Universidade de Aveiro Departamento de Matemática. Ângela Marlene Pires da Cruz. Análise Bayesiana de Séries Temporais

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1 Uversdade de Avero Dearameo de Maemáca 8 Âgela Marlee Pres da Cruz Aálse Baesaa de Séres Temoras

2 Uversdade de Avero Dearameo de Maemáca 8 Âgela Marlee Pres da Cruz Aálse Baesaa de Séres Temoras Dsseração areseada à Uversdade de Avero ara cumrmeo dos requsos ecessáros à obeção do grau de Mesre em Maemáca realzada sob a oreação ceífca da Profª. Douora Isabel Mara Smões Perera Professora Auxlar do Dearameo de Maemáca da Uversdade de Avero

3 Dedco ese rabalo à ma famíla e amgos elo casável aoo.

4 o júr resdee Prof. Dra. Adrea Olvera Hall Professora assocada da Uversdade de Avero Prof. Dra. Mara Eduarda da Roca Po Auguso da Slva Professora assocada da Faculdade de Ecooma do Poro

5 agradecmeos Á ma oreadora Professora Douora Isabel Perera ela sua dsobldade aeção e ajuda em odas as dúvdas que surgram ao logo do rabalo. Aos meus as e rmãos elo amor e aoo emocoal que me deram ao logo da ma vda académca. Agradeço ada aos meus amgos que me aoaram durae eses aos.

6 alavras-cave Aálse Baesaa meodologa de Gbbs WBUGS gruos de macas solares. resumo O resee rabalo roõe-se aalsar a meodologa baesaa ara algus modelos de séres emoras omeadamee os auoregressvos os de médas móves os eros auoregressvos e os eros de médas móves. É fea uma areseação dos fudameos Baesaos sua alcação aos modelos referdos uma exemlfcação ara cada modelo ulzado um sofware adequado e uma alcação da meodologa a dados de gruos de macas solares de Paleua.

7 kewords Baesa aalss Gbbs meodolog WBUGS grous of susos. absrac Ts sud rooses o exame e Baesa aroac for some models e of me seres cludg e auoregressve e movg average e eger auoregressve ad e eger of movg averages. Cosss a reseao of e baesa meodolog s alcao o e refered models a exemlfcao for eac model usg a arorae sofware ad a alcao of e meodolog o e susos of Paleua daa.

8 Ídce Lsa de Fguras Lsa de Tabelas Glossáro de abrevauras Noação v v x x Fudameos da Esaísca Baesaa 3. Irodução Dsrbuções a ror Iferêca Baesaa Esmação oual Esmação or regões Teses de óeses Predção....5 Méodos Comuacoas... Aálse Baesaa de algus modelos leares de séres emoras 5. Processos auoregressvos Iferêca baesaa ara rocessos AR() Iferêca baesaa ara rocessos AR() Prevsão Exemlo de um rocesso auoregressvo usado o WBUGS Processos de médas móves... 3

9 .. Iferêca baesaa ara rocessos MA() Iferêca baesaa ara rocessos MA(q) Prevsão Exemlo de um rocesso de médas móves usado o WBUGS Aálse Baesaa de algus modelos de coagem Oeração g Processos auo-regressvos de valor ero Iferêca baesaa ara rocessos INAR () de Posso Iferêca baesaa ara rocessos INAR() geomérca Iferêca baesaa ara rocessos INAR () de Posso Iferêca baesaa ara rocessos INAR () geomérca Prevsão Exemlo de um rocesso ero auoregressvo de Posso ulzado WBUGS Processos de médas móves de valor ero Iferêca baesaa ara rocessos INMA() de Posso Iferêca baesaa ara rocessos INMA() geomérca Iferêca baesaa ara rocessos INMA() de Posso Iferêca baesaa ara rocessos INMA() geomérca Prevsão Aálse de gruos de macas solares de Paleua 75 Coclusão e Dscussões 8 Aexo A - Dados ulzados ao logo do rabalo 83 Aexo B - Dados das macas solares 89 Aexo C - Códgos do R e do WBUGS 9 Aexo D - Dsrbuções de Probabldade 99

10 Referêcas Bblográfcas 5

11 v

12 Lsa de Fguras. Comorameo da sére Y ara rocesso auoregressvo Gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo auoregressvo de rmera ordem da sére Y. 3.3 Comorameo da sére Y ara rocesso de médas móves Gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo de médas móves de rmera ordem da sére Y Comorameo da sére Y ara rocesso ero auoregressvo Gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo auoregressvo ero de rmera ordem da sére Y Número de Gruos de macas solares semaas ere 99 e Fuções de auocorrelação e auocorrelação arcal amosras Gráfcos das dsrbuções margas a oseror dos arâmeros do modelo INAR() v

13 v

14 Lsa de Tabelas. Meddas descrvas da sére Y ara o rocesso auoregressvo Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo auoregressvo de rmera ordem da sére Y Meddas descrvas da sére Y ara o rocesso de médas móves Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo de médas móves de rmera ordem da sére Y Meddas descrvas da sére Y ara o rocesso ero auoregressvo Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo auoregressvo ero de rmera ordem da sére Y Meddas descrvas da sére de gruos de macas solares Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo INAR () ara o umero de gruos de macas solares.. 78 v

15 v

16 Glossáro de abrevauras AR MA ARMA CODA INAR INMA MCMC v.a. f.g....d. Auoregressvo com suore em R Méda móvel com suore em R Auoregressvo méda móvel com suore em R Covergece Dagoss ad Ouu Aalss Sofware for Gbbs Samlg Ouu Auoregressvo com suore em Z Méda móvel com suore em Z Méodo de Moe Carlo va cadeas de Markov Varável aleaóra Fução geradora de robabldade Ideedees e decamee dsrbuídas x

17 x

18 Noação ( θ ) Dsrbução a ror do arâmero θ θ Dsrbução a oseror do arâmero θ dado P ( Y Y ) x

19 x

20 Irodução O esudo de séres emoras é um ema que em do grade eresse ara maemácos ecoomsas e muos ouros rofssoas de dversas áreas. Em odas as áreas um coecmeo révo da evolução das varáves em esudo forece uma maor efcáca a omada de decsões. A aálse desas séres ode ser fea ulzado a meodologa clássca de modelação e revsão mas receemee á uma oura meodologa que em do um crescee eresse: a meodologa baesaa. Ese rabalo em orao como objecvo uma abordagem da meodologa baesaa a modelação e revsão de algus modelos séres emoras. Os modelos aqu abordados são modelos auoregressvos (AR) modelos de médas móves (MA) modelos eros auoregressvos (INAR) e modelos eros de médas móves (INMA). A ferêca ara os arâmeros e as alcações são feas com base o Amosrador de Gbbs. O Caulo é desado aos fudameos ulzados ese rabalo aresea-se a ferêca baesaa e os méodos de smulação e corole de covergêca. O Caulo desa-se a aálse dos modelos auoregressvos e de médas móves como defdo or Broomelg (98). No Caulo 3 descreve-se a meodologa baesaa ara os modelos eros auoregressvos e eros de médas móves. Para as alcações ulzam-se os sofwares R e WBUGS.

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22 Caíulo Fudameos da Esaísca Baesaa. Irodução A aálse Baesaa de dados é uma alerava morae aos rocedmeos clásscos de modelação esmação e revsão de dados que em do uma crescee alcação em roblemas de váras áreas. Cosse um rocedmeo geérco de ferêca a arr de dados ulzado modelos robablíscos ara descrever varabldade em quadades observadas ou descrever graus de cerezas em quadades sobre as quas se quer comreeder (geralmee os arâmeros dos modelos ou fuções deses arâmeros). Cosdera-se o vecor aleaóro Y ( Y Y K ) ( ) R Y uma sua observação K e uma quadade de eresse descoecda θ. Se Θ é o esaço de ossíves valores de θ eão ode-se cosderar que { Θ} F :θ θ deoa a famíla (aramérca) de modelos ara Y. A formação de que se dsõe sobre θ ode ser rereseada robablscamee or ( θ ) e or ( θ ) a dsrbução amosral de codcoada a θ. Observada e de acordo com um smles resulado da Teora de Probabldades (Teorema de Baes) a fução desdade de robabldade que defe a relação ere e θ é dada or ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) (..) 3

23 e eão ( θ ) ( θ ) ( θ ). (..) O deomador reresea a dsrbução margal de e suodo que θ é coíuo obém-se aravés do egral ( θ ) dθ ( θ ) ( θ ) dθ. (..3) Noe que em (..) θ. ormalzadora de ( ) que ão deede de θ fucoa como uma cosae Para um valor fxo de a fução ( θ ) forece a formação amosral de cada um dos ossíves valores de θ equao ( θ ) é camada dsrbução a ror de θ. Esas duas foes de formação a ror e amosral são combadas levado a dsrbução a oseror de θ ( θ ). Assm ode-se escrever a exressão (..) Iso é em-se: da segue forma ( θ ) ( θ ) ( θ ). (..4) dsrbução a oseror dsrbução a ror dsrbução amosral ode deoa roorcoaldade. É uvo que a robabldade a oseror de um arcular cojuo de valores de θ será equea se ( θ ) ou ( θ ) for equea ara ese cojuo. Em arcular se arburmos robabldade a ror gual a zero ara um cojuo de valores de θ eão a robabldade a oseror será zero qualquer que seja a amosra observada. Suoa-se agora que é reedda uma acualzação da ferêca ou seja a observação é obda em k fases ( k ). Na rmera fase a dsrbução a oseror de θ aós a observação de é dada or: 4

24 ( θ ) ( θ ) ( ). (..5) θ Quado se observa seguda fase a formação a ror de θ é agora elo que a dsrbução a oseror é obda do segue modo: θ ( θ ) ( θ ) ( ). (..6) θ Subsudo agora ( θ ) ela exressão (..5) em-se: ( θ ) ( θ ) ( θ ) ( ). (..7) θ Procededo de forma sucessva a fase k em-se: ( θ... ) ( θ... ) ( ). (..8) θ Pelo que se ode coclur que a ordem em que as observações são rocessadas elo eorema de Baes é rrelevae e erme a acualzação da dsrbução a oseror a medda que a formação amosral é dsoblzada. Esa meodologa aresea algumas dfculdades omeadamee a escola da dsrbução a ror e a obeção da dsrbução a oseror. A roóso desas dfculdades são areseadas de seguda dferees formas de esecfcação da dsrbução a ror.. Dsrbuções a ror A ulzação da formação a ror em ferêca Baesaa requer a esecfcação de uma dsrbução a ror ara o arâmero de eresse θ. Esa dsrbução deve reresear robablscamee o coecmeo que se em sobre θ aes da realzação do esudo. A arr dese coecmeo ode-se defr uma famíla aramérca de desdades so é cosdera-se que a dsrbução a ror de θ erece a uma famíla de dsrbuções. Os arâmeros dexadores desa famíla de dsrbuções são camados erarâmeros e devem ser esecfcados de acordo com ese coecmeo. 5

