6,8,7 ω a rad/s,3,4,4 ξ,69,69,3 Y /Y ** -,3-,57 -,4-,57,4* C [Ns/m] 3, 3,,37 C [Ns/m] 4, 4,7,8 C 3 [Ns/m] 5, 5,3,6 K [N/m] 6, 599,5,8 K [N/m] 5, 5,8,36 K 3 [N/m] 4, 4,7,7 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados Para r em-se: abela 48 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema lvre r Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ω rad/s,4,4, ω a rad/s 9,3 9,3, ξ,4,4, Y /Y **,99-,35,99-,35,* ω rad/s 6,78 6,78, ω a rad/s,3,3, ξ,69,69, Y /Y ** -,3-,57 -,3-,57,* C [Ns/m] 3, 3,, C [Ns/m] 4, 4,, C 3 [Ns/m] 5, 5,, K [N/m] 6, 6,, K [N/m] 5, 5,, K 3 [N/m] 4, 4,, * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados

72 7 4 - Ssema mecâco de 3 gdl graus de lberdade O ssema smulado cosu-se de uma esruura de parâmeros cocerados, cujo modelo ísco é apreseado a Fg 45 com a dereça de que ese apresea rês graus de lberdade, que será apreseado os exemplos que seguem: Fgura 45 Ssema de 3 graus de lberdade 4 - Méodo de Fourer Exemplo 6: Ssema lvre Para um ssema mecâco de 3 gdl em-se: M M M 3 5 kg, C Ns/m, C 3 Ns/m, C 3 4 Ns/m, C 4 5 Ns/m, K 6 N/m, K 5 N/m, K 3 4 N/m, K 4 4 N/m, x,5 m, x -,75 m, x 3 m, x m/s, x - m/s, x 3 m/s s, s, N, N, N 3 Observam-se a abela 49 as dereças relavas ere os valores eórcos e os decados aravés da ulzação das séres de Fourer, com ermos e o gráco da Fg 46

73 7 vercam-se os deslocameos em ução do empo das rês massas Nas abelas são apreseados dos algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos abela 49 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema lvre r Modos Parâmeros Valores eórcos Valores Idecados Dereça Relava % ϖ rad/s 7,7 7,7, ϖ a rad/s 7,39 7,39, ξ,9,9,4 Y /Y **,55-,3,55-,3,6* Y 3 /Y **,-,43,-,43,4* ϖ rad/s 5,45 5,495,8 ϖ a rad/s,95,5,9 ξ,75,75,4 Y /Y ** -,89-,65 -,96-,6,78* Y 3 /Y ** -,654,45 -,53,97 3* 3 ϖ rad/s 5,9 5,7,3 ϖ a rad/s 3,5 3,49, ξ,47,47,7 Y /Y ** -,38-,48 -,38-,48,34* Y 3 /Y ** -,56,5 -,56,5,* C [Ns/m], 9,73,35 C [Ns/m] 3, 3,7,9 C 3 [Ns/m] 4, 4,59,48 C 4 [Ns/m] 5, 49,4,6 K [N/m] 6, 597,34,44 K [N/m] 5, 53,75,75 K 3 [N/m] 4, 44,7,8 K 4 [N/m] 4, 395,8,8 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados

74 Gráco do Ssema de 3gdl x x x3 Deslocameo m empo s Fgura 46 Sal obdo de um ssema de 3 graus de lberdade lvre Exemplo 7: Ssema excado harmocamee Para um ssema mecâco de 3 gdl em-se: M M M 3 5 kg, C Ns/m, C 3 Ns/m, C 3 4 Ns/m, C 4 5 Ns/m, K 6 N/m, K 5 N/m, K 3 4 N/m, K 4 4 N/m, x m, x m, x 3 m, x m/s, x - m/s, x 3 m/s s, s, se N, 5se3 N, se5 N 3

