CONTROLE ÓTIMO DE SISTEMAS DINÂMICOS: Notas de Aula e Exemplos de Aplicação

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1 CONROLE ÓIMO DE SISEMAS DINÂMICOS: Noas de Ala e Eemplos de Aplcação AAIR RIOS NEO SÃO JOSÉ DOS CAMPOS SP

2 Aar Ros Neo

3 A coaora de odas as mhas realzações desde qe se oro a compahera as las desa vda Marl gerrera da paz sába e amorosa. Aos ossos lhos qe êm orado ão gracae as las qe por eles lamos.

4 PREFÁCIO Ese lvro de Corole Ómo de Ssemas Dâmcos é prcpalmee o reslado da complação e adeqação de oas de alas msradas ao em crsos acadêmcos de pósgradação da Escola Polécca da Uversdade de São Palo-EPUSP do Iso Nacoal de Pesqsas Espacas-INPE como a egeheros da Embraer. Os assos são sempre raados com a apreseação de eemplos de aplcação e reerêcas a reslados de pesqsa e desevolvmeo ecológco de ldade práca. O propóso é qe ele sea úl e esea aclmee ao alcace da comdade de Corole e Aomação ao as salas de ala como os ambees de rabalho de pesqsa desevolvmeo e egehara de sções e empresas. Ele o preparado de modo a orecer a ecessára base coceal e eórca para se so cldo coeúdo de revsão de assos de dameação aravés de apêdces em omzação algébrca ssemas dâmcos leares marzes assm como de capílos com os elemeos ecessáros de probabldade varáves aleaóras e processos esocáscos. A sa lzação pode ser ea de orma segmeada. A grade segmeação é aralmee corole em malha abera e corole em malha echada. Mas há segmeações meores e de ldade desacada e o aclada como: Corole Sbómo Seção.7; Esmação de Parâmeros Capílo 5; Esmação de Esado e Flro de Kalma Seções 7. a 7.6; Esmação de Parâmeros e Corole em Malha Fechada Seção 7.8; Esmação de Parâmeros Redes Neras e Corole Neral Seções 5.3 e 7.8. Com o rme propóso de corbr para possíves realzações de ldade práca pare do coeúdo é de dvlgação ddáca em prmera mão de reslados de pesqsas desevolvdas com oreados. Com a sa arbção de aora e méro desaca-se esa pare: Seção.6: Cooros Múlplos e Desgaldade de Esado Rcardo Lz Usch de Freas Po UFMG; Seção 7.4.: Esmação Adapavsa de Rído de Esado Hélo Ko Kga INPE; Seção 7.5: Esmação de Esado com Abordagem Vral de Corole Ageor de oledo Flery EPUSP FEI; Seção 7.6: éccas de Faorzação Hélo Ko Kga INPE; Seção 7.8.: Corole Seqecal de Ssemas Leares Dscreos: Solção Seqecal Baseada em Esmação de Esado José Jame da Crz EPUSP; 7.8.: Corole Predvo Neral de Ssemas Não Leares Dscreos Palo Marcelo asao IA e Jame Agso da Slva INPE. Com o mesmo propóso de eevação de ldade práca há m coeúdo reerecado desgado por Reerêcas de Aplcação prcpalmee relavo a pesqsas e desevolvmeos de reslados eos sob oreação do aor. Dese coeúdo há qe se desacar com a sa arbção de coaora reslados de eora aplcada de eresse amplo: Programação Lear para Gerar Solções Sbómas de Corole Déco Caslho Ceballos INPE; Méodo de Proeção do Gradee Esocásco Rcardo Lz Usch de Freas Po UFMG e Ferado Madera UFABC; Solção Seqecal de Ssemas Leares Rcardo Lz Usch de Freas Po UFMG; Solção em Paralelo de Ssemas Leares Wlso Ros Neo Embraer; Esmação de Parâmeros de Ssemas Dâmcos Marcelo Crvo Embraer; Redes Neras Combadas com Esrra de Iegradores Nmércos para Modelar Ssemas Dâmcos Palo Marcelo asao IA; Corole Predvo Neral baseado em Algormos de Flragem de Kalma Jame Agso da Slva INPE; Ssemas Iercas Não Groscópcos Lís Gozaga rabasso IA e Edmdo Albero Marqes Flho INPE. Agradecmeos especas ao INPE pela edção elerôca dese lvro em se se propcado aos eressados acesso e cópa do correspodee arqvo pd. Aar Ros Neo São José dos Campos SP. Março.

5 SUMÁRIO CAPÍULO : Corole de Ssemas Dâmcos: Vsalzação Geral. Colocação Geral do Problema de Corole. Corole Ómo de Ssemas Dâmco 3.3 Uldade e Aplcações 5 CAPÍULO : Corole Ómo de Ssemas Dâmcos: Malha Abera. Fdameos: Coceo de Varação 7. Problema Básco 9.3 Problema com empo Fal Lvre 7.4 Víclos de Cooro.5 Víclos Dâmcos de Desgaldade 3.6 Cooros Múlplos e Desgaldade o Esado 4.7 Abordagem Sbóma 6.8 Aálse de Codções Scees 9.9 Méodos Nmércos: Irodção 3 CAPÍULO 3: Progamação Dâmca: Irodção 3. Prcípo da Omaldade 4 3. Relação Fdameal da Programação Dâmca Aplcação a Ssemas Leares Qadrácos 44 CAPÍULO 4:Elemeos de Probabldade e Varáves Aleaóras 4. Probabldade: eora Básca Varáves Aleaóras: Coceação e Propredades Báscas Varáves Aleaóras Coamee Dsrbídas Probaldades e Varáves Codcoadas 57 CAPÍULO 5: Esmação de Parâmeros 5. Fdameação eórca 6 5. Caso Lear Caso Não Lear 68 CAPÍULO 6: Processos Esocáscos: Gass Marov 6. Coceação Básca Seqêcas de Marov Processos Coíos: Gass Marov 8 CAPÍULO 7: Esmação de Esado e Corole em Malha Fechada 7. Esmação de Esado: Coceos e Fdameos Flro de Kalma: Caso Coío Dscreo Flro de Kalma: Caso Coío Dscreo Não Lear Méodos Adapavos em Esmação de Esado Esmação de Esado com Abordagem Vral de Corole 7.6 éccas de Faorzação Corole em Malha Fechada: Corole Esocásco Lear Ómo 7.8 Corole Baseado em Esmação Lear Óma e Redes Neras 3 Apêdce I: Fdameos: Omzação de Ssemas Algébrcos 9 Apêdce II: Ssemas Leares: Marz de rasção 34 Apêdce III: Idedades de Marzes 4 Ídce Remssvo 4

6 Capílo Corole de Ssemas Dâmcos: Vsalzação Geral. Colocação Geral do Problema de Corole Dado m ssema dâmco decados os víclos a serem respeados codções de parda de chegada dâmca lmações íscas de espaço empo eerga ec. o problema de corole se coloca como o de como agr sobre o ssema de modo a garar codções de operação pré-deermadas segdo especcações de operação do ssema e o créros de omzação cso segraça desempeho ec. Assm como lsrado a Fg.. o problema é o da deermação das eradas ações sobre o ssema de modo a codcoar as saídas dreamee relacoadas ao esado do ssema so é a ode e como ele esá segdo codções pré-esabelecdas. Em resmo: Problema de Corole: Dado: Ssema. Seo a: Víclos reerees a parda chegada dâmca e lmações íscas. Deermar: Eradas sasazedo codções de operação pré-esabelecdas. Eradas SISEMA Saídas Fgra.: Ssema: Esqema Básco de Corole O obevo de Corole Aomáco é o da maeralzação de solções arcas para a realzação aomáca de areas programadas pelo homem de modo a sbsí-lo e ampla-lo em ações íscas e meas. De maera basae geérca a realzação de ma solção de corole e aomação de m ssema esá codcoada à capacdade de respoder às qesões realzar as eapas e der m esqema de solção coorme a segr. Qesões para realzação da solção: - Ode e como esá o ssema em m dado sae? Iso é qal o se esado. - Por ode segr? Iso é qal a solção de gagem ao logo do empo. - Como agr sobre o ssema? Iso é como devem ser as eradas o coroles para qe as saídas seam adeqadas segdo obevos de corole e víclos.

7 Eapas para realzação da solção: - Modelagem ísca e o maemáca. - Aálse aravés de smlações e eses de vabldade omzações e desempeho. - Síese aravés da deção e realzação de solção. Esqemas de solção: Codções Eradas Saídas de Parda CONROLADOR Pré-progamadas SISEMA Fgra.: Corole em Malha Abera Perrbações Saídas + Erros Eradas Saídas Pré-progamadas - CONROLADOR SISEMA SENSORES Erros Fgra.3: Malha Fechada com Realmeação de Saídas Perrbações Esado + Erros Eradas Saídas Pré-progamado - CONROLADOR SISEMA ESIMADOR DE ESADO SENSORES Erros Fgra.4: Malha Fechada com Realmeação de Esado

8 . Corole Ómo de Ssemas Dâmcos Nese caso o corole do ssema é deermado segdo ma codção de omzação aravés da mmzação o mamzação de m ídce de perormace IP o desempeho. Sea o ssema dâmco: ode é o esado m é o corole. A parr da sasação de créros de omzação e víclos relavos à raeóra de esado ao corole e às codções cas e as é possível em geral a deermação do corole de ssemas dâmcos modelados como a Eq. o como ma ção do empo o como ma ção do empo e do esado. A eora aplcada de Corole Ómo se propõe a prover os meos para a obeção de solções em geral mércas para problemas dese po os chamados problemas de corole ómo. Noe-se qe a solção é ma ção de ção para ao como se verá há a ecessdade de m ovo po de Cálclo o Varacoal ode o qe se omza é m coal ção de ção e parâmeros. Em ma orma basae geral o problema de corole ómo de m ssema dâmco e sa respecva solção podem ser colocados como a segr. Mmzar: IP ; L d Seo a: a Víclos de Cooro: ; 3 b Víclos Dâmcos: 4 c 5 s 6 Solção: * * * * * 7 A solção do problema do po eemplcado é em geral em malha abera so é obém-se as codções de cooro e o corole como ma ção * como dcado a Fg..5. 3

9 Fgra.5: Solção em Malha Abera Ideal Ao se ear mplemear ma solção em malha abera qe o deermada a parr de m modelo maemáco do ssema real deroa-se com erros qe provocam desvos da raeóra verdadera em relação a *. Eses erros são prcpalmee devdos a: - desvos as codções de parda; - perrbações ão modeladas so é ão represeadas o modelo maemáco sado para represear o ssema ormalmee e calclar a solção; - desvos o valor de * ao aplcá-lo o ssema real; - ec. A elmação deses erros em relação à solção em malha abera qe o deermada pode ser cosegda aravés de m esqema de corole em malha echada como dcado a Fg..6. Perrbações - CONROLADOR SISEMA ESIMADOR DE ESADO SENSORES Errros Fgra.6: Ssema de Realmeação para Correção de Desvos A solção dese problema é obda de orma apromada e recorree. De modo a permr ma esmava do desvo ˆ o esmador de esado desempeha papel crcal 4

10 aravés da deermação de ma esmava ˆ do esado verdadero. De m poo de vsa ormal o problema pode ser colocado como ovamee de corole ómo cosderado-se perrbações a dâmca modeladas por m rído aleaóro w para represear a aa czea de gorâca e observações da saída eas pelos sesores coamadas pelos erros dos mesmos v ambém modelados como aleaóros. Uma abordagem para a solção podera ser por eemplo como a segr. Mmzar: IP / E{ S S Q d }.8 Seo a: d * * * / d w.9 y h *... v..3 Aplcação e Uldade Corole Ómo qe esá o coeo de Corole Modero abre ovas possbldades relavamee a Corole Clássco. O ao de ser o domío do empo perme aralmee raar de ssemas varaes o empo e ssemas dâmcos ão leares crado possbldades qe aedem ecessdades de omzação dâmca para vablzar a realzação de processos em qe as qesões de eerga cosmda empo segraça e aedmeo de víclos são crcas como é o caso de processos qímcos cleares e mssões aeroespacas. Foram esas ecessdades coamee com as ovas codções de compação qe mplsoaram o desevolvmeo de Corole Ómo prcpalmee as décadas dos cqüea e sessea do séclo. O preço a se pagar pelas ovas possbldades é o de se qe ldar com o Cálclo Varacoal para a obeção agora de ções como reslado da omzação dâmca e ão de varáves algébrcas como é o caso de omzação de ções. No eao para desmscar vale a parábola do erorao chegado à cdade grade; o começo o mpaco com a ova sação de amaho e compledade é grade mas com o empo se percebe qe ao vés de ldar dreamee com localdades em-se qe prmero localzar m barro qe o al das coas é eqvalee a ma cdade do eror às vezes aé das peqeas; o desao é apreder a ldar com os mapas qe alás se vece rapdamee e ca repevo! As aplcações e ldade de corole ómo são de amplo alcace ao em ssemas como em processos as como: - processos dsras; - ssemas de eerga; - veíclos erresres marímos lvas aéreos espacas; - omzações esrras; - avegação; - decação de ssemas; ec. 5

11 Em especal a área espacal cos problemas provocaram em grade pare o desevolvmeo de Corole Ómo o caso de gagem e corole presees em ma mssão saéle em-se pcamee as aplcações a segr coorme as ases da mssão Fg..7: Omzação da raeóra de laçameo; Deermação de órba e de ade esmação de esado em órba ermedára; 3 Omzação da órba de raserêca; 4 Deermação de órba e de ade a órba de mssão; e 5 Correção de órba e de corole de ade poscoameo aglar do saéle Fgra.7: Fases em Mssão Saéle 6

12 Capílo Corole Ómo de Ssemas Dâmcos: Malha Abera No qe sege assm como os demas capílos haverá sempre a preocpação predomae de cocear erprear capar o sgcado e qase ca de demosrar propredades com eceção daqeles casos em qe a demosração é cosrva so é ada o desevolvmeo de solções.. Fdameos: Coceo de Varação Deção..: Sea deda em [ ] e ma raeóra a vzhaça Fg.. derecavel em relação a e qe cocda com o lme qado o peqeo parâmero se ala. Nesas codções dee-se varação de prmera ordem de : ˆ /. Fgra.: Coceo de Varação de Prmera Ordem Deção..: Aalogamee para derecavel em [ ] m peqeo parâmero e derecavel em relação a em eão dee-se: ˆ / /. Ode dca a dervada parcal da ção em relação a. Propredade..: As operações de dervação e egração comam com a de varação: 7

13 d / d 3 d / d 4 e para e dados e os: d d. 5 Deção..3: Para poos de cooro ão os ao se cosderar ma raeóra a vzhaça se em para [ ] so é e são ambém perrbados e deem-se as varações de prmera ordem eses poos de cooro como Fg..: d ˆ / d / / 6 d d. 7 d d Fgra.: Cooros Lvres: Varações de Prmera Ordem Em coseqüêca: d d 8 d d 9 8

14 d ˆ d d d. d d Para esclarecer o sgcado da Eq. basa oar qe se or cosderado qe: I ˆ d I di / d I di d d d / d d. a Noe-se pos qe o caso mas geral a varação de m varacoal dado por ma egral com eremos varáves redz-se ao caso de derecal de ma ção de ma varável I em oro de zero.. Problema Básco Mmzar: J L d. Seo a: U. dados Solção: A solção é a deermação de em [ ]. Para qe a solção esa é ecessáro qe omado-se m cremeo de prmera ordem aravés de eha-se: J J J. 3 Para deermar as codções ecessáras para qe sea solção de modo aálogo à omzação de ções a preseça de víclos de galdade cosdere-se o so de mlplcadores de Lagrage dedo-se: J' J d J. 4 9

15 Ode é o veor de mlplcadores de Lagrage sposo ma ção arbrára do empo so é qalqer qe sea esa ção a relação da Eq. 4 permaece válda o sea ão se alera o coal J. Em aaloga com a Mecâca Clássca e com movação esa dee-se a chamada Hamloaa: H ˆ L. 5 omado-se m cremeo de prmera ordem aravés de Fg..3: Fgra.3: Perrbações a Vzhaça da Solção Mmzae J H d. H d 6 Noado qe para v a meos de ermos de ordem speror a dos da epasão em sére de aylor em oro de :

16 H v d H d o H v d H H v d. De vola a Eq. 6 epaddo os oros ermos relavos ao esado em sére de aylor em oro de e descosderado ermos de ordem speror: 7 J H v H d. H d 8 Iegrado por pares o ermo : d d. 9 Cosderado qe é o resla de vola a Eq. 8: J H d H v H d. Dada a arbraredade de e de : H. Ode as Eqs. são as chamadas eqações adas. Resa porao o úlmo ermo da codção da Eq. ; como v é ma varação arbrára de eão ecessaramee: H v H. 3 Esa codção vale para odo em [ ] e v U so é para solção em-se o valor mímo da Hamloaa qado comparada com H v. Em correspodêca com em-se as solções para e. Ese é o chamado Prcípo de Mímo de Poryag. Noe-se qe ao se comparar a solção com solções a vzhaça em coseqüêca de perrbações o corole ão se ecl a possbldade de descodades a ção de corole solção. Esa sação será raada a eesão a segr.

