6 Desempenho dos Sistemas de Transmissão Analógicos na Presença de Ruído. H(f) 1. B T -f c 0 f. f c

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1 6 esempenho dos Sisemas de ransmissão nalógios na resença de uído ese apíulo esudaremos o desempenho dos sisemas de ransmissão analógios na presença do ruído de anal. Consideraremos em pariular os sisemas de ransmissão em banda de base, e om modulação de poradoras sinusoidais em ampliude (M ) e em requênia (FM ). eses asos, M e FM, o anal de ransmissão é do ipo passa-banda, pelo que omeçaremos por esudar o modelo de ruído mais adequado para esudar eses sisemas. 6. uído assa-banda Como sabemos, as énias de modulação de poradoras sinusoidais onduzem a sinais do ipo passa-banda ujo espero é enrado na requênia nominal da poradora. endo em ona que o anal inroduz ruído adiivo om largura de banda muio superior à largura de banda de ransmissão, será naural impor que o primeiro bloo do reepor exeue uma operação de ilragem das omponenes esperais do ruído (e de ouras inererênias) que esejam ora da banda de ransmissão. ssim sendo, a arquieura básia de um sisema de ransmissão por modulação de poradoras sinusoidais é a que se mosra no diagrama de bloos da Figura 6., onde W é um proesso brano e gaussiano om espero de poênia η GW (). (6.) () Modulador () W () H() Figura 6.:rquieura básia de um sisema de ransmissão por modulação de poradoras sinusoidais B - 0 () esmodulador () ese modo, o sinal à enrada do desmodulador é () +, (6.) onde é o sinal ransmiido (poradora modulada) e é um proesso passa-banda resulane da ilragem do ruído brano W. Como hipóese simpliiaiva que não inerere direamene om o assuno que iremos abordar, admiimos que o anal de ransmissão é ideal. parir de (6.) e usando a unção de ranserênia H () deinida na Figura 6., veriiamos que o espero de poênia do ruído passa-banda é o que esá represenado na Figura 6.. Como nese ipo de sisemas se veriia sempre a desigualdade >> B, o proesso passa-banda é ainda designado por proesso de banda esreia. e (6.) onluímos que à enrada do desmodulador a omponene de sinal em uma poênia M mpliude Modulaion FM Frequeny Modulaion 6-

2 , onde é a poênia ransmiida a qual, na orma, depende do ipo de modulação que se onsiderar. G () η/ Figura 6.: Espero de poênia do ruído passa-banda B - 0 parir da Figura 6., vemos que a poênia da omponene de ruído vale ηb. (6.3) orano, a relação sinal ruído de reepção (S ) 3 vale S. (6.4) ηb 6.. Componenes em uadraura do uído assa-banda Figura 6.3 apresena uma possível amosra n do proesso passa-banda, a qual é sugesiva quano à orma da expressão adequada para modelar emporalmene o proesso passa-banda. n() 0 Figura 6.3: Função amosra do ruído passa-banda ssumiremos enão que o proesso de banda esreia é desrio pelo modelo () os( π + Φ ), (6.5) onde e Φ represenam a envolvene e a ase, respeivamene. expressão (6.5) pode ambém esrever-se na orma 3 S Signal o oise aio eepion 6-

3 os( π ) sin( π ), (6.6) onde e ideniiam a omponene em ase e a omponene em quadraura, respeivamene. Generiamene, os proessos e são designados por omponenes em quadraura de. Obviamene, os( Φ ) sin( Φ ). (6.7) Figura 6.4 mosra a represenação do ruído passa-banda no plano das omponenes em quadraura, enquano que a Figura 6.5 ilusra omo as omponenes em quadraura se podem ober a parir de e a Figura 6.6 dá exemplos das respeivas amosras. n n a φ n Figura 6.4: epresenação do ruído passa-banda no plano das omponenes em quadraura () ( π ) os H() B / H() B / ( π ) sin Figura 6.5: Geração das omponenes em quadraura do ruído passa-banda 40 Componene em Fase (a) empo Componene em uadraura (b) empo Figura 6.6: mosras das omponenes: (a) em ase e (b) em quadraura 6-3

