ANÁLISE ELÁSTICA DE ESTRUTURAS COMPOSTAS POR LÂMINAS PLANAS DE ESPESSURAS CONSTANTES UTILIZANDO-SE O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 ISSN ANÁLISE ELÁSICA DE ESRRAS COMOSAS OR LÂMINAS LANAS DE ESESSRAS CONSANES ILIZANDO-SE O MÉODO DOS ELEMENOS DE CONORNO Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava Remo Na rmera are dee rabalho ão edada erra comoa or lâma laa de eera coae em regme elaolear e modelada elo méodo do elemeo de cooro(mec) e corora aro o e gra de lberdade (arâmero) ara a varáve de cooro aocada ao veor de delocameo de forma e a abordage foram deomada reecvamee como formlaçõe era e hexaaramérca. Icalmee ão decra a rereeaçõe egra ara o elemeo olado de lâma laa e ão obda a arr de modelo a do MEC ara a elaoáca bdmeoal e eora cláca de laca. Em egda a arr da alcação da écca de b-regõe e eecífca malaçõe algébrca o ema de eaçõe da formlaçõe era o hexaaramérca o roblema olédrco ão aalado. alavra-chave: elemeo de cooro; laca; chaa; caca. INRODÇÃO A erra formada or folha olédrca ão amlamee emregada em dvero roblema da egehara cvl aeroáca aval e ora. Ea erra em egehara cvl ão ada como oção de ema erral rcalmee em erra de grade ore or exemlo oe lo úcleo de rgde ec. Dere dvero rabalho e decrevem o emrego da ermologa erral o adrão adoado ela Aocação Bralera do Cmeo orlad ABC(967): lâma é defda como m elemeo em e ma da dmeõe é bem meor e a dema; ma erra formada or ma o ma lâma ca erfíce méda eam laa recebe a deomação de folha olédrca. m bcoo dea erra - em e a geomera de cada lâma é formada or area aralela é deomado folha rmáca. O ao de folha olédrca á fo abordado em dvero rabalho volado ao ara o deevolvmeo/aerfeçoameo da rereeaçõe fíco- Door em Egehara de Erra - EESC-S medoça@c.fb.br rofeor do Dearameo de Egehara de Erra da EESC-S ava@c..br Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

2 8 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava maemáca do modelo (eora) ao ara o rocedmeo emregado ara a obeção da olçõe da eaçõe dfereca advda dela ere o a coam o méodo mérco. ma dea écca mérca é o eão deomado Méodo do Elemeo Fo(MEF) erecee ao méodo de domío ca alcação em erra olédrca é m ao e em do amlamee eado. Ora écca mérca alerava ara o méodo de domío é o eão deomado Méodo do Elemeo de Cooro (MEC). A formlaçõe do MEC êm do deevolvda de forma ea ara alcação em dvero roblema de egehara. Codo o aerfeçoameo e alcabldade do MEC ão em do homogêeo em ma área da mecâca do óldo. Nee coexo m do roblema e em recebdo oca aeção do eadore eá aocado à aále de folha olédrca. m úmero coderavelmee reddo de formlaçõe é ecorado ara a aále dee roblema er modelado aea elo MEC er em combação dee com oro méodo mérco. m do rmero rabalho a lar o méodo do elemeo de cooro ara aále dee roblema fo areeado or ALERMO JNIOR (989) e aala erra co exo logdal é aralelo a m do exo careao. Na moagem do ema algébrco do roblema ão ecra da eaçõe da rereeação egral cláca de laca SERN (979) e a ora da remaecee ão ecra a arr da eaçõe egra da elaoáca bdmeoal RIZZO (968). Ora formlação em e cororo ea mema rereeaçõe egra fo areeada or OA e al. (99). Codo o ema algébrco fal fo obdo lado-e a écca da berração o méodo da raferêca de mar e cod a mare de flêca meore e orao obla ma redção do úmero de oeraçõe ara a reolção do ema fal de eaçõe algébrca do roblema. O MEC é alcado ara modelar erra olédrca em KRAMIN & KRAMIN (997). Nee rabalho a olção fal do roblema é obda or meo da combação de ma olção arclar e da olção homogêea do roblema fdamea e fo rodda a rereeaçõe de Ser e Ro. Na comoção do ema algébrco global do roblema a varáve aocada ao delocameo de cada lâma ão ecra em relação a m ema de coordeada globa da erra rdmeoal eao a varáve aocada ao eforço de cada lâma ão ecra a arr do reecvo ema local de cada lâma. No acolameo da lâma é omado m exo e ode er eeddo como ma gerar ara alcar a écca da b-regõe e a dcreação do roblema ão lada erolaçõe coae e exdo ma rerção elo fao de e lar olçõe arclare ara formlar o roblema. Em FERNANDES & VENRINI () laca erecda or vga ão aalada lado-e da abordage. Na rmera a vga é coderada ma regão erecda coddo orao a da lha de eração laca-vga e com dcreação odo da varáve or ó. No egdo eema o úmero de gra de lberdade é reddo ela meade ao logo da erface ao amr-e e o movmeo da eção raveral é defdo or aea rê comoee deedee. Rereeaçõe egra arclare do roblema ão obda dreamee cldo a eração vga-laca de forma e a codçõe de comabldade e elíbro ão aomacamee verfcada. Am aó a dcreação do roblema a cóga do roblema odem er deermada. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

