ELETRÔNICA DE POTÊNCIA CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDAS PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS APLICAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER (REVISÃO)
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- Ana do Carmo de Santarém da Rocha
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1 ELEÔNC DE POÊNC CCUOS COM FOMS DE ONDS PEÓDCS NÃO SENODS PLCÇÃO D SÉE DE FOUE (ESÃO PMEO SEMESE DE 5
2 CCUOS COM FOMS DE OND PEÓDCS NÃO SENODS. FUNÇÕES PEÓDCS Um ução ( é periódic se: SÉE DE FOUE (ESÃO ( ( pr -< <. [] ( ( ( ( Figur - Fuções Periódics O meor que sisz equção [] é chmdo de período de (. equção [] implic que (. (; o iervlo -< < ; sedo ieiro. s uções periódics são complemee especiicds por seus vlores em qulquer período. Sej ( (.[u(- u(- -] [] Ode u( é o degru uiário Eão (. ( [3] ução ( é chmd de gerdor de (.
3 Fuções periódics possuem proprieddes de simeri que cilim su álise. Fução pr é um ução periódic que (- (. ( (.cos( Figur - Fução pr Qudo ução é pr el possui simeri com relção o eixo ds ordeds (eixo y. Fução ímpr é um ução periódic que (- -(. ( (.se( - Figur 3 - Fução ímpr Qudo ução é ímpr el possui simeri com relção à origem. Ds igurs e 3 cim veriic-se que:.cos [. ( ].cos(. é um ução pr.se [. ( ].se(. é um ução ímpr Som de uções pres resulm em um ução pr: h ( K ( K g ( p. p., ode K e K são esclres, p, g p e h p são uções pres. p 3
4 Som de uções ímpres resulm em um ução ímpr: h ( K ( K g ( i. i., ode K e K são esclres, i, g i e h i são uções ímpres. i Produo de uções pres resulm em um ução pr: h p ( K. ( ] [ K. g ( ], ode K e K são esclres, p, g p e h p são uções pres. [ p p Produo de uções ímpres resulm em um ução ímpr: h i ( K. ( ] [ K. g ( ], ode K e K são esclres, i, g i e h i são uções ímpres. [ i i Produo de uções pres por uções ímpres resulm em um ução ímpr: h i ( K. ( ] [ K. g ( ], ode K e K são esclres, i é um ução pr, e g i e h i [ p i são uções ímpres. Qulquer ução periódic ( pode ser express como sedo som de um ução pr com um ução ímpr. p i ( ( ( ( ( ( [4] [4b] p ( ( ( [4c] Deiições impores: lor médio ou médi de um ução periódic (: i médio (. d [5] lor médio qudrdo de um ução periódic ( (é chmdo de poêci médi em (: médio (. d [6] iz qudrd do vlor médio qudrdo, ou vlor rms de um ução periódic (: rms médio (. d [7] 4
5 . SÉE GONOMÉC DE FOUE Se um ução periódic ( obedece às codições de Dirichle, eão ução pode ser represed pel série rigooméric de Fourier. É bom resslr que s codições de Dirichle são suiciees, ms ão ecessáris, pois exisem uções periódics que ão obedecem ess codições, e, o eo possuem série de Fourier. s codições de Dirichle são:. ( é coíu por pres. ( possui um úmero de máximos e míimos iios em qulquer iervlo iio. 3. ( é bsolumee iegrável sobre um período, iso é: ( série rigooméric de Fourier é dd por:. d < ( [ cos(. b se(. ] ode [rd/s] [8] e b são os coeiciees d série de Fourier e depedem de ( (.cos (.. d b (.se (.. d [9],,, Our orm de expressr e b em ução d vriável e período, que é muio comum em egehri eléric, é dd bixo: b (.cos (.se (.. d( (.. d( [9b],,, Podemos observr que o primeiro ermo d série, / é o vlor médio d ução (. N álise de circuios eléricos, é mis coveiee represer-se série de Fourier combido-se os ermos em seo e cosseo em um úico ermo em seo ou cosseo (série de Fourier rigooméric compc. 5
6 (. b se( cos.. Θ c φ b (. cos. ( b. se. Figur 4 ( c c.cos (. θ c / vlor médio de ( [] c b θ b rc ou ( c c.se(. φ c / vlor médio de ( [] c b φ rc b 3. NFLUÊNC D SME SOBE OS COEFCENES DE FOUE 3.. SME P Fuções periódics com simeri pr são do ipo ( (. Pr s uções periódics com simeri pr, s equções usds pr clculr os coeiciees d série de Fourier se reduzem : 6
7 4 / / (. d (.cos(... d,, 3,... [] b,, 3,... Observe que s uções periódics com simeri pr, ão possuem ermos em seo. 3.. SME ÍMP Fuções periódics com simeri ímpr são do ipo ( (. Pr s uções periódics com simeri ímpr, s equções usds pr clculr os coeiciees d série de Fourier se reduzem :,, 3,... [3] b 4 / (.se(... d,, 3,...,, 3,... Observe que s uções periódics com simeri ímpr, ão possuem ermos em cosseo, e seu vlor médio é ulo SME DE ME OND Fuções periódics com simeri de mei-od são do ipo ( ( (. ( / - (/ Figur 5 - Simeri de mei od 7
8 Pr s uções periódics com simeri de mei-od, s equções usds pr clculr os coeiciees d série de Fourier se reduzem :, 4, 6,... ( pr 4 / (.cos(... d, 3, 5... ( ímpr [4] b, 4, 6,... ( pr b 4 / (.se(... d, 3, 5... ( ímpr Observe que s uções periódics com simeri de mei-od, só possuem ermos ímpres, e seu vlor médio é ulo SME DE QUO DE OND Fuções periódics com simeri de quro de od são uções que possuem simeri de mei-od e, lém disso, simeri em relção o poo médio dos semiciclos posiivo e egivo. Qudo um ução possui simeri de quro de od, sempre é possível orá-l com simeri pr ou ímpr. ( ( ( (b Figur 6 - ( simeri de quro de od pr (b simeri de quro de od ímpr 8
9 Pr s uções periódics com simeri de quro de od, com simeri pr, s equções usds pr clculr os coeiciees d série de Fourier se reduzem : 8 / 4, 4, 6... (.cos(... ( pr d, 3, 5... [5] ( ímpr b,, 3,... (qulquer Observe que s uções periódics com simeri de quro de od, com simeri pr, só possuem ermos ímpres em cosseo, e seu vlor médio é ulo. Pr s uções periódics com simeri de quro de od, com simeri ímpr, s e- quções usds pr clculr os coeiciees d série de Fourier se reduzem : b,, 3,..., 4, 6... (odo ( pr [6] b 8 / 4 (.se(... d, 3, 5... ( ímpr Observe que s uções periódics com simeri de quro de od, com simeri ímpr, só possuem ermos ímpres em seo, e seu vlor médio é ulo. Exemplo Clculr os coeiciees e b d série de Fourier d seóide record de mpliude como mosr igur 7 bixo. ( seo β Figur 7 9
10 Solução: Ds relções [9b] vem que: ( cos( (.se( cos( ( [se ( β se ( ] d d b β se( se(β ( se( d( se( se( d( ( β β Exemplo Clculr série de Fourier do rem de pulsos de mpliude e período d igur 8 seguir. ( Solução: Ds relções [9] vem que: Figur 8 b ( cos( d.cos( d [se( ].. (. d. d ( se( d.se( d [ cos( ]. Poro, escrevedo ( em ermos dos coeiciees e b vem que: (.. [ se( cos( [ cos( ]se( ]
11 4. SÉE DE FOUE, O PNCÍPO D SUPEPOSÇÃO E O CÁLCU- LO FSOL. O pricipl coceio que se pode ierir d série de Fourier rigooméric plicd álise de circuios lieres que possuem gerdores de esão e/ou corree com orms de ods periódics ão seoidis, crceriz-se pelos seguies poos: O gerdor de orm de od ão seoidl pode ser subsiuído por um som de gerdores seoidis com mpliudes e reqüêcis dos respecivos hrmôicos d série de Fourier de su orm de od periódic, lém de um gerdor cose (corree coíu com mpliude correspodee o vlor médio d orm de od. b Se o circuio or lier pode-se plicr o pricípio d superposição, iso é, respos do circuio é som ds resposs de cd ermo ( cd gerdor d série de Fourier. c Se esivermos ieressdos pes respos o regime permee, pode-se uilizr álise soril pr se ecorr s resposs de cd ermo (de cd gerdor seoidl (e/ou cosseoidl d série de Fourier. Nese cso, cili-se o rblho se série esiver escri em su orm compc, iso é, ou somee em ermos de seo ou de cosseo (ver iem. Foe Origil Foes Equivlees Superposição i( i( EDE i( i( EDE EDE EDE i( i ( i( EDE Figur 8 - lusrção do Pricípio d Superposição
