16/Maio/2018 Aula Ondas estacionárias (OE) 19.1 Sobreposição de ondas 19.2 OE em cordas 19.3 OE em tubos 19.4 Potência e energia

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Isabel Judite Lemos Fraga
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16/Maio/2018 ua 19 19 Ondas estacionárias (OE) 19.1 Sobreposição de ondas 19.2 OE em cordas 19.3 OE em tubos 19.

1 16/Maio/2018 ua Ondas estacionárias (OE) 19.1 Sobreposição de ondas 19.2 OE em cordas 19.3 OE em tubos 19.4 Potência e energia 21/Maio/2018 ua Dopper e Interferência 20.1 Efeito Dopper 20.2 Batimentos (interferência no tempo) 20.3 Interferência (no espaço) 20.4 Difração 1

2 ua anterior 19.1 Sobreposição de ondas Quando uma onda encontra uma descontinuidade no meio onde se propaga, pode ser refetida. Se não puder osciar nesse ponto (zero de ampitude), a onda é refetida como o simétrico da onda incidente. onda refetida tem a mesma eocidade e o mesmo comprimento de onda da onda incidente. Sobreposição de duas ondas simuação 2

3 ua anterior 19.1 Sobreposição de ondas s ondas estacionárias resutam da soma da onda incidente com a onda refetida: ψ ( x,t) = sen( kx ωt) + sen( kx +ωt) Como sen a + sen b = 2sen a + b cos a b 2 2 ψ ( x,t) = 2sen( kx)cos( ωt) 3

4 ua anterior 19.2 Ondas estacionárias em cordas as extremidades de uma corda, de comprimento L: sen( k L) = 0 k L = mπ Como k = 2π λ λ m = 2L m, m =1,2,3,... Dado que a frequência está reacionada com o comprimento de onda, só ondas com certas frequências podem existir numa corda: f = λ f m = m, m =1, 2, 3, 4,! 2L 4

5 ua anterior 19.2 Ondas estacionárias em cordas 1. O número de máximos de ampitude (antinodos) é igua a m. 2. O número de zeros de ampitude (nodos) é igua a m frequência fundamenta (m = 1) tem comprimento de onda λ 1 = 2L. 4. uma corda de densidade µ, esticada por uma força de tensão F T, a eocidade é dada por = F T µ Corda ib1 simuação 5

6 ua anterior 19.3 Ondas estacionárias em tubos Ta como numa corda, também num tubo onde se propaguem ondas (sonoras) há sobreposição entre ondas incidentes e ondas refetidas, que conduzem ao aparecimento de ondas estacionárias. (a) Fundamenta: f 1 5 Tubo aberto: f m = m, m =1, 2, 3,! 2L Diaphragm ibrates in response to sound from speaker. Speaker Gas inet tube 2L (b) Second harmonic: f f 1 Sound of an appropriate frequency produces standing waes with dispacement nodes () and antinodes (). The powder coects at the nodes cross section of an open pipe showing the first three norma modes. The shading indicates the pressure ariations. The red cures are graphs of the dispacement aong the pipe axis at two instants separated in time by one haf-period. The s and s are the dispacement nodes and antinodes; interchange these to show the pressure nodes and antinodes. 2L 2L (c) Third harmonic: f f 1 L 5 2 Open end is aways a dispacement antinode. 2 L L

7 ua anterior 19.3 Ondas estacionárias em tubos Ta como numa corda, também num tubo onde se propaguem ondas (sonoras) há sobreposição entre ondas incidentes e ondas refetidas, que conduzem ao aparecimento de ondas estacionárias. Tubo fechado: f m = m, m =1, 3, 5,! 4L Diaphragm ibrates in response to sound from speaker. Gas inet tube Sound of an appropriate frequency produces standing waes with dispacement nodes () and antinodes (). The powder coects at the nodes. Speaker cross section of a stopped pipe showing the first three norma modes as we as the dispacement nodes and antinodes. Ony odd harmonics are possibe. (a) Fundamenta: f 1 5 4L 4L (b) Third harmonic: f f 1 4L (c) Fifth harmonic: f f 1 L 5 4 Cosed end is aways a dispacement node. 4 4 L L

8 ua anterior 19.3 Ondas estacionárias em tubos Se se somar todas as harmónicas, o que é que se obtém? f f + 3f 3f f f + 3f + 5f (a) Diaphragm ibrates in response to sound from speaker. Speaker Gas inet tube Sound of an appropriate frequency produces standing waes with dispacement nodes () and antinodes (). The powder coects at the nodes. 5f 3f (b) Soma de ondas f + 3f + 5f + 7f + 9f Square wae f + 3f + 5f + 7f + 9f +... simuação (c) ctie Figure Fourier synthesis of a square wae, which is represented by the sum of odd mutipes of the first harmonic, which has frequency f. (a) Waes of frequency f and 3f are added. (b) One more odd harmonic of frequency 5f is added. (c) The synthesis cure approaches coser to the square wae when odd frequencies up to 9f are added. Sintetizador de Fourier simuação 8

9 19.4 Potência e energia uma corda de densidade µ, esticada por uma força de tensão F T, a onda que aí se propaga tem eocidade. potência transferida pea força de tensão é P =! F T.! (aua 6) eocidade é = F T µ potência média em quaquer ponto x ao ongo da corda é P med = 1 2 µ ω2 2 9

10 19.4 Potência e energia energia média, num dado interao de tempo Δt, é E med = P med Δt = 1 2 µω2 2 Δt = 1 2 µω2 2 Δx 10

