Fundamentos de Telecomunicações 2003/04

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1 INSIUO SUPERIOR ÉCNICO Número: Fundamenos de eleomuniações 3/ EXAME Fevereiro 5, Duração: minuos Nome: Preende onabilizar as noas dos eses? sim não A preenher apenas por quem não ompareeu ao exame de 7 de Janeiro de Assinaura A resolução do exame é feia no enuniado que aaba de lhe ser disribuído. Não se esqueça de preenher odos os abeçalhos om a sua idenifiação. Idenifique om o seu número e no loal apropriado odas as folhas de resposa ao exame. Leia om aenção os enuniados de odos os problemas. Sendo neessário desenhar gráfios, não se esqueça de os legendar ompleamene. Jusifique as suas resposas. Noe que quem orrige em de fiar onvenido de que quem responde sabe, de fao, o que esá a fazer. I-. PARE I - valores Bom rabalho! Considere a fone A, ujos símbolos e respeivas probabilidades de oorrênia se definem na abela seguine. I-. m m m 3 m m a) Quano vale a enropia da fone A? b) Deermine um ódigo de Huffman que represene a fone A. ) Quano vale a efiiênia do ódigo obido em b)? Considere o sinal de banda laeral dupla onde α () e () s () = A α() os( πf + θ ) + A β() sin( πf + θ ) β êm largura de banda B α e a) Qual é o valor da largura de banda de s ()? B β, respeivamene, B α < B β << f. b) Deermine a expressão das omponenes em fase e em quadraura de s (). ) Deermine a expressão da envolvene e da fase de s (). I-3. Considere o sinal de FM x() A os( πf + Φ() ) modulane em largura de banda B e que verifia () =. Suponha que o sinal x. Suponha ainda que B << f << f. A poênia de ransmissão é P = Px G, onde Px e G são a poênia do sinal de FM e o ganho de poênia do emissor, respeivamene. O anal inroduz ruído brano adiivo om densidade esperal de poênia S w () f = η/. A aenuação de poênia no anal de ransmissão é deerminada pelo parâmero λ. (.) 3. 3 ; log ( αβ) = log( α) + log( β) log

2 I-. A G λ f η mv db. db/km 5 KHz - W/Hz a) Usando os dados da abela aima, alule (i) (ii) (iii) A poênia de ransmissão (em dbw). A largura de banda de ransmissão (em MHz). A poênia do ruído na banda de ransmissão (em dbw). b) Assuma que o reepor em um limiar de SNR R γh = db. Calule a disânia máxima emissor reepor que ese sisema de ransmissão em FM supora (em Km). Considere um sisema de ransmissão digial quaernário que usa para sinalização os sinais da figura seguine. s () s () s 3 () s () a) Calule os parâmeros α ϕ () = α s () =, i =, K,. i : i i i { } N b) Espeifique um subonjuno de sinais j() Φ = φ de { ϕ ()} j= i i= que onsiua uma base oronormada do espaço gerado pelos sinais { si () } i =. Qual é a dimensão dese espaço? ) Represene os sinais { s i() } i = no espaço gerado pela base Φ. d) Suponha que os símbolos quaernários são equiprováveis. Admia que o ruído de anal é brano e gaussiano. Represene as regiões ópimas de deisão (mínima probabilidade de erro) sobre a figura que usou para responder a ). log.3