12 Exemplo 3 Supoh um gerdor de od qudrd, de mpliude e reqüêci Herz (ou. rd/s limedo um crg L, coorme igur 9 bixo. Desejse deermir corree de regime permee do circuio. i ( oe crg L L Figur 9 - Circuio L série série de Fourier d ução v (, com orm de od qudrd, é dd por: v ( 4 se (. ímpr solução será dd pel série de Fourier d corree, ode cd hrmôico de corree pode ser clculdo prir de cd hrmôico de esão, dividido-se o sor esão pel impedâci clculd reqüêci do respecivo hrmôico. O sor corree de cd hrmôico é ddo por: ϕ θ Z φ ( 4. (. L rc(. L Poro corree do circuio é dd pel seguie série de Fourier: (. L (. rc( L 4 i ( se.. Exemplo 4 od de esão d igur seguir é plicd um circuio série L com igul Ω e L igul H. chr esão o resisor empregdo série rigooméric de Fourier. Cosseo 3 / Figur - Form d esão produzid por um reiicdor de mei od.
13 Solução: od plicd possui simeri pr, poro, coém pes ermos em cosseo, cujo os coeiciees são obidos pel iegrção: / 3.cos / 6 (.cos(.. d( cos( / ( cos(/ é - qudo, 6,,... é qudo 4, 8,,... cos(/ é qudo é ímpr Pr igul expressão é ideermid e deve ser clculd seprdmee. / / 3 se( 3.cos (. d( / / O vlor de /, que é o vlor médio d ução é ddo por: 3 / / 3 3.cos(.d( [ se( ] / / 3 ssim, série de Fourier d od de esão plicd o circuio L série é dd por: 3 v cos( cos( 5 cos(4 3 impedâci ol do circuio série é Z j(.l e deve ser clculd pr cd hrmôico expressão d esão v. Os resuldos são mosrdos bel bixo...l Z θ ,77 7,54 5,8,6 4,6 7,78 5,,6 o 6 o 75, o 8,45 o 84,9 o cos(6... Clculdo-se os coeiciees pr série d corree (observdo os âgulos de rso, emos: 35 3/ 3/ o cos( 6 4,6 3
14 6/3 o cos( 75, 7,78 série d corree é, eão: ec 3 i 3 cos( 6 (4,6 6 cos(6 84,9 35 (,6 o o 6 o 6 cos( 75, cos(4 8,45 3 (7,78 5 (5,... Fzedo-se o produo d corree i pelo resisor de vem que esão o resisor é: v 95,5 7,4cos( 6,483cos(6 84,9 o o... 6,4cos( 75, o,67cos(4 8,45 o o LO MÉDO E MS DE UM FUNÇÃO PEÓDC 4.. LO MÉDO O vlor médio de um ução periódic, coorme já viso, é ddo pel equção bixo: médio F (. d [7] epresedo-se ( por su expsão em série de Fourier, em-se: F c.se(.. θ. d c [8] c 4.. LO MS O vlor médio de um ução periódic, coorme já viso, é ddo pel equção bixo: MS F (. d [9] epresedo-se ( por su expsão em série de Fourier, em-se: F c c ( d.se... θ [] iegrção, em um período, de ermos em seo, ou produos de ermos em seo com reqüêcis disis é ul. Poro, equção erior se reduz : 4
15 c c F c.. c [] Observ-se, poro, que o vlor rms cosise riz qudrd d som dos qudrdos dos vlores rms dos hrmôicos idividuis mis o qudrdo do vlor médio d ução periódic. 5. ONDULÇÃO E FO DE ONDULÇÃO DE ENSÕES E COENES PEÓDCS NÃO SENODS. Cosidere um dipolo de um circuio lier prâmeros cocerdos som um esão e corree periódics ão seoidis, descris pels séries de Fourier bixo: v i p p se se (. θ (. θ i v [] ode: vlor d compoee coíu d esão (vlor médio d esão p mpliude do hrmôico de ordem d esão (vlor de pico θ v âgulo de se do hrmôico de ordem d esão vlor d compoee coíu d corree (vlor médio d corree p mpliude do hrmôico de ordem d corree (vlor de pico θ i âgulo de se do hrmôico de ordem d corree prir dos resuldos do iem 5., pode-se deermir os vlores rms (eiczes d esão e d corree rvés ds equções bixo: [3] ode: p é o vlor rms (eicz do hrmôico de ordem d esão é o vlor rms (eicz do hrmôico de ordem d corree p Os somórios dero ds equções [3], reerem-se à som dos qudrdos dos vlores rms (eiczes dos compoees hrmôicos d esão e d corree. Como os compoees hrmôicos são seóides e, poro possuem médis uls, s somóris reerem-se, poro, o qudrdo do vlor rms d compoee C ds orms de od, 5