75 74 abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Fourer para um ssema excado harmocamee r Modos Parâmeros Valores Valores Dereça Relava % eórcos Idecados ϖ rad/s ϖ a rad/s ξ 8 8 Y /Y ** * ϖ rad/s ϖ a rad/s 9 9 ξ Y /Y ** * 3 ϖ rad/s ϖ a rad/s ξ Y /Y ** * C [Ns/m], C [Ns/m] 3, 34 3 C 3 [Ns/m] 4, C 4 [Ns/m] 5, 5 4 K [N/m] 6, K [N/m] 5, K 3 [N/m] 4, K 4 [N/m] 4, * dereça relava dos valores em módulo **modos de vbrar ormalzados Observam-se a abela 4 as dereças relavas ere os valores eórcos e os decados aravés da ulzação das séres de Fourer, com ermos 4 - Méodo de Legedre Exemplo 8: Ssema excado harmocamee Para um ssema mecâco de 3 gdl em-se: M M M 3 5 kg, C Ns/m, C 3 Ns/m, C 3 4 Ns/m, C 4 5 Ns/m,

76 75 K 6 N/m, K 5 N/m, K 3 4 N/m, K 4 4 N/m, x m, x m, x 3 m, x m/s, x m/s, x 3 m/s s, s, se N, 5se3 N, se5 N Podem-se observar as abelas 4 e 4 as dereças relavas ere os valores eórcos e os decados aravés da ulzação do méodo de Legedre para 5 e 3 ermos de rucameo r da base veoral No gráco da Fg 47 podem-se vercar os sas dos deslocameos em ução do empo para um ssema de rês massas Nas abelas são apreseados dos algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos 3 5 Gráco do Ssema de 3 gdl x x x3 5 Deslocameo m empos Fgura 47 Gráco de deslocameo em ução do empo para um ssema de 3 graus de lberdade excado harmocamee

77 76 Para r5 emos: abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema excado harmocamee r 5 Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ϖ rad/s 7,7 7,7,4 ϖ a rad/s 7,39 7,37,5 ξ,8,8,3 Y /Y **,54-,3,54-,3,* Y 3 /Y **,-,43,3-,43,9* ϖ rad/s 5,44 5,87,79 ϖ a rad/s,9 3,5 5,9 ξ,75,47,9 Y /Y ** -,88-,64 -,-,45 3,5* Y 3 /Y ** -,654,4 -,63,7 9,47* 3 ϖ rad/s 5,9 5,,4 ϖ a rad/s 3,5 3,5, ξ,46,45,95 Y /Y ** -,38-,48 -,34-,44 8,* Y 3 /Y ** -,55,4 -,58,9,97* C [Ns/m], 9,98,6 C [Ns/m] 3, 3,,3 C 3 [Ns/m] 4, 38,94,65 C 4 [Ns/m] 5, 5,63,7 K [N/m] 6, 6,76,3 K [N/m] 5, 499,67,7 K 3 [N/m] 4, 45,33 6,33 K 4 [N/m] 4, 48,6,4 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados

78 77 Para r3 emos: abela 4 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Legedre para um ssema excado harmocamee r 3 Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ϖ rad/s 7,7 7,7, ϖ a rad/s 7,39 7,39, ξ,8,8, Y /Y **,54-,3,54-,3,* Y 3 /Y **,-,43,-,43,* ϖ rad/s 5,44 5,44, ϖ a rad/s,9,9, ξ,75,75, Y /Y ** -,88-,64 -,88-,64,* Y 3 /Y ** -,654,4 -,654,4,* 3 ϖ rad/s 5,9 5,9, ϖ a rad/s 3,5 3,5, ξ,46,46, Y /Y ** -,38-,48 -,38-,48,* Y 3 /Y ** -,55,4 -,55-,4,* C [Ns/m], 9,99, C [Ns/m] 3, 3,, C 3 [Ns/m] 4, 4,, C 4 [Ns/m] 5, 49,99, K [N/m] 6, 6,, K [N/m] 5, 5,, K 3 [N/m] 4, 4,7, K 4 [N/m] 4, 399,83,4 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados Vercam-se que a dereça relava permaece cosae e muo próxma de zero para valores de r aé aproxmadamee 8