4 6.. ropriedades das Componenes em uadraura Embora não o açamos aqui pode mosrar-se o seguine Fao 6.: O proesso de banda esreia é gaussiano e as respeivas omponenes em ase e em quadraura são onjunamene gaussianas. o diagrama de bloos da Figura 6.5 onlui-se que os esperos de poênia de e de se obêm ambos a parir de ou seja, G () G () H() [ G ( + ) + G ( )], G, (6.8) () G () ηπ B omo se mosra na Figura 6.7. G η () G () 0 B / Figura 6.7: Espero de poênia das omponenes em quadraura do ruído passa-banda Como já vimos, a poênia do ruído passa-banda vale da observação da Figura 6.7, onluímos B ηb, ver eq. (6.3), pelo que, η, (6.9) iso é, a poênia do ruído passa-banda é igual às poênias das respeivas omponenes em quadraura. Consideremos os proessos () e indiados na Figura 6.5 e que se esrevem na orma os( π + Θ) sin( π + Θ), (6.0) onde Θ é uma variável aleaória om disribuição uniorme no inervalo [ π +π] independene de () orrelação ruzada enre, e 4. esas ondições, mosra-se ailmene a parir de (6.0) que a e é 4 eorda-se que, de aordo om a noação que emos usado, é a variável aleaória que modela a ampliude das amosras do proesso. 6-4

5 e, porano, () τ E { ( τ) } Θ () τ sin( π τ) () j [ G ( ) G ( )] G +, (6.), (6.) omo se mosra na Figura 6.8. or ouro lado, pode veriiar-se que () h() u h() v ( τ + v u) τ dudv, (6.3) onde h () represena a resposa impulsional dos ilros passa-baixo ideais da Figura 6.5. e (6.3), obém-se () H() G () G, (6.4) jg () η/ B - 0 -η/ Figura 6.8: Espero de poênia ruzado enre e pelo que, sendo H () a unção de ranserênia de um ilro passa-baixo om largura de banda B /, se onlui de imediao que G () 0,, () τ 0, τ e porano, (6.5) ou seja, as omponenes em quadraura do ruído passa-banda são inorrelaionadas. endendo ao Fao 6., podemos ainda onluir que são ambém esaisiamene independenes. Os resulados aqui obidos podem ser resumidos no seguine Fao 6.: s omponenes em ase e em quadraura do ruído passa-banda são proessos onjunamene esaionários ujos esperos de poênia são deinidos na eq. (6.8). Em ada insane, as respeivas ampliudes são onjunamene gaussianas e independenes: ( u, v) u + v exp, ( u, v) ( B ) π η ( B ) η. (6.6) 6-5

6 6..3 ropriedades da Envolvene e da Fase Usando as relações (6.7) omo a ransormação (, ) g que, em ada insane, relaiona a envolvene e a ase do ruído passa-banda om as ampliudes das respeivas omponenes em ase e em quadraura, iso é, os Φ sin Φ, (6.7) é possível, azendo uso de (6.6), araerizar esaisiamene a envolvene e a ase. Com eeio, reorrendo a um resulado onheido da eoria das variáveis aleaórias (ver Cap., eq. (.80)), podemos esrever onde g ( a, φ) ( a os φ,a sin φ) J g Φ, J é o Jaobeano da ransormação (, ) g deinida em (6.7). ssim, emos exp a a Φ ( a, φ) φ π( η ) a 0,, B ( ηb ), [- π +π]. (6.8) negrando (6.8) em a e em φ, obemos as densidades de probabilidade marginais da ase e da envolvene, respeivamene. Veriia-se ainda que o produo desas densidades marginais iguala a densidade de probabilidade onjuna. Fao 6.3: Em ada insane de empo, a envolvene e a ase do ruído passa-banda são esaisiamene independenes e êm disribuições de ayleigh e uniorme, respeivamene: () a a ηb π a exp ηb a 0 () φ φ [ - π +π] Φ,. (6.9) oe-se que, mulipliando as densidades de probabilidade expressas em (6.9), se obém (6.8), o que mosra que a envolvene e a ase são esaisiamene independenes. 6. esempenho dos Sisemas de ransmissão em Banda de Base o aso da ransmissão em banda de base o sinal ransmiido é a própria mensagem. Esa é suposa ser um sinal amosra de um proesso esaionário al que: M. m 0; M. G em supore no inervalo [-B,+B] e a poênia é. 6-6