3 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... 9 Além da rereeaçõe egra ara folha baeada em hóee mlfcadora ara o coío (e.g. a eora de caca o de folha olédrca) exem ora e ão ecra dreamee o com eea adaaçõe o modelo eláco rdmeoal. m do rmero rabalho a alcar ea écca fo MKERJEE & ODDAR (986). Nee rabalho a eaçõe egra calmee ecra o ema careao rdmeoal ão raformada em fção de m ema crvlear eecal defdo ao logo da erfíce méda da caca. Além do a arr de hóee adcoa ara o camo de delocameo a dreção da eera deformaçõe e eõe ão deermada o eror da caca. Já LI(998) alco a eaçõe egra de roblema eláco rdmeoa dreamee em erra olédrca. Icalmee o aor dce e o ema algébrco formado or eaçõe egra ara roblema de domío fo ão é degeerado ado alcado em roblema de arede delgada. Devdo ao fao de alg elemeo de cooro oderem ear mo róxmo de m coo de oro elemeo ara garar o bom deemeho da formlação a aeglardade ão raada alcado-e ma écca e la o eorema de Soke a vhaça da glardade raformado a egral ae-glar em ma oma de egra de lha ão-glare e fracamee glare. Em SOZA () alg exemlo mérco - ao ara elemeo erra corree em edfíco (vga laca ec) ao ara cao de caca eférca - ão morado a arr da alcação drea do modelo eláco rdmeoal. Além da eaçõe egra do delocameo de CRSE (969) a rereeação do roblema ambém é modelada va eaçõe egra do gradee do delocameo. Na dcreação do roblema foram lado elemeo lao e erolaçõe coae leare e adráca ara a varáve de cooro. O ema algébrco fo moado lado-e o méodo reglar ara o ocoameo do oo-foe. A formlação egral ara óldo rdmeoa é meo rerva e a formlaçõe egra obda a arr da dvera eora de lâma ma ve e em mo cao - geomera com rao de crvara fo eera ão-forme - a olçõe da ED do roblema fdameal ada eão doíve. Codo ado a formlação de roblema eláco rdmeoa é alcada o cao em e a olçõe fdamea do roblema lamare ão cohecda ela ode orar-e corarodcee ma ve e e elemeo de cooro eão defdo o eaço bdmeoal e o aocado à eora de lâma ão rereeado or crva dmeoa. Ora formlaçõe ecorada a lerara decrevem a aále de algma erra arclare em folha olédrca e o roblema é modelado lado-e o méodo do elemeo de cooro combado com ora écca mérca. KOMAS & NAAI (98) aalaram eçõe blare reaglare. Nee rabalho a erra é dvdda em rê regõe coída de ma regão ceral e da exrema. A regão ceral é modelada elo Méodo do Segmeo de arede Fa (MSF) em e é lada a eora de Vlaov e a dcreação é fea em egmeo rdmeoa co gra de lberdade eão ocoado ao logo da eçõe erecee à exremdade de cada egmeo. A da regõe exrema ão modelada elo méodo do elemeo de cooro e a lha de erface ere o MSF e o MEC há ecedade da clão de m elemeo de ração o MSF ara oblar a alcação da codçõe de elíbro e de comabldade o reecvo gra de lberdade comaíve ere o do Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

4 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava méodo. Am m ema algébrco e evolve a corbçõe de ambo o méodo ode er reolvdo. Já ALA & CEN (995) modelaram eçõe cellare lado ma combação ere o méodo do elemeo fo e de cooro. Nee rabalho a eaçõe egra cláca de laca ão ecra ara o ó ado a laca eror o é o ablero da oe. A regõe remaecee do roblema ão modelada elo MEF. O gra de lberdade do ó aocado ao MEF ado a erface de regõe com ao do méodo ão raformado em arâmero oda comaíve com o MEC. Com o a mar de flêca fal da cóga recebe corbçõe de ambo o méodo. ANAKA & BERCIN (998) roeram ma formlação ara a aále de laca erecda or vga rmáca de eção raveral abera arbrára. Nea aále o roblema fo dvddo em regõe erecda o ão or vga de eção abera. A laca fo rereeada ela eaçõe egra cláca de Ser e fo emregada ma eora de vga de eção abera comoa or arede delgada ermdo e a rgdee - de flexão de orção e de emeameo - e a excercdade da vga em relação ao lao médo da laca foem levada em coa. Na regõe de erface a codçõe de comabldade e de elíbro foram moa oblado e m ema algébrco evolvedo a da écca dee er reolvdo. Ada o roblema de laca erecda CARMO () lo ma combação ere o MEF e o MEC ara aalar a flêca da excercdade do cero de gravdade da vga em relação ao lao médo da laca. Nea formlação o efeo de membraa e flexão a lâma ão rereeado reecvamee ela eaçõe de RIZZO (968) e SERN (979); a vga é modelada elo MEF. A arr da comablação de delocameo e força a regõe de erface e a lação da écca de b-regõe obém-e o ema de eaçõe fal do roblema. Já em WEN e al. () o erecedore ão raado como ma força drbída em lha alcada o domío laca. A rereeação egral do roblema é coída de cco eaçõe: a da rmera corora o efeo de membraa lado-e a eaçõe cláca de RIZZO (968). A rê reae eão aocada à rereeação egral de laca e corora a deformação or corae decra em VANDER WEEËN (98). ara o erecedor ão admda a hóee cláca de vga rmáca co cero de gravdade o ma excercdade em relação lao médo da laca. Aó a dcreação ão moa a codçõe de elíbro e de comabldade de delocameo o oo oda com ere a vga e laca de forma e o ema fal fca ecro aea em fção do ó do cooro e de domío da laca. O roblema de folha olédrca ão aalado a reee formlação lado-e da formlaçõe: A rmera deomada de eraaramérca la da eaçõe egra de RIZZO (967) ara o regme de membraa e da adcoa ara roblema de flexão a arr da rereeação egral de laca delgada decra em SERN (979). Na egda formlação chamada de exaaramérca ão lada rê eaçõe egra de laca decra em OLIVEIRA NEO & AIVA (995) OLIVEIRA NEO (998) ara o regme de flexão. Já o efeo de membraa ão rereeado ela da eaçõe de Ro e or ma ercera eação egral adcoal e rereea ma roação o lao da chaa obedo-e com o o oal de e eaçõe a rereeação egral de cada lâma laa. Aó a moagem do ema algébrco de cada lâma or meo de ma roação coveee do ema de exo e alcado-e a écca de Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

