Plano de aula. ECG com ruído: o que fazer? Motivação / Importância. Importância. Aplicações. Sinais aleatórios: aplicações em sinais biomédicos
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- Oswaldo Olivares Tavares
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1 Sas aleaóros: aplcações em sas bomédcos Sérgo S Furue Plao de aula Movação: o que é e para que serve? Tpos de sas e represeação de sas Ruídos Processos esocáscos e ergódcos pdf Operador depedees Correlação/correlação cruzada Relação ere especro e correlação Ref. específcas: Cap. -Semmlow < 7 Hz >. Hz eclusão 6, 8, ECG com ruído: o que fazer? och p.ala p.baa ECG Movação / Imporâca Muos feômeos físcos de eresse da egehara são represeados por sas emporas deermíscos: velocdade, aceleração (em codções deas,... E aqueles que ão podem ser predos com precsão> dados e feômeos radômcos E.: ervalo RR do rmo cardíaco Imporâca Ldar com a deermação a medção valor esperado varabldade ervalo de cofaça E.: T37 ±, Caracerzação do ruído omzação da esmava das varáves omzação de processos esocáscos E.: flro de Weer, Mamum lelhood Aplcações Flragem de eveos de eresse Aeuação do ruído Aálse de compoees Deeção de eveos Deermação de causa e efeo Modelagem Relação e correlação com ouros eveos... 6
2 3( ( ( ( ( ( Sas Sas deermíscos: coeúdo o empo e freq. Sas aleaóros: valores ao acaso. São caracerzados: pela probabldade (caso dscreo pela fução desdade de probabldade (caso coíuo ( ( ( ( Temos város sas emporas de um feômeo Rudoso com SR bao: o que fazer? ( ( 7 8 Processos esocáscos Ruídos Mafesação de feômeos aleaóros Caracerzado pela dsrbução de probabldade Varável aleaóra com depedêca emporal ou espacal (coíua ou dscrea ( E.: ruído em ECG Ruídos erees ao feômeo físco efeo da respração em ECG; sal da Mãe em ECG feal Ruído ambee, cludo erferêcas Acoplameo/dução de 6 Hz em sas Ruído do rasduor Deecor de fóos (processo Posso Ruído elerôco (DC a ~ Hz: braco Ruído érmco (Johso: foes ressvas Ruído de dsparo (sho ose:semcoduores 9 Eemplo em Malab > Eemplo Melhorar o esmador (varabldade com a raz quadrada do úmero de amosras poecal evocado gaed blood pool gaed SPECT gaed MRI
3 Sas rudosos. Como medr smlardade ou relação? Correlação ere sas amosrados Méda,Varâca, Desvopadrão Coefcee de correlação ormalzado ere [,] Eraídas as médas ormalzado pelo d. Padrão Covarâca Varação sem cosderar a méda (sem ormalzação por - Varâca de cov(, Operador correlação m!!!!!! ((! m.(y(! m y! ( (! m. ( (! m cov ((! m.(y(! m y! cov. y! ( Malab: corrcoef(!! ((! m cov ((! m.(y(! m y corr! (.y( 3 Escalares.Geeralzação: marz de covaracas 4 Como aalsar mas de sas? Marz de covaracas Sas,,! c c c $ cov,,.., cov! c c c c c c % ( ' c j cov, j ( (' m.( j (' m j! corr!! j c j c.c jj! j $ % Correlação cruzada ou fução correlação Seja (,,- y(,,m- M< Obs.: aear para os lmes de [-(-,M-] Se ecessáro usar ormalzação pelo úmero de parcelas EEG corr ( (.y( M! 3 4 Tempo (s Malab: cov(, corr( E se qusermos verfcar um sal ao logo do ouro? Malab: cov(, corr( E se for ere o sal e ele mesmo? Auocorrelação 6 Fução auocorrelação Seja (,,- Obs.: aear para os lmes de [-(-,-] úmero de parcelas ão é cosae! Se ecessáro usar ormalzação pelo úmero de parcelas! corr ( (.( +!(!,(! Sal ECG:quas-peródco, quas-esac. sal auocorr eropa.876 freq.amos Hz Malab: corr( 7 8 3