7 Figura 6.9 dá exemplo de um possível espero de poênia da mensagem. G () -B 0 B Figura 6.9: Espero de poênia da mensagem arquieura represenada na Figura 6. simpliia-se de aordo om o diagrama de bloos da Figura 6.0, onde H () Π, (6.0) B iso é, um ilro passa-baixo ideal de ganho uniário e om largura de banda igual à da mensagem. () W () FBx H () () Figura 6.0: rquieura de um sisema de ransmissão em banda de base emos enão +, (6.) onde é a omponene de ruído que resula da ilragem do ruído brano W pelo FB x da Figura 6.0. O desempenho de um sisema de ransmissão avalia-se pelo valor da relação sinal-ruído (S ) 5 de saída que se deine do seguine modo: e. 6.- O valor da S é dado por onde S, : poênia de saída quando W 0 : poênia de saída quando 0. a ausênia de ruído, 0, pelo que aendendo a M,, onde é a poênia da omponene do sinal reebido que W, a saída (6.) é apenas () () 5 S Signal o oise aio eeion 6-7

8 depende da mensagem. uando não se ransmie a mensagem, 0, a saída (6.) só. Usando (6.) e (6.0), obemos depende do ruído, () () G η () Π B e, porano, a poênia da omponene de ruído na saída vale ηb. Enão, azendo uso da e. 6., obemos S γ. (6.) η B O parâmero γ, deinido em (6.), represena a S de um sisema de ransmissão analógio em banda de base. remos usá-lo omo ermo de omparação dos desempenhos dos resanes sisemas de ransmissão. 6.3 esempenho dos Sisemas M por o aso dos sisemas de modulação de ampliude, o proesso da eq. (6.) é dado [ x + ] os( π + Θ), (6.3) d onde o proesso represena a one e veriia as hipóeses M e M espeiiadas na seção 6. e na Figura 6.9, é uma onsane, e Θ é uma variável aleaória independene de x d om disribuição uniorme, θ Θ () θ Π. (6.4) π π e aordo om esas ondições, a auoorrelação do proesso é [ ] os( π τ) () τ x d + () τ (6.5) a que orresponde um espero de poênia { } G () x d [ δ( + ) + δ( )] + [ G ( + ) + G ( )], 4 (6.6) ilusrado na Figura 6.. poênia ransmiida e a largura de banda de ransmissão são respeivamene dadas por e ( x ) d + (6.7) B B. (6.8) 6-8

9 4 [ x δ( + ) + G ( + )] d G () 4 [ x δ( ) + G ( )] d - 0 B B Figura 6.: Espero de poênia do sinal de M Sem perda de generalidade, onsideremos a seguine unção amosra do proesso passabanda x [ x + x() ] os( π ) a qual em omponenes em ase e em quadraura, (6.9) d [ x d + x() ] 0 x (6.30) x omo se mosra na Figura 6., onde se represena (6.9) no plano das omponenes em quadraura. Como se vê, a ase é nula quando não exise sobremodulação (Figura 6.-(a)); quando exise sobremodulação a ase dá salos de ±π nos insanes 0 em que x d + x( 0 ) ruza a origem. x () x () x d x d (a) (b) Figura 6.: Sinal de M no plano das omponenes em quadraura: (a) sem sobremodulação; (b) om sobremodulação Volando à eq. (6.) e à Figura 6., e endo em ona (6.3), veriiamos que o sinal à enrada do reepor é dado por [ x + ] os( π + Θ) ( ) +, (6.3) d onde é o ruído passa-banda esudado na seção 6.. Usando (6.9), (6.7) e (6.8), podemos esrever S [ x + ] d ηb, (6.3) ηb ou, usando (6.), 6-9