25 Geralmee a abordagem em que se cosdera uma famíla de dsrbuções facla a aálse e o caso mas morae é o das a ror s cojugadas. Nesa ersecva a escola da dsrbução a ror que corore a formação sobre θ deve ser fea aravés da famíla cojugada da dsrbução ( θ ) os sso erme que as dsrbuções a ror e a oseror ereçam à mesma classe de dsrbuções. Assm a acualzação do coecmeo que se em de θ evolve aeas uma mudaça os erarâmeros. Quado ão exse formação objecva sobre θ ou quado se esera que a formação a ror é vaga devem ser ulzadas dsrbuções a ror ão formavas. A rmera dea areseada or Baes e Lalace é de que o caso de ão aver formação a ror sufcee devem ser cosderados odos os ossíves valores de θ como gualmee rováves so é ulzar uma dsrbução a ror uforme. Coudo esa escola ode orgar algumas dfculdades éccas vso que se o ervalo de varação de θ for lmado eão ( θ ) c (cosae osva c ) e a dsrbução é mróra: Θ ( θ ) dθ. Oura dfculdade ode surgr caso Ψ( θ ) seja uma rearamerzação ão lear moóoa de θ. Pelo eorema de rasformação de varáves é ão uforme. Jeffres (96) roôs uma classe de a ror s ão formavas varaes a rearamerzações. Ulzado a medda de formação eserada de Fser sobre θ a ror ão formava de Jeffres em fução de desdade dada or: ( θ ) [ I( θ )] / ode ( θ ) ( Y θ ) l I EY θ. θ Se { ( θ ) : θ Θ} F é uma classe de dsrbuções amosras eão uma classe de dsrbuções P é θ cojugada a F se ( ) F e P ( ) P θ θ.(gamerma Ca. ) 6

26 Se θ for um vecor aramérco eão ( θ ) I( θ ) / ode ( θ ) da marz de formação de Fser I( θ ) [ I( θ θ )]. j I é o deermae Em geral esa regra coduz a dsrbuções mróras uma vez que Θ θ dθ ; coudo so só levaa roblemas se a dsrbução a oseror ambém for mróra elo que é ecessáro cerfcar que a dsrbução a oseror é róra aes de fazer qualquer ferêca. Uma oção ara se ober os arâmeros de modo a que a dsrbução seja ão Var θ. formava é deermar os valores dos erarâmeros as que.3 Iferêca Baesaa A dsrbução a oseror de um arâmero θ comreede oda a formação robablísca a reseo dese arâmero e o gráfco da sua fução de desdade a oseror é a melor forma de raduzr qualavamee o comorameo dsrbucoal θ de descrção do rocesso de ferêca. Todava é de grade uldade resumr a formação da dsrbução a oseror aravés de meddas de localzação dsersão e forma dsrbucoal. Qualquer medda de localzação a oseror (méda medaa moda) ermem esmar oualmee o arâmero θ..3. Esmação oual A escola das esmavas a ersecva baesaa deede da forma da dsrbução a oseror. A moda a oseror é dada or: ˆ θ : ( ˆ θ ) max ( θ ). (.3..) θ Θ Adme-se a coudade do arâmero ao logo do rabalo 7

27 Não é ecessáro o cálculo do egral dado em (..3) os é sufcee coecer a dsrbução a oseror a meos de uma cosae de roorcoaldade ara deermar a moda e sso facla a sua ulzação como medda de localzação. A medda mas ulzada é a méda a oseror que é ˆ θ E [ θ ] E ode [ θ ] θ( θ ) dθ... k. (.3..) A medaa a oseror é ˆ θ ( ˆ θ ˆ θ... ˆ ) P P Θ defda or ( θ ˆ θ ) ( θ ˆ θ ) θ k... k. (.3..3) A escola da melor esmava basea-se a relevâca de cada uma desas quadades ara o roblema e as facldades de cálculo..3. Esmação or regões A rcal resrção da esmação oual é que quado se esma um arâmero aravés de um úco valor umérco oda a formação resee a dsrbução a oseror é resumda aravés desse úmero. É morae ambém assocar alguma formação sobre a recsão da esecfcação dessa quadade umérca. Para al é morae a esmação or regões que coeam a maor are da formação robablísca a oseror. Dz-se que R é uma regão de credbldade ara θ de grau γ se e só se P ( θ R ) ( θ ) dθ γ. R ( ) (.3..) Qualquer regão de credbldade é defda umercamee e adme uma erreação robablísca e dreca. Vso que exse uma fdade de regões de credbldade com o mesmo grau de credbldade γ eressa cosderar a regão que comreeda odos os valores de γ mas credíves a oseror ou seja 8

28 ( θ ) ( θ ) θ R( ) θ R( ). (.3..3) Defe-se eão R como a regão de credbldade γ com desdade a oseror máxma (abrevadamee regão HPD Hges Poseror Des) se ode c γ é a maor cosae al que { θ Θ : ( θ ) c } (.3..4) R γ P ( θ R ) γ. (.3..5).3.3 Teses de óeses Cosdera-se o ese de óeses H : θ Θ versus H : θ Θ ode Θ Θ Θ. A razão das vaages a favor de H é dada or: O ( H H ) P P ( θ Θ ) ( θ Θ ). (.3.3.) Rejea-se a óese ula se ( H ) > P( H ) O( H H ) P. < Para aalsar a fluêca dos dados a aleração da credbldade relava de H e H comara-se a razão a oseror O( H H ) ( H ) ( H ) ( H ) ( H ) P com a razão a ror P P O ( H H ). Tomado a razão deses quocees em-se o que se desga or P Facor de Baes a favor de H : O B ( H H ) O( H H ). (.3.3.) Ese facor reresea o eso relavo da evdêca coda os dados a favor de uma das óeses em causa. Se B for muo grade ou muo equeo relavamee à udade em-se evdêca esaísca muo fore os dados a favor de H ou H resecvamee. 9

29 A róra cosderação de um roblema de eses de óeses é já uma dcação de algum o de formação a ror rovavelmee vaga e sso ão ode dexar de orgar resrções ao uso de dsrbuções ão formavas. A coveêca desas aceua-se quado corresodem a dsrbuções mróras vso que a deermação a sua defção se esede ao facor de Baes. Para orear esa dfculdade decorree do uso de dsrbuções mróras Ke e al (999) sugerem uma sére de meddas ajusadas do facor de Baes omeadamee o uso de facor de Baes arcas facor de Baes rísecas facor de Baes fraccoas ere ouros..4 Predção Assm como a esaísca clássca ambém a esaísca baesaa or vezes a ferêca sobre os arâmeros do modelo escoldo ão é a úlma faldade mas um meo que ossbla a redção de observações fuuras. Dadas observações de um vecor aleaóro Y com dsrbução ( θ ) redzer um vecor aleaóro dsrbução redva a oseror é dada or: reede-se ~ Y com dsrbução amosral deedee de θ. Eão a ~ ~ θ ( θ ) dθ. (.4.) Caso se verfque a deedêca ere e ~ codcoado em θ é ossível reescrever a equação aeror como: ~ ~ θ ( θ ) dθ. (.4.) Porao ( ) θ é a dsrbução a oseror de θ em relação a (que já fo observado) mas é a ror de θ em relação a ~ (que ada ão fo observado).

30 .5 Méodos Comuacoas Como fo vso aerormee a ferêca sobre o arâmero θ é fea aravés da dsrbução a oseror com base o cálculo de robabldades e gualmee em eseraças. o: Muas quadades de eresse assam ela ecessdade do cálculo de egras do Em geral só é coecda ( ) Θ g ( θ ) ( θ ) dθ. (.5.) θ a meos de uma cosae de roorcoaldade e eão eses cálculos rereseam uma dfculdade uma vez que em semre se cosegue ober exressões exlícas ara os egras em causa. Exsem algus méodos baseados em aroxmações umércas e aalícas que odem aroxmar eses egras. Nos méodos aalícos desacam-se a aroxmação da dsrbução a oseror a uma Normal mulvarada (Walker 986 ou 969) e o méodo de Lalace (Tere e Kadae 986). Nos méodos de egração umérca evdeca-se a quadraura erava (Nalor e Sm 98). Oura alerava é a ulzação de méodos aroxmados baseados em smulações ara obeção deses egras omeadamee os méodos de Moe Carlo. Nese rabalo somee se raam os méodos de Moe Carlo..5. Méodo de Moe Carlo Ordáro Ese méodo erme ober uma aroxmação do egral: E [ g( θ ) ] g( θ ) ( θ ) dθ. (.5..) Θ O méodo cosse em smular uma amosra aleaóra de dmesão N θ θ... θ da dsrbução ( θ ) calcular g( θ ) g( θ )... g( θ ) aroxmação do valor eserado de (.5..) so é N e usar a méda amosral como uma N E N N [ g( θ ) ] g( θ ) (.5..)