79 Méodo de Chebyshev Exemplo 9: O mesmo ssema smulado aerormee o aalsado ulzado o méodo de Chebyshev como cosam as abelas abaxo Nas abelas são apreseados dos algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos Para r5 em-se: abela 43 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema excado harmocamee r 5 Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava % ϖ rad/s 7,7 7,7,7 ϖ a rad/s 7,39 7,37,3 ξ,8,8,45 Y /Y **,54-,3,55-,3,3* Y 3 /Y **,-,43,-,44,8* ϖ rad/s 5,44 4,58 5,57 ϖ a rad/s,9 9,55 6,8 ξ,75,75,58 Y /Y ** -,88-,64 -,4-,66 3,4* Y 3 /Y ** -,65-4,4 -,83,6,4* 3 ϖ rad/s 5,9 5,6, ϖ a rad/s 3,5 3,34,9 ξ,46,48 3,43 Y /Y ** -,38-,48 -,4-,56,66* Y 3 /Y ** -,55-,4 -,5,9,64* C [Ns/m],,, C [Ns/m] 3, 3,, C 3 [Ns/m] 4, 4,4, C 4 [Ns/m] 5, 46,35 7,8 K [N/m] 6, 598,3,8 K [N/m] 5, 5,9,8 K 3 [N/m] 4, 396,, K 4 [N/m] 4, 36, 3,45 * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados

80 79 Para R35 emos: abela 44 Resulados da Idecação dos Parâmeros ulzado Chebyshev para um ssema excado harmocamee r 35 Modo Parâmeros Valor eórco Valor Idecado Dereça Relava% ϖ rad/s 7,7 7,7, ϖ a rad/s 7,39 7,39, ξ,8,8, Y /Y **,54-,3,54-,3,3* Y 3 /Y **,-,43,-,43,6* ϖ rad/s 5,44 5,44, ϖ a rad/s,9,9, ξ,75,75, Y /Y ** -,88-,64 -,88-,64,* Y 3 /Y ** -,65-4,4 -,664,4,9* 3 ϖ rad/s 5,9 5,9, ϖ a rad/s 3,5 3,5, ξ,46,46, Y /Y ** -,38-,48 -,38-,48,8* Y 3 /Y ** -,55-,4 -,55,4,* C [Ns/m],,, C [Ns/m] 3, 3,, C 3 [Ns/m] 4, 4,, C 4 [Ns/m] 5, 5,, K [N/m] 6, 6,, K [N/m] 5, 5,, K 3 [N/m] 4, 4,, K 4 [N/m] 4, 4,, * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados 43 - Ssema Mecâco com Adção de Ruído Aleaóro ao Sal de Erada Realzou-se um esudo da cossêca ou sesbldade dos méodos de decação de parâmeros a parr de sas de resposa do ssema com a preseça de ruído, para sso, o gerado um sal aleaóro radôco com méda zero e desvo padrão um, esse sal o mulplcado por

81 8 uma deermada porceagem do desvo padrão do sal de resposa x do ssema e adcoado a ele, cado desa orma, com uma resposa com ruído O ssema smulado é apreseado a Fg48 com as segues caraceríscas: Para um ssema mecâco de 4 gdl em-se: M 6 kg, M 4 kg, M 3 3 kg, M 4 kg, C 6 Ns/m, C 8 Ns/m, C 3 Ns/m, C 4 3 Ns/m, C 5 4 Ns/m, K N/m, K N/m, K 3 5 N/m, K 4 8 N/m, K 5 N/m, x m, x m, x 3 m, x 4 m x m/s, x m/s, x 3 m/s, x 4 m s, s, se5 N, se47 N, 6se3 N, 5se8 N 3 4 Fgura 48: Ssema Mecâco com 4 graus de lberdade Aravés do méodo de Ruge-Kua obeve-se a resposa do ssema dada pela gura Fg 49, e a Fg 4 ode é apreseada a resposa do ssema com adção de 5% de ruído aleaóro