3 Fundamenos de eleomuniações 3/ INSIUO SUPERIOR ÉCNICO EXAME Fevereiro 5, Duração: minuos Número: Nome: PARE II - 6 valores Resolva apenas dois (à sua esolha) dos problemas seguines II-. Considere um sisema de ransmissão digial de sinais vídeo v() : v() (Vol), om largura de banda B =. MHz. O sinal orrespondene a uma imagem (frame) em a duração = / 3 s. Cada imagem é amosrada ao rimo de Nyquis, sendo as amosras (pixels) quanizadas em M níveis de inzeno e odifiadas em palavras binárias de omprimeno fixo ν. A poênia do ruído de quanização dese sisema de digialização é limiada, ou seja, 9. dbw. 3 O sinal PCM é ransmiido usando impulsos om faor PN Q de deaímeno α =,5. a) Calule os valores dos seguines parâmeros: (i) frequênia de amosragem, (ii) M, (iii) ν, (iv) axa de ransmissão. b) Usando resulados obidos em a), alule o valor da poênia do ruído de quanização resulane. ) Calule o valor mínimo da largura de banda neessária para que a ransmissão do sinal de vídeo digializado seja imune à inerferênia iner simbólia. II-. Considere um sinal PAM, x PAM (), onsiuído por uma sequênia de impulsos reangulares om duração e ampliudes equiprováveis ±. O anal inroduz ruído adiivo brano gaussiano om espero de poênia η /. O reepor é onsiuído por um filro adapado ao impulso reangular usado, seguido de um iruio de amosragem que aua nos insanes ópimos. Seja Y a saída do amosrador em ada insane de amosragem. De aordo om as hipóeses possíveis: H : Y = A + N H : Y = A + N onde N é a variável aleaória que represena as amosras do ruído filrado pelo filro adapado. a) Represene grafiamene a resposa impulsional do filro adapado. b) Calule a respeiva função de ransferênia. ) Calule A e a variânia de N. d) Deermine a expressão da probabilidade de erro em ermos das funções erf(x) ou Q x. ( ) 3 9. = , log. 3, log3. 8 erf ( x) = Q( x) 3

4 II-3. Considere um ódigo de bloos linear (,5) definido pelo onjuno de palavras admissíveis X que odifiam o onjuno de mensagens M de aordo om a abela seguine. M X a) Quano vale a disânia dese ódigo? b) Qual é o valor máximo do peso dos padrões de erro que ese ódigo (i) pode deear? (ii) pode orrigir? ) Deermine a mariz G geradora dese ódigo. d) Deermine a respeiva mariz H de verifiação de paridade.

5 INSIUO SUPERIOR ÉCNICO Número: Fundamenos de eleomuniações 3/ EXAME Fevereiro 5, Duração: minuos Nome: PARE III - valores Resolva apenas um (à sua esolha) dos problemas seguines III-. Suponha que x PM () é uma poradora de ampliude A e frequênia f modulada em fase pelo sinal x (), função amosra de um proesso esaionário om espero de poênia >> >> Assuma que f ( π) ϕ B, S x γ f B () f = x re. sendo válida a aproximação quase esaionária. O anal de ransmissão inroduz ruído brano adiivo om espero de poênia η /, independene de x (). Como sabe, o filro de reepção (inluindo o limiador) produz o sinal y() = A os( πf + Φ () ), onde Φ R () é o desvio insanâneo de fase do sinal que resula da soma de x PM () om o ruído passa banda. a) Esreva a expressão do desvio insanâneo de frequênia do sinal x PM (). b) Assuma que o sinal y () é proessado por um desmodulador de frequênia, o qual dφ produz a saída () () ψ = R. Esreva a expressão da saída ψ () quando: π d (i) o ruído de anal é nulo; (ii) o emissor ransmie a poradora não modulada. ) Nas ondições de b), mosre que a relação sinal ruído de saída é dada por R A SNR ηx D = ϕ. η III-. Considere o onjuno de sinais, odos om energia E, duração emporal e poradora f : f = n >>, E s () = os( πf + π ) [ ] = m / ;, ; m,3,5,7 m ; [,] Os símbolos orrespondenes a eses sinais são equiprováveis 5. O anal adiiona ruído brano gaussiano om espero de poênia S w () f = η/. Nesas ondições, usando a base oronormada 5 θ π = m, m m =,3,5,7 π π os = sin = 5

6 φ () = os( πf ), [,] φ() = sin( πf), [,], as regiões ópimas de deisão do reepor de mínima probabilidade de erro são as que se represenam na figura seguine. Z 3 s 3 φ s Z φ s5 s7 Z5 Z7 Suponha que devido a uma falha do emissor, ese passa a usar os sinais oronormados ϕ ϕ () = osθ φ() + sin θ φ() () = sin θ φ () + osθ φ (), onde θ orresponde a um desvio de fase deerminísio, θ < π /. Supondo que o reepor se maném inalerado, i.e., al omo foi desenhado para a base { φ (), φ() }, deermine a expressão da probabilidade de erro em ermos das funções erf(x) Q x. 6 ou ( ) 6 erf ( x) = