Universidade de Aveiro Departamento de Matemática. Aurélio de Jesus Correia Barbosa Vicente. Métodos de Aproximação Numérica usando o Matlab

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1 Uversdade de Avero Deparameo de aemáca Aurélo de Jesus Correa Barbosa Vcee éodos de Apromação Numérca usado o alab

2 Uversdade de Avero Deparameo de aemáca Aurélo de Jesus Correa Barbosa Vcee éodos de Apromação Numérca usado o alab Dsseração apreseada à Uversdade de Avero para cumprmeo dos requsos ecessáros à obeção do grau de esre em aemáca Aplcada à Egeara realzada sob a oreação ceíca do Pro. Douor Aóo Jorge oero Neves Proessor Aular do Deparameo de aemáca da Uversdade de Avero Apoo Facero do Isuo Poruguês de Apoo ao Desevolvmeo (IPAD)

3 Todas as cêcas eacas são domadas pela dea da apromação. Berrad Russel

4 o júr Presdee Pro. Douor Domgos orera Cardoso Proessor Caedráco do Deparameo de aemáca da Uversdade de Avero Arguee Pro. Douor Gasão Slves Ferrera Frederco Proessor Aular do Deparameo de Cêca e Tecologa da Uversdade de Cabo Verde Oreador Pro. Douor Aóo Jorge oero Neves Proessor Aular do Deparameo de aemáca da Uversdade de Avero

5 Agradecmeos Agradeço ao meu oreador o Pro. Douor Aóo Jorge Neves pelo cevo e apoo dado a elaboração dessa dsseração. A vsão ceíca acerca do ema bem como as sugesões oram de uma mporâca eorme. Agradeço ada à ma esposa e lo pela compreesão quado me pua em solameo a m de cosegur a coceração ecessára para a elaboração da dsseração.

6 Palavras-cave Apromação umérca erpolação polomal Sples Curvas de Bézer alab. Resumo Nese rabalo são abordados méodos de apromação umérca baseados em erpolação polomal erpolação segmeada usado Sples e curvas de Bézer. Apresea-se uma descrção eórca desses méodos esuda-se a sua aplcabldade e compara-se a qualdade das apromações obdas quado os mesmos são aplcados a eemplos prácos que vão sedo roduzdos ao logo do eo. Para o eeo recorre-se ambém à epermeação umérca usado-se roas apropradas em alab (ATr LABoraor) as quas ajudam as aálses comparavas das vaages e desvaages dos derees méodos esudados.

7 Kewords Numercal appromao polomal erpolao Sples Bezer curves alab. Absrac I s work are suded some meods o umercal appromao based o polomal erpolao erpolao usg sples ad Bezer curves. A eorecal descrpo o ese meods are preseed we sud er applcabl ad compares e qual o appromaos obaed we e are appled o praccal eamples wc are beg roduced rougou e e. For s purpose s also preseed e umercal epermes usg appropre ucos alab (ATr LABoraor programmg laguage) wc elp e comparave aalss o advaages ad dsadvaages o dere meods.

8 Coeúdos. Irodução..... éodos de apromação umérca..... Eapas a resolução umérca de um problema..... Esruura da dsseração.... éodos de Ierpolação Polomal Polómo erpolador de Lagrage Polómo erpolador de Newo as dereças dvddas..... Ierpolação Iversa Erro de erpolação Aálse de erros Rgdez dos polómos erpoladores Nós de Cebsev Polómo erpolador de Herme.... Apromação umérca usado Sples..... Irodução..... Sples: deção e cosrução Sples de grau zero um e dos Sples cúbcos Sples a orma paramérca Curvas de Bézer... 57

9 ... Deção da curva de Bézer Desvaages das curvas de Bézer Comparação ere as curvas de Bézer e Sples paramércos B-Sples B-Sples de grau zero um e dos B-Sples cúbcos Comparação ere curvas de Bézer B-Sples e Sples Paramércos Ierpolação Bdmesoal Irodução Forma de Lagrage Bdmesoal... 8 Coclusão Bblograa... 9

10 . Irodução O problema do cálculo de quadades apromadas é um problema ereado pelos maemácos desde a agudade. Como eemplo pode-se reerr a órmula de apromação da raíz quadrada de um úmero arbuída aos Bablóos (Karl 6). Coudo a apromação umérca é um ramo da maemáca relavamee jovem que az uso do coceo da depedêca ere quadades ou seja do coceo de uções. A prmera abordagem para a deção de uma ução com base a depedêca ere quadades resumda uma deermada órmula o desevolvda por Euler (77-78). No eao desde esses empos aé aos das de oje e com a evolução dos compuadores os méodos de apromação umérca oram objeco de grades desevolvmeos muos deles resulaes da sua aplcação as mas varadas áreas das cêcas e egearas. uos dos problemas maemácos suscados essas áreas só podem ser resolvdos com recurso a méodos umércos ão sedo possível ober soluções eacas eressa pos saber quas as vaages e desvaages de algus desses méodos e como ulzá-los compuacoalmee por orma a cosegurem ober-se soluções áves para aqueles problemas. Com ese rabalo preedem-se abordar méodos de apromação umérca rado pardo da erramea compuacoal alab (ATr LABoraor) para o desevolvmeo de roas que possblem a aplcação desses méodos de orma a poder-se comparar a sua aplcabldade e a aalsarem-se as suas vaages/desvaages. Assm serão esudados méodos de apromação umérca baseados em erpolação polomal erpolação segmeada usado Sples e curvas de Bézer. Apresea-se uma Leoard Euler aemáco e Físco Suíço.

11 descrção eórca desses méodos avergua-se a sua aplcabldade e dscuem-se as vaages e desvaages muas vezes recorredo a eemplos prácos com smulações e epermeações umércas ulzado o soware alab... éodos de apromação umérca A apromação umérca evolve a cosrução de méodos umércos e o desevolvmeo de algormos que os mplemeem de modo a calcularem-se soluções apromadas de problemas maemácos para os quas ão é possível ober soluções aalícas. Podemos der algormo como uma sequêca ordeada e a de operações bem dedas e ecazes que quado eecuadas por um compuador ermam sempre um deermado período de empo produzdo uma solução ou dcado que al solução ão pode ser obda. O osso eresse por ese ema surge o sedo em que como se sabe muos problemas em cêcas e egeara evolvem modelos maemácos para os quas ão esem méodos eacos de resolução sedo ecessáro recorrer à ulzação de méodos umércos que coduzem a soluções apromadas. Preede-se que as soluções apromadas sejam áves ou seja que o erro que les esá assocado eseja lmado dero de valores aceáves cosoae a precsão requerda para os resulados. uas vezes para se cosegur ese objecvo é ecessára a epermeação umérca de város méodos por orma a compararem-se os resulados obdos por esses méodos. Com o presee rabalo preede-se esudar méodos de apromação umérca adequados à resolução de deermados problemas e apresear algormos de algus desses méodos usado-se como erramea compuacoal o alab. Com esa erramea eracva e de ala perormace oreada à eecução de areas que evolvam cálculo umérco (oras 6) preede-se desevolver roas (uções em alab) para epermeação e smulação umérca de algus dos méodos esudados. Esses méodos serão aplcados a eemplos prácos cocreos sedo eas comparações relavamee a vaages e desvaages de cada um deles.