16 deomid de odulção. s compoees C (ou de odulção d esão e d corree são, poro, deiids pels equções seguir: C [4] C prir ds equções [4], deie-se os ores de odulção d esão e d corree, coorme s equções bixo: r r v i C C ou, em vlores perceuis ou, em vlores perceuis r % r r % r i v i v % % [5] ode: r v é or de odulção de esão, e r i é o or de odulção de corree. Observe que pr um esão (ou corree com orm de od purmee lerd, o or de odulção é iiio, e pr um esão (ou corree com orm de od cose, o or de odulção é ulo. 6. POÊNC E FO DE POÊNC EM CCUOS LNEES COM COENES E ENSÕES PEÓDCS NÃO SENODS. Cosidere um dipolo de um circuio lier prâmeros cocerdos som um esão e corree periódics ão seoidis, descris pels séries de Fourier ds equções []. poêci isâe os ermiis dese dipolo será dd pelo produo v.i. poêci médi (ou eicz dese dipolo será, poro: P P p. d p v. i. d se (. θ. se(. θ v p i d [6] edo em vis que os ermos em seo e os ermos com produo de seos de reqüêcis disis possuem iegrções uls em um período, em-se o seguie resuldo pr equção erior: 6
17 P P.. p.. p cos cosϕ ( θ θ.. cos( θ θ v i ode ϕ θ equção [6] mosr que poêci médi (eicz ol é som ds poêcis médis obids prir d ierção de correes e esões com mesm reqüêci; correes e esões com reqüêcis dierees ão iergem pr produzir poêci médi (eicz. D mesm orm que é deiid pr circuios com esões e correes seoidis, deie-se mbém poêci pree pr circuios com esões e correes periódics ão seoidis como sedo o produo d esão rms (eicz, com corree rms (eicz, coorme equção bixo: S [8] Covém chmr eção qui que o ermo poêci eicz, reere-se à poêci médi, iso é, o vlor médio d poêci isâe, o psso que os ermos esão e corree eiczes reerem-se os vlores rms d esão e d corree. prir ds equções [7] e [8], deermi-se o or de poêci, que é deiido como sedo relção ere poêci médi (eicz e poêci pree, coorme equção bixo: v θ i v i [7] p p P S P... cosϕ [9] Observe d equção [9], que qudo s orms de od de corree e esão ão são seoidis, o or de poêci ão pode ser iguldo cos(ϕ, ode ϕ é o âgulo d impedâci do circuio. 6.. POÊNC E FO DE POÊNC QUNDO UM DS FOMS DE OND (ENSÃO OU COENE FO SENODL. É muio comum em circuios de elerôic de poêci ocorrer que um d orms de od, gerlmee esão, de um deermido dipolo sej seoidl, equo que corree do mesmo é periódic, ms ão seoidl. Nese cso, s equções dos ies eriores podem ser simpliicds coorme presedo seguir. 7
18 Sej um dipolo, cujs orms de od de esão e corree possm ser represeds pels equções bixo: v se. θ i p ( p v se (. θ i [3] Eão, o cálculo d poêci médi (equções [6] e [7] se reduz : P. ϕ [3] cos Logo, pode-se observr que pes o compoee de primeiro hrmôico d corree é resposável pel poêci médi (eicz. Os demis compoees, o o, quo os hrmôicos ão produzem poêci médi. poêci pree do dipolo será dd eão por: S [3] O or de poêci, ese cso, é deermido pel equção bixo: p δ P S. cos ( ϕ cosϕ δ cos ( ϕ ( δ pr correes seoidis [33] Qudo orm de od d corree possuir compoee (médio ulo, s equções d poêci pree e do or de poêci podem ser reescris coorme seguir: S p P S. cos ( ϕ cosϕ FDH cos ( ϕ [34] FDH FDH: For de Disorção Hrmôico 8