82 8 Fgura 49: Resposa do ssema sem ruído ssema com ruído Fgura 4: Resposa do Nas abelas 45 e 46 são apreseados os resulados obdos para a decação de parâmeros para o ssema apreseado acma, respecvamee, sem e com ruído adcoado ao sal de resposa do ssema São apreseados os valores eórcos parâmeros ulzados para a smulação e os valores decados ulzado os méodos de Fourer, Legedre e Chebyshev com ermos, valor cosderado adequado cossee para ese ssema Nas abelas são apreseados rês algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos

83 8 abela 45 Valores obdo a parr da resposa sem ruído Modo Parâmeros Valores eórcos Valores obdos: Fourer Valores obdos: Legedre Valores obdos: Chebyshev D % Fourer r ermos D % Legedre r ermos D % Chebyshev r ermos ω rad/s 465, 465,6 465,7 465,7,,, ω a rad/s 44,53 44,57 44,5 44,59,,, ξ,37,37,37,37,6,, ω rad/s 35,685 35,676 35,66 35,75,3,8,6 ω a rad/s 33,356 33,35 33,35 33,375,,,6 ξ,9,9,9,9,6,, 3 ω rad/s 8,567 8,573 8,57 8,57,,, ω a rad/s 8,8 8,89 8,8 8,84,3,,9 ξ,65,65,65,65,38,, 4 ω rad/s 9,6 9,38 9,49 9,68,8,9,7 ω a rad/s 8,95 8,886 8,897 8,93,6,6,7 ξ,59,55,58,5,786,38,96 C [Ns/m] 6, 6,73 59,974 59,989,88,43,8 C [Ns/m] 8, 79,77 79,93 79,863,354,,7 C 3[Ns/m],,68,6,6,68,6,6 C 4[Ns/m] 3, 3,9 3,5 3,,69,,8 C 5[Ns/m] 4, 39,895 4, 39,99,75,5,7 K [N/m], 6,66,45,,3,, K [N/m], 99975,44 3, ,,5,3,5 K 3[N/m] 5, 58, ,48 5,,,7,3 K 4[N/m] 8, 83, ,9 83,,5,6,4 K 5[N/m], 9999,,,,,,

84 83 abela 46 Valores obdo a parr da resposa com ruído Modo Parâmeros Valores eórcos Valores obdos: Fourer Valores obdos: Legedre Valores obdos: Chebyshev D % Fourer r ermos D % Legedre r ermos D % Chebyshev r ermos ω rad/s 465,9 465,5 465,58 464,97,34,66,65 ω a rad/s 44,5 44,87 44,9 44,935,63,3,49 ξ,37,3,37,37,768,4,36 ω rad/s 35,685 36,53 37,7 37,5,74,443,49 ω a rad/s 33,356 3,973 3,39 34,66,8,633,393 ξ,9,7,,,633,69,77 3 ω rad/s 8,567 8,67 8,54 8,56,,8,3 ω a rad/s 8,8 8,4 8,45 8,45,9,6,6 ξ,65,656,67,67,798 3,7 3,73 4 ω rad/s 9,6 9,67 9,93 9,83,6,8, ω a rad/s 8,95 8,98 8,989 8,93,,7,6 ξ,59,498,57,57,45,533,533 C [Ns/m] 6, 59,97 6,3 6,36,55 3,55 3,877 C [Ns/m] 8, 8,53 8,9 83,9,36 3,65 3,786 C 3[Ns/m], 9,53 9,5,36,947,875,36 C 4[Ns/m] 3, 8,64 6,478 6,8,489,79 3,4 C 5[Ns/m] 4, 4,633 44,965 45,5,88 3,546 3,68 K [N/m], 99738, ,3 9968,4,3,,59 K [N/m], 336,7 89,84 75,,337,9,75 K 3[N/m] 5, 59, ,46 59,7,79,35,353 K 4[N/m] 8, 79735,99 83,5 89,74,33,39,37 K 5[N/m], 9869, ,55 955,3,9,88,374 Aalsou-se o comporameo do erro relavo para o parâmero W em ução do úmero de ermos de expasão r para as rês uções orogoas apreseadas Na Fg 4 apresea-se uma axa deal para a aplcação dos úmeros de ermos de expasão para o ssema apreseado