17 Eesão..: Coorme as dedções eas ão há mpedmeo de qe o corole deermado a parr do Prcípo de Mámo eha ma descodade em m dado. Para aalsar as mplcações desa sação cosdere-se a varação a Eq. 6 coemplado esa possbldade. Para ao qebrado as egras em dos rechos dvddos pelo poo ode ocorre a descodade cosderado qe esa descodade em medda la so é ão alera a segda das egras em-se: J H d H d. H d 6a Calclado as varações prmeras e egrado por pares os ermos : J H d H v H d. H d H d a d d d Fgra.4: Codção de Codade o Esado Ode a hpóese de gradezas as garae a ção das egras parcas; cosderado qe a descodade em sedo a ão pode prodzr descodade os esados devese er Fg..4:

18 d d d. Após as sbsções e agrpameos cosderado as codções ecessáras á esabelecdas: J d H H v H d. H d b Ode devdo a escolhas arbráras qe podem ser eas de e do sal de d as codções ecessáras em poos de descodade do corole as chamadas codções de qas corer codos reslam: H H. a O coo das codções ecessáras para o caso de descodades o corole resla eão como a segr. Codções Necessáras: Dâmcas: H. 4 H míma em relação a. 5 Qa: H H. a Cooro: dados.. 6 Eemplo..: Sea o problema de se raçar ma crva de clação corolada qe em aa a maor ordeada possível desde qe a clação em cada sea meor o gal a. O sea o problema de: 3

19 Mamzar: J. 7 Seo a:. 8 Codções Necessáras: ese caso são sedo H : Dâmcas H máma em relação a. 9 Cooro. Solção: á qe da Eq. 9 é cosae e da Eq. resla qe o valor do corole qe mamza a Hamloaa ese caso H é o valor lme =. Eemplo..: Ese eemplo correspode ao problema de gagem em oro de ma solção prevamee omzada em malha abera o caso das Eqs..8 a. coorme lsrado a Fg..6. Nese caso o esado é o desvo qe se qer maer mímo com a meor agação e o ase de corole qe se desea mímo so é qe mplqe o meor esorço o cosmo de eerga. Para ao o problema a resolver se ormla como a segr. Mmzar: J / { S Q R d } S Q R. Seo a: A B dados. Codções Necessáras: Hamloaa: / Q R A B. 3 4

20 Eqações Adas: Q A. 4 Eqação de Corole: H R B R B. 5 Eqações de Cooro: S. 6 Solção: Das codções ecessáras resla m problema com codções de cooro em dos poos A B R B Q A S. 7 Em coseqüêca da codção de cooro a varável ada lambda a solção para esa varável deve ser da orma ver Apêdce II Marz de rasção: P. 8 Levado de vola a Eq. 7 resla: A BR B P P P Q A P P PA A P PBR B P Q Reslado eão:. 9 P PA A P PBR B P Q P S. 3 Dode resla ma le de realmeação do esado com o corole de correção proporcoal ao desvo dado por : R B P. 3 No caso de ssemas dâmcos a areza de é de m esado so é posção e velocdade; porao vê-se qe o corole a Eq. 3 é do po proporcoal dervavo. Qao às marzes peso o de poderação cosderem-se as recomedações a segr. Observações de ordem práca: Para a escolha das marzes de poderação a egral Q e R coorme bblograa Bryso ad Ho 975 a recomedação é qe: seam cosaes e dagoas; cada ermo da dagoal sea omado gal ao verso de - vezes o qadrado do maor valor olerado para a respecva compoee da varável em qesão assm por eemplo: m Q dag.[q / :...]. 3 5

21 Para a marz S recomeda-se de orma aáloga: S m dag.[ S / :...]. 33 Qado A e B são cosaes so é o ssema dâmco é varae o empo é sal omar-se m valor apromadamee lo para o ermo em ora da egral e a regra empírca aeror para as marzes de poderação a egral sbs-se - por =- correspodee ao valor do empo a parr do qal a egral é desprezível assm por eemplo: S m Q dag.[q / :...]. 34 Em correspodêca a esas apromações oma-se P de regme cosderado-se: P. 35 Eemplo..3: Dado m ssema mecâco coservavo vale o prcípo de Hamlo o da Míma Ação qe arma qe ere e a raeóra solção qe va de a é a qe prodz o coal correspodee à Lagragaa L ˆ V sedo a eerga céca e V a eerga poecal esacoáro: J L d. 3 Sedo assm e dedo. 33 Eão H L reslado as respecvas eqações adas e de corole: H d L H L d H. 34 Cosderado o víclo dâmco da Eq. 43 e qe H =L reslam as Eqações de Lagrage: d L / d L /. 35 Reerêca de aplcação..: Loreção 988 e Loreção e Ros Neo 989 lzaram corole ómo com modelos leares para a omzação do poscoameo de sesores e aadores vsado obeção de modelos redzdos para a síese de regladores ómos em corole de esrras leíves. Reerêca de aplcação..: Olvera e Ros Neo 976 lzaram corole ómo para a operação de m ssema de slos sob o aspeco de mmzação dos csos de maseo raserêca e armazeagem de grãos. 6

22 .3 Problema com empo Fal Lvre Mmzar: J L d. 6 Seo a: lvre U. dados 7 Solção: Alera para capra em cdade grade : o barro é ovo mas percorrê-lo ão raz grade ovdade depos qe se amlarzo a sação de como adar em m prmero barro qe aal é como adar em ma peqea cdade com aé meos localdades!!! A solção dese problema lgeramee eseddo é a deermação de e. Para qe a solção esa é ecessáro qe omado-se m cremeo de prmera ordem aravés de e eha-se: J J J. 8 Ode a ovdade em relação ao problema básco ver seção. é qe J cl a perrbação do empo al ambém so é. Segdo os mesmos passos como as Eqs..4 a.5 so é sado mlplcadores de Lagrage varáves adas lambda e dedo a Hamloaa resla: J H d. H d 9 Epaddo em sére de aylor em oro de e apromado pelo ermo de prmera ordem varação prmera á qe é m peqeo parâmero oado qe ese caso a varação em é oal pos o empo e o esado são comparados com valores a vzhaça resla: 7

23 J d L H H d. d H d Iegrado por pares o ermo como a Eq..9: J d L H H d d H d Noado qe do ao das codções cas serem as e do empo al ser lvre resla qe: d d d d. Sbsdo a Eq. 6 e agrpado em-se: J L d d 3 H d H H d. Cosderado-se a arbraredade de podem-se alar os coecees de d do prmero e ercero ermos; cosderado-se a depedêca das varações em e d podem-se cosderar varações soladamee cocldo-se qe o coecee de d do segdo ermo deve ecessaramee ser lo e pela valdade do Prcípo de Mímo para a Hamloaa. Reslam assm as codções ecessáras para a solção. Codções Necessáras: Dâmcas: H 4 H míma em relação a. 5 8

24 Cooro: dados. H. 6 Noar qe para as compoees evealmee as a segda das eqações de cooro a Eq. ão se aplca para esa respecva compoee. Eemplo.3.: Sea o problema de raserr m poo maeral para a orgem em empo mímo a parr de ma posção dada aado com aceleração lmada ao ervalo [-+] coorme ormlado a segr. Mmzar: J d. 7 Seo a: dados. 8 Codções Necessáras: Hamloaa: H. 9 Eqações Adas: Eqação de Corole: sg. Eqações de Cooro: H. Solção: Das 3 codções de cooro dadas Eq. 8 mas a da codção ecessára da Eq. cocl-se qe há ormações scees os poos de cooro para deermar as cosaes de egração e em prcípo resolver o problema das eqações derecas correspodee às Eqs. 8 e. No eao a eqação de corole Eq. dá ma solção ão lear para e em coseqüêca para o ssema dâmco da Eq. 8. Resolvedo-se as eqações adas resla: 9

25 . 3 Porao sedo a ção de chaveameo do corole vê-se qe depededo do poo de parda pode o ão haver chaveameo; e se so ocorrer será ma úca vez de m eremo para o oro da aa permda de corole o sea a solção é o do chamado po bagbag. Aalsado as sações báscas em qe ão havera chaveameo: : reslado para a solção de esado qe / /. 4 : reslado de modo aálogo qe / /. 5 Fgra.5: Crvas de Chaveameo o Espaço de Fase raçado-se essas crvas o espaço de ase Fg..5 pode-se eão aalsar qalavamee a solção do problema para as possbldades de chaveameo a parr das váras possbldades de codção de parda..4 Víclos de Cooro No qe sege raa-se de m problema com víclos de cooro em ma sação mas geral.

26 Mmzar: d. L ] J [ Seo a:. U Solção: Dedo a Hamloaa como aerormee e lzado mlplcadores de Lagrage: d. H J' 3 omado a prmera varação para deermação do cremeo de prmera ordem em relação a ma cogração de solção a vzhaça:. Hd d H Ld d d d d J 4 Iegrado por pares :. Hd d H Ld d d d d J 5 Cosderado qe para e :. d d Resla:. Hd d H d L d L d d J 6

27 Cosderado-se a arbraredade a escolha dos mlplcadores de Lagrage e a codção ecessára para a mmzação da Hamloaa reslam: Codções Necessáras: em : L d d. H d 7 em [ ]: H 8 H U. 9 em : L d. d H d em e :. Eesão.4.: Pode acoecer sação em qe além das codções de cooro em e esam codções de cooro ermedáras por eemplo ma codção em < < :. a Nese caso sado mlplcadores de Lagrage: J' H d H d. 3a Segdo processo de calclar a varação prmera com cdados semelhaes aos omados a seção. Eesão.. resla a codção ecessára adcoal em :

28 H H..5 Víclos Dâmcos de Desgaldade Pode ambém acoecer a sação de lmações as varáves de corole e a regão permda para varáves de esado lmações íscas e geomércas reslado em víclos dâmcos do po: c s 3 ode sem perda de geeraldade se cosderam ções escalares á qe a sação se repee para as derees compoees o caso veoral. Aalogamee ao qe se az o caso esáco eses víclos podem ser raados dreamee com mlplcadores de Lagrage reslado ma Hamloaa esedda: H ~ ˆ L c s. Para corporar esa sação esedda reslam as seges codções ecessáras: em [ ]: H ~ H ~ c ; s. 3 em [ ] ervalo de roera e com possbldade de : s H H s 4 s. Regsre-se qe esa ão é a úca abordagem possível e sada; há ao a chamada abordagem drea qe ea redzr o caso de desgaldade evolvedo apeas o esado ao caso de desgaldade evolvedo o corole como as abordages apromadas por pealzação; recomeda-se cosla à bblograa e reerêcas para coao e avalação desas oras abordages. Embora as abordages de adcoar drea o dreamee os víclos por mlplcadores de Lagrage seam váldas e coem para os problemas de eresse práco qe va de regra aedem as codções de reglardade egdas há ada sações ão sas em qe elas ão esão oalmee demosradas como váldas Harl Seh ad Vcso 995. No caso das abordages com pealzação há dcldades mércas a obeção de solções. Reerêca de Aplcação.4.: Ros Neo e Flery 977 Ros Neo e Flery 979 Flery 978. O problema raado é de omzação esrral com obevo dplo de mmzar massa 3

29 oal e mamzar reqüêca aral de vbração respeado víclos de geomera e de ressêca. O obevo de aplcação é o de omzação de apêdces leíves em especal o caso de aplcação a saéles arcas mas com possbldades de desdobrameo de aproveameo dos reslados obdos em oras sações de aplcação em qe sea razoável modelar scamee o problema de modo qe m modelo maemáco de vga em balaço com peqeas vbrações rasversas possa ser lzado. Para resolver ese problema de proeo de apêdces leíves com peqeas massas e alas reqüêcas aras de vbração ormlo-se m problema de corole ómo em qe: o ídce de desempeho a se mmzado cl de orma poderada a massa o verso da reqüêca de vbração e ma ção de pealzação para raar os víclos de desgaldade evolvedo varáves de esado; os víclos dâmcos e de cooro oram ormlados sado-se a eqação de Eler para vga em balaço egasada em ma eremdade sea a resrções de ressêca mecâca vbração o prmero modo posvdade de massa e momeo de érca assm como de paamar eror para a reqüêca de vbração; e a solção o obda mercamee com méodo dreo do po gradee seção.7.. Para raameo dos víclos dâmcos de desgaldade as varáves de esado s adoo-se o méodo de pealzação a segr: s. s s s s s 5 J' J 6 ode a varável depedee correspode à coordeada a dreção logdal da vga. Os reslados bscados são agdos com valores basae redzdos da massa do apêdce e valores da reqüêca com a ordem de magde bscada. Como ão há resrção qao à orma da seção rasversal da barra e como os reslados são apreseados a orma ablar de dsrbção de áreas rasversas e raos de gração há a possbldade de lberdade qao à orma geomérca do apêdce. Iso amea a ldade dos reslados para oras aplcações como por eemplo edcações em regões de veos o erremoos e dsposvos de ação de srmeação para meddas dâmcas..6 Cooros Múlplos e Desgaldades o Esado Uma sação basae geral é aqela em qe se êm codções de cooro múlplo qe depedem eplcamee do veor de esado e qe além dos saes cal e al podem ambém depeder de saes ermedáros ca deermação esá clída a omzação. Adcoalmee cle-se ambém a omzação de m veor de parâmeros. Ese problema o raado por Freas Po 99 e o raameo a segr é o apreseado por Freas Po e Ros Neo 993. Mmzar:... N N N...N p p Q E p 4

30 Seo a: U E [ N... ] N N N... N p... Solção: Hpóeses: Os saes e são ermedáros ere os saes cal e al e ão cocdees dos a dos so é { e : e...n e N }. Devem ser ções coías os... com e ˆ ˆ. e e...n Devem ser ções coías por pares os e e... e e...n e com ˆ ˆ ee ]e...n. v As ções... N N N...N p... e sas dervadas parcas prmeras são odas coías em relação a odos ses argmeos os domíos cosderados. Codções Necessáras: Dâmcas: Devem esr mlplcadores... coíos para odos os sbervalos e e e...n as qe amee com a codção dâmca da Eq. : [ / ] [ / ] [ ]. 3 N 5

31 Cooros Múlplos: Devem esr mlplcadores... codção: { } de modo qe: h qe sasazem a h h e {[ / ] [ / ] / } e...n; [ / p ] h [ / h [ / h [ / e. ] e e h ] {[ / ] ] e h e [ / {[ / h / } ; e N e e ] ] N / N } ; 4 Hamloaa: A ção hamloaa: H ˆ 5 é coía para odo e...n. e e Observações: Noe-se qe pelas hpóeses eas descodades as varáves de esado só poderão ocorrer os saes e e... N ; Para e e... N poderão ocorrer descodades somee a varável de corole o qe poderá levar a descodades as dervadas de esados em poos de qa ver Eesão.. eplcados a ormlação do problema; Os poos e e...n são admdos como poos móves a ormlação do problema de modo qe se para algm valor de e e or o esa codção deve ser eplcada aravés de: e e. 6 e e.7 Abordagem Sbóma Nese caso se coloca m problema qe se ão geral é basae geral em ermos de aplcações. Para raá-lo propõe-se abordagem sbóma qe embora mplcado em ma solção qe de parda se sabe esar sea a apromação az sedo práco edo em vsa erros qe sempre esem ao de modelagem e solção mérca ada qe óma como de mplemeação. Sea pos o ssema dâmco com esado a ser omzadoem ermos do corole q e ambém de p p parâmeros de proeo seo a víclos de galdade c desgaldade ao dâmcos como de cooro. 6

32 Mmzar: J ' ' ' L ' d. Seo a: dâmca: ' g ' ' p ' p cooro: p p... v. ' ' p p p m p m ; ; ' ' p p p m p m. 3 Solção: raameo dos víclos de desgaldade dâmcos: ' ' ' ' g ' ' p g ' ' p p p g. ' p p... v. 4 rasormação em m problema de Mayer: ' ' ' ' v ' ' v J ' ' L ' ' ' ' ' v. 5 Redção a m problema de omzação de parâmeros: Apromado o corole por c ma ção paramerzada por eemplo arcos de polômo de modo qe p o problema pode almee colocado a orma a segr. Mmzar: J p. 6 7

33 Seo a: p p p ˆ [ p ˆ [ ' p p p : p ' : c ' ˆ [ ˆ [ : :...: o : ' ' v p : p : ]. : ] p : p ]. ' ' :...: ' ' v ' : ' :..: ' ' v ] 7 v Créro de bsca drea: Adoado-se ese po de bsca mérca de solção para o problema a parr de ma peqea perrbação lear em oro de valores sposos para a prmera eração o valores da úlma eração p obém-se: J p / / p p p / p p p / / p p p / p p p p / / p p p / p p. 8 O problema em cada eração ca redzdo porao ao de mmzar em relação a p a ção J seo aos víclos das das úlmas eqações com as resrções adcoas qe são ecessáras para garar covergêca para os víclos e sasazer a hpóese de perrbação lear peqeas perrbações: p. J p. Ao logo das erações os valores de são asados depededo do problema raado. O problema sbómo de omzação de parâmeros pode ser resolvdo mercamee por m dos méodos esees como por eemplo proeção-do-gradee programação-lear ec. 9 Observação: Para calclar / p por ma apromação mérca drea: / p p p / p p... p e p resla da egração mérca a segr ode p p sgca qe apeas a - ésma compoee de p o perrbada por p sceemee peqeo. Reerêca de Aplcação.5.: Ceballos 979 Ros Neo e Ceballos 979 Ceballos e Ros Neo Nesas aplcações desevolve-se solção sbóma para o problema das Eqs. e 3 paramerzado a ção de corole e apromado-a aravés de arcos de polômo raado o problema com lzação de Programação Lear para resolver em 8

34 cada eração o problema relavo às Eqs. 8 e 9 de mmzar em relação a p a ção J com as resrções para garar covergêca para os víclos e sasazer a hpóese de perrbação lear so épeqeas perrbações p. Os reslados obdos oram eqvalees em ermos prácos aos obdos com abordagem óma para eses em problemas de raserêca de órba. Reerêca de Aplcação.5.: Smaa e Ros Neo 988 Smaa 987. O problema de omzar raeóras de laçameo com o obevo de mamzar a carga úl saéle colocado em órba para o Veíclo Laçador de Saéles VLS braslero é ormlado como m problema de corole ómo com resrções dâmcas e geomércas do po do problema das Eqs. e 3. Desevolve-se solção sbóma paramerzado a ção de corole aravés de segmeos de rea resolvedo o problema eqvalee ao das Eqs. 8 e 9 com erações de dos problemas de Programação Lear m para covergêca os víclos e oro para camhar a dreção do ídce de desempeho ómo o caso a massa máma do saéle laçado. A solção leva a reslados váldos para a ase de aálse de mssão. Reerêca de Aplcação.5.3: Gamarra Rosado e Ros Neo 99 e Rosado 9 saram abordagem com paramerzação da ção de corole e solção por programação lear para omzação de maobras de saéle esablzado por sp com boba magéca como aador eragdo com o campo magéco erresre. Reerêca de Aplcação.5.4: Prado e Ros Neo 994. O problema de raserêca de órba de m veíclo espacal com mímo cosmo de combsível é raado ao por méodo dreo com paramerzação da ção de corole em segmeos de rea resolvdo de orma sbóma por méodo proeção do gradee como por méodo ómo. Os reslados obdos são de qaldade eqvalee. Reerêca de Aplcação.5.5: Madera 996 Madera e Ros Neo 996 Ros Neo e Madera 997. O problema rdmesoal de gagem e corole de m veíclo laçador de saéles a combsível sóldo é raado de orma sbóma por paramerzação da ção de corole em segmeos de rea e resolvdo com méodo esocásco de proeção do gradee qe perme sasação de víclos a meos de erros aleaóros de dspersão especcada. Os reslados são comparáves ao de oros esdos qe lzaram abordages ómas..8 Aálse de Codções Scees Para esa aálse será cosderado o problema com empo al o de modo a smplcar desevolvmeos e sem perda de coeúdo cosrvo e de eresse. Mmzar: J L d.. 9

35 Seo a:. dados Codções Necessáras: H H /. dados. 3 Para peqeas perrbações em oro de ma solção qe sasaça as codções ecessáras prodzdas a parr de perrbações d e de modo a ambém sasazer as codções ecessáras resla: H H H d dado H.. d 4 Resolvedo para H H H! 5 de modo qe as codções dâmcas podem ser colocadas como: A B C A. A B C H H H H H H H. 6 3

36 Devdo ao ao de se raar de m ssema lear ver Apêdce II: Marz de rasção e devdo à orma das codções de cooro em pode-se coclr qe: S R d R Q d. 7 Após algma maplação algébrca resla: S R Q S S A A S S B S C R A S B R Q R B R Q!. 8 Resolvedo para d em ção de e sbsdo a epressão de e em segda sbsdo a epressão de d Q Q H S RQ R R H a! S RQ R!. RQ 9 Não é dícl provar qe a solção obda é ambém a solção qe sasaz as codções ecessáras do problema: Mmzar: J [ : H ] H H H d. / Seo a: d dado d dado. P Sbsdo esa solção em J \adoado a oação v ˆ v Pv em-se: 3

37 J S RQ H H R S RQ / Q R RQ R / Q H d /. Noe-se qe para o valor de qe mmza J é decamee lo pos: H H S RQ R. 3 Como para resla qe ambém eão. Assm as codções para solção do problema de mmzação de J a segr são scees para qe a solção do problema de omzação de J sea mmzae. H Q 4 S RQ R a. As codções são scees porqe qalqer ora solção a vzhaça qe sasaça as codções de cooro leva a J..9 Méodos Nmércos: Irodção.9. Méodo Idreo de Perrbação: Marz de rasção Sea o problema Mmzar: J L d. Seo a: dados p. 3

38 Codções Necessáras: H H /. dados H. 3 A parr desas codções ecessáras porao a orma de bsca drea será bscada solção mérca para o problema. Solção Nmérca: Cosderem-se as eqações varacoas assocadas às codções ecessáras obdas a parr de epasão em oro de valores omas de ma prmera eração o eração aeror H H H H. 4 Elmado essas eqações cam a orma: A B C A. A B C H H H H H H H. 5 Usado marz de rasção assocada Apêdce II [ : ] [ : ]. 6 Adoado ma oação compaca para os víclos de cooro em colocado-os a orma: V p. 7 Para ma perrbação de prmera ordem em oro de valores omas dcados pela sobre barra: 33