12 .. Eapas a resolução umérca de um problema Os méodos umércos permem dar resposa a problemas maemácos que ão possuem soluções aalícas. Para eses casos obém-se uma solução umérca que em caso de covergêca aproma a solução eaca do problema. Dese modo para a obeção de uma solução apromada de um dado problema real orase ecessáro percorrer as segues eapas: Deção e recola de dados do problema real; odelação maemáca do problema; Escola adequada do méodo umérco a usar; Cálculo da solução do problema aravés da compuação de um algormo umérco; Aálse da abldade dos resulados (erro comedo) e erpreação dos mesmos; Na escola do méodo deve er-se em coa os segues pressuposos: Precsão desejada para os resulados; Covergêca do méodo ou seja garaa de que o méodo quado aplcado perme ober uma solução apromada que ede (ao quao possível) para a solução do problema; Esorço compuacoal dspeddo o cálculo da solução do problema; Para a obeção da solução umérca do problema com uma razoável precsão deve ulzar-se um algormo umérco adequado e uma erramea compuacoal com razoável poder de cálculo ceíco como é o caso do programa alab que aqu va ser usado... Esruura da dsseração Quao à esruuração do rabalo desa dsseração após a presee rodução o capíulo az-se uma abordagem eórco-práca a méodos de erpolação polomal omeadamee erpolação de Lagrage órmula erpoladora de Newo e erpolação de Herme comparado-se esas éccas de apromação umérca em város eemplos

13 acompaados de programas em alab que lusram o poecal deses méodos e permem coclur sobre algumas das vaages e desvaages dos mesmos. Esuda-se ambém a mmzação do erro de erpolação comedo aravés da escola adequada dos ós de erpolação. No capíulo apreseam-se méodos de apromação umérca baseados em erpolação segmeada (por roços) ese caso os Sples e as curvas de Bézer os quas permem cosrur apromações de melor qualdade quado se verca uma varabldade cosderável o comporameo dos dados a apromar (quer o caso dscreo quer o caso coíuo com a subsução de uma ução complcada por um polómo apromae mas smples). Com eses méodos mosra-se com recurso ao alab como é possível cosrurem-se curvas suaves capazes de produzr razoáves apromações as mas varadas aplcações as como o desg de auomóves o raçado de símbolos em desg gráco e mesmo o caso de cooros ecados (cludo laços). A ese respeo são eas as descrções eórcas dos Sples Sples a orma paramérca e B-Sples assm como a meodologa de cosrução das curvas de Bézer. Em odos eses méodos dá-se eâse à cosrução de apromações umércas cúbcas (de grau rês) pos esas coseguem apresear bos desempeos as aplcações ode são usadas ão sedo ecessáro um rabalo deveras mas moroso para se oberem apromações de grau mas elevado. Ada o capíulo az-se a comparação ere os város méodos aí esudados aplcado eses a cosrução de modelações geomércas em casos prácos a m de se decarem os poos ores e racos de cada um deles. Falmee o capíulo az-se uma breve reerêca à eesão da erpolação polomal ao caso bdmesoal a orma de Lagrage apreseado-se smulações adequadas em alab que lucdam como se pode proceder para se oberem grácos de apromações de uções o espaço bdmesoal (de uções de duas varáves e z=()).

14 . éodos de Ierpolação Polomal Ierpolar uma ução cosse em apromar essa ução por uma oura ução escolda de ere uma classe de uções dedas a pror e que sasaçam algumas propredades. A ução é eão usada em dermeo da ução. A ecessdade de se eecuar a subsução da ução váras suações prácas como por eemplo: pela ução surge em Quado são coecdos somee os valores umércos da ução para um cojuo de poos e é ecessáro calcular o valor da ução um poo ão coecdo (caso dscreo); Quado a ução em esudo em uma epressão complcada para qual por eemplo operações como a derecação e a egração são díces de serem realzadas (caso coíuo). Dados pares de poos dsos ecorar uma ução ode al que o problema da apromação cosse em para... (.) são valores dados a pror. Dz-se eão que erpola os valores os ós dsos (Quarero 7) Deção. Desga-se por erpolação polomal se é um polómo algébrco por erpolação rgoomérca se or um polómo rgoomérco e por erpolação polomal segmeada (ou erpolação com Sples) se or secoralmee um polómo. 5

15 No eao ese rabalo vamos apeas raar os casos de erpolação polomal e erpolação segmeada. Deção. Dados poos dsos... um ervalo arbráro b respecvos valores de uma ução esses poos... polomal cosse em ecorar um polómo a e os a erpolação P de grau meor ou gual a que cocde com os poos dados. Ou seja a... a a p.... Os poos odas. são desgados de ós de erpolação e os poos de valores O polómo P é desgado por polómo erpolador da ução aquele supore de poos e pode ser ulzado para calcular uma esmava do valor da ução um dado poo deree de o ervalo a b. Assm a ução é apromada pelo polómo erpolador P o ervalo a b e ao desvo dedo por P dá-se o ome de erro de erpolação. Teorema Sejam... ós dsos um ervalo b a. Eão para os valores arbráros que... ese um úco polómo P de grau meor ou gual a al P (.) Demosração: Prmero provaremos a ucdade do polómo erpolador. Para sso supoamos que esem dos polómos erpoladores dos valores... dsos... P e Q os ós 6

16 7 Desa orma Q P a dereça ere os dos polómos de grau meor ou gual a será ambém um polómo de grau meor ou gual a com a segue propredade Q P para vso que os dos polómos assumem os mesmos valores odas. Como os ós são dsos o polómo Q P de grau meor ou gual a possurá zeros pelo que erá de ser um polómo ulo ou seja Q P dode cocluímos que Q P. Quao à esêca do polómo erpolador: sabedo que um polómo erpolador de grau meor ou gual a pode ser escro a orma a a a a p... pela deção em-se P. Daqu resula que os coecees do polómo podem ser deermados resolvedo o segue ssema lear a a a a ode V é a marz do ssema coecda por marz de Vadermode (rsk 955). O deermae da marz de Vadermode é dado por j j j V... de (Pa 995) que ese caso é deree de zero pos os ós de erpolação são dsos.

17 Por cosegue o ssema em solução úca ou seja o polómo erpolador ese e é úco... Polómo erpolador de Lagrage Cosderemos a segue abela de valores para uma ução couamee derecal aé a ordem. Para eses dados é possível cosrur um úco polómo erpolador de grau meor ou gual a. Vso que ese polómo erá que erpolar odos os valores odas... poderá ser escro como sedo uma combação lear das ordeadas ou seja P l l l l... (.) Ode l... são polómos de grau. O polómo P por ser um polómo erpolador deve obrgaoramee sasazer a codção (.) que é o mesmo que dzer o segue P l l... l P l l... l P l l... l... (.) O ssema de equações (.) só será possível se os polómos segues codções l sasazerem as 8

18 l j j j (.5) Tedo em coa que l em podemos coclur que são acores de desses acores é um polómo de grau. O polómo l será eão dado por l. O produo l K Ode K é uma cosae que será deermada de modo a que o polómo a codção (.5) ou seja l. l sasaça Obém-se eão l K ou seja K dode os polómos l... serão obdos da segue orma l (.6) 9

19 Deção. O polómo dedo pela epressão (.) com l dedos al como em (.6) é desgado por polómo erpolador de Lagrage (Iegar 9) e os l são camados de polómos udameas de Lagrage. Os polómos udameas de Lagrage ambém podem ser escros de uma orma mas compaca. Para o eeo cosderemos o polómo odal W dedo por W... (.7) Dervado o polómo odal W em ordem a e cosderado obém-se W ' Dese modo podemos escrever os polómos udameas de Lagrage a orma l W ' W (.8). Eemplo Ulzado o polómo erpolador de Lagrage de grau que erpola os valores represeados o quadro que se segue deermar uma esmava para.5 : - Polómo que se aula em odos os ós de erpolação.

