RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO. Título do Projeto de Pesquisa (ao qual está vinculado o Plano de Trabalho ):

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1 UNIVRSIDAD FDRAL DO PARÁ PRÓ-RITORIA D PSQUISA PÓS-GRADUAÇÃO DIRTORIA D PSQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL D BOLSAS D INICIAÇÃO CINTÍFICA PIBIC : CNPq CNPq/AF UFPA UFPA/AF PIBIC/INTRIOR PARD PIAD PIBIT PADRC FAPSPA RLATÓRIO TÉCNICO - CINTÍFICO Período : _1 /08 /_014 a _1 /07 / 015 ( ) PARCIAL ( X ) FINAL IDNTIFICAÇÃO DO PROJTO Tíulo do Proeo de Pesqusa (ao qual esá vculado o Plao de Trabalho ): Nome do Oreador: Fabríco José Bro Barros. Tulação do Oreador: Pós-Douor Faculdade : Uversdade Federal do Pará Isuo/Núcleo: Campus Uversáro de Tucuruí Laboraóro: Laboraóro de leromagesmo Aplcado (LMAG) Tíulo do Plao de Trabalho : Síese e Aálse de Aeas Trdmesoas Ulado o Méodo FDTD. Nome do Bolssa: ugo Rvere Slva Moraes Tpo de Bolsa : ( ) PIBIC/ CNPq ( ) PIBIC/CNPq AF ( ) PIBIC /CNPq- Coa do pesqusador ( ) PIBIC/UFPA ( ) PIBIC/UFPA AF ( ) PIBIC/ INTRIOR (X) PIBIC/PARD ( ) PIBIC/PADRC ( ) PIBIC/FAPSPA ( ) PIBIC/ PIAD ( ) PIBIC/PIBIT INTRODUÇÃO 1

2 Desde a egehosa dea proposa por Kae S. Yee em 1966 os avaços a área de eleromagesmo aplcado em sdo cosderáves pos o rápdo crescmeo a área da compuação possblou uma abordagem cada ve mas precsa dos problemas evolvedo as equações de Mawell o domío do empo. A parr dos aos 90 começaram surgr muas publcações a respeo do méodo FDTD desde eão foram realados dversos esudos para epadr a aplcação do méodo por eemplo o desevolvmeo das codções de cooro absorvees que aperfeçoaram a resolução dos problemas em regões aberas lvres de cooro. Porao edo em vsa a aálse e síese de esruuras eleromagécas compleas ou sea a aálse de aeas o aual proeo de pesqusa ecorou o FDTD um méodo deal para ober resulados sasfaóros da modelagem compuacoal das mesmas. JUSTIFICATIVA Aualmee muos problemas de egehara prcpalmee a área de eleromagesmo aplcado ão podem ser deermados aalcamee porao um méodo de aálse umérca compuacoal fa-se ecessáro para resolver as problemas. sem város méodos que aedem a essa ecessdade dere eles esá o Méodo das Dfereças Fas o Domío do Tempo (FDTD) que como qualquer ouro méodo raa equações de forma dscrea. Porém ese méodo é classfcado como deal para aplcar em problemas evolvedo eleromagesmo á que o mesmo pode solucoar as equações de Mawell subsudo dreamee as equações dferecas o domío do empo por equações de dfereças fas o domío dscreo de espaço-empo. Segudo Taflove [1] umas das raões para a aplcação do méodo são: a sua forma smples de raar equações ão-leares de muas varáves e ão ular álgebra lear; faedo com que o lme de varáves uladas depeda somee do amaho da memóra dspoível para o processameo sedo porao deal para resolver problemas compleos como os de eleromagesmo. Por eemplo o méodo FDTD pode ser usado para ober dagramas de rradação e de mpedâca em aeas de uma maera bem drea. Iso se deve ao fao de ambos dagrama de rradação e de mpedâca serem obdos aravés da dsrbução espacal dos campos eleromagécos calculados pelo méodo. Porém quao mas compleo for o problema fa-se ecessáro o uso de um bom compuador com processador e memóras de ala qualdade. OBJTIVOS O obevo dese rabalho é realar o esudo do méodo de aálse umérca deomado de Méodo das Dfereças Fas o Domío do Tempo (Dfferece-Fe Tme-Doma Mehod em

