Otimização de funções e funcionais. Otimização paramétrica. Problema de controle ótimo com tempo final fixo.

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1 Inrodução ao Conrole Óimo: Oimização de funções e funcionais. Oimização paramérica. Problema de conrole óimo com empo final fio. Conrole Óimo Linear-Quadráico: Problemas de regulação (Projeo de Regulador) Problemas de rasreameno (Projeo de Servossisema)

2 Oimização Deerminação de uma ação que proporciona um máimo de benefício, medido por um criério préesabelecido. Oimização paramérica A ação é a escolha de um veor de parâmeros de dimensão fia e o criério de desempenho é uma função escalar do veor de parâmeros que dever ser minimizada (maimizada). Conrole Óimo Obenção de uma lei de conrole (conrolador óimo) para minimizar (maimizar) um funcional.

3 Moivação Méodos de projeo baseados na eoria de Conrole Óimo permiem levar em cona o esforço de conrole a ser empregado. Cabe ao projeisa conferir pesos aos diferenes canais de erro e de conrole, endo em visa o compromisso enre melhorar o desempenho do conrolador e reduzir o esforço de conrole. al procedimeno de projeo pode ser mais inuiivo que a escolha direa para as posições dos pólos de malha fechada. O uso de écnicas de Conrole Óimo permie ober boas margens de ganho e de fase.

4 Funções de uma variável Seja L() uma função de uma variável R ( função de cuso ) Problema: Enconrar o valor * que minimiza L(). L() *

5 Funções de uma variável Se L() for suave ( a e a derivadas conínuas), deve-se er: dl() d * d L() d * > L() angene a L() em * *

6 Funções de várias variáveis Seja L() uma função de um veor R m : m

7 Funções de várias variáveis Funções de várias variáveis m L / L / L / L L Veor gradiene (m ):

8 Funções de várias variáveis Funções de várias variáveis m m m m m L / L / L / L / L / L / L / L / L / L L Mariz hessiana (m m, simérica) :

9 Funções de várias variáveis Epansão em série de aylor da função L em orno de um pono : L( ) L( ) (L) ( ) L O(3)

10 Funções de várias variáveis Epansão em série de aylor da função L em orno de um pono : L( ) L( ) (L) ( ) L O(3) Incremeno em L causado por um incremeno em : L(, ) L( ) L( ) L(, ) (L ) ( ) L O(3)

11 Funções de várias variáveis L(, ) L( ) L( ) * é um pono de mínimo local se L( *, ) para pequenos incremenos.

12 Funções de várias variáveis L( *, ) L ( *, ) (L) ( ) L * * O(3) No pono de mínimo * deve-se er L Que condição deve ser saisfeia por L?

13 Def: Marizes Posiivo-Definidas, Negaivo-Definidas e Semidefinidas Uma mariz simérica M é dia Posiivo-Definida (M > ) se M >,. Posiivo-Semidefinida (M ) se M,. Negaivo-Definida (M < ) se M <,. Negaivo-Semidefinida (M ) se M,. Indefinida nos demais casos.

14 Def: Marizes Posiivo-Definidas, Negaivo-Definidas e Semidefinidas Condições equivalenes para os auovalores da mariz: M > odos i (M) > M odos i (M) M < odos i (M) < M odos i (M)

15 Funções de várias variáveis L ( *, ) (L) ( ) L * * O(3) Condição sobre o gradiene: L Análise da Hessiana: L > : Mínimo local L < : Máimo Local L Indefinida: Pono de Sela L Semidefinida: Nada se pode concluir (Eaminar ermos de erceira ordem)

16 Alguns gradienes úeis Alguns gradienes úeis Dados dois veores-coluna, y em-se: y y y ) ( ) ( Q Q ) ( ) ( ) ( ) ( y Q y Q y Dada uma mariz Q n n simérica e veores-coluna n, y n, em-se:

17 E: Função Quadráica com m q q L ( ) [ s s ] q q Q s L ( ) Q s L ( * ) Q * s * Q s * L ( ) Q

18 E: Função Quadráica com m E: Função Quadráica com m E: Q ) ( L * s Q *, s Q

19 E: Função Quadráica com m E: Função Quadráica com m E: Q ) ( L * s Q *, s Q

20 Oimização com Resrições Suponha que a minimização de L() deva ser feia de modo a saisfazer uma resrição epressa na forma f(), com f R n. Solução: Usar muliplicadores de Lagrange.