20 Pela epressão (.6) calculam-se os polómos udameas de Lagrage l l l e l assocados aos quaro ós de erpolação. l l l 8 l O polómo erpolador a órmula de Lagrage será eão dado pela epressão (.) ou seja l P Dese modo P. Ese resulado podera ser obdo ulzado a roa lagrage desevolvda em alab da segue orma: uco p = lagrage() %Erada - é um vecor que dca a(s) abcssa(s) ode % queremos calcular o(s) valor(es) de P() % - é um vecor que coém os ós % - é um vecor que coém os valores odas %Saída - p é um vecor que coém o(s) valor(es) de P() % calculado(s) a(s) abcssa(s) de

21 c = lagragecoe(); m = leg(); or = : leg() p() = ; or j = : m N(j) = ; or k = : m j ~= k N(j) = N(j) * (() - (k)); ed ed p() = p() + N(j) * c(j)*(j); ed ed que por sua vez precsará da roa ambém desevolvda em alab lagragecoe. uco c = lagragecoe() %Erada - é um vecor que coém os ós % - é um vecor que coém os valores odas %Saída - c é um vecor que coém os coecees dos % polómos de Lagrage assocados aos ós =leg(); or k = : d(k) = ; or = : ~= k d(k)=d(k)*((k) - ()); ed c(k) = /d(k); ed ed Para o eeo o ambee de rabalo do malab camamos a ução lagrage dcado o poo ode se preede calcular o valor da ução os ós de erpolação e os respecvos valores odas. >> lagrage(.5[][-]) as = -.5

22 Apesar da sua smplcdade o polómo erpolador a órmula de Lagrage apresea algumas desvaages como por eemplo: Requer um úmero de operações elevado; Os polómos esão assocados a um cojuo de ós pelo que uma mudaça da posção e/ou do úmero deses alera por compleo o polómo avedo ecessdade de reazer odos os cálculos dos polómos de Lagrage... Polómo erpolador de Newo as dereças dvddas Cosderemos coecdos os poos.... Para quasquer dos poos cosecuvos e dvddas de prmera ordem são dedas por as dereças... (.9) Da mesma orma cosderado quasquer rês poos cosecuvos e por as dereças dvddas de seguda ordem serão dedas... (.) De uma orma geral cosderado quasquer poos cosecuvos a dereça dvdda de ordem usado odos os poos será deda por (.) Resumdo as dereças dvddas são dedas recursvamee do segue modo

23 ... k k k k k k j k k j k... k k k j k k k j k j k (.) Para uma melor compreesão as dereças dvddas podem ser escras uma abela adequada como a que se mosra a segur para o caso de cco poos. ª ordem ª ordem ª ordem ª ordem Tabela - Dereças dvddas de ª ordem Como orma de evar os coveees da órmula de Lagrage usa-se o polómo escro a orma de Newo. Dese modo omado os ós... como ceros do polómo ese pode ser escro a orma P a a W a W... a W (.)

24 ode os coecees do polómo são deermados por orma a que polómo erpolador dos valores os ós dsos P seja de aco Caso seja ecessáro cosrur o polómo P que erpola os ós... os valores odas... basa acrescear ao polómo P um ermo da orma a W ou seja P P a W. (.) Cada coecee a k do polómo P depede dos valores para j... k. j Teorema (Polómo de Newo) Cosderemos... Ese um úco polómo P para j... j j ós dsos um ervalo I a b. P de grau meor ou gual a sasazedo as codções que pode ser escro a orma de Newo (Pa 995) ou seja a a a P (.5) ode a... k. (.6) k k... Eemplo Para uma ução coecda apeas um úmero o de poos calcular uma apromação para.5 usado para o eeo um polómo erpolador de grau que erpola os valores represeados o quadro que se segue a órmula de Newo usado dereças dvddas. - 5

25 O polómo erpolador será obdo pela epressão (.5) ode os coecees a... serão calculados pela epressão (.6) ou seja... k a k... que são obdos por dereças dvddas. Para ese caso é possível cosrur a segue abela de dereças dvddas: ª ordem ª ordem ª ordem Tabela - Dereças dvddas correspodees aos dados do eemplo O polómo erpolador de Newo de grau rês será eão dado por P Pelo que. 5 P Esse resulado podera ser obdo usado a roa desevolvda em alab ewoddv que em como erada os vecores e coorme se pode ver a segur. 6

26 % Calcula o(s) valor(es) do Polómo erpolador % de Newo P um ou mas poos usado as dereças dvddas uco p = ewoddv() % Erada - é um vecor que dca a(s) abcssa(s) ode % queremos calcular o(s) valor(es) de P() % - é um vecor que coém os ós % - é um vecor que coém os valores odas % Saída - p é um vecor que coém o(s) valor(es) de P() % calculado(s) a(s) abcssa(s) de a = ddvcoe(); = leg(); or = : leg() d() = ; c() = a(); or j = : d(j) = (() - (j-)).*d(j-); c(j) = a(j).*d(j); ed p() = sum(c); ed >> ewoddv(.5[][-]) Tabela das dereças dvddas as = -.5. Esa ulza ada como aular a segue roa ddvcoe. % Calcula as dereças dvddas que guram o % polómo erpolador de Newo as dereças % dvddas P(): % a=[a a... a] com P()=a+a(-)+a(-)(-)+... % +a(-)(-)...(--) % % d é uma marz aular que sob a orma dagoal superor 7

27 % os orece a abela de dereças dvddas (dereças % de prmera ordem em dae) uco a = ddvcoe() %Erada - é um vecor que coém os ós % - é um vecor que coém os valores odas %Saída - a é um vecor que coém as dereças dvddas % que guram o polómo erpolador de Newo = leg(); a() = (); % cálculo das dereças dvddas de prmera ordem or k = : - d(k) = ((k+) - (k))/((k+) - (k)); ed % cálculo das dereças dvddas de ordem j or j = : - or k = : -j d(kj) = (d(k+j-) - d(kj-))/((k+j) - (k)); ed ed dsp('tabela das dereças dvddas') dsp(d) or j = : a(j) = d(j-); ed.. Ierpolação versa Cosderemos os ós... perecees ao ervalo b odas de uma ução derecável em a b. a e... os valores Se a ução or esramee moóoa (crescee ou decrescee) possurá versa pelo que se ora possível escrever g (.7) Ode g é a ução versa de. 8

28 Dese modo será possível cosrur um polómo P () que erpola os valores odas... os ós.... A ese processo dá-se o ome de erpolação versa. Ese resulado é requeemee ulzado em problemas do po c ode se preede calcular o valor de. Para o eeo edo em coa a ução versa de g (pressupõe-se que é esramee moóoa) o valor de será dado por gc Pc ode P é um polómo erpolador em. Uma das aplcações mas comus é a deermação de zeros de uções como a do eemplo segue. Eemplo Deermar apromadamee o zero da ução l ervalo. ep o Como é ácl vercar ' ep sedo esa dervada sempre posva o ervalo o que mplca que a ução é moóoa crescee esse ervalo pelo que possu uma versa g. Dese modo o problema poderá ser resolvdo da segue orma g. Vamos eão cosrur o polómo P que erpola a ução g cosderado os poos represeados a abela que se segue Pela abela de dereças dvddas para a ução g a qual e os valores odas cega-se aos segues coecees passam a ser os ós 9

29 g g g g g O polómo erpolador de grau quaro será dado por P Sedo assm a solução apromada do problema. 78 P será sedo ese valor precso aé à quara casa decmal uma vez que o valor eaco é dado por Erro de erpolação... Aálse de erros O polómo erpolador cocdee com os ós de erpolação... pode ser usado para apromar a ução em qualquer poo do ervalo a b coedo ese os ós de erpolação. Dese modo ora-se mperavo esudar o erro comedo a erpolação ou seja saber o quão loge ou pero o polómo erpolador esá da ução erpolada um dado poo de a b. Teorema e... k k Sejam C a b Eão ese um poo ab k! k... al que k ós dsos perecees ao ervalo b a. k (.8)

30 Demosração Para k o eorema reduz-se ao eorema do valor médo pelo que é obvamee verdadero. Para o caso geral cosderemos a epressão e k P (.9) k ode P k é o polómo de grau meor ou gual a k que erpola os ós dsos... k. A ução e k dada pela epressão (.9) erá eão o mímo k zeros o ervalo a b pelo que e' ' P' k erá o mímo k zeros o mesmo ervalo. k Segudo o mesmo racocío a ução o ervalo a b. Seja esse zero dese modo e k k k P k erá pelo meos um zero k e k k k P k dode se cocluí que Obs. P k k k k k k P...! k k k Sabedo que de cada vez que se derva um polómo ese dmu o seu grau em uma udade a dervada de ordem k o grau será e o coecee dado por k k... k! k k k Teorema Seja a ução al que C a b e seja P o polómo de grau meor ou gual a que erpola a ução os poos dsos... perecees ao ervalo a b. Para cada a b esrá um poo ab al que e P! (.)

31 Demosração Se or um dos ós de erpolação a prova é óbva já que ambos os membros da gualdade se reduzem a zero. Sedo assm seja * um poo qualquer do ervalo b a que ão seja cocdee com um ó de erpolação. O polómo P que erpola a ução os poos *... será dado a orma de Newo por P * P W... Dode resula que * * * * * P P... W. Subsudo a epressão do erro vem que e * * * * * P... W Recorredo ao eorema e subsudo a varável *... que será dado por *... k k! * por deerma-se o coecee cegado-se dese modo ao resulado preeddo. No eao edo em coa que o valor de é descoecdo a práca apeas é possível esmar o valor do erro de erpolação dado pela epressão (.). Dese modo recorre-se ao majorae do erro que será dado por e!

32 ma W (.)! ab Eemplo. Qual deve ser o espaçameo mímo ere ós cosecuvos de modo a que a erpolação lear da ução e o ervalo I o erro ão eceda em valor absoluo.? Tedo em coa a epressão (.) o erro de erpolação lear é majorado por '' ma W e ma I I com W. Dervado a polómo odal W obém-se que ' W que se aula para esse poo. pelo que W possurá um mámo Aededo a que o espaçameo é dado por o valor mámo em valor absoluo do polómo odal será dado por e ma 8 I '' pelo que Para o caso em esudo a seguda dervada da ução é dado por '' e. Tedo ''' em coa que a ercera dervada é e que é sempre posva o ervalo I coclu-se que o valor mámo da seguda dervada ocorre o lme superor do ervalo '' ou seja ma e.

33 O objecvo cal poderá ser garado resolvedo o segue problema e 8. ou seja. 5. Eemplo 5 Tedo em coa os dados do eemplo ober uma esmava do erro comedo o cálculo do valor apromado para.5 quado se ulza um polómo erpolador de grau. Cosderado os ós de erpolação e obém-se o polómo erpolador P pelo que (.5) P Pelo eorema o erro comedo a erpolação lear (grau ) é majorado por e!.5 ''.5 ma W ab Tedo em coa o eorema o valor mámo da dervada de seguda ordem da ução pode ser esmado por '' 7 ma! ma 7. O erro de erpolação comedo será eão majorado por e ! Noe-se que ese caso a ução erpolada ão é coecda e esa esmava grossera obda para o erro de erpolação pode ser eplcada por dos movos. Por um lado pela esmava da dervada de seguda ordem da ução por ouro pelo valor do polómo odal W o que deoa a luêca que a dsâca ere os ós de erpolação pode assumr a qualdade da apromação obda quado se erpola uma dada ução.

34 ... Rgdez dos polómos erpoladores A erpolação polomal como já o reerdo cosse em apromar uma deermada ução por um polómo. Dese modo o que se preede é que esse polómo erpolador eseja prómo da ução erpolada. Uma quesão que de medao pode ser levaada é: será que quao maor or o grau do polómo erpolador melor será a apromação obda ou seja será que o erro de erpolação ede para zero quado o grau desse polómo ede para o? A resposa é que em sempre al sucede. Noe-se que a ese respeo o eorema de Weersrass (885) garae que uma ução coíua pode ser apromada por polómos com a precsão que se quera o eao ese eorema ão arma que eses polómos possam ser obdos por erpolação. Como se pode vercar de seguda com um eemplo célebre descobero por Ruge (9) ão se pode garar que al acoeça. Para o eeo cosdera-se a ução de Ruge deda por Fgura Fução de Ruge para [-] 5

35 que se preede erpolar por um polómo de um dado grau usado ós equdsaes perecees ao ervalo. Como pode ser observado a gura à medda que aumea com e 9 o polómo erpolador P desevolve osclações basaes aceuadas pelo que o erro de erpolação e ão ede para zero e cosequeemee o polómo para a ução erpolada. P ão coverge.5 Comparação ere a ução e os polómos erpoladores () P() P9() Fgura - Ierpolação da ução de Ruge com úmero de ós derees. As osclações vercadas esão mamee lgadas ao aco de que para polómos de grau elevado P a a... a a a a a... os coecees das suas dervadas são em geral maores em valor absoluo que os coecees de P orado assm possíves varações e osclações mporaes omeadamee prómo dos eremos do ervalo de erpolação. Aededo à epressão do erro de erpolação coclu-se que para que a erpolação polomal produza polómos que apromem ão bem quao se quera a ução erpolada é ecessáro que esa sasaça ceras propredades de regulardade o que dz respeo à sua dervada de ordem e que a localzação dos ós de erpolação seja al que o valor absoluo do polómo odal W se ore mímo. 6