85 84 Fgura 4: Gráco do erro relavo ecorado o parâmero W em ução do úmero de ermos de expasão 44 Idecação de Falha Nesa eapa do esudo, oram ulzadas as smulações compuacoas para a dagose de alhas Para al, comparou-se o ssema cal sem alhas com o mesmo ssema modcado, porém agora apreseado uma smples alha como, por exemplo, a redução de um parâmero Dese modo, a meodologa adoada se baseou a comparação de um parâmero do ssema aco sem alhas com um parâmero do ssema que apresea alha Para a decação de alhas aalsou-se o ssema mecâco da seção 43 cohecdo e o provocada uma varação em um dos parâmeros esruuras, o que podera caracerzar uma alha Assm ez-se o processo de decação após a varação dos parâmeros Provocou-se uma redução a rgdez K de 5% e maeve-se os ouros parâmeros cosaes Na Fg4 podemos vercar o gráco da resposa do ssema aes e depos de provocada a redução a rgdez de K e a ab 47 serão apreseados os resulados obdos Nas abelas são apreseados rês algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos Fgura 4: Resposa do ssema com e sem alha

86 85 abela 47 Resulados da Idecação dos Parâmeros com Falha em K Dereça % Fourer com alha r ermos Dereça % Legedre com alha r ermos Dereça % Chebyshev com alha r ermos Parâmero Valores eórcos sem alha Valores obdos: Fourer Valores obdos: Legedre Valores obdos: Chebyshev C[Ns/m] 6, 6,66 6, 6,,77,4,37 C[Ns/m] 8, 79,695 79,997 79,977,38,4,9 C3[Ns/m],,5,7,5,5,6,5 C4[Ns/m] 3, 3,93 3,9 3,,7,7, C5[Ns/m] 4, 39,894 4, 4,,76,,7 K[N/m], 74,84 7,69 74,97 4,988 4,999 4,998 K[N/m], 9997,89,6 7,8,7,,7 K3[N/m] 5, 57,45 5,4 53,7,,3,5 K4[N/m] 8, 83,83 84,3 8,76,5,5,3 K5[N/m], 9999,,88,73,,, 45 Idecação de Parâmeros Aplcada a uma Vga Para poder valdar a meodologa de decação de parâmeros, ulzou-se um ssema coíuo, apreseado como uma vga egasada em uma de suas exremdades sujea a aplcação de uma orça harmôca Ulzou-se a écca de elemeos os para dscrezação da vga em dos elemeos Não se dvdu a vga em mas elemeos pos acarreara em uma quadade excessva de resulados, ugdo do escopo dese rabalho O elemeo de vga, como mosrado a Fg4, o apreseado com dos graus de lberdade por ó, sedo o deslocameo e a roação Como a vga aalsada coém rês ós, possu assm, ses gdl, porém, como codção de cooro, ela esá egasada, ão apreseado desa orma deslocameo em roação a posção de egase Nas abelas são apreseados rês algarsmos sgcavos mas para os cálculos oram ulzados oo algarsmos sgcavos

87 86 Fgura 43 Elemeo de vga Cada elemeo da vga possu as marzes de massa apreseada a Eq 4 e rgdez apreseada a Eq 4 56 L m ρsl 54 3L L 4L 3L 3L 54 3L 56 L 3L 3L L 4L 4 k EI 3 L 6L 6L 6L 4L 6L L 6L 6L 6L L 6L 4L 4 A vga cosderada ese caso é de aço com as segues caraceríscas e propredades: ρ 785 kg/m 3, E GPa, comprmeo oal gual a m, alura h cm, espessura b 5 cm, sedo S b * h e I b*h 3 / Desprezou-se o amorecmeo esruural devdo ao seu baxo valor A resposa do ssema o obda aravés do méodo de Ruge-Kua, sedo o ssema excado com uma orça aplcada a exremdade da vga com valor RMS de 7,7 N, e reqüêca de 5,9 Hz e a parr dessa resposa cou-se o processo de decação de parâmeros como pode ser observado a abela 48Foram ulzados ermos os rucameo das séres