10 S γ. (6.33) Conluímos assim que, para o mesmo anal (mesmo valor de η) e nas mesmas ondições de reepção da omponene de sinal (igual valor de ), a S de um sinal de M em banda laeral dupla vale meade da S de um sisema de ransmissão em banda de base. Considerando (6.9) e relembrando (6.6), podemos esrever as expressões de amosras das omponenes em quadraura de : x x [ x d + x() ] + n n. (6.34) Figura 6.3 mosra a represenação de uma amosra do sinal à enrada do desmodulador no plano das omponenes em quadraura. x () n () a () [x d + x()] a n () φ n () n () x () () Figura 6.3: Sinal de M + ruído passa-banda no plano das omponenes em quadraura 6.3. eepor Coerene o aso do reepor oerene de M, o desmodulador da Figura 6. em a arquieura deinida pelo diagrama de bloos da Figura 6.4. Se ompararmos om o diagrama de bloos da Figura 6.5, e reordarmos (6.8), onluímos de imediao que ese reepor produz na saída a omponene em ase da enrada subraída da omponene onínua. () H() B () ( π ) os Figura 6.4: eepor oerene Enão, reorrendo a (6.34), +. (6.35) ara alular a S vamos usar a e. 6.. Usando (6.7) onjunamene om a hipóese, (6.8) e (6.9), obemos 6-0

11 ηb ( x ) d (6.36) e, endo em ona (6.), oe-se que o aor S ( x ) d γ. (6.37) onde ( x ) p d ζ ( x ) d p, (6.38) x d + é a poênia gasa na ransmissão da poradora, mede preisamene a perenagem da poênia oal ransmiida usada na ransmissão da mensagem. o aso dos sisemas de ransmissão M que usam o reepor oerene, a ransmissão da poradora desina-se à sinronização do osilador loal, podendo ser usados valores de ζ basane próximos dos 00%. Ese é um valor limie apenas aingível no aso da modulação M em banda laeral dupla om supressão de poradora, para o qual (6.38) oma a orma pariular S γ. (6.39) 6.3. eeor de Envolvene Como é sabido, o deeor de envolvene é um reepor de M (em ermos de realização práia, mais simples do que o reepor oerene) que pode ser usado exlusivamene no aso em que não há sobremodulação, iso é, quando om probabilidade muio elevada () 0 : x d +, onde é a variável aleaória que modela em ada insane a ampliude da mensagem. Esa é a siuação ilusrada na Figura 6.3, onde a represena a unção amosra da envolvene do sinal reebido. Figura 6.5 mosra a arquieura do deeor de envolvene. () FBx () () LB B reiiador Figura 6.5: eeor de envolvene or observação da Figura 6.3, veriiamos que ( [ ] ) d [ ( x + ) + ( ) ] +, (6.40) 6-