5 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... b-regão m ema algébrco global da erra é obdo. Aó a moção da codçõe de cooro e a reolção do ema algébrco a varáve do cooro de cada lâma ão deermada. E a arr dea o delocameo o eforço e a eõe odem er calclado o domío de cada lâma. EQAÇÕES INERAIS A eação egral do delocameo raveral de laca coemlado rê arâmero em delocameo OLIVEIRA NEO & AIVA (995998) e a dedade de Raylegh-ree SERN(979) odem er ecra em ma forma geérca como: k R [ ] d c ( S) c ( S) c S [ V m ] d g( S) ( S) dω ; c... Nc ( ) ( ) ( ) ( ) m ( ) ( ) β ( ) c ( S) ( ) () ( ) ( ) ( ) Ω () ode eá aocado ao oe-foe. e S ão o oo-camo aocado ao cooro e ao domío reecvamee. V e m ão o eforço do cooro R c ão a aocado ao momeo fleore e à força evalee de Krchhoff. reaçõe de cao. e ão o reecvo delocameo verca roaçõe orma e ageca ao cooro. g é o carregameo exero drbído em área; o ímbolo N c é o úmero oal de cao. Ω ão a regõe aocada ao cooro ao domío de alcação da carga em área. O ímbolo lado em () eão dcado a fgra e a olçõe fdamea deoada or () o ermo β m lvre k eão dcada o Aêdce I. Além do em-e ( c ) ( ) ara Rereeação raramérca(r); ( β ) ( V R ) Rereeação de Raylegh-ree(RR). ara c c x g L g g F x m r L x Fgra - Eema rereeavo da laca. A eaçõe egra aocada à roaçõe obda a arr de dferecaçõe de () odem er ecra como: Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

6 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava k m ( ) k ( ) () ( ) () m ( ) ( ) β ( ) [ m m ] d c ( ) Rc ( ) [ V () m ( ) m ( ) m( ) ] d Rc ( ) cm ( ) g( S) m ( ) dω ; Ω c... Nc ode ( β μ ) ( m ) R; ( β μ ) ( V R ) m m c m m m m c m cm () RR. A olçõe fdamea e o ermo lvre k k eão dcado o Aêdce I. O efeo de chaa ão rereeado ela da eaçõe egra cláca de RIZZO(968) e ado ecra em relação a m ema local de coordeada odem er exlcada como: λ ( ) ( ) f ( ) Q k () vk ( ) d ( ) ( ) Q k ( ) k ( ) d ( ) ( S) b ( S) dω k ; Ω ode λ é o coefcee lvre de egral com valore deedee da regão de colocação do oo-foe( λ oo o eror; λ oo o exeror; λ / ara oo obre cooro ave); v e ão o delocameo e a força de é o delocameo do oo- erfíce ecro a dreçõe do ema ( η) foe egdo a dreção e ode er rereeado or ( ) ( ) ; ( ) () ( ) eá aocado ao co-eo dreor de vde fgra. ( ) raformação ere o ema ( x ) e ( η) Q () () η com. x em e Q é a mar de exrea como: Q () () x x g L Ω L f b L ΩL m r Fgra - Eema rereeavo da chaa. A eação egral ara a roação o lao da chaa em m cooro ave ode er obda a arr da dferecação de () Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

7 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... λ m ( ) ( ) f k ( ) m ( ) Qkr ( ) vr ( ) d ( ) k ( ) mk ( ) Qkr ( ) r ( ) d ( ) k ( S) m bk ( S) d Ω Ω ; kr () ode e m x x. / λ é o ermo lvre de egral ara oo de colocação em cooro ave. A olçõe fdamea reee em () e () eão exrea o Aêdce I. ão co-eo dreore de e m em relação a ( ) RERESENAÇÕES INERAIS DISCREIZADAS A olçõe aalíca ara a eaçõe egra () () () e () eão doíve ara oco cao arclare am are-e ara olçõe mérca. Ereao ea reerem e o cooro do roblema ea dcreado o é dvddo em m úmero fo de regõe meore e ão deomada de elemeo de cooro. Em geral ado há reeça de ermo coedo egra de domío ma da écca e ode er alcada é a dcreação do domío Ω em regõe meore eão deomada célla vde fgra. x x x k Ω Lk k k k Ω k x x Fgra - Dcreação de cooro e de domío. Nee argo oo-e or da abordage ara erolação da varáve: a rmera coe em alcar-e a mema fçõe de forma ao ara o delocameo e roaçõe ao ara o eforço e força de erfíce. Na egda abordagem ão emregada erolaçõe aáloga ara ee úlmo codo a fçõe de forma ara o delocameo e roaçõe ão ecra de al maera e coemlem ambém orde erore a erolaçõe. Na eüêca calmee ão decra a écca lado-e ma mema fção eroladora coda em amba mare de flêca do roblema de chaa e laca. Admdo-e ma fção eroladora oaramérca lear em e geomera do roblema ode er ecra como: x x x x x x (5) Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

8 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava Cadero de Egehara de Erra São Carlo v ode x x ão a reecva coordeada da exremdade ca e fa do elemeo. A fçõe eroladora ão dada or: ( ) ς ; ( ) ς. Na formlação hexaaramérca a varáve do roblema de laca e chaa odem er ecra como: ; (6) m V m V m V ; (7) ν ν ν ν ν ν ; (8) ; (9) Além da aále oaramérca do roblema fçõe eroladora da ão lada ara obeção da mare de flêca do roblema. O delocameo orma da chaa e ravera a laca ão aroxmado aravé de ma erolação cúbca evolvedo o valore oda de delocameo e de a dervada ageca o é: φ φ φ φ ; φ φ φ φ () A fçõe φ odem er ecra como: ς ς φ ; ( ) L ς ς ς φ ; ς ς φ ; ( ) L ς ς φ () ode L é o comrmeo do elemeo de cooro. Já o delocameo ageca ão ecro com a mema erolação emregada a aále oaramérca lear dcada em (6) e (8). A roaçõe o lao da chaa-a deomada de ea- e a roaçõe ageca a laca odem er exrea como:

9 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... 5 φ φ φ φ ; φ φ φ φ () A fçõe φ odem er ecra como: 6 φ ς ; L 6 L ( ς ) φ ς ς ; ς( ς ) φ ; φ ς( ς ) A erolação lada a formlação eraamérca é a oaramérca lear. Am a varáve ara o delocameo orma ageca a chaa e o delocameo raveral roação ormal a laca odem er exreo a arr da reão da ercera lha em (6) e (8). Já ara o eforço a chaa e laca egem a mema rereeação dcada em (7) e (9). Covém oar e rereeação egral a lâma laa a formlação hexaaramérca é obda ecrevedo-e eaçõe ara chaa - e.() egdo a dreçõe agecal e ormal ao cooro o oo foe; e.() ara a roaçõe ea - e eaçõe ara a laca- e.() ara o delocameo ravera e e.() ara a roaçõe ormal e agecal ao cooro. Examado-e a eaçõe egra () () () e () ara o cao hexaramérco ode-e oar e o gra de lberdade aocado ao delocameo e roaçõe eão mero eror àele lgado ao eforço e força de erfíce. Em a reecva rereeaçõe egra dcreada ma comabldade de orde ere a mare de flêca é gerada devdo ao faore cado aerormee. Am a rereeação algébrca algma recaçõe ão reerda a fm de e evar ma coêca a reolção dee ema de eaçõe. A recrção da codçõe de cooro ara o gra de lberdade aocado à roação agecal a laca o lgado à roação a chaa cod a mar da cóga a er reechda or lha comleamee la ma ve e a varáve fcíca oem aea valore lo a mar de flêca do eforço e da força de erfíce. ma écca e ode er lada ara evar a glardade da olção ema algébrco é arbr valore lo a odo elemeo localado a lha e cola aocada à varáve fcíca exceo o da dagoal rcal da mar de flêca do delocameo e roaçõe e ada o veor deedee deve er o valore galado a ero a oçõe evalee ao gra de lberdade em eão. Na formlação eraaramérca ão lada eaçõe em chaa- e.() egdo egdo a dreçõe agecal e ormal ao cooro o oo foe- e eaçõe ara laca- e.() ara o delocameo ravera e e.() ara a roaçõe orma ao cooro. Como a rereeação eraaramérca a varáve aocada ao veor do delocameo ão ga àela aocada ao veor do eforço a écca de comablação de ordem da mare de flêca lada a formlação hexaaramérca é deada. () Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

10 6 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava ANÁLISE DE ESRRAS FORMADAS OR DAS REIÕES COLANARES Na eção aeror foram areeada a rereeaçõe ara o roblema de laca e chaa em e ao a roredade fíca ao a geomérca ão ofram aleraçõe ao logo de oda a regão ode ee roblema eavam defdo. odava a reeça dea ão-formdade é freüeemee obervada em dvero roblema evolvedo erra lamare. ambém fo dcdo m cao evolvedo ma regão mle em e a formlação hexaaramérca é obervada ma dfereça o úmero de gra de lberdade aocado ao delocameo e à roaçõe com aele e rereea o eforço e a força de erfíce. Ea comabldade do úmero de varáve é roblemáca ara o ó em e o delocameo o a roaçõe eão recro odava ee cao a eaçõe egra de roaçõe agecal (laca) e eal (chaa) ão removda em errbar o ema algébrco do roblema. Ao eeder-e a formlação ara modelar coro com da o ma regõe a dardade ere o gra de lberdade ão é alerada codo a erface da reecva regõe o valore do gra de lberdade ão ae emre decohecdo reeredo-e orao ora écca ara olção do roblema modelado a formlação hexaaramérca. Na eüêca é dcdo m cao eecal em e a caca laa é formada or da regõe com roredade fíca e/o geomérca da abordada egdo a écca era e hexaaramérca. Na fgra eão dcada da regõe: a rmera edo aocada a ela m domío Ω am como cooro e. Já a egda eá rereeada or edade aáloga Ω e eomercamee o cooro e eão defdo em ma mema regão de erface codo a oreaçõe ão ooa. Ω Ω Fgra - Da regõe colaare. Redefdo-e o cooro de erface como e am a rereeação algébrca da rmera regão ode er ecra como: Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

11 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... Cadero de Egehara de Erra São Carlo v () Ode o veore geérco eão aocado reecvamee ao ó defdo obre o cooro. A mare de flêca geérca e ão obda com oo-foe obre o cooro e o oo-camo obre o cooro. A egda regão em a rereeação ecra como: (5) á ecedade de eaçõe adcoa ara olção do ema algébrco () e (5) ma ve e o úmero de cóga era a relaçõe obda aravé da eaçõe egra. Na erface ode-e ober a eaçõe lemeare a arr da eaçõe de elíbro e da relaçõe de comabldade ara o cao da formlação hexaaramérca odem er ecra como: ξ ξ μ ξ ξ μ ; m m (6) Noe e ere a varáve fcíca o elíbro ambém deve er verfcado codo o edo de alcação ão arbráro orao a ege relaçõe odem er ecra: χ χ ; χ χ (7) Já ara a formlação eraamérca da eaçõe de elíbro e da relaçõe de comabldade odem er ecra rmdo-e a varáve ε em (6) e dereado-e a relaçõe em (6). A arr de () (5) (6) - e (7) o cao da abordagem hexaaramérca- o ema algébrco evolvedo amba regõe ode er ecro como

12 8 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava (8) Se ema algébrco (8) ever aocado à abordagem hexaaramérca em-e m úmero eror de eaçõe em relação a varáve rea. No cooro e ão ereçam a ma erface ode er lada ma écca aáloga àela emregada em regõe mle. Na erface o elemeo da mar de flêca da cóga aocado ao gra de lberdade χ e χ do veor devem er arbído ero a e reecvo valore exceo o da dagoal rcal e recebe a dade. O valore do veor deedee a oção de χ e χ ambém devem er arbído ero. Com o a varáve fcíca aam a er aea m fção axlar a moagem e reolção do ema de eaçõe á e e valore ão emre moo ga a ero ma ve e ela ão faem are da varáve efeva do roblema. Se o ema (8) ever aocado à abordagem eraaramérca a écca ermedára emregada a hexaaramérca ara vablar a reolção do ema ão deada ma ve e ão há comabldade de orde a mare de flêca do roblema ara o cao eraaramérco. 5 ANÁLISE DE ESRRAS OLIÉDRICAS COMLEXAS Nea eção a écca dcda a eção aeror ão eedda ara coro formado or ma doção arbrára de lâma. m ema e em do amlamee emregado ara ea fção eecalmee o MEF é adoar o ema dexrógro ( x x x ) com orgem em m oo arbráro. E a arr dee ema de referêca mare de roaçõe ão ecra ara oda a lâma corbe da erra olédrca evolvedo o ema global e o aocado a cada ema local ( x x x ) da lâma coforme a fgra 5 ZIENKIEWICZ(99) NAVARRA(995) e oro. x x x x x Fgra 5 - Sema de referêca. x Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

13 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... 9 Além da lação do MEF ara modelagem de erra olédrca em algma abordage foram emregada écca - evolvedo o acolameo do MEC com oro méodo - areeada or dvero eadore dere ele KOMAS & NAAI (98) CODA (99) ALA & CEN (995) ANAKA & BERCIN (998) CARMO (). Nee rabalho foram lado ema de referêca arorado e comaíve com cada m do méodo a fm de oblar o acolameo ere ele. Oro eadore laram aea o méodo do elemeo de cooro ara aalar erra olédrca a como: ALERMO JNIOR (989) OA e al.(99) KRAMIN & KRAMIN (997). Nee rabalho foram lado bacamee do o de ema de referêca. No rmero a comoee do delocameo e força ão ecra (comablada e elbrada) em relação a m ema global fxado em dreçõe arclare de cera erra olédrca. Já o egdo eá aocado a m ema local de referêca lado ara ecrever o elíbro de momeo fleore. Na reee formlação oo-e deevolver ma écca alerava e la ma coveee herara de ema de referêca. Em lha gera a écca coe em adoar ema globa deedee locado em cada erface e aocado a aea ma da lâma arbraramee elea como mere e cocorrem a ea erface. A mare de roaçõe da varáve do roblema ão calclada a arr do ema de referêca da lâma erecee à a reecva erface ara o reecvo ema de referêca fxado a a reecva lâma-mere. ara elcdar ee rocedmeo oma-e or mlcdade ma erra olédrca ca lâma vercal o da erface em e fexe de lâma eão lgada a ela coforme dcado a fgra 6. Fgra 6 - eomera da erra olédrca. A rmera eaa ara o acolameo do exo de referêca reer ma defção de ma herara ere ele. Arbraramee ão elegdo mere o cooro erecee a lâma vercal o é e o exo aocado ao cooro e o e reecvo ecravo. Aalogamee o cooro eá bgado ao exo mere vde fgra 7. Noe e o exo mere erecee a reecvo cooro de ma mema b-regão ão deedee Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

14 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava or exemlo e. A mare de roação ere o cooro e e e mere comm ão dado or: co co co co ( ) co( ) ( ) co( ) ( ) co( ) ( ) co( ) (9) () Já a mar de roação ere o ema aocado ao cooro e e mere ode er ecra como: co co ( ) co( ) ( ) co( ) () Ω Ω Ω Ω Fgra 7 - Oreação da lâma a erra olédrca. ma maera de e ober a mare de roação é ecrever cada ema local em relação a m ema global da erra: Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

15 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... x Ax x x Bx x ; ; ( x ) co( x ) co( x ) x ( ) ( ) ( ) x co x co x x ( ) ( ) ( ) x co x co x x ( x ) co( x ) co( x ) x ( ) ( ) ( ) x co x co x x ( ) ( ) ( ) x co x co x x co A co () co co B co () co Iveredo-e B e bdo-e a rmera exreão de () a relação ere o ema ode er ecro como: A B () Coforme dcado a fgra 8 o delocameo a força de erfíce e a corae eão oreado egdo a mema oreação do ema de coordeada local: A B e A B com A B a a a a odava a roaçõe e o momeo fleore ão egem leamee ee ema: (5) a a a a ; m m (6) v Fgra 8 - Oreação do gra de lberdade ver ema local. rocededo-e aalogamee ao cao de da lâma colaare redefdo-e o cooro de erface Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

16 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava Cadero de Egehara de Erra São Carlo v e a rereeaçõe algébrca da rmera a ara bregão odem er ecra reecvamee como: (7) (8) (9) () Em cada erface a codçõe de comabldade ão moa egdo o ema de referêca do cooro mere. Am a arr da mare de roação do ecravo ara o mere a relaçõe lemeare odem er deermada. Na erface erecee ao mere ea relaçõe odem er obda a arr de (9)-() e a roaçõe aáloga aocada à b-regão. R R ξ μ ξ μ ξ μ () ode:

17 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... Cadero de Egehara de Erra São Carlo v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) co co co co co co co co R () Ora relação ode er obda ela eaçõe de elíbro em cada erface o é: m R m R m ; ( ) ( ) ( ) ( ) co co co co R () A arr da eaçõe (7)-() a rereeação algébrca global da erra olédrca ode er ecra como: ()