88 87 abela 48 Parâmeros modas decados para a vga Modo Parâmeros Valor eórco Valores obdo: Fourer Valores obdo: Legedre Valores obdo: Chebyshev D % Fourer r ermos D % Legedre r ermos D % Chebyshev r ermos ω rad/s,53 3,63,55,56,9,,3 Y /Y ** 3,4, 3,4, 3,4, 3,4,,,,* Y 3 /Y **,94,,94,,94,,94,,,,* Y 4 /Y ** 4,5, 4,5, 4,5, 4,5,,,,* ω rad/s 647, ,5 647,8 647,375,,6,3 Y /Y ** -,6, -,58, -,6, -,6, 3,333,,* Y 3 /Y ** -,38, -,33, -,38, -,38, 3,63,,* Y 4 /Y ** -6,67, -6,44, -6,67, -6,67, 3,448,,* 3 ω rad/s 9,9 9,7 9,4 9,53,,, Y /Y ** -75,7, -76,8, -75,6, -75,,,8,,* Y 3 /Y ** 9,83, 9,97, 9,8, 9,83,,44,,* Y 4 /Y ** 94,8, 96,67, 94,74, 94,8,,96,,* 4 ω rad/s 6356, , , ,38,6,, Y /Y **,55,,5,,56,,56,,946,,* Y 3 /Y ** 3,95, 3,93, 3,95, 3,95,,5,,* Y 4 /Y ** 76,34, 74,63, 76,39, 76,38,,4,,* * dereça relava dos valores em módulo ** modos de vbrar ormalzados Pode-se vercar que o caso de ssemas coíuos, os resulados são basae razoáves, apreseado meores desvos os méodos de Legedre e Chebyshev

89 88 CAPÍULO 5 RESULADOS EXPERIMENAIS Ese capíulo em como objevo valdar expermealmee as roas compuacoas desevolvdas para a decação dos parâmeros dos ssemas mecâcos, quado os dados são obdos de suações cocreas Desa orma ulzou-se um cojuo de mesas vbraóras do Laboraóro de Vbrações da Faculdade de Egehara de Ilha Solera Moou-se um ssema dâmco de mesas vbraóras, coeccoado com chapas de alumío de derees massas, lâmas meálcas de aço oxdável para orecer rgdez ao ssema, borrachas de derees espessuras para proporcoar o amorecmeo vscoso Icalmee os modelos maemácos são desevolvdos Em seguda, aravés de éccas de aalse modal expermeal, os parâmeros são decados Falmee, az-se a aqusção dos sas de excação e de resposa o domío do empo Na gura 5 podemos vercar o ssema moado para a realzação da aálse expermeal

90 89 Fgura 5: Ssema mecâco ulzado para a aálse expermeal 5 - Maeras Ulzados Para a coecção do ssema acma ora ulzados os segues maeras: Mesa ercal de suseação da bacada de eses; 3 placas de lga de alumío de dmesões: m 35 cm x 35 cm x cm; m 5 cm x 5 cm x cm; m 3 6 cm x 6 cm x cm; lâmas de aço oxdável de dmesões: 4 cm x,5 cm x cm; 8 ras de borrachas de dmesões: 4 cm x,5 cm x,4 cm a mesa m e 4 cm x,5 cm x,5 cm a mesa m 3 ; Juas com parausos para a acoplagem das mesas, lâmas e borrachas; Placa de erro uddo para auxlar a exração dos parâmeros

