UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES

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1 UNIVSIDAD FDAL DO CAÁ DPATAMNTO D NGNHAIA D TANSPOTS POGAMA D PÓS-GADUAÇÃO M NGNHAIA D TANSPOTS ANÁLIS VISCOLÁSTICA D MATIAIS ASFÁLTICOS CONSIDANDO OS FITOS DA TMPATUA DO DANO so de Lma Porela OINTADOA: Áurea Slva Holada, D.Sc Foraleza OUTUBO/2

2 so de Lma Porela ANÁLIS VISCOLÁSTICA D MATIAIS ASFÁLTICOS CONSIDANDO OS FITOS DA TMPATUA DO DANO Dsseração submeda ao Programa de pósgraduação em gehara de Traspores da Uversdade Federal do Ceará, como pare dos requsos para a obeção do íulo de Mesre em gehara de Traspores. Área de Coceração: Ifraesruura de Traspores. Oreadora: Áurea Slva Holada Foraleza OUTUBO/2

3 Dados Ieracoas de Caalogação a Publcação Uversdade Federal do Ceará Bbloeca de Pós Graduação em gehara P877a Porela, so de Lma. Aálse vscoelásca de maeras asfálcos cosderado os efeos da emperaura e do dao / so de Lma Porela. 2. f. : l. color., ec. ; 3 cm. Dsseração (mesrado) Uversdade Federal do Ceará, Deparameo de gehara de Traspores, Programa de Pós-Graduação em gehara de Traspores, Foraleza, 2. Área de coceração: Ifraesruura de Traspores Oreação: Profa. Dra. Áurea Slva Holada.. Traspores. 2. Pavmeos de asfalo. 3. Méodo dos elemeos fos. I. Tíulo. CDD 388

4 ANÁLIS VISCOLÁSTICA D MATIAIS ASFÁLTICOS CONSIDANDO OS FITOS DA TMPATUA DO DANO so de Lma Porela DISSTAÇÃO SUBMTIDA AO COPO DOCNT DO POGAMA D MSTADO DOUTOADO M NGNHAIA D TANSPOTS DA UNIVSIDAD FDAL DO CAÁ COMO PAT DOS QUISITOS NCSSÁIOS À OBTNÇÃO DO GAU D MST M CIÊNCIAS M NGNHAIA D TANSPOTS. Aprovada em /2, por: Profa. Áurea Slva de Holada, D.Sc (Oreadora) Profa. Verôca Texera F. Caselo Braco, Ph.D (xamador Iero) Prof. vadro Paree Juor, D.Sc (xamador Iero) Prof. Leoardo José Nascmeo Gumarães, Ph.D (xamador xero) Foraleza, C Brasl Ouubro de 2 v

5 DDICATÓIA Aos meus pas, Tâa Mara Lma de Meezes e José Mara Calxo de Meezes, por odo o esforço que sempre dspuseram a fazer para me oferecer uma boa educação. Por me esarem que a vda é fea de escolhas e dexarem que eu escolhesse o camho que eu qus segur v

6 AGADCIMNTOS Aos meus pas, por acredarem em mm e sempre me apoarem em udo que faço.. A mha oreadora Áurea Slva Holada, por er sdo ão pacee e mas ada compromeda com meu rabalha, sempre se dspodo a ajudar e melhorar meu rabalho. Ao professor vadro Paree Júor, por parcpar avamee da mha formação desde mha graduação sempre me ajudado sem medr esforços. Ao grupo do Laboraóro de Mecâca dos Pavmeos (LMP), aos amgos que me ajudaram com dscussões super produvas. A Ferada Pessoa, mha amorada, amga e cúmplce, por oda pacêca e apoo. Agradeço ambém a odos que fazem a Hepa sruural, pela compreesão, lberdade e flexbldade que me deram fazedo possível a realzação desse soho. Ao IFC Isuo Federal do Ceará, suo do qual eho orgulho de ser membro. A odo que drea ou dreamee colaboraram de alguma forma para que esse rabalho fosse possível. v

7 esumo da Dsseração submeda ao corpo docee do PTAN/UFC como pare dos requsos ecessáros à obeção do grau de Mesre em Cêcas em gehara de Traspores. ANÁLIS VISCOLÁSTICA D MATIAIS BTUMINOSOS CONSIDANDO OS FITOS DA TMPATUA DO DANO Oreadora: Áurea Slva Holada, D.Sc so de Lma Porela Ouubro de 2 O presee rabalho apresea um algormo para o raameo do dao e do efeo da emperaura em pavmeos flexíves cosderado o maeral como vscoelásco. A preseça do lgae asfálco a msura faz com que o comporameo mecâco depeda do empo e da axa de carregameo e ouros faores. Verfca-se que ese comporameo pode ser represeado de maera adequada aravés do uso de modelos cosuvos vscoeláscos. xsem ouros faores que devem ser cosderados para uma aálse mas próxma da realdade, ere eles, ca-se: o dao e a emperaura. Nese esudo, propõe-se modelar o comporameo depedee do empo e axa de carregameo, o efeo da emperaura, e rcameo dos maeras ulzados a execução do revesmeo asfálco. Na abordagem proposa, os efeos depedees do empo são modelados aravés da eora da vscoelascdade lear e o rcameo aravés da mecâca do dao coíuo. sa úlma busca modelar o processo de mcrorcameo dsrbuído que ocorre aes do aparecmeo de uma rca dscrea. Nesa abordagem o dao que ocorre o eror de um deermado maeral é represeado aravés de varáves eras de esado. A evolução do dao é descra por um modelo feomeológco que pcamee é desevolvdo a parr de resulados de esaos de laboraóro. Quao à modelagem do efeo da emperaura, ese rabalho apresea uma meodologa para aálse ermo-mecâca de pavmeos asfálcos ulzado um modelo vscoelásco para maeras ermo-reologcamee smples. Também é feo uso do Prcípo da Superposção Tempo-Temperaura (PSTT) para a caracerzação do maeral. se prcípo dz que o comporameo esão-deformação em uma dada emperaura para uma deermada axa de deformação pode ser obdo a parr do comporameo em oura emperaura para uma axa de deformação dferee. sa ova axa de deformação é obda smplesmee escalado-se o empo com uma fução da emperaura que usualmee é cohecda como faor deslocameo empoemperaura. Palavras-chaves: Pavmeos Asfálcos, Dao, Temperaura, Méodo dos lemeos Fos. v

8 Absrac of Thess submed o PTAN/UFC as a paral fulfllme of he requremes for he degree of Maser of Scece (M.Sc.) Trasporao geerg VISCOLASTIC ANALYSIS OF BITUMINOUS MATIAL CONSIDING TH TMPATU AND DAMAG FFCTS so de Lma Porela Ocober, 2 Ths work preses a algorhm o modelg he damage ad emperaure effecs o flexble pavemes. Ths formulao cosders he maeral as vscoelasc. I s wellkow o oly ha asphal pavemes prese a mechacal behavor ha depeds o me, emperaure ad loadg rae bu also ca be represeed by vscoelasc models. There are some mpora varables whch should be cosdered for a beer performace of he model. Two of he are: Damage ad Temperaure. Ths work wll sudy boh of he. The crease of he emperaure creases he vscous par of he vscoelasc behavor, whle he decrease of he emperaure creases he elasc par, creasg he maeral sffess. The sffess varao affecs he sresses, sras ad dsplacemes asphal pavemes. I s geerally acceped paveme leraure ha asphal mxures ca be cosdered as a hermorheologcally smple maeral ad ha he Tme-Temperaure Superposo Prcple (TTSP) s vald. Thus, hs work preses a algorhm o he vscoelasc aalyss of asphal pavemes cludg he emperaure effecs. A flexble paveme s aalyzed order o assess he mporace of emperaure effecs o he sresses, sras ad dsplacemes he srucural behavor of asphal pavemes. For low sresses he behavor of asphalc pavemes ca be accuraely modeled usg vscoelasc models. However, as he sress level creases dsrbued mcro-crackg arses he asphal cocree, leadg o permae deformaos. To address hese ssues, hs paper preses a fe eleme formulao for olear me-depede aalyss of asphal cocree. The modelg sraegy s based o he use of he elasc-vscoelasc correspodece prcple ad he cosderao of mcro-crackg hrough couum damage mechacs. Cosderg ha he relaxao modulus s gve by a Proy seres, a very effce recursve algorhm s obaed where he varables a oe me sep deped oly o he varables of he prevous sep. The olear equaos a boh local (cosuve) ad global levels are solved by he Newo-aphso Mehod. The umercal resuls usg hs algorhm wll be compared wh avalable soluos v

9 SUMÁIO CAPÍTULO... INTODUÇÃO.... POBLMA D PSQUISA OBJTIVOS STUTUA DA DISSTAÇÃO... 4 CAPÍTULO HISTÓICO D DIMNSIONAMNTO D PAVIMNTOS FLXÍVIS NO BASIL POJTO NCHP -37A O MPDG ANÁLIS D PAVIMNTOS ASFÁLTICOS TMPATUA M PAVIMNTOS FLXÍVIS CUVA MSTA DANO M PAVIMNTOS FLXÍVIS VAIÁVL DANO TNSÃO FTIVA CITÉIO D UPTUA TMODINÂMICA DO DANO MODLO LÁSTICO LINA MODLO VISCOLÁSTICO LINA MODLO VISCOLÁSTICO CONSIDANDO DANO MODLOS VISCOPLÁSTICOS MODLOS CONSTITUTIVOS PAA PAVIMNTOS ASFÁLTICOS... 3 CAPÍTULO FITO DA TMPATUA M PAVIMNTOS ASFÁLTICOS COMPOTAMNTO D MATIAIS BTUMINOSOS QUAÇÃO D AHNIUS QUAÇÃO D WILLIANS-LAND-FY (WLF) FATO D DSLOCAMNTO PO SULTADOS XPIMNTAIS ANÁLIS VISCOLÁSTICA LINA ANÁLIS PO LMNTOS FINITOS CAPITULO MODLAGM DO DANO M MATIAIS VISCOLÁSTICOS x

10 CAPÍTULO SULTADOS ANÁLISS CAPÍTULO COMNTÁIOS FINAIS SUGSTÕS D TABALHO FUTUOS... 9 FÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS FÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS x

11 LISTA D FIGUAS Fgura epreseação esquemáca das deformações em pavmeos flexíves Fgura 2 Fluxograma do FPAV2. (Foe: Beevdes. 2)... 3 Fgura 3 epreseação de rca érmca. (Foe: Berucc e al. 27)... 4 Fgura 4 epreseação de deformação permaee. (Foe: Berucc e al. 27)... 4 Fgura 5 Curva mesra obda a parr de esao de creep. (Foe: Mederos, 25)... 8 Fgura 6 elação de módulo de âgulo de fase em msuras. (Foe: Mederos, 25) Fgura 7 Modelagem pelo Modelo de Zoa Coesvas (Foe: Freas, 27, adapado) Fgura 8 Cooro arbráro em oro da poa da rca... 2 Fgura 9 lemeo de volume represeavo (Foe: Masuda, 28, adapado) Fgura (a) Dsposvo de sao de Fadga. (b) upura do Corpo de Prova Fgura squema de pavmeo para dversas camadas (Huag, 24, adapado).. 32 Fgura 2 Processo de dao aravés de omografa compuadorzada. (Foe: Darab, 2) Fgura 3 specfcação braslera de lgaes asfálcos de 25 (Foe: Berucc, 26) Fgura 4 Mapa do Brasl com respecvos lgaes dcados Fgura 5 Faor de deslocameo empo-emperaura Fgura 6 Shf facor α(t) para Tref 24 ºC quação de Arrheus Fgura 7 Módulo csalhae dâmco (G*) por frequêca de osclação (f) - dados expermeas Fgura 8 Curva mesra do módulo dâmco G* a 24 ºC. Méodo de Arrheus Fgura 9 Curva da pseudorgdez pelo parâmero de dao (Foe: Mu e Km, 25) Fgura 2 Barra uaxal Fgura 2 Fução deslocameo Fgura 22 Comparação das esões aalícas com as umércas Fgura 23 - Geomera e codções de cooro... 7 Fgura 24 Deslocameo vercal o opo da camada de revesmeo Fgura 25 Tesões horzoas (σ xx ) o fudo da camada de revesmeo Fgura 26 Comparação ere os resulados laboraoras e umércos x

12 Fgura 27 Comparação das esões obdas em laboraóro e umercamee Fgura 28 Varação da pseudodeformação com a deformação real vscoelásca Fgura 29 Varação da pseudodeformação com a deformação real vscoelásca Fgura 3 Varação da esão com a pseudodeformação Fgura 3 Varação da esão vscoelásca lear com o empo para váras ampludes de deformação e T s Fgura 32 Varação da esão com o empo para váras ampludes de deformação e T s Fgura 33 Varação da esão com o empo para váras ampludes de deformação e T s... 8 Fgura 34 Varação da esão com o empo para váras ampludes de deformação e T s... 8 Fgura 35 Varação da esão com o empo para váras ampludes de deformação e T 2s Fgura 36 Varação do dao com o empo para dversas ampludes de deformação e Ts Fgura 37 Comporameo vscoelásco com carregameo harmôco. (Souza, 25) Fgura 38 Comporameo vscoelásco com carregameo harmôco para amplude de deformação de, e Ts Fgura 39 Comporameo vscoelásco com carregameo harmôco para amplude de deformação de, e Ts Fgura 4 Varação da esão com o empo para város cremeos de empo Fgura 4 Varação do dao para város cremeos de empo Fgura 42 Varação da pseudorgdez para dferees cremeos de empo Fgura 43 Varação da pseudodeformação para dferees cremeos de empo x

13 LISTA D TABLAS Tabela spessura míma de revesmeo (Foe: DNIT, 25)... 7 Tabela 2 Processo eravo para a solução da quação (9) por Newo aphso.. 6 Tabela 3 Sére de Proy (Tref 25 o C)... 7 Tabela 4 Sére de Proy (Mu e Geem, 29) x

14 LISTA D FIGUAS a Cosae obdas a parr de esaos laboraoras A(ν) Marz dos coefcees de Posso A é a marz de cdêca e b Cosae obdas a parr de esaos laboraoras B Marz deformação-deslocameo C Pseudorgdez C Marz cosuva C Graus Celsus D Dao DC Dao críco Módulo de elascdade a erga de avação Módulo do cocreo asfálco Módulo agee Coefcee da Sére de Proy Módulo de referêca Coefcee da Sére de Proy f Forças exeras F a eerga lvre de Helmholz g Forças eras G* Módulo dâmco ou módulo complexo J Iegral J K Marz de rgdez xv

15 Veor uáro N Número oal de passages equvalees ao exo padrão N Mede a eropa q Carga aplcada de forma crcular r crcular de rao r + Fução resíduo s Comprmeo de arco S Parâmeros de dao S Parâmero de dao S + q Taxa de varação do parâmero de dao S D Área oal dafcada Tempo coado a parr de um deermado referecal Tempo fal T Temperaura a 25mm abaxo da superfíce T g Temperaura vírea T ref Temperaura de referêca TN Mede a eerga dsspada u Deslocameos odas u Pseudodeslocameos U Mede o rabalho oal realzado o maeral W erga dspoível para ser rasformada em rabalho W Fução desdade de eerga de pseudodeformação W s rabalho dsspado por mudaças a mcroesruura do maeral W represea o rabalho oal feo pelas esões o maeral a ( T ) faor de deslocameo empo-emperaura xv

16 ξ Icremeo de empo reduzdo ε Icremeo de pseudodeformação Icremeo de empo ξ Tempo reduzdo ε Deformações o maeral ε Pseudodeformação ε vp Deformação vscoplásca ε& Taxa de deformação δ Âgulo de fase que evdeca a relação ere as parcelas vscosa e eláscas δu Trabalho vrual ero δ u Campo de deslocameos vruas δw ex Trabalho vrual exero ρ Coefcee da Sére de Proy σ Tesão σ Pseudoesões σ Tesão de rupura σ Tesão máxma σ ul Tesão úlma v Posso; xv

17 CAPÍTULO INTODUÇÃO Pavmeos rodováros são esruuras de múlplas camadas de espessuras fas. ssas camadas são cosruídas sobre a superfíce fal de erraplaagem. Tradcoalmee os pavmeos são classfcados em dos pos: rígdo e flexível. Os pavmeos rígdos são aqueles em que o revesmeo é composo de placas de cocreo de cmeo Porlad. Nesses pavmeos a espessura é fxada em fução da ressêca à flexão das placas de cocreo e da ressêca das camadas subjacees (Berucc e al., 27). Os pavmeos flexíves, por sua vez, são aqueles em que o revesmeo é composo por uma msura cosuída predomaemee por agregado e lgae asfálco, sedo formadas, em geral, por rês camadas: revesmeo asfálco, base e sub-base. O presee rabalho se propõe a esudar quesões relavas somee aos pavmeos flexíves, vso que 95% da malha rodovára braslera é composa por ese po de pavmeo. O Brasl em um ssema logísco, ao de passageros como de raspore de cargas, basae depedee do modal rodováro. A rodova promove a egração ecoômca e raz grades beefícos à socedade. Desa forma, é mporae que essa fraesruura eseja em suação adequada de ráfego já que qualquer defcêca a va erfere dreamee os cusos operacoas dos veículos, elevado os preços dos produos e servços comercalzados. De acordo com a pesqusa CNT Cofederação Nacoal dos Traspores de odovas 29 ode foram avalados os km que correspodem à soma da exesão de oda rede federal pavmeada com a das prcpas rodovas esaduas, a avalação qualava do pavmeo mosrou que, dos km de rodovas sob gesão públca, pracamee meade da exesão pesqusada (45,8%) é cosderada em esado regular, equao 6,4% são avalados como rum e péssmo o que sgfca km de rodovas ode o ráfego de veículos é cosderado pergoso. Porao, para se agr íves sasfaóros de codções os pavmeos brasleros os próxmos aos exgrão grades vesmeos a recuperação da fraesruura vára acoal, jusfcado pesqusas que vsam o desevolvmeo de méodos para melhor

18 prever o úmero de solcações de ráfego ecessáras para causar íves ão aceáves de dao aos pavmeos asfálcos (CNT, 29).. Problema de Pesqusa Muos esforços êm sdo empregados, por dferees pesqusadores, a eava de desevolver méodos capazes de realzar aálses de esões dos pavmeos asfálcos de forma mas realsa. No Brasl, o dmesoameo de pavmeos asfálcos é realzado predomaemee a parr do Méodo do DN (Moa e Meda, 25). se méodo deerma a espessura das camadas baseado o úmero N, que é o úmero oal de passages do exo padrão 8,2f, e o valor de CB do subleo, o esao de CB é medda a ressêca à peeração de uma amosra saurada compacada segudo o méodo Procor. O valor da ressêca é compuado em porceagem, sedo que % é o valor correspodee à peeração em uma amosra de bra graduada de elevada qualdade que fo adoada como padrão de referêca. se méodo perece à classe dos chamados méodos empírcos, que são méodos baseados apeas em dados obdos em campo. O uso de méodos empírcos o projeo de pavmeos ajudou, o passado, pesqusadores e egeheros a eeder melhor os faores que fluecam o comporameo dos pavmeos. Porém, com o desevolvmeo cosae da ecologa, há uma edêca cada vez maor de se ulzar os chamados méodos mecaíscos as dversas avdades evolvdas o projeo de pavmeos (Huag, 24). Descrever a relação esão-deformação em pavmeos asfálcos ão é uma arefa smples, sedo a complexdade oruda de dversos faores como a geomera do pavmeo, as codções de cooro evolvdas e as propredades dos maeras que compõem a esruura do mesmo (maeras graulares e msuras asfálcas) que apreseam comporameo ão-lear e depedee do empo e da emperaura. Devdo a esa complexdade, deve-se er em mee que a deermação aalíca das esões/deformações em pavmeos é dfícl, ou mesmo mpossível, em algus casos, o que bu durae muo empo a ulzação práca dos méodos mecaíscos em grade escala. 2

19 Assm, ora-se ecessáro recorrer a méodos umércos para o raameo do problema levaado. Dere os méodos compuacoas exsees, o Méodo dos lemeos Fos (MF) é o mas ulzado a aálse de pavmeos e é o méodo que será usado o presee rabalho. No que dz respeo a modelos cosuvos para o revesmeo asfálco, pode-se verfcar que, as úlmas décadas, város modelos foram desevolvdos como, por exemplo, os modelos vscoeláscos e vscopláscos. ses modelos êm sdo adoados com o objevo de represear o comporameo mecâco da camada de revesmeo de maera mas realsa. Desa forma, o problema a ser abordado ese rabalho esá relacoado ao raameo da relação esão-deformação da camada de revesmeo asfálco, ou seja, busca-se apresear e mplemear um modelo que seja capaz de melhor represear o comporameo das msuras asfálcas. Nesse âmbo dos mporaes faores serão esudados: a emperaura e o dao..2 Objevos A parr da dscussão apreseada aé aqu, a presee dsseração em como objevo geral esudar e mplemear modelos capazes de realzar aálses mecâcas de maeras asfálcos cosderado o maeral como vscoelásco lear e acresceado a essa aálse o efeo da emperaura e do dao. Dessa forma, o presee rabalho busca corbur para a realzação de uma aálse esão - deformação, em maeras asfálcos, mas próxma da realdade. A aplcação mas comum de maeras asfálcos, é sem dúvda, em pavmeos flexíves, mas especfcamee o revesmeo asfálco. No caso da cosderação da emperaura, o própro pavmeo asfálco é aalsado e ão somee o maeral em s. Objeva-se, porao, a mplemeação de um algormo para o raameo desse pavmeo o ssema compuacoal CAP3D que vem sedo desevolvdo o LMP/UFC Laboraóro de Mecâca dos Pavmeos/ Uversdade Federal do Ceará. O CAP3D é um programa para aálse de pavmeos asfálcos aravés do Méodo dos lemeos Fos que esá sedo desevolvdo a lguagem C++ ulzado a écca de Programação Oreada a Objeos, de maera a gerar um ssema compuacoal faclmee expasível aravés da defção de uma sére de classes base, 3

20 que podem ser faclmee dervadas e especalzadas aravés dos mecasmos de heraça e polmorfsmo (Holada e al., 26). Com relação ao efeo do dao, o presee rabalho em como objevo esudar uma formulação e realzar sua mplemeação para o caso udmesoal. Dere os objevos específcos desse rabalho, podem-se car: - Corbur para o melhor eedmeo do comporameo mecâco dos pavmeos quado sua emperaura é alerada, prcpalmee para alas emperauras que é o caso da regão ordese; - Avalar o efeo do dao as resposas às solcações ocorrdas as msuras asfálcas; - Aalsar o comporameo, cosderado o efeo do dao, das msuras asfálcas quado submedas a deformações cíclcas e ão cíclcas. - Verfcar a fluêca da emperaura as resposas de deslocameos vercas o opo da camada do revesmeo asfálco e das esões horzoas o fudo da camada de revesmeo, vso que essas duas resposas esão ere os créros de dmesoameo mecaísco usados o Brasl; - Aalsar as esões os maeras vscoeláscos cosderado o dao quado se faz varar a amplude e o período de deformação aplcados; - Avalar a fluêca da dscrezação o empo do modelo apreseado; - Verfcar a defasagem ere as deformações e as esões os maeras vscoeláscos quado se cosdera o dao;.3 sruura da Dsseração O presee rabalho se ecora orgazado da segue forma: No Capíulo uma breve descrção do rabalho é realzada. Toram-se explícos ada ese capíulo os objevos que oream o rabalho. No Capíulo 2 é apreseada a revsão bblográfca. sa fo realzada com base os prcpas peródcos da área bem como as mas relevaes eses e dsserações. Uma grade quadade de rabalhos fo esudada e aalsada para que se vesse uma déa do esado da are e se obvesse cohecmeo sufcee para a codução dese rabalho. Foram abordadas oções sobre pavmeos flexíves, vscoelascdade, efeo da emperaura e efeo do dao em maeras vscoeláscos. 4

21 O Capíulo 3 apresea o efeo da emperaura o desempeho de pavmeos asfálcos. Nesse capíulo apresea-se oda a formulação para maeras vscoeláscos leares sob efeo da emperaura bem como sua modelagem aravés do MF. O Prcípo da Superposção Tempo-Temperaura em maeras vscoeláscos ambém é abordado ao logo dese capíulo. No Capíulo 4, esuda-se o efeo do dao em maeras vscoeláscos. Apreseamse odos os coceos evolvdos esse po de aálse. Mosra-se oda a formulação cosderado o efeo do dao e ambém a modelagem aravés do MF. Como o comporameo do maeral passa a ser ão-lear, apresea-se ambém o Méodo de Newo-aphso para a solução desse po de problema. No Capíulo 5 uma exesa aálse dos modelos apreseados os capíulos aerores é realzada. Város problemas êm suas soluções apreseadas e esudadas. Os resulados obdos são dscudos e, em algus exemplos, comparados com os ecorados a leraura pesqusada. Falmee, o Capíulo 6 apresea as coclusões fas, bem como algumas sugesões de rabalhos fuuros. 5

22 CAPÍTULO 2 VISÃO BIBLIOGÁFICA 2. Hsórco de Dmesoameo de Pavmeos Flexíves o Brasl O pavmeo é uma esruura desada a ressr e a dsrbur ao subleo os esforços vercas orgados da ação do ráfego (Fgura ) e do clma. O pavmeo deve ada ressr aos esforços horzoas proporcoado uma camada de rolameo segura e com codções aceáves de coforo ao usuáro. Pode-se dzer que o dmesoameo de pavmeos em por objevo calcular e verfcar as espessuras das camadas bem como compablzar os maeras para que eses possam oferecer uma esruura ode íves pré-deermados de seguraça e coforo ao usuáro da va sejam aeddos. Idepedeemee do méodo que se usa para o dmesoameo do pavmeo são rês os faores que se buscam: seguraça, coforo e regulardade. O prmero faor é relavo às codções de dreagem e aderêca, o segudo é relavo ao ível de ruído e boas codções da superfíce de rolameo equao o ercero se relacoa à coudade da ofera do servço, ou seja, à dmução do úmero de errupções das rodovas devdo à servços de maueção. CAGA VSTIMNTO BAS TAÇÃO COMPSSÃO SUBLITO Fgura epreseação esquemáca das deformações em pavmeos flexíves. (Foe: Huag, 24, adapada). 6

23 No Brasl o Méodo do DNIT (ago DN) é predomaemee usado para o dmesoameo de pavmeos flexíves. se méodo, a verdade, é uma adapação fea pelo egehero Murllo Lopes de Souza em 966 do méodo desevolvdo pelo USAC (Corpo de geheros do xérco dos sados Udos) ere 958 e 96. O méodo fo orgalmee desevolvdo para pavmeos aeroporuáros e ulza o esao de CB e o úmero N (úmero oal de passages equvalees ao exo padrão de 8,2f) como parâmeros de erada. Adapado para as rodovas brasleras, o méodo ada coua usado o valor de CB como prcpal parâmero para obeção das espessuras das camadas. Acea-se que, para um deermado valor de CB do subleo, exse uma espessura míma de pavmeo que é capaz de proeger ese mesmo subleo de deformações excessvas ou mesmo de rupura oal (DNIT, 25). Beevdes (2) argumea que ão exse rupura súba em pavmeos, o que ocorre a verdade é uma rupura gradual, ao logo dos aos, em fução dos maeras, do clma e do ráfego. sa rupura deve ser prevsa. Lembra-se que a meodologa de dmesoameo de pavmeos flexíves adora pelo DNIT adoa como lme de CB de uma dada camada o valor de 2%. Iso sgfca que, mesmo que o CB da camada apresee um resulado de 8%, por exemplo, o valor de erada para o dmesoameo será de 2%. Com relação à espessura do revesmeo, o méodo smplesmee ulza uma relação drea ere o valor de úmero N e a espessura ecessára para ese revesmeo. sas relações ecoram-se a Tabela. Tabela spessura Míma de evesmeo. (Foe: DNIT, 25) N spessura Míma de evesmeo Beumoso N 6 Traameos superfcas beumosos 6 < N 5 x 6 evesmeo beumoso com 5,cm de espessura 5 x 6 < N 7 Cocreo beumoso com 7,5cm de espessura 7 < N 5 x 7 Cocreo beumoso com, cm de espessura N > 5 x 7 Cocreo beumoso com 2,5cm de espessura Observa-se que o Méodo do DNIT faz pare dos méodos empírcos, pos se basea em experêcas repedas váras vezes o campo e se lma a prever espessuras adequadas baseadas somee o créro de rupura por deformação permaee e 7

24 cosderado esse efeo acoecedo somee devdo às propredades do subleo. Deve-se ressalar ada que ese méodo apresea como base expermeal as codções clmácas e de solos os sados Udos, ou seja, caraceríscas bem dferees da realdade braslera, mesmo com odo esse eor de emprsmo que exse o méodo aé aqu apreseado, deve-se er em mee que há muo empo ele é usado o Brasl, gerado basae dados para a pavmeação braslera. Na década de 97, com a mplaação do esao raxal de carga repeda o Brasl, o coceo de reslêca passou a ser mas esudado (Moa e Meda, 25). se coceo se valorzou depos que a malha rodovára passou a apresear uma deeroração premaura, ou seja, os pavmeos apreseavam paologas aes de falzada a vda úl deles. É mporae mecoar que o méodo do DNIT, apesar de ser raado como coservador, ão esabelece as espessuras das camadas do pavmeo com base os maeras, ou mesmo o eor do aslfao, abrdo margem para paologas como, por exemplo, exsudação. Assm, passou-se a er um eor mas mecaísco o esudo de pavmeos os meos acadêmcos. Dero dessa cava, asceu o Méodo da eslêca da COPP/UFJ (Moa e Meda, 25). se raa o dmesoameo de pavmeos de forma mas racoal ulzado esaos dâmcos para caracerzação de maeras e realzado aálse ão-lear das camadas de base, sub-base e subleo. O méodo ambém calcula a relação esão-deformação em dversos poos das camadas e cosdera faores ambeas. Dere os créros que o Méodo da eslêca faz uso podem ser cados: valores de deflexões que são calculados a parr do úmero N e comparados às deflexões admssíves; esão vercal o opo do subleo que ambém é comparada aos valores admssíves (calculados a parr do Módulo de eslêca - M r e do úmero N); dfereça ere a esão de ração e a de compressão o revesmeo, ambas logo abaxo da carga aplcada. sa dfereça de esão é comparada com valores ecorados em esaos de fadga. Beevdes (2) fez uso do méodo da COPP/UFJ. se rabalho eve como prcpal objevo efeuar aálses comparavas ere os méodos de dmesoameo dos pavmeos asfálcos, o empírco do DNIT e o da eslêca da COPP em rodovas do Ceará. Observou-se que houve uma redução sgfcava a espessura da camada fal do pavmeo dmesoado, ocorredo casos em que a espessura fal do pavmeo calculada pelo méodo da COPP/UFJ é cosuída por aé duas camadas a meos que a espessura fal calculada pelo méodo do DNIT, ou seja, ocorreram casos 8

25 em que o dmesoameo feo pelo méodo da COPP/UFJ o projeo fal do pavmeo ão ecessava de base em de sub-base. Com o avaço da ecologa, o que se percebe é que cada vez mas os méodos mecaíscos gaham espaço. No eao, clusve a ível mudal, o uso desses méodos ada é basae resro. Acreda-se que fuuramee ese uso será amplado por represear de forma mas realsa o que de fao ocorre os pavmeos. 2.2 Projeo NCHP -37A e o MPDG Nos sados Udos a parr de 24, fruo do projeo NCHP -37A, o projeo de dmesoameo de pavmeos fo revsado. m pare sso se deveu à evolução das cofgurações dos veículos e pressões aplcadas pelos peus os pavmeos. Oura razão para a cração de uma ova meodologa é que as versões aerores eram aplcadas com ceras lmações dado o seu elevado grau de emprsmo. Desevolvdo pelo NCHP e parocado pela AASHTO, o projeo -37A desevolveu uma pesqusa para um ovo méodo mecaísco-empírco de dmesoameo de pavmeos, deomado de MPDG (Mechasc-mprcal Paveme Desg Gude). O relaóro do NCHP (24) afrma que o gua oferece ferrameas para o dmesoameo de pavmeos flexíves e rígdos ao ovos como reablados. Um mporae aspeco do MPDG é que forece uma esruura para que coíuos melhorameos sejam feos. Como por exemplo, mudaças os veículos, maeras, éccas de cosrução ec. O projeo gerou um sofware que fucoa, bascamee, esado uma dada esruura de pavmeo e a parr de créros pré-esabelecdos avala se a esruura supora ou ão os esforços solcaes. Caso a esruura seja reprovada em algum créro deve ser refea e reavalada. m sequêca o processo de dmesoameo aravés do programa é: Defr uma esruura de pavmeo com dados de ráfego, clma e maeras; Seleção de créros de desempeho com prevsão para um ível desejado de cofaça, o caso da rgdez o parâmero adoado é o Módulo Dâmco; Processameo dos dados de erada para geração dos esforços orudos do ráfego, clma e maeras. 9

26 esposa do pavmeo a parr de modelos das camadas eláscas ou pelo Méodo dos lemeos Fos; Cálculo do dao acumulado; Prevsão do coforo ao rolameo; Avalação da esruura pré-esabelecda e verfcação do aedmeo aos créros aerormee defdos; Um mporae avaço do méodo é a cosderação da rgdez da camada pelo Módulo Dâmco. Já o afudameo as rlhas de rodas cosdera o somaóro das deformações permaees ao logo de odas as camadas do pavmeo. No modelo AASHTO 993 o dmesoameo de pavmeos flexíves levava em cosderação um úco créro de desempeho: o Prese Sevceably Idex (PSI), correspodee o Brasl ao Ídce de Servea. O ovo gua cosdera, o eao, os créros de desempeho de rcas por fadga, de afudameo as rlhas de roda e de rregulardade. O MPDG fo cocluído em 24 e lberado ao públco para revsão e avalação. Uma revsão formal do NCHP -37A ocorreu o Projeo NCHP -4A. O desevolvmeo dese gua mosra uma edêca que é cada vez mas fore aos modelos com caráer mas mecaíscos. 2.3 Aálse de Pavmeos Asfálcos Devdo à geomera da esruura dos pavmeos, às possbldades de ocorrêca de dferees carregameos, ere eles carregameos esácos e dâmcos e ada às grades dfereças ere os maeras que compõem o pavmeo asfálco, a solução aalíca dessas esruuras só é possível quado se fazem váras smplfcações. Ada assm podem ocorrer casos em que a solução aalíca se ora basae complexa ou mesmo vável. Dere esas hpóeses smplfcadoras, podem-se car: cosderação dos maeras como homogêeos, sorópcos e elásco leares, carregameo esáco e ada algumas codções de coudade ere as camadas. As duas grades eoras de placas aceas aé hoje são as de Burmser e Boussesq (Meda e Moa, 25), cohecdas como Teora das Camadas láscas. De acordo com essas duas verees, para a aálse cosuva de pavmeos asfálcos cosderado as hpóeses já apreseadas o parágrafo aeror, os parâmeros de erada da aálse se resumem a: módulo de elascdade ( ) e coefcee de Posso

27 (υ). Usualmee o módulo de elascdade das camadas é omado como o módulo de reslêca M para mas dealhes recomeda-se Meda e Moa, 25. ssas soluções eláscas foram eão mplemeadas em programas que se oraram basae cohecdos como, por exemplo: LSYM5 (Beevdes, 2), KNPAV (Huag, 24), ILLIPAV (aad e Fgueroa, 98), MICHPAV (Harchadra e al., 98) e o ABAQUS (Smula, 27). sses programas cosderaram algumas ouras hpóeses as como carregameos dâmcos, ações clmácas, maeras vscoeláscos, ec. O programa LSYM5 lasc Layered Symmercal desevolvdo a Uversdade de Berkeley, Calfóra, UA, em FOTAN, aplca-se a problemas de elascdade lear de meos esrafcados, com a solução de Burmser. As expressões são calculadas aravés do Méodo das Dfereças Fas, que cosse bascamee em resolver equações dferecas de forma umérca, em geral usado as dfereças ere os passos em que o problema esá sedo aalsado. se programa (LSYM5) cosdera as camadas como sorópcas, homogêeas e horzoalmee fas, sedo o subleo um meo fo. Adme aé cco camadas superposas e perme o cálculo das esões, deslocameos e deformações para um ssema rdmesoal de camadas eláscas. Uma grade vaagem desse programa é que ele perme cosderar mas de uma área de carregameo ulzado a superposção de soluções para cargas soladas. O LSYM5 forece as esões horzoas, vercas e de csalhameo máxmo, assm como as esões prcpas em qualquer poo do ssema. le apresea meus, com dados de erada e de saída, permdo avegação de forma smples aé a coclusão fal, so é, verfcação das esões e deformações. Bascamee em como parâmeros de erada: pressão dos peus, úmero de cargas, valor da carga, coordeadas por carga, quadade de camadas, espessuras, módulos de elascdade das camadas, coefcees de Posso e, posção a superfíce (x, y) dos poos de aálse e a profuddade z deses poos. O programa KNPAV fo desevolvdo pela Uversdade de Keucky, UA. se programa perme a realzação de aálses ão-leares, bem como a cosderação dos efeos vscoeláscos, e do empo de carregameo. se programa ada coa com a possbldade de aalsar aé 9 camadas, dferees coordeadas radas e 9 coordeadas vercas, 5 empos de carga a aálse vscoelásca e subdvsão do ao em 24 ervalos. Vale ressalar aqu que o KNPAV (Huag, 24) é o ome da

28 versão Wdows que abrage o KNLAY e o KNSLABS, ese para pavmeo rígdo e aquele para pavmeos flexíves. Ouro programa basae ulzado o Brasl é o FPAV 2. se fo desevolvdo em Berkeley, Calfóra, em 965 e modfcado por Duca e al., (968) para orar possível a aálse das esruuras axssmércas de pavmeos flexíves e, aravés da aálse ão lear, adapar os pos de módulos depedees da emperaura e do esado de esões. Desde 973, quado fo doado a COPP, o programa em sdo dfuddo o Brasl. O programa já fo ulzado em váras eses e dsserações, como, por exemplo: Preussler (978, 983), Sveso (98), Slva (995), odrgues (987), Moa (99), Po (99), Cera (99) e Beevdes (2). se programa cosdera ao camadas eláscas leares, como camadas ãoleares e perme aé doze camadas a modelagem de pavmeos. Valores de deflexões comparados com os meddos de forma drea, como em deflecômeros (vga Bekelma), são bem parecdos em muos casos aalsados, o que fez com que se crasse cofaça os valores calculados pelo programa. Um fluxo do programa pode ser observado a Fgura 2 (Beevdes, 2). No FPAV2 ere os valores de saída em-se: deformação específca de ração, deflexão, esão vercal o subleo e ressêca à ração o revesmeo. re as vaages dese ssema podem-se car: aalsar axalmee e radalmee maeras de caraceríscas varáves, podedo, em fução da emperaura, varar o módulo dos maeras asfálcos e ambém aalsar o comporameo elásco ão lear das camadas graulares e coesvas. A prcpal desvaagem é admr a aplcação de apeas uma carga. 2

29 Fgura 2 Fluxograma do FPAV2. (Beevdes, 2). 2.4 Temperaura em Pavmeos Flexíves Não há dúvdas de que o desempeho do pavmeo flexível e sua coseqüee servea são corolados pela ocorrêca de defeos que surgem com o empo de exposção ao ráfego e as empéres. Há város defeos que são caalogados em orma, como por exemplo: feda, odulação, deeroração, afudameos, paelas, exsudação. Algus desses defeos êm relação drea com a varação da emperaura como é o caso das rcas e afudameos. 3

30 A leraura mosra que há rês pos de defeos que são basae recorrees em pavmeos asfálcos: rcameo érmco (Fgura 3), rcameo por fadga e deformação permaee (Fgura 4) (Berucc e al., 27). Fgura 3 epreseação de rca érmca. (Foe: Berucc e al., 27). Fgura 4 epreseação de deformação permaee. (Foe: Berucc a al., 27) m geral, o rcameo érmco ocorre para baxas emperauras, pos esa favorece o aumeo da rgdez dexado o maeral mas susceível ao rcameo. O rcameo 4

31 por fadga se relacoa com a repeção da carga e a deformação permaee esá dreamee lgada a alas emperauras e ao projeo de dosagem ulzado. Para alas emperauras o lgae evelhece mas rapdamee, o que faz com que a vscosdade do mesmo dmua podedo chegar à rupura. ssas paologas êm orges que podem ser basae complexas. Dere elas podem-se car: cclos de varação da emperaura ambee, rgdez do cocreo asfálco, eor de lgae a msura, compacação das camadas subjacees. Como mecoado aerormee, o dmesoameo de pavmeos flexíves o Brasl em um caráer predomaemee empírco. O méodo mas ulzado para defr as espessuras das camadas do pavmeo flexível ão faz meção ao efeo que a emperaura pode causar a resposa mecâca do mesmo. No meo acadêmco, o eao, o desevolvmeo de meodologas para o esudo da mporâca da emperaura o comporameo vscoelásco é ago. Como exemplo, pode-se car o rabalho de Taylor e al. (97) que apresea um algormo para a aálse de sóldos com comporameo vscoelásco lear submedo a cargas mecâcas e érmcas. Zocher e al. (997) apresearam uma formulação para aálse ermovscoelásca 3D de meos ororópcos a parr do MF. É cada vez mas comum a preocupação com o efeo que a emperaura pode vr a er o pavmeo asfálco. Um exemplo é o rabalho de Al e al (998) ode é apreseado um faor de correção C do módulo da camada asfálca do pavmeo por reroaálse de levaameos deflecomércos realzados com o FWD. Na meodologa apreseada por eses auores é ecessáro calcular o módulo do cocreo asfálco dado por: ( T ) ode T é a emperaura a 25mm abaxo da superfíce. O faor de correção C é eão defdo como: e () ( x 2) e ( T ) C ( ) e (2) T e Na equação acma, o umerador correspode a a emperaura de referêca (2 C) e o deomador é a emperaura medda dado em C. Assm como Al (998), o presee rabalho ambém usa a emperaura com uma fução expoecal para a varação do módulo. No eao, o presee rabalho faz uso da equação de Arrheus que será explcada o capíulo 3. Moa (99) desevolveu equações que esabelecem uma relação ere a emperaura do ar e a emperaura do pavmeo para as regões do Brasl. Ada 5

32 segudo Moa (99) a emperaura é um aspeco que deve ser cosderado o projeo de pavmeos asfálcos, pos além de er uma auação drea o revesmeo ela afea a deformabldade e cosequeemee o desempeho da esruura. Huag (24) afrma que o efeo da emperaura em pavmeos flexíves é dferee do efeo sobre pavmeos rígdos. Nese a emperaura duz curlg, ou seja, alerâcas ere esão de ração e compressão os exremos vercas das placas e vce-versa. Já em pavmeos flexíves a emperaura afea o módulo de reslêca das camadas. Huag (24) ambém faz meção ao fao de que as propredades eláscas e vscoeláscas são sgfcavamee afeadas pela varação da emperaura. Também coclu que qualquer méodo mecaísco de dmesoameo de pavmeos flexíves deve cosderar os efeos da emperaura. As msuras asfálcas e ouros maeras classfcados como ermoreologcamee smples podem er a relação empo-emperaura descra por modelos smples (oylace, 2). se fao ora mas smples ao a caracerzação expermeal do maeral como a aálse umérca por meo de méodos como o MF. O esudo de maeras classfcados como ermo-reologcamee complexos (Sawa e Mulaa, 28; Mulaa e Kha, 28) esá além do escopo dese rabalho. Tradcoalmee, a fluêca da emperaura os pavmeos é cosderada em aálses eláscas com a depedêca do módulo de Youg da varação de emperaura. Coudo, receemee ese assuo gahou uma aeção especal. Zhog e Geg (29) apresearam um esudo aalíco das esões érmcas dos pavmeos flexíves esudado a depedêca das caraceríscas do maeral da emperaura de referêca. Nese esudo, o pavmeo é cosderado uma esruura axssmérca e composa por mul-camadas eláscas. A formulação é ulzada para calcular as esões érmcas a suação de rcameo érmco para baxas emperauras do pavmeo e os resulados são comparados com a suação sem efeos da emperaura. Os resulados dese esudo mosraram que há um cosderável mpaco do efeo da emperaura os valores das esões. Chabo e al (26) apresearam um modelo para uma esruura sem-fa em camadas cosderado a relação ere deformação e esão de forma ermovscoelásca. De acordo com esses auores, o modelo apresea bos resulados para a modelagem do comporameo de pavmeos asfálcos, especalmee cosderado efeos érmcos. Os auores compararam seus resulados com soluções aalícas e com 6

33 resulados dspoíves de modelagem por MF. les ada apreseam um sofware chamado Vscooue, baseado a modelagem apreseada em seus rabalhos. Wog e Zhog (2) desevolveram um raameo aalíco das esões érmcas os pavmeos flexíves com emperaura varável o empo. Os resulados ecorados cofrmam a ecessdade da cosderação desses efeos a aálse e dmesoameo de pavmeos asfálcos. Dubos e al (999) apresearam um modelo ermovscoelásco que exbe um comporameo ermo-reologcamee smples. Uma abordagem baseada o MF fo proposa para permr a cosderação dos efeos de logo prazo ao da emperaura como das caraceríscas vscoeláscas dos maeras beumosos de pavmeos de cocreo asfálco. 2.5 Curva Mesra sas curvas esabelecem eedmeos sobre as propredades vscoeláscas de um deermado maeral. Sua grade vaagem é permr uma esmava de propredades do maeral em um amplo ervalo de emperaura e frequêcas que podem ser ecoradas em campo, mas que ão são prácas com relação à smulação em laboraóro. Ulzado os faores de deslocameo horzoas que são obdos aravés de esaos dâmcos, como é o caso do esao de módulo complexo e creep a geração das curvas mesras, é possível deslocar a curva gerada para uma deermada emperaura de referêca e ober uma ova curva como pode vso a Fgura 5, ode J represea o logarmo do módulo complexo. sa ova curva é capaz de descrever o comporameo reológco do maeral ao logo do mesmo ervalo de freqüêcas ou empos de carregameo, a emperaura desejada. (Bechara, 28). 7

34 Fgura 5 Curva mesra obda a parr de esao de creep. (Foe: Mederos, 26). Pode-se dzer que a cosrução da curva mesra é um arfíco maemáco para ober as propredades vscoeláscas G* e δ em um ervalo de freqüêca mas amplo, ode G* é o módulo dâmco ou módulo complexo e δ é o âgulo de fase que evdeca a relação ere as parcelas vscosa e elásca. A Fgura 6 apresea dos maeras dferees sedo que o lgae 2 apresea maor compoee elásco, o que o fará apresear meor perceual de deformação permaee se comparado ao lgae. δ PAT VISCOSA δ 2 PAT LÁSTICA Fgura 6 elação de módulo de âgulo de fase em msuras. (Foe: Mederos Juor, 26). Na cosrução da curva mesra, segudo Goodrch (988), é ulzado o Prcípo da Superposção Tempo-Temperaura. se prcípo esabelece que os dados obdos para cada emperaura podem ser rasladados em relação ao exo do empo (ou freqüêca). A raslação pode ser mesurada por um faor a ( T ) deomado shffacor. se prcípo, que em sdo aplcado ao em lgaes quao em msuras asfálcas, esabelece que os parâmeros vscoeláscos obdos em uma emperaura maor/meor que uma deermada emperaura de referêca e frequêca de carregameo esabelecda seram gualmee obdos caso o esao fosse realzado a emperaura de referêca, porém com uma frequêca de carregameo meor/maor. 8