31 que em uma covergêca quase cera ela le dos grades úmeros 3. Alem dsso a recsão desa aroxmação ode ser medda elo erro adrão de Moe Carlo N ( N ) N g N N ( θ ) g( θ ). (.5..3).5. Méodo de Moe Carlo va cadeas de Markov Um méodo com mua relevâca ara o cálculo das esmavas baesaas é o méodo de Moe Carlo va cadeas de Markov (MCMC). A dea ada é ober uma amosra da dsrbução a oseror e calcular esmavas amosras de caraceríscas desa dsrbução. A dfereça é a cosrução de um rocesso esocásco que seja fácl de smular e cuja dsrbução esacoára covrja ara a dsrbução de eresse o roblema. O rocesso esocásco ulzado é a cadea de Markov cuja dsrbução de equlíbro é a que se reede smular. O algormo de Merools-Hasgs garae a covergêca da cadea de Markov ara a dsrbução de equlíbro que ese caso é a dsrbução a oseror. Uma veree arcular dese algormo é o méodo de amosragem de Gbbs que se basea um resulado robablísco em que se a dsrbução a oseror for osva em suore da dsrbução de θ eão ( )... k Θ... Θ Θ k com θ é deermada exclusvamee elo cojuo das suas dsrbuções codcoas comleas ( θ ) ( θ θ θ θ ) θ k. assos θ... k ode Em ermos rácos o algormo de Gbbs ode ser esecfcado elos segues. Icalzar o coador de erações e esecfque um valor cal () () () ( θ θ... θ k ) () θ. N uma sucessão de varáves aleaóras..d. e defa-se S N Y e 3 Seja { } Y...Y com N N Y coverge quase ceramee ara um µ fo se e só se ( Y ) < Y N Y E ode µ E. S. Eão N N

32 . Para... l gerar ovos valores gerado os valores: () θ a arr de θ a arr de ( θ θ θ3... θk. x) θ a arr de ( θ θ θ3... θk. x) M () θ k a arr de ( θ k θ k. x) θ e assm sucessvamee Quado é obda a covergêca ou seja quado se aroxma da codção de () equlíbro eão o vecor gerado essa eração θ ode ser cosderado uma realzação θ. de valores de θ com dsrbução ( ) Resulados assocados as cadeas de Markov (ver Glks e al 996) erme coclur que quado θ ( θ θ... θ k ) ede em dsrbução ara um vecor cuja fução de desdade de robabldade cojua é ( ) méda dos arâmeros a oseror é g ( θ ) E g( θ ) [ ] θ e o esmador da ara qualquer fução g ( ) ode E [ g( θ ) ] reresea o valor eserado de ( θ ) θ. relação à dsrbução a oseror ( ) g em Os méodos de MCMC são uma óma ferramea ara resolução de muos roblemas rácos a aálse Baesaa. Porém algumas quesões relacoadas à covergêca eses méodos ada merecem basae esqusa. Ereao uma quesão que ode surgr é Quaas erações deve er o rocesso de smulação ara garar que a cadea covrja ara o esado de equlíbro?. Como a cadea ão é calzada a dsrbução esacoára uma ráca comum é usar um eríodo de aquecmeo (Glks e al. 996). A cadea assa or l m erações sedo as rmeras l erações cas descaradas. Esera-se que deos dese eríodo de aquecmeo a cadea ea esquecdo os valores cas e covergdo ara a dsrbução 3

33 de equlíbro; a amosra resulae de amao m será uma amosra da dsrbução de equlíbro. Para elmar uma ossível auocorrelação dos valores gerados seleccoam-se a arr do eríodo de aquecmeo as observações esaçadas de um valor k (esaçameo de amosragem). Para avalar a covergêca dos méodos de MCMC usam-se algus créros que exsem a leraura. As éccas mas oulares são as Geweke (99) que sugere méodos baseados em séres emoras Rafer e Lews (99) que areseam fórmulas que relacoam a dmesão da cadea de Markov a ser cosruída o esaçameo e a dmesão da amosra a ser ulzada e Gelma e Rub (99) que usa resulados baseados a aálse de varâca clássca ara duas ou mas cadeas smuladas com valores cas dferees. As éccas de Geweke Rafer-Lews Gelma-Rub e ouras esão mlemeadas o acoe CODA (Bes el al 996) execuável o freeware R. 4

34 Caíulo Aálse Baesaa de algus modelos leares de séres emoras Uma sére emoral ambém desgada or sére croológca é uma sucessão de observações feas sequecalmee ao logo do emo ode a ordem de recola desemea um ael exremamee morae. Ou or ouras alavras uma sére emoral é uma sequêca de dados obdos em ervalos de emo gualmee esaçados durae um eríodo esecífco. Em geral deoa-se essa deedêca do emo or e desga-se or Y a -ésma observação da sére emoral. A maora das aálses ecoómcas evolve séres emoras. Eão é morae er boas éccas ara a aálse de modelos de séres emoras. A morâca da meodologa Baesaa em séres emoras em aumeado radamee ao logo da úlma década exlcada ela facldade de mlemeação comuacoal. Esa é sem dúvda almeada or uma cada vez maor valorzação das vaages que mlca a ferêca baesaa. Além dsso o aradgma baesao é arcularmee aural ara revsão edo em coa odos os arâmeros ou mesmo modelo de cereza. Nese caíulo faz-se uma aálse de deermados modelos de séres emoras ara vesgar como a meodologa Baesaa ode ser alcada a aálse de séres 5

35 emoras. Esa abordagem é alcada aos modelos auoregressvos (AR) e modelos de médas móves (MA).. Processos auoregressvos Seja um rocesso esocásco { :... }. Um modelo lear auo-regressvo de Y ordem abrevadamee AR ( ) (do glês Auoregressve) é aquele cujo valor corree é exresso como uma combação lear de seus valores assados... e de um ruído braco forma:. Um modelo auoregressvo ode eão ser escro da segue K K (..) ode K são úmeros reas (com dferee de zero) e é um rocesso ruído braco com meda µ e varâca σ. ou Ulzado o oerador araso em-se: ( B B B ) (..) K ( B B K B ) K. (..3) Φ B B B K B que é deomado or Desgado olómo auoregressvo de ordem obém-se Φ ( B). (..4) Nese coexo um coceo morae é o de esacoaredade. Um rocesso de séres emoras esacoáro é um rocesso cuja dsrbução é esável ao logo do emo o segue sedo: se se fzer uma aálse de qualquer colecção de varáves aleaóras a sequêca e deslocar-se essa sequêca k eríodos de emo a dsrbução deve ermaecer alerada. Esecfcamee a méda e a varâca do rocesso são cosaes ao logo do emo e a covarâca ere k e deede somee da dsâca ere dos ermos k e ão da localzação do eríodo de emo cal. Segue medaamee que a 6

36 correlação ere k e ambém somee deede de k. Porao um rocesso AR é esacoáro se odas as raízes do olómo auoregressvo de ordem Φ ( B) esverem fora do círculo uáro. Em arcular ara que B coduzdo a codção de esacoaredade <. emos que Θ B B mlca Ao coráro da abordagem clássca a aálse Baesaa de um modelo AR ( ) ão exge a esacoaredade dos rocessos. Como saleado or Zeller (97) o ressuoso de esacoaredade de um rocesso AR ( ) ode ser cosderado como um ressuoso a ser avalado em vez de uma resrção ecessára... Iferêca baesaa ara rocessos AR() Cosdera-se o rocesso auoregressvo de rmera ordem AR ( ) : K (...) ode é um úmero real dferee de zero e é um rocesso ruído braco gaussao com meda µ e varâca σ. é dada or Sob esas codções a fução verosmlaça de e σ com base as observações ' ode (... ) l σ σ ( σ ) ex ( ) (...) é a sére emoral ressuõe-se que é coecda a rmera observação. e σ são os arâmeros descoecdos e ) Usado a dsrbução a ror ão formava de Jeffres No que se refere à formação réva sobre e σ assuma-se que ouco se sabe sobre eses arâmeros e ode-se ulzar a abordagem de Zeller (97) sem a resrção de esacoaredade usado uma dsrbução a ror ão formava usual: 7

37 8...3 σ σ com < < e < < σ. Eão usado o eorema de Baes a dsrbução a oseror ara os arâmeros é dada or...4. ex σ σ σ Para ober a dsrbução margal a oseror ara é ecessáro egrar em ordem a σ...5. ex σ σ σ σ σ d d É claro que é deedee de σ elo que cosdera-se C. Desa forma o egral dado em ode ser reescro do segue modo...6. ex σ σ σ d C Efecuado uma mudaça de varável w C w C σ σ e dw w C d 3 / σ em-se: ex ex C dw w w C C dw w C C w. Vso que dw w w ex é uma cosae em relação a em-se...7. C

38 9 Mas [ ] s ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ode s ˆ ˆ e ˆ esmador de elo méodo dos mímos quadrados. Eão a exressão dada em...7 é subsuída or ˆ ) ( ˆ ) ( s s C...8 elo que se ode verfcar que dsrbução margal a oseror ara é uma -Sude uvarada com graus de lberdade. Do mesmo modo a dsrbução margal a oseror ara σ é ode ser obda egrado...4 em ordem a ˆ ˆ ex ) ( ex ˆ ) ( ex ex σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ d N ucleo da s d s d d

39 σ σ e s σ ex σ σ π ex ( ˆ ) d σ π σ ( ) s σ ˆ σ ( ) ex ( ). Logo a dsrbução margal a oseror ara σ é uma dsrbução gama verda de arâmeros. e ) Usado a dsrbução a ror cojugada Uma oura abordagem é a ulzação de dsrbuções a ror cojugadas e aqu ulza-se o arâmero τ que é desgado or recsão em vez do arâmero σ. σ Esa oção deve-se ao faco de ser mas ráco cosderar uma dsrbução a ror gama ara o arâmero τ do que uma dsrbução gama verda ara σ. Eão a fução verosmlaça dada a equação (...) ode ser rescra da segue forma: l τ ( τ ) τ ex ( ). (...9) Esa verosmlaça sugere uma dsrbução a ror ormal ara codcoado a τ e uma dsrbução a ror gama ara τ ou seja al que τ ( τ ) τ ex ( µ ) [ ] τ ~ N( µ ) (...) τ ( τ ) ( τ ) τ ( τ ) τ ex{ τ } τ ~ Gama( ) (...) ode µ é a méda e τ a medda de recsão em (...) e em (...) coecdos. Logo a dsrbução a ror cojugada é dada or são

40 [ ].... ex µ τ τ τ Vso que se esá a rabalar com a classe das a ror s cojugadas ara os arâmeros a dsrbução a oseror cojua dos arâmeros ambém é ormal-gama e odem-se ecorar os arâmeros a oseror. Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com a equação..4 é dada or...3. ex µ τ τ τ Iegrado...3 em ordem a τ a dsrbução margal a oseror ara é dada or τ µ τ τ σ τ d d ex. Suoa-se C µ e como C é uma cosae o egral eão...4. ex τ τ τ d C Efecuado uma mudaça de varável C w w C τ τ e dw C d τ em-se: ex ex dw w w C dw C w C w e vso que w dw w ex ode ser vsa como uma cosae em relação a em-se