91 9 5 - Equpameos Ulzados Para a aqusção de sas do ssema mosrado a Fg 5, oram ulzados os segues equpameos: Ssema de aqusção de dados A/D Ioech DaqBook/ ulzado o soware de aqusção e aálse de dados Dasylab 4; Codcoador/Amplcador de sas Nexus Codog Ampler Z6 4 da Bruel & Kjaer ; Acelerômero PCB Pezorocs po 353B3 SN [,] mv/g [mv/m/s ]; Acelerômero Brüel & Kjær, mv/g ; Marelo de mpaco coeccoada em madera com poas de borracha; rasduor de orça da Bruel & Kjaer po pc/n; Gerador de reqüêca Polerm P-93 All--oe srume; Amplcador de sal MMF-LV3 VA 3Ω 3HZ khz 5 - Ssema para Aqusção de Dados O ssema de aqusção ulzado para a aálse da esruura acma o DaqBook/DaqBoard 6 caas com o soware Dasylab Aravés da aplcação de uma orça mpulsva o ssema composo de mesas vbraóras, colocado-se um acelerômero em uma das mesas, eror, ermedára ou superor, obém-se as reqüêcas auras Foram ulzados os segues módulos, coorme mosrado a Fg5 Coversor Aalógco/Dgal Vsualzação gráca do sal adqurdo rasormada Rápda de Fourer FF Vsualzação gráca da FF Créro de parada Armazeameo em dsco dos sas adqurdos

92 9 Legeda: [] Coversor Aalógco/Dgal [] Vsualzação gráca do sal adqurdo [3] rasormada de Fourer FF [4] Vsualzação gráca da FF [5] Créro de parada [6] Armazeameo em dsco dos sas Fgura 5: Fluxograma de comados apreseado a orma de dagramas de blocos o Soware ulzado para a obeção dos parâmeros do ssema 53 - Modelo Maemáco do Ssema Mecâco Pode-se represear o ssema mecâco de 3 graus de lberdade, dado pela Fg 5, por um modelo maemáco Fg53, ode o prmero bloco com a massa m represea a mesa vbraóra eror, o segudo bloco com a massa m represea a mesa ermedára e o ercero bloco com a massa m 3 a mesa superor, o qual a parr dese, a meodologa pode ser aplcada para a realzação de aálses expermeas

93 9 Fgura 53: Modelo maemáco para o ssema mecâco ulzado A parr dese ssema oda a meodologa apreseada pode ser aplcada, o objevo aqu é ulzar os méodos esudados para a decação de orças e localzação de alhas em uma suação real O ssema de equações derecas a orma marcal que descreve o movmeo dese ssema mecâco é dado pela segue equação: 3 m m m 3 x x x c c c c c c c c 3 x x x k k k k k k k k k 3 x x x 3 54-Deermação dos Parâmeros Físcos do Ssema Mecâco 54 - Mesa Ieror

94 93 Icalmee cosdera-se o ssema somee com a mesa m mesa eror, coorme mosrado a Fg 54 Assm, modela-se o ssema como um ssema massa-mola-amorecedor de um grau de lberdade Excado o ssema com uma erada mpulsva qualquer, ese ca movmeo vbraóro com uma reqüêca que é exaamee a reqüêca aural dese grau de lberdade Eão é possível calcular a parr da resposa dese ssema sua rgdez, uma vez que a mesa m ão esá submeda a amorecmeo O ssema da Fg54 é composo de 8 lâmas meálcas, uma placa de alumío de 6,575 Kg, sedo xado em cada exremdade lâmas de aço oxdável Excado o ssema com uma orça mpulsva, obeve-se uma reqüêca aural levemee amorecda pelas própras caraceríscas esruuras do ssema Cosdera-se o ssema sem amorecmeo, porao é gorado ese eeo amorecedor e a reqüêca de vbração é cosderada a reqüêca aural da mesa Fgura 54 - Mesa Vbraóra Ieror Mesa m A parr deses dados obeve-se os segues resulados: Freqüêca Naural do ssema:,46 ω 4, rad/s

95 94 Rgdez equvalee: k eq 394,8 N/m A Fgura 55 mosra os resulados obdos Fgura 55: Resulados obdos pelo Soware DASYLab 54 - Mesa Iermedára Cosdera-se o ssema somee com a mesa m lvre, sedo a massa m presa coorme mosrado a Fg 56 Sedo assm, modela-se o ssema como um ssema massa-molaamorecedor de um grau de lberdade O ssema é composo de 8 lâmas meálcas, 4 borrachas e uma massa placa de alumío de 455 Kg, sedo xado em cada exremdade lâmas de aço e uma borracha de,4 mm de espessura