3 glês) para solucoar problemas em eleromagesmo aplcado. O esudo realado vsa compreeder o méodo FDTD para aplca-lo o cálculo da dsrbução de campos eleromagécos em coordeadas reagulares a fm de aalsar as caraceríscas de rradação de aeas. Porao foram desevolvdos algormos em lguagem FORTRAN para calcular os valores dos campos eleromagécos e poseror smulação dos mesmos para observar os resulados grafcamee. Foram aalsados créros de esabldade os algormos para que os resulados aedessem ao que fo proposo. As ferrameas uladas foram o ambee de desevolvmeo de programas MICROSOFT DVLOPR STUDIO e o sofware comercal MATLAB versão Os resulados possblaram aravés das amações a vsão da rradação dos campos eleromagécos dado maor oção de como fucoa uma esruura eleromagéca complea (aea). Para os prómos meses espera-se focar a aplcação do méodo a aálse e síese de aeas. MATRIAIS MÉTODOS O maeral para esudo do méodo fo pesqusado as prcpas referêcas adoadas pelo plao de rabalho. após absorvda a dea do méodo FDTD buscou-se mplemear os algormos para smular a propagação das odas em duas suações: odas em um meo fechado ere paredes elércas e um meo abero ou sea o espaço lvre. Para ao foram ulados os coceos de codções de cooro cados ode fo cado aerormee. Para a eecução dos algormos fo ulada a lguagem FORTRAN o sofware de desevolvmeo MICROSOFT DVLOPR STUDIO e as aálses gráfcas foram realadas aravés do sofware MATLAB versão O méodo das dfereças fas FDTD O méodo FDTD cosse em subsur dervadas parcas de um meo coíuo por dervadas em um meo dscreo ou sea rasformar essas dervadas em dfereças fas ere um cremeo de amaho muo pequeo. Porao desa maera as fuções de um deermado problema o domío coíuo podem ser raadas de forma dscrea. No méodo FDTD uma malha é roduda para smular o meo de modelagem do problema al malha é dvda em células deomadas células de Yee[] (a célula esá represeada a fgura 1). Iso se deve a Kae S. Yee que propôs o ao de 1966 uma egehosa abordagem para elaborar as equações de Mawell o domío dscreo. No méodo proposo por Yee as compoees do campo elérco e do campo magéco são dsposas a célula de forma que cada compoee de campo sea crcudada por quaro compoees 3

4 do campo ocorredo o mesmo ao coráro. As compoees de campo são dsposas as paredes das células equao que as compoees de campo fcam poscoadas os ceros das mesmas. Assm a malha é preechda de maera que odo espaço eha compoees dos campos ercaladas ere s. Na aálse e síese de uma aea um elemeo essecal é a sua foe de ecação pos é dela que sarão os campos e se propagarão por meo do espaço-empo; o ambee compuacoal quado a ecação é defda de forma a ser somada aos valores dos campos calculados pelo méodo FDTD o poo de ecação esa foe é deomada de sof. Quado os valores dos campos são forçados a se sobrepor aos campos calculados a foe é cosderada hard. A foe ulada ese rabalho é do po poual ou sea uma foe que eca apeas uma compoee de campo em um deermado poo da malha. Fgura 1 Célula rdmesoal proposa por Yee[3]. Na aplcação do méodo as equações de Mawell para um meo sorópco mosradas em (1) e () em ser dscreadas. ε (1) μ () Nesas equações é o veor esdade de campo magéco e é o veor esdade de campo elérco μ a permeabldade magéca e a permeabldade elérca. 4

5 5 As coordeadas espacas coíuas são subsuídas por ídces que dcam as coordeadas em um meo dscreo. Logo K J I K J I ode são as coordeadas espacas referees aos rês eos e represea o empo. Os e são cremeos ao logo de e respecvamee e I J K e são os ídces eros adoados os algormos. A dsrbução das coordeadas em uma célula pode ser observada a fgura 1. Tomado a le de Ampère(1) e de Farada() a forma marcal eremos: μ (3). ε (4) Para defrmos os ermos do lado dreo da equação marcal ulamos a segue defção de dervada emporal K J I F K J I F K J I F 1 (5) logo as equações de dfereças fas de Mawell serão:

6 6 (6) (7) O edereçameo dos campos esá sedo feo por célula possblado a aplcação drea em algormo o compuador porém a formulação da eora mosra os cremeos sedo edereçados por posção com os cremeos espacas o valor de ±. As compoees esão ercaladas ere s por um período de ½ ervalo de empo. Vale ressalar que as epressões de dfereças fas obdas em um erro local de rucameo de seguda ordem em odos os cremeos [3]. Sedo defdos os ermos do lado esquerdo defmos os ermos do lado dreo como:

7 δ 1 δ 1 δ 1 δ δ 1 δ (8) e 1 1 δ 1 K 1 δ 1 1 δ 1 1 δ 1 1 δ 1 δ 1 (9) Assm podem ser defdas as equações de Mawell em sua forma dscrea como segue:

8 1 δ 1 1 δ δ δ 1 δ 1 1 δ (10) e 1 1 δ δ δ 1 δ 1 1 δ (11) 1 δ Para aplcar o méodo é ecessáro obedecer a um créro de esabldade sedo: δ (1) c0 3 8

9 ode 1 c0 ( 00) a velocdade da lu o vácuo. Para o caso bdmesoal do problema emos: δ (13) c0 Codções de cooro absorvees Uma das dfculdades ecoradas a smulação em um domío compuacoal é ea resolver problemas em regões aberas lvres de cooro pos devdos os campos se dspersarem para o fo a smulação dos mesmos em compuador era que dspor de uma quadade lmada de dados á que sso ão é possível o problema compuado deve ser defdo um amaho lme para a malha e aplcado codções de cooro que smulem a aeuação das odas eleromagécas para fora de al lme. sas codções de cooro são chamadas de codções de cooro absorvees. Dere ouras codções de cooro uma delas smula as superfíces ode as compoees e são ulas chamadas de paredes elércas (PC). sa codção é ulada quado se desea aalsar esruuras em que as suas paredes cosuem-se de guas meálcos perfeos. No presee rabalho foram uladas as codções de codções de cooro: UPML e PC. Dagrama De Radação O dagrama de radação de uma aea ou smplesmee o dagrama da aea é defdo como uma fução maemáca ou represeação gráfca das propredades de radação da aea em fução das coordeadas espacas. Na maora dos casos o dagrama de radação é deermado a regão de campo dsae e é represeado como uma fução de coordeadas drecoas. Os resulados são raçados em escala logarímca pos a maora das vees a escala é coveee devdo sua permssão de aceuar com mas dealhes aquelas pares do dagrama que êm valores muo pequeos. Na práca o dagrama rdmesoal é meddo e gravado como uma sére de dagramas bdmesoas. Váras pares de um dagrama são referdas como lóbulos que podem ser subclassfcados como: prcpal secudáro laeral e poseror. Um lóbulo de radação é uma porção do dagrama lmada por regões de esdade de radação relavamee fraca. Um lóbulo prcpal é defdo como sedo o lóbulo que coêm a dreção da máma radação. Um lóbulo secudáro é qualquer ouro que ão o prcpal. Um lóbulo laeral é um lóbulo em qualquer dreção que ão sea a do lóbulo deseado. Um lóbulo poseror é um lóbulo de radação cuo eo fa um âgulo de apromadamee 180º com o fee da aea.[4] 9

10 RSULTADOS Foram desevolvdos em lguagem FORTRAN programas que smulassem a propagação de odas eleromagécas em um meo lmado usado a codção de cooro chamada UPML. A vsualação da smulação da propagação da oda eleromagéca aravés da aea fo fea com o auílo do sofware MATLAB. A foe de ecação ulada em odos os esudos de caso eceo para a UPML fo uma foe poual ecada por um pulso gaussao localada o cero do domío compuacoal. Ulamos a segue foe de pulso gaussao modulado em seo. Fgura Pulso gaussao ulado a foe do problema. A smulação realada para a obeção da rradação dos campos aravés de uma aea corea seoral plao- esá represeada abao. Fgura 3 Smulação em MATLAB de uma aea corea seoral plao- aplcado a pml. Smulação para 65 erações o empo. 10

11 Na mplemeação dos eemplos acma buscou-se aprmorar o algormo para dar erada o comprmeo de cada aea e o âgulo de aberura das mesmas aravés do eclado. Os eemplos acma smulam aeas de mesmo comprmeo e com um âgulo de aberura gual à 14º graus. Fo mplemeado um algormo para o cálculo do dagrama de radação da aea corea apreseada acma. Fgura 4 - Dagrama de radação em algormo MATLAB. Para ober o dagrama fo avalado o sae de empo que se devera ober os campos a serem rasformados. Fo verfcado aravés do gráfco a parede froal da aberura a parr de que sae de empo o campo ão mas varava esa parede. Fgura 5 - Amplude do campo elérco para 10 G o cooro de rasformação de campo prómo para campo dsae para =