39 V V V d V d V d V d V 8 ode é aor para garar codções de covergêca com peqeos cremeos qe preservem hpóese de perrbação lear e d d d d 9 reslado: V V V V V V H d V d. Com base os desevolvmeos aerores pode-se propor o algormo de bsca da solção a segr. Algormo de Bsca: Para car o processo eravo de bsca da solção mérca escolhem-se o melhor arbram-se:. Com os valores cas o egram-se as eqações derecas em das codções ecessáras Eqs. 3 aé sado-se H para o cálclo de. Se ocorrer qe os víclos de cooro são saseos a meos de m erro dero da precsão reqerda zero mérco a covergêca o agda so é se: V. Em ão sedo vercada esa codção de covergêca r para o passo sege. A egração do passo aeror é ea em paralelo com a geração das úlmas colas da marz de rasção egrado as eqações varacoas Eqs. 5 com codções cas decamee las para e os versores oroormas para reslado:. v Sbsdo os valores de decrescee resla: aerores a epressão Eq. qe mpõe V V [ V V :V V V H :V ][ : d : d ] 3 ode a asar. Cosderado a oação compaca para as correspodees dervadas em relação a : V V V V V V H V 4 34

40 e qe há codções de esêca de solção: [ : d : d ] [V :V :V ] V. 5 v Com as redeções a segr reca-se o processo volado para. d d Méodo Dreo do po Gradee de Prmera Ordem O méodo a segr é de bsca drea da solção ma vez qe esa bsca é ea a parr do problema ormlado perrbado o ídce de desempeho e os víclos e mpodo créro de bsca para deermação de cremeos a dreção da solção. No caso do méodo raado o créro é o de bsca a dreção do gradee. Sea o problema das Eqs. recolocado a segr. Mmzar: J Seo a: L d. dados. Solção Nmérca: Escolhdos o arbrados em-se em coseqüêca: J [ ]. 7 O problema de bsca drea qe se coloca é o de se perrbar eses valores-barra de modo qe esas perrbações d levem a valores mas prómos da solção. J d L d. d L L d 8 35

41 Usado mlplcadores de Lagrage para raar a depedêca de em e após egração por pares do ermo em-se: J L d L L d. 9 Como é arbráro pode-se escolhe-lo de modo qe:. L Para esa escolha de o cremeo em J ca: J L d L d. Para raar a depedêca de em pode-se sar a marz de rasção assocada às eqações varacoas Eqs. 8: d I. Mlplcado-se ambas as eqações à esqerda por em-se: e dedo R ˆ R R R. Com esa R pode-se epressar d como: d d R d 3 ode d é escolhdo e o em cada eração. O problema de bsca em ma eração ípca pode eão ser colocado como a segr. Mmzar: J' J bd / Wd /. 4 36

42 37 Seo a:. d d R d 5 Os ermos qadrácos b> W> são para garar peqeas perrbações. Usado mlplcadores de Lagrage :. d d R d / d W / bd d L d L J' 6 A codção ecessára para mmzar em relação a e sado-se a arbraredade a escolha de :. R L W b / L d R L W L bd 7 Sbsdo em d leva a: b. / L I d b / I d R W R I d L W R I I I b / L d J J J 8 A varação correspodee em J para as perrbações calcladas é:. d L W L I I I b / L L J JJ J JJ 9 Com os reslados obdos é possível moar-se o algormo qe sege.

43 Algormo de Bsca: Esme se or o prmero passo o eão redea os passos seges as varáves. Iegre as eqações em aé com e armazee:. L Deerme por egração de para : R. Em paralelo calcle as egras: I I JJ I J I v Escolha: J. d e calcle. v Calcle d e vole para rededo os valores de e so é: d. Repa os passos de a v aé qe se eha com a precsão deseada a sasação de: L J. 38

44 Bblograa e Reerêcas Bryso A.E. ad Ho Y.C Appled Opmal Corol: Opmzao Esmao ad Corol Joh Wley New Yor. Ceballos D.C. 979 Apromações Sbómas para o Corole de Problemas Dâmcos de Omzação. ese de mesrado INPE 979. Ceballos D.C. Ros Neo A. 98. Um Procedmeo de Bsca Drea Ulzado Programação Lear para Gerar Solções Nmércas Sbómas em Problemas de Corole; Aas do 3o. Cogresso Braslero de Aomáca Ro de Jaero. Ceballos D.C. Ros Neo A. 98. Lear Programmg ad Sbopmal Solos o Dyamcal Sysems Corol Problems; Proceedgs o a Ieraoal Symposm Spacecra Flgh Dyamcs orgazado pela Agêca Espacal Eropéa Darmsad Germay ESA SP-6-ISSN ; INPE-76-RPE/3. Cro S.J Elemes o Opmal Corol; Hol Rehar ad Wso Ic. Prado A.F.B.A. e Ros Neo A Sbopmal ad Hybrd Nmercal Solo Schemes or Orb raser Maevers. SBA Corole e Aomação Vol. 4 No. pp Flery A Omzação da Dsrbção de Massa e da Freqêca Fdameal de ma Vga em Balaço. ese de mesrado EPUSP 978. Freas Po R.L.U. de 99. Dedção de Codções Necessáras para a Solção de Problemas de Corole Ómo com Dâmca Fracoada e Resrções Não-Derecas. ese de Doorado INPE São José dos Campos SP. Freas Po R.L.U. de e Ros Neo A Codções Necessáras para a Solção de Problemas de Corole Ómo com Resrções de Cooro Múlplo e Descodades de Esado. II Cogresso Braslero de Egehara Mecâca Brasíla DF. Gamarra Rosado V.O 988. Omzação de Maobras de Saéles Esablzados por "Sp" Ulzado Bobas Magécas. Dsseração de Mesrado INPE São José dos Campos SP. Gamarra Rosado V.O e Ros Neo A. 99. me-opmal Geomagec Ade Maevers o a Asymmerc Spg Saelle; Aca Asroaca vol. 6 º pp Harl R.F Seh S.P. ad Vcso R.G A Srvey o he Mamm Prcples or Opmal Corol Problems wh Sae Cosras; SIAM REVIEW 37 pp Loreção P..M Omzação do Poscoameo de Sesores e Aadores Vsado Obeção de Modelos Redzdos para a Síese de Regladores Omos em Corole de Esrras Fleíves. ese de Doorado INPE São José dos Campos SP. Loreção P..M. e Ros Neo 989. Opmzao o Acaors/Sesors Placeme ad Dervao o Redced Order Models or he Opmal Corol o Fleble Srcres; 39

45 Proceedgs o AAS/AIAA Asrodyamcs Specals Coerece Sowe Vermo USA Paper AAS Madera F Gagem e Corole Não-Lear Sb-Ómo de Veíclos Laçadores de Saéles em Malha Fechada e em empo Qase Real. ese de doorado IA. Madera F. Ros Neo A Sochasc Grade Proeco Mehod or Saelle Lach Vehcle raecory Opmzao. Aas do I Cogresso Braslero de Aomáca IP-USP São Palo SP pp -6. Madera F. Ros Neo A.. Gdace ad Corol o a Lach Vehcle Usg a Sochasc Grade Proeco Mehod. Aomáca 36 pp Olvera L.R. e Ros Neo A Operação Óma de m Ssema de Slos; I Cogresso Braslero de Aomáca; São Palo SP. Ros Neo A. Ceballos D.C Appromao by Polomal Arcs o Geerae Sbopmal Nmercal Solos Corol Sysems; V Cogresso Braslero de Egehara Mecâca; Campas São Palo. Ros Neo A. Flery A Frs Mode Freqecy ad Mass Dsrbo Opmzao o Saelle Fleble Appedages; Naral ad Arcal Saelles Moo eded by Pal E. Nacozy ad Sylvo Ferraz Mello; Uversy o eas Press As eas USA. Ros Neo A. Flery A Omzação da Freqêca Fdameal e da Dsrbção de Massa de ma Vga em Balaço; Aas do IV Cogresso Braslero de Egehara Mecâca; Floraópols Saa Caara. Ros Neo A. Madera F Sochasc Grade Proeco Mehod Appled o a Earh Mars Orb raser Problem; Aas do IV Cogresso Braslero de Egehara Mecâca- COBEM em CD ROM Bar SP códgo COB. Sage A. P Opmm Sysems Corol. Prece Hall Co. Smaa C. M Omzação de raeóras de Veíclos Laçadores de Saéle a Propelee Sóldo. ese de mesrado IA 987. Smaa A.C.M. Ros Neo A Omzação de raeóras de Veíclo Laçadores de Saéles; SBA: Corole e Aomação Vol. No. pp

46 Capílo 3 Programação Dâmca: Irodção 3. Prcípo da Omaldade O prcípo da omaldade da Programação Dâmca esabelece qe se * é a solção óma a parr de assocada ao corole ómo * eão para o mesmo problema com a dereça de qe as codções de parda são em * a solção óma para é ambém * em correspodêca com * Fg. 3.. Para melhor eedmeo cosdere-se o problema a segr. * * Fgra 3.: Ilsração do Prcípo da Omaldade Mmzar: J L d. 4

47 Seo a: U. dados A raeóra solção é * para * à qal esá assocada: V * * ˆ J[ ] * L * * d 3 em qe V é a ção reoro para e. Para ese problema o prcípo da omaldade esabelece qe: V L * * d V * Relação Fdameal da Programação Dâmca Cosderemos o problema ormlado a seção aeror Eqs. 3. e 3.. Se pelo prcípo da omaldade é verdade qe coorme Eq. 3.4: * * * em [ V em [ ] Fgra 3.: Ilsração da Relação Fdameal de Programação Dâmca 4

48 V L * * d V * Decorre eão a relação dameal da Programação Dâmca: M. V L d V. { : } A valdade desa relação ca clara eamado-se a Fgra 3.. Uma vez qe se pode aalogamee der V é porao ambém válda a relação: V M. { : } L d V. Para o problema de corole ómo da seção aeror Eqs. 3. e 3. se or omado resla: V M. L V U 3 ode o cosderado o víclo dâmco da Eq.3. de modo qe:. 4 Desevolvedo em sére de aylor e reedo ermos aé prmera ordem V M. L V U 5 V / V /. Passado para ora da operação de mmzação os ermos qe ão depedem de procededo aos cacelameos de V e resla: V / M. L V /. U 6 Para o caso coío esa é a eqação básca da Programação Dâmca cohecda como Eqação de Hamlo-Jacob-Bellma. A codção de cooro assocada da Eq. 6 cocle-se ser: V em. 7 43

49 3.3 Aplcação a Ssemas Leares Qadrácos Sea o problema lear qadráco á cosderado aerormee seção. e raado pelo com abordagem varacoal pelo Prcípo de Mímo de Poryg recolocado a segr. Mmzar: J / { S Q R d} S Q R. Seo a: A B U dados. Solção: Nese caso a aplcação da Eqação de Hamlo-Jacob-Bellma o eqação básca da Programação Dâmca leva as codções a segr. V M. Q / R / V A B U 3 V S /. A codção de cooro dca qe: V P /. 4 De vola a Eq. 3 resla: P / M. Q R P A B. 5 U Cosderado qe a mmzação em relação ao corole é dada pela codção: R Q R P A B / B P. 6 Sbsdo de vola a Eqação de Hamlo-Jacob-Bellma após algma maplação algébrca resla: P Q P A A P P B R B P /. 44

50 45 Porao ecessaramee:. S P P B R B P P A A P Q P 7 coorme á se ha dedzdo a seção..

51 Bblograa Bryso A.E. ad Ho Y.C Appled Opmal Corol: Opmzao Esmao ad Corol Joh Wley New Yor. Cro S.J Elemes o Opmal Corol; Hol Rehar ad Wso Ic. Bellma R. ad Dreys S. 96. Appled Dyamc Programmg Prceo Uv. Press Prceo N.J. Sage A. P Opmm Sysems Corol. Prece Hall Co. 46

52 Capílo 4 Elemeos de Probabldade e Varáves Aleaóras 4. Probabldade: eora Básca Deção 4..: Feômeo Aleaóro epermeo é aqele em qe os reslados qao a qasqer ormas de ocorrêca eveos ão podem ser prevsos com deermsmo odo ao em ma casa e as mesmas codções as mesmas casas prodzem os mesmos aos o qe mplca a esêca de les especícas qe regem aos e casas pos são goverados pelo acaso. Eemplos 4..: Laçameo de m dado. Chamada eleôca ocorredo aleaoramee em []. Para medr a possbldade de ma dada orma de ocorrêca so é de m eveo cra-se o coceo de probabldade qe a grosso modo é ma ção qe a cada eveo assoca m valor mérco. Há pelo meos rês maeras de se aerr valores mércos para possbldades so é probabldades de eveos: Por observação drea do eômeo e cálclo da chamada reqüêca relava de ocorrêca de m dado eveo. Assm para o eveo A sedo N A o úmero de ocorrêcas de A as ocorrêcas observadas do eômeo com calcla-se a probabldade PA de A como: P A N / A. A Na verdade em sempre se cosege observar dreamee o eômeo e os respecvos eveos e o qe se em são observações dreas a parr das qas se bsca esmar eveos e probabldades como se verá mas adae qado se desevolverão os chamados méodos de esmação. Pelo méodo clássco de coagem dos eveos galmee possíves. Assm para o laçameo de m dado se A é o eveo de ocorrer a ace =...6 PA =/6. No caso da chamada eleôca aleaóra em [] a probabldade de ocorrêca dero de m sbervalo [ ]: P[ ] /. Esmava a pror com base o cohecmeo sbevo do eômeo sada em geral para dsparar so é como valores cas de méodos de esmação. Para se ssemazar e dar rgor ao coceo de probabldade procede-se a ma modelagem maemáca como a segr. 47

53 Deção 4..: Espaço Amosral o Espaço de Probabldades é m coo qe aravés de ses elemeos w represea as ormas elemeares de ocorrêca o eveos elemeares do eômeo aleaóro. Nos eemplos cosderados os espaços amosras podem ser como a segr. Laçameo de m dado: {...6 }. Chamada aleaóra em []: { w : w }. Deção 4..3: Para as ormas de ocorrêca de m eômeo aleaóro o sea para ses eveos represeados por sbcoos de dee-se a ção de probabldade como a ção qe sasaz às propredades: A probabldade de ocorrer pelo meos m eveo de so é P é cera so é P. 3 Para odo eveo a ção de probabldade é ão la so é A P A. 3a Se P. or deda os A A as qe: A A A A... eão P A A... A... P A P A... P A... 4 Deção 4..4: A classe de eveos em qe P. é deda aravés de sbcoos de deve cosr ma sgma-álgebra de Borel B so é: B AB B B B A A...A A... B A B B. 5 A mposção de qe a classe de eveos deve sasazer a codção de cosr ma sgma-algebra de Borel garae qe ao se operar com ão e ersecção de eveos sbcoos de ão se eha a srpresa de acoecer de se car ora de. Embora as sações de eresse práco so ão acoeça pode se demosrar qe há casos paológcos em qe se ão or omado o cdado pode acoecer. Deção 4..5: Assm almee dee-se a ção de probabldade com o devdo rgor como sedo: 48

54 P : B [] P AB se A A.q. P A A A s B... eão 6 P A P A. Assm em resmo edo-se m eômeo aleaóro represeado por m modelo ísco procede-se a ma modelagem para se er m correspodee espaço de probabldades qe cos o modelo maemáco com qe se cosege ldar ormalmee. Feômeo Aleaóro B Espaço de Pr obabldade : B P B Modelo Físco Modelagem Modelo Maemáco P Como se lsrará os eemplos a segr o espaço de probabldades ão é ecessaramee úco para m dado eômeo aleaóro. Eemplo 4..: Deermação do espaço de probabldade o caso do eômeo aleaóro correspodee ao laçameo de m dado ão vezado: {...6 } B sgma-álgebra gerada por odos os sbcoos de e P{ } / ; o por eemplo =R ={úmeros reas} B sgma-álgebra gerada por ervalos do po { w : real } so é pelos ervalos eveos A qe reslam das ersecções e ões de ervalos dese po { w : real } P A úmero de poos de {...6 } em A/ 6. Eemplo 4..: Deermação do espaço de probabldade o caso do eômeo aleaóro orrespodee a chamada aleaóra em []: { w: w } B sgma álgebra gerada por {[ w w ] : w w } P[ w w ] w w / ; o por eemplo =R ={úmeros reas} B sgma álgebra gerada por ervalos do po { w : real } so é pelos ervalos eveos A qe reslam das ersecções e ões de ervalos dese po { w : real } P A c / c o comprmeo do ervalo correspodee a A { w : w }. Propredades 4..: Para eveos de m espaço de probabldades B P demosra-se qe: P P A P A P A A P A P A P A A v Se A A eão P A P A P A J A P A. 7 49

55 4. Varáves Aleaóras: Coceação e Propredades Báscas A ecessdade de se rabalhar com úmeros para qacar as ormas de ocorrêca de eômeos aleaóros é qe leva à deção de varáves aleaóras a verdade ções aleaóras. Prossegdo a modelagem maemáca de eômeos aleaóros em B P se deem mapeameos de ormas de ocorrêca elemeares eveos elemeares w a rea real R coorme lsrado a Fg. 4.. R A w Fgra 4.: Deção de Varável Aleaóra Para garar codção de se calclar probabldades de eveos mapeados a rea há qe se garar qe o mapeameo sea aravés de ções qe seam mesráves coorme deção a segr. Deção 4..: Dado B P e deda a ção real e a:. : R. é ma varável aleaóra se e somee se: { w : w R } B. Em ermos prácos oe-se qe va de regra ções coías sasazem esa codção. Noe-se ambém qe mas vezes ocorre qe as ormas de ocorrêcas á são epressas mercamee como o caso da chamada eleôca em m dado ervalo; eses casos o aral é qe se dea a correspodee varável aleaóra como sedo a ção dedade. 5

56 Eemplo 4..: Sea o eômeo aleaóro correspodee ao laçameo de ma moeda com aces cara e coroa em qe: { CaCo } B { {Ca }{Co } } PCa p PCo q p q. Sea. : R.q. Ca Co. Decorre em coseqêca o cálclo de probabldades a rea real aravés da varável aleaóra qe dz a deção de ção de probabldade P. cos argmeos são valores da correspodee varável aleaóra: P{Ca } P{Co } P{ w : w P{ w : w } P } P w w p q. P{ } P P { { w w P{ w : w : } P : }. } { w : { w w } { w : w : } } P P{ w : w } P { w : }. Para ma dada varável aleaóra pode-se em coseqêca calclar a dsrbção de probabldades a rea aravés da chamada Fção de Dsrbção. Deção 4..: Fção de Dsrbção de.: R é a ção deda como: F ˆ P{ w : w R }. 3 Propredades 4..: A Fção de Dsrbção de.: R pode ser vsa como a massa de probabldades qe ca à esqerda de m dado poo da barra rea real qe o lme em massa de probabldades gal a e sedo assm decorre: F é mooôca ão decrescee F F 4 lm F lm F. P{ w : w P{ w : P{ w : w w } F F } F } F. F 5 6 5

57 Deção 4..3: Uma varável aleaóra é dscrea se esr ma desdade de probabldades al qe: F p { w : w } p 7 Propredades 4..: Para ma varável aleaóra dscrea para al qe w : F p F. p P{ w : w } 8 Eemplo 4..: A varável deda para o laçameo de ma moeda eemplo 4.. é pcamee dscrea e ese caso: F p p p q q p { : } p P{ w : w P{ w : w P{ w : } P{Co } q } P{Ca } w p } P{ }. Deção 4..4: Uma varável aleaóra é coía se esr ma desdade de probabldades al qe: F p d R 9 ode F é sposa dervável o pelo meos absolamee coía so é derecavel a meos de m úmero coável de poos. Propredades 4..3: Para ma varável coía.: R : Se F é derecavel em R eão: p df / d. Para dado valor solado de e sceemee peqeo: 5