96 95 Fgura 56: Obeção de rgdez e amorecmeo equvalees da mesa m, esado a mesa m xada em uma placa supore de erro uddo, presa à bacada Excado o ssema com uma orça mpulsva, apresea-se uma resposa amorecda pelas borrachas como pode ser vercado a Fg 57 A reqüêca aural amorecda do ssema é mosrada a Fg 58 Assm, usado as ormulações para o amorecmeo vscoso com um grau de lberdade decremeo logarímco, obeve-se os segues resulados: Freqüêca aural amorecda: a 4, Hz ω a 57,74 rad/s Freqüêca aural: 4,4 Hz ω 57,89 rad/s Rgdez equvalee: k eq 364,34 N/m Amorecmeo equvalee: c eq 85,65 Ns/m Decremeo logarímco: ξ,37

97 96 Fgura 57: Resposa amorecda da mesa m a uma erada mpulsva qualquer Fgura 58: Freqüêca amorecda da mesa m

98 Mesa Superor Aalsado o ssema somee com a mesa m 3, sedo as massas m e m presas coorme mosrado a Fg 59, modela-se o ssema como um ssema massa-mola-amorecedor de um grau de lberdade e assm pode-se ober os parâmeros íscos desa mesa Fgura 59: Obeção de rgdez e amorecmeo equvalees da mesa m 3, esado a mesa m e a mesa m xadas em uma placa supore de erro uddo, presa à bacada O ssema da Fg 59 é composo de 8 lâmas meálcas, 4 borrachas e uma massa de alumío de 85 Kg Cada exremdade possu, presas por uma jua, 4 lâmas de aço oxdável e uma borracha de,5 mm de espessura Excado o ssema com uma orça mpulsva qualquer, obeve-se a reqüêca aural amorecda do ssema, coorme mosra a resposa do ssema Fg 5 e de ode se obêm os parâmeros íscos desa mesa a parr da reqüêca amorecda do ssema, vsa a Fgura 5

99 98 Fgura 5: Resposa amorecda da mesa m 3 a uma erada mpulsva qualquer Fgura 5: Freqüêca amorecda da mesa m 3

100 99 Desa orma, usado as ormulações para o amorecmeo vscoso, obeve-se os segues resulados: Freqüêca aural amorecda: a 39,6 Hz ω a 45,4 rad/s Freqüêca aural: 4,5 Hz ω 45,44 rad/s Rgdez equvalee: k eq 9935,76 N/m Amorecmeo equvalee: c eq 9,79 Ns/m Decremeo Logarmo: ξ,9 55 Aálse do Ssema Compleo com 3 gdl graus de lberdade Sedo lberado as rês mesas, ez-se a aqusção dos sas ulzado o dagrama de blocos apreseado a Fg 5, ode os rês prmeros caas oram ulzados para aqusção do sal de deslocameo e o úlmo caal para deermação da orça Foram ulzados os segues módulos, coorme mosrado a Fg 5 Coversor Aalógco/Dgal Ajuse de escala Vsualzação gráca do sal adqurdo rasormada Rápda de Fourer FF Créro de parada Armazeameo em dsco dos sas adqurdos

101 Legeda: [] Coversor Aalógco/Dgal [] Ajuse de escala [3] Vsualzação gráca do sal adqurdo [4] rasormada de Fourer FF [5] Créro de parada [6]Armazeameo em dsco dos sas adqurdos Fgura 5: Fluxograma de comados apreseado a orma de dagramas de blocos, ulzado quaro caas para aqusção dos sas de deslocameo e orça O ssema o excado com uma orça aplcada a mesa eror com valor RMS de F 7,9 N, e reqüêca de 5, Hz Obeve-se a resposa do ssema apreseada a Fg 53 Como o sal ulzado o de deslocameo, as resposas meddas pelos acelerômeros oram egradas duas vezes, ulzado, para so, o Codcoador/Amplcador de sas Nexus da BRUELL que possu essa ução A parr do méodo de decação proposo e com a resposa do ssema pode - se assm ober os parâmeros apreseados a abela 5 Ulzou-se R ermos de expasão para Fourer, Legedre e Chebyshev

102 Fgura 53 Sas meddos a esruura