11 Exempo Uma onda harmónica tem comprimento de onda λ = 0,25 m e ampitude = 0,012 m. Esta onda moe-se ao ongo de uma corda, com 60 m de comprimento e 0,32 kg de massa, que está sujeita a uma tensão de 12. Determine: a) a eocidade e a frequência anguar da onda; b) a energia da onda, ao ongo de um segmento da corda com 15 m de comprimento. y a) = F T µ = F T L m = 47,4 m/s θ F T tr x = f λ ω = 2π =1190 rad/s λ b) E med = P med Δt = 1 2 µω2 2 Δt = 1 2 µω2 2 Δx E med = 1 2 m L 2π 2 λ 2 Δx = 8,19 J 11

12 20.1 Efeito Dopper Quando um emissor (fonte) de ondas e um recetor estierem parados, a frequência recebida é a mesma que a emitida. Veocidade do som no ar (T = 20ºC): som 343m/s 12

13 20.1 Efeito Dopper Quando um emissor (fonte) de ondas e um recetor estierem parados, a frequência recebida é a mesma que a emitida. 13

14 20.1 Efeito Dopper Quando um emissor (fonte) de ondas e um recetor se moerem, reatiamente um ao outro, a frequência recebida não é a mesma que a emitida. 14

15 1 2 > 20.1 Efeito Dopper Quando a um emissor b a (fonte) b de ondas e um recetor se moerem, reatiamente um ao outro, a frequência recebida não é a mesma que a emitida. Veocity of istener (L) 5 L Veocity of source (S) 5 0 (at rest) Speed of sound wae 5 Positie direction: from istener to source Veocidade do som no ar (T = 20ºC): L L 1 L to S S som 343m/s Fonte em moimento animação Veocity of istener (L) 5 L Veocity of source (S) 5 S Speed of sound wae 5 Positie direction: from istener to source 1 L to S L behind a S S b S S in front Dopper 2 L animação 15

16 20.1 Efeito Dopper Quando um emissor (fonte) de ondas e um recetor se moerem, reatiamente um ao outro, a frequência recebida não é a mesma que a emitida. O emissor emite uma onda, com frequência f E e comprimento de onda λ E, que se propaga com eocidade = f E λ E. Se o recetor se aproximar do > emissor, com eocidade R, a frente de onda que se aproxima do recetor tem uma eocidade de propagação, reatiamente ao recetor, igua a + R. ssim, a frequência que o recetor ai receber é f R = + R λ E = + R f E f R = + R f E = 1+ R f E Dopper 2 animação Veocity of istener (L) 5 L Veocity of source (S) 5 0 (at rest) Speed of sound wae 5 Positie direction: from istener to source L L 1 2 a b a b 1 L to S (emissor em repouso, recetor a aproximar-se) S 16

17 20.1 Efeito Dopper Quando um emissor (fonte) de ondas e um recetor se moem, reatiamente um ao outro, a frequência recebida não é a mesma que é emitida. 1 2 Se o recetor se afastar do emissor, a frequência que ai receber é f R = R λ E = R f E Portanto, para um emissor em repouso e um recetor em moimento, a reação entre as frequências é f R = ± R f E f R = R f E = 1 R a b a b Veocity of istener (L) 5 L Veocity of source (S) 5 0 (at rest) Speed of sound wae 5 Positie direction: from istener to source L L 1 L to S > f E S Dopper 3 animação 17

18 20.1 Efeito Dopper Se o emissor também estier em moimento, com eocidade E, a reação entre as frequências passa a ser f R = ± R E f E ota: a frequência tende a aumentar quando a) o emissor se aproxima do recetor b) o recetor se aproxima do emissor f R = + R f E E Veocity of istener (L) 5 L Veocity of source (S) 5 S Speed of sound wae 5 Positie direction: from istener to source 1 L to S L behind a S S b S S in front L 18

19 Exempo Dois submarinos, imersos, dirigem-se um para o outro. O submarino desoca-se a 8 m/s e emite uma onda (sonar) com a frequência de 1400 Hz. O submarino B moe-se a 9 m/s e a eocidade de propagação do som na água é 1533 m/s. Determine: a) a frequência detetada por um obserador no submarino B; b) a frequência da aínea anterior, depois dos submarinos terem passado um peo outro. a) f R = ± R f E E = 8 m/s f B = + B f = =1416 Hz S O as B B = 9 m/s b) f B = B + f = =1385 Hz

20.2 Batimentos (interferência no tempo) Sobreposição de duas ondas com frequências muito próximas uma da outra (batimentos): ( ) = sen ( ω 1 t k 1 x) ( ) = sen ( ω 2 t k 2 x) ( ) = ϕ 1 ( x,t) +ϕ 2 (

20 20.2 Batimentos (interferência no tempo) Sobreposição de duas ondas com frequências muito próximas uma da outra (batimentos): ( ) = sen ( ω 1 t k 1 x) ( ) = sen ( ω 2 t k 2 x) ( ) = ϕ 1 ( x,t) +ϕ 2 ( x,t) = 2cos Δω.t Δk.x φ 1 x,t φ 2 x,t φ x,t Δω = ω 1 ω 2 2 ω = ω 1 +ω 2 2 Δk = k 1 k 2 2 k = k 1 + k 2 2 Batimentos sen a + sen b = 2sen a + b cos a b 2 2 ( )sen ωt kx ( ) Veocidade de fase: Veocidade de grupo: simuação ω 2π. f = = = λ. f k u = Δ ω Δk ( 2π λ) 20

21 20.3 Interferência 21

22 20.3 Interferência Interferência 1 Interferência 2 simuação simuação máximos d senθ = mλ mínimos d senθ = mλ + λ 2 22

23 20.4 Difração Mínimos de difração 1ª ordem a 2 senθ = λ 2 a senθ = λ Interferência Difração Condição gera a senθ = nλ 23

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