58 P{ w : w } P{ w : w } p. A soma das probabldades dsrbídas a rea R e gal à dade: p p d. Eemplo 4..3: Chamada aleaóra em []: w p ˆ w w [ ] /. Deção 4..4: Dee-se Méda o Esperaça de ma varável coía como:.: R E[ ] p d. 3 Propredade 4..4: Méda o Esperaça de ma varável aleaóra pode por aaloga ser vsa como o operador qe calcla o cero de massa de barra a com desdade p e qe como o caso de dsrbção de massa de m corpo é lear o sea: E[ a by ] ae[ ] be[ ]. 4 Deção 4..5: Dee-se Momeo de ma varável coía.: R como: E[ ] p d. 5 Para = em-se o chamado Valor Qadráco Médo. Deção 4..6: Dee-se Momeo Ceral de Ordem de ma varável coía.: R como: E[ E[ ] ] E[ ] p d. 6 Para = em-se a chamada Varâca em geral deoada por. Propredade 4..5: Noe-se ovamee por aaloga qe a Varâca é o momeo de érca da barra a em oro de cero de massa E[]. Sedo assm ela bem como 53

59 o chamado Desvo Padrão é ma medda da dspersão das ocorrêcas de [w]= em oro de E[]. Em decorrêca da sa deção das propredades de egração: E[ ] E[ ]. 7 Eemplo 4..3: Varável aleaóra gassaa de grade mporâca práca á qe mos eômeos aleaóros podem ser raados de orma apromada como gassaos. Qado se em a sação de mos eeos aleaóros depedees sperposos eão apesar das dsrbções dvdas a dsrbção do eeo somado é gassaa eorema do lme ceral. Ese po de varável em sa dsrbção oalmee caracerzada pelo valor médo e pela varâca apreseado ma orma smérca semelhae ao perl de m so coorme lsrado a Fg. 4.. p / / ep E[ ] E[ E[ ] ]. / 8 p Fgra 4.: Dsrbção Gassaa 4.3 Varáves Aleaóras Coamee Dsrbídas Deção 4.3.: Dado B P e as varáves aleaóras. dz-se qe elas são coamee dsrbídas qado:. : R... Eemplo 4.3.: Laçameo smlâeo de dos dados em qe: 54

60 { w P w : P...6 } / 36. B é a classe de odos os sbcoos de. Nese caso poder-se-a der por eemplo: w w. Deção 4.3.: Dadas varáves coamee dsrbídas dee-se sa Fção Dsrbção Coa como: F ˆ P{ w : w w... w } Noe-se qe A { w : w } { w : w... } A. Porao a probabldade coa é calclada sobre o eveo represeado pelo coo ersecção. Deção 4.3.3: Em decorrêca para varáves coamee dsrbídas coías deese Fção Desdade Coa p aravés de: F... p d d...d. 3 Propredades 4.3.: Para varáves coamee dsrbídas: p. 4 F... F p d d...d 5 F p... m... m... F... m m p d... m m d m...d. 6 Deção 4.3.3: Dadas varáves coamee dsrbídas deem-se Momeos Coos: Para m sedo qe para m= em-se a Esperaça o Valor Médo : 55

61 E[ m m ]... p d d...d. 7 Para m e l eros posvos sedo qe para m=l= em-se a chamada Covarâca e para m=l= e = em-se a Varâca de : E[ m l m l ]... p d d...d. 8 Cosderado as varáves como m veor deem-se Veor Valor Médo e Marz de Covarâcas: E[ ] ˆ... E[ p ] ˆ P d d...d... p d d...d. 9 Observado-se qe as epecâcas se aplcam compoee a compoee do veor e ermo a ermo da marz. Deção 4.3.4: Dadas varáves coamee dsrbídas dee-se Coecee de Correlação para : cov ˆ ˆ E[ cov / ]. Dz-se qe as varáves são ão correlacoadas qado o coecee de correlação é lo. Propredades 4.3.: Para varáves coamee dsrbídas o módlo do coecee de correlação é sempre meor o gal do qe a dade devdo à desgaldade de Schwarz e maor o gal a zero pos ese valor ocorre qado as das varáves são ão correlacoadas. O sea: cov. var var Deção 4.3.5: Dadas varáves coamee dsrbídas em-se qe: Das varáves são depedees se vale qe: F p E[ F p g ] F p E[ ]E[ g ]. g. ções as. 56

62 Para varáves elas são das mamee depedees se vale qe: F F p E[ p ] F p...f...p E[ ]. 3 Dos veores aleaóros... Y Y Y...Ym são coamee depedees se vale qe: py y p py y. 4 Propredades 4.3.3: Se das varáves são depedees eão elas são ão correlacoadas; o verso ão é ecessaramee verdadero. Se as varáves orem gassaas eão o verso é verdadero. 4.4 Probabldades e Varáves Codcoadas Deção 4.4.: Dado B P e sedo A e A eveos de B dee-se a probabldade de A codcoada a A como sedo: P A / A ˆ P A A / P A P A. Deção 4.4.: Dado B P e varáves e Y coamee dsrbídas correspodeemee dee-se: p / Y / y ˆ p y / p y p y. Y Y Y Observe-se qe F /Y /y é deda como a dsrbção de dado o eveo {w: Yw=y}. Para ma varável coía: /y F /Y P{ w : w } { w : y Y w y y } / P{ w : y Y w y y }. Passado-se ao lme pode-se mosrar qe: F / Y / y p y d / p y. a Y Y Deção 4.4.3: Dado B P e varáves veoras e Y coamee dsrbídas correspodeemee deem-se Veor Valor Médo e Marz de Covarâcas Codcoados: 57

63 E[ / Y ] ˆ E[... / Y / Y / Y / Y... p / Y ] ˆ P / Y / Y / y d d...d p / Y / Y / y d d...d. 3 Observado-se ovamee qe as epecâcas se aplcam compoee a compoee do veor e ermo a ermo da marz. Propredade 4.4.: Se das varáves são depedees eão: p / Y / y p. 4 Propredades 4.4.: Seam Y Z coamee dsrbídas a b cosaes qasqer. ção escalar. Adma-se qe E[] E[Y] E[Z] E[Y] esam eão pode-se mosrar qe: E[ / Y ] E[ ] se Y depees. 5 E[ ] E[ E[ / Y ]]. 6 E[ a / ] a s a. 7 v E[ Y / Y ] Y. 8 v E[ a bz / Y ] ae[ / Y ] be[ Z / Y ]. 9 58

64 Bblograa Bryso A.E. ad Ho Y.C Appled Opmal Corol: Opmzao Esmao ad Corol Joh Wley New Yor. Jazws A.H. 97. Sochasc Processes ad Flerg heory Academc Press New Yor. Gelb A. Kasper Jr J.F. Nash Jr R.A. Prce C.F. ad Sherlad Jr A.A Appled Opmal Esmao MI Press Cambrdge Mass. Lebel P.B A Irodco o Opmal Esmao Addso-Wesley USA. Papols A Probably Radom Varables ad Sochasc Processes McGraw Hll New Yor. 59

65 Capílo 5 Esmação de Parâmeros 5. Fdameação eórca Problema de Esmação Sea o sege problema: Sabe-se qe as varáves aleaóras Z se relacoam com o veor aleaóro aravés de: Z h V. No eao para observar ocorrêcas de Z so é z em-se qe sar m dado sesor qe corpora m erro v ocorrêca de ma varável aleaóra V. z h v...m. Qer-se a parr dos z ober-se ma esmava de so é da dsrbção de. Na maor pare dos casos de eresse a verdade se qer esmar m veor de parâmeros. No eao o ao de se er qe deermá-lo aravés da observação de ma ora varável a meos de m erro de observação ese sm aleaóro é qe leva o melhor aé deerma a modelagem do veor de parâmeros como aleaóro assm como a varável observada com a qal ele se relacoa. Créros Dos créros são salmee adoados para qe a esmava ˆ de sasaça. Um para qe em méda o erro sea lo so é m créro de ão edecosdade e oro para qe a dspersão dos erros de esmação sea peqea so é m créro de mímo erro qadráco médo o varâcas mímas. E[ E[ ˆ ˆ ] S ˆ ] para S é mímo. 3 Solção A solção do problema colocado é dada por: ˆ E[ / Z ] Z Z Z...Z m. 4 6

66 De ao admdo-se qe ˆ é m coal de Z E[ ˆ S ˆ ] E[ E[ ˆ S ˆ / Z ]]. Sedo E[ / Z ] E[ / Z E[ ˆ S ˆ / Z ] E[ / Z E[ / Z S / Z ˆ / Z ] E[ / Z ˆ S / Z ˆ / Z ]. Volado e sbsdo a epressão orgal / Z ˆ S / Z S / Z / Z / Z ] / Z ˆ / Z ] E[ ˆ S ˆ ] E[ E[ ˆ S E[ E[ / Z S / Z ]] E[ E[ / Z ˆ S / Z ˆ / Z ]] ce E[ E[ ˆ S ˆ / Z ]]. / Z / Z / Z ˆ / Z ]] Porao como se qera demosrar o ˆ mmzae é: ˆ / Z E[ / Z ]. Assm a solção depede de se cohecer a desdade codcoada: p / Z / z. Mas cosderado qe: p / Z / z p Z z / p z Z p Z / z / p Z z / p. Em decorrêca esa desdade pode ser epressa pela regra de Bayes: p / Z / z pz / z / p / pz z. 5 Porao em ermos eórcos ca-se em m círclo vcoso pos para se ober o valor codcoado de é precso se cohecer p. Na práca em geral se rabalha reeradamee com apromações leares e com dsrbção gassaa e admem-se a pror ma esmava do valor médo e da dsrbção em oro dele so é da marz de covarâcas P qe por ala de maor ormação se cosdera dagoal com os ermos da dagoal epressado as aas de goorâca aravés dos qadrados dos desvos padrões. Havedo reddâca as ormações processadas esas apromações a pror so é os erros elas acabam por sorer ma dlção a cosegdo-se esmavas com erro desprezível para eeos prácos. 6

67 5. Caso Lear Nese caso êm-se observações leares pcamee modeladas como varáves gassaas e erros de observação ão correlacoados e depedees da varável a ser esmada como a segr. Problema de Esmação Esmar a varável sabedo-se qe ela se relacoa com as varáves gassaas Z learmee a meos de erros advos V de dsrbção gassaa cohecda ão correlacoados ere s e depedees de so é: Z H V E[V ] E[V covv...m ] R covv V... R...m Em ermos prácos esmar a varável a parr de realzações observadas de Z a meos de realzações ocorrdas das varáves erros de observação V. O sea esmar a dsrbção de a parr das observações: z H v...m. Solção Para realzar a esmava é precso er-se algm po de ormação a pror da varável a ser esmada ada qe o lme a ormação sea a de qe ão se cohece ada da varável. O sea é precso er-se ormação a pror sobre o valor médo e a dspersão em oro dele da orma: E[ ] cov P. 3 Com esa ormação em-se a pror ma apromação para p qe sedo gassaa é dada por: p / / / P ep P /. 4 E a parr da ormação da Eq. pode-se complear a desdade codcoada da epressão de Bayes da Eq. 5.5 repeda a segr: p / Z / z p Z / z / p / p z Z De ao pode-se calclar os valores médos e covarâcas caracerzado as respecvas ções de desdade de probabldades: 6

68 E[ Z ] E[ H V ] H E[VV p p Z z ] dag[ R :...m] ˆ R / covv / R m / z / / HPH R cov Z cov H V HPH R / E[ Z / ] E[ H V / ] H Z / m / / ep z H HPH ep z H R R R cov Z / cov H V / z H /. z H /. 5 6 Sbsdo a epressão de p / Z / z e após algma maplação algébrca resla: p / Z ˆ PH P P / z R H HPH z H R H R. / / / P / R / ep z ˆ P z ˆ / 7 De orma eqvalee sado dedades de marzes Apêdce III o algormo de esmação pode ser colocado a orma de Kalma: K PH HPH R ˆ K z H P P - KHP I KH PI KH KRK. 8 Devdo ao ma comporameo mérco dese algormo recomeda-se o so de ormas aoradas Berma 977; Kga 989; Kga e al 99 o pelo meos a orma de Joseph para o cálclo de aalzação da marz de covarâcas dos erros de esmação coorme segda epressão dêca para P a Eq. 8. Propredade 5..: Chega-se ormalmee ao mesmo reslado para o algormo de esmação se or cosderado o problema de mímos qadrados com ormação a pror ormlado com as realzações das varáves aleaóras e sado como marzes-peso as versas das marzes de covarâca e respecvamee. O sea: P R M. J { P z H R z H } /. 9 Propredade 5..: Processameo seqüecal. A codção de compoees ão correlacoadas das varáves erros de observação V perme eqvaleemee o processameo compoee a compoee das realzações observadas z de Z Eq. 5. podedo-se eão evar a versão de marz os cálclos dos respecvos gahos de Kalma Jazws 97. Com a ormação a pror P processa-se a prmera compoee das realzações observadas z ; sado o reslado como ma ova ormação a pror processase a segda compoee das realzações observadas; e assm por dae aé se processar a úlma compoee das realzações observadas. O reslado é o algormo de aalzação seqüecal em rês passos a segr. 63

69 Para =: ˆ P P. Para =...m: K P - H ˆ P [ H P - H ˆ K [ z H ˆ ] P - - KH P - [I Para =m: R ] KH ]P - [I KH ] K R K. ˆ ˆ m P P m. A ese algormo pode-se aplcar a aoração de raz qadrada de Poer o qe propca sgcava melhora de desempeho mérco sem pracamee amear a carga compacoal: Para =: ˆ a P S S. Para =...m: H ~ H S - K S - H ~ ˆ S [ H ~ H ~ ˆ K [ z S - - KH ~. R ] H ˆ ] a Para =m: ˆ ˆ m P P m S m S m. a Noe-se qe como a esmava a pror da marz de covarâcas P P é a de ma marz dagoal o cálclo da marz raz qadrada Eq. a para calzação do algormo é rval. Eemplo de Aplcação 5..: Solção seqüecal de ssemas leares Po e Ros Neo 99; Ros Neo 98. Sea a solção de m ssema lear vsa como a do problema de esmação: 64

70 e z H v... E[ ] E[V ] covv dag[ R covv cov E P... :...] 3 Pode-se pos resolver ese problema com o algormo das Eqs. e para =m. Se ese algormo se passar ao lme zero os R resla o algormo especíco para a solção do ssema lear: Para =: ˆ P P. 4 Para =...: K P - H ˆ P [ H P - H ˆ K [ z H ˆ ] P - - KH P -. ] 5 Para =: ˆ P P. 6 E aralmee se or sada a versão aorada de Poer melhora-se o desempeho mérco. Eemplo de Aplcação 5..: Ierpolação polomal. O problema é o de asar m polômo a observações de ma ção descohecda h para se er ma apromação da mesma o ervalo das observações. Assm sedo dadas observações da ção com erros de observação de dsrbção cohecda: y h v...m E[V ] E[V V ] R. 7 O qe se qer é er ma represeação desa ção apromada por m polômo: a a... a m y a a... a v h...m. 8 em-se pos pcamee m problema de esmação de parâmeros o caso o veor dos coecees do polômo. De orma compaca: y Ha v y y y... y m H... a a a...a v v v...v m. 9 65

71 Sedo eão a solção esmada: â a PH P P R H y Ha R H. Sedo qe a práca para m prmero loe de observações ão se em déa de valores a pror dos parâmeros da cereza em oro deses valores a pror. É pos razoável admr a P. O sea ma solção a pror o meo da rea real com cereza cobrdo oda a rea. Se ocorrer m ovo loe de observações: y y r r h v r r H a v. m...m m r omado-se as esmavas do loe aeror como ormações a pror em-se eão ma esmava aalzada dos parâmeros so é: r a â P P R R â P r r a P P r H r H r R r R y r H r r r H a P PH r H r PH r R r H r P. Noe-se qe se o úmero de observações de m ovo loe é peqeo pode ser coveee se sar a orma dêca para cálclo da ova marz de covarâcas dos erros de esmação. Eemplo de Aplcação 5..3: Solção em paralelo de ssemas de eqações leares. Ros Neo e Ros Neo Sea o ssema: b A. 3 Cosdere-se qe ser qer deermar o veor cóga a meos de ocorrêcas de erros e =... Em m esqema eravo de solção dada ma esmava cal o de ma eração aeror e com escolhdo para asar o passo de bsca da solção: b A A. 4 Se em cada eração... é cosderado como dado por ocorrêca:. 5 Ode é erro modelado como aleaóro ca ocorrêca garae boa apromação para a sasação da Eq. 4. Se or cosderado qe ace a eses erros as demas compoees o razoável é qe ambém ocorra com erro resla qe: 66

72 b v l a a a l l... v 6 Como ão se em déa de como as realzações dos se relacoam é razoável modela-los como de méda zero e de dsrbção ormal. Como o lme eles devem eder para as ocorrêcas dos erros e e em cada eração a dsrbção dos deve er dspersão da ordem l l l dos resídos b a eão é ambém razoável por m créro de máma verossmlhaça qe: E[ ] a e r r b a... 7 Porao: v E[ ] R dag[ a e r r :...] R. 8 Assm em ma eração ípca o problema é redzdo ao de se resolver em paralelo os problemas de esmação sem ormação a pror para =... b A A. Aplcado pos o esmador para o caso sem ormação a pror resla para =... ˆ [ A R A ] A R b A. 3 9 Noe-se qe o cosderada a relação R R e cacelado o aor. Com o propóso de vercar covergêca oe-se qe do ao de qe R é a mesma para = possbla combar as esmavas ˆ obedo-se: ˆ S Sg 3 S dag.[ A A R R A A b ˆ :...] / [ A b] R [ A b] g. Se or escolhdo de modo a mmzar em ma eração ípca garae-se a covergêca do esmador qe é eqvalee a m Méodo Modcado de Newo Leberger 984: 67

73 g Sg / g SA R ASg g g. 3 Para melhorar o comporameo mérco recomeda-se a orma aorada de Poer a segr. v p ˆ A s v R / e R / e p e. s v v e b A 3a Como aes é possível combar as esmavas ˆ para ober eqvaleemee o esmador do veor compleo : V [ v : v :...: v ] s dag[ s :...] p sv R ˆ pe. / e 3a E o valor de calclado de orma ambém aorada: g V g Vg V g s s R / e g / g r g sg s V g. V 3a 5.3 Caso Não Lear Nese caso a varável a ser esmada se relacoa ão learmee com a varável cas realzações são observadas de ovo a meos de erros advos de observação: e z h v...m. Ode como o caso lear adme-se algma ormação a pror e os erros de observação de dsrbção cohecda são ão correlacoados com a varável a ser esmada e va de regra de compoees ão correlacoadas. Se h or learzada em oro de admdo-se qe os erros de dspersão em oro dese valor seam de ordem speror: h h h o. Porao z h h h v. y H Desa orma com a learzação em oro da úlma esmava reca-se o caso lear: 68

74 e y H v...m. 3 Há ese caso a ecessdade de se reerar para elmar as ão leardades. Um algormo qe pode ser sado é: Icar com: ˆ. 4 Para =... relearzar em oro de ˆ sado m aor de ase de modo a garar a hpóese de peqeas perrbações ecessára para valdade da apromação lear rededo o problema de esmação lear: z h ˆ h ˆ ˆ h ˆ v y H e y H v...m. 5 Noar qe a esmava a pror ão mda o qe mda é o poo em oro do qal a relearzação é ea aé qe os ermos de ordem speror realmee seam desprezíves. Noar ambém qe o aor de ase é depedee do problema raado e por qe ão recohecer do sáro qe esver ldado com o algormo! Para =... aplcar o esmador lear aé qe para m erro especcado sea saseo: h ˆ h ˆ. 6 Eemplo de Aplcação 5.3.: reameo spervsoado de redes eras arcas: Uma aplcação de grade eresse de esmação ão lear de parâmeros é o de reameo spervsoado de redes eras do po eedorward em especal as do po de camadas múlplas de percepros Ml Layer Percepro -MLP Fgs. 5. e 5.. Esas redes eras RN podem ser readas para represear ormemee e com a deseada precsão mapeameos ão leares coíos so é ser readas para represear ções ão leares de argmeo veoral coías: m y C : D R y R. 7 Ode rear a rede aalogamee ao caso de erpolação polomal é resolver o problema de asar ma RN a observações de ma ção descohecda. De ao pos rear a RN ada mas é qe esmar ses parâmeros pesos sápcos Ros Neo 997 de modo qe ela sea ma apromação para a ção o ervalo em qe se êm valores observados da mesma possblado erpolações o eror dese ervalo de observação. O sea dados 69