12 iando laro que depende de modo não linear quer da mensagem quer do ruído. Ese ao diiula uma análise rigorosa do desempenho do deeor de envolvene, pelo que iremos azer uso de algumas simpliiações as quais, no enano, permiem ainda reirar alguns resulados undamenais. Comeemos por onsiderar as duas siuações limie: ruído ore e ruído rao. uído ore. ese aso, a eq. (6.40) pode esrever-se na orma [ x + ] + [ x + ] + d ε + ε + d (6.4) onde + ε [ x d + ]. a siuação de ruído ore podemos assumir que durane a maior pare do empo (om elevada probabilidade) >> [ x d + ] ε 0 e, porano, omando a aproximação de ª ordem do desenvolvimeno em série de aylor de (6.4), obemos [ x d + ] +, + [ x + ] osφ esas ondições, a saída do deeor de envolvene é onsiuída por duas parelas: a primeira é a envolvene do ruído, e na segunda o sinal é muilado por um aor mulipliaivo que depende da ase do ruído. Em onlusão, quando a S é baixa, a saída do deeor de envolvene não em omponene de sinal, ornando-se inúil o seu uso para ober uma reonsrução da mensagem. uído rao. ese aso, azemos d om [ x + ] + [ x + ] + [ x + ] d d [ x + ] ε. d ε + d ε + eorrendo à mesma meodologia usada na siuação anerior, obemos [ x + ] +. (6.4) d Conlusão. qualidade do desempenho do deeor de envolvene em presença de ruído é oremene ondiionada pelo valor de S. ara valores baixos de S, a mensagem é eliminada pelo ruído na saída do deeor de envolvene. ara valores elevados de S, o 6-

13 deeor de envolvene uniona de modo aproximadamene equivalene ao reepor oerene. Eses aos sugerem a exisênia de um limiar de S abaixo do qual o desempenho do deeor de envolvene se degrada drasiamene, orrespondendo à muilação da mensagem. ara valores de S aima daquele limiar, a expressão (6.37) dá o valor aproximado de S, S ( x ) d γ. (6.43) mpora ainda realçar uma dierença undamenal enre o desempenho do deeor de envolvene aima do limiar e o do reepor oerene. ese úlimo, o aor ζ deinido em (6.38) pode, no limie, aingir os 00% onduzindo ao máximo valor possível de S dado por (6.39) e que orresponde à supressão da poradora. o aso do deeor de envolvene, al é impossível pois é neessário garanir a ondição x d + 0,. or exemplo, se esolhermos x d, vem ζ e (6.43) dá S γ. ese aso, e supondo que a densidade de probabilidade de é uma unção par, veriia-se a parir da desigualdade de Chebyshev que a probabilidade de oorrer sobremodulação é limiada superiormene por /, valor demasiado elevado para garanir um bom desempenho do deeor de envolvene ainda que na ausênia de ruído. Mesmo assim, usaremos esa siuação para esabeleer o limie superior de S : γ S. (6.44) 6.4 esempenho dos Sisemas FM de Banda Larga o aso do reepor de FM o sinal de enrada do desmodulador, ver Figura 6., é os( π + ) ( ) onde o desvio de ase Φ veriia a relação Φ +, (6.45) F dφ π d. (6.46) Como se vê, o desvio de requênia F é proporional à mensagem que se admie ser um proesso ergódio. Sem perda de generalidade, vamos assumir que a mensagem veriia a seguine resrição { () }, ou seja, a ampliude do sinal modulane é, em valor absoluo, e durane a maior pare do empo inerior à unidade. orano, podemos assumir que a densidade de probabilidade () da variável aleaória é deinida no inervalo [, + ]. Sendo válida a aproximação quasiesaionária, é sabido que o espero de poênia do sinal de FM é aproximadamene dado por 6-3

14 G () +. (6.47) orano, a poênia de ransmissão e a largura da banda de ransmissão valem, respeivamene, B. (6.48) Usando (6.7), podemos irar as omponenes em quadraura do sinal reebido e deinido em (6.45) bem omo a envolvene e a ase Φ os( Φ() ) + ( ) os( Φ ( ) sin( Φ() ) + sin( Φ ) + + os( Φ Φ ) ( Φ() ) + sin( Φ ) ( Φ() ) + ( ) os( Φ ( ) sin arg. (6.49) os Como se vê, a envolvene do sinal reebido não é onsane no empo o que impõe a inlusão de um limiador na enrada do disriminador de requênia, omo se mosra na Figura 6.6, onde o disriminador de requênia inlui o diereniador, o deeor de envolvene e o ondensador de bloqueio da omponene onínua. O sinal na saída do limiador é L os( Φ ). Limiador L isriminador de requênia dφ π d Figura 6.6: esmodulador de requênia endendo a (6.3), (6.) e (6.48), podemos esrever B S γ, (6.50) o que, relembrando que em FM de banda larga >> B, e quando omparado om (6.33), mosra que, para a mesma poênia de ransmissão e para o mesmo anal, as ondições de reepção em FM são muio piores que as disponíveis em M. Como se vê na Figura 6.6, a saída do desmodulador de requênia é o sinal 6-4