21 Oimização com Resrições Oimização com Resrições Lagrangeano: ) f ( ) L( ), L'( n Condições a serem saisfeias pelo pono de mínimo: ), L'(, ), L'(

22 Oimização com Resrições: Eemplo Enconrar o pono (, ) sob a rea que eseja mais próimo da origem.

23 Oimização com Resrições: Eemplo Enconrar o pono (, ) sob a rea que eseja mais próimo da origem. Função de cuso: L(, ) Resrição: Lagrangeano: L (,, ) ( )

24 Oimização com Resrições: Eemplo Oimização com Resrições: Eemplo ) ( ),, '( L / ' L * * / ' L * * ' L * * / / * * * * / * * Logo:

25 Oimização com Resrições: Eemplo

26 Oimização com Resrições: Eemplo Oimização com Resrições: Eemplo ), L(.5.5 * * ), L( α E se, ivessem pesos diferenes na função de cuso?

27 Oimização com Resrições: Eemplo Oimização com Resrições: Eemplo ) ( ),, '( L α / ' L * * ) /( ' L * * α α ' L * * * * * * α α α α α α α α * *

28 Oimização com Resrições: Eemplo Oimização com Resrições: Eemplo Peso de * e * ), L( α, * * α α α

29 Oimização de funcionais: Cálculo Variacional Funcional: Regra de correspondência que aribui um valor escalar (real) a cada função () perencene a uma cera classe. E: Suponha que () seja uma função conínua definida no inervalo [, f ]. Um eemplo de funcional seria J() f ()d A classe de funções considerada pode ainda envolver resrições. Por eemplo: ( ) a, ( f ) b.

30 Oimização de funcionais: Cálculo Variacional Uma função *() é um mínimo local do funcional J() se quaisquer incremenos δ() admissíveis na função *() não reduzirem o valor de J, iso é: J( * δ ) J(*), δ admissível Incremeno admissível: Respeia a classe de funções consideradas (p. e., funções conínuas), bem como possíveis resrições (p. e. ( ), ( f ) fiados δ( ) δ( f ) ).

31 Regra de Leibniz para funcionais Suponha que () R n seja uma função de e J() f h((), )d sendo h uma função escalar. Enão: δ J(, δ ) f [h ((), ) δ ()] d h h h / h / h / n

32 Condição a ser saisfeia por * δ J(*, δ ) f [h ( *(), ) δ ()] d δ J( *, δ ), δ admissível Se δ for livre em (, f ), deve-se er h ( *(), ), (, f )

33 Nem sempre é possível ou práico se chegar a uma solução analíica Nesses casos podemos uilizar méodos/algorimos de oimização para deerminar um conjuno óimo de parâmeros.

34 Esruura geral: Passo : (Inicialização) Arbirar um valor inicial. Passo : (ese de convergência) Verificar se o valor aual para k é solução óima. Caso afirmaivo * k. Fim. Passo : (Deermina uma direção de busca) Calcula um veor não-nulo que será uilizado como direção de busca. Passo 3: (Deermina o passo) Calcula um comprimeno de passo a ser dado na direção de busca. Passo 4: (Aualiza a esimaiva do óimo) Deermine nova esimava adicionando a k o incremeno deerminado. Vola para o passo.

35 Os algorimos de oimização podem usar o gradiene ( seepes descen, BFGS, DFP), a hessiana (Newon) ou apenas valores da função nos ponos de busca (busca direa, poliedros fleíveis, busca aleaória, algorimos genéicos). Eisem esraégias específicas para escapar de mínimos locais (zona abu, recozimeno simulado, imes assíncronos). Aspecos numéricos podem ser imporanes para a convergência e correo funcionameno do algorimo.

