Fundamentos de Telecomunicações

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1 Fundamenos de Teleomuniações LERCI_FT : Sinais Aleaórios Professor Vior Barroso vab@isr.is.ul.p

2 Sinais Deerminísios desrios por uma função (do empo ou da frequênia) Periódios (de poênia) Não periódios (de eneria) Aleaórios Modelo probabilísio ou esaísio LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide

3 Sinais Deerminísios Periódios Definição (período T ) ( + nt ) ( ) qualquer que seja (ineiro) n Represenação no empo ( ) ( ) I, inervalo de omprimenot aso onrário + n ( ) ( + nt ) Represenação na frequênia Série de Fourier ( ) + + e jπnf n n n 1 T I ( ) jπnf e d :oefiienes de Fourier 1/ T :frequênia fundamenal :n - ésima harmónia ( n LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 3 f f n n nf 1)

4 Sinais Deerminísios Periódios Poênia P 1 T I ( ) d Relação de Parseval P 1 T I ( ) d n n LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 4

5 Sinais Deerminísios Não Periódios Represenação no empo Forma de onda não periódia al que a eneria Represenação na frequênia Transformada de Fourier TF [ ( )] G ( f ) ( ) Relação de Rayleih - E ( ) d < jπ f e d ( ) ( ) + jπf G f e df E ( ) d G ( f ) df - LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 5

6 Transformada de Fourier de Sinais Periódios Impulso de Dira δ b ( ): δ ( ) a d 1 a aso b onrário Transformada de um sinal periódio + jπnf n n n n ( ) e G ( f ) δ ( f nf ) LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 6

7 Sisemas Lineares Invarianes no Tempo Caraerização emporal Resposa impulsional Caraerização em frequênia Função de ransferênia H δ ( ) h ( ) SLIT in - ( f ) TF[ h ( )] h ( ) ou jπf e d LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 7

8 Sinais e Sisemas Resposa de sisemas lineares invarianes no empo Resposa emporal ineral de onvolução o Resposa em frequênia i ( ) o ( ) SLIT in h ( ) H ( f ) ou ( ) o h( ) ( τ ) h( τ ) dτ h ( τ ) ( τ ) dτ i G i ( f ) H ( f ) G ( f ) o i i LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 8

9 Sinais Aleaórios Amosra de ruído passa-banda Propriedades lobais Comporameno do ipo osilaório Ampliude laramene aleaória Frequênia de osilação om omporameno aleaório mas om lieira fluuação Envolvene om omporameno aleaório mas lenamene variável LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 9

10 Operador Valor Expeável Valor expeável de uma variável aleaória Exemplo: média E { ( )} ( u ) f ( u ) Valor expeável de uma função de duas variáveis aleaórias E { (, Y )} ( u, v ) f ( u, v ) dudv Y Exemplo: orrelação de duas variáveis aleaórias RY E{ Y } uv f ( u, v ) Y R v.a. independenes f Y du R LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 1 dudv ( u, v ) f ( u Y v ) f ( v ) f ( u ) f ( v ) R E{ } E{ Y } Y E { } u f ( u ) Y du Y Y

11 Média de um Sinal Aleaório Caraerização de 1ª ordem Exemplo: ampliude () om função densidade de probabilidade invariane no empo ( ) f ( u; ) f ( u ) Esaionariedade de 1ª ordem Média onsane { } { } m m ( ) E E LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 11

12 Auoorrelação de um Sinal Aleaório Desrição de ª ordem Definição R ( 1 ) E { } uv f ( u, v ) 1, dudv 1 R Esaionariedade de ª ordem Definição paraqualquer par om eneralidade : ( 1, ): R ( 1, ) R ( 1 ) e τ R ( τ ) 1 LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 1

13 Poradora Sinusoidal om Fase Uniforme Poradora sinusoidal Ampliude A Frequênia f Fase θ θ: realização da v.a. Θ uniforme num inervalo de omprimeno π Média Auoorrelação R p f Θ ( θ ) ( ) A os( π f + θ ) LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 13 p 1/π π θ + π aso onrário mp ( ) (, τ ) R ( τ ) os( πf τ ) p A

14 Densidade Esperal de Poênia e Poênia Para sinais aleaórios esaionários Espero de poênia Poênia Exemplo: poradora sinusoidal Espero de poênia Poênia S - ( f ) TF[ R ( τ )] R ( τ ) S p P jπf e d LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 14 ( ) S ( f ) R df x A ( f ) [ δ ( f + f ) + δ ( f f )] A Pp

15 Resposa de Sisemas Lineares Sisema araerizado pela resposa impulsional e pela função de ransferênia Enrada h ( ) H ( f ) m { } S ( f ) R ( ) E { } E τ τ Saída m S Y Y H ( ) m ( f ) H ( f ) S ( f ) LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 15

16 LERCI_FT - Lição Fundamenos de Teleomuniações Slide 16 Ruído Brano Ruído brano modelo maemáio do ruído érmio Filraem de ruído brano ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : o W o W W N f S N R m w τ δ τ ( ) f H ( ) w ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B o N o N N df f H N P f H N f S m n :