Movimento Ondulatório:

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Pietra Graça Teixeira
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1 ísia Meânia e Ondas Semana - ula 9 Moimeno Ondulaório: Equação das Ondas, unção de Onda, Eeio Doppler. Capíulo XV do Tipler.

2 equação das ondas Ψ( x, ) Ψ( x, ) x é a eloidade de ase da onda unção de onda harmónia ψ (,) x sin( Kx ω+ δ) ampliude ase π K λ ormulário ω π ω λ T K Exemplos de ondas meânias: io: Som: T 34ms Tensão Densidade linear Eeio Doppler: - requênia deeada (obserador); requênia emiida (one) one a moer-se ± + aasar - aproximar Reepor a moer-se ± -aasar + aproximar Podemos usar uma únia órmula para os moimenos simulâneos do emissor e reepor. Podemos impôr uma regra para os sinais: oloamos a one à esquerda do reepor (obserador) e onsideramos posiias as eloidades para a direia e negaias as eloidades para a esquerda. Usamos a órmula abaixo.

3 Exemplo de esudo do moimeno ondulaório. Uma orda de massa M e omprimeno L ai liremene de um eo. ) Mosrar que a eloidade de um impulso ransersal, em unção da posição, é dada por g gxx onde x represena a disânia do impulso ao exremo lire (inerior). ) Mosrar que o impulso ransersal perorre oda a orda no empo L g L x ) eloidade da onda é dada por: onde: T M e T xg L Noar que a ensão T é dada pelo peso do pedaço de orda abaixo do impulso. Conluímos que: T xg xg ) eloidade é dada por: dx d dx dx d + L L x L L oal dx dx gx g + g g L

4 Exemplo de esudo da unção de onda. Dois ios de densidades dierenes e enonram-se no pono. Uma onda inidene iaja da esquerda para a direia e é parialmene ransmiida e parialmene releida no pono x. Ψ sen ω K x ( ) Calular as ampliudes das ondas releida e ransmiida em unção da ampliude inidene. i i Ψ r Ψ i Ψ x s ondas releida e ransmiida são represenadas por: Ψ sen( ω + K x) Ψ sen( ω Kx) ondição roneira em x impõe a oninuidade da unção de onda e da sua deriada. Ψ +Ψ Ψ + Ψ Ψ Ψ i x r x x i r i r + Ki + Kr K x x x x x x r r Resolendo o sisema obemos a relação preendida: Noar que os nºs de ondas êm de ser dierenes porque as densidades são dierenes. Ψ e Ψ x K K r K + K K K + K i i T ω K ω Conluímos que: K T K ω ; K ω T T Se io or + denso que io : > K > K r < onda releida adquire um desasameno de 8º

5 Exemplo de esudo da unção de Onda XV-7 ) Um diapasão ligado a um io gera nese ondas ransersais. sua requênia é de 4 Hz e a ampliude de osilação de.5 mm. O io em densidade de massa linear.kg/m e a ensão do io é kn. ssuma que não exisem ondas releidas. (a) Qual o período e requênia das ondas no io? (b) Qual a eloidade da onda? () Qual o omprimeno e número de onda? (d) Esrea a equação de onda. Solução: a) 4 Hz T. 5ms b) 36.ms ) d) λ. 79m λ π K 7.95m λ 3 yx (, ) sin( Kx ω+ δ ).5* m 3 y( x, ).5* sin 7.95x 8π + δ m ( ) ω π 8πs

6 Exemplo de esudo da unção de onda. Mosre que uma onda ransersal sinusoidal: saisaz a equação: + x Calulamos as deriadas pariais da unção de onda em relação a x e : Ψ os( ω Kx+ δ ) ω Reordando a relação: ω K Podemos subsiuir no sisema K Ksen( ω Kx + δ ) x ψ ω sen( ω Kx+ δ) Ksen( ω Kx + δ) x + x

7 Exemplo de esudo da unção de onda. ( x, ) e ( Bx C) Mosre que a unção represena uma onda que se propaga segundo os xx posiios e alule a sua eloidade de propagação. Para ser unção de onda em de saisazer a equação das ondas: Calulamos as deriadas pariais da unção de onda em relação a x e : x B( Bx C) x CBx ( C) Deriamos noamene: x C C( Bx C) C B B( Bx C) + B Uilizamos agora a equação das ondas: igualdade só se eriia se: x B C B ( Bx C) + C ( Bx C) C B Se osse negaio a onda propagaa-se segundo os xx negaios.

8 Exemplo de esudo do eeio Doppler. Um radar de políia emie ondas om uma requênia de GHz. Depois de releidas por um arro que passa deea-se uma dierença de 93 Hz em relação à requênia emiida. Qual a eloidade do auomóel nas siuações: ) proxima-se. ) asa-se. ) + + m/ s + requênia aumena. ) Para o aasameno basa roar por. m/ s + + requênia diminui.

9 Exemplo de esudo do eeio Doppler. XV-9 ) Um esudane deixa air um diapasão om requênia de 44Hz do ima de um prédio. Quando o esudane ouir uma requênia de 4 Hz, onde esá o objeo que aiu? Solução: Quando o diapasão passar pelo pono adquiriu eloidade e emie uma requênia de 4Hz. Enquano o som sobe de para P o diapasão oninua a deser. Quando o som ainge P o diapasão esá em B. P ; 4Hz P P + é a eloidade do som. Esa é a requênia que se reebe deido ao moimeno da one. Quando esá em em eloidade e emie om P mas reebemos om. h B h B ; ; 4Hz B; B ém-se para o pono : ém-se: gora para o pono B: B h g g Tempo que o som lea a hegar a P: h g ; h h P B B + g P P gb 8g 8g + g

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