36 7 Resumdo a ução bem como os ós de erpolação devem ser al que os valores absoluos da dervada de ordem bem como o valor absoluo do polómo odal varem com de al orma que o segudo membro da epressão (.) eda para zero quado ede para o. Para coorar os coveees apoados à erpolação da ução de Ruge ode ocorrem osclações aceuadas abordaremos duas éccas uma delas a secção segue usado os desgados ós de Cebsev e a oura com recurso a erpolação com Sples que será ema do capíulo. Como a segur veremos azedo cocdr os ós de erpolação com os zeros dos camados polómos de Cebsev (aso ) ora-se possível mmzar o polómo odal W em valor absoluo e cosequeemee o erro de erpolação.... Nós de Cebsev Como se verca a epressão (.) o erro de erpolação depede da dervada de ordem da ução erpolada e do polómo odal. Como é possível ver a gura os valores mámos do polómo odal W localzam-se a promdade dos eremos do ervalo de erpolação e a sua magude esá relacoada com o úmero de ós. Verca-se que a magude daqueles mámos dmu à medda que o úmero de ós aumea. Para o eeo demos os polómos odas W 5 W 6 e W 7 com ós equdsaes o ervalo ou seja W W W

37 .6. Polómos odas W5 W6 e W7 com ós equdsaes em [-] W5 W6 W Fgura - Polómos odas com úmero de ós derees Dese modo é de esperar que os polómos erpoladores produzam bos resulados quado ulzados a zoa ceral do ervalo de erpolação e porem os eremos desse ervalo. Tora-se eão mporae saber qual a posção dos ós que coduzem a valores mímos do polómo odal. Tal localzação é coseguda quado os ós de erpolação cocdem com os zeros dos polómos de Cebsev. Para o eeo supõe-se que o ervalo de erpolação é. Se al ão acoecer ulza-se a segue relação que perme rasormar o ervalo em qualquer ervalo a b a b. (.) Deção A ução deda por cos arccos T polómo de Cebsev (Pa 995). é um polómo de grau coecdo por 8

38 Para e deduz-se medaamee que T e T. Tedo em coa a segue mudaça de varável T cos cos. cos obém-se que Usado a órmula do co-seo de uma soma ( cos cos cos s s ora-se possível escrever que ) cos cos cos cos s s T cos cos cos cos s s T Somado ambos os membros das duas epressões e após algus arrajos obém-se a segue epressão cos cos cos cos. Tedo em coa que cos (logo arccos ) em-se arccos cos arccos cos arccos cos dode daqu pode ober-se a segue órmula de recorrêca T T T. Aplcado sucessvamee esa órmula de recorrêca em-se que 9

39 T T T T T T Teorema 5 O polómo de Cebsev cos arccos T em os zeros localzados os poos k k cos k... (.) e os eremos localzados os poos ' k k cos k... (.) os quas ' k T k. (.5) Demosração: Como pode ser vercado T k k cos. arccos cos cos k No que oca aos eremos dervado o polómo ' T s arccos. T obém-se

40 Para os valores de perecees ao ervalo dados pela epressão (.) ' k ecepuado os correspodees a k e k verca-se que T ' ' k s arccos cos sk k =. Quao ao valor que o polómo T oma os eremos ' k verca-se que k ' ' cos arccos cos arccos cos cosk k T k k. Verca-se ada que os eremos do ervalo T pelo que eses poos ambém são eremos de T odos com o mesmo valor absoluo. Tedo em coa a relação de recorrêca T T T dução maemáca que T ermos de meor grau Pelo que dedo T ese polómo é móco ou seja Desgemos por T. T ermos de meor grau. é possvel provar por P [-] a classe de polómos mócos de grau o ervalo [-]. Teorema 6 O polómo T é de odos os polómos em T p p P [-]. A demosração dese resulado pode ser vsa em Pa (995). P [-] o de meor orma ou seja Escoledo os zeros do polómo de Cebsev T como ós de erpolação pode cosaar-se que W ' ' T k k

41 pelo que W. Dode resula que e T. (.6)! Tedo em coa que o valor absoluo mámo dos polómos de Cebsev é gual a quado se escole os zeros do polómo de Cebsev T como ós de erpolação o majorae do erro de erpolação é dado por em e (.7)! ou b a e em a b. (.8)! A parr da epressão aeror pode mosrar-se que se as dervadas da ução orem lmadas para qualquer ordem a erpolação com ós de Cebsev é covergee. No eao esa proposção ão é geralmee verdadera como já íamos vso aerormee aravés da erpolação com ós equdsaes o eemplo do eómeo de Ruge. Eemplo 6 Cosdere-se ada o caso da apromação da ução de Ruge por erpolação polomal usado ós de Cebsev. Para o eeo sejam os segues 5 ós de Cebsev dados por k k cos k... 5 cujos valores são

42 e os 5 Na gura esão represeados a ução de Ruge polómos erpoladores P e Q obdos a parr de 5 ós o prmero com ós equdsaes equao o segudo com os ós de Cebsev cosderados..8 Ierpolação da ução de ruge com 5 ós de Cebsev () P() Q() Fgura - Ierpolação da ução de Ruge usado 5 ós de Cebsev. Aalogamee omado ós de Cebsev ou seja com k k cos k... obêm-se os grácos da gura 5 ode se az a comparação ere a ução de Ruge o polómo erpolador em ós equdsaes o ervalo P 9 e o polómo erpolador os ós de Cebsev Q 9.

43 .8 Ierpolação da ução de Ruge com ós de Cebsev () P9() Q9() Fgura 5 - Ierpolação da ução de Ruge usado ós de Cebsev. Como se pode vercar a ulzação dos ós de Cebsev como ós de erpolação aeua as osclações corbudo para uma dmução subsacal do erro comedo omeadamee os eremos do ervalo de egração. Comparado os polómos Q e Q 9 cosaa-se que o aumeo do grau do polómo erpolador usado ós de Cebsev corbu para uma aeuação das osclações e cosequee dmução do erro de erpolação. Esa cosaação práca esá de acordo com o que o armado aerormee quao à covergêca do polómo erpolador o caso da ução erpolada er dervadas de qualquer ordem lmadas ou seja que o erro de erpolação com ós de Cebsev ede para zero quado o grau do polómo erpolador ede para o..5. Polómo erpolador de Herme Quado além dos valores da ução ambém se em acesso aos valores das dervadas da ução os ós de erpolação pode cosrur-se um polómo apromae mas rco em ormação coecdo como polómo erpolador de Herme. A parr dese polómo é possível esmarem-se ão só valores para a ução como ambém para a sua dervada.