75 os pares de ormações de erada e saída da rede {y: =.L} o problema é esmar os parâmeros w da ção paramerzada eqvalee à rede: ŷ ˆ w. 8 Sedo qe o caso da MLP se or cosderado o caso de ma úca camada era como lsrado a Fg. 5. qe alás é scee para garar a capacdade de represeação de ções veoras ão leares em-se para o caso de se sar agees hperbólcas ah como ções de avação a.=ah.: ŷ w ah[ w w ]. 9 Fgra 5.: Nerôo Arcal do po Percepro Fgra 5.: Ml Layer Percepro de Uma Camada 7

76 O problema de reameo spervsoado qe ada mas é qe m problema de ase da RN aos dados observados pode ser resolvdo como mmzar em relação ao veor de pesos sapcos o coal: J w / [ w w P w w L y ˆ w R y ˆ w]. Ode são dados {y: =.L} ma esmava a pror de w w e as marzes peso P R. Adoado-se procedmeo eravo em cada eração ípca procededo-se a ma perrbação lear com erações...i w a esmava a pror a ésma eração parâmero de ase para garar codções de peqea perrbação: [ y y ] ~ ˆ w w [ w w ]. em-se eão: J w L / [ w w P z H w R w w z H w ] z ˆ [ y y ] ˆ w w H ˆ ˆ w. w w w y ˆ w w w é a marz de dervadas parcas com respeo a w calclada sado-se a regra de bac propagao Zrada 99 a RN. Em cada eração em-se porao o problema ormalmee eqvalee de esmação: w w w e z H w v 3 E[ e] E[ ee ] P E[v ] E[v v ] R. Com e e v ão correlacoados e admdos com dsrbção gassaa. O problema se redz porao a ma sação em qe pode ser resolvdo com algormo do po daqele das Eqs Uma smplcação adoada a práca qe eplora a capacdade de processameo paralelo de RNs é a de desprezar a ormação o ível de precsão o cohecmeo aeror dos pesos as camadas a poseror aer dos pesos os erôos da mesma camada same e dos pesos as camadas qe aecedem earler w w w respecvamee com as apromações: a s e w w w w w w. 4 a a s s e Com esas apromações a Eq. ca basae smplcada reerdo-se ao erôo l da camada : 7

77 [ y y ] ˆ w [ w w ] v. 5 l l w l Reslado almee o problema smplcado de esmação para =...L: w z l l w e l H l l w v l 6 Naralmee a ese problema se aplca a Propredade 5.. ao o qe dz respeo ao processameo seqüecal como ao so da orma aorada. Eemplo de Aplcação 5.3.: Esmação de parâmeros de ssemas dâmcos: Crvo e Ros Neo 3 Sea o caso de ssemas dâmcos em qe se em qe deermar epermealmee parâmeros qe caracerzam se modelo dâmco como por eemplo parâmeros de sspesão de veíclos coecees aerodâmcos de aeroaves coecees hdrodâmcos de embarcações. Neses casos em geral se em m modelo maemáco para o ssema a orma de m ssema dâmco paramerzado: 7 p R Spodo-se qe epermealmee por observação drea se eham valores com erro de saídas do ssema qe se admrá serem os própros esados deermados por eemplo por avegação ercal o esmação: y E[ ] cov R. 8 Aplcado-se ao modelo dâmco m egrador mérco de eqações derecas ordáras por eemplo m egrador de ordem zero do po Rge Ka: p. 9 Epaddo em sére de aylor e omado apromação de prmera ordem admdo qe o erro os esados é de prmera ordem: y y y p p. p y p p p Rearraado ermos e agrpado ermos reerees a erros: y y y p p p y. p p p y p p O a oação qe vem sedo adoada: 7

78 z H ˆ y ˆ ˆ p y y y p p p p y. p Admdo-se qe se eha ma ormação a pror para p p com erro de méda la e marz de covarâcas P p obda do processameo de m loe aeror de meddas o de ma avalação a pror reca-se em sação á cohecda: p p p e z p H p...m. Eemplo de Aplcação 5.3.3: Solção Nmérca de Ssemas Algébrcos Ros Neo 98; Ros Neo e Po 987. Sea o caso de omzação de ssemas algébrcos ão leares: Mmzar: E. C. Seo a: h g h. g. m m p s C. Em ma eração ípca de bsca mérca da solção dese problema bsca-se deermar m cremeo de modo a: Mmzar:. 3 Seo a: h h g g 4 em qe é ma apromação cal o valor de ma eração aeror são aores de ase do passo de bsca dosados de modo a garar codções de respeo a perrbações leares são erros admssíves a sasação dos víclos e as eqações de víclos clem os víclos de desgaldade avos a dada eração o sea cosderado qe sea lme olerável de erro para avar g o sbcoo dos víclos de desgaldade as qe: g...i. 5 g omado em ma dada eração ma apromação learzada para os víclos e modelado os erros como aleaóros ão correlacoados e dsrbídos ormemee em aas de olerâca oal: 73

79 h g h g r cov dag[ e...m r cov dag[ d h g...i h g ] ] e d r r / 3...I / 3. g. 6 Codcoado a pror qe o passo sea a dreção oposa do gradee da ção obevo e lmado a ordem de gradeza do passo a ser de prmera ordem: cov P dag[ P...]. 7 Em oação compaca vê-se qe em cada eração o problema ca redzdo a ma esmação de parâmeros: y b H v...m h I g. 8 Ese problema pode eão ser resolvdo com o esmador da Eq. 5.8 repedo a segr como adeqação de oação: K P P H b P - KHP H K y P I H H R b KH PI KH KRK. 9 Ese esmador pode ser aplcado a sa versão seqüecal Propredade 5... Para evar colos com a sasação dos víclos qe é ecessára o processo de bsca deve er das ases. Na prmera ase por ode se deve car procede-se à aqsção dos víclos de galdade cldo os víclos de desgaldade qe evealmee se orem avos. Na segda ase qado se agem as aas de erros para sasação dos víclos de galdade bsca-se camhar a dreção do mímo; para evar colo com os víclos relaa-se a ordem de magde do erro de sasação dos víclos de modo a crar prordade para passo a dreção do mímo. Em segda se repee a ase m e assm por dae aé covergêca. Para a calbração dos parâmeros de ase do passo de bsca pode se sar as codções a segr baseadas em créro de máma verossmlhaça aplcados a avor da segraça ode o sobre ídce dcado o úmero da eração o omdo sem perda de eedmeo: Para os parâmeros e s s M.{ s...m s s mh s h 3R q... m q g 3R mh q h I g... m q h h. 3 74

80 Para a dspersão de de modo a avalar calbrar P : H P 3R q qe é resolvdo de orma apromada e a avor da segraça por: P Ma{3R q / H...m I H } 3 h g em qe é o úmero de ermos ão los da lha da marz H. Para o parâmero em cada eração: M{3P / /... }. 3 75

81 Bblograa e Reerêcas Berma G.J Facorzao Mehods or Dscree Seqeal Esmao Academc Press New Yor. Bryso A.E. ad Ho Y.C Appled Opmal Corol: Opmzao Esmao ad Corol Joh Wley New Yor. Crvo M. Ros Neo A. 3 A New Fler Error Mehod Appled o Arcra Parameer Idecao Aas II Cogresso emáco de Dâmca Corole e Aplcações-DINCON 3 ISBN IA São José dos Campos SP. Gelb A. Kasper Jr J.F. Nash Jr R.A. Prce C.F. ad Sherlad Jr A.A Appled Opmal Esmao MI Press Cambrdge Mass. Jazws A.H. 97. Sochasc Processes ad Flerg heory Academc Press New Yor. Kga H.K Deermação de Órbas de Saéles Arcas erresres aravés de éccas de Esmação Combadas a éccas de Savzação de Esado ese Doorado INPE São José dos Campos INPE-4959-DL/388. Kga H.K. Ros Neo A. Orlado V. 99. UD Flerg ad Smoohg Appled o Orb Deermao Mécaqe Espaale: Space Dyamcs Cepades-Edos olose Fraça. Lebel P.B A Irodco o Opmal Esmao Addso-Wesley USA. Leberger D.G Lear ad Nolear Programmg. Addso-Wesley Readg MA. Po R.L.U.F. Ros Neo A. 99. A Opmal Lear Esmao Approach o Solve Sysems o Lear Algebrac Eqaos Joral o Compaoal ad Appled Mahemacs Vol. 33 pp. 6l 68. Ros Neo A. 98. Flro de Kalma Aplcado a Solção de Ssemas Leares e Iversão de Marzes. 33a Reão Aal da SBPC Salvador Baha Brazl comcação º 9-A.8. p. 94. Spplemeo de Cêca e Clra 337. Ros Neo A. 98. Esmação Lear Oma Aplcada à Geração de Méodo do Dreo de Bsca em Omzação de Parâmeros; Revsa Braslera de Cêcas Mecâcas III ; - 4. Ros Neo A. e Po R.L.U.F. 987 A Sochasc Approach o Geerae a Proeco o he Grade ype Mehod; Aas do VIII Cogresso Lao Amercao e Ibérco sobre Méodos Compacoas da Egehara; PUC RJ INPE-46-PRE/9. Ros Neo A.; Carvalho S.V.; Po R.L.U. 993 A Opmal Lear Esmao Approach o Solve Lear Programmg Problems; Aas do V Smpóso Braslero de Pesqsa Operacoal UNICAMP-Campas SP. 76

82 Ros Neo A. Carvalho S.V. Po R.L.U A Opmal Lear Esmao ad Proeco o he Grade Approach o Solve Lear Programmg Problems I: Aas do IV Cogresso Ibero Lao-Amercao de Méodos Compacoas em Egehara São Palo SP pp Ros Neo A Sochasc Opmal Lear Parameer Esmao ad Neral Nes rag Sysems Modelg RBCM-J. o he Braz. Soc. Mechacal Sceces 9 pp Ros Neo A. Ros Neo W.. A Opmal Lear Esmao Approach o he Parallel Solo o Lear Algebrac Sysems o Eqaos SBA Corole & Aomação pp

83 Capílo 6 Processos Esocáscos: Gass Marov 6. Coceação Básca A coceação de Processo Esocásco o caso de ssemas dâmcos vem da ecessdade de se ldar com sações em qe se êm codções cas aleaóras e o em qe há perrbações co ível de gorâca e compledade mplca em eeos ão modelados qe são regões czeas em qe ão se em a meor dea de como se localzar. Esas sações levam à ecessdade de se modelar o esado deses ssemas como varáves aleaóras em cada sae. E so é o qe é o caso em qe o empo é a varável depedee m processo esocásco o aleaóro: ma scessão de varáves aleaóras cocaeadas so é coamee dsrbídas ao logo do empo o ormalmee como a deção a segr. Deção 6..: Dado B P dee-se Processo Esocásco como sedo ma amíla de varáves aleaóras coamee dsrbídas cos membros são caracerzados por m o mas ídces qe se cosem em parâmeros; assm o processo é ma amíla de varáves aleaóras coamee dsrbídas paramerzadas. O caso de maor eresse é o de m úco ídce como a segr. { w w : }. Propredades 6..: Um processo aleaóro ca oalmee caracerzado se para odos os se cohecer as correspodees desdades coas so é: {... N N :...N N } p.... Um processo esocásco pode ser coío C o dscreo D qao à varável aleaóra e o coío c o dscreo d qao ao parâmero sedo os casos de mas eresse em corole de ssemas dâmcos: C+c: processo propramee do; C+d: seqêca. Eemplos 6..: Sea m ssema massa mola amorecedor em qe as codções cas seam aleaóras: { w : w dado }. Como coseqêca sedo a marz de rasção de esados: 78

84 w w. Sea ma ômbola se o sae se der m mplso arbráro a roda para =...N será gerada a amíla de varáves aleaóras: { w : w { :...N }}. Sea o caso de m radar para moorameo de velocdades; esado as meddas em cada sae aeadas por erros aleaóros eão as meddas ao logo do empo cosem m processo aleaóro. 6.. Seqêcas de Marov Ao se raar problemas da vda real em geral se dscreza em relação ao empo. Ssemas dâmcos sasazem a codção de qe dadas codções cas em dado empo eão os esados ros cam deermados pela solção da eqação derecal qe modela a dâmca. O sea o presee separa o passado do ro so é os eeos do passado esão acmlados o presee. É ese po de propredade qe caracerza os chamados processos marovaos em parclar as seqêcas marovaas como coceado a segr. Deção 6..: Dada ma seqêca aleaóra qe a verdade é w mas qe por coveêca daq para dae se dcará omdo os w qe carão sbeeddos dz-se qe ela é marovaa se: p /... /... p / /. Observação: Por qesão de smplcação daq para dae cosderar-se-á: p p. Propredades 6..: Cosderado a propredade maroaa e a deção de desdade codcoada scessvamee resla: p... p p p /... p... / p /... p... / p /...p. 3 Uma seqêca marovaa é da esacoára em m sedo resro se: - p ão mda com o ídce ; - p depede apeas da dereça - so é da dsâca ere e. A seqêca é da esacoára em m sedo amplo se para odo e dereça -: E[ ] ce cov P. 4 Uma seqêca marovaa é da pramee aleaóra se: 79

85 p / p. 5 Eemplo 6..: Para o caso da ômbola as ocorrêcas em eavas scessvas cosem ma seqêca pramee aleaóra esacoára: W... No eao o valor acmlado depos de ocorrêcas é represeado por ma seqêca marovaa: W W... 6 Deção 6..: Uma seqêca é da de Gass Marov se além de marovaa ela em dsrbções de probabldade gassaas so é se orem gassaas as desdades de probabldades p p /. Propredades 6..: As propredades qe segem são de erema mporâca coceal e cosrva para o desevolvmeo de esmadores o caso de ssemas dâmcos dscreos o dscrezados. Uma seqêca de Gass Marov pode sempre ser represeada pelo esado de m ssema dâmco lear de múlplos eságos orçado por ma seqêca pramee aleaóra de dsrbção ambém gassaa e al qe o esado cal sea gassao: W... 7 Propagação do valor médo: E[ ] E[ ] E[W ] w... Propagação da marz de covarâcas:... 8 E[ E[ W w W w ]. Em coseqêca de W ser pramee aleaóra e sedo cov P covw Q resla: P P Q Processos Coíos: Gass Marov No corole de ssemas dâmcos em malha echada com realmeação de esado em-se qe esmar se esado a malha de realmeação. O qe se sabe azer a práca é ldar com ssemas leares. Assm para se esmar o esado de ssemas dâmcos ão leares o qe se az é reeradamee se rabalhar com apromações leares qado 8 ]

86 eão se modelam esas apromações leares como processos de Gass Marov como coceados a segr. Deção 6.3.: Dz-se qe w é processo coío qado é varável aleaóra deada por al qe e varam coamee so é: { w :.. : R }. O processo é marovao se vés de se ecessáro o cohecmeo de: p... N { :...N N } basa o cohecmeo de: p { } { : }. 3 Como se em qe: p p / p cocl-se qe basa eqvaleemee o cohecmeo das desdades p / p para odo } { : }. { Propredade 6.3.: O processo marovao é do braco se sasaz a propredade ípca de: p / p } { : }. 4 { Noe-se qe m processo braco é ma dealzação para eeo de modelagem como a de poo maeral em Mecâca. Iso porqe para sceemee peqeo deve haver algma correlação ere e so é o qe acoece em em qe er algma lêca em por meor qe sea ; pelo meos é assm qe é os processos da areza ode ca há mdaças saâeas para as qas sera ecessára qadade de eerga amee grade. No eao para perrbações de ssemas dâmcos em qe o ervalo a parr do qal a correlação é deecada é desprezível ace aos empos de resposa do ssema dâmco seo às perrbações eão é váldo apromar as perrbações por ma seqêca pramee aleaóra qe o lme para é m processo braco. O bcho pregça qe o dga qado é perrbado por m coelho! Propredade 6.3.: Eeo de perrbações po processos bracos. Cosdere-se sem perda de geeraldade o caso de perrbação pra qe o lme pode ser modelada como do po rído braco. Cosdere-se qe para ocorrêcas do processo valha qe: w wd. 5 8

87 Ode se adme qe para ' s sceemee peqeos as ocorrêcas de w são cosaes porao a egral a Eq. 5 ese pos qalqer ocorrêca do processo w é coía por pares. Com eses cdados realsas para eeos prácos pode-se ear calclar o eeo da perrbação o processo : E[ ] cov wd cov E[ w w d w w d ]. 6 Ode se cosdero qe w ão se correlacoa com. O problema qe se apresea é pos o cálclo da corbção da perrbação a covarâca de. Para smplcar o algebrsmo cosdere-se o caso escalar e em qe w so é o caso de m rído braco. Para m dado ssema perrbado pode-se sempre cosderar m bem meor qe os empos de resposa a perrbação dese ssema de modo qe: wd K w I 7 K w A egral do eeo perrbador pode ser com a apromação deseada vsa como ma somaóra de plsos I w. Pode-se em decorrêca se calclar a dspersão casada pela perrbação rído braco: cov K E[ E[ I ] w Q d wd K wd ] E[ Q I Q dd. K I Q / I K w J I w K ] Q 8 Noar qe a Eq. 8 Q é qe é a varâca do rído qe porao ede a o ver Apêdce II ção mplso áro Eq. I.6 e qe Q a verdade é ma desdade especral o qe se evdêca se or cosderado qe / é ma reqêca e qe: Q E[ I / ] E[ w ] / / 9 w w Como Q é a por meor qe sea cocl-se qe ede para o. Propredade 6.3.3: Um processo de Gass Marov pode sempre ser gerado por: F G W. w 8

88 ode é dada e gassaa e W é m processo braco gassao ão correlacoado com e eeddo como o lme de ma seqêca braca de modo a garar para as ocorrêcas do processo sado marz de rasção qe: G w d. Propredade 6.3.4: Dado m processo esocásco gerado por: F G W ode é dada e W é m processo braco ão correlacoado com e eeddo como o lme de ma seqüêca braca de modo a garar para as ocorrêcas do processo sado marz de rasção pode-se calclar os valores propagados da meda e da marz de covarâcas como a segr. E[ ] E[ ] G w d. G E[ w ]d Vê-se pos qe: F G w. 3 E para a marz de covarâcas: cov P cov P P P G covw s W G s s dsd G Q s s G s s dsd s G G E[ w ]d s Q s G s s ds. 4 83

89 Bblograa Bryso A.E. ad Ho Y.C Appled Opmal Corol: Opmzao Esmao ad Corol Joh Wley New Yor. Jazws A.H. 97. Sochasc Processes ad Flerg heory Academc Press New Yor. Gelb A. Kasper Jr J.F. Nash Jr R.A. Prce C.F. ad Sherlad Jr A.A Appled Opmal Esmao MI Press Cambrdge Mass. Lebel P.B A Irodco o Opmal Esmao Addso-Wesley USA. Papols A Probably Radom Varables ad Sochasc Processes McGraw Hll New Yor. 84

90 Capílo 7 Esmação de Esado e Corole em Malha Fechada 7. Esmação de Esado: Coceos e Fdameos Problema de Esmação Lear Sea o problema de esmação em qe ao o ssema dâmco como as observações são modelados como leares: Dado o ssema dâmco modelado como m processo de Gass Marov F G W ode W é m rído braco gassao de dsrbção cohecda depedee de : E[W ] covw W Q e para se em ma apromação para a dsrbção admda gassaa: E[ ] cov P. 3 Dadas as observações de saídas do ssema: y H v... 4 em qe y m correspode a ocorrêcas de: Y H V... 4a com V gassao depedee de e de W com dsrbção cohecda: E[V ] covv R. 5 O problema qe se coloca é o de se esmar m processo ˆ qe sea ma boa apromação de so é de modo qe as ocorrêcas do processo esmado seam boas apromações do valor médo do processo qe represea o ssema dâmco e qe a dspersão do erro de esmação so é as varâcas o desvos padrões sea sceemee peqea de modo a garar as precsões especcadas para avegação o corole do ssema. 85