41 ...5 ; µ C elo que aós algumas rasformações ode-se verfcar que a dsrbução margal a oseror ara é uma -Sude com graus de lberdade. Ada egrado...3 em ordem a a dsrbução margal a oseror ara τ é...6 ex ex ex µ τ τ τ µ τ τ τ τ d d d Para smlfcar µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ

42 3 µ µ µ µ µ Rereseado V µ é ossível rescrever...6 a forma...7 ex ex ex ex ex ex V V d V τ τ τ τ τ τ µ τ τ τ eão τ em uma desdade gama com arâmeros e V... Iferêca baesaa ara rocessos AR() Cosderado agora o rocesso auoregressvo de ordem dado ela equação.. a sua fução verosmlaça é obda a forma ex l σ σ σ ou a forma marcal suodo Z Y.... ex ' σ σ σ Z Z l

43 4 ) Usado a dsrbução a ror ão formava de Jeffres Coecdas as observações... e usado a dsrbução a ror ão formava (Zeller 97) dada or...3 com < <... e < < σ eão elo eorema de Baes a dsrbução a oseror ara os arâmeros... e σ é...3 ex σ σ σ K ou...4. ex ' σ σ σ Z Z Iegrado...4 em ordem a σ e efecuado algus cálculos aálogos ao caso dos auoregressvos de rmera ordem a dsrbução margal a oseror ara é dada or [ ]...5. ' Z Z Mas [ ] [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ' ' ' ' ' ' ' ' Z Z vs Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z S ode v Z Z s ˆ ˆ ' e ˆ é o esmador de elo méodo de mímos quadrados. Eão

44 ' ' [ ] vs ( ˆ ) Z Z( ˆ ) ' ( ) ( Z) ( Z) vs v ' ' ' ( ˆ ' ) ( ˆ ) ( ˆ Z Z Z Z v ) ( ˆ ) s v Logo a dsrbução margal a oseror ara é uma -Sude -varada com v graus de lberdade e arâmero de localzação ˆ. ara σ é Ada egrado (...4) em ordem a a dsrbução margal a oseror v σ σ ' ( σ ) ex ( ˆ) ( ˆ Z Z ) (...6) e logo a dsrbução margal a oseror ara σ é uma dsrbução gama verda de arâmeros v e ( Z ˆ ) ' ( Z ˆ ). ) Usado a dsrbução a ror cojugada Ulzado a abordagem de Broomelg (98) que ulza a famíla de dsrbuções cojugadas ode-se observar que a forma da fução verosmlaça dada a equação (...) sugere uma dsrbução a ror ormal ara e uma gama τ ou seja al que ( τ ) ( τ ) ( τ ) (...7) ' ( τ ) τ ex ( µ ) P( µ ) [ ] τ ~ N ( µ ( τ ) ) (...8) τ P ( τ ) τ ex{ τ } τ ~ Gama( ) (...9) ode os erarâmeros µ P e são coecdos com µ R > > e P uma marz defda osva de ordem. 5

45 Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com o eorema de Baes é dada or ( ) ( τ ) τ ode A P C P a j [ D] (...) [ ] τ ' ex ( A C) A( A C) ( j ) ' ' µ c j D µ Pµ C A C com o j-ésmo elemeo aj j e j c é vecor ( ) a é marz com o j-ésmo elemeo c j j. Iegrado (...) em ordem a τ a dsrbução margal a oseror ara é dada or ( ) [ ]... ' A C A A C D eão em uma desdade -Sude com graus de lberdade localzação A C e marz recsão ( ) AD. ara τ é Ada egrado (...) em ordem a a dsrbução margal a oseror τ [ ] ( ) τ τ ex D (...) eão τ em uma desdade gama com arâmeros e D. É de regsar que quer admdo a ror de Jeffres ou cojugada as dsrbuções margas a oseror são coecdas elo que faclmee se deermam as esmavas baesaas dos arâmeros. 6

46 7..3 Prevsão Como fo referdo aerormee or vezes o objecvo da aálse de séres emoras é rever valores fuuros k... do rocesso e assm como fo vso a dsrbução redva forece um rocedmeo de revsão. Suoa-se que é reedda a revsão do valor fuuro eão a desdade de dado τ e é..3. ex τ τ τ K ode R so é ~ τ N K. Agora esa desdade ode ser escra como..3. ex ' ' F E τ τ τ ode E é uma marz com o j-ésmo elemeo ) ( ) ( j e F é um vecor com o j-ésmo elemeo ) ( j os [ ] ' E K M K M O M K K K e Como τ τ ρ τ d d eão [ ]. ' F K M K

47 ' τ ( ) τ ex ( A C) A( A C) τ τ ex ' ' [ D E F ] ' ' ' [ ( A E) ( C F ) C A C D ] ddτ. ddτ Iegrado em ordem a τ e obém-se ara ( ) [ ]..3.3 ' ' D C A C C F A E C F R é a desdade redva a um asso de revsão. Aós smlfcação verfcase que é uma desdade -Sude com um asso a free calculam-se aravés de E( ) graus de lberdade. As revsões ouas ˆ...4 Exemlo de um rocesso auoregressvo usado o WBUGS Para exemlfcar a aálse baesaa de rocesso auoregressvo usado o WBUGS ulza-se um cojuo de dados gerados o sofware esaísco R. Pare-se do rcío de que o rocesso auoregressvo em resíduos que seguem uma dsrbução ormal com méda zero e varâca uára 6 e com a relação K (..4.) deerma-se o cojuo de 3 observações que se ecora o Aexo A. A defção da varável e algumas meddas de esaísca descrva omeadamee a méda o desvo adrão o mímo e o máxmo do cojuo de dados são areseados a abela.. Nº de observações Mímo Máxmo Méda Desvo Padrão Y Tabela.: Meddas descrvas da sére A Fgura. reresea o comorameo das 3 observações geradas a arr de resíduos de Posso Y 8

48 Fgura.: Comorameo da sére Y Assuma-se que o arâmero segue uma dsrbução a ror ormal com meda e varâca uára e o arâmero τ segue uma dsrbução Ga (.E-4.E-4). Sabe-se ada que o modelo é da forma ( 3...) 3 e orao exressa-se o modelo ara o WBUGS da segue a forma: Cosderam-se 6 e τ como valores cas ara os arâmeros do modelo. Noa-se que a codção de esacoaredade se verfca os 6 [ ]. Porao ajusou-se um modelo auoregressvo de rmera ordem e calculou-se os valores das meddas de dscreâca. O ouu com as esmavas dos arâmeros do modelo é areseado a abela.. 9

49 Tabela.: Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo auoregressvo de rmera ordem da sére Y Na Fgura. são areseados os gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo. Aqu ode-se comrovar as coclusões da aálse efecuada o óco.. ) em que o arâmero segue uma dsrbução -Sude com 3 ^ ( 4) 3 graus de lberdade e o arâmero τ segue uma dsrbução gama de arâmeros 55 e - (348) V ^ ( 4) V µ Fgura.: Gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo auoregressvo de rmera ordem da sére Y 3

50 O modelo auoregressvo de rmera ordem ecorado elo WBUGS é: com τ K (...). Processos de médas móves O rocesso { Y } dz-se um rocesso de médas móves de ordem q abrevadamee MA ( q ) (do glês Movg Average) se sasfaz a equação: θ Kθ q q... (..) θ ode θ θ θ K q são úmeros reas (com q θ dferee de zero) e é um rocesso de ruído braco com méda µ e varâca σ. Ulzado o oerador araso B que é defdo or: B j j (..) O rocesso ode ser escra a forma: q ( θ B θ B θ B ) Φ( B). (..3) K q Uma roredade muo morae ara os rocessos MA ( q ) é a verbldade. Um rocesso MA ( q ) é verível se as raízes da equação Φ( B ) círculo uáro ou seja se Φ( B ) ara B. esverem fora do Prova-se aós cálculos muo smles que a méda do rocesso é zero e a varâca em a segue forma Var Y q γ σ θ com θ. 3

51 3.. Iferêca baesaa ara rocessos MA() Suoa-se que são obdas observações... ' de um rocesso de médas móves de rmera ordem verível so é do modelo: θ ode... e ) ( ~ τ N. Suodo coecdo e ulo em-se: θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ L M M Cosequeemee o modelo... ode ser escro a forma marcal θ. A ode.... θ θ θ θ K K M M O M M M M K K K A A fução verosmlaça de θ e τ com base as observações é dada or...3 ex l l θ τ π τ τ θ τ θ com θ θ θ L.

52 ) Usado a dsrbução a ror ão formava de Jeffres Ulzado a abordagem de Zeller (97) com a dsrbução a ror ão formava de Jeffres usual ( θ τ ) (...3) τ com < θ < e < τ <. E usado o eorema de Baes a dsrbução a oseror ara os arâmeros é τ ( θ σ ) τ ex ( θ ). (...4) Para ober a dsrbução margal a oseror ara θ é ecessáro egrar (...4) em ordem a τ Cosderado ( θ ) C τ ( θ ) ρ( θ τ ) dτ τ ex ( θ ) dτ. (...5) em-se τ ( θ ) τ ex C dτ. (...6) τ Efecuado uma mudaça de varável C w τ w e C ou seja ( w) dτ dw em-se: C ( θ ) ex ex C C C { w} dw ( w) { } w dw C ( θ ) ( θ ). ( 3...7) Do mesmo modo a dsrbução margal a oseror ara σ é ode ser obda egrado (...4) em ordem a θ τ ( τ ) ( θ τ ) dθ τ ex ( θ ) dθ (...8) 33

53 que ão em uma forma fecada. ) Usado a dsrbução a ror cojugada Suõe-se θ e τ deedees a ror e escole-se a dsrbução margal a ror de θ como uma dsrbução uforme ere e (vso que a codção de verbldade erme que θ se sue esse ervalo) e a dsrbução margal a ror de τ como uma dsrbução Ga ( ) so é com f.d. τ ex( τ ) > τ. forma Alcado o eorema de Baes a dsrbução a oseror é dada ela segue τ [( ) ] ( θ τ ) τ τ ex ( θ ) τ ex ( θ ). (...3) Para a obeção das dsrbuções margas a oseror ode-se usar o modelo a forma marcal com a marz A ( θ ) dada em (...) Assm a dsrbução margal de θ é τ ' ' e usa-se a relação ( AA ) ( θ ). θ τ [( ) ] ( ) τ ex ( θ ) dτ ' ' ( θ ) AA (...4) Pode-se coclur que a dsrbução margal de θ segue uma desdade -Sude com graus de lberdade. A dsrbução margal a oseror de τ é dada or ( ) ( τ ) τ [ ] τ ' ex ( ' AA ) dθ (...6) R 34

54 35 que ão em uma forma fecada. Mas odem ser calculadas as codcoas comleas ara θ e τ e ulzar o algormo de Gbbs ara ober as esmavas dos arâmeros. A oseror codcoal comlea ara θ é dada or obda aravés de...3 { } AA ' ' ex ex ex ex τ θ τ θ τ τ τ θ. Agora a oseror codcoal comlea ara τ é [ ] ex θ τ τ θ τ segue uma dsrbução gama de arâmeros e θ. Dadas as codcoas comleas ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara ober as esmavas dos arâmeros θ e τ... Iferêca baesaa ara rocessos MA(q) Para o caso de um rocesso de médas móves de ordem q suoa-se que são obdas observações... ' e seja: q q θ θ θ ode q ) ( e ) ( ~ τ N. Suodo... ) ( q em-se: q q q q θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ M M com q.