44 Supoamos que se preede erpolar os valores da ução e da sua prmera dervada. Ou seja preede-se cosrur um polómo que erpole os valores da ução e da sua dervada ' os ós dsos.... O polómo erpolador de Herme de grau H erá eão de sasazer as segues codções H e H ' '.... (.9) Teorema 6 (Polómo de Herme) Cosderemos C a b e... a b ós dsos. Eão o úco polómo de grau meor ou gual a deoado por H sasazedo as codções H e H ' '... é dado por ode e H U V ' U V ' l l l (.) (.). (.) Recordamos que os polómos de Lagrage l são obdos pela epressão (.6). Para a cosrução do polómo de Herme H a orma de Newo cosderamos que os ós... são subsuídos pelos ós ' '... ' e azemos ' k eder para k k.... Dese modo lm ' k k ' k k k k lm ' k k ' k k ' k k ' k (.) 5

45 6 O polómo de Herme a orma de Newo será dado por H (.) Teorema 7 (Erro de erpolação) Seja b a C e... ós dsos perecees ao ervalo [ b a ]. Eão para qualquer b a * ese ab al que * * * *! W H e (.5) Eemplo 7 Dada a ução l calcular usado a erpolação cúbca o valor apromado de.5 bem como o respecvo erro comedo sabedo que: 69. e 5. ' ' Pela epressão (.) o polómo de Herme que erpola a ução e a sua prmera dervada é dado por H. Os coecees e serão deermados com recurso a uma abela de dereças dvddas com repeção dos ós de erpolação.

46 ª ordem ª ordem ª ordem lm ' ' ' lm ' ' '. 5 Tabela - Tabela de dereça dvddas para a erpolação de Herme. Dode H.. e porao obém-se. 5 H Para smulação e epermeação umérca dese po de erpolação polomal em alab é ulzada a roa erme apreseada a segur a qual az ambém uso da roa ermecoe. uco p = erme(d) %Erada - é um vecor que dca a(s) abcssa(s) ode % queremos calcular o(s) valor(es) de H+() % - é um vecor que coém os ós % - é um vecor que coém os valores odas % - d é um vecor que coém o valor das dervadas % os ós %Saída - p é um vecor que coém o(s) valor(es) de H+() % calculado(s) a(s) abcssa(s) de a = ermecoe(d); = leg(); or = : (*-) = (); 7

47 (*) = (); ed or = : leg() ddd() = ; c() = a(); or j = : * ddd(j) = (() - (j-)).*ddd(j-); c(j) = a(j).*ddd(j); ed p() = sum(c); ed uco a = ermecoe(d) %Erada - é um vecor que coém os ós % - é um vecor que coém os valores odas % - d é um vecor que coém o valor das dervadas % os ós %Saída - a é um vecor que coém as dereças dvddas % que guram o polómo erpolador de Herme = leg(); a() = (); % duplcação dos ós e dos valores odas or = : (*-) = (); (*-) = (); (*) = (); (*) = (); ed % cálculo das dereças dvddas de prmera ordem or k = : - d(*k-) = d(k); d(*k) = ((*k+) - (*k))/((*k+) - (*k)); ed d(*-) = d(); % cálculo das dereças dvddas de ordem j> or j = : *(-) or k = : *-j d(kj) = (d(k+j-) - d(kj-))/((k+j) - (k)); ed ed 8

48 d(*-) = (d(*(-)) - d(*(-)))/((*) - ()); dsp('tabela das dereças dvddas') dsp(d) or j = : * a(j) = d(j-); ed Usado a roa erme obém-se o segue: >> erme(.5[][.69][.5]) Tabela das dereças dvddas as =.9 Pela epressão (.5) em-se e H ! Tedo em coa o valor mámo de erro de erpolação comedo dado por e.!.5 ma. 5 é possível ober o majorae do Como 6 ma ma 6 em-se e. 9

49 De seguda vamos apromar a ução de Ruge o ervalo [-] que emos vdo a cosderar usado erpolação de Herme com os 5 ós de Cebsev já ulzados o eemplo 6. Dese modo preede-se cosrur um polómo de Herme a parr do segue supore de erpolação: ' ' ' ' ' Recorredo ao alab com a roa erme poder-se-á cosrur o polómo erpolador de Herme H ese caso de grau ove podedo depos ober-se o gráco represeado a gura 6 ode se mosra a ução de Ruge polómo H. e o reerdo.9 Fução de Ruge e erpolação de Herme usado 5 ós de Cebsev H() () Fgura 6 - Ierpolação da ução de Ruge por um polómo de Herme. Comparado ese polómo de Herme o mesmo úmero de ós de Cebsev meos osclações apromado melor do que a cosrução de H com aquele que o obdo a gura com Q pode observar-se que H desevolve Q coorme sera de esperar pos H clu a ormação adcoal das dervadas da ução de Ruge.

50 . Apromação umérca usado Sples.. Irodução O problema da cosrução de curvas de ormas lvres é um problema ago que surgu prcpalmee as áreas da cosrução aval e arquecura ode o objecvo prcpal é cosrur curvas suaves mas coecdas por Sples ou seja curvas composas por derees polómos erpoladores do mesmo grau (abualmee cúbcos) udos por poos de corolo (ós de erpolação) os quas se devem vercar codções de regulardade (coudade abualmee aé à dervada de ordem ) por orma a oberse uma apromação umérca suave (sem varações aceuadas) um dado ervalo de erpolação. Esa écca ambém é coecda como erpolação segmeada uma vez que cada um dos polómos que compoêm a curva do Sple é erpolae um subervalo (segmeo) do ervalo de erpolação. Como já vmos um aumeo do úmero de ós de erpolação ou seja um aumeo do grau do polómo erpolador em sempre melora a apromação desejada. Recorredo à erpolação por Sples pode cosegur-se um melorameo sgcavo da qualdade dessa apromação. De uma orma práca e aededo ambém à orgem do ermo em glês Sple ese pode ser cosderado como uma régua de madera que é ulzada para cosrur uma curva suave que acompaa a varabldade dos ós de erpolação dados. Cosró-se assm uma ução Sple erpoladora com uma cera regulardade que esá mamee lgada à lebldade daquela régua... Sples: deção e cosrução Em 96 o maemáco Scoeberg apreseou a prmera deção rgososa dese po de uções a parr da qual se cegou à deção acual de Sples.

51 No desevolvmeo eórco que a segur se apresea dvde-se o ervalo I a b subervalos dsso cosderam-se ada as segues oações em ode a... b. Além ma com ode é desgado por parâmero da mala. (.) Deção 5 (Sple). Uma ução Sple erpoladora S de grau k o ervalo a b coedo os ós... as que a... b sasaz as segues codções:. S ; (.).... Em cada subervalo S () de grau k ;.... S possu dervadas coíuas aé a ordem S k C a b. S cocde com um polómo k o ervalo b a ou seja Relavamee às codções da deção aeror oe-se que a prmera () garae que a ução S é erpoladora o supore de poos cosderado equao a seguda () mplca que os polómos S () odos do mesmo grau êm de sasazer as codções de erpolação resulaes de () e além dsso por () ambém êm de garar codções de regulardade (coudade) aé à ordem k os ós ermédos de erpolação (ou seja em odos os ós ecepo os ós eremos do ervalo de erpolação). Daremos maor êase aos Sples cúbcos (de grau k ) por serem os que a práca são de maor uldade pos com eles coseguem-se cosrur curvas com razoável regulardade (de ordem dos) que orecem boas apromações umércas. No eao para se eeder melor a sua cosrução começaremos por azer uma breve abordagem aos Sples de grau mas bao (zero um e dos).