19 Pode-se, eão, desevolver-se expressão d poêci pree. S (. S D [35] ode: S é poêci pree de primeiro hrmôico D é deomid de poêci de disorção hrmôico poêci pree S é poêci pree pr orms de od seoidis e pode ser escri em ermos d poêci médi (iv ou eicz e d poêci reiv, mbs de primeiro hrmôico. S P Q P. cos ( ϕ [36] Q. se ( ϕ Logo, equção [35] pode ser reescri coorme equção [37], mosrdo que poêci pree ol é compos de um compoee de poêci iv, devido o primeiro hrmôico, um compoee de poêci reiv devido o primeiro hrmôico, e um compoee de disorção hrmôic, devidos os demis hrmôicos de corree. S P Q D [37] equção [37] deie um eredro de poêcis, o ivés de um riâgulo de poêcis como é o cso de circuios com orms de od purmee seoidis. D S S Q P 9
20 Série de Fourier de lgums orms de od - 4 ( se( se( 3 se( 5 se( ( cos( cos(3 cos(5 cos(7... (3 (5 ( ( se( se( se(3 se(4 se(
21 meio ciclo de seóide meio ciclo de seóide... cos(8 9 7 cos(6 7 5 cos(4 5 3 cos( 3 se( (... cos(8 9 7 cos(6 7 5 cos(4 5 3 cos( 3 (... 4 cos4 se4 3 cos3 se3 cos se cos se (
22 se(5 5 se(4 4 se(3 3 se( se( (... se(5 5 se(4 4 se(3 3 se( se( ( -... se( se(9 9 cos(7 7 cos(5 5 cos(3 3 se(... se(9 (9 cos(7 (7 cos(5 (5 cos(3 (3 cos( 4 (
23 seóide β - ( [ cos( cos( β ] se ( β se ( se( se(β cos( ( β se( cos[( ] cos[( β] cos[( ] cos[( β] cos(. ( ( se[( β] se[( ] se[( ] se[( β] se(. ( ( δ (δ / - (δ / 4 δ 3δ 5δ 7δ ( se se ( se se( 3 se se( 5 se se(
24 Form de od de um iversor riásico (Seis pulsos - 3 semicoduores em codução simulâe B Série de Fourier 3 4 B 4 cos se C N 4 cos se 3 6 ( C N /3 /3 -/3 -/3 BN CN Form de od de um iversor riásico (Seis pulsos - semicoduores em codução simulâe 4
25 N / -/ BN 3 4 Série de Fourier N B cos se cos se CN B - 5
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Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems Lieres Prte II Prof Jorge Cvlcti jorgecvlcti@uivsfedubr MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - wwwdscufcgedubr/~cum/ Sistems
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BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL
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Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites
Cálculo I ª List de Eercícios Liites Clcule os liites: 9 / /8 Resp.: 6 li li li li li li e d c e d c Clcule os liites io: Clcule: 8 6 li 8 li e d li li c li li / /.: Resp e d c Resp.: li li li li li li
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Cpítulo : Resolução Numéric de Equções.. Riz de um equção Em muitos prolems de egehri há ecessidde de determir um úmero ξ pr qul ução sej zero, ou sej, ξ. A ξ chmmos riz d equção ou zero d ução. Equções
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EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =
Universidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes
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3. Admitindo SOLUÇÃO: dy para x 1 é: dx. dy 3t. t na expressão da derivada, resulta: Questão (10 pontos): Seja f uma função derivável e seja g x f x
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Este capítulo tem por objetivo apresentar métodos para resolver numericamente uma integral.
Nots de ul de Métodos Numéricos. c Deprtmeto de Computção/ICEB/UFOP. Itegrção Numéric Mrcoe Jmilso Freits Souz, Deprtmeto de Computção, Istituto de Ciêcis Exts e Biológics, Uiversidde Federl de Ouro Preto,
6 Cálculo Integral (Soluções)
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Princípios de Telecomunicações
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Assíntotas verticais. lim f lim lim. x x x. x 2 x 2. e e e e e. lim lim
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Apostila. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
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Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }
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