55 Dese modo a fução verosmlaça de θ θ θ... θ ) e τ com base as observações é dada or l ( q τ τ π ( θ τ ) l( θ τ ) ex ( θ ) (...) ode ( θ ) θ θ... θ q q. ) Usado a dsrbução a ror ão formava de Jeffres Jeffres usual com Ulzado a abordagem de Zeller com a dsrbução a ror ão formava de ( θ τ ) τ (...3) < θ < e < τ <. Eão usado o eorema de Baes a dsrbução a oseror ara os arâmeros é τ ( θ σ ) τ ex ( θ ). (...4) Para ober a dsrbução margal a oseror ara θ é ecessáro egrar (...4) em ordem a τ ou seja τ ( θ ) ( θ τ ) dτ τ ex ( θ ) dτ (...5) ( θ ) ( θ ). (...6) Do mesmo modo a dsrbução margal a oseror ara σ é ode ser obda egrado (...4) em ordem a θ que ão em uma forma fecada. τ ( τ ) ( θ τ ) dθ τ ex ( θ ) dθ (...7) Assm como fo feo ara os rocessos de médas móves de rmera ordem ambém os modelos de ordem sueror odem-se calcular as codcoas comleas ara 36

56 37 os arâmeros e ulzar de seguda o algormo de Gbbs ara ober as esmavas baesaas dos arâmeros. ) Usado a dsrbução a ror cojugada Com as mesmas dsrbuções ulzadas ara o caso dos rocessos de médas móves de rmera ordem so é suõem-se θ e τ deedees a ror e escole-se a dsrbução margal a ror de θ como uma dsrbução uforme ere e (vso que a codção de verbldade erme que θ se sue esse ervalo) e a dsrbução margal a ror de τ como uma dsrbução Ga > τ. Alcado o eorema de Baes a dsrbução a oseror é obda a segue forma [ ] ex ex θ τ τ θ τ τ τ τ θ...8 e a dsrbução margal de θ é [ ]. ex ' ' θ τ θ τ τ θ AA d...9 Logo a dsrbução margal de θ segue uma desdade -Sude (q varada) com q graus de lberdade. A dsrbução margal a oseror de τ é dada or [ ]... ex ' ' R d AA θ τ τ τ que ão em uma forma fecada. E como fo vso aerormee odem ser calculadas as codcoas comleas ara θ e τ e ulzar o algormo de Gbbs ara ober a dsrbução margal de τ.

57 A oseror codcoal comlea ara θ j j K q obda aravés de (...8) é dada or que ão ossu uma forma fecada. τ ( θ j θ j τ ) ex ( θ j ) j Agora a oseror codcoal comlea ara τ é segue uma dsrbução gama de arâmeros [( ) ] ( τ θ ) τ ex ( θ ) τ e θ...3 Prevsão O rocedmeo de revsão ara os rocessos de médas móves é smlar a efecuada ara os rocessos auoregressvos com a ulzação da dsrbução redva baesaa. Cosdera-se eão o rocesso de médas móves de ordem q AR(q) θ θ θ q q.... (..3.) Seja a observação que se reede rever eão a desdade de dado θ e τ é dada or τ ' ( ) ' θ τ τ ex ( ) ( BB ) ( ) (..3.) ode ( θ ) θ θ... θ q q e B é semelae a marz A defda aerormee com mas uma colua e uma la referees aos valores de. d d eão a dsrbução redva é Como ( θ τ ) ( θ τ ) θ τ ' τ ' ( ) τ ex ( ) ( BB ) ( ) ' ' [ ][ ( AA ) ] dd τ a arr da qual se odem fazer revsões um asso à free. 38

58 ..4 Exemlo de um rocesso de médas móves usado o WBUGS Para ese exemlo ulza-se ambém o sofware R ara gerar os dados cas. Pare-se do rcío de que o rocesso de médas móves em resíduos que seguem uma dsrbução ormal com méda zero e varâca uára e com a relação θ... deerma-se o cojuo de 3 observações que se ecora o Aexo A. (..4.) A defção da varável e algumas meddas de esaísca descrva omeadamee a méda o desvo adrão o mímo e o máxmo do cojuo de dados são areseados a abela.3. Nº de observações Mímo Máxmo Méda Desvo Padrão Y Tabela.3: Meddas descrvas da sére A Fgura.3 reresea as 3 observações geradas e verfca-se uma ormaldade dos dados da sére Y. Y Fgura.3: Comorameo da sére Y 39

59 Assuma-se que o arâmero θ segue uma dsrbução a ror uforme de arâmeros e o arâmero τ segue uma dsrbução Ga (.E-4.E-4). Sabe-se ada que o modelo é da forma ( 3...) 3 e orao o modelo ara o WBUGS ode exressar-se elas exressões: Cosderam-se θ 6 e τ como valores cas ara os arâmeros do modelo. Noa-se que a codção de verbldade se verfca os 6 [ ] θ. Porao ajusou-se um modelo de médas móves de rmera ordem e calculou-se os valores das meddas de dscreâca. O ouu com as esmavas dos arâmeros do modelo é areseado a abela.4. Tabela.4: Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo de médas móves de rmera ordem da sére Y Na fgura.4 são areseados os gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo. Aqu ode-se comrovar as coclusões da aálse efecuada o 4

60 óco 3.. ) em que a dsrbução margal do arâmero θ é uma dsrbução - Sude com 3 ^ ( 4) 99 graus de lberdade equao a dsrbução margal do arâmero τ ão era defcada. Fgura.4: Gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo de médas móves de rmera ordem da sére Y O modelo de médas móves de rmera ordem ecorado elo WBUGS é: K (..4.) -.46 com τ.63 4

61 4

62 Caíulo 3 Aálse Baesaa de algus modelos de coagem A modelação de séres emoras de valor dscreo em sdo meos desevolvdo em odas as áreas de vesgação de séres emoras os o faco de que os valores das varáves serem eros lma a alcação da meodologa desevolvda ara séres com rereseações mas radcoas; omeadamee modelos leares vso que o roduo de uma cosae real or uma varável aleaóra de valor ero roduz uma varável aleaóra real. Ulmamee em avdo um úmero de eavas de desevolver uma classe adequada de modelos que se ossam alcar as séres emoras de valor dscreo. Varáves dscreas de séres emoras odem surgr em város coexo or coagem de acoecmeos objecos ou dvíduos ao logo do emo ou em ervalos cosecuvos de emo. Algus exemlos são o úmero de acdees de uma deermada fábrca em cada mês o úmero de acees raados or ora um osal ou udade de emergêca o úmero de escado caurado or semaa em deermada área do mar. Eses dados odem ambém surgr da dscrezação de uma varável coíua de séres emoras or exemlo a redução de volumes dáros de recação ara uma sére bára de (das secos) e (das molados). Em muos casos exsem muos valores ara a varável dscrea e faz sedo uma aroxmação a uma sére coua. Porém muas vezes sso ão é ossível e é ecessáro ecorar modelos esecífcos ara 43

63 rocessos de coagem. Além dsso frequeemee a sére observada aresea grade deedêca o emo ou mas geralmee deedêca as covarâcas. A aureza de as deedêcas coduzu a modelos leares geeralzados ou uma abordagem semelae a regressão mas arcularmee a regressão de Posso. Porao a dsrbução de Posso revela uma grade morâca o rocesso de modelação de dados de coagem. Têm sdo roosos város modelos ara rocessos esacoáros com dsrbução margal dscrea e ese caíulo serão esudados algus deles omeadamee modelos auoregressvos de valores eros de rmera e seguda ordem (INAR () e INAR ()) e modelos de médas móves de valores eros de rmera e seguda ordem (INMA () e INMA ()). Eses modelos baseam-se uma oeração desgada oeração g. 3. Oeração g Os rocessos INAR e INMA são resecvamee uma adaação dos modelos AR e MA a dados eros em que a oeração mullcação é subsuída ela oeração g defda or Seuel e va Har (979). A oeração g reresea-se or o. A oeração g ere o arâmero e a varável aleaóra Y defe-se como ode { ( )} Y U o Y ( ) ( 3..) U é uma sucessão..d de v.a. s de Beroull com robabldade de sucesso so é U ( ) ~ B( ). A sucessão { ( )} o Y Y e o Y. U desga-se or rocesso de coagem. Assm Dese modo a oeração g é uma oeração aleaóra dscrea com uma dsrbução de robabldade assocada. Porao o Y Y em dsrbução bomal de arâmeros Y e. Por ese movo a oeração dada em ( 3..) é ambém desgada oeração g bomal. 44