52 ... Sples de grau zero um e dos No caso de um Sple de grau zero (gura 7) k S cocde em cada subervalo do ervalo a b com um polómo () de grau zero. Assm em cada subervalo S () é al que... S S... (.) Teorema 8 Seja C a b e S um sple de grau zero. Eão o erro comedo quado se erpola a ução pelo sple S é al que e ( ) S( ) ma '. ab Aplcado o eorema do erro de erpolação a um subervalo geérco demosração dese resulado é medaa. a Fgura 7 Fução Sple de grau zero. Tedo em coa a deção 5 uma ução Sple de grau um ( k ) S é coíua em odo o ervalo a b e em cada subervalo cocde com um polómo S () de grau um (gura 8). Para garar a coudade da ução S cada um dos polómos ser dedo da segue orma S pode

53 S... (.) Fgura 8 Sple de grau. Teorema 9 Seja C a b e S um sple de grau um. Eão o erro comedo quado se erpola a ução pelo sple S é majorado por e. 8 ab ( ) S( ) ma '' A demosração dese resulado az-se por um racíoco aálogo à do eorema aeror. Um Sple de grau dos ou quadráco S cocde em cada subervalo com um polómo () S de grau. Além dsso pelas codções de regulardade () S em de ser uma ução couamee derecável em odo o ervalo a b. Assm um Sple quadráco é uma curva suave composa por parábolas S () que os ós de erpolação ermédos se uem de modo coíuo e com agees ambém coíuas (regulardade aé às dervadas de ordem ) de um subervalo para o ouro. Como em cada um dos subervalos o Sple é represeado por um polómo erpolador de grau dos ora-se ecessáro calcular rês coecees para der cada um desses polómos (parábolas). Ou seja a cosrução do Sple quadráco requer o cálculo de coecees.

54 Ora aplcado as codções de erpolação () os ós e resulam duas equações por cada um dos subervalos perazedo equações o ervalo b a. Além dsso pelas codções () a coudade da prmera dervada os ós ermédos... orece mas equações. Assm obêm-.se o oal equações. Dode o úmero de equações é eror ao úmero de coecees a serem deermados pelo que é ecessáro mpor uma codção suplemear para que se possam deermar os polómos de grau dos que deem o Sple quadráco. Uma póese é por eemplo cosderar uma codção a prmera dervada um dos ós eremos S ( ) ou S '( ) mpodo um deermado valor para essa dervada o caso desse valor ão ser coecdo. ' Na cosrução do Sple quadráco remos cosderar que a dervada o ó assume um deermado valor m. Como em cada subervalo S é um polómo de grau dos pode assumr-se que a sua prmera dervada vara de uma orma lear ou seja S ' m ode é dado a epressão (.) e os parâmeros dos polómos S os ós as que m S'... (.5) m represeam as prmeras dervadas ' m S... e ' ( ) S'( ) m. S A epressão (.5) represea um polómo de grau um cuja orma garae a coudade de S' em S. Dese modo egrado (.5) obém-se m m c. Em cada subervalo a cosae real c será calculada edo em coa a codção de erpolação S S a qual perme deduzr 5

55 S m m.... (.6) Aededo às codções () e () da deção 5 de Sple erpolador ada é ecessáro garar que S S S dode resula que vdo m m m m... (.7) Assm se o valor da dervada de S o ó m or dado obêm-se pela epressão (.7) os valores de m... compleamee deermado. m m pelo que pela epressão (.6) o Sple quadráco ca Eemplo 8 Deermar a ução Sple S q de grau dos que erpola os segues valores 5 sabedo que ' ' m. Aededo aos dados orecdos subdvde-se o ervalo b 5 subervalos e 5 a em rês. Dese modo o Sple quadráco S q será cosuído pelos polómos de grau dos S S e S sedo dedo da segue orma Sq S S S 5 Pela epressão (.7) calculamos os valores das dervadas de S S e S respecvamee os ós e 5 ou seja 6

56 7 m m 6 m m e 6 5 m m. Com eses valores recorredo à epressão (.6) deermam-se os polómos quadrácos que deem ) ( S q cujo gráco é dado a gura 9 obedo-se m m S m m S 6 m m S Dode em-se 5 6 Sq Como sera de esperar pode cosaar-se que as codções de coudade aé às dervadas de ordem um são saseas so é S S S S e ' ' S S e ' ' S S.

57 Sple Quadráco 6 S S S Fgura 9 Gráco do Sple quadráco S q () do eemplo Sples cúbcos Da deção 5 dervam-se as segues propredades do Sple cúbco: S (codções de erpolação);... Em cada subervalo S () de grau rês;... S cocde com um polómo S S' e S '' são coíuas o ervalo b a. Dese modo em cada subervalo S ''( ) é um polómo de grau meor ou gual a um pelo que pode ser escro a orma S ''... (.8) ode os parâmeros abualmee desgados por momeos correspodem aos valores das segudas dervadas dos polómos S os ós as que S'' S' '... e S' '( ) S''( ). A cosrução é aáloga à do Sple quadráco e a deção de cada polómo ''( ) aravés de (.8) garae a coudade de S ' obém-se ' em. Iegrado duas vezes (.8) S 8

58 9 d c S 6 6 que depos de algus ajuses se pode escrever a orma d c S 6 6. (.9) As cosaes de egração c e d são deermadas edo em coa as codções de erpolação S S.... (.) Usado esas codções a epressão (.9) e após algumas smplcações cega-se às segues relações 6 6 d e c as quas permem escrever S (.) Para ermar a cosrução do Sple cúbco ala o cálculo dos parâmeros o qual se ora mas moroso que o caso do Sple quadráco coorme veremos a segur. Para sso usam-se as codções de coudade das prmeras dervadas os ós erores ada ão cosderadas ou seja... ' ' S S. (.) Ora dervado (.) em-se 6 S ' (.) dode

59 5 S 6 ' ' 6 S. Subsudo as duas úlmas gualdades a epressão (.) e após rearrajo de ermos vem (.) A epressão (.) coduz a um ssema de equações o que é sucee para deermar as cógas.... Dese modo ora-se ecessáro mpor duas codções suplemeares as quas dão orgem a Sples cúbcos coecdos como por eemplo: Sple cúbco compleo: ' ' ' ' ) '( ) ( ' S S (.5) Com as dervadas ' e ' dadas a pror e edo em coa a epressão (.) após algumas smplcações deduzem-se as duas equações segues ' ' 6 6 (.6) Sple cúbco aural: S S '' '' (.7) Sple cúbco peródco:. ' ' S S (.8)

60 Em odos eses casos o problema do cálculo das cógas... a parr de equações leares pode ser ormulado aravés de um ssema marcal adequado. ulplcado (.) pelo acor 6 obém-se d... (.9) ode 6 e d. Para o caso do Sple cúbco aural ou seja cosderado S '' e S ' ' a deermação das resaes cógas... pode ser ea de (.9) recorredo a um ssema rdagoal de equações e cógas. Na orma marcal al ssema é dado por d d d... d d. (.) Ora aclmee se pode mosrar que a marz do ssema (.) é de dagoal esramee domae por las sedo por sso verível como se demosra em (Pa 995 Cap. 6) dode o ssema em solução úca qualquer que seja o segudo membro. Além dsso como a marz do ssema é rdagoal a obeção dos momeos ora-se uma area relavamee ácl aravés da aplcação de um algormo adequado em alab como por eemplo o coecdo algormo de Tomas para ssemas rdagoas (Pa 995 Cap. 6). Eemplo 9 Deermar o Sple cúbco aural S c () que erpola os segues valores 5