91 Créros Como o caso de esmação de parâmeros o caso de esmação de esado de ssemas dâmcos os créros são: a em méda o erro sea lo so é m créro de ão edecosdade e b oro para qe a dspersão dos erros de esmação sea peqea so é m créro de mímo erro qadráco médo o varâcas mímas. E[ ˆ ] E[ ˆ S ˆ ] para S é mímo. 6 Solção Coorme vso o caso de esmação de parâmeros a solção é dada pela méda codcoada: ˆ E[ /{ y 7 :... }]. O sea o valor esmado a parr das ocorrêcas de Y observadas e por sa vez ese valor esmado é ma ocorrêca do esmador: ˆ E[ /{ Y :... }. 7a A demosração sege passos oalmee aálogos ao do caso de esmação de parâmeros seção 5. admdo-se qe ˆ é m coal de {Y :... } : E[ ˆ S ˆ ] E[ E[ ˆ S ˆ /{Y : Sedo E[ /{Y:...} ] / Y E[ / Y S E[. ˆ S / Y ˆ /{Y : /{Y :...}]]. E[ ˆ S ˆ /{Y :...} ] E[ / Y / Y ˆ S / Y ˆ /{Y :...} ] / Y E[ / Y S / Y ˆ /{Y :...} ] / Y Volado e sbsdo a epressão orgal / Y...} ]...} ] 86

92 E[ ˆ S ˆ ] E[ E[ ˆ S ˆ E[ E[ S /{Y : E[ E[ / Y ˆ S / Y ˆ ce E[ E[ ˆ S ˆ / Y / Y / Y / Y /{Y : /{Y :...} ]] /{Y : Porao como se qera demosrar o ˆ mmzae é: ˆ / Y E[ /{Y:...}]....} ]]...} ]]...} ]]. 7. Flro de Kalma: Caso Coío Dscreo Lear No qe sege das abordages são apreseadas para a dedção do esmador lear ómo o Flro de Kalma para o caso coío dscreo: a prmera bayesaa á qe se basea a propredade de Bayes; a segda por aaloga com o caso de esmação de parâmeros qe se podera chamar de abordagem herísca. Solção Bayesaa: Para o problema da seção aeror Eqs. 7. a 7.5 como demosrado a solção para obeção do esmador ómo passa pela deermação da ção de desdade de probabldade codcoada: p / y y ˆ { y :... }. O sea a desdade de probabldades codcoada ao coo de observações aé correspodees às ocorrêcas de: Y ˆ {Y:...}. Cosderado a deção de desdade codcoada e a propredade de Bayes: p /y p /y py py py / / / y y - - p p p /y y - y /y /py p y /py py - /y y /py - - y /y - - /py py ode se cosdero a propredade marovaa de modo qe: - py / y py /. O sea a deermação da solção depede de se resolver a eqação de desdades: - y - 87

93 - - p /y py / p /y /py /y. 3 Como odas as desdades são gassaas cam porao oalmee caracerzadas pelas médas e covarâcas correspodees. Assm a desdade do prmero membro ca oalmee caracerzada pelo prodo das desdades do segdo membro o qe levará à deermação dos valores codcoados do valor médo e marz de covarâcas solção do problema de esmação. Calclado para cada ma das desdades do segdo membro as médas e covarâcas decorrem a méda e a covarâca para a desdade do prmero pela maplação das epressões epoecas das dsrbções gassaas. py / : Y H V... E[Y / ] E[ H V / ] H covy / covv V / R. 4 p /y - : Em decorrêca de qe: F G W ode é dada e W é m processo braco de méda la ão correlacoado com e porao ão correlacoado com Y pela propredade marovaa á qe em em s acmlado os eeos do passado e eeddo como o lme de ma seqüêca braca de modo a garar para as ocorrêcas do processo o so da marz de rasção permdo o calclo dos valores propagados da meda e da marz de covarâcas como a segr ver Eq E[ / Y ˆ ] ˆ E[ / Y ] G E[W / Y ]d 5 E[ P / Y ] ˆ P G Q G d. 6 py /y - : E[Y / Y ] E[ H V / Y E[ Y H Y H ] H / Y ] H P H R. 7 88

94 Moado as correspodees epoecas eeado os prodos após algma maplação resla o esmador aravés da méda e marz de covarâcas. p /y : E[ / Y cov / Y ] ˆ ˆ H ˆ P H R R H P H P H. R Y P E para as ocorrêcas observadas em-se o esmador com se operacoalzam os cálclos para se ober a ocorrêca esmada do esado: ˆ H P H R R H P H P H. R y P 8 Ese esmador sado-se dedades de marzes Apêdce III pode ser colocado em ma orma eqvalee a chamada orma de Kalma: K P H ˆ K y H P P K H P I K H H P P I K H R H K R K. 9 Propredade 7..: Propagação da Marz de Covarâcas: Eqação de Rcca. Usado-se as epressões baseadas a marz de rasção pode-se calclar ma eqação derecal para a propagação da marz de rasção como desevolvdo a segr. P P G Q G d. Cosderado a eqação dâmca para a marz de rasção e omado-se ma apromação de prmera ordem méodo de Eler: F I F. Reslado pos: I P I F P I F A meos de ermos de segda ordem: P P P F Passado ao lme: IG Q G I. F P G Q G. 89

95 lm P P / P P F F P G Q G. Solção herísca: No qe sege por smplcação de oação sempre qe ão hover possbldade de cosão se sará a oação de ocorrêca das varáves e processos aleaóros como dsamee as respecvas varáves e processos. Prmera eapa: Flragem. Começado em e depos recrsvamee para... em-se sempre ma sação eqvalee de esmação de parâmeros com ormação a pror á qe se em qe resolver o problema de esmar a varável ˆ a parr das ocorrêcas: y H v E[ ] E[ ] P E[ v ] E[ v v ] R covv. Aplcado a solção desevolvda para esmação de parâmeros Eq. 5.8: K PH HPH R ˆ K y H P P- KHP I KHPI KH KRK. 9a Observação: Noe-se qe o caso de erros de observação ão correlacoados so é R dagoal pode-se processar o veor de observação seqecalmee so é compoee a compoee ver Propredade 5... Segda eapa: Propagação. Ere e ão há observações de ocorrêcas e o melhor qe se az a verdade o ecessáro é respear os víclos dâmcos e calclar os valores codcoados da méda e das covarâcas às observações passadas: E[ / y E[ / y ] G E[ w / y ]d 5a ˆ. ] ˆ E[ / y ] ˆ P P 6a G Q G d. O eqvaleemee egrado mercamee: F ˆ P P F F P G Q G 9 P P.

96 ercera eapa: Recrsvdade. Icremear se <K volar para prmera eapa. Algormo do Flro e Cosderações Prácas Flragem: Para m dado =... so é... se a esmava a pror P e a observação y e deerme com o algormo de lragem Eqs. 7.9a abao a esmava aalzada ˆ P. Prossga para o prómo passo de propagação caso ão eha agdo m valor lme. K PH HPH R ˆ K y H P P- KHP I KHPI KH KRK. 9a As cosderações prácas são qao ao valor cal P e ao comporameo mérco do algormo de lragem Eqs. 7.9a o cálclo de ˆ P. Para em geral se em ma esmava cal qe é aceável apesar de com erros a avor da segraça so é maores qe a realdade. Para P recomeda-se ma esmava cal dagoal em qe as varâcas a dagoal seam os qadrados do qe seram erros de prmera ordem para as respecvas compoees do esado de modo a ão desrr hpóeses de learzação e o evar edêca de apreder mo rapdamee o modelo errado e perder sesbldade para eração de ormação de observações ras. Para o algormo de lragem recomeda-se o so de ormas aoradas Berma 977; Kga 989; Kga e al 99 e sempre o so da orma de Joseph para o cálclo de aalzação da marz de covarâcas dos erros de esmação so é a orma: P I KHPI KH KRK. 3 Predção: Ere e propagam-se as esmavas de sado-se os víclos dâmcos: ˆ F I 4 P P O eqvaleemee G Q G d. F ˆ P P F F P G Q G P P. 4a 9

97 As cosderações prácas são qao são qao ao méodo de propagação mérca das esmavas e à calbração da desdade especral o magde do rído w aravés da marz Q. Qao ao méodo de propagação das esmavas pode-se sar a marz de rasção com m méodo de egração mérca de baa ordem; por eemplo o méodo de Eler omado-se apromações rapezodas para a egral de propagação da marz de covarâcas com Q cosae ao logo do ervalo de dscrezação ao para sações em qe o ervalo de dscrezação é sceemee peqeo e o em qe o ssema em empo de resposa a perrbações mo maor qe o ervalo de dscrezação. Para ssemas rápdos so é com empos de resposa prómos ao ervalo de dscrezação pode-se sar m egrador de pacoe compacoal mas ada assm de ordem baa: em geral m egrador Rge Ka de qara ordem com Q cosae ao logo do ervalo de dscrezação. Qao à calbração de Q ela é ecessára para qe o esmador ão perca a sesbldade para eração de ormação de observações ras devdo à qeda aceada das esmavas dos erros de esmação so é das varâcas esmadas. Sação esa qe ocorre ao pelo comporameo mérco do lro lragem e propagação como por erros de modelagem qe mplcam a edêca de se apreder mo rapdamee o modelo errado Jazws 97. A dosagem de cereza propcada pelo rído para maer a sesbldade de eração de ormação das observações pode ser ea de orma herísca evolvedo algm esorço de calbração sempre depedee do problema e do sáro. Há ambém éccas adapavas qe serão raadas mas adae recomedáves as sações em qe o problema de erros de modelagem é mas aceado. Uma écca herísca basae smples sgerda por Gelb e al 977 é apreseada a segr. Cosderado o rído braco como o lme de ma seqêca braca para sceemee peqeo pode-se omar a apromação para os ermos da dagoal da marz de desdade especral Q cosderada cosae em : q w / 5 Ode dada a areza de rído braco de w é razoável admr qe sa ação é da orma adva pra a eqação dâmca de modo qe w perrba a compoee a eqação w dâmca e é avalada de modo a grosseramee represear a cereza rodzda pela possível aa de varação de observações Ros Neo e Crz 985. w o ervalo ere 7.3 Flro de Kalma: Caso Coío Dscreo Não Lear Problema de Esmação Não Lear: O raameo do caso ão lear mas realsa e de maor eresse práco será a parr de abordagem de perrbação lear reerava de modo a redz-lo ao caso lear em ma eração ípca. Uma caracerísca dsva a abordagem reerava é qe as reerações se dão ao logo do empo de m ervalo de dscrezação para o oro como se verá o qe sege. Nese caso o problema é esmar o processo esocásco correspodee a m ssema dâmco ão lear com modelagem dada a parr de processo esocásco observado a w 9

98 meos de erros advos de sesores processo ese qe se relacoa ão learmee com o processo a ser esmado como a segr. G W Y h V... Ode..G. são ções as e sceemee reglares para garar as solções do ssema dâmco ao se ldar com ocorrêcas em qe sempre se admrá qe a aleaoredade ocorre para as codções cas o ervalo de dscrezação e qe W é m processo braco de méda la ão correlacoado com o esado para valores passados do empo e eeddo como o lme de ma seqêca braca de modo a garar para as ocorrêcas do processo as solções apromadas das eqações dâmcas cldo o so da marz de rasção permdo o cálclo dos valores propagados da méda e da marz de covarâcas; é dada aravés de ormações a pror aravés de valores apromados de sa méda e covarâcas. Admdo-se qe se coheça ma solção omal e qe as ocorrêcas de são prómas desa solção omal pode-se omar ma apromação lear: G w G w. Em oação mas coveee: F G w F ˆ. De orma aáloga para as observações: y h y y y y y h v y ~ h v. Em oação mas coveee: y H v H ˆ h. 3 Na práca das sações podem ser cosderadas: Flro Learzado: ese caso pré-esabelecda é mada ao logo do ervalo de empo da esmação so é ao logo de odos os sbervalos de dscrezação. Flro Eseddo de Kalma: ese caso em cada 93 :

99 ˆ. 4 Esa é a codção cal para gerar em rededo a raeóra omal sado-se a úlma ormação de esmação so é caracerzado ma reeração ao logo dos ervalos de dscrezação do empo: ˆ. 5 Algormo do Flro e Cosderações Prácas Flragem: Para m dado =... so é... se a esmava a pror P e a observação y e deerme com o algormo de lragem abao a esmava aalzada ˆ P. Prossga para o prómo passo de propagação caso ão eha agdo m valor lme. K P H ˆ K y h P P K H P I K H H P P I K H R H K R K. 6 As cosderações prácas como o caso do lro lear são qao ao valor cal P e ao comporameo mérco do algormo de lragem o cálclo de ˆ P. Para em geral se em ma esmava cal qe é aceável apesar de com erros a avor da segraça so é maores qe a realdade. Para P recomeda-se ma esmava cal dagoal em qe as varâcas a dagoal seam os qadrados do qe seram erros de prmera ordem para as respecvas compoees do esado de modo a ão desrr hpóeses de learzação e o evar edêca de apreder mo rapdamee o modelo errado e perder sesbldade para eração de ormação de observações ras. Para o algormo de lragem recomeda-se o so de ormas aoradas Berma 977; Kga 989; Kga e al 99 e sempre o so da orma de Joseph para o cálclo de aalzação da marz de covarâcas dos erros de esmação. Predção: Ere e propagam-se as esmavas de sado-se os víclos dâmcos: ˆ F P P I G Q G d. 7 O eqvaleemee 94

100 ˆ P P F F P G Q G P P. 7a As cosderações prácas como o caso do lro lear a meos de peqeos ases são qao ao méodo de propagação mérca das esmavas e à calbração da desdade especral o magde do rído w aravés da marz Q. Qao ao méodo de propagação da esmava das covarâcas pode-se sar a marz de rasção com m méodo de egração mérca de baa ordem; por eemplo o méodo de Eler omado-se apromações rapezodas para a egral com Q cosae ao logo do ervalo de dscrezação ao para sações em qe o ervalo de dscrezação é sceemee peqeo e o em qe o ssema em de empo de resposa a perrbações mo maor qe o ervalo de dscrezação. Para ssemas rápdos so é com empos de resposa prómos ao ervalo de dscrezação pode-se sar m egrador de pacoe compacoal mas ada assm de ordem baa: em geral m egrador Rge Ka de qara ordem com Q cosae ao logo do ervalo de dscrezação. Qao à calbração de Q ela é ecessára para qe o esmador ão perca a sesbldade para eração de ormação de observações ras devdo à qeda aceada das esmavas dos erros de esmação so é das varâcas esmadas. Sação qe ocorre ao pelo comporameo mérco do lro lragem e propagação como por erros de modelagem qe mplcam a edêca de se apreder mo rapdamee o modelo errado Jazws 97. A dosagem de cereza propcada pelo rído para maer a sesbldade de eração de ormação das observações pode ser ea de orma herísca evolvedo algm esorço de calbração sempre depedee do problema e do sáro. Há ambém éccas adapavas qe serão raadas mas adae recomedáves as sações em qe o problema de erros de modelagem é mas aceado. Uma écca herísca basae smples sgerda por Gelb e al 977 é apreseada a segr. Cosderado o rído braco como o lme de ma seqêca braca para sceemee peqeo pode-se omar a apromação para os ermos da dagoal da marz de desdade especral Q cosderada cosae em : q w /. 5 Ode dada a areza de rído braco de w é razoável admr qe sa ação é da orma adva pra a eqação dâmca de modo qe w perrba a compoee a eqação w dâmca e é avalada de modo a grosseramee represear a cereza rodzda pela possível aa de varação de Ros Neo e Crz 985. w o ervalo ere observações Eemplo de aplcação 7.3.: Navegação de veíclos marímos erresres e aeroespacas clsve avegação por saéles GPS Kapla ad Hegary 6. Reerêca de aplcação 7.3.: Negreros de Pava 988 so o lro eseddo de Kalma e modelos paramerzados smples de órba para a deermação aôoma a bordo de saéles sado GPS. 95 w

101 Reerêca de aplcação7.3.: Phero 989 e Phero e Ros Neo 99 saram o Flro Eseddo de Kalma com m modelo sem-aalíco de órba para desevolver procedmeo aôomo seqecal de deermação de órba de saéle geoesacoáro esado-o com dados reas do saéle Braslsa A de elecomcações. Reerêca de aplcação 7.3.3: Marqes Flho 5 e Marqes Flho Kga e Ros Neo 6 aplcaram o Flro Eseddo de Kalma para desevolver solção de avegação aravés de m ssema egrado GPS-INS baseado em IMU ão-groscópca de bao cso. 7.4 Méodos Adapavos em Esmação de Esado Modelos são só represeações apromadas de sações da realdade. Além dsso qado mplemeados compacoalmee comeem-se erros mércos cmlavamee com os erros de modelagem; assm mesmo qado se em provas maemácas de covergêca qe são relavas a modelos ão se em garaa de bos reslados a mplemeação mérca para se ober solções apromadas para problemas da vda real. Em aplcações prácas é comm acoecer sação ode se em m modelo de rabalho para a dâmca do processo de esado em qe há eeos ão modelados. Iso ocorre o pela ecessdade de se rabalhar com modelos smplcados em geral learzados por codções de mplemeação em empo real o porqe há mesmo dcldade de se corporar oda a compledade do mdo real os o modelo dâmco. No caso de esmação de esado o Flro de Kalma e sas eesões para raar o caso ão lear são eremamee sesíves a erros de modelagem e de compação mérca Daí a ecessdade dos méodos adapavos raados a segr Compesação do Modelo Dâmco Nese caso para evar dvergêca ea-se esmar os eeos ão modelados o sea adoa-se ma abordagem de compesação do modelo dâmco. O qe se az é apromar os eeos ão modelados por m processo de prmera ordem de Gass Marov e.g. apley e Igram 973; Ros Neo e apley 975; Ros Neo e Crz 985; Crz e Herqes 998; Herqes e Crz. Assm aqelas compoees da dâmca em qe há acelerações ão modeladas se cl m ermo de compesação modelado por m processo de prmera ordem de Gass Marov: d d G w / w d d d d w d ode... d d o úmero de compoees do veor de acelerações ão modeladas; w d e w d são rídos bracos depedees dos esados cas e dos rídos de observação. e Dedo-se m esado eseddo : : em-se em correspodêca m ssema dâmco compesado da orma: e e e e G w. 96