36 Oimização paramérica em conrole Oimização paramérica: min f(), onde é um veor real. É um problema muio frequene em aplicações indusriais de conrole:

37 Os parâmeros da oimização podem não ser os parâmeros do conrolador e sim parâmeros de um méodo de projeo (por eemplo ξ e ω n ou σ e ω d, ou ainda os valores das marizes Q e R do méodo LQR que será discuido a seguir) que esão relacionados com os parâmeros do conrolador.

38 Aplicação : conrole de um servomecanismo Para o servomecanismo do diagrama de blocos, deermine K e K de forma a minimizar o índice de desempenho dado.

39 Solução em MALAB: funcion [func]desemp(q); % % Implemenacao da avaliacao de desempenho % Argumeno q -> coném os elemenos da diagonal de Q % num[]; den[ ]; servof(num,den); sssss(servo); klqr(sss.a,sss.b,diag([q()^,q()^]),); servo_mfss(sss.a-sss.b*k,sss.b*k(),sss.c, sss.d); ysep(servo_mf,:.:); ovma(y)-; % sobresinal [dummy,inde]ma(y>.9); s(inde-)*.; % empo de subida funcabs(ov)s*5norm(k); % indice de desempenho fminsearch('desemp',[ ])

40 Desempenho do conrolador óimo

41 Problema de Conrole Óimo com empo Final Fio

42 Problema de Conrole Óimo com empo Final fio Suponha que a dinâmica da plana seja descria por () f (,u, ), () R ( ) fiado n, u() R Consideraremos o problema de minimizar funcionais de cuso da forma p J(, u) f L((),u(), )d Vale ressalar que as funções e u esão relacionadas pela equação de esado, que corresponde a uma resrição dinâmica para o problema.

43 Problema de Conrole Óimo com empo Final fio Idéia: Agregar a resrição dinâmica ao funcional de cuso uilizando muliplicadores de Lagrange: J'(, u, ) f [L(, u, ) ()(f (, u, ) )] d

44 Problema de Conrole Óimo com empo Final fio J'(, u, ) f [L(, u, ) ()(f (, u, ) )] d Usando a seguine definição (Hamiloniano): H(, u,, ) L(, u, ) ()f (,u, ) pode-se escrever o novo cuso como: J'(, u, ) f [H(, u,, ) ] d

45 Problema de Conrole Óimo com Problema de Conrole Óimo com empo Final fio empo Final fio Empregando a regra de Leibniz: f d ] ), u, [H(, ) u, '(, J δ δ δ δ δ f u d ] d H u H [H J δ δ δ δ f u d ] d ) (H u H [H J

46 Problema de Conrole Óimo com Problema de Conrole Óimo com empo Final fio empo Final fio Inegrando por pares: δ δ δ δ f u d ] d ) (H u H [H J d d f f f δ δ δ d ) ( ) ( ) ( ) ( f f f δ δ δ d ) ( ) ( f f f δ δ δ δ δ δ f u f f d ] d ) (H u H ) [(H ) ( ) ( J ( ) é fiado

47 Problema de Conrole Óimo com empo Final fio δ J ( f ) δ ( f ) f [(H ) δ H u δ u (H ) d ] d Anulando os coeficienes dos incremenos em u,, ( f ), : H u ( f ) H H ( ) dado

48 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura Seja θ() a emperaura no inerior de um quaro e m() a aa de calor fornecida por um aquecedor. Suponha que a dinâmica érmica do sisema, linearizada em orno da emperaura desejada, seja descria por θ. θ m em que θ ( ) θ () θ, m() m() m Objeivo: Maner a emperaura no valor desejado, iso é, θ(), com ecursões pequenas do sinal de conrole m().

49 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura θ. θ m Usando a noação θ e u m:. u Funcional de cuso adoado: J(, u) f [ () r u ()]d em que r > é um parâmero a ser ajusado pelo projeisa.