4 observações Defção mas geral ((, h(: compleas, ão-causas, porém ão são médas (cosseca com covolução*: corr h ( τ h ( τ h*(. ( + τ. d cov h (! h! (! $ h(.(!.d $ (.h(!.d Se h( e ( forem reas: corr ( τ ( τ h h h(. ( + τ. d corr h ( τ h! (! (.h(!!.d (.h[!(!! ].d!! $(h! (! [h(! % (](! Ou seja, a correlação ere um emplae h( e sal ( em um poo : a Correspode à poderação de ( com h(- ; b Correspode ambém à covolução ere [(,h(-] c É a saída de um flro com resposa mpulsva h(- Represeação de sas. Sal o empo ( Evolução emporal Dervadas, duração, ampludes,.... Qual o coeúdo em frequêca do sal? Tpos de ruído? > Sal o domío da frequêca [reversível] 3. Qual a dsrbução das ampludes do sal (? Varabldade? Valores com maor ocorrêca? > fução desdade de probabldade (pdf [rreversível] 4. Como se relacoa com os poos vzhos? > Auocorrelação [rreversível] (obs.: relacoado com. Qual o padrão (assaura do sal? Represeação muldmesoal. Qual a correlação ere sas?> scaerplo [reversível] *Oppehem (989;Gozalez( ff sal auocorr Sal cosae: deermísco eropa. freq.amos Hz ff perodco auocorr Sal peródco: deermísco eropa.34 freq.amos Hz hsograma hsograma Sal ECG:quas-peródco, quasesac. sal auocorr ff 4 eropa.876 freq.amos Hz sal sal esacoáro auocorr - ff. eropa.3 freq.amos Hz hsograma hsograma
5 3( ( ( sal auocorr hsograma ff Sal braco gauss.: alea..esac.,ão-corr. eropa.6 freq.amos Hz sal corr psd pdf ff hsograma sal auocorr. eropa. freq.amos Hz ff hsograma perodco auocorr. eropa.34 freq.amos Hz sal auocorr ff hsograma sas eropa.876 freq.amos Hz sal - eropa.3 freq.amos Hz auocorr hsograma ff sal auocorr hsograma ff eropa.6 freq.amos Hz Resumdo: Sas Sas deermíscos: coeúdo o empo e freq. Sas aleaóros: valores ao acaso. São caracerzados: pela probabldade (caso dscreo pela fução desdade de probabldade (caso coíuo ( ( ( PROBABILIDADE 3 3 Teora: defção de V.A Dado um feômeo aleaóro com observável Probabldade: fução Prob: A -> [,] A é subcojuo do espaço amosral Ω Prob(Ω Prob(U {A j }Σ Prob(A j, A j dsjuos Campos aleaóros Eesão mul-varada de v.a veores de v.a [... ] E.: pels vzhos em mages médcas, EEG, ECG de múlplos caas,... I II III avf... 3 Ulra-som 33
6 ( Varável aleaóra Varável aleaóra v.a dscrea: assume valores um cojuo eumerável com cera probabldade [Prob (ap] úmero de efares v.a coíua: assume valores um ervalo de úmeros reas [ Prob( a <bp] emperaura, ervalo RR Fução Momeos 34 Teora: fução dsr. Prob. Fução dscrea de probabldade : v.a dscrea com espaço amosral Ω f(prob( Fução desdade de probabldade : v.a coíua a b f(dprob( a b f( > Fução de dsrbução de probabldade F(Prob( 3 Eemplos: dsrbução ormal p( ( µ, e π µ λ e. λ Pλ (! Dsrbução Posso Sequêca de eveos (λ3 E. de fdp com λ / 3 37 Olhado o sal de formas dsas (,, ( 3 4 m m! ( ( Ocorrecas P( / 3 3/ K K!.P( v.a dscrea E[ g( ] Valor esperado: p. p. g( E[ g( ] v.a coíua. p(. d g(. p(. d
7 Momeos de VA p. Valor médo (momeo de ordem : Momeo de ordem :. p(. d µ µ Momeos ceras de ordem : E [( µ ] Esmadores Dada uma amosra da v.a : {,,..., } µ lm E[( µ ] lm ( µ Êrro de edêca (bas do esmador Coef. Varação do esmador ε r ˆ φ φ ˆ lm φ φ ˆ E[( φ ˆ φ ] φ 4 4 : amosras! depedees! de! µ! E[(! µ ] esmadores! de! varacas! ˆ (! µ ŝ (! K ŝ! K! Deduzr! Por que /(-? Varabldade a esmava da méda Méda em esemble Méda o empo Esmador ˆµ T ˆµ (. d T varabldade µ µ ε r BT 4 43 Flro de méda sícroa Trado proveo da aleaoredade do ruído Ruído advo com méda zero Eemplo de redução da varâca a méda Sejam,,..., : amosras depedees de uma varável aleaóra com méda e varâca Y Y: a méda de Qual a méda e varâca de Y? Y var( Y var(. Y Eemplo Melhorar o esmador (varabldade com a raz quadrada do úmero de amosras poecal evocado gaed blood pool gaed SPECT gaed MRI
8 3( ( ( P( Prob{ p(,,... Veor (campo radômco [,,..., ]', P(...,... } FORMALIZADO OS COCEITOS: PROC. ESTOC Processo esocásco Para um dado feômeo aleaóro, que produz o regsro (: Esemble: cojuo de odos os regsros que poderam er sdo produzdos: { (} processo aleaóro: descrção do feômeo represeado por { (},,... ( ( ( Esemble de processos esocáscos ECGs adqurdos em saes de empo dferees:pos Processos esacoáros Dado esemble {(}, ( é: foremee esacoáro se: momeos de qq ordem depedem de (em geral e µ E [ ]. f (. d fracamee esacoáro se: méda e auocorrelação depedem do sae R µ E[ ] ( τ R (, τ E[. + τ ] 8
9 3( ( ( ( ( ( ( ( ( processos esocáscos esacoáros Processos esocáscos: eemplos v.a coíua com empo coíuo ECG v.a dscrea com empo coíuo úmero de fóos em mages de ecreção real em Medca uclear v.a coíua com empo dscreo sére de pressão ssólca, ervalo RR v.a dscrea com empo dscreo úmero de ascmeos por regão por da 3 ECGs adqurdos em saes de empo dferees:pos processos esocáscos esacoáros ( ( ( 4 ecg meda sqr( - Esaísca sobre segmeos de pos - meda ma 8 sqr(ma meda( ( sqr( meda ecg - - Esaísca sobre segmeos de pos meda ma 87 sqr(ma meda( (
10 3( ( ( ( ( ( ( ( ( Correlação em saes de empo,,3 Correlação (ormalzado ere V.A blocos de corr(τ ;Δ {ere ( e (+ Δ } oe o efeo do do corr devdo ao preechmeo por zeros 9 Processos ergódcos Processos esacoáros com momeos e auocorrelações guas aos obdos os sas emporas T [ ]. f ( d lmt (. T E. R ( τ E[. + τ ] lm (. ( + τ d ( ( ( processos esocáscos ergódcos lmt T (. ( + τ d T 6 6 amosras de ecg meda sqr( - Ergodcdade: amosras o sae - esasca o empo: meda ma 8 sqr(ma 94 sas Esaísca sobre segmeos de pos sqr( meda ecg meda ma 8 sqr(ma
11 amosras de ecg meda sqr( Ergodcdade: amosras o sae - - esasca o empo: meda ma 68 sqr(ma sas sqr( meda ecg Esaísca sobre segmeos de pos meda ma 87 sqr(ma Rˆ Rˆ ( τ T τ ( τ T τ Esmadores sem bas: lm lm T T R R T τ T τ Esmadores (. ( + τ. d (. y( + τ. d Rˆ Rˆ Perodogramas de ( Sas esacoáros Sˆ ( w ( w T ( τ F T τ ˆ R va des. especras { S ( f } Sˆ Sˆ ˆ γ ( f T. ( f T. ( f ( f, T * ( f, T. Y ( f, T ˆ S ( f Sˆ ( f. Sˆ ( f yy Barle: parcoameo R(τ eglgível p/ τ > T Eemplo Welch: esmador de S (f Jaelameo c/ Hammg, Hag... de ( p/ evar descoudades Perodogramas 3 Méda S ( w M. E w, K M M Ew w ( M Sˆ ( w S ( w K (. w(. e jw 69 7
12 4( 3( Perodograma do sal ero (sem parção Especro esmado pelo méodo de Welch EEG Tempo (s Wdow de Hag 64 poos overlap de % Hz 7 7 RESUMIDO: PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Correlação, covarâca, des. espec Aálse faclada se processo for ergódco espaço amosral <> sal emporal Processo esocásco ergódco {(} e {y(} represeados pelas amosras (, y( ( ( R Correlação ere ( e (+τ R +τ Se ergódcos> auocorrelação: ( τ E[ (. ( + τ ] T ( τ lmt (. ( + τ d T 7 Correlação: varáves aleaóras Correlação [ e Y] Correlação: corr(,y Fução correlação cruzada: (, Y( F. auocorrelação: (, (+ τ Coefcee de correlação ormalzado ere [,] Eraídas as médas ormalzado pelo d. padrão corr (, Y E[. Y] corr ( τ E[ (. Y( + τ ] corr ( τ E[ (. ( + τ ] E[( µ ( Y µ Y ] ρ. E[( µ ] E[( Y µ ] y Malab*: corr(,y, corr(,y, corrcoef(,y *Cudado com faores de ormalzação 78 Y y
13 3( 4( ( 3( 4( ( ( Covarâca: varáves aleaóras Covarâca [ e Y] Covarâca: cov(,y cov(, Y E[( µ.( Y µ Y ] Fução Covarâca cov Y ( τ E[( ( µ.( Y( + τ µ Y ] cruzada: (, Y( cov ( τ E[( ( µ.( ( + τ µ ] F. auocov: (, (+ τ Coefcee de correlação ormalzado ere [,] E[( µ ( Y µ Y ] Eraídas as médas ρ. y ormalzado pelo d. padrão cov Y ( ρ cov (.cov ( y E[( µ ] E[( Y µ ] Y YY ( ( ( Correlação em saes de empo Malab: cov(,y, cov(,y, corrcoef(,y 79 8 ( y( Correlação cruzada ere ( e y(+τ Esacoáros: Se ergódcos: R R +τ ( τ E[ (. y( + τ ] T ( τ lmt (. y ( + τ d T 87 ( y( Esacoáros: cov Covarâca ere ( e y(+τ Se ergódcos: +τ ( τ E [( ( µ ( y( + τ µ ] T cov ( τ lmt ( ( µ.( y( + τ µ y d T 88 y Desdade especral de poêca Movação eerga do sal para cada bada de frequêca especro cruzado ere sas relação ere SDF e correlação ECG Auocorrelação Especro Desdade especral de poêca (s au(s
14 3( 4( ( y ( S S Desdade especral de poêca: coceo ( f lm E[ T T ( f lm E[ T T * ( f, T ] ( f, T. Y ( f, T] Correlação <> especro F{ R ( τ } S ( f F{ R ( τ } S ( f Fução coerêca [,]: γ S ( f ( f S ( f. S ( f yy 9 9 Bblografa Bomedcal Sgal Aalyss. R.M. Ragayya. Wley Ierscece, Sgals ad Sysems (d Edo A.V. Oppehem, A. S. Wllsy, S. H. awab Hardcover: 97 pages. Publsher: Prece Hall; 996. ISB-:
Nº de sucessos ,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003. n Limite superior de 0,025 0,01 0,0025 0,000625
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