35 2.6 Dao em Pavmeos Flexíves O coceo de dao fo prmeramee serdo a aálse e a descrção do comporameo de meas submedos a carregameos mooôcos ou cíclcos o regme de rupura (Dremeer, 995). Neses maeras, quado em regme de rcameo, mcrorcas aparecem após o desevolvmeo de cosderável plasfcação do maeral. De forma geral, o coceo de dao pode ser aplcado a qualquer maeral que apresee descoudade a superfíce em forma de mcrorcas e descoudade de volume em forma cavdades e que se relacoam à redução de rgdez do maeral e cosequee rupura. Bascamee, duas abordages êm sdo ulzadas para cosderação do efeo do dao em maeras vscoeláscos: () Mecâca do Dao Coíuo, (2) Mecâca da Fraura. Na abordagem da Mecâca da Fraura, um modelo basae ulzado é o de Zoas Coesvas (MZC) lusrado a Fgura 7. Uma vaagem desse modelo é que o crescmeo da rca pode ser aalsado a parr de uma rca pré-exsee bem como de uma superfíce plaa eorcamee sem um processo de rcameo cado. O modelo de Zoas Coesvas em sdo objeo de város esudos por dversos auores (Km e Lle, 99; Jeq e Perg, 99; Yoo e Alle, 999; Alle e Searcy, 2; Alle, 2; Km e Lle 23; Freas e. al. 25; Souza, 25). Uma vaagem dessa meodologa é que os dealhes físcos que ocorrem em pequeas escalas ão são perddos assm como ocorre o modelo feomeológco, so é, modelos que represeam o comporameo do maeral aravés de um elemeo de volume represeavo, para esa aureza de modelo só eressa o feômeo e ão o que ocorre a ível mcroesruural. Além dsso, ese modelo, por levar em coa város modos de dao, pode cosderar cada elemeo que cosu a msura asfálca, ou seja, o dao pode ser modelado somee os agregados ou somee o lgae asfálco. 9

36 CONCTO ASFÁLTICO PATÍCULAS LÁSTICAS MASTIQU ASFÁLTICO VISCOLÁSTICO TINCAS DISCTAS NO MASTIQU ASFÁLTICO MASTIQU SUJITO A FATUA AGGADO PONTA DA FISSUA FOÇAS D SUPFICI FATUA ZONA COSIVA Fgura 7 Modelagem pelo Modelo de Zoa Coesvas (Foe: Freas, 27, adapado). A preocupação básca da Mecâca da Fraura é a deermação do comporameo mecâco de uma esruura quado há rcas. Além dsso, ela ada se dspõe a prever a propagação da rca aé que a esruura se rompa. Deve-se ressalar que ese é o caso em que se rabalha com rcas dscreas, ou seja, rcas podem ser roduzdas arbraramee pelo usuáro, em qualquer posção o modelo e o camho dessa rca será esudado. Como em algus casos a peça mesmo rcada ão era em colapso, a Mecâca da Fraura esuda ada a mudaça a ressêca da esruura por coa da evolução da rca. A deermação do comporameo cosuvo a regão ode ocorrem rcas apresea grade complexdade, de forma que ceras aproxmações são corrqueramee serdas os modelos que se propõem a fazer esse po de aálse. Um dos modelos mas cohecdos é o uso da egral J. sa egral fo calmee proposa para 2

37 problemas de elascdade (Schapery, 984). m geral o sgfcado físco dese parâmero pode varar depededo do po de aálse que se faz. Quado fo prmeramee desevolvda para meos eláscos, a egral J era gual à axa de lberação de eerga por udade de área de rca. xsem város rabalhos acadêmcos (Huchso, 968; Huchso e Pars, 979; ce e osegre, 968) que mosraram que, submedas a deermadas codções, as esões e as deformações as proxmdades da rca são coroladas pelo parâmero J. Vale lembrar que esa egral é de cooro e depede do camho ulzado para sua egração (Schapery, 984). Para se chegar à egral J cosdera-se calmee pela Mecâca do Coíuo a segue equação de equlíbro em uma dmesão: σ (3) x Nesa equação as forças de corpo são desprezadas e as esões são represeadas pelo esor de Pola Krchhoff II, ou seja, o esado de referêca é o deformado. Defe-se eão um poecal (W) para aálse D como edo a segue propredade: W σ (4) ε Schapery (984) mosra que depos de algus ajuses a egral J pode ser escra como: J c u W σ ds (5) x Ode c é qualquer camho que começa a face feror da rca, evolve a poa da rca e erma a face superor, é o veor uáro ormal a c, s é o comprmeo de arco ao logo do cooro da egração e u o deslocameo (Fgura 8). Fgura 8 - Cooro arbráro em oro da poa da rca. 2

38 m um meo elasoplásco a esdade de deformação a poa da rca ada é caracerzada pelo parâmero J, porém ão em o sgfcado de axa de lberação de eerga, como o caso de meos eláscos. Já em meos pláscos com deformações fas, J ão em qualquer sgfcado físco. la smplesmee caracerza as esões e deformações a poa da rca. Schapery (984) propôs bases para o uso da egral J em problemas vscoeláscos ão-leares. Nese rabalho ele relacoa o íco da fraura e a velocdade de propagação da rca com a egral J e as propredades vscoeláscas do maeral rcado. A eora de Schapery é baseada a déa de um problema elásco de referêca, que será dscudo mas adae, ode ele usa o prcípo da correspodêca elásca-vscoelásca para chegar a uma solução vscoelásca. A Mecâca do Dao Coíuo é baseada as chamadas Varáves Ieras de sado. sas quafcam o dao que ocorre dero de um deermado maeral. sa meodologa lda com as codções de propagação de rcas mcroscópcas. A evolução do dao é eão descra por um modelo feomeológco que pcamee é desevolvdo a parr de esaos de laboraóro. m sua essêca essas varáves êm a fução de produzr alerações as propredades mecâcas a serem arbuídas ao meo coíuo de forma a orar possível as aálses esruuras dos maeras o ível macroscópco. Deve-se er em mee que uma abordagem do dao por meos coíuos requer que as propredades a serem arbuídas ao meo possam ser reradas de esaos de lemeos de Volume epreseavos (V). Vale ressalar que um modelo feomeológco ão se preocupa com eveos em uma escala mcro, ele smplesmee se gua a dea de volume represeavo, ou seja, adoa o comporameo do V como sedo o comporameo de oda a esruura. Assm o que ocorre em escala mcro o maeral como, por exemplo, o camho que a própra propagação da rca segue ão pode ser preda por ese modelo. No eao a varável era é capaz de mesurar, depededo da abrodagem, a eerga dsspada devdo ao dao, o que, em geral, se raduz em uma redução de rgdez do maeral. Uma das vaages da abordagem por meo da Mecâca do Dao Coíuo é o esforço compuacoal reduzdo quado comparado a Mecâca da Fraura. No eao, em a desvaagem de exgr esaos laboraoras que ão são ão smples de realzar. Oura desvaagem desse modelo é a relação com o ível mcroesruural, pos o modelo é capaz de mosrar o que ocorre em um ível de mcro escala. 22

39 Dero da leraura sobre modelagem de maeras asfálcos usado modelos feomeológcos ão se observam muos esudos de dferees auores com essa abordagem. Isso se deve, em pare, à dfculdade de realzar esaos em escala reduzda (Freas, 27). Schapery apreseou rabalhos poeros essa área juo com ouros auores (Park e al., 996; Schapery, 989, 99; Park e Schapery, 997; Ha e Schapery, 998). Algus ouros rabalhos ambém são ecorados, ode os prcpas aspecos da modelagem de maeras vscoeláscos com dao são mosrados (Lee e al., 2, 23; Chrsese, 22; Dael e Km, 22; Chehab e al., 23; Gbso e al., 23; Tashma e al., 24; Masad e al., 25). Nasce eão uma errogação Se a Mecâca do Dao Coíuo se ocupa da aálse dos efeos que as mcrorcas apreseam a ressêca dos maeras, eão o que devemos deermar como esado cal e fal de dao os maeras? Algus cosderam que o esado cal é aquele em que o dao ada ão ocorreu, ou seja, o maeral esá íegro, sem rcas sgfcavas e, porao, sem redução a sua rgdez. No eao, como esse esado ão é faclmee deermado, ormalmee cosdera-se o esado cal como o momeo em que o hsórco de esforços passa a ser cohecdo. Por sua vez o esado fal de dao esá assocado ao surgmeo de rcas o elemeo de volume represeavo que possam ser cosderadas macroscópcas. Desa forma, em-se eão a rupura do elemeo. Mesmo defdo esado de íco e érmo do dao, dferecar um maeral vrgem de um maeral alamee dafcado pode ão ser uma arefa smples. Isso ocorre porque ão há qualquer caracerísca que de fao faça dsgur um maeral sem dao de ouro que eseja em uma regão alamee dafcada. Sedo assm, ora-se ecessáro o uso de Varáves Ieras - VI que cosgam de fao represear o grau de deeroração do elemeo. A escolha da VI esá assocada à meodologa que se usa para quafcar o dao. re essas meodologas podem ser cadas: Meddas físcas globas, como por exemplo, a desdade. ssas meddas exgem algumas defções de um modelo global para que seja possível coverê-las em propredades que caracerzem ressêca mecâca; Meddas de dao que se relacoam com a vda resae do maeral. A desvaagem dessa meodologa é que ela ão gera dreamee uma le cosuva; 23

40 Meddas mecâcas globas, como por exemplo, aleração o módulo de elascdade. ssas meddas são mas fáces de erprear em ermos da varável dao usado o coceo de esão efeva; No presee rabalho como o maeral é raado de forma vscoelásca ão-lear usa-se a aleração do módulo do maeral para se avalar o processo de dao. 2.7 Varável Dao Dere os rabalhos que esudam o efeo do dao os maeras, pode-se car o de Lemare e al. (99) que apresea algumas meodologas para cosderação do efeo do dao os maeras. re essas meodologas desaca-se a chamada formulação clássca. Para ao, cosdere um sóldo dafcado em que um elemeo de volume fo fo solado e mage que esse elemeo eve seu amaho real aumeado cosderavelmee como a Fgura 9. se elemeo deve ser grade o sufcee para que seja cosderado homogêeo. Fgura 9 lemeo de volume represeavo (Foe: Masuda, 28, adapado). Cosdere agora que S represea a área da seção do elemeo e que esa seção é defcada pelo veor ormal. Cosdera-se ada que esa seção exsam rcas que caracerzam a exsêca de dao. Tomado S como a área efeva de ressêca, 24

41 ou seja, a área que ão coem rcas ou cavdades, em-se que a área oal dafcada S D é dada por: S D S S (6) Salea-se aqu que a obeção de S D de forma expermeal é um processo basae complexo, pos a geomera das rcas é oalmee descohecda. Por defção cosderaremos que: D S / D S (7) Noa-se que a varável dao D assume valores codos o ervalo D, ode D correspode a um maeral vrgem e D correspode a um maeral em um esado de oal deeroração. Assm, a varável dao é a relação ere a área das rcas e cavdades que coram o plao cuja ormal é e a área oal de maeral ese plao. Cosderado o maeral com dao sorópco, as rcas e cavdades são cosderadas oreadas uformemee em odas as dreções. Nese caso, a varável já ão depede mas da ormal e o dao passa a ser oalmee caracerzado por um escalar D. 2.8 Tesão feva Um coceo basae mporae quado se raa o dao sorópco é o de esão efeva. Chama-se esão efeva a esão calculada sobre a seção do elemeo que efevamee resse às forças que esão sedo aplcadas sobre o maeral em quesão. Para o caso udmesoal a esão é dada por: F σ (8) S ode F é força aplcada sobre a área S. Cosderado agora que o dao sorópco ocorreu, a área efeva em que a força esá sedo aplcada passa a ser dada por: S S SD S( D) (9) Assm a esão efeva passa ser dada por: F F σ σ () S S( D) D Por defção: 25

42 σ σ σ σ Maeral vrgem () σ No momeo da fraura m relação à deformação, assume-se que o maeral somee é afeado pelo dao a forma de esão efeva. Qualquer comporameo da deformação de um maeral dafcado será represeado pela equação cosuva do maeral vrgem a qual a esão usual será subsuída pela esão efeva, seja o modelo uaxal ou mulaxal. Desa forma a equação para um modelo uaxal elásco é dada por: σ σ ε e (2) ( D) 2.9 Créro de upura Defe-se o sae em que a rupura ocorre como sedo o momeo em que o rcameo se propagou de al forma que oda a superfíce do V fo ocupada por rcas como mosra a Fgura, ou seja, quado D. m geral, so em relação drea com os esforços a que a esruura esá sedo submeda. xsem algus maeras em que esa rupura esá assocada a um processo de sabldade que subamee duz à csão dos áomos a área resae (Masuda, 28). Na práca se esá eressado pelo valor lme de dao, ou seja, um valor críco de dao DC, feror ao dao uáro. 26

43 (a) Dsposvo de sao de Fadga (b) upura do Corpo de Prova Fgura sao de Fadga. A rupura fal dos áomos é caracerzada por um valor críco da esão efeva que aua a área ressee. Cosderado a esão máxma σ que o maeral supora aes da rupura, em-se que o caso lme para falha: σ σ σ ( D) (3) Frequeemee, aproxma-se para o lme superor da esão máxma σ a esão úlma do maeral σ ul que é relavamee fácl de ser obda expermealmee. Com esa relação pode-se defr o dao críco DC, cosderado como uma caracerísca maeral, que ocorre quado σ σ. Porao, 27

44 σ σ σ ul ( D ) (4) c ode σ é a esão de rupura. 2. Termodâmca do Dao Oura formulação do dao fo apreseada por Schapery (987a, 99a). Neses rabalhos fo desevolvda uma eora para raar a relação esão-deformação em maeras eláscos em processo de dao. sa eora fo eão esedda para maeras vscoeláscos. A eora de Schapery (987a) é baseada a ermodâmca dos processos rreversíves com VI descrevedo as mudaças esruuras. sa eora fo ulzada para descrever o comporameo de algus maeras com dao crescee (Schapery 987a, 987b, 989). De acordo com Schapery (99a), o comporameo mecâco é calmee represeado pelas relações ere as forças ou esões e deslocameos ou deformações, respecvamee, para maeral hperelásco a forma segue: W σ ε W ε σ dε (5) Na quação (5), W represea a desdade de eerga de deformação, σ represea as esões e ε represea as deformações o maeral. m ermodâmca W ambém pode ser classfcada como eerga lvre de Helmholz. sa mede a quadade de eerga lvre dspoível e que pode ser exraída de um ssema fechado. Pode ser represeada pela segue equação: F U TN (6) Sedo F a eerga lvre de Helmholz, U mede o rabalho oal realzado o maeral e TN mede a eerga dsspada, T represea a emperaura absolua e N mede a eropa. Com N ea-se mesurar a parcela de eerga que ão pode mas ser rasformada em rabalho. Lembra-se aqu que de acordo com a seguda le da ermodâmca a axa de varação da eropa uca pode ser egava de forma que a dsspação da eerga uca dmu em um processo físco. W ambém é fução das varáves eras de esado (VI) S j (j, 2, 3,... J) que servem prcpalmee para cosderar o efeo do dao e ouras mudaças mcro-esruuras. 28

45 Como W é fução ao da deformação como das varáves eras de esado, pode-se cosderar que em qualquer processo fesmal como mudaças da deformação as (VI), em-se: W W dw dε + ds j σ dε f jds ε S j j (7) ode f W (8) j S j é chamada força ermodâmca. Fazedo aaloga ere as quações (6) e (7) podese coclur que: e du σ ε (9) d d ( TN) f ds j j (2) Fazedo uso da eerga lvre de Helmholz, pode-se escrever que: W W + (2) W s ode W represea o rabalho oal feo pelas esões o maeral, W represea a eerga dspoível para ser rasformada em rabalho e W s é o rabalho dsspado por mudaças a mcroesruura do maeral, ou seja, quafca o dao. sse valor, em fução da seguda le da ermodâmca, ão pode dmur. Assm, pode-se escrever que: f j WS quado S& (22) S j ode S & represea a varação do dao o empo. A quação (22) represea eão a le de evolução do dao. Um modelo de dao coíuo, em geral, cosse, ere ouras cosas, a defção de rês compoees mporaes: ) Seleção da varável de dao; 2) Defção da desdade de eerga de deformação; 3) Deermação da le de evolução do dao; A seleção da varável de dao passa pela aálse do problema. O mporae é que seja escolhda uma varável que cosga descrever o esado do maeral para as dversas suações que serão aalsadas. As VI s que serão escolhdas devem er defcação com a forma de dsspação domae, ou seja, devem ser capazes de mesurar a eerga dsspada devdo ao dao, o que, em geral, se raduz em uma redução da rgdez do maeral. 29

46 Maemacamee as VI s podem er ordes varadas, podedo ser escalares, veores ou esores. No eao, qualquer que seja a ordem, as VI s devem se defcar com as mudaças mcroesruuras que represeam. Com base essa cosderação é que se espera um modelo cosuvo capaz de represear a resposa observada do maeral. A defção da fução que descreve a desdade de eerga de deformação esá dreamee lgada à escolha da varável de dao. Por sua vez a le de dao é apoada como a maor dfculdade o raameo do efeo do dao em maeras. 2. Modelos Cosuvos para Pavmeos Asfálcos Város modelos êm sdo proposos para raar de forma coeree a relação esãodeformação em pavmeos asfálcos. Vale ressalar que se eede por pavmeo a esruura mulcamada formada, em geral, por revesmeo, base e sub-base. As quesões as quas esse rabalho se relacoa, em um prmero momeo, dzem respeo somee à modelagem do revesmeo asfálco. re eses modelos podem-se car: elásco lear, vscoelásco lear, vscoelásco ão lear, vscoplásco e vscoelasoplásco. Algumas caraceríscas mporaes que fluecam o comporameo do pavmeo podem ser serdas esses modelos como: efeo da emperaura, do dao e de cargas dâmcas. Deve-se ressalar que a cosderação deses faores aumea a qualdade das resposas do modelo adoado, mas por ouro lado, aumea ambém a complexdade do problema. Apreseam-se a segur algus desses modelos. 2.. Modelo lásco Lear se modelo ada é um dos mas usados para raar a relação esão-deformação em revesmeos asfálcos. Isso se deve bascamee a sua smplcdade e fácl aplcação. se modelo basea-se a dea de que o maeral se deforma medaamee com a aplcação do carregameo e reora ao seu esado orgal quado ese carregameo é removdo. se modelo é goverado, a forma udmesoal, pela Le de Hooke dada pela quação (23): σ ε (23) 3

47 ode σ represea a esão elásca, o módulo de elascdade e ε a deformação elásca. ). O uso do modelo elásco se jusfca porque, para pequeas deformações, grade pare dos maeras segue a Le de Hooke. Coudo, sabe-se que pracamee odos os maeras apreseam comporameo depedee do empo e da axa de carregameo. Para algus maeras essa depedêca o empo mafesa-se uma escala de empo muo loga, como o cocreo e a madera, equao que em ouros a mafesação desse comporameo é mas rápda, como é o caso dos polímeros à emperaura ambee. A aálse elásca ão é abragee o sufcee para caracerzar o efeo do empo o comporameo do maeral o que cofgura uma desvaagem do modelo, pos pode resular em uma resposa muo dferee do que a realdade ocorre o revesmeo asfálco. Além do mas, a aálse elásca ão perme a percepção de deformação permaee uma vez que se fudamea a dea de que cessado o carregameo o maeral vola ao seu esado cal, ou seja, esado deformado. Um dos prmeros rabalhos esse modelo fo proposo por Boussesq (885). se ea caracerzar o comporameo de pavmeos flexíves cosderado o pavmeo como uma esruura homogêea sem-fa. sa esruura, eorcamee, em uma profuddade fa, mas com o opo cohecdo e recebedo as cargas do ráfego. A eora de Boussesq fo baseada em uma carga cocerada aplcada em um espaço sem-fo elásco. sa eora pode ser usada para deermar as esões e deformações o subleo se o módulo do mesmo for muo próxmo do módulo do revesmeo. Sabe-se que a verdade, o pavmeo asfálco é um ssema de camadas. De forma que a eora de Boussesq em sempre pode ser aplcada, vso que esa raa de um sem-espaço fo elásco e ão apresea seu desevolvmeo com base em váras camadas. Assm, Burmser (943) desevolveu uma solução dervada da solução de Boussesq para um ssema de duas camadas e depos geeralzou para um ssema de rês camadas (Burmser, 945) como mosrado a Fgura. As cosderações báscas a serem sasfeas essa eora são: - Cada camada é dada como homogêea, sorópca e elásca lear com módulo de elascdade e coefcee de Posso v; 2- O peso própro do maeral é desprezado; 3

48 3- Cada camada em uma espessura fa h, exceo a camada mas abaxo que represea o subleo; 4- Uma carga q é aplcada de forma crcular com área de rao a; Fgura squema de pavmeo para dversas camadas (Huag, 24, adapado) Huag (24) apresea város ábacos que seguem ao a eora de Boussesq como a de Burmser para o cálculo de esões vercas e deflexão. Os programas apreseados o em 2.2 são baseados a eora das camadas eláscas, que é uma exesão da eora de Burmser Modelo vscoelásco lear O lgae asfálco é um maeral que apresea comporameo mecâco cohecdo como depedee do empo e o esudo de sua preseça a camada de revesmeo asfálco é fudameal o eedmeo dos feômeos que uma mesma solcação provoca ao ser aplcada em dferees momeos da vda úl do pavmeo (Soares e Souza, 22). Com o uo de caracerzar correamee as msuras asfálcas, é ecessára a obeção de parâmeros compaíves com os efeos vscoeláscos, permdo o esudo e a aálse de esões (σ) e deformações (ε) (Huag, 24; vagelsa Jr. e al., 26). Pracamee odos os maeras, cosderado uma escala de empo sufceemee loga, êm um comporameo caracerzado pela depedêca o empo do módulo de Youg. m algus maeras essa depedêca o empo do módulo mafesa-se uma 32

49 escala de empo muo loga (séculos) equao que em ouros maeras a mafesação desse comporameo é muo mas rápda (segudos). É muo comum a egehara, prcpalmee os procedmeos de dmesoameo de esruuras, cosderar-se apeas o comporameo elásco lear dos maeras. Coudo, maeras asfálcos esão o grupo dos maeras que o comporameo depedee do empo pode ser faclmee observado, pos eses maeras fluem com uma maor facldade, especalmee a alas emperauras, edo como uma das prcpas cosequêcas deformações permaees que podem ser observadas a camada de superfíce de pavmeos. A dea de que maeras vscoeláscos podem ser erpreados como uma combação do comporameo de maeras eláscos e vscosos é muo dfudda, aé porque quado submedos a carregameos rápdos, os maeras vscoeláscos exbem comporameo semelhae aos sóldos eláscos e quado submedos a carregameos a uma axa lea, apreseam deformações com o passar do empo, assemelhado-se ao comporameo dos fludos. Sóldos eláscos e fludos vscosos, o eao, dferem amplamee em seus respecvos comporameos mecâcos. Os maeras eláscos deformados reoram ao seu esado orgal quado removdo o carregameo. Por ouro lado, fludos vscosos, ão edem o curo prazo, a volar para o esado deformado quado rerado o carregameo. Vso que os maeras vscoeláscos apreseam comporameo ão só depedee do empo, mas ambém da axa de carregameo, suas resposas ão depedem somee do carregameo aplcado em um sae específco, mas sm de odo o hsórco de carregameo (Chrsese, 982). O modelo vscoelásco lear em sdo basae ulzado a caracerzação de msuras asfálcas (Huag, 24) devdo à boa correlação obda ere a eora e os esaos de laboraóro (Soares e Souza, 22). No caso de carregameo uaxal, para um modelo egral, a relação cosuva esão (σ) deformação (ε) para um maeral vscoelásco lear é forecda pela segue egral de covolução: 33

50 ε σ ( ) ( τ ) dτ (24) τ ode é o empo coado a parr de um deermado referecal, é o módulo de relaxação e τ é o empo coado a parr do íco da aplcação da carga. Normalmee o módulo de relaxação é represeado por uma sére de Proy, dada por: ode, / ρ ( ) + e p (25), ρ são os coefcees e p é o úmero de ermos da sére de Proy. A represeação do módulo de elascdade por uma sére de Proy é movada prcpalmee por permr a solução ao do modelo de Maxwell como do modelo de Kelv Vog aalcamee, e ada devdo a uma propredade chamada a leraura de sem-grupo (Smo e Hughes, 998), que ada mas é do que a propredade da soma de expoee de produo de mesma base. Maemacamee, emos: f ( a + b) f ( a) f ( b) (26) sa propredade perme mplemear a egral de covolução de forma cremeal a qual a resposa em um dado sae de empo depede apeas do sae aeror e ão mas de oda a hsóra do carregameo. se faor dmu o esforço compuacoal, reduz a quadade de memóra ecessára e facla a mplemeação do algormo de egração o empo. De acordo com Schapery (982), para que o comporameo de um maeral, elásco ou vscoso, seja cosderado como lear, duas codções devem ser sasfeas, ou dos prcípos: homogeedade dada pela quação (27) e superposção represeada pela quação (28), sedo ese úlmo cohecdo como Prcípo da Superposção de Bolzma. Caso esas codções ão sejam sasfeas o maeral é chamado ão lear. [ cσ ( ) ] cε [ σ ( ) ] [ σ ) + σ ( )] ε[ σ ( )] + ε[ σ ( )] ε (27) ( ε (28) ode c é uma cosae qualquer, σ e σ 2 são esões aplcadas ao maeral e e 2 represeam os saes em que esas esões foram aplcadas. Uma grade vaagem desse modelo é a cosderação do empo de carregameo, pos ele respode ao à aplcação de cargas com alas freqüêcas quao à aplcação de cargas com baxas freqüêcas. Deve-se lembrar que a aplcação de uma mesma carga em ervalos de empos desguas, ou seja, com duração dferee, orga valores 34

51 dsos de esões e deformações. Por ouro lado esse modelo ão é capaz de represear deformações permaees, pos ão cosdera aspecos da plascdade Modelo Vscoelásco Cosderado Dao ede-se por dao qualquer aleração ão reversível que possa ocorrer a esruura do pavmeo. m geral, em pavmeação asfálca, dao esá lgado a rcas a esruura. A Fgura 2 mosra um processo de dao aravés de omografa compuadorzada de um corpo de prova sedo esaado aé a rupura. As mages mosram o corpo sem deformação, com deformação de 2%, 4% e falmee 8%. Como se pode perceber, o processo de dafcação aumea à medda que as deformações o maeral vão aumeado. Isso mosra a mporâca da cosderação do efeo de dao os modelos que eam represear o comporameo mecâco dos maeras. Fgura 2 Processo de dao aravés de omografa compuadorzada (Darab, 2). 35

52 Desde a década de 6, modelos cosuvos que raam o dao êm sdo desevolvdos. Farrs (97) apresea um dos esudos poeros usado Mecâca do Dao Coíuo em maeras vscoeláscos. Vrassaos e Farrs (993) propuseram relações cosuvas cosderado o efeo do dao ao para problemas que evolvem deformação de ração como de compressão. Muas formulações êm sdo apreseadas ao logo das úlmas décadas, as como: Smo (987), Schapery (98, 99), Park e al. (996), Abdel-Tawab e Wesma (998), Ha e Shapery (998), Mu e Km (25), sedo esas baseadas a ermodâmca dos processos rreversíves. O modelo apreseado por Schapery (98, 99) fo calmee desevolvdo para um meo elásco e só poserormee eseddo para um meo vscoelásco. se modelo fo baseado a ermodâmca dos processos rreversíves com a descrção do dao fea pela VI. Abdel-Tawab e Wesma (998) desevolveram um modelo vscoelásco com dao baseado em um esor de quara ordem fazedo uso do coceo de esão efeva. Algumas verfcações expermeas foram feas para maeras compósos udmesoas. xse oura lha de raameo do dao que faz uso dos chamados Modelos de Zoa Coesva. Segudo Souza (25) ese modelo pode ser defdo como a subsução maemáca da zoa dafcada exsee as proxmdades da poa da rca (ou zoa de processameo da rca) por uma superfíce mecacamee equvalee submeda à ação de forças de superfíce. re os prcpas rabalhos cam-se: Barebla (962), Needlema (987) e Tvergaard (99), Alle e al (997), Kauss (974) e Schapery (975a, 975b, 975c). Uma das grades vaages da Mecâca do Dao Coíuo é o fao de se gorar algumas erações físcas complcadas que ocorrem a ível molecular e caracerzar o maeral usado observações de macro-escala. Park e al. (996) desevolveram um modelo baseado o Prcípo da Correspodêca lásca-vscoelásca que descreve a depedêca do empo e da emperaura que o comporameo do maeral apresea bem como a mudaça mcroesruural que ocorre devdo à evolução do dao. O modelo proposo por Park e al. (996) raa o dao em msuras asfálcas. se modelo é baseado em rês coceos: I) O Prcípo da Correspodêca lásca-vscoelásca baseado a pseudodeformação para modelar o comporameo vscoelásco do maeral; 36

53 global; II) O dao coíuo para modelar os efeos de mcrorcas o comporameo III) O Prcípo da Superposção Tempo-emperaura para cosderar os efeos combados do empo e da emperaura. se modelo pare das segues equações para represeação do comporameo vscoelásco com dao: ξ ε ε ( ξ τ ) dτ (29) τ * ( S ) ε σ C (3) ode ε é a pseudodeformação; σ é a esão; C é pseudorgdez; é um módulo de referêca e falmee S é um parâmero de dao. Km (997) relaa que a grade vaagem de usar pseudovaráves é que a depedêca do empo arbuída ao modelo vscoelásco é raada apeas pela egral de covolução. Desa forma, qualquer redução a pseudorgdez será arbuída somee ao dao. O coefcee C pode ser eeddo como o efeo do dao, varado de (maeral com falha complea) a (maeral vrgem). Deve-se er em mee que ese modelo ão é capaz de caracerzar o cocreo asfálco a preseça de deformações pláscas. Assm, uma vez que o comporameo vscoplásco se ora sgfcavo ouro modelo se ora ecessáro Modelos Vscopláscos Nos modelos vscopláscos, como o própro ome dca, a cosderação dos efeos da vscosdade do maeral e do empo são parâmeros fudameas para uma modelagem mas realsa do comporameo mecâco desses maeras. Sabe-se ada que a deformação permaee em pavmeos asfálcos ocorre predomaemee devdo a alas emperauras e ao ráfego pesado. Assm, ouro faor mporae a ser cosderado em qualquer aálse mecâca que quera modelar a deformação permaee é a emperaura. As eoras sobre plascdade foram calmee desevolvdas para meas. egras e lmes para a relação da esão e deformação dos meas êm sdo esabelecdos mosrado boa cocordâca com a realdade (Tashma e al., 24). m ermos de comporameo vscoplásco dos maeras asfálcos a eora de Perzya (97) em sdo basae aplcada por dversos pesqusadores para modelar a deformação permaee em msuras asfálcas. Como exemplo de algus esudosos que usaram a eora de Perzya (97) para modelar a resposa mecâca de msuras 37

