Capitulo IV : Interpolação Polinômios de Bernstein,

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1 TC 708 Análise Numérica Capiulo IV : Inerpolação Polinômios de Bernsein, b d a c Lucas Máximo M Alves Prof. Anonio Marques Carrer Universidade Federal do Paraná UFPR 1

2 Coneúdo 1. Inrodução 2. Problemas na Inerpolação Polinomial 3. Moivação - Surgimeno 4. Polinômios de Bernsein 5. Propriedades dos Polinômios 6. Cálculos de Inerpolação e Exemplos 7. Aplicações e Conclusão 8. Referências 2

3 1 - INTRODUÇÃO Inerpolação ão: : Linear, Quadráica ica, Cúbica Escolha da ordem do polinômio de inerpolação 3

4 1 - INTRODUÇÃO Forma geomérica de alguns dos polinômios já aprendidos 4

5 2 - PROBLEMAS NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL A inerpolação polinomial é um meodo fácil f e único para descrevercurvas que coném m alguns aribuos geoméricos saisfaórios. A inerpolação polinomial nào n é o méodo m de escolha denro de aplicaivos como o CAD devido a descrições melhores de curvas (como será viso mais arde). Razão: A inerpolaçà çào o polinômial pode oscilar 5

6 2 - PROBLEMAS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL O polinômio inerpolane pode oscilar mesmo quando ponos de dados normais e os valores dos parameros são usados. O polinômio inerpolane não preserva a forma. Iso não em nada a ver com os efeios numéricos, ele é devido ao processo de inerpolação. Para processos de inerpolação de alo cuso: uma enorme quanidade de operações necessárias para a consruçà çào o e cálculo c do inerpolane. 6

7 Ese é o Sr. Bernsein 3 MOTIVAÇÃO 7

8 3 MOTIVAÇÃO Objeivo: Melhor conrole sobre a forma das curvas Infraesruura: Compuado-com supore de design para auomóveis e areonaves Bézier (Renaul) e de Caseljau (Ciröen)) ambos foram desenvolvidos independenemene um do ouro em orno dos anos de 1960/65 para descrições de curva com os seguines aribuos: Subsiução de padrões de desenho feios pelo CAD Manipulação flexível de curvas com garania e conrole de forma da curva resulane Inrodução de ponos de conrole que não necessariamene esende-se se sobre a curva 8

9 Curvas Suaves Como criar curvas suaves? 9

10 Curvas Suaves Como criar curvas suaves? Curvas paraméricas com polinômios p( ) x( ), y( ) 10

11 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) a b c 2 d 3 y( ) e f g 2 h 3 11

12 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

13 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

14 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

15 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

16 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

17 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

18 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

19 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( )

20 Curvas Suaves Conrolando a forma da curva x( ) y( ) Os coeficiene de bases de Poências não são inuiivos para o conrole da forma da curva!!! 20

21 3 - SURGIMENTO Fórmula do Binômio de Newon ( a b) n n i0 n i a ni b i 21

22 4 - POLINÔMIOS DE BERNSTEIN Definição dos Polinômios de Bernsein Os Polinômios de Bernsein de grau n qualquer são definidos para qualquer grau n = 0, 1, 2,,, N, n n ni i B ( ) (1 ) com 0,1 i, i 0,..., n i com coeficienes binomiais dado por: n! n n para 0 i n i!( n i)! i i 0 para 0 i n 22

23 4 - POLINÔMIOS DE BERNSTEIN - Prefere-se sobre ouras inerpolações polinomiais porque: É mais eficiene - Ouros polinômios de alos graus são compuacionalmene mais caros - Erros pequenos - A curva inerpolane é mais suave Exisem n+1 Polinômios de Bernsein de grau n. Por exemplo,, Os Polinômios de Bernsein de graus 1, 2, e 3 são: 23

24 4.1 - Bernsein de grau B0 ( ) (1 ) B1 ( ) (1 ) 1 24

25 4.2 - Bernsein de grau B0 ( ) (1 ) (1 ) B1 ( ) (1 ) 2(1 ) B2 ( ) (1 ) 2 25

26 4.3 - Bernsein de grau B0 ( ) (1 ) (1 ) B1 ( ) (1 ) 3(1 ) 1 3 B B3 ( ) (1 ) ( ) (1 ) 3(1 ) 26

27 5.1 Inervalo B n i 5.2 Simeria 5 - PROPRIEDADES DOS POLINÔMIOS 0,1 n,0 i n, 0,1 ( ) 5.3 Recursividade n i n ni B ( ) B (1 ) n nk n1 k k k 1 B ( ) (1 ) B ( ) B ( ) 27

28 5 - PROPRIEDADES DOS POLINOMIOS DE BERNSTEIN Parição da unidade: : a soma vale uma unidade para qualquer em [0,1] onde i-vezes nulo em =0, (n-i) i)-nulo nulo em =1 Prova: 1 1 n n n i 0 n B i ( ) 1 n n i i n n i 0 i 0 i i 1 B ( ) 0,1 28

29 5.4 - n escolhas I do Triangulo de Pascal 0 0 : : :, : :,, : :,,, : :,,, 0 1 2, : : n n n n n n i :,,...,,,,..., : 1,(n-1)+(i-1),(n-1+i),...,1 0 1 k-1 k k+1 n n n! n-1 n-1 = = + i i!(n - i)! i i-1 1: 1 1,1: ,2,1: ,3,1: ,4,6,4,1: : 1, n,...,(n-1)+(i-1),(n-1+i),...,1 29

30 5.5 - Consrução do Polinômios de Bernsein = B in () = (1-)B i n-1 () + B i n () B 02 () = (1-) B 01 () = + B 12 () = (1-) B 11 () + B 01 () = B 22 () = B 11 () n nk n1 k k k1 B ( ) (1 ) B ( ) B ( ) 30