50 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura. u f J(, u) [ () r u ()] d f (,u,) Hamiloniano: H(, u,,) L(,u,) ()f (,u,) Condições de oimalidade: H u. ( ) f H ru u() () r L((),u(),) r u (. u) H. u ( ) dado Diferença inicial com respeio à emperaura desejada

51 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura Condições de oimalidade: u() () r ( ) (). () ( f ) ().() u() ( ) dado Dificuldade: Acoplameno enre as equações. u() Requer () Requer () Requer u()

52 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura Idéia Supor uma deerminada forma para a solução: ( ) p()() u() () () r.() ( ) (). p()() r u() ().() 4p()() r p ()() p()() ().p()() 4p()() p ()() p().() () r.p()()

53 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura 4p()() p ()() p().() () r p()().p()() p()() 4p.p() ()() r ().p()() Como essa idenidade vale para odo (), deve-se er: 4p () r ().p()() p().p() 4p () r (Equação de Riccai)

54 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura p().p() 4p () r Condição final: ( ) ( f ) p()() ( f ) p(f )(f ), (f ) p( f )

55 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura u() ( ) () r p()() u() p() () r k() A solução consise em uma realimenação de esado com ganho variane no empo.

56 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura 4p () p().p() p( f ) r k () p() r u() k()()

57 Eemplo: Sisema de regulação de emperaura Solução da Equação de Riccai: a) Solução analíica: dp d 4p.p r dp 4r p.p d Epansão em frações parciais Usa-se p( f ) para ober a consane de inegração b) Méodo numérico: Eemplo: Função ODE45 do Malab.

58 Eemplo: Solução da Equação de Riccai para r Se o horizone de empo f for grande, o valor de p() nos insanes iniciais é aproimadamene consane.

59 Eemplo: Horizone Infinio Se f, pode-se usar o valor esacionário para p(). Impondo-se p() p consane: p().p() 4p () r 4 p.p r Para r, por eemplo: p 4p.p p k p / r.96 k p / r.6

60 Eemplo: Horizone Infinio Conclusão: Se o problema for formulado com horizone infinio, a solução corresponde a uma realimenação de esado com ganho consane.

61 Eemplo: Efeio do peso do conrole r r p.48 k.96 r p.35 k.7

62 Eemplo: Efeio do peso do conrole r r p.48 k.96 r p.35 k.7

63 Regulador Linear-Quadráico

64 Regulador Linear-Quadráico (LQR) Regulação: Levar o esado () para zero. Gosaríamos que o conrole u() fosse pequeno, a fim de reduzir o gaso de energia, o desgase dos auadores e eviar problemas de sauração. Idéia Calcular u(),, de modo a minimizar o seguine J funcional de cuso: f [q () qn () ru () r n pu p()] d qi, rj >

65 Regulador Linear-Quadráico (LQR) J f [q () qn () ru () r n pu p()] d Regra de Bryson para seleção dos pesos: (Ampliude aceiável q i para ) i (Ampliude aceiável r j para u ) j,, i j,, n,, p

66 LQR: Formulação Maricial LQR: Formulação Maricial f p p n n d ()] u r () u r () q () [q J f n n n () () () q q q ()] () () [ d () u () u () u r r r ()] u () u () [u p p p

67 LQR: Formulação Maricial LQR: Formulação Maricial f ()] d () () () [ J Ru u Q p n r r r, q q q R Q

68 J Observação sobre as marizes de pesos [ () Q() u () Ru()] d As marizes Q e R não precisam necessariamene ser diagonais, mas devem saisfazer as seguines propriedades: Q, Q posiivosemidefinida u Ru >, u R posiivodefinida

69 Regulador Linear-Quadráico Problema: Minimizar o seguine funcional quadráico: J f [ () Q() u () Ru()] d Q, R > sendo u() e () relacionados por um modelo linear da forma: A ( ) Bu dado

70 Regulador Linear-Quadráico A Bu f J [ () Q() u () Ru()] d f (, u,) Hamiloniano: L( (), u(),) H(, u,, ) L(, u, ) Condições de oimalidade: [ Q u Ru] ( A Hu Ru B u() R B () H ( Q A ) ( ) f ()f (, u, ) Bu) H A Bu ( ) dado

71 Regulador Linear-Quadráico Condições de oimalidade: u( ) R B () () Q() A () ) ( f (Equação de co-esado) ( ) A() Bu() ( ) dado (Equação de esado) Dificuldade: Acoplameno enre as equações. u() Requer () Requer () Requer u()

72 Regulador Linear-Quadráico Admie-se a seguine forma para a solução: ( ) Pn n () n () n u( ) R B () R B P() () () A() Bu() A() BR B P() () () Q() A () P () () P() () Q() A P() () P () () P()[ A() BR B P() ()] Q() A P() ()