64 Algumas roredades da oeração g bomal foram esudadas or Olvera (). Assm ara a oeração defda em ( 4..) desacam-se as segues: ode Y W e Z são varáves aleaóras. ( ) E( o Y ) E( Y ) ( ) E[ W ( o Y )] E[ WY ] ( 3 ) E[ ( o Y )( o Z )] E( YZ) 3. Processos auo-regressvos de valor ero O rocesso auo-regressvo de valores eros (do glês INeger-valued AuoRegressve) fo roduzdo or McKeze ( ) e oserormee or Al-Os & Alzad (987). Recorreram à oeração g bomal defda or Seuel e va Har (979) ara subsur a oeração de mullcação usual o rocesso AR() e rouseram o rocesso INAR() arcularmee usado ara séres de coagem. Um rocesso esocásco dscreo de valor ero ão egavo { Y } dz-se um rocesso de coagem INAR () se sasfaz a codção o ( 3..) ode ] ] a oeração o é a oeração g bomal defda em ( 3..) e { } é uma sucessão de varáves aleaóras eras ão egavas deedees e decamee dsrbuídas com méda µ varâca fa σ e deedees de. Assm ese rocesso dca que de modo deedee em cada momeo cada elemeo ode couar o rocesso com robabldade ou abdca com robabldade. Para o rocesso INAR () Al-Os & Alzad (987) ere ouros demosraram que o valor eserado ode escrever-se como E ( Y ) E( Y ) E( o Y ) E( ) E( Y ) µ o ( 3..) usado a roredade ( ) da oeração g bomal. E ada devdo à esacoaredade do rocesso dada em ( 3..) em-se ( Y ) E( Y ) ( 3..) ode ser reescra do segue modo: E e orao a equação 45

65 E ( Y ) E( Y ) µ ( ) E( Y ) µ E( Y ) µ /( ). ( 3..3) A varâca é dada or Var ( Y ) Var( o Y ) Var( o Y ) Var( ) [ Y ] E[ ( ) Y ] σ VarE Y o Var Y 443 B( Y ) E Var [ ( o Y Y )] Var σ Y U σ Var [ Y ] E( Y ) ( 3..4) σ Aalogamee devda à esacoaredade do rocesso dada em ( 3..) em-se Var ( Y ) Var K e orao a equação (..3) Y Var 3 ode ser reescra do segue modo: ( Y ) Var[ Y ] E( Y ) σ Var( Y ) Var( Y ) E( Y ) σ ( ) Var ( Y ) µ σ Var( Y ) ( µ σ )/( ) Relavamee às fuções de auocovarâca e auocorrelação elas são defdas elas exressões segues: γ k ( k ) Cov( ) γ Y Y k k ( k) Corr ρ Y Y k. Porao esas roredades êm algumas semelaças com as roredades do rocesso AR () vso que ambos os modelos êm a mesma esruura de auocorrelação. Du e L (99) rouseram uma exesão ara a ordem INAR (): o o... o ode { } é defdo como em ( 4..) [ ] coagem k o k k e as séres de são muuamee deedees e deedees de { }. Ada Du e L (99) mosraram que as codções de esacoaredade de seguda ordem dos rocessos INAR () são as mesmas de um rocesso AR () ou seja um rocesso INAR () é esacoáro se as raízes do olómo auoregressvo de ordem 46

66 esverem fora do círculo uáro. Mas arde Laour (998) mosrou que a codção de esacoaredade é equvalee a <. Eses mesmos auores rouseram esmadores k k de Yule-Walker ara os arâmeros descoecdos e demosraram que o méodo de mímos quadrados codcoas forece esmavas assmocamee ormas. Em 5 Slva N. desevolveu um rabalo com cdêca os modelos INAR de Posso com um esudo comaravo ere as abordages clássca e baesaa. As dsrbuções que roduzem soluções esacoáras ara o rocesso auoregressvo de valor ero são: Posso geomérca e bomal egava. Nese rabalo serão cosderadas as dsrbuções de Posso e geomérca ara o rocesso das ovações. 3.. Iferêca baesaa ara rocessos INAR () de Posso Cosderado um rocesso INAR () se se reeder ober uma dsrbução de Posso ara a dsrbução de { Y } é ecessáro que { } ambém ea uma dsrbução se de Posso. Mas cocreamee { Y } em dsrbução de Posso com méda ( ) e só se { } em dsrbução de Posso de méda. Porao a dsrbução de Posso em um ael aálogo ao da dsrbução ormal o modelo ARMA. Cosdera-se o rocesso auo-regressvo de valor ero de rmera ordem INAR () dado or: o ( 3...) ode a oeração o é a oeração g bomal ( ) e { } é uma sucessão de varáves aleaóras de Posso de arâmero ão correlacoadas e deedees de. é dada or Sob esas codções e dado a fução verosmlaça da amosra (... ) 47

67 Y Y P Y P Y Y P Y l o A varável aleaóra Y Y é a covolução da dsrbução bomal de arâmeros Y e com a dsrbução de Posso de arâmero orao a sua fução massa de robabldade é dada or.! m m m C e Y Y P P o Dese modo a fução verosmlaça codcoal a é dada or 3...! M C e l ode M... m. Cosderemos a dsrbução bea como dsrbução a ror ara o arâmero e a dsrbução gama como dsrbução a ror ara o arâmero so é ~ > b a b a Be b a e ~ ex > d c d c Ga d c. A escola das dsrbuções bea e gama ara dsrbuções a ror dos arâmeros rede-se com o faco de serem as cojugadas da bomal e Posso resecvamee. Suodo e deedees a dsrbução a ror cojua é dada or

68 c a b ( ) ex( d) ( ) ode > < < e os erarâmeros a b c e d são coecdos e osvos. Noa-se que se a b c e d em-se o caso de uma dsrbução a ror ão formava. Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com a equação (..4) é dada or dada or M b C ( )! c a ( ) ex[ ( d ) ] ( ) ( 4...3) ( ). Iegrado ( 3...3) em ordem a a dsrbução margal a oseror ara é M b C ( )! c a ( ) ex[ ( d ) ] ( ) dada or ( ) d. Iegrado ( 3...3) em ordem a a dsrbução margal a oseror ara é M b C ( )! c a ( ) ex[ ( d ) ] ( ) ( ) d. Como se ode verfcar eses egras são muo comlexos e orao é ecessáro ulzar a meodologa de Gbbs ara ober as esmavas de e. Para al devem-se calcular as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros e. A dsrbução codcoal comlea ara o arâmero é ode c ( ) ex[ ( d ) ] L( ) ( 3...4) L ( ) C ( )! M e >. 49

69 A dsrbução dada em ( 3...4) é uma combação lear de fuções desdade de robabldade de varáves aleaóras com dsrbução gama. ode Aalogamee a dsrbução codcoal comlea ara é dada or a b ( ) ( ) ( ) ( ) K ( 3...5) K ( ) ( ) M C! e < <. A dsrbução dada em ( 3...5) é uma combação lear de fuções desdade de robabldade de varáves aleaóras com dsrbução bea. Agora que são coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas. 3.. Iferêca baesaa ara rocessos INAR() geomérca Cosdera-se o rocesso auo-regressvo de valor ero de rmera ordem INAR () dada or: o ( 3...) ode a oeração o é a oeração g bomal ( ) e { } é uma sucessão de varáves aleaóras geomércas com méda deedees de. ( < < ) ão correlacoadas e é dada or Sob esas codções e dado l a fução verosmlaça da amosra (... ) ( ) P( Y... Y ) P( Y Y ) P ( o Y Y ) ( ). 5

70 A varável aleaóra Y Y é a covolução da dsrbução bomal de arâmeros Y e com a dsrbução geomérca com méda robabldade é dada or orao a sua fução massa de ( ) m ( ) P( ) ( ) m ( ) P ( o Y Y ) ( ) m C ( ). Dese modo a fução verosmlaça codcoal a é dada or l ( ) ( ) ( ) C ( 3...) M ode M m( ).... Cosderado ovamee a dsrbução bea como dsrbução a ror ara os arâmeros e em-se e a b ( ) ~ Be( a b) a b > c d ( ) ~ Be( c d ) c d >. A escola da dsrbução bea ara dsrbução a ror dos arâmeros rede-se ovamee com o faco de ser a cojugada da bomal e da geomérca. Suodo e deedees a dsrbução a ror cojua é dada or a b c d ( ) ( ) ( ) ode < < e os erarâmeros a b c e d são coecdos e osvos. 5

71 Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com o eorema de Baes é dada or a b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C. ( 3...3) M Aalogamee ao verfcado a secção aeror ambém ão se obêm formas fecadas ara as dsrbuções a oseror margas de e daí a ecessdade da obeção das dsrbuções codcoas comleas. Assm a dsrbução codcoal comlea ara o arâmero é ode a b ( ) ( ) ( ) N( ) ( 3...4) N M C. A dsrbução dada em ( 3...4) é uma combação lear de fuções desdade de robabldade de varáves aleaóras com dsrbução bea. Do mesmo modo a dsrbução codcoal comlea ara é dada or ode c d ( ) ( ) ( ) ( ) M ( 3...5) M ( ) ( ) C M e < <. A dsrbução dada em ( 3...5) é uma combação lear de fuções desdade de robabldade de varáves aleaóras ambém com dsrbução bea. Agora que são coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas Iferêca baesaa ara rocessos INAR () de Posso Cosderemos o rocesso auo-regressvo de valor ero de seguda ordem INAR() dado or: 5

72 o o 3 ( 3...) ode a oeração o é a oeração g bomal ( ) e { } é uma sucessão de varáves aleaóras de Posso de arâmero ão correlacoadas e deedees de e. Adme-se a erreação de Du e L (99) a qual (...) 3 ode ser erreado como um rocesso esecal de reovameo múllo com mgração a qual um eríodo e emo fxo cada coagem é flrada duas vezes: uma or cada o sae e segudamee or o sae. Nese coexo o e o são muuamee deedees ere s e deedees de { } ode o ~ B( ) e ~ B( ) o. < O rocesso auo-regressvo de valor ero de seguda ordem é esacoáro se. O valor médo é dado or Dados e modelo INAR() é dada or l /( ) E. Y a fução verosmlaça da amosra (... ) ( ) P( Y Y... Y ) P ( Y Y ) P Y ara o ( o o Y Y ) ( ). Pode-se verfcar que a varável aleaóra Y Y Y é a covolução das dsrbuções bomas de arâmeros ( Y ) e ( ) orao a sua fução massa de robabldade é dada or Y com a dsrbução de Posso de arâmero 53