61 5 5. Como são dados quaro poos para deermar ) ( S c é ecessáro ober rês polómos de grau rês ) ( S ) ( S e ) ( S erpoladores os ervalos e 5 respecvamee. Além dsso vso que se raa de um Sple cúbco aural em-se. Nese caso aplcado (.) obém-se o ssema de equações com solução 56 7 e. Assm usado (.) podem escrever-se as equações de ) ( S ) ( S e ) ( S S S S e porao subsudo odos os valores coecdos após smplcações deerma-se o Sple cúbco ) ( S c para 5 cujo gráco é dado a gura :

62 S c Sple Cúbco S S S Fgura - Sple cúbco aural S c () do eemplo 9. Teorema - Erro de erpolação de um Sple cúbco (Quarero 7) Seja C a b e o ervalo b a subdvddo em ervalos de comprmeo... ode ma. Sedo S c o Sple cúbco erpolae da ução em a b eão 5 Sc 8 ' ' Sc '' '' Sc. 8 5

63 Eemplo Sple cúbco erpolae da ução de Ruge 5 Ierpola-se a ução de Ruge ' 5 5 usado-se um Sple cúbco compleo. cuja dervada é Para o eeo ulza-se o segue algormo que clu a roa sple do alab a qual perme ober o Sple cúbco preeddo: = -:.:; =./( + 5*.^); d=5/8; d=-5/8; =[d d]; = -:.:; = sple( ); plo( '' ) le('ierpolação da ução de Ruge com sple cúbco') Ese algormo alab perme ober o gráco da gura o qual coém a ução de Ruge e o Sple cúbco compleo obdo com poos equdsaes de passo =...9 Fução de Ruge Sple cúbco compleo Fgura - Sple cúbco compleo erpolae da ução de Ruge com =.. Coorme se pode cosaar a apromação da ução de Ruge pelo Sple cúbco compleo erpolae é basae razoável. Isso ambém sucede porque se ulzou um passo muo pequeo pos coorme se pode cosaar pelo eorema se a dervada de quara ordem da ução erpolada or lmada o majorae do erro de erpolação 5

64 comedo depederá apeas do espaçameo mámo ere os ós cosderados. Quao meor or meor será o erro de erpolação comedo (ederá mesmo para zero quado ambém eder para zero). Na gura pode observar-se o caso da apromação da ução de Ruge pelo Sple cúbco compleo erpolae com =...9 Fução de Ruge Sple cúbco Fgura Sple cúbco compleo erpolae da ução de Ruge com =.. Usado ós de erpolação com =/9 poder-se-a vercar ambém ese caso que o Sple cúbco aproma melor a ução de Ruge do que os polómos erpoladores obdos as guras 5 e 6 do Cap. com ós de Cebsev. Para. e edo em coa que o valor mámo da dervada de quara ordem da ução de Ruge o ervalo 5 é dado por um majorae do erro de erpolação comedo em valor absoluo é al que Sc ma Ese valor obdo para o majorae do erro de erpolação corma a qualdade da apromação do Sple cúbco erpolae da ução de Ruge cosderada. 55

65 .. Sples a orma paramérca Em ceras aplcações como por eemplo o desevolvmeo de proópos as dúsras auomóvel de avação ou aval surgu a ecessdade de se rabalar com curvas paramércas para modelação dos mas varados objecos com ormas suaves. Na represeação paramérca de curvas o comporameo da curva ao logo do empo é dedo depedeemee por uma equação para cada um dos eos. A orma geral dessas curvas o caso de grau rês (cúbcas) pode ser dada por X Y z Z a a z a b b b z c c d d c d z z (.) Dese modo a ução Sple cúbca paramérca depedee das varáves e z é da orma S z S z S z... S z sedo um poo qualquer da curva P dedo por Y Z P X. (.) Eemplo Cosrur um Sple cúbco paramérco que erpola os poos a b c d e de al que: a b c d e e. Para o eeo desevolveu-se a roa sple_param (Sple cúbco rdmesoal) a segur dcada que cosderado como vecores de erada e z dados por e z paramérco cujo gráco é represeado a gura. perme deermar o Sple cúbco 56

66 z Os vecores de erada e z represeam as coordeadas de cada poo segudo cada um dos eos caresaos. uco [z]=sple_param(z) ()=; or =:leg()- (+)=()+sqr(((+)-())^+((+)-())^+(z(+)-z())^); ed k=[():((leg())-())/:(leg())]; =sple(k); =sple(k); z=sple(zk); plo(z'r*') old o plo(z) grd o Sple Paramérco Las ere poos cosecuvos Fgura - Sple cúbco paramérco do eemplo... Curvas de Bézer As curvas de Bézer (Su 989) oram desevolvdas a década de 7 a dúsra auomóvel pelo egeero Perre Bézer (9-999) da Reaul que as roduzu pela prmera vez o domío da compuação gráca para a cocepção de carroçaras de auomóves. Esas curvas são cosruídas com base a apromação por sucessvos segmeos de reca que udos ormam polígoos. Podem ser lsas er curvaura aceuada e ormarem laços. 57

67 As éccas ulzadas a cosrução das curvas de Bézer cosuíram a base da udação maemáca do UNISURF (Bezer 986) ssema asssdo por compuador para desg de curvas e superíces desevolvdo por Bézer em 97. Uma curva de Bézer de ordem k é um polómo de grau k dedo por k poos de corolo. O raçado da curva é gerado por equações ode as varáves e reerees a coordeadas de cada poo da curva são depedees das coordeadas dos vérces do polígoo de corolo ou polígoo de Bézer dedo pelos poos de corolo. O polígoo de corolo é obdo udo os sucessvos poos de corolo aravés de segmeos de reca. Resumem-se a segur as propredades das curvas de Bézer: A curva é deermada após a deção dos poos de corolo e esá oalmee coda o polígoo coveo dedo por esses poos de corolo; O grau do polómo que dee a curva de Bézer é uma udade a meos que o úmero de poos de corolo; A curva erpola o prmero e o úlmo poo de corolo; No prmero poo de corolo a curva é agee ao segmeo de reca que ue o prmero e o segudo poo de corolo; No úlmo poo de corolo a curva é agee ao segmeo de reca que ue o peúlmo e o úlmo poo de corolo; A curva em um comporameo smérco em relação a e daí que esa propredade perme a versão da ordem dos vérces do polígoo de corolo sem que aja aleração da orma da curva; Fazedo cocdr o prmero com o úlmo poo de corolo ora-se possível der curvas ecadas; Se o grau do polómo da curva de Bézer ão or muo elevado a curva segue de uma orma mas ou meos razoável o polígoo de corolo sem osclações aceuadas. Um eemplo de uma curva de Bézer pode ser vsualzado a gura. 58