18 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava Na erface odem ear covergdo dvera b-regõe obervado-e () ode-e oar e a varáve erecee ao cooro de ma b-regão ecrava em cada erface odem er elmada da rereeação algébrca o é o veore e em e aalogamee e em. Cao o ema () eea aocado à formlação hexaaramérca a varáve fcíca reee em e odem er removda da aále aalogamee ao dcdo o cao de da lâma colaare. Aó a moção da codçõe cooro em () a cóga do roblema ão deermada. Am a mare de roaçõe ()-() eceam er ovamee emregada ara e o relado da aále eam exreo egdo cada ema local de cada b-regão. Se a formlação eraaramérca ever aocada ao ema () ehma eaa ermedára adcoal além da moção da codçõe de cooro é eceára ara reolção do ema. 6 AVALIAÇÃO NMÉRICA ) laca egaada ob carregameo formemee drbído. Nee exemlo é aalada a laca adrada de lado L egaada ao logo de e cooro e bmeda a m carregameo formemee drbído vde fgra 9. O valor do coefcee de oo lado é e a dcreação evolve m oal de elemeo. O relado eão dcado abela e ão comarado com olçõe aalíca IMOSENKO (9). A abrevara deoa formlação do rê arâmero oda e B rereeação baramérca. abela - Delocameo e momeo admeoalado. A arr do relado da abela ode-e oar deemeho excelee ao da formlação baramérca (B) ao da raramérca () em relação à olção aalíca de moheko ara delocameo de momeo fleore o cero da laca. Já o momeo fleore o oo A (cooro) veram m raoável deemeho orém ma modeo e o areeo o oo B. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

19 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... 5 L/ a b L/ x x L/ L/ Fgra 9 - laca egaada com carregameo formemee drbído. ) Chaa bmeda a báro a exremdade Nee exemlo é aalada ma vga olcada or báro a exremdade. A coae eláca em valore de ara o coefcee de oo e 8 Ma ara o módlo de elacdade raveral. A dmeõe e o carregameo alcado eão dcado a fgra. O relado mérco - de DOMINEZ (989) com aroxmaçõe coae e adráca e da formlação raramérca de chaa RC com erolação lear- eão dcado a abela. Ma m m b ax c m x x m. 8 m Fgra - Vga em flexão. A arr da abela ode-e oar e o relado da RC lado-e erolação lear êm reoa ma róxma da olçõe mérca com erolação adráca obda em Domge. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

20 6 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava abela - Delocameo e eõe. ( m) ( m) ( Ma) ( Ma) r(chaa) DOMINEZ(989) Lear co Qadráco a b a c -7-5 σ c -888E- 6E- σ c 9E- 68E- ) roblema de Cook Nee exemlo é aalada ma membraa de eera ára egaada em ma da exremdade e lvre a dema com m carregameo agecal áro oal a borda ooa à vclada vde fgra. A coae eláca da chaa ão E kn/cm e ν /. O carregameo agecal drbído a exremdade ão-vclada em relae ára. O relado da aále eão dcado a abela ode a formlaçõe raramérca cúbca (C) e baramérca lear de chaa (BC) êm dcreação (8X8) vde a. Além do ambém ão morado o relado obdo or BERAN & FELIA (985) va MEF lado ma formlação e corora m gra de lberdade de roação co veor aocado é ormal lao médo da chaa. Berga lo dvera dcreaçõe ara o roblema a abela eão dcado aea o relado ara a malha do MEF com o adrão de arçõe or lado rolado como (X); m adrão ma obre de dcreação eá dcado a fgra b. Oo-e lrar o adrão (8X8) do MEF aea com o o de agr m melhor ível de clarea o deeho. x 8 cm cm 6 cm B A C kn x (a) Fgra - Eema e dcreação do roblema de Cook. (b) Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

21 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... 7 abela - Delocameo e eõe rca o roblema de Cook. BERAN & F.(985) BL C (x): MEF (8X8):MEC (8X8):MEC Delocameo vercal C eão rcal míma A eão rcal máxma B ) laca de eera varável em balaço. ma laca adrada com varação de eera em ma dreção é modelada admdo-e aro bregõe edo a reecva rgdee vde fgra. A laca eá egaada a borda ma eea e lvre a dema; ambém eá bmeda a m carregameo áro formemee drbído ao logo de odo domío. O lado da laca a cm e o módlo de elacdade logdal E 8 kn/cm. O coefcee de oo ν. Na fgra eá dcado o valore do delocameo raveral ao logo da lha A-B defda elo oo médo da borda (egaada e de a ooa) em fção da dcreação (o o o vde fgra ) e da erolação da varáve (lear o cúbca). O relado do MEC ão comarado com aele obdo elo MEF lado-e o elemeo Shell 6 do Sofare ANSYS e cada bregão edo ma dcreação do o 5 vde fgra. 5 a 5 a Sb. Sb. Sb. Sb. a cm A B x cm 5 cm Fgra - laca egaada com varação de eera. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

22 8 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava 5 Fgra - o de malha. (cm) Ay (Shell 6) L() C() L() C() 6 8 x (cm) Fgra - Delocameo raveral ao logo de A-B. No exemlo a egr a roredade do maeral coe êm valore aocado ao módlo de elacdade e coefcee de oo reecvamee or E 9 kn/m e ν. O vão lvre e a eera da lâma recebem o reecvo valore de L m e m. A exremdade logda da erra ão egaada. O relado ão dcado em fgra em e o deemeho da formlação hexaaramérca ão abrevado or C( β ) o L( β ) correodedo reecvamee à erolaçõe cúbca e lear; β deoa o o de malha lada. Já o relado da formlação eraaramérca lear ão abrevado or L( β ) e a dcreação lada a aále do MEC eá aocada ao o de malha β.além do o roblema ambém ão modelado elo MEF va ANSYS lado-e o elemeo Shell 6 com ma dcreação o 5 ca dcação a fgra é deoada or Ay ( hell6 ). É dcado em abela a dfereça relava de MEC (C L e L) e o do MEF (Ay: Shell 6) -ado o valore do Ay ão omado como referêca- dada or: Drel (% ) valoray valormec. valor Ay Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