54 asfálcas podem-se se car Lu e Wrgh (998) e Masad e al. (25). Saadeh e al. (27), Huag (28) e Abu Al-ub e al. (29) fzeram esudos mas avaçados como, por exemplo, uma acoplagem de modelos vscopláscos de Perzya e vscoelásco ão-lear de Schapery (984, 987) para uma modelagem mas realsa do comporameo de maeras asfálcos em alas emperauras. Schapery (999) juamee com Uza (996) esabeleceram um modelo que descreve a deformação vscoplásca (ε vp ) como sedo: p+ p+ ξ p + q ε vp σ dξ Y (3) ode Y, q e p são coefcees que podem ser obdos a parr de esaos mooôcos, e ξ represea o empo reduzdo. É váldo ressalar que eses esaos são feos em váras emperauras, sedo em seguda realzada uma correspodêca para uma emperaura escolhda como padrão. Como já mecoado, a vaagem desse modelo é a possbldade de represear as deformações permaees. Como esas esão assocadas a alas emperauras esse modelo sera mas recomedado para avalar o comporameo de pavmeos em lugares mas quees. Por ouro lado, deve-se lembrar que ese modelo ão cosdera uma parcela elásca. Porao, sera capaz de represear cargas de ala velocdade de aplcação, pos, sabe-se que eses casos apeas a pare elásca se mafesa. 38

55 CAPÍTULO 3 FITO DA TMPATUA M PAVIMNTOS ASFÁLTICOS A grade maora das rodovas brasleras é formada por pavmeos flexíves. se po de pavmeo apresea uma camada superfcal de msura asfálca, o que ora seu comporameo depedee do empo e da axa de carregameo. Sabe-se que ese comporameo pode ser bem represeado por modelos vscoeláscos (Huag, 24). Como exposo aerormee, a leraura mosra que a emperaura é ouro faor que em grade fluêca a resposa vscoelásca (lsef e al, 26; Lu e Wrgh, 2). Coudo, quafcar a fluêca dese efeo sobre as propredades dos revesmeos asfálcos é uma arefa complexa. Na especfcação e classfcação dos lgaes asfálcos brasleros (Fgura 3) a emperaura é cosderada fxa. Há algus esaos que devem ser execuados sempre a uma dada emperaura. Como por exemplo, pode-se car a classfcação baseada o esao de peeração que é realzado a 25 C como uma agulha de massa padrozada de g (NB 6576/98, 998). Fgura 3 specfcação braslera de lgaes asfálcos de 25. (Foe: Beucc e al., 27). 39

56 Deve-se lembrar de que esa especfcação de caracerzação de lgaes sempre fo basae crcada pelo fao de dar pouca mporâca aos efeos da emperaura. Já a meodologa Superpave, uma grade melhora fea a caracerzação de lgaes, apoado pela maora dos esudosos, fo a caracerzação dos lgaes asfálcos com base o PG (performace grade), em poruguês grau de desempeho desevolvda pela SHP. se leva em coa os valores máxmos e mímos de emperaura aos quas o revesmeo será submedo. Cosderado a omeclaura PG xx yy, xx represeara a méda das emperauras máxmas dos 7 das mas quees cosecuvos do ao e yy represeara a emperaura míma do pavmeo. O grade dferecal da meodologa Superpave para caracerzação de lgaes é, porao, fxar o parâmero de esudo, por exemplo, a vscosdade, e fazer varar a emperaura, observado-se assm para qual ervalo de emperaura o parâmero ada correspode ao valor desejado de projeo. A Fgura 4 mosra como se dá o uso de lgaes asfálcos classfcados segudo a especfcação Superpave as cco regões brasleras. Fgura 4 Mapa do Brasl com respecvos lgaes dcados. (Foe: Beucc e al., 26). 4

57 m msuras asfálcas e ouros maeras deomados ermo-reologcamee smples, a relação empo/emperaura pode ser descra por modelos smplfcados (oylace, 2), o que facla ao sua caracerzação em laboraóro quao a sua aálse esruural pelo MF, como será mosrado ese rabalho. m geral as formulações para raameo da relação esão deformação são muo complexas e ão ulzam os dados comumee obdos a parr do esao de msuras asfálcas. Assm, ese rabalho apresea uma meodologa para aálse ermo-mecâca de pavmeos asfálcos ulzado um modelo vscoelásco para maeras ermoreologcamee smples. Nese sedo, é mporae oar que apesar da fluêca cohecda da emperaura sobre o comporameo mecâco de msuras asfálcas, fao ese usado ormalmee os esaos para caracerzação da resposa vscoelásca desas msuras, o úmero de rabalhos, o Brasl, sobre aálse vscoelásca de pavmeos asfálcos ode esa varação é cosderada é ada pequeo. 3. Comporameo de Maeras Beumosos As msuras asfálcas, quado submedas a emperauras ão muo baxas, podem er seu comporameo represeado de maera sasfaóra pela eora da vscoelascdade (Huag, 24). Quado esas msuras se apreseam a fase vscoelásca lear, o Prcípo da Superposção Tempo-Temperaura (Shames e Cozzarell,997; Lakes, 998; oylace, 2) é aplcável e o maeral pode ser cosderado ermo-reologcamee smples. Iso mplca que os mesmos valores para propredades dos maeras podem ser obdos ao a baxas frequêcas e baxas emperauras (logos empos de carregameo), quao a alas frequêcas e alas emperauras (pequeos empos de carregameo). O Prcípo da Superposção Tempo-Temperaura dz que o comporameo esãodeformação em uma dada emperaura para uma deermada axa de deformação será dêco ao comporameo em oura emperaura para uma axa de deformação dferee. sa ova axa de deformação é obda por smplesmee escalar o empo ulzado uma fução da emperaura que usualmee é cohecda como faor deslocameo empo-emperaura. Assm, para ese po smples de maeral a mudaça de emperaura va resular em um ovo valor de deslocameo a resposa vscoelásca sem que ocorra modfcação 4

58 a forma da curva mesra. Com sso, um faor de deslocameo empo-emperaura (shf facor) a (T) pode ser defdo como o deslocameo horzoal que deve ser aplcado à curva mesra de uma dada resposa, medda a uma emperaura arbrára, T, com o objevo de movê-la para uma curva medda em uma dada emperaura de referêca, T ref (oylace, 2). se deslocameo é mosrado esquemacamee a Fgura 5. Fgura 5: Faor de deslocameo empo-emperaura. O faor de deslocameo pode ser deermado de rês maeras dferees: quação de Arrheus, quação de Wllas-Ladel-Ferry (WLF) ou ada aravés de resulados expermeas. De acordo com Cheug (995), caso a dfereça ere a emperaura a ser deslocada e a emperaura de referêca (T-T ref ) seja meor ou gual a 2 C a equação de Arrheus forece um melhor ajuse dos resulados. Por ouro lado, quado (T-T ref ) é maor que 2 C a equação WLF é mas dcada. 3.. quação de Arrheus A equação de Arrheus é, comumee, o méodo mas ulzado para deermação do faor de deslocameo de msuras asfálcas, sedo represeada pela equação: a log a C.. T Tref 2,33. T T (32) ref ode C é a cosae do maeral (K), a é a eerga de avação (J/mol), é a cosae dos gases deas (8,34J/ mol.k), T é a emperaura expermeal (K), T ref é a emperaura de referêca (K) e o valor 2,33 correspode ao logarmo aural do úmero. Uma curva ípca do faor de deslocameos é mosrada a Fgura 6 edo sdo obda a parr de esaos. 42

59 4. Shf Facor Temperaura de eferêca: 24º C log[a(t)] Temperaura (ºC) Fgura 6 Faor de deslocameo empo-emperaura para Tref 24 ºC quação de Arrheus Na leraura, valores dsos para a eerga de avação para dferees lgaes asfálcos podem ser ecorados. ses valores podem varar de 44 kj/mol a 25 kj/mol, o que faz com que os valores de C ambém varem para cada po de msura asfálca. Meda e Huurma (23) cam dferees valores para esa cosae C, como.92 K, 3.6 K e 7.68 K quação de Wllas-Lade-Ferry (WLF) A equação de WLF é oura formulação basae ulzada para o cálculo do faor de deslocameo de maeras vscoeláscos, devedo ser usada para emperauras próxmas ou superores à emperaura vírea (T g ) do maeral, ou seja, próxmo a emperaura de rasção de fase, ode o maeral se ora mas vscoso. Nesa formulação o faor de deslocameo é dado por: loga C ( T T C + ( T T 2 ode C e C 2 são cosaes que depedem das propredades de cada maeral e da emperaura de referêca T ref. De acordo com Davd e al. (2), para uma grade quadade de maeras, quado T ref é gual a T g, valores uversas para C e C 2 podem ser assumdos (oylace, 2). Neses casos, o faor de deslocameo passa a ser dado pela expressão a segur: ref ref ) ) (33) 43

60 log a 7,4( T Tg ) 5,6 + ( T T ) g (34) 3..3 Faor de deslocameo por resulados expermeas A parr desa meodologa, os dados expermeas para a rgdez são posos versus o logarmo da frequêca, como pode ser vso a Fgura 7, ou pelo logarmo do empo de carregameo. Depos de escolhda a emperaura de referêca, os dados das ouras emperauras são deslocados horzoalmee aé que se ajusem a curva da emperaura de referêca como pode ser vso a Fgura 8. Os deslocameos podem ser obdos por exrapolação ou por erpolação dos dados orgas. G* versus frequêca Log G* Log f 52 C 46 C 4 C 24 C 6 C Fgura 7 - Módulo csalhae dâmco (G*) x freqüêca de osclação (f) - dados expermeas. 44

61 G* versus frequêca Log G* T ref. 24ºC Curva de egressão: Polômo de ercero grau y -,35x 3 -,29x 2 +,548x + 6,635 ode: y log G* x log f fc 2,999 Polômo (T ref. 24ºC) Log f fc Fgura 8 - Curva mesra do módulo dâmco G* a 24 ºC. Méodo de Arrheus. 3.2 Aálse Vscoelásca Lear Como já fo mecoado aerormee, maeras vscoeláscos sujeos a baxas emperauras apreseam uma redução da parcela vscosa e dmução do âgulo de fase, aumeado sua rgdez. Por ouro lado, o aumeo da emperaura gera uma redução a rgdez da msura, cujo efeo é smlar à aplcação do carregameo durae um empo maor. O uso do Prcípo da Superposção de Bolzma (Shames e Cozzarell, 997; Lakes, 998; oylace, 2) perme escrever a relação esão-deformação para um maeral vscoelásco lear qualquer de acordo com a quação (24). Cosderado o efeo da emperaura essa mesma egral passa a ser dada a forma de uma egral de covolução (egral heredára) a segue forma: σ ε ( dτ τ ( ) ξ ξ ' ) sedo o módulo de relaxação, o empo coado a parr de um referecal qualquer, τ o empo coado a parr do íco da aplcação da carga e ξ o empo reduzdo dado por: ξ ode α (T) é o faor de deslocameo empo-emperaura. É mporae lembrar que a emperaura esá sedo cosderado cosae durae a aálse. a ( T ) (35) (36) 45

62 O módulo de relaxação, em geral, é represeado aravés de uma sére de Proy. Normalmee, essas séres são obdas a parr da regressão de dados de complâca ou relaxação, que são obdos expermealmee os esaos de creep ou relaxação, respecvamee. Assm, o módulo de relaxação será represeado de acordo com a quação (25). A prcpal movação da represeação do módulo de relaxação por uma sére de Proy esá a boa cocordâca que há ere o modelo geeralzado de Maxwell e esa sére. É mporae oar que o uso da sére de Proy leva a uma mplemeação efcee do cálculo da egral de covolução da quação (24) aravés de um algormo cremeal: + + ξ ξ + ξ + (37) ode σ σ + σ + ξ é o cremeo de empo reduzdo ere dos passos. Ulzado as quações (24), (25) e (37) pode-se escrever: + ε ε σ σ + σ ( ξ+ ξ ) d ( ξ ξ ) d (38) Com o objevo de smplfcar a quação (38) a prmera egral será dvdda em duas egras para dos ervalos de empo. Assm: + ε ε ε σ ( ξ + ξ ) d + ( ξ + ξ ) d ( ξ ξ ) d (39) Cosderado que a deformação em uma varação lear o ervalo de empo ere e + a deformação pode ser aproxmada por: ε ε (4) Fazedo uso dessa aproxmação e juado as egras de mesmo ervalo, a quação (39) será smplfcada para: ode: + ε ε σ d + ( ξ ξ ) d (4) + ( ξ + ξ ) ( ξ ξ ) (42) epreseado o módulo de relaxação pela quação (25), a seguda egral da quação (4) pode ser resolvda aalcamee. Assm: 46

63 p ( ξ ) ξ ε ρ + a + e d ε Porao, o cremeo de esões pode ser escro como: ( T ) + + p ρ e ξ ρ (43) σ ε + ˆ σ (44) ode: e a + p ( T ) ξ ρ ρ e (45) ermo ε ˆ σ d (46) As duas pares da quação (44) êm sgfcados dferees. Fscamee, o ε represea somee a pare elásca do cremeo de esão para uma dada emperaura, equao que a seguda pare da mesma equação represea a pare vscosa do cremeo de esão ambém para uma dada emperaura. Desa forma o parâmero represea o módulo agee para um dado maeral. É mporae oar que ese parâmero ão depede somee do módulo de relaxação, mas ambém do cremeo de empo usado a egração umérca e do faor de deslocameo empo-emperaura (shf facor). Maemacamee, o prmero ermo represea o cremeo de esão devdo ao cremeo de deformação ( ε ) ere e +, equao o segudo ermo ( σˆ ) represea o cremeo de esão devdo ao empo decorrdo desde a aplcação do carregameo aé o empo corree. É mporae oar que odos os ermos depedem do faor deslocameo empo-emperaura sedo ese o faor que cosdera o efeo da emperaura a aálse do comporameo mecâco do pavmeo asfálco. Usado a quação (42) pode-se escrever a quação (46) como: ( ξ ξ ) ρ p ξ ε d e ρ e ε ˆ σ d (47) sa expressão pode ser smplfcada rerado os ermos cosaes de dero da egral. Assm, em-se: ( ξ ξ ) ρ p ξ p ξ ˆ ρ e ε ρ σ e d ˆ σ ( e ) H (48) ode o ermo H pode ser escro como: 47

64 A varável auxlar H ξ ξ ρ ε e d + e ξ ξ ρ ε d H coém a pare heredára da egral. É ecessáro observar que a seguda pare da egral da quação (49) o ervalo de empo é pequeo, de forma que é possível ulzar a quação (4) ovamee para (49) fazermos a seguda aproxmação do algormo. Falmee, o parâmero compuado aravés da expressão recursva: H é H ξ ξ ρ + ( ) ρ e H ρa T e ε Verfca-se pela quação (5) que a esão para um deermado sae depede apeas do sae aeror e ão mas de odo o hsórco de esões, garado uma maor efcêca compuacoal. Nesa expressão o efeo da emperaura esá sedo cosderado ao pelo cremeo de empo reduzdo (5) ξ como pelo faor deslocameo empo-emperaura a ( T ). ses dos parâmeros erão valores cosaes vso que esamos cosderado emperaura cosae. No caso de pavmeos asfálcos é ecessáro cosderar um esado muldmesoal de esões. As esões em um maeral ermo-reologcamee smples podem ser calculadas a parr da egral heredára: ' ε σ ( ) C( ξ ξ ) dτ (5) τ ode a marz C depede das propredades do maeral e do modelo de aálse escolhdo (e.g. sado Plao de Tesões e Sóldo 3D). A dsrbução aleaóra dos agregados de uma msura asfálca pode ser modelada sedo cosderada como homogêea e sorópca. Nese caso, a marz de relaxação pode ser escra como: C ( ) ( ) A( v) (52) sedo que a forma da marz A(ν) depede do modelo de aálse escolhdo. Por exemplo, para aálse de sóldos axssmércos a marz é dada por: ν ν ν A ν ν ν ( ν )( 2ν ) ν ν ν (53) ( 2ν ) 2 48