12 f() Após 800 erações fo observado que o valor de campo ão mas varava. m ossos esudos de caso ambém fo cosderada uma aea do po dpolo e ao sua smulação quao o seu dagrama de radação esão represeados a fgura 5 e fgura 7 respecvamee. Fgura 5 - Smulação em MATLAB de uma aea dpolo aplcado a pml. Smulação para 1000 erações o empo. 1.5 Pulso Gaussao modulado em seo passo de empo() Fgura 6 Pulso gaussao ulado para a aea dpolo. O pulso gaussao mosrado a fgura acma fo ulado para smular a aea do po dpolo em 3D o mesmo é represeado pela segue fução: ode: f() = 1.484*s(*p*fc*(*d))* ep((*d-3*al0)**/(-al0**)) fc = 10 G fh = 15 G d = s 1

13 al10 = (p*(fh-fc)) Fgura 7 Dagrama de campo dsae de uma aea dpolo represeado o plao. Fo obdo o dagrama da mesma em relação ao plao os resulados obdos foram comparados com a leraura especalada cofrmado a efcêca do algormo desevolvdo para obê-lo. Fgura 8 Dagrama de campo dsae de uma aea dpolo represeado o plao. O esudo de caso para a aea mcrofa fo realado em um domío rdmesoal como proposo o plao de rabalho a smulação da mesma fo gerada em MATLAB e esá represeada a fgura 9 as fguras 10 e 11 é possível vsualar os seus respecvos dagramas. 13

14 Fgura 9 - Smulação em MATLAB de uma aea mcrofa aplcado a pml. Smulação para 100 erações o empo. Fgura 10 Dagrama de campo dsae de uma aea mcrofa represeado o plao. Fo obdo o dagrama em relação ao plao os resulados obdos foram comparados com a leraura especalada. 14

15 Fgura 11 Dagrama de campo dsae de uma aea mcrofa represeado o plao. CONCLUSÃO Nese rabalho foram realados os esudos de caso de uma aea corea seoral plao- uma aea dpolo e uma aea mcrofa. Tas esudos de caso foram aplcados para se er base de como fucoa uma esruura eleromagéca complea ou sea uma aea. Demosrado porao a dsrbução espacal do campo em fução do empo dado a possbldade de ober as caraceríscas de rradação da mesma. Foram mplemeados aravés de algormos em FORTRAN a aálse de aeas do po corea seoral plao- e dpolo ode esas foram aalsadas ulado a écca da codção de cooro UPML. No caso da aea corea seoral fo ecessáro redur sua aálse para um domío bdmesoal devdo ao alo poder de processameo requerdo e ambém por ser mas práca opou-se por realar a aálse bdmesoal prmero. Como ecoramos a leraura especalada a práca um dagrama rdmesoal é meddo e gravado como uma sére de dagramas bdmesoas. Por sua ve a aea dpolo fo mplemeada em um domío rdmesoal os resulados obdos foram sasfaóros pos são coerees com os ecorados a leraura. 15

16 spera-se que o presee rabalho dê orgem a argos ceífcos que além de publcados em peródcos e coveções poderão possblar a produção de Trabalhos de Coclusão de Curso (TCC) o campus de Tucuruí. RFRÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] K.S. Yee Numercal soluo of cal bouder-value problems volvg Mawell s equaos soropc meda I Tras. A. Prop. vol. AP-14 Ma 1966 pp [] A. Taflove Compuaoal lecrodamcs: The Fe-Dfferece me Doma Boso MA: Arech ouse [3] G. Mur Absorbg boudar codos for he fe-dferece appromao of he medoma eleromagec feld equaos I Tras. lecromagec Compabl vol. MC-3 pp Nov [4] BALANIS Cosae A. Teora de aeas: aálse e síese volume Cosae A. Balas; radução J. R. Soua; revsão Slvo resro Barb J. R. Sua. Ro de Jaero: LTC 009. [5] S.D. Gede A Asoropc Perfecel Mached Laer- Absorbg Medum for he Trucao of FDTD Laces I Tras. Aeas Propaga. vol. AP-44 No. 1 pp Dec DIFICULDADS Implemear a aea corea seoral plao em um domío rdmesoal devdo à compledade de sua esruura. PARCR DO ORINTADOR: Acredo ser sasfaóro o relaóro apreseado pela bolssa que coseguu esudar a fucoaldade do Méodo FDTD. O bolssa coseguu cumprr o croograma de seu plao de rabalho cludo a smulou a Camada perfeamee casada asorópca uaal (UPML) em esudos de caso bdmesoal e rdmesoas.. DATA : 10 / 08 / 015 ASSINATURA DO ORINTADOR ASSINATURA DO ALUNO 16