23 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae ) Vga V egaada a exremdade. Nee exemlo em-e ma erra em e a erface em aro lâma coecada a ela vde fgra 5. m carregameo áro eá formemee alcado a lâma horoa. O relado dcado a fgra 6-8 ão exreo em fção do redro local ( ) da erface AB da bregão vde fgra 5. g A B m x A Sb. g x Sb. B C m Sb. Sb. m m Fgra 5 - Eema rereeavo da vga V. (m) Ay(Shell 6) C() L() L() C() L() L() - Seção V D(m) Fgra 6 - Delocameo raveral ao logo da erface AB da vga V. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

24 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava Seção V 8 (m) 6 Ay(Shell 6) C() L() C() C() L() L() - 5 D(m) Fgra 7 - Delocameo agecal ao logo da erface AB da vga V. M x (knm/m) Ay(Shell 6) C() L() L() C() L() L() Seção V 6 8 D(m) Fgra 8 - Momeo fleore m ao logo da lha BC da vga V. x ode-e oar e e êm a maore dfereça o relado L e L obda com a malha do o. Já a erolação cúbca é meo afeada ela ração do o de malha ara. Além do ara o camo em eão o modelo C com ma malha meo rca β em melhor deemeho e L e Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

25 C D Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... L dcreado com β. ara ode er obervado ma varação meor e o camo aerore e ma ma ve o modelo C () em deemeho a mema ordem e L () e L (). 6) Reervaóro elevado. m reervaóro elevado egaado a exremdade da arede em coao com o aoo e bmedo a m carregameo áro formemee drbído ao logo do domío da lâma e formam a erra reeora de lído dcado a fgra 9. O relado fgra - ão exreo em fção x x da bregõe dcada a fgra 9. do redro loca ( ) e globa ( ) x m g g g g g g Core AB Core CD m m m m Sb. Sb. 5 Sb. Sb. Sb. Sb. 6 A B m Sb. 7 Fgra 9 - Eema rereeavo do reervaóro. B Sb-regão x x x D Sb-regão x x A F x C C D x x x Sb-regão 6 6 E Fgra - Oreação de are da lâma do reervaóro. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

26 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava (m) Reervaóro Ay(Shell 6) C() L() L() C() L() L() - 5 D(m) Fgra - Delocameo raveral a erface C do reervaóro. Reervaóro m x (knm/m) Ay(Shell 6) C() L() L() C() L() L() Fgra - Momeo fleor mx D(m) ao logo de C D do reervaóro. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

27 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... Reervaóro m x (knm/m) 5-5 Ay(Shell 6) C() L() L() C() L() L() D(m) Fgra - Momeo fleor m x ao logo EF do reervaóro. ode-e oar de m modo geral m bom deemeho ere o MEC e o MEF. O relado ara delocameo roaçõe e momeo areeado a fgra - dcam de m modo geral m melhor deemeho da formlação C em relação à L e L ado ão comarada com a reoa do Ay. 7 CONCLSÕES Nee rabalho calmee foram deevolvda e mlemeada da formlaçõe ara aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae elo méodo do elemeo de cooro (MEC). A rmera formlação chamada de exaaramérca corora e gra de lberdade o veor de delocameo- em chaa: delocameo ormal e agecal e roação eal; em laca delocameo raveral e roaçõe ormal e agecal- e aro gra de lberdade o veor do eforço (em chaa: força ormal e agecal; em laca: força evalee de Krchhoff e momeo fleor). Devdo à dfereça mérca ere o gra de lberdade o veore do delocameo e do eforço foram erda varáve fcíca a fm de comablar a ordem da mare de flêca do roblema. A arr da alcação da écca de b-regõe e adoção de ma herara coveee de ema de referêca o ema de eaçõe da erra lamar laa é moado. Aó malaçõe algébrca coveee o ema de eaçõe do roblema e a moção de valore lo à varáve eúra a varáve do roblema odem er deermada. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

28 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava A egda formlação chamada de eraaramérca fo obda a arr da reão da da eaçõe egra aocada à roaçõe agecal (laca) e eal (chaa) de forma e o veore do delocameo e de eforço êm a dmeõe comaíve deado orao a clão de aler varável adcoal. Na moagem do ema de eaçõe é lada ma herara de ema de referêca mlar à formlação hexaaramérca. Além do ara o cao de erra ão-colaare a força de eração chaa-laca dcrea (reaçõe de cao) foram dereada em amba formlaçõe. Em amba formlaçõe foram modelado dvero roblema com domío mlemee coecado colaarmee coecado e com geomera ão co-laar. O relado foram comarado com olçõe aalíca (ado doíve) e com aela forecda elo méodo do elemeo fo cororado o ofare ANSYS (verão 5.5). ode-e oar m deemeho afaóro de amba formlaçõe do MEC eecalmee a da hexaaramérca. 8 ARADECIMENOS Agradecemo à FAES elo aoo facero em o al ea ea ão odera er do realada. 9 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CIMENO ORLAND. (967). Vocabláro de eora de erra. São alo. CARMO R. (). Deermação de rgde de erra de avmeo aravé do méodo do elemeo de cooro. São Carlo. Deração (Doorado) - Ecola de Egehara de São Carlo - verdade de São alo. CODA. B. (99). Aále rdmeoal raee de erra ela combação ere o méodo do elemeo de cooro e o méodo do elemeo fo. São Carlo. ee (Doorado) - Ecola de Egehara de São Carlo - verdade de São alo. CRSE. A. (969). Nmercal olo he hree dmeoal elaoac. I. J. Sold Srcre v DOMINEZ J; BREBBIA C. A. (989). Bodary eleme: a rodcory core. Sohamo ad Boo: Comaoal mechac blcao. FERNANDES. R; VENRINI W. S. (). Sffeed lae bedg aaly by he bodary eleme mehod. Comaoal Mechac v.8./ ALA E. M.; CEN M. S. (995). Combed bodary eleme ad fe eleme aaly of comoe box grder brdge. Comer & Srcre v Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

29 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... 5 KOMAS S.; NAAI M. (98). Aalycal combao of bodary eleme mehod ad h-alled egme mehod ad alcao o box grder brdge. I: BEM. Sohamo.K. KRAMIN.; KRAMIN M. V. (997). he vegao of he h-alled hreedmeoal rcre of comlex hae g BEM. I: MARCEI e al. (Ed.). BEM CM Lodo. LI Y. (998). Aaly of hell-lke rcre by he bodary eleme mehod baed o D elacy: formlao ad verfcao. I. J. Nm. Meh. Egg. v MENDONÇA A. V. (997). Aále da eração laca-eaca-olo va combação do méodo do elemeo fo com o méodo com o elemeo de cooro. São Carlo. Deração (Merado) - Ecola de Egehara de São Carlo - verdade de São alo. MENDONÇA A. V. (). Edo de erra comoa or lâma laa de eera coae: ma abordagem elo méodo do elemeo de cooro. São Carlo. ee (Doorado) - Ecola de Egehara de São Carlo - verdade de São alo. NAVARRA E. O. I. (995). Calclo de ercra or el meodo de elemeo fo. Barceloa: Cero Ieracoal de Méodo Nmérco Igeería. OA M.; SIEMAS ; AKASI. (99). Bodary eleme- rafer marx mehod for laed rcre. J. Eg. Mech. ASCE v OLIVEIRA NEO L. (998). ma formlação do méodo do elemeo de cooro com rê arâmero oda em delocameo ara laca delgada e a alcaçõe em egehara erral. São Carlo. ee (Doorado) - Ecola de Egehara de São Carlo - verdade de São alo AIVA J. B. (99). Bodary eleme formlao for lae aaly h ecal drbo of reaco alog he bodary. Advace Egeerg Sofare ad Workao v Jly. AIVA J. B.; OLIVEIRA NEO L. (995). A alerave bodary eleme formlao for lae bedg aaly. I: BEEC 95 Adelade Arala. ALERMO JR. M. (989). Aále de eça de eção delgada como aocação de laca elo méodo do elemeo de cooro. São Carlo. ee (Doorado) - Ecola de Egehara de São Carlo - verdade de São alo. ALERMO JR. L.; RACID M.; VENRINI W. S. (99). Aaly of h alled rcre g he bodary eleme mehod. Eg. Aal. Bod. Elem. v ODDAR B; MKERJEE S. (989). A egral eao aaly of elac hell. Comaoal Egeerg v RIZZO F. J. (967). A egral eao aroach o bodary vale roblem of clacal elaoac. Qar. Al. Mah. v Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

30 6 Âgelo Vera Medoça & João Baa de ava SOZA V. J. B. (). Algormo de egração efcee ara o méodo do elemeo de cooro rdmeoal. São Carlo. Deração (Merado) - Ecola de Egehara de São Carlo - verdade de São alo. SERN M. (979). A geeral bodary egral formlao for he mercal olo of lae bedg roblem. I. J. Sol. Src. v ANAKA M.; BERCIN A. N. (998). Sac bedg aaly of ffed lae g he bodary eleme mehod. Eg. Aal. Bod. Elem. v IMOSENKO S. (9). heory of lae ad hell. Ne York: Mcgra-ll. VANDER WEEËN F. (98). Alcao of he bodary egral eao mehod o Reer lae model. I. J. Nm. Meh. Egg. v.8.-. WEN..; ALIABADI M. ; YON A. (). lae re ad lae bedg colg BEM aaly of hallo hell. I. J. Nm. Meh. Egg. v AÊNDICE I ( ) ( ) k { r [( ν ) δ r r ] ( )( r r )} k k ν ; k π ( ν ) r 7 8ν ( ) ( ν ) l r δ r r ; 8π ν {( ν )[ δ k δ k r ( rk r k )] r rk π ν r ( ) ( ) ( ) [ δ kr δ rk ( ν ) δ kr r r k ]} ( ) [( ν ) δ kr δ rk kr r r rk ] ν r r ; k r k δ 8π ; k ode é o módlo eláco raveral; é a eera da chaa. o coefcee de oo aaree ame o valor ν ν ν ν ν ara ED e ara o E é ( ). O coefcee lvre de egral de laca reee em () e () e e reecvo valore ão dado or: β β ( ν ) k ; k [ e e ( β )] π π 8π ( ν ) k [ co co ( β )] 8π ode ν é o coefcee de oo; a olçõe fdamea em ()-() ão : r ( ) r l r ; ( ) r l r ; 8π D πd m ( ) [( ν ) l r ( ν )( r ) ν ]; π Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

31 Aále eláca de erra comoa or lâma laa de eera coae... 7 ν ( ) ( r )( r ) m ; π r r m ( ) ; ; m ( ) r l r ; πr πd m ( ) [( mr )( r ) ( mk k ) l r] ; k π D mm ( ) {( ν )( mr ) ( ν )( r )( [ m ) ( mβ r β )( k rk )]} ; πr k β ν m m ( ) {( m )( r ) ( mkk )( r ) ( mβ r β )( r )( r )}; πr k β m ( ) ( m r ); π r ode D é o módlo de flexão da laca. r é a dâca ere o oo foe e o oo camo. r ão o co-eo dreore de r a dreção. e ão a reecva comoee da dreção ormal e agecal ao cooro o oo. Cadero de Egehara de Erra São Carlo v

PROJEÇÃO DE DOMICÍLIOS PARA OS MUNICÍPIOS BRASILEIROS EM 31/12/2004

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