73 54.! m max m m j j j j C C e Y Y P P o o... 4 Dese modo a fução verosmlaça codcoal a e é dada or l Uma vez que < as dsrbuções dos arâmeros e ão oderão ser deedees. Assm e couado a usar as dsrbuções cojugadas cosdera-se b a Be ~ > b a ~ d c Beg > d c < < 4 e ~ > f e f e Ga. Assm a dsrbução a ror cojua é dada or ex d c d c b a e f ode < < > e os erarâmeros e d c b a e f são coecdos e osvos. Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com a equação..4 é dada or d c d c b a e f 3 ex Ver Aexo D

74 ode ( ) é da forma dada em (...) 3. Faclmee se verfca que os egras da equação ( 3...4) em ordem aos arâmeros e são muo comlexos e ão se cosegue ober uma forma fecada. Porao é ecessáro ulzar a meodologa de Gbbs ara ober as esmavas de e. Para al devem-se calcular as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros assm como fo feo ara o rocesso auo-regressvo de valor ero de rmera ordem. e a ( ) ex( f) ( ) ( ) c d ( ) c d b 3 ( ). As dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros e são resecvamee: a ( ) ( ) ( ) c d ( ) c d b 3 3 ( ) ( 3...5) c d ( ) ( ) ( ) ( 3...6) 3 e ( ) ex( f) ( ). ( 3...7) Coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas Iferêca baesaa ara rocessos INAR () geomérca Cosdera-se o rocesso auo-regressvo de valor ero de seguda ordem INAR() dada or: o o 3 ( 3...) ode a oeração o é a oeração g bomal ( ) e { } de varáves aleaóras geomércas com méda de e. é uma sucessão ão correlacoadas e deedees 55

75 Dados e modelo INAR() é dada or a fução verosmlaça da amosra (... ) ara o l ( ) ( ). 3 Aalogamee ode-se verfcar que a varável aleaóra Y Y Y é a covolução das dsrbuções bomas de arâmeros ( Y ) e ( ) com méda Y com a dsrbução geomérca ; orao a sua fução massa de robabldade é dada or ( ) m ( ) P( ) ( o o Y Y ) ( ) m P ( ) ( ) m C j max ( ) ( 3...) j ( ) C ( ) j j. Dese modo a fução verosmlaça codcoal a e é dada or l 3 ( ) ( ). ( 3...3) Cosderam-se as segues dsrbuções ara os arâmeros e : ~ Be( a ) ~ ( c ) b Beg e Be( e f ) d dsrbução a ror cojua é dada or e f a ( ) ( ) ~ com a b c d e f >. Assm a ( ) c d ( ) c b d ode a b c d e f > < e os erarâmeros a b c d e e f são coecdos. < 56

76 57 Cosequeemee a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com a equação..4 é dada or d c d c b a f e ode é da forma dada em É ecessáro ulzar a meodologa de Gbbs ara ober as esmavas de e. Para al devem-se calcular as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros assm como fo feo ara o rocesso auo-regressvo de valor ero de rmera ordem. As dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros e são resecvamee: d c d b a d c f e Coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas Prevsão Cosdera-se o rocesso auo-regressvo de valores eros de rmera ordem dada em... 3 suoa-se que é reedda a revsão do valor fuuro eão a desdade de dado é

77 58 Y P Y f. A varável aleaóra Y Y é a covolução da dsrbução bomal de arâmeros Y e com a dsrbução de Posso de arâmero (Freelad 998) orao a sua fução massa de robabldade é dada or C Y P Y f! ex m o de K. Como a dsrbução redva baesaa é dada or ρ ρ d d l eão [ ].! ex! ex m d d C d C M b a c Esa exressão demosra uma grade comlexdade e a obeção do egral orase de dfícl raameo. No eao o que se reede é a ober é uma revsão oual ara ou seja E ˆ que ode ser deermada aravés da roredade da eseraça maemáca [ ] [ ] [ ] f E E f E Eão [ ] [ ]. E E E E E E

78 Eses valores médos odem ser esmados aravés de geração de valores obdo elo algormo de Gbbs aravés de: ˆ m m m m ode m é o úmero de erações usadas a amosragem de Gbbs (aós a covergêca) e e são valores gerados a arr das dsrbuções codcoas comleas. O caso da ulzação da dsrbução geomérca em vez da Posso é de fácl alcação e ão será areseada ese rabalo Exemlo de um rocesso ero auoregressvo de Posso ulzado WBUGS Para ese exemlo ulza-se ambém o sofware R ara gerar os dados cas. Pare-se do rcío de que o rocesso de médas móves em ovações que seguem uma dsrbução Posso com méda uára e com a relação o deerma-se o cojuo de 5 observações que se ecora o Aexo A3. A defção da varável e algumas meddas de esaísca descrva omeadamee a méda o desvo adrão o mímo e o máxmo do cojuo de dados são areseados a abela 3.. Nº de observações Mímo Máxmo Méda Desvo Padrão Y Tabela 3.: Meddas descrvas da sére Y A Fgura 3. reresea as 3 observações geradas e o seu comorameo 59

79 Fgura 3.: Comorameo da sére Y Assuma-se que o arâmero segue uma dsrbução a ror Be(.E-4.E-4) e o arâmero segue uma dsrbução a ror Be(.E-4.E-4). Sabe-se ada que o modelo é da forma ( 3...) 5 e orao o modelo ara o WBUGS em a forma: Cosderam-se. 45 e como valores cas ara os arâmeros do modelo. Noa-se que a codção de esacoaredade se verfca os.45 [ ]. Porao ajusou-se um modelo ero auoregressvo de rmera ordem e calculou-se os valores das meddas de dscreâca. O ouu com as esmavas dos arâmeros do modelo é areseado a abela 3.. 6

80 Tabela 3.: Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo auoregressvo ero de rmera ordem da sére Y Na fgura 3. são areseados os gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo. Aqu ode-se comrovar as coclusões da aálse efecuada o óco 3.. ) em que a dsrbução margal do arâmero θ é uma dsrbução - Sude com 3 ^ ( 4) 99 graus de lberdade equao a dsrbução margal do arâmero τ é ão em uma forma fecada. Fgura 3.: Gráfcos das desdades margas a oseror dos arâmeros do modelo auoregressvo ero de rmera ordem da sére Y O modelo auoregressvo ero de rmera ordem ecorado elo WBUGS é: com.65. o K (..4.).67 6

81 3.3 Processos de médas móves de valor ero O rocesso de médas móves de valor ero INMA(q) q order INeger valued Movg Average é uma adaação do rocesso MA(q) em que subsu-se a oeração mullcação usual ela oeração g defda o óco aeror. McKeze (986) roduzu o rocesso INMA() ara dsrbuções margas geomérca e bomal egava fazedo uma aaloga a um rocesso couo com dsrbução margal exoecal rooso or Lawrece e Lews (98). Dos aos mas arde Mackeze (98) desevolveu o rocesso de médas móves de valor ero de rmera ordem ara a dsrbução margal de Posso. Um rocesso esocásco dscreo de valor ero ão egavo { Y } dz-se um rocesso de coagem INMA() se sasfaz a codção o ( 3.3.) ode ] ] a oeração o é a oeração g bomal defda em ( 3..) e { } é uma sucessão de varáves aleaóras eras ão egavas deedees e decamee dsrbuídas com méda µ varâca fa. σ e deedees de E Para o rocesso INMA() o valor eserado ode escrever-se como ( Y ) E( o ) E( ) E( o ) µ E( ) µ µ ( ) µ ( 3.3.) ode a eúlma gualdade deve-se à roredade ( ) da oeração g bomal. A varâca é dada or Var ( ) Y Var o Var Var o Var U σ 6

82 σ Var E σ Var σ Var o B( ) B( ) ( 3.3.3) [ ] E[ ( ) ] [ ] E( ) σ ( ) σ µ E Var o σ µ Al-Os e Alzad (988) rouseram uma exesão ara a ordem q INMA(q): o o... o ( 3.3.4) q q ode { } é defdo como em ( 3.3.) [ ]... q. q As suas roredades de valor médo varâca e fuções auocovarâca e auocorrelação foram esudados or Al-Os e Alzad (988). Já Brääs e Hall () esudaram a esmação dos arâmeros do modelo de ordem q usado os méodos de Yule- Walker mímos quadrados codcoas e méodo dos momeos geeralzados. Em 998 Hall (988) desevolveu uma classe de modelos de coagem GINMA (Geeralzed INeger Movg Average). Nese rabalo Hall esudou as roredades báscas do modelo esmação dos arâmeros e roredades dos esmadores. A geeralzação ara a ordem fa INMA( ) é obda aravés da equação ode em muas ocasões o ( 3.3.5) é cosderado uáro e { } é defdo como em (.3.) 3. Hall esudou a obeção do INMA( ) aravés do INAR() ulzado a exressão ( 3.3.5). Neal e Subba Rao (4) fzeram uma aálse da mlemeação da meodologa MCMC ara a aálse baesaa de modelos eros ARMA ( q) usado a ror s uformes ão formavas ara os arâmeros. Por aaloga a abordagem ulzada ara os rocessos INAR serão cosderadas as dsrbuções margas de Posso e geomérca ara os rocessos INMA. Na aálse fea 63

83 ese rocesso fez-se uma adaação dessa meodologa areseada or Neal e Subba Rao (4) Iferêca baesaa ara rocessos INMA() de Posso Cosdera-se o rocesso de médas móves auo-regressvo de valor ero de rmera ordem INMA() dado or: o ( 3.3..) ode a oeração o é a oeração g bomal ] ] e { } é uma sucessão de varáves aleaóras de Posso de arâmero ão correlacoadas e deedees de. Rereseado o or v e ara a exressão (.3..) 3 ode ser reescra a forma Suoa-se e ( ) K v ( 3.3..). com coecdo e ulo eão ara a fução verosmlaça da amosra (... ) l é dada or ( ) l( v e ) l( v ) ( ) Verfca-se que a úlma exressão é uma covolução da dsrbução bomal de arâmeros e com a dsrbução de Posso de arâmero orao l ( v ) l( ) l( v ) e v ( ) v (.3..4) C. 3! v Cosderado a dsrbução bea como dsrbução a ror ara o arâmero e a dsrbução gama como dsrbução a ror ara o arâmero so é em-se e a b ( ) ( ) ~ Be( a b) a b > 64