102 Reca-se porao o caso do Flro Eseddo de Kalma. A eperêca mosra qe ão é dícl calbrar os valores cas das cosaes de empo τ pos para m dado ssema se em ma dea grossera dos empos de resposa evolvdos qe podem ser sados o com correspodees esmavas de varâcas cas qe represeem o ível de dspersão do erro de avalação Ros Neo e Crz 985. Para calbrar a magde dos rídos pode-se sar abordagem herísca ver seção 7.3 o eão ao cso de mas compledade mérca ma abordagem adapava para esmação da magde dos rídos como por eemplo a apreseada a segr. Reerêcas de aplcação 7.3.: apley e Igram 973 e Ros Neo e apley 975 lzaram a écca de compesação do modelo dâmco o caso de deermação de órba do módlo lar em mssão Apolo e deermação de órba de saéles erresres de baa alde respecvamee. Reerêcas de aplcação 7.3.: Negreros de Pava 98 e Ros Neo e Negreros de Pava 983 saram méodo aalíco apromado e o méodo de compesação dâmca para vablzar esmador de órba de saéles em empo real. Reerêcas de aplcação 7.3.3: Crz 98 e Ros Neo e Crz 985 lzaram o méodo de compesação do modelo dâmco para desevolver corole adapavo aplcado ao caso de ploagem de embarcação em caal esreo com perrbação de veo e corree. Reerêcas de aplcação 7.3.4: Crz e Herqes 998 e Herqes e Crz aplcaram o méodo de compesação do modelo dâmco para o corole robso de poscoameo de braços robócos Esmação Adapava do Rído de Esado A dosagem do ível de rído o esado é ecessára de modo a se er codções de corolabldade para a covergêca do Flro de Kalma especalmee qado há erros de modelagem. A cereza propcada pelo rído aravés da marz de covarâcas dos erros da esmava propagada perme sesbldade para se coar rado ormação das ovas observações e prever a dvergêca. Os rabalhos poeros de Jazws 969 e de Mehra dcaram e desevolveram maeras de se avalar esa dosagem com base a ormação coda o processo de ovação so é o processo do resído de observações. Ada a década de seea oras varaes eplorado a ormação coda o processo de ovação oram desevolvdas Carew e Bélager 973; Bélager 974; Myers e apley 976. Reomado e esededo o rabalho de Jazws 969 Ros Neo e Kga desevolveram procedmeo qe maém a abordagem esocásca ao raar o resído de observação desevolvedo m algormo para ase do ível de rído qe é ma lragem de Kalma. O reslado é m procedmeo com adeqação para aplcações em empo real e bom desempeho e.g. Nascmeo Jr 988; Nascmeo Jr e al 99. Cosdere-se a apromação lear e dscrezada para propagação do processo erro de esmação: P P G d w w Q 3 97

103 ode Δ - = - - ˆ - ; e o processo do rído de esado o apromado por ma seqüêca de rído braco com w ~NQ Q =dag.{q : =... w }. As varâcas q devem ser esmadas para asar o ível de rído. Dedo-se os processos resídos de observação para as =...m compoees do veor de observação: r y H H a r r v H w w v 4 a ode r é a -ésma compoee do processo resído aal o sea do processo resído sem erro de observação. Da hpóese de dsrbções gassaas para os processos de esado e rídos de esado e observação resla qe o processo de resído aal é ambém gassao. Adoado-se m créro de cossêca esaísca ere os valores ocorrdos dese processo e sas respecvas varâcas qe sea o de mamzar a probabldade de as ocorrêcas o sea m créro de máma verossmlhaça Jazws 969 em-se: a a r E[ r ]. 5 Desa relação em-se ormação a ser eplorada para se esmar o ível de rído. Se desevolvmeo perme colocá-la a orma de m psedo veor de observações reslado para ma compoee geérca: q z M q v. 6 Impodo lme à ordem de magde do resído adoado para os cálclos por qesão de respeo à hpóese de perrbação lear o caso de problema ão lear o de peqeas perrbações mesmo o caso de problema lear e o evar o eeo ocvo de realzações ocasoas e locas de observações com erros aormalmee elevados: c / r M.{/ r /3 R 7 reslam em 6: c z r M 8 H H : H P :...: H H Dado qe se esá cosderado apromação lear para a propagação do processo erro de esmação cosseemee oma-se ma apromação lear para as ocorrêcas de erro q v : w. q v r v v r v q q R covv dag.{ 4 r R :...m }. 9 98

104 Resla pos qe a dsrbção do rído da psedo observação é v q ~N4r R. Para alzar as codções para a calbração do rído de esado de modo a raa-lo como a de m problema esocásco de esmação óma é precso modelar como esocásco o processo das varâcas dese rído. A apromação do processo de rído o esado por ma seqüêca de Gass Marov braca mplca ser razoável qe: q q q w. Em coseqüêca: q q q q qˆ P P Q q q q ode cov w Q dag.{q :... }. Para mplemear o modelo de q propagação é precso se cohecer as varâcas q assm como se er esmavas de valores cas. Para ão se car em m círclo vcoso em-se qe azer ma avalação herísca desas varâcas e codções cas. A eperêca em demosrado Ros Neo e Kga 985 qe é razoável se sar a apromação: q p q Ma.{ q / 3 } ode p é o úmero de sgcavos do compador sado. Para os valores cas é razoável se omar: w qˆ P q w w P q q P dag.{ P / w w : w... w } 3 ode deve ser calbrado de acordo com o problema; o razoável é oma-lo sceemee peqeo de modo qe represee a varâca do erro olerado e o cosegdo para a esmava ˆ. P Algormo do Flro de Esmação do Rído Icalzação: Para os valores cas herscamee se assmem: qˆ P q w w P q q P dag.{ P / w w : w... w } calbrado de acordo com o problema sedo razoável oma-lo sceemee peqeo de modo qe represee a varâca do erro olerado e o cosegdo para a esmava ˆ. P Predção: Para =... geram-se mercamee as esmavas a pror a parr da propagação dâmca das esmavas em : 99

105 q q q q qˆ P P Q q q q p Q dag.{q :... } q Ma.{ q / 3 }. w q Aalzação: Para aalzar a esmava sam-se a esmava a pror q P e a ocorrêca da psedo observação z com a ormação da marz de covarâcas dos q erros das psedo ormações R dag.{ 4 r R :...m} : q q K P M q qˆ q K z M q qˆ w q q q q P P K M P I Ma.{ qˆ K q w M M P P } q I q K q M q R M K Reerêcas de aplcação 7.4.: Bra 976 e Bra e Ros Neo 977 aplcaram procedmeo desevolvdo por Jazws 97 em coção com Flro Eseddo de Kalma para decação dos coecees hdrodâmcos de avos. Reerêcas de aplcação 7.4.: Kga 98 aplco o procedmeo de esmação adapava do rído o esado para esmação de órbas de baa alde com modelos smplcados da dâmca orbal. Reerêcas de aplcação 7.4.3: Cardeo 984 Cardeo Ros Neo e Kga 984; Ferrares 987 e Ferrares Ros Neo e Orlado 986 aplcaram o procedmeo adapavo de rído em ssemas de avegação ercas alados por sesores ão ercas para avegação de ade de saéles do po sesormeo remoo com corole avo de ade. Reerêcas de aplcação 7.4.4: rabasso 985 e Ros Neo rabasso e Orlado 987 aplcaram o procedmeo adapavo de rído em ssemas de avegação ercas ão groscópcos para lragem de rídos da dade ercal aceleromérca. Reerêcas de aplcação 7.4.5: Nowosad Ros Neo e Campos Velho saram o Flro Eseddo de Kalma combado com procedmeo adapavo de rído para assmlação de dados meeorológcos. q R q K q.

106 7.5 Esmação de Esado com Abordagem Vral de Corole Em sações em qe há grade descohecmeo do modelo do ssema dâmco do qal se qer esmar o esado porém em qe há m elevado ível de ormação local as observações eas o procedmeo a segr é especalmee recomedado; ele pode ser ma alerava compeva ao de Compesação do Modelo Dâmco Seção Nese procedmeo eplora-se a codção de daldade ere a ção de esmação e corole para se rasormar o problema de esmação de esado em m problema de rasreameo das observações aravés da esmação de m corole vral Flery 985; Flery e Ros Neo Sem a ecessdade de amear a dmesão do veor de esado o procedmeo a parr de codções de observabldade esees as observações codcoa corolabldade de modo a eevamee esmar eeos ão modelados aravés do corole vral e ao mesmo empo esmar o esado de ssema dâmco. Assm para o problema de esmar o processo esocásco correspodee a m ssema dâmco ão lear com modelagem dada apromada: G W ode W é m rído braco gassao de dsrbção cohecda depedee de : E[W ] covw W Q e ode para se em ma apromação para a dsrbção admda gassaa: E[ ] cov P ; 3 dadas as observações de saídas do ssema: y H v... 4 em qe y m correspode a ocorrêcas de: Y H V... 4a com V gassao depedee de e de W com dsrbção cohecda: E[V ] covv R ; 4b o procedmeo proposo coorme Flery 985 e Flery e Ros Neo 987 é o de esmar m corole vral de modo a orçar o esado corolado a rasrear as ocorrêcas das observações e ser assm ma boa apromação de esado verdadero. O sea dedo vralmee: c c G c c c ˆ 5

107 cosdera-se o corole como cosae por passo e sa-se o resído das observações para calclar a ação de corole de modo a zerar ese resído a meos dos erros de observação. Em rasorma-se o problema em cada passo em ma esmação de parâmero correspodee a ação de corole cosae por passo coorme desevolvmeo a segr. Procedmeo de Esmação com Corole Vral: Para se calclar a ação de corole para correção da raeora omal de corole admdo qe em m passo ípco esa correção sea de prmera ordem cosdera-se a perrbação lear do esado corolado: c c G c G c c c c ˆ c. 6 Calcla-se a ação de corole de modo a sasazer: c y y H ~ h H ˆ h c c c c. v v 7 Devdo ao ao de se reder a cada passo a raeóra omal com a úlma esmava do esado como se az o Flro Eseddo de Kalma e do ao de se mpor qe a raeóra corolada aprome a raeóra verdadera resla: c c cov G d ˆ. P 8 Falmee combado os reslados aerores em-se em cada sae de observação o problema de esmação de parâmeros: y H v. 9 Resolvedo com m esmador de míma varâca resla em m passo ípco a esmava da ação de corole vral: û P P H P R y H R H. Para se recperar a esmava do esado bem como a marz de covarâcas dos erros esa esmava basa cosderar qe:

108 ˆ ˆ c c c ˆ ˆ ˆ P cov û c ˆ ˆ c ; ˆ û c Ase Aomáco da Marz de Corole G: P No problema de esmação com corole vral ma vez qe o corole é vral pode-se ambém vralmee mesmo em ssemas mecâcos de segda ordem asar a marz G em:. c G c de modo a amear o acoplameo ere a ação do corole e as varáves de esado. Flery 985 apresea ormas heríscas depedees de eava e erro cos reslados são ceramee e oremee depedees do problema e do sáro. Para ldar de orma aomáca com ese ase sgere ambém qe se cosdere o procedmeo a segr em qe apromado-se Gτ como dagoal e cosae em cada ervalo de dscrezação: c G d G [G : G ] [ dag g g...g : dag g g l G d G ˆ B G lza-se o resído de observação mmzado em relação a G so é aos g com m ervalo de araso cosderado o úlmo û deermado. l l...g ] J [ y H B G û ] R [ y H B G û ]. Se m< ode m é a dmesão do veor de observação algma ormação a pror sobre os g deve ser provda para se garar solção úca; ese caso esa mmzação pode ser resolvda lzado-se o procedmeo apreseado o Eemplo de Aplcação 5... Correção das Marzes de Covarâcas de Erros: Adção de Rído O ao de haver apromação so é erro o modelo de propagação da marz de covarâcas dos erros a esmava de esado como o caso do Flro Eseddo de Kalma leva à ecessdade de adapação com adção de rído de processo para qe a edêca de qeda das varâcas esmadas dos erros ão provoqe perda de capacdade de apreder so é rar ormações de observações ras. No procedmeo em qesão para o ase da marz covarâcas dos erros de esmação do esado propagada so pode ser eo da mesma orma qe mosrado aerormee a Seção

109 Há ambém ecessdade de se adpar a marz de covarâcas dos erros de esmação do corole vral. Iso porqe havedo codção de reddâca para esmação dese corole ocorre ecesso de omsmo a esmação da marz de covarâcas dos erros levado a valores peqeos das respecvas varâcas deses erros o qe se ão hover correção com adção de rído leva à perda de capacdade de coar a erar ormações de observações ras. O procedmeo de rído adapavo é basae semelhae ao do caso de adapação de rído o processo coorme a segr. Cosderado qe: ˆ r c c H y ˆ c û ŷ û v û...m. 3 Usado a oção de rído verdadero como a Seção 74. em-se: r r r v v H r v r v v û...m...m. 4 Devdo às apromações o cálclo de P ver Eq. é razoável qe se corra esa marz de modo a se er ma melhor apromação P c : c P ~ cov û P Q Q dag q...m. 5 Ulzado-se o créro de cossêca esaísca como a Seção 74. em-se: E[ r E[ H r H v q v ˆ r ] r r P Q v...m v v û û v v H R r H ] R v Após desevolvmeo algébrco oalmee aálogo ao eo a Seção 74. em-se: p q M q v...m 7 z em qe: q 6 4

110 M z p r H R : H H P :...: H H r...m. A Eq. 7 de psedo-observações perme a esmava e dosagem de rído. Para car o processo e se poder processar esas psedo-observações seqecalmee o passo cal pode-se omar como ormação a pror: q P dag[ û q :...r ]. 8 Esa ormação a pror é a avor da segraçã Flery 985 á qe ão há ehm cohecmeo a pror sobre o corole vral e a sa dspersão; há ambém qe se cosderar qe a reddâca de psedos observações dle o eeo desa ormação a pror. Para os saes poserores pode se adoar: q P dag[ 9 qˆ q 9 :...r ]. Assm pode-se em cada sae se aplcar o esmador lear ómo de parâmeros e esmar: se qˆ qˆ Q dag[ qˆ c P P Q. qˆ caso coráro :...m ] 7.6 éccas de Faorzação O Flro de Kalma por m bom empo ecoro ressêca ao se so devdo ao ma comporameo mérco de se algormo; especalmee porqe à época de se desevolvmeo as aplcações em qe se ecessava de m esmador de esado eram em veíclos aeroespacas em compadores de bordo com lmadas codções de memóra precsão de compação comprmeo de palavra das máqas mplcado em úmero de dígos sgcavos os cálclos e de velocdade de compação. O qe movo a bsca de algormos mas ecees e sem perda de precsão o esa ecessdade de aplcação em compadores de bordo qe a verdade ocorre ambém em aplcações de aomação robóca e especalmee avegação por saéles em peqeos veíclos. Icalmee oram desevolvdos algormos baseados em raíz qadrada de marzes de covarâcas posvas dedas qe oram scees para aeder as ecessdades da mssão Apolo mas qe demadavam operações qe ada deavam a desear em ermos de ecêca especalmee por ecessarem operações eplícas de raz qadrada ver por eemplo Maybec 979. Assm a década de seea do séclo passado as ecessdades do programa espacal coaram a pressoar pelo desevolvmeo de ases o Flro de Kalma qe 5

111 melhorassem o comporameo mérco so é a precsão mérca dos cálclos sem compromemeo da ecêca so é sem vablzação pelo ameo da compledade mérca so é úmero e dcldade das operações armécas. Iso o cosegdo pelos méodos de aorzação do po UD Berma977; horo e Berma Nese po de méodo cosegem-se os eeos dos méodos de raíz qadrada qao a melhora da precsão dos cálclos sem ameo sgcavo do úmero de operações armécas relavamee ao Flro de Kalma orgal. Para eeder o eeo de ameo a precsão dos cálclos mércos qado se sa a raíz qadrada de ma marz basa cosderar qe o comporameo mérco a maplação de ma dada marz prcpalmee sa versão depede de se úmero de codção qe é dedo como a razão ere o maor ao-valor e o meor ao-valor; qao maor esa razão por o comporameo mérco da marz. O melhorameo mérco com a raz qadrada ca evdee se or cosderado qe o úmero de codção KP de ma marz P deda posva de covarâcas sasaz: K P ˆ / K SS K S. M m em qe / M m é a razão ere o maor e o meor ao valor.assm ca claro qe se a marz P ver problemas por er m úmero de codção elevado de modo qe operações com p dígos sgcavos apreseem problemas mércos ao se operar com sa raíz qadrada S eevamee é como se as operações ossem com p dígos sgcavos. A vaagem de se sar a aorzação UD é qe ese caso ão se em qe calclar eplcamee raízes qadradas. A marz P é aorada como: P UDU em qe U é raglar speror ára a dagoal e D é dagoal; porao esa aorzação é eqvalee a ma raíz qadrada de P pos: P UDU UD / D / U SS. 3 edo em vsa qe o méodo de aorzação UD é o qe melhor aede o obevo de melhorar o comporameo mérco do Flro de Kalma esa é a abordagem raada o qe será eo coorme Kga 989. Adoa-se a opção de ma apreseação écca dos algormos sem preocpação de demosrações á qe eses algormos são o reslado pracamee dreo de rasormações leares aclmee ecoradas a lerara reerecada e os eos de Maemáca Aplcada o Algebra Lear sadas como errameas e ca demosração sera ma perda de oco ada acresceado ao obevo bscado. O algormo poderado modcado de Gram-Schmd é sado de orma drea a ase de predção o propagação e a rasormação orogoal de Gves é a base do algormo desevolvdo por Berma para a ase de aalzação o lragem Berma 977; horo e Berma A aorzação se aplca às das eapas lragem e predção do Flro de Kalma so é calcla de orma UD o lro a segr. Aalzação o Flragem: Para m dado =... so é... sa-se a esmava a pror P e a observação y e deerma-se com o algormo de lragem abao 6

112 a esmava aalzada ˆ P. Prossege-se para o prómo passo de propagação caso ão eha agdo m valor lme. K PH HPH R ˆ K y H P P- KHP I KHPI KH KRK. 9 Para em geral se em ma esmava cal qe é aceável apesar de com erros a avor da segraça so é maores qe a realdade. Para P recomeda-se ma esmava cal dagoal em qe as varâcas a dagoal seam os qadrados do qe seram erros de prmera ordem para as respecvas compoees do esado de modo a ão desrr hpóeses de learzação e o evar edêca de apreder mo rapdamee o modelo errado e perder sesbldade para eração de ormação de observações ras. Progação o Predção: Ere e propagam-se as esmavas de sado-se os víclos dâmcos: ˆ F I P P G Q G. A ordem aral da aorzação sera a de prmero cosderar a lragem e eão a predção; o eao por razão ddáca vere-se esa ordem para qe qe clara a aplcação drea do algormo modcado de Gram-Schmd. Algormo Faorzado do Flro: Fase de Propagação Algormo Modcado de Gram-Schmd: Sedo dados W [ w : w D dag[ D :...: w ] :...N ] 4 em qe os veores lha w =... de dmesão N são learmee depedees D > =...N o algormo de Gram-Schmd realza a rasormação: WDW U DU. 5 em qe U é marz raglar speror com dagoal ára e D é dagoal. Ese algormo pode mecazado como a segr: 7

113 v para... m da malha D w D U v v v v... v U v Dv. Dv Dv / D O algormo gera base de veores D orogoas so é os veores: v w... w Dw D. 7 Noe-se porao qe: WDW U WDW U U DU W [ w : w :...: w ]. 8 Dados : Û Dˆ P Û Dˆ Û G Q. Cosdere se : W [ Û : G ] D dag Dˆ Q. Calclado se com o a lg ormo mod cado de Gram Schmd U D e : P U D U Algormo Faorzado do Flro: Fase de Aalzação Na ase de lragem o aalzação a aorzação é aplcada a ma observação escalar sem perda de geeraldade á qe qado as as compoees do veor observação êm erros ão correlacoados é possível processar o veor de observações compoee a compoee ver Propredade 5..; qado ese ão é o caso é possível aplcar ma rasormação lear dagoalzado-se a marz R covarâcas dos erros de observação. Dados: U D P UDU yh R y H v escalar e varv R. 8

114 Calclam os aores Û Dˆ e a ova esmava ˆ : para... Dˆ K e HU / e / D para... [... e R ] e D e D... Û K m da malha era m da malha eera ˆ K K K U K K U K /. / y H Observações: Embora se eha sado o Flro de Kalma learzado dscrezado pode-se aplcar a aorzação ao Flro Eseddo de Kalma sem modcações a pare de aorzação dos cálclos basa sbsr o procedmeo de propagação do esado esmado sado-se: ˆ. 3 A lzação de aorzação melhora apeas o comporameo mérco do Flro de Kalma; porao em caso de erros de modelagem para prever o comporameo de decameo ecessvo da marz de covarâcas dos erros de esmação há qe se sar algma écca de compesação do modelo dâmco ver Seção 7.4. e o de rído adapavo ver Seção No caso de compesação do modelo dâmco há apeas modcação do modelo dâmco e eesão do esado em ada modcado o eqacoameo do Flro. No caso de rído adapavo o algormo para adapação do rído é ambém ormalmee m Flro de Kalma em qe a propagação da marz de covarâcas é smplcada ão alerado sqa orma dagoal de modo qe se a aorzação se aplca apeas a eapa de aalzação de esmava das varâcas do rído adapado. Reerêca de Aplcação 7.6.: Kga Ros Neo e Orlado 99 aplcaram aorzação combada com adapação de rído para esmar órba de saéles arcas erresres de baa alde 7 m em sação de erros de modelagem aceados clsão de apeas aé coecee zoal J o modelo gravacoal. Mosraram qe o Flro Eseddo covecoal dverg esa sação e qe o Flro com so de aorzação e adapação do rído o esado coverg com reslados sasaóros mesmo qado comparados com reslados após alsameo. 9

115 7.7 Corole em Malha Fechada: Corole Esocásco Lear Ómo Problema de Corole Esocásco Lear Sea o problema de corole em malha echada em qe ao o ssema dâmco como as observações são modelados como leares: Dado o ssema dâmco modelado como m processo de Gass Marov F G W L ode W é m rído braco gassao de dsrbção cohecda depedee de : E[W ] covw W Q e para se em ma apromação para a dsrbção admda gassaa: E[ ] cov P. 3 Dadas as observações de saídas do ssema so é meddas eas por sesores: y H v... 4 em qe y m correspode a ocorrêcas de: Y H V... 4a com V gassao depedee de e de W com dsrbção cohecda: E[V ] covv R. 5 Perrbações Esado + Erros Eradas Saídas CONROLADOR SISEMA Pré-progamado - ESIMADOR DE ESADO SENSORES Errros Fgra 7.: Corole com Realmeação de Esado

116 O problema qe se coloca é o de se corolar de orma omzada o ssema dâmco em malha echada coorme esqemazado a Fg. 7. so é deermar m corolador aravés da deermação da ção de corole qe regle o esado mmzado o desvo em relação ao esado pré-programado o caso em qesão em relação ao esado préprogramado como lo com valores mímos de ação de corole. Ese problema aparece em geral qado se em qe corolar desvos em relação a solção omzada deermada em malha abera seção. e coorme esqemazado a Fg. 7.. Perrbações - CONROLADOR SISEMA ESIMADOR DE ESADO SENSORES Errros Fgra 7.: Reglador: Realmeação para Correção de Desvos Créros e Codções de Realzação O corole proeado em qe ser ma ação ao logo do empo compaível com o empo de resposa a perrbações do ssema dâmco corolado e dosado em ção de avalação dos desvos em relação ao esado reglado; ão em cabmeo em ermos íscos ear aar o empo de resposa do rído W mesmo porqe o corole era qe er reqêca de osclação compaível com realzação práca. O razoável é mmzar m ídce de desempeho pela méda como a segr. J / E[ S Q R d ] S Q R. 6 Cosderado qe o esado esmado pelo Flro de Kalma em-se qe o processo erro é ˆ e qe por eemplo para o caso coío dscreo sem perda de geeraldade: F L F G w ˆ ˆ E[ ˆ ] cov ˆ P. 7 Vê-se pos qe ese processo de erro só depede do esmador so é da capacdade de observação da dâmca ão ecada pelo corole e do algormo de esmação. O sea o corole ão em poder de ação sobre o erro de esmação; qalqer qe sea a precsão de cohecmeo o deermação do esado o corole só em capacdade de ação sobre ese esado cohecdo qe é sempre dado por m esmador. Caracerza-se pos m prcípo de

117 separação. Iso ca ada mas claro se o ídce de desempeho se se sbsr ˆ cosderado qe o erro do esmador é orogoal ao esado e.g. Jazws 969 o Bryso ad Ho 975 e qe o corole a ser omzado ão em ação sobre o erro de esmação: J / E[ ˆ S ˆ ˆ Qˆ R d ] / E[ S Qd ]. 6a Vê-se eâo qe a pare omzável é apea a prmera. Resa mosrar qe a solção do problema de corole leva á mesma solção qe o caso deermísco seção. eemplo.. Para ao basa sar mlplcadores de Lagrage e cosderar o coal eqvalee: J / E[ S Q R F G W L d ]. Eeado a operação de valor médo elma-se o ermo de ecação do rído braco e oado qe o víclo dâmco as eqações da dâmca sem a ecação do rído a verdade é deermísa sedo apeas as codções cas aleaóras; o sea gera raeóras deermíscas a parr de ocorrêcas de valores cas resla: J / E[ S Q R F L d ]. 8 Cosderado a possbldade de comar a operação valor médo com a omzação coclíse qe a solção é da mesma orma qe a seção. o sea complea-se a caracerzação de m prcípo de separação: P PA A P PBR B P Q P S. 9 R B P. No eao como ão é possível se er ese esado ada qe ão aeado pelo rído braco a codção de realzação é sar o melhor cohecmeo do esado a Eq. so é o esado esmado de modo qe almee em-se a le de realmeação para realzar o corolador coorme dcado a Fg. 7.: R B P ˆ a

118 7.8 Corole Baseado em Esmação Lear Óma e Redes Neras 7.8. Corole Seqecal de Ssemas Leares Dscreos Problema de Corole Dscreo Esocásco Lear Sea de ovo o problema de corole em malha echada em qe ao o ssema dâmco como as observações são modelados como leares mas agora dscreos: Dado o ssema dâmco modelado como m processo dscreo de Gass Marov W ode W é m rído braco gassao de dsrbção cohecda depedee de : E[W ] covw W Q e para se em ma apromação para a dsrbção admda gassaa: E [ ] cov P. 3 Dadas as observações de saídas do ssema so é meddas eas por sesores: y H v... 4 em qe y m correspode a ocorrêcas de: Y H V... 4a com V gassao depedee do esado e do rído a dâmca do esado com dsrbção cohecda: E[V ] covv V R. 5 O problema qe se coloca é o de se corolar de orma dscrea o ssema dâmco em malha echada coorme esqemazado a Fg. 7. so é deermar m corolador aravés da deermação da ção de corole qe regle o esado mmzado o desvo em relação ao esado pré-programado com valores mímos de ação de corole. Ese problema aparece em geral qado se em qe corolar desvos em relação a solção omzada deermada em malha abera seção.. A apromação lear dscrea se sca por das razões: a solção learzada em oro do esado e corole pré-programados sasaz a hpóese de perrbação lear á qe os desvos são peqeos; e a dscrezação devdo ao ervalo de dscrezação ser peqeo e ser razoável admr como cosae a ação do corole de correção ao logo dese ervalo. 3

119 Solção Seqecal Baseada em Esmação de Esado A solção qe sege o proposa e desevolvda por Ros Neo e Crz 99. Para deermar de orma seqecal a ação de corole dscreo a proposa é resolver em cada de dscrezação o problema: Mmzar: J pd pd / B S 6 Seo a: ˆ 7 em qe ˆ é a esmava do esado dada pelo Flro de Kalma; B> é dagoal e com os respecvos ermos da dagoal escolhdos de modo a represear os versos dos qadrados das dspersões às qas se qer vclar as compoees de ; pd é dado e deermado de modo a codcoar corações possíves e deseadas do esado; e S+ é prevamee deermada como será mosrado a segr o algormo do méodo de modo a codcoar a coração possível e deseada. Para a deermação de S+ e de pd será ecessáro cosderar qe: e ˆ C cove C ˆ ˆ K H e v P 8 ode o cosderado qe ˆ é dado pelo Flro de Kalma e C é o gaho da le de realmeação de esado a ser deermada. Vê-se assm qe o esado corolado é ma seqêca de Gass Marov de méda la se or cosderado qe N e com dspersão dada por aravés do momeo de ordem dos: C P P C. 9 Com eses elemeos pode-se esabelecer o algormo do méodo. Algormo da solção: Prmero passo: Cosderado C com m passo de araso pode-se avalar m esado prevso corolado possível: p C ˆ C K H e v. Ese esado prevso possível em dspersão dada pelo momeo de ordem dos coorme Eq. 9: 4

120 p C P P C. 9a Pode-se eão bscar ma realzação de qe sea ma realzação coveee da p p varável aleaóra N. Segdo passo: Em m sedo vral pode-se cosderar qe em + a resposa deseada p p para o ssema corolado sea ma realzação de N sceemee próma de zero de modo a garar ma coração o sea dmção a magde do esado corolado. Assm em m sedo vral cosdera-se m sesor e spõe-se qe se observa ma realzação de p qe sasaça a codção deseada: d y v d NR p v d d ode y d é escolhdo de modo a vralmee cosr a resposa deseada; R d omada dagoal com varâcas escolhdas para garar com elevada probabldade qe a ocorrêca de p em correspodêca com a observação y d esea a regão de resposa deseada. ercero passo: Combado a ormação a pror correspodee a p p N com a observação vral da Eq. em-se o problema de esmação com ormação a pror: p N d y v d p p NR p v d p d. Aplcado m esmador lear ómo eqvalee a ma lragem de Kalma obém-se ma esmava de m possível e deseável esado em + assm como da correspode marz de p p covarâcas dos erros desa esmava so é ˆ P. Em ace das cosderações aerores é razoável omar-se: pd p p d p ˆ S P R. Esa escolha deve garar a coração de magde do esado se ma observação vral y d é escolhda sceemee próma de zero e se a dspersão dos erros de observação so é os ermos da dagoal de R d orem sceemee peqeos para garar qe a correspodee S+ correspoda a esmava ˆ p com promdade de y d qe garaa a deseada coração do esado. Para a parclar sação em qe y d resolvedo o problema das Eqs. 6 e 7 resla: 5

121 C B C ˆ S B S 3 B S. Reerêcas de aplcação 7.7..: Ros Neo e Crz 985 e Ferrera Ros Neo e Veaarama 985 saram esraéga semelhae o proeo herísco de corole adapavo respecvamee para: corole de avos avegado em caas e com perrbações de correes e veo; e corole de ade de saéle de baa alde aravés de laps aerodâmcos Corole Predvo de Ssemas Não Leares Dscreos Problema de Corole com Esqema Predvo Sea o problema de corolar m ssema dâmco para qe ele sga ma dada saída de reerêca ao logo do empo adoado-se m esqema de corole predvo. O sea corolar o ssema: 4 adoado-se m esqema corole qe sga m raeóra de reerêca com ações de corole omzadas pela mmzação de m ídce de desempeho do po predvo: J [ [ yr ŷ ] ry [ yr ŷ ] [ ] r [ ]]/ 5 ode yr é a reerêca de resposa dee o horzoe de corole ry r são marzes dedas posvas de peso e ŷ é a saída prevsa do ssema dada por m modelo ero do ssema do po: y y..y ;... 6 y Ese modelo dscreo predvo do ssema dâmco pode ser dado por eemplo pelo egrador mérco do po Rge Ka o de dereças as do po por eemplo Adams Bashor sado dreamee Ros Neo o dreamee reado m rede eral arcal para represear a cão de dervadas do ssema dâmco Ros Neo e asao 3; Ros Neo e asao 4; asao e Ros Neo 4; asao e Ros Neo 7. Pode-se ambém sar ma rede eral para represear dreamee o ssema dâmco e.g. Che ad Bllgs 99; H e al 99; S ad McAvoy 993;Cardeo Cardeo e Ros Neo 3 reado-a para apreder o ssema dâmco e prover m modelo predvo do po aeror: ŷ ˆ ŷ..ŷ ;.. ŵ 6a y 6

122 ode ŵ pesos sapcos da rede são asados esmados aravés de reameo spervsoado ver seção 5.3 eemplo de aplcação edo-se m modelo predvo para o ssema dâmco a solção do problema de corole é obda com a solção do problema de programação maemáca de mmzar o ídce de desempeho predvo seo aos víclos dados por ese modelo predvo dscreo do ssema dâmco. Para aplcações prácas em cada passo ese problema em qe ser resolvdo em ma ração de empo desprezível ace ao empo de resposa do ssema corolado. Solção do Problema de Corole Predvo Uma vez qe se eha m modelo de predção do ssema dâmco eqacoado maemacamee resa deermar as ações de corole omzado o ídce de desempeho qe podera segr a raeóra de reerêca com ações mímas de corole. O problema de deermação das ações de corole segdo o esqema de corole predvo pode ser raado com o problema de esmação de parâmeros esocásca a segr. y r ˆ ŷ..ŷ y ; v.. ŵ v y 7 E v ; Ev v r Ev ; Ev v r y ode ŷ é a saída dada pelo modelo de predção por eemplo pela rede eral; =...; ŷ ŷ y e são as saídas e ações de corole qe á acoeceram e qe são cohecdas; e os erros v y v y y y são modelados como de compoees ão correlacoadas em cada sae assm como ão correlacoados ere sí e com marzes de covarâcas gas às respecvas marzes peso r r. A eqação o corole pode ser vsa de modo recorree sedo eqvalee a: û v 8 ode o valor a pror û é o valor á esmado do corole em. Assm o problema é vso e raado em cada passo como m de esmação. A observação é dada pela codção de sasazer a saída de reerêca y a meos de m erro vy Eq. 7 e a ormação a pror por û dada ambém a meos de m erro Eq. 8. Com esa maera de ver e raar o problema as marzes peso passam a er sgcado de marzes de covarâcas a verdade de varâcas á qe são dagoas; porao sas varâcas represeam a dspersão com qe se qer sasazer a raeóra de reerêca e a dspersão os cremeos da ação de corole ao logo dos ervalos de dscrezação do horzoe de corole predvo. y r 7

123 em-se eão m problema ão lear de esmação de parâmeros qe pode ser resolvdo de orma reerava Capílo 5. omado-se ma apromação lear por perrbação de prmera ordem em ma eração ípca resla a solção como a segr. r { ; } y [ y y ] [ ŷ / ] [ ] v 9 Ode é asado de modo a garar a hpóese de perrbação lear; e sedo ŷ ma ção de... aravés de ŷ... y eão em-se qe ma[ y ]. Para o cálclo das dervadas parcas sa-se a regra da dervação em cadea o modelo de predção; o caso de redes eras sa-se a regra de reropropagação bacpropagao e.g. Chadra 994; Zrada 99. Cosseemee de modo a garar peqeos cremeos para as ações de corole: l l l l [û ] [ ] v 3 ode l=..-; =..I; û é a solção esmada o úlmo passo; l ûl é o valor apromado esmado de l a ésma eração; e para = são sadas esmavas o erapolações de esmavas do úlmo passo. Adoado-se ma oação veoral mas compaca l=..- =...: Ul l l ˆ ; Û ˆ û o problema pode ser colocado como: [Û U ] U U V 3a Z H [U U ] V. 9a y Usado o algormo de lragem de Kalma resla em ma eração ípca : y Û U [Û K [ Z K [ R H R H U ] H [Û R H ] [ H R H y U ]] H R ] R y y 3 3 Eercíco de aplcação : Pode-se demosrar qe o corole calclado com o algormo das Eqs. 3 e 3 é ormalmee eqvalee ao mímo do coal: 8

124 J [[ Z [ Z H H [U U [Û [U U [Û [U U ]] R [U U ]] U ]] U ]]] / R y 33 em-se porao codção de covergêca para m corole save qe mmza o erro em relação à raeóra de reerêca desde qe o modelo de predção sado para modelar o ssema dâmco garaa apromação com erros especcados como pode ser o caso ao das redes eras como dos egradores mércos. Eercíco de aplcação : Mosra-se qe em ma eração ípca o algormo das Eqs. 3 e 3 é ormalmee eqvalee a se aplcar o méodo de Newo à mmzação do coal: J P y [ Z R Z [U Û ] R [U Û ]] / 34 Z ˆ [ y ŷ ]... U ˆ l.... r l Basa oar qe o algormo das Eqs. 3 e 3 pode ser colocado a orma eqvalee: l Û [ R U [ R [Û H U ] R H y H ] R y Z ] 3a qe por sa vez pode ser colocado a orma eqvalee: Û U S J 3b P em qe S e J P são respecvamee são a hessaa deda posva e o gradee do coal da Eq. 34. Eesão : Para o problema eqvalee de esmação em ma eração ípca repedo abao para maor clareza podem ser omadas apromações semelhaes aqelas para reameo de redes eras vde seção 5.3 eercíco de aplcação 5.3. de modo a permr versão com processameo paralelo: [Û U ] U U V 3a Z H [U U ] V. 9a y 9

125 Para ao cosdere-se qe U l sea apromado por U. Desa apromação resla m problema de esmação qe pode ser processado em paralelo para cada l=...- e qe é da orma: [û ] V 3b l l l l l l l y Z H [ ] V. 9b Aplcado lragem de Kalma resla: û [û l K l [ Z l H [û l l ]] l 3c K l [ R H R H ] H R. 3a l l y l Aalogamee ao qe o eo com o algormo pleo se or cosderada a orma eqvalee do algormo: l y û [ R l [ R l l [û l H ] l l R H l y H ] R l y Z ] 3d pode-se demosrar a eqvalêca ormal a se aplcar o algormo do méodo de Newo ao coal da Eq. 34 repedo abao: J P y [ Z R Z [U Û ] R [U Û ]] / 34 com a smplcação correspodee da marz peso qe passa a ser dada por o lgar de R : R ~ dag.[[ R H R H ] :l... ]. l l y l 35 Porao covergêca para o caso de processameo paralelo ca ambém garada. Reerêcas de aplcação : Slva e Ros Neo 999 Slva e Ros Neo Slva e Ros Neo Slva sado redes eras para o modelo de predção aplcaram o méodo desevolvdo respecvamee em problemas ese da lerara em corole de ade de saéles e em corole de raeóras de laçameo de saéles. Reerêcas de aplcação : Ros Neo e asao 3 asao 3 e asao e Ros Neo 7 sado redes eras em esrra de egradores mércos de eqações derecas ordáras desevolveram modelos de predção em especal com dervadas médas e esrra smples de egrador de Eler e aplcaram o méodo desevolvdo em problemas de raserêca de órbas.

126 7.8.3 Corole com Modelo Iero Neral Nese esqema de corole H ad Sbarbaro 99 das redes eras arcas são ecessáras: ma para prover m modelo ero de predção do ssema dâmco e ora para prover m modelo verso do ssema dâmco a rede eral de corole coorme lsrado a Fg.7.3. Para rear a rede eral de corole em geral adoa-se m reameo spervsoado pela mmzação de m coal como a segr em relação aos parâmeros peso w c desa rede eral de corole. J L / y y w R d c c y yd yc wc 36 o qal y d... L é o coo de valores de reameo da resposa deseada; yc wc é a saída corolada o sae pela ação do corole wc o sae -. Para o cálclo do gradee de yc wc em relação aos pesos sapcos da rede de corole w cosdera-se a rede eral de corole em sére com a rede eral qe orece o c modelo de predção do ssema dâmco ym. A regra da cadea mas especcamee a regra de reropropagação as redes eras Zrada 99 é sada para se calclar prmero a rede do modelo de predção o gradee da resposa corolada em relação a w e em segda em cadea o gradee dese corole em relação aos pesos w c. c Fgra 7.3: Modelo Iero de Corole: reameo da Rede de Corole

127 Fgra 7.4: Corole com Modelo Iero: Implemeação Na mplemeação como as redes eras ão são almeadas com ormações sobre perrbações ão modeladas do ssema dâmco recomeda-se Garca e Morar98 qe a dereça ere a raeóra real da plaa e a raeóra orecda pela rede eral modelo ero de predção sea lzada a realmeação para corrgr o valor deseado e compesar os eeos das perrbações d coorme lsrado a Fg Iso além do lro para alsar o eeo de erros rdosos d a medda da saída perrbada do ssema. Reerêcas de aplcação : Varoo 997 Varoo e Ros Neo 997 e Carrara Varoo e Ros Neo 998 saram Corole com Modelo Iero com redes eras do po mllayer percepro para o corole de ade de saéles arcas com apêdces leíves.