15 dφ, (6.5) π d onde Φ é o desvio de ase deinido em (6.49). esa expressão é paene a dependênia oremene não linear quer em relação à omponene de sinal onida em Φ quer relaivamene ao ruído. análise de desempenho que iremos azer de seguida será porano, e al omo no aso do deeor de envolvene, uma análise aproximada. Mais uma vez reorreremos à e. 6.. a ausênia de ruído, Α 0, e usando (6.49) veriiamos que Φ Φ(). ssim, endo em ona (6.5) e (6.46), obemos e, porano,. (6.5) Φ a ausênia de sinal modulane, 0 0, e (6.49) oma a orma Φ arg + arg + sin( Φ ) os( Φ ) (6.53) onde se ez uso das relações (6.7). eorrendo à meodologia usada no aso do esudo do deeor de envolvene, vamos onsiderar os dois asos limie: ruído ore e ruído rao. uído ore. uando S oma um valor pequeno é líio assumir que durane a maior pare do empo (om elevada probabilidade) se veriique a ondição >>, o que usado em (6.53) dá Φ Φ. esa siuação, a omponene de sinal, aqui represenada pela poradora, ia praiamene ausene na saída do desmodulador de requênia. π φ () x ( ) x ( ) () área Figura 6.7: (a) FM em ruído ore. (a) represenação no plano das omponenes em quadraura; (b) desvios insanâneos de ase e de requênia (b) 6-5

16 as ondições aqui onsideradas, o pono que represena o sinal no plano das omponenes em quadraura siuar-se-á om grande probabilidade na região sombreada da Figura 6.7-(a) a qual esá aproximadamene enrada na origem. ada a aliaoriedade do omporameno do ruído, o sinal x pode om grande probabilidade desrever a rajeória ilusrada enre os insanes e, a que orresponde a um salo de ase de π omo se mosra na Figura 6.7- (b). duração do inervalo de empo em que oorre o salo de ase é muio pequena e da ordem de /B. Figura 6.7-(b) mosra ambém a evolução do desvio de requênia enquano oorre o salo de ase, represenada por um impulso de duração delimiando uma área uniária. repeição emporal dese enómeno produz na saída do desmodulador um sinal do ipo ruído impulsivo em que a requênia de oorrênia dos impulsos aumena om a poênia do ruído. odemos assim onluir que abaixo de um ero valor de limiar da S, o reepor de FM apresena na saída pios de ruído que anelam a omponene de sinal. uído rao. ese aso, assumimos que () () saída do desmodulador é 6 << e (6.53) oma a orma Φ arg. (6.54) dφ π d d π d B. (6.55) Figura 6.8 ilusra a onsrução do espero de poênia do proesso deinido na expressão anerior, o qual é dado por G () j G () π η B. (6.56) π B η η 0 B B / Figura 6.8: Espero de poênia da saída do desmodulador na ausênia da mensagem poênia de saída é dada pela área da região sombreda e vale 3 ηb. (6.57) 3 Usando (6.5), (6.57) e (6.) obemos S 3 γ. (6.58) B 6 noação B signiia que esá resringido à banda de largura B. 6-6

17 orano, aima do limiar, a S do reepor de FM rese om o quadrado da razão enre as larguras de banda de ransmissão e da mensagem. o enano, é neessário er em ona que um aumeno indisriminado de onduz a uma degradação signiiaiva da S, omo se veriia ailmene a parir de (6.40). O resimeno da banda de ransmissão om o onsequene arésimo da qualidade da reonsrução da mensagem em de ser onrolado por orma a garanir que a S seja ainda superior ao valor do limiar. 6-7