84 c ( ) ex( d) ~ Ga( c d ) c d >. Suodo e deedees a dsrbução a ror cojua é dada or c a b ( ) ex( d) ( ) ( ) ode > < < e os erarâmeros a b c e d são coecdos e osvos. Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com o eorema de Baes é obda aravés do cálculo dada or! c a b v v ( ) ex[ ( ) ] ( ) d C ( ). ( ) Iegrado ( ) em ordem a a dsrbução margal a oseror ara é v v c a b v ( ) ex[ ( d ) ] ( ) C ( ) d.! v dada or Iegrado ( ) em ordem a a dsrbução margal a oseror ara é! c a b v v ( ) [ ( d ) ] ( ) C ( ) ex d. v Como se ode verfcar mas uma vez eses egras são muo comlexos e ão se cosegue ober a sua forma fecada orao é ecessáro ulzar a meodologa de Gbbs ara ober as esmavas aroxmadas ara e. Para al devem-se calcular as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros e. A dsrbução codcoal comlea ara o arâmero é ode c ( ) ex[ ( d ) ] L( ) ( ) 65

85 L v e >.! v ( ) ( ) v C Aalogamee a dsrbução codcoal comlea ara é dada or ode a b v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v K K v e < <.! ( ) C Agora que são coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas Iferêca baesaa ara rocessos INMA() geomérca Cosdera-se o rocesso auo-regressvo de valor ero de rmera ordem INMA() dada or: o ( 3.3..) ode a oeração o é a oeração g bomal ] ] e { } é uma sucessão de varáves aleaóras geomérca com méda ão correlacoadas e deedees de. Suoa-se e ( ) K com fução verosmlaça da amosra (... ) l coecdo e ulo eão ara a é dada or ( ) l( v e ) l( ). v ( 3.3..) Verfca-se que a úlma exressão é uma covolução da dsrbução bomal de arâmeros e com a dsrbução geomérca de arâmero orao 66

86 67. v v v C v l l v l Cosdera-se a dsrbução bea como dsrbução a ror ara os arâmeros e so é ~ > b a b a Be b a e ~ > d c d c Be d c Suodo e deedees a dsrbução a ror cojua é dada or d c b a ode < < e os erarâmeros c b a e d são coecdos e osvos. Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com a equação..4 é dada or. v v v d c b a C Como se ode verfcar os egras em ordem a e da exressão são muo comlexos e ão é ossível ecorar a sua forma fecada elo que devem ser calculadas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros e. A dsrbução codcoal comlea ara o arâmero é b a L ode v v C v L. Aalogamee a dsrbução codcoal comlea ara é dada or

87 ode c d v v ( ) ( ) K( ) ( ) ( ) K ( ) ( ) C v e < <. Agora que são coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas Iferêca baesaa ara rocessos INMA() de Posso Cosdera-se o rocesso auo-regressvo de valor ero de rmera ordem INMA() dada or: o o ( ) ode a oeração o é a oeração g bomal ] ] e { } é uma sucessão de varáves aleaóras de Posso de arâmero ão correlacoadas e deedees de e. Rereseado o or v e ara a exressão (.3.3.) 3 ode ser reescra a forma Suoa-se e ( ) v K com. v e coecdos ( v v ) a fução verosmlaça da amosra (... ) é dada or l v eão ara ( ) l( v e ) l( v ) Verfca-se que a úlma exressão é uma covolução das dsrbuções bomas de arâmeros ( ) ( ) com a dsrbução de Posso de arâmero orao 68

88 69.! v v v v v v C C e v l l v l sujeas as resrções v v v. Cosderam-se ara e a dsrbução bea bea geeralzada e gama resecvamee como dsrbuções a ror so é ~ > b a b a Be ~ d c Beg e ~ > f e f e Ga. A dsrbução a ror cojua é dada or ex d c d c b a e f ode < < > e os erarâmeros e d c b a e f são coecdos e osvos. Assm a dsrbução a oseror cojua calculada de acordo com o eorema de Baes é dada or [ ]! ex v v v v v v d c d c b a f C C e As dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros e são resecvamee: A d c d b a A d c [ ] ex A e f

89 7 ode! v v v v v v C C A Agora que são coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas Iferêca baesaa ara rocessos INMA() geomérca Cosdera-se o rocesso auo-regressvo de valor ero de rmera ordem INMA() dada or: o o ode a oeração o é a oeração g bomal ] ] e { } é uma sucessão de varáves aleaóras com dsrbução geomérca de arâmero ão correlacoadas e deedees de e. Tal como se fez aerormee er-se-á ara a fução verosmlaça da amosra... v l e v l l. Verfca-se que a úlma exressão é uma covolução das dsrbuções bomas de arâmeros e com a dsrbução geomérca de arâmero orao v v v v v v C C v l l v l Cosderam-se as segues dsrbuções

90 7 ~ > b a b a Be ~ > d c d c Beg e ~ > f e f e Be. A dsrbução a ror cojua é dada or d c d c b a f e ode < < e os erarâmeros e d c b a e f são coecdos e osvos. Assm a dsrbução a oseror cojua é dada or v v v v v v d c d c b a f e C C As dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros e são resecvamee: A d c d b a A d c A f e ode v v v v v v C C A Uma vez coecdas as dsrbuções codcoas comleas ara os arâmeros ode-se ulzar o algormo de Gbbs ara deermar as esmavas.

91 Prevsão Cosdera-se o rocesso de médas móves de valores eros de rmera ordem dada em suoa-se que é reedda a revsão do valor fuuro eão a desdade de dado é e v Y f f Tem-se eão a covolução da dsrbução bomal de arâmeros e com a dsrbução de Posso de arâmero orao a sua fução massa de robabldade é dada or! ex v v v C e v f f ode K. Como a dsrbução baesaa é dada or ρ d d l eão [ ] d d C d C v v v b a c v v v! ex! ex Nese caso o roblema da ferêca redva é mas comlexo comarado com a suação INAR o eao é ossível de ser realzada aravés do méodo de decomosção de Taer (996). Muo sucamee cosse um rocesso de geração de valores ode se começa or gerar valores dos arâmeros a arr da dsrbução a oseror cojua (ese caso é ecessáro a amosragem de Gbbs) e deos uma vez subsuídos em

92 ( ) l geram-se valores de reeddo E[ ] a arr desa dsrbução. O valor revso ˆ ode ser esmado ela méda amosral dos valores obdos. 73

93 74

94 Caíulo 4 Aálse de gruos de macas solares de Paleua Ese caíulo aresea a alcação a um cojuo de valores da aálse baesaa de séres emoras e em or faldade modelar a evolução das macas solares. O cojuo de valores observados forma uma sére emoral Y. O sofware ulzado ese coexo é o WINGUBS. As macas solares surgem como macas o dsco do Sol. A sua esruura ode comorar uma regão ceral (escura) deomada umbra e um cooro aczeado deomado eumbra e odem surgr soladas ou em gruos com dferees asecos e formas. As macas movem-se do mesmo modo ao logo do Sol equao ese roda o seu exo e mudam um eríodo de algus das aé mesmo de ora a ora varado em amao desde equeas (oros) ara gruos grades de macas cobrdo uma vasa área da suerfíce solar que deos de um emo oram-se meores e desaarecem. O emo que decorre desde o ascmeo aé a more de um gruo de maca solar vara de oucos das a ses meses com a medaa meos de duas semaas. Há regsros ceses de observações solares que remoam desde a agudade. Esas observações rovavelmee eram efecuadas a olo u (sem srumeos) em éocas de máxma acvdade solar quado o Sol ecorava-se róxmo ao orzoe ou mesmo em ocasões com évoa. A arr do século XVII com o surgmeo da luea 75

95 Galleu observou o Sol e assm ode-se regsrar as macas erodcamee. Moderas medções ssemácas das macas solares começaram em 835. Rudolf Wolf em 848 ulzou um coefcee de coagem ara quafcar os resulados das observações camado de Relave Suso Numbers (agora desgado o Ieracoal Suso Numbers) como uma medda da acvdade das macas solares. Receemee Ho e Scae (998) roduzram o Grou Suso Number que ulza o úmero de gruos de macas solares observados em vez de gruos e dvduas macas solares. Para lusrar a écca areseada esa secção cosdera-se o úmero de gruos de macas solares dsoíves o-le o Naoal Geoscal Daa Ceer (:// a secção sobre Solar Suso Rego. Os dados são referees ao úmero oal de gruos de macas solares semaas que foram regsradas o observaóro solar Paleua Solar Observaor (Hawa E.U.A.) durae dos aos (99-99) em um oal de 4 observações. Os dados são areseados a Fgura 4.. Fgura 4.: Número de Gruos de macas solares semaas ere 99 e 99 As Tabela 4. coêm as meddas descrvas da sére dos gruos de macas solares. Noe que o úmero de gruos de macas solares em uma semaa ode ser cosderado como o úmero de gruos de macas solares exsees a semaa aeror 76

96 que ão eam desaarecdo com robabldade mas o ovo gruo de maca que aarecem a semaa em curso. Nº de observações Mímo Máxmo Méda Desvo Padrão Macas solares Tabela 4.: Meddas descrvas da sére de gruos de macas solares A fução de auocorrelação amosral e a fução auocorrelação arcal amosral da sére dos gruos de macas solares esão rereseados a Fgura 4.. Pela aalse desas fuções Slva I e al (5) roõe um rocesso INAR() ara modelar eses dados. A escola de é corroborada elo créro AICC ara a selecção a ordem modelos INAR (Slva I 5) que age um valor mímo de 433 ara quado é ermda a varar aé. Fgura 4.: Fuções de auocorrelação e auocorrelação arcal amosras Cosdera-se eão um modelo INAR() de Posso dado or o. Ulzado a ersecva baesaa de a ror s cojugadas assuma-se que o arâmero 4 segue uma dsrbução a ror Be ( 4 ) 4 ror Ga ( 4 ). Para valores cas cosdera-se. 5 e o arâmero segue uma dsrbução a e. 77

97 Na Tabela 4. ode-se verfcar o ouu com as meddas esaíscas das esmavas dos arâmeros: Tabela 4.: Ouu do WBUGS com as esmavas dos arâmeros do modelo INAR() ara o umero de gruos de macas solares. Na Fgura 4.3 em-se as dsrbuções margas a oseror ara os arâmeros do modelo INAR() ara os dados: Fgura 4.3: Gráfcos das dsrbuções margas a oseror dos arâmeros do modelo INAR() 78