73 Regulador Linear-Quadráico P () () P()[ A() BR B P() ()] Q() A P() () P () () P() A() P() BR B P() () Q() A P() () [ P () A P() P() A P() BR B P() Q] () Como essa idenidade vale para odo (), deve-se er: P () A P() P() A P() BR B P() (Equação de Riccai maricial) Q

74 Regulador Linear-Quadráico P () A P() P() A P() BR B P() Q Condição final: ( ) P() () ) ( f ( f ) P( f ) ( f ), ( f ) P ) ( f

75 Regulador Linear-Quadráico u( ) R B () ( ) P() () u() R B P() () K() A solução consise em uma realimenação de esado com ganho variane no empo.

76 Regulador Linear-Quadráico: Resumo P () A P() P() A P() BR B P() Q P ) ( f K() R B P() u( ) K() ()

77 Regulador Linear-Quadráico Horizone Infinio Caso seja usado um horizone infinio no funcional de cuso, iso é: J [ () Q() u () Ru()] d pode-se usar a solução assinóica da equação de Riccai: P() P consane. A P PA PBR B P Q K R B P u( ) K() (Equação Algébrica de Riccai) (P Posiivo-Definida) (Realimenação com ganho consane)

78 Regulador Linear-Quadráico Horizone Infinio A solução para a equação algébrica de Riccai sempre eisirá se: R > (Posiiva-Definida) (A, B) for conrolável, ou ao menos esabilizável Modos não conroláveis são esáveis

79 Resolvendo o problema de conrole óimo linear-quadráico no Malab: Função lqr [K,P] lqr(a,b,q,r) A, B Marizes da equação de esado do sisema Q Pesos dos esados R Pesos dos conroles

80 Eemplo: Movimeno Longiudinal de uma Aeronave (modo rápido) velocidade verical velocidade de arfagem u ângulo de defleão do profundor (rad)

81 >> A [- 7;-.5-5] >> B [-7;-45] >> Q diag([, ]) >> R >> K lqr(a,b,q,r) Casos a serem comparados: Q, R. Q, R Q, R

82 Margens de esabilidade obidas com o LQR

83 Margens de esabilidade obidas com o LQR G(s) K(sI A) B

84 Margens de esabilidade obidas com o LQR Pode-se mosrar que a realimenação de esado projeada com o LQR de horizone infinio garane: Margem de fase PM 6 o Margem de ganho superior infinia Margem de ganho inferior de pelo menos.5 (Se a plana for insável em malha abera, o ganho pode ser reduzido aé a meade e a esabilidade ainda será garanida)

85 E: Sisema Insável em Malha Abera q θ

86 E: Sisema Insável em Malha Abera E: Sisema Insável em Malha Abera δ θ θ 9,8 6,3 u q, 9,8,4,,4 u q >> A [-.4 -.; ; ]; >> B [6.3;;9.8]; >> Q diag([,,]); R ; >> K lqr(a,b,q,r) >> sys ss(a,b,k,) >> [Gm,Pm,Wcg,Wcp] margin(sys) >> rlocus(sys) >> nyquis(sys)

87 Rasreameno com ação de conrole inegral

88 Rasreameno com ação de conrole Inegral Usando a noação K i k n :

89 Sisemas MIMO Caso a plana enha p enradas e q saídas, iso é: pode-se acrescenar um inegrador a cada canal de erro:

90 Sisemas MIMO A equação para o esado aumenado orna-se: I

91 E: Conrole da dinâmica longiudinal de uma aeronave Boeing 747

92 E: Conrole da dinâmica longiudinal de uma aeronave Boeing 747

93 Modelo linearizado na condição de vôo considerada BRYSON, A. E. Conrol of Spacecraf and Aircraf, Princeon Universiy Press, 994.

94 Modelo aumenado (p, q ) Aa [A zeros(4,); -C zeros(,)]; Ba [B; zeros(,)]; Q diag([,,,,,]); R diag([,]); Ka lqr(aa,ba,q,r); K Ka(:,:4); Ki Ka(:,5:6);