65 Ouros modelos da marz podem ser ecorados a leraura (Bahe, 996). m geral, o coefcee de Posso de maeras vscoeláscos é cosderado cosae (She, 995). Cosderado o módulo de relaxação dado pela quação (25), a quação (5) passa a ser escra como: ε σ ( ) A( v) ( ξ ξ ' ) dτ (54) τ Sedo assm, para problemas 2D e 3D, a quação (44) passa a ser dada por: σ C ε + σˆ C A( v) (55) Cosequeemee a quação (5) será dada por: H e ξ ρ H ξ ρ ( T )( e ) A( v) ε& + ρ α (56) É fácl observar que se coua com uma expressão recursva. Coudo, para cada sae em que a esão for calculada, será ecessáro armazear um veor e ão mas um úmero, como era o caso D, o que obvamee elevará o cuso compuacoal do problema. 3.3 Aálse por lemeos Fos O Méodo dos lemeos Fos (Bahe, 996; Cook e al, 22; Zekewcz e Taylor, 25) é um méodo umérco o qual o domío do problema é dvdo em pequeas regões de geomera smples, como râgulos e quadrláeros, deomadas de elemeos fos. No eror de cada elemeo fo o campo de deslocameos é aproxmado por fuções smples, em geral polômos de baxa ordem erpolados a parr dos deslocameos odas (u). Desa forma a compabldade fca garada vso que os deslocameos o eror dos elemeos são defdos por fuções coíuas e as froeras de dos elemeos são defdos de forma úca. As deformações o eror dos elemeos são calculadas a parr dos deslocameos odas ulzado relações cemácas apropradas a cada po de problema. sas relações podem ser escras a forma marcal como: 49

66 ε Bu (57) ode B é a marz deformação-deslocameo. sa marz é depedee dos deslocameos odas para problemas geomercamee leares (pequeas deformações e deslocameos). De posse das deformações, as esões podem ser calculadas ulzado a relação cosuva do maeral que, para o caso de maeras vscoeláscos, deve cosderar a depedêca do empo. Assm: σ σε (, ) (58) Fazedo uso do Prcpo dos Trabalhos Vruas (PTV) e cosderado pequeas deformações, como é usual em aálse de pavmeos, o veor de forças eras de um elemeo fo (g) pode ser calculado a parr de: εσ dv g V δw δu g δ Bσ dv (59) ode δu é o campo de deslocameos vruas e δ ε Bδu são as deformações vruas o eror do elemeo fo. O veor das forças eras globas é calculado aravés da soma das corbuções dos elemeos (Bahe, 996). Vale ressalar que esa expressão depede do comporameo do maeral (lear ou ão-lear) uma vez que a sua dedução ehuma hpóese fo adoada sobre a relação cosuva do maeral. A codção de equlíbro é represeada pela gualdade ere forças exeras (f) e eras (g). Assm, o sae + em-se: ( + ) f ( + ) Bσ + dv f+ V V g (6) De acordo com as quações (37) e (55) as esões podem ser escras como: σ σ + σ σ + C ε + σ (6) ˆ + + Por ouro lado, para os deslocameos em-se que u u + u (62) + Sedo assm, as esões serão falmee dadas por: σ σ + C B u + σ (63) ˆ + + A parr da quação (6) chega-se a expressão da marz de rgdez: K u f g (64) + ˆ + ode a marz de rgdes K é dada por: K B CB dv V (65) Como o modelo é vscoelásco lear, o algormo é puramee cremeal ão havedo a ecessdade de erações. Assm como a egração das esões dscudas 5

67 o em aeror, as varáves ulzadas pelo algormo de aálse global ambém só depedem dos valores do passo aeror. Oura caracerísca mporae do algormo apreseada é que a marz de rgdez K permaece cosae equao o cremeo de empo reduzdo ξ for cosae, o que é muo coveee o caso de problemas soérmcos, pos o faor de deslocameo α (T ) permaece cosae durae a aálse. Iso aumea a efcêca do procedmeo, uma vez que a faoração desa marz (Bahe, 996), eapa mas cara da solução do ssema lear descro pela quação (64), só precsa ser realzada quado houver uma mudaça do cremeo ξ. Na práca, a egração da marz K e do veor ĝ é realzada aravés da quadraura de Gauss. Porao, o cálculo das esões σ e da marz C é realzado em cada poo de egração da malha de elemeos fos. Uma vez que cada poo de egração possu uma hsóra de deformação dferee, eses precsam armazear varáves eras como as esões σ e os veores passo de egração. H, que são aualzadas após cada Falmee, a esão pode ser calculada em qualquer sae por uma expressão recursva. sa formulação fo mplemeada o programa CAP3D (Holada e al., 26) que realza aálses 2D e 3D de pavmeos asfálcos a parr do MF. 5

68 CAPÍTULO 4 MODLAGM DO DANO M MATIAIS VISCOLÁSTICOS Segudo Lemare e al. (99) o dao, do poo de vsa físco, é um processo pelo qual os maeras êm sua ressêca reduzda. Lemare e al. (99) ada colocam que o feômeo de dao represea descoudades a superfíce dos maeras em forma de mcrorcas e descoudades o volume a forma de cavdades, o que esá relacoado dreamee à redução a ressêca do maeral. De forma geral, podemos defr dao como qualquer aleração rreversível que ocorra o maeral. O dao se mafesa em íves mcroscópcos, ode ormalmee as lgações ere os áomos são rompdas. Vale ressalar que os modelos cosuvos usados a aálse de esruuras são formulados a íves macroscópcos, de forma que a relação ere a mcroescala e a macroescala é fea com base a defção de varáves das eras. Também é mporae dexar claro que a mplemeação apreseada aqu é fea oda udmesoal. 4. Problema lásco de eferêca e quações Cosuvas Vscoeláscas As equações (3) e (4) foram desevolvdas pesado-se prcpalmee em um meo elásco. As equações usadas aqu são baseadas o segue poecal: W σ ε ε x (66) ( ε ) Para um maeral elásco, W é dado como a desdade de eerga de deformação e o superscro sgfca que as esões e deslocameos esão sedo aalsados para um problema elásco de referêca. m um corpo vscoelásco, as esões σ e os deslocameos u ão são ecessaramee quadades com um sgfcado físco, por sso são deomadas pseudoesões e pseudodeslocameos (Schapery, 984). ses valores são relacoados com deslocameos u(x,) e esões σ(x,) o corpo vscoelásco pela segue equação heredára: 52

69 53 τ τ τ d u u ) ( (67) Nesa equação u(x,) é o deslocameo físco o sóldo vscoelásco em ermos da varável de egração, τ e x são as coordeadas o corpo deformado e é uma cosae lvre chamada de módulo de referêca, em geral omada com valor uáro. A movação para escrever as equações cosuvas em ermos de pseudodeslocameo e pseudoesão se dá pelo fao desa eora aproxmar bem o comporameo cosuvo de város maeras e levar a equações relavamee smples como será mosrado mas adae. m ermos de pseudodeformação, a quação (67) é escra da segue forma: τ τ ε τ ε d ) ( (68) É eressae oar ada que a equação da pseudodeformação apresea uma dea smlar ao coceo de esão méda em relação ao módulo de referêca, ou seja, a soma das esões vscoeláscas ao logo do empo dvdda pelo módulo de referêca. Para a solução das pseudodeformações cosdera-se que as pseudoesões são cohecdas o empo e busca-se aqu deermar o cremeo de pseudodeformação ( ε ) defdo a parr da expressão: ε ε ε + (69) Aplcado-se a quação (68) em cada ervalo de empo do cremeo cosderado, em-se que ) ( d ε ε e d ) ( ε ε (7) O cremeo de pseudodeformação pode ser obdo subsudo as pseudodeformações acma a quação (69), levado a: d d ) ( ) ( ε ε ε ε ε (7) A fm de smplfcar esas expressões é eressae dvdr a prmera egral em dos ervalos de egração: d d d ) ( ) ( ) ( ε ε ε ε (72) Agora, podem-se agrupar as egras de mesmo ervalo de egração obedo-se:

70 54 [ ] ( ) ) ( ) ( d d ε ε ε (73) Noa-se que a seguda parcela da egral a quação (73) esá delmada por um ervalo bem pequeo. Assm, pode-se fazer a segue aproxmação: ε ε (74) sa aproxmação correspode a uma varação lear da deformação o ervalo de empo cosderado. Fazedo a defção ) ( ) ( + (75) obem-se a egral: ( ) d d ε ε ε (76) Como o módulo de relaxação é represeado pela sére de Proy dada a quação (25), a varação pode ser escra como: p p e e ) ( ) ( ) ( ) ( ρ ρ (77) Usado as propredades da fução expoecal, esa expressão pode ser smplfcada para: ) ( p e e ρ ρ (78) Logo, a prmera egral da quação (76) pode ser escra como: d e e d p ε ε ε ρ ρ ) ( ˆ ) ( (79) sa expressão pode ser smplfcada rerado os ermos cosaes da egral: p p H e d e e ) ( ˆ ) ( ˆ ρ ρ ρ ε ε ε (8) ode d e H ε ρ (8) A varável auxlar H coém a pare heredára da egral, uma vez que ela depede de oda a deformação ocorrda ere e. A equação acma pode ser reescra dvddo o ervalo de egração, o que leva à expressão:

71 55 + d e d e H ε ε ρ ρ (82) Pode-se perceber que a seguda parcela da quação (82) pode ser obda de maera aproxmada ulzado a quação (74), pos o ervalo de egração é pequeo. Porao: ) ( ) ( e e d e ε ρ ε ρ ε ρ ρ ρ & (83) ode ε& represea a axa de deformação o passo aeror. Quao à prmera parcela da quação (82), a ulzação das propredades da fução expoecal perme escrevêla como: d e e d e d e ε ε ε ρ ρ ρ ρ (84) erado do egrado os ermos cosaes e comparado a egral remaescee com a quação (8), verfca-se que: H e d e e d e ρ ρ ρ ρ ε ε (85) Falmee, ulzado as quações (82), (83) e (85) verfca-se que a quação (8) pode ser escra como: ) ( + e H e H ε ρ ρ ρ & (86) Cosderado agora a seguda parcela da quação (76): + + ) ( d ε (87) Cosderado que o módulo de relaxação é represeado pela sére de Proy dada a quação (25), em-se que: p p e e d e ) ( ρ ρ ρ ε ε (88) Logo: + + ) ( d ε + p e ρ ρ ε (89) A parr da quação (76) pode-se coclur que o ermo acma represea o cremeo de pseudodeformação devdo ao cremeo de deformação ( ε) ocorrdo o ervalo

72 de empo. Porao, o ermo ere parêeses represea fscamee o módulo de elascdade agee (ou saâeo) do maeral ese cremeo de empo. A parr da quação (89) ese módulo agee ( ) é defdo como: + ρ e p ρ É mporae oar que o módulo é cosae, desde que o cremeo de empo ambém seja cosae. expressão: (9) Para falzar, pode-se represear o cremeo de pseudodeformação aravés da ε ˆ + ε + ε Uma vez que a relação ere esão e pseudodeformação pode ser dada por: + (9) σ ε (92) aqu ovamee chama-se módulo de referêca por causa da relação que ese módulo apresea ere deformações vscoeláscas e deformações eláscas. Cosderado um módulo de relaxação cosae: a quação (68) resulará em: ( τ ) (93) ε ε e, cosequeemee, a quação (92) se orará: (94) σ ε (95) o que a verdade é a equação cosuva que relacoa esões e deformações em maeras eláscos. Vê-se eão que, pardo-se de uma equação vscoelásca usado o módulo de referêca chega-se a uma equação elásca. Assm, pode-se defr o módulo de referêca como sedo o módulo para o qual a pseudodeformação se orará a deformação elásca real. Uma equação smlar à quação (68) é usada para relacoar σ e σ : σ σ ( τ ) dτ (96) τ ode apeas dca que o módulo ão é ecessaramee o mesmo módulo da quação (67). Na verdade, o módulo é cohecdo como creep. 56

73 Nesse modelo, a sequêca de ulzação das equações cosuvas cosse em, a parr das deformações reas cohecdas o corpo vscoelásco, ober pela quação (68) as deformações equvalees às de um problema elásco de referêca. O Prcípo da Correspodêca lásca-vscoelásca basea-se o fao de que um maeral vscoelásco a verdade é uma soma de uma parcela elásca e uma parcela vscosa. Uma vez ecorados os valores de ε com a quação (92) ecoram-se as esões o corpo vscoelásco. Como comeado aerormee ε ão em ecessaramee um sgfcado físco e o ídce dca apeas que essas pseudodeformações esão relacoadas a um problema elásco eórco de referêca. 4.2 Dao Coíuo a Teora Vscoelásca De forma bem smples, mesmo a eora vscoelásca, a Mecâca do Dao Coíuo cosdera um sóldo dafcado com uma dada rgdez como um sóldo sem dao com uma rgdez reduzda. Um modelo que se propõe a cosderar o efeo do dao a modelagem cosuva de maeras erá de quafcar duas varáves: um parâmero de dao e a rgdez efeva. O parâmero de dao, em geral, quafca qualquer aleração mcroesruural que resula em uma redução de rgdez. O esado de dao pode ser quafcado por parâmeros que são cohecdos como varáves eras de esado o coexo da ermodâmca dos processos rreversíves, sedo que o crescmeo do dao é defdo pela le de evolução do dao. Ada o coexo da ermodâmca, essa le, em geral, relacoa eerga dsspada com os parâmeros de dao S. No presee modelo, será ulzada apeas uma varável de dao, deomada S. Traa-se, porao de um modelo de dao escalar. se parâmero esá relacoado à mudaça a mcroesruura do maeral, ou seja, forma a redução da rgdez do maeral. Fazedo uso da quação (22) maemacamee, em-se: ds d W S ode ds/d é a axa de crescmeo do dao, ou seja, a le de evolução do dao, α é uma cosae relacoada às propredades vscoeláscas do maeral, W α (97) é a fução desdade de eerga de pseudodeformação, sedo sua dervada em relação a S a eerga dsspada devdo a evolução do dao. 57

74 Para a solução da quação (97) pare-se da dea de um maeral hperelásco. Assm, a fução desdade de eerga de deformação é dada por: W ( S )( ε ) 2 C (98) 2 ode C(S) represea a rgdez do maeral e é cohecda como pseudorgdez. Sedo o problema de referêca um caso parcular de maeras hpereláscos, as esões podem ser obdas por dervação da fução desdade de eerga: Como cosequêca, em-se que: σ W σ C( S) ε ε (99) C σ () ε ( S) É eressae oar que para maeras eláscos a quação (98) é dada por: ε 2 W 2 () Comparado-se as quações (98) e () pode-se defcar uma correspodêca ere a pseudorgdez e o módulo de Youg em maeras eláscos, bem como a deformação elásca com a pseudodeformação. Subsudo-se a quação (98) a quação (97), em-se que: 2 S C 2 S ( ε ) α (2) A quação () pode ser ulzada para cosrur a curva C(S) do maeral. sa curva pode ser cosruída a parr de esaos de laboraóros ode as esões e as deformações reas são meddas e as pseudodeformações são calculadas ulzado a quação (68). No caso de maeras asfálcos como o cocreo asfálco, experêcas de laboraóro (Mu 23, Mu e Km 25) êm mosrado que a relação ere C e S é uma curva que pode ser represeada por: ( S) as b C Ce (3) ode C é uma cosae usada para correção da varabldade de resulados dos esaos, e a e b são cosaes obdas a parr de esaos laboraoras. O formao da curva gerado pela pseudorgdez C com o parâmero de dao S depede do maeral e ão do po de carregameo. A Fgura 9 mosra um exemplo de uma curva ípca formada pela quação (3). Nese caso, os valores de a, b e C são -,2288,,56 e,8, respecvamee. 58