31 5.6 - Cálculo Recursivo r1 r r i i i1 B ( ) : (1 ) B ( ) B ( ) B 0 i ( ) : i,n-1 1 para i = 0 0 para i Graus mais alos lerps de graus inferiores n i n-i B i,n ( ) = (1-) i n-1 n-1 = (1-) + (1-) i i-1 = (1-)B ( ) + B ( ) i n-i i n-i i-1,n-1 31

32 5.6 - Base de Funções dos Polinômios de Bernsein Exemplo: Polinômios de Bernsein de Graus

33 6. CÁLCULO C DE INTERPOLAÇÃO Meodos de Aproximação: Curvas e Polinômios BézierB De acordo com esa definição as curvas de BézierB são calculadas com a ajuda dos polinômios de Bernsein. Exemplo de uma curva cúbicac Bézier 33

34 6. CÁLCULO C DE INTERPOLAÇÃO Inerpolação de uma curva Bezier Dado uma série de ponos de conrole onde Definição ão: Uma curva Bezier de grau N é: Onde Bn, i ( ) para i = 0, 1,,, N, são os polinômios de Bernsein de grau N. - P() é a curva de Bezier. - Uma vez que: B P( ) PB i n, i( ) i0 ( x, y ) i i i É fácil modificar as curvas se os ponos são acrescenados P P i i 0 N x( ) xibn, i( ) i0 N y( ) yibn, i( ) i0 N 34

35 6. CÁLCULO C DE INTERPOLAÇÃO Problema: Ache a curva Bezier que possui os seguines ponos de conrole {(x,y x,y)={ (2,2), (1,1.5), (3.5,0), (4,1)}. Solução ão: Subsiui-se se as coordenadas x- e y-y dos N=3 ponos de conrole denro das fórmulas x() ) e y(): x( ) 2 B ( ) 1 B ( ) 3.5 B ( ) 4 B ( ) y( ) 2 B ( ) 1.5 B ( ) 0 B ( ) 1 B ( ) 35

36 6. CÁLCULO C DE INTERPOLAÇÃO Cálculando o polinômio que ajusa a função ão: y = f(x) x( ) P[ x]( ) dy dy / d dp[ x]( )/ d y( ) P[ y]( ) dx dx / d dp[ y]( )/ d dy / d dy y( x) y dx dx dx / d dx 36

37 6.1. Exemplo 37

38 6.2. Exemplo 38

39 6.3. Exemplo 39

40 6.4. Exemplo 40

41 6.5. Exemplo 41

42 7 - APLICAÇÕES E CONCLUSÃO Cálculo por Marizes Resolução de Sisemas Lineares Ver Exemplo MAPLE 42

43 6.1 - Inerpolação Cúbica: Mariz 4x4 F( ) P (1 ) P[3 (1 ) ] P [3 (1 )] P P 0 M? P1 P 2 P3 43

44 6.1 - Inerpolação Cúbica: Mariz 4x4 F( ) P (1 ) P[3 (1 ) ] P [3 (1 )] P P P P P 3 44

45 Inerpolação Ache um polinômio que passa pelos valores especificados y y 2 3 ( ) a b c d 45

46 Inerpolaion Ache um polinômio que passa pelos valores especificados 2 3 y( ) a b c d y( 0) a 3 y( 1) a b c d 1 y( 2) a 2b 4c 8d 3 y( 3) a 3b 9c 27d 1 y 46

47 47 Inerpola Inerpolação ão Ache um Ache um polinômio polinômio que que passa passa pelos pelos valores valores especificados especificados y 3 2 ) ( d c b a y d c b a

48 Inerpolaion Ache um polinômio que passa pelos valores especificados y 2 3 y( ) a b c d a b c d

49 Inerpolação Ache um polinômio que passa pelos valores especificados y Conrole inuiivo de curvas usando ponos de conroles!!! 49

50 Inerpolação Execua a inerpolação para cada componene separadamene Combina o resulado para ober a curva paramerica y p( ) x( ), y( ) 50

51 Inerpolação Execua a inerpolação para cada componene separadamene Combina o resulado para ober a curva paramerica y p( ) x( ), y( ) 51

52 Inerpolação Execua a inerpolação para cada componene separadamene Combina o resulado para ober a curva paramerica y p( ) x( ), y( ) x 52

53 7.1 - Aplicação na Compuação Gráfica Inerpolaion Bezier 53

54 7.2 Aplicação na Compuação Gráfica Desenhos 3D (Pipeline) Modelagem (Criando Geomerias 3D) Rendering (Criando, sombreando imagens a parir da geomeria, iluminando, maeriais) 54

55 7.3 - Aplicação na Indúsria Aplicações Típicas T são: Design de Carros, Aeronaves, e Navios Simulação de Movimenos Animações, Indúsria de Cinema e Compuação Gráfica Modelagem de objeos com superfícies de formas livres 55

56 8 - REFERÊNCIAS hp:// ers07.hml hp:// /brnsein/ hp://en.wikipedia.org/wiki/bernsein_pol ynomial Kenneh I. Joy,, Bernsein Polynomials,, On- Line Geomeric Noes 56

57 OBRIGADO! BEVAKASHA! 57

58 n i0 B ( )=0 + 1/3 + 2/3 =1 i,n p()=ab ( )+bb ( )+cb ( )+db ( ) 0,3 1,3 2,3 3,3 58

59 6. CÁLCULO C DE INTERPOLAÇÃO Meodos de Aproximação: Polinômios BézierB De acordo com esa definição as curvas de Bézier são calculadas com a ajuda dos polinômios de Bernsein. Exemplo de uma curva cúbicac Bézier 59