75 C(S) S Fgura 9 Curva da pseudorgdez versus parâmero de dao (Foe: Mu e Km, 25). A deermação da curva apreseada a Fgura 9 passa, em um prmero momeo, pela aálse de dados obdos em laboraóro a parr de esao específco, sobre o qual há dealhes dspoíves a leraura (Km e al. 996). O resulado do esao gera uma curva C(S) x S. A parr desa curva faz-se uma aproxmação obedose os valores de C, a e b. Para a egração da quação (2) é ecessáro calcular o cremeo do dao. Assm, ese cremeo pode eão ser calculado pela segue egral: S + S+ S S d S+ S ds + W S α d (4) Para a solução umérca da expressão acma pode-se usar a regra do poo médo geeralzado (Chapra, 998). Desa forma chega-se a segue expressão: S+ S + S + q (5) ode S + é o parâmero de dao aualzado, S é o parâmero aual de dao e S + q axa de varação do parâmero o sae + q. Juado-se as quações (2) e (4) e defdo a varável auxlar D: é a em-se que: C D( S) (6) S 59

76 S S + D( S+ 2 + q ) α 2 ( ε ) Tomado q, ou seja, usado o Méodo de uler explíco, em-se: (7) S + S + D( S ) 2 α 2 ( ε ) (8) A fm de permr cremeos de empos maores é eressae a ulzação do Méodo de uler mplíco, que é codcoalmee esável. Tomado-se q, ou seja, usado o Méodo de uler mplíco, em-se: S S + D( S+ 2 + ) α 2 ( ε ) (9) É mporae oar que ese caso o parâmero de dao S + aparece os dos lados da gualdade, resulado em uma equação ão lear. Porao, eremos de usar méodos eravos para a solução da quação (9). Observe que para valores pequeos de a aproxmação fea pela seguda pare da soma da quação (9) desempeha um papel meos mporae. O méodo usado ese rabalho fo o Méodo de Newo-aphso. Uma das grades vaages do méodo é que a covergêca é quadráca. No eao, o méodo pode ão covergr em algus casos. Por exemplo, se o valor cal poso para a varável que se esá calculado, o caso S +, for muo dsae do valor que solucoa a quação (9). Uma solução alerava, ulzada por Mu e Km (25), é ear elmar a seguda parcela da soma da quação (7) a depedêca de pardo da quação (2), em-se que: S. Assm, ds d Fazedo algus rearrajos chega-se a: α 2 2 ( ε ) dc ( ε ) dc d ds 2 d ds 2 d d ds d + α dc 2 d ( ε ) lmado o expoee do lado esquerdo da quação (), em-se: 2 α α α () () ds d α + α dc 2 2 d ( ε ) Cosderado agora que o cremeo é pequeo o sufcee pode-se dzer que: ds d Assm, a quação (2) passa a ser dada por: (2) S dc C e (3) d 6

77 S 2 C 2 +α ( ε ) α (4) erado de dero dos colchees e cosderado a varação do parâmero de dao como: chega-se a: S S + S (5) α + α 2 + α ( ε ) S + S + C (6) 2 ode C represea a varação da pseudorgdez o cremeo aalsado, dada por: C C + C (7) Novamee, em-se uma expressão ão-lear que para ser resolvda requer uso do Méodo de Newo-apsho. 4.3 Solução da quação do Parâmero de Dao pelo Méodo de Newo apsho: Como se sabe, o méodo de Newo aphso aproxma a raz de uma equação ão lear por erações. A quação (8) mosra a expressão para a qual rá se aplcar o Méodo de Newo-apsho. O objevo é ecorar valores de S + para os quas f(s + ) seja zero. f ( S ) S S 2 D( S ( ε ) ) Para ober al solução, pare-se da segue expressão geérca: S k + k + S + 2 k ( S + ) ' k ( S ) + α (8) f (9) f ode k represea a eração. Como ambém será ecessára a dervada da quação (8) em-se que: Assm em-se: f ( S ) + D( S 2 S + + ( ε ) ) 2 α Quadro Processo eravo para a solução da quação (8) por Newo aphso. (2) Dados: a, b,ε,α e, é fea uma esmava cal para S + 6

78 Compua-se f ( S + ) Compua-se f ( ) S + Compua-se S f ( S ) f ( S ) Usa-se S + + k S + + S para reper o processo k + + epee-se o processo aé S ol 4.4 Parcularzação do Méodo de Newo aphso Dada à movação do uso da quação (3) para represear a relação C(S) x S, faz-se a parcularzação das expressões da seção aeror para ese caso. A quação (8) passa a ser dada por: f ( S ) S S b as b 2 + ( C e abs )( ε ) + + Dervado a quação (2) e chamado: 2 + α (2) chega-se a: b b as + k abs e q Ce + (22) f b 2 [ qabs ] α ( S ) α ( ε ) ( qk) ( ε ) q( k ) + ( b ) (23) Usa-se eão o processo eravo represeado o Quadro para a solução da quação (2). re as prcpas vaages do Méodo de Newo-aphso esá o fao de que comparado a ouros méodos ele é mas rápdo, pos possu covergêca quadráca. No eao, o méodo em sempre coverge e precsa do cálculo da dervada da fução, o que em sempre é uma arefa fácl. A covergêca do processo eravo descro o Quadro para a solução de uma equação ãolear esá sempre garada para um dado ervalo [a, b] que coém a raz de f(x), desde que f(x) e f (x) sejam coíuas esse ervalo e que f (x). Porao, se for ulzada uma esmava cal x al que x ϵ [a,b], a covergêca esará garada. m ouras palavras, para o méodo de Newo-aphso covergr, é precso que a esmava cal eseja próxma da raz. No caso da quação (2), a esmava cal do parâmero de dao correspode ao valor dese parâmero o sae aeror ( S + S ). 62

79 Uma das grades vaages do raameo do dao fazedo uso do Prcípo da Correspodêca lásca-vscoelásca aravés do uso da pseudodeformação esá o fao de se poder calcular as esões vscoeláscas leares depedeemee do parâmero de dao. De acordo com a quação (99), a esão o sae + é dada por: ( ) + + C S ε + σ (24) De acordo com esa equação, o valor da esão é calculado mulplcado a pseudodeformação pela rgdez do maeral dafcado, ormalmee represeado por uma expressão como a quação (3). A pseudodeformação por sua vez é calculada a parr da quação (9). De forma cremeal em-se: ( ε + σ ) + ε (25) + ε + ˆ Aravés da quação (25) oa-se que a ão-leardade do cálculo da esão resde o cálculo da pseudorgdez e ão o cálculo da pseudodeformação. Nese sedo, é mporae oar que o parâmero de dao (S) ão afea a pseudodeformação (ε ), mas a pseudodeformação afea o parâmero de dao, como mosram as quações (9) e (8). Ulzado a quação (25), pode-se escrever a quação (24) como: ( S ) ε + ( ε + σ ) σ + C + + (26) ˆ Caso as deformações reas sejam cohecdas, como é o caso dos esaos de laboraóro, as esões podem ser calculadas dreamee a parr da quação (26). Coudo, a maora dos casos prácos, o que se procura é deermar as esões e deformações reas, devdo a forças exeras (cargas) aplcadas sobre o sóldo. Nese caso é ecessára a verfcação do equlíbro global do sóldo aravés do Méodo dos lemeos Fos, como será dscudo a segur. 4.5 Modelagem por lemeos Fos De forma geral, ulza-se o PTV para se chegar às equações do MF. Sabe-se que o PTV Prcpo dos Trabalhos Vruas esabelece que o rabalho realzado pelas esões as deformações vruas do corpo é gual ao rabalho realzado pelas forças exeras os deslocameos vruas dos seus poos de aplcação. (Cook e al, 22; Zekewcz, 998). Assm sedo em-se: 63

80 δu δw δε σ dv δu qdx ex V L (27) ode δu é o rabalho vrual ero e δw ex é o rabalho vrual exero. Desa forma, a quação (27) será dada por: e e Ve e e O campo de deslocameos é dado por: δεσ dv δu qdx Le (28) u N u + N u N u 2 2 Nu e (29) ode N é a marz/veor que coem as fuções de forma, é o úmero de ós o elemeo e u e represea os deslocameos odas. Cosderado ada que: dn dn 2 dn ε u + u u Bu e dx dx dx ode B é a marz deformação-deslocameo do elemeo, pode-se dzer que: (3) δ u Nδu e e δ ε Bδu e (3) A quação (28) smbolza a gualdade da soma dos rabalhos vruas ero e exero, de odos os elemeos, o que caracerza o MF como dscudo aerormee. Pode-se ada escrever a quação (28) como: ode: É mporae lembrar que ao e e u e Bσ dv δu e Ve e e δ N qdx (32) g e Bσ dv e fe N qdx Ve Le Le (33) g (veor de forças eras do elemeo) quao e f (veor de forças exeras do elemeo) são váldos para qualquer le de esão e e deformação. A formulação desevolvda aé aqu ão faz meção a qualquer po de le cosuva podedo ser aplcada para qualquer po de maeral como, por exemplo, maeras eláscos, vscoeláscos leares, vscoeláscos ão-leares. Pode-se ada serr aqu o coceo de marz de cdêca cemáca, ou seja, a marz que relacoa os deslocameos odas com os deslocameos globas. Assm: ode: u é o deslocameo o elemeo, e deslocameo global. Desa forma pode-se escrever a quação (32) como: ue Aeu (34) A é a marz de cdêca e u é o e 64

81 e e δ ue Aeg e δue Aefe (35) e e Pela equação aeror pode-se coclur que o veor de cargas eras é gual ao veor de cargas exeras. δ u g δu f g( ) f( ) (36) O parâmero fo cluído a expressão acma para ressalar que as forças eras e exeras varam ao logo do empo em fução do carregameo aplcado. Para o sae + em-se: ode g g ) e f f ). + ( + + ( + g f (37) + + A parr da quação (33) a força era o sae + é dada por: g + Bσ V + dv (38) Para se chegar ao equlíbro global é ecessáro que a quação (37) seja aedda. De forma que se pode escrever: r + g+ f+ (39) ode r + é a fução resíduo. Obvamee, busca- se um valor ulo para esa fução, o que a práca quase uca acoece. Desa forma se esabelece um valor bem pequeo para que o procedmeo coue acoecedo aé a olerâca desejada. Fazedo uso da expasão de Taylor, chega-se a: r r r δ (4) k k k+ k + + k + r + + u k k δu r + u + u + ode k represea a eração e represea o passo o empo. Uma vez calculada a expressão (4) faz-se a aualzação dos deslocameos pela segue expressão: u+ u + δu (4) De acordo com a quação (39) e omdo k pode-se escrever a dervada do resíduo da segue forma: r u + + g u + + f u + + (42) Como a fução f ão depede dos deslocameos, sua dervada em relação aos deslocameos é ula. A fução g, por sua vez, é depedee dos deslocameos e sua dervada é dada pela quação (44). Assm chega-se a: 65

82 r u + + K + (43) ode K + é a marz de rgdez agee. Cosderado que a esão vscoelásca com efeo do dao é dada pela quação (24) e que a marz de rgdez agee é dada por: ode: K + g u σ u + + σ B V u + + σ ε + ε u pode-se eão defr o módulo de elascdade agee como: Novamee pela quação (24), em-se que: dv (44) (45) σ + σ + ε (46) ε ε ε σ ε + C S Cosderado ada a quação (25), em-se: ( ) + de forma que a marz cosuva agee sera dada por: (47) ε ε (48) ( S) C + (49) Assm, a marz de rgdez agee represeada pela quação (44) passa a ser dada por: K B + V BdV (5) Falmee, usado a quações (39), (4) e (43) escreve-se a varação dos deslocameos como: Kδ u r (5) Para a solução do problema, apresea-se a segue sequêca: Para aé INTMAX Calcula-se σ + pela quação (25) Calcula-se g + pela quação (38); Calcula-se K + pela quação (5); Verfca-se o valor do resíduo pela quação (39) 66

83 Se r + Tolerâca: Se r + Calcula-se δ u pela quação (5); Calcula-se um ovo u pela quação (4); > Tolerâca recomeça 67

84 CAPÍTULO 5 SULTADOS ANÁLISS 5. Verfcação do Modelo Cosderado Temperaura Com o objevo de valdar o algormo apreseado o Capíulo 3 usa-se, por base, a barra uaxal (Fgura 2) rerada e adapada do rabalho desevolvdo por Zocher (995). No rabalho de Zocher (995) foram apreseadas soluções aalícas para algus problemas de vscoelascdade lear. Paru-se de um maeral hpoéco, sorópco. O módulo de relaxação é dado por: ξ ρ ( ) e (52) + ode KPa, 4 KPa e ρ. A barra uaxal apresea comprmeo e área da seção rasversal uáros. A esruura em uma das exremdades resrgda e a oura é aplcado um deslocameo u() como pode ser vso a Fgura 2. Fgura 2 Barra uaxal. Nese exemplo cosdera-se a fução deslocameo sedo dada por: u ( ) u (53) ode u. m/s. Assm a fução deslocameo em seu comporameo de acordo com a Fgura 2. se po de carregameo descreve uma axa cosae de varação da deformação. A solução aalíca cosderado dferees emperauras (Zocher, 995) é dada por: 68

85 aρ σ( ) u + a ρ( e ) (54) ode o shf facor a é dado pela quação (32). As emperauras de 2ºC, 25ºC, 3ºC e 4ºC foram cosderadas para o cálculo de a. Adoou-se a emperaura de 25ºC como sedo a emperaura de referêca, ou seja, a emperaura para a qual o valor de a..5 Deslocameo(m) Tempo(s) Fgura 2 Fução deslocameo. O algormo apreseado fo usado para o cálculo dos valores de esão ao logo do empo a barra apreseada. Nese problema fo cosderado.s. Como pode ser observado a Fgura 22, o valor ecorado pelo algormo, depedeemee da emperaura esudada, é exaamee o mesmo ecorado aalcamee, o que mosra uma óma cocordâca ere o resulado modelado com o MF e o resulado aalíco. Na verdade, ese resulado era esperado em vrude da aproxmação fea a quação (4). Como o presee exemplo a varação da deformação é cosae, as soluções se equparam. Tesão (kpa) Tempo (s) Fgura 22 Comparação das esões aalícas com as umércas. 69

86 5.2 Aálse do feo da Temperaura em Pavmeos Asfálcos se exemplo em por objevo esudar o efeo da emperaura as msuras asfálcas o que dz respeo ao comporameo mecâco de pavmeos flexíves. Para ese fm fo escolhdo um pavmeo composo por rês camadas (revesmeo asfálco, base e sub-base) além do subleo da regão, como lusrado a Fgura kpa 5 cm v,35 2 cm v,4 5 MPa 2 cm v,4 2MPa v,4 MPa 3m Fgura 23 Geomera, codções de cooro, carregameo e malha de F. A camada de revesmeo asfálco em 5 cm de espessura, v,35 e módulo de relaxação apreseado a Tabela 2. O subleo, a sub-base e a base êm módulos de Youg e coefcee de Posso respecvamee guas a MPa e,4; 2MPa e,4; 5MPa e,4. As espessuras da base e da sub-base são guas a 2 cm. Cosderou-se para o revesmeo um lgae asfálco ípco do Brasl, PG 7-22, produzdo a Uversdade Federal do Ceará com 5,7% de eor de lgae e com agregados graícos ípcos do sado do Ceará. Três corpos de prova com mm de dâmero, 5 mm de alura e eor de vazos de 3,8% foram moldados e esaados (Araújo e al. 2). Os valores dos coefcees para a sére de Proy esão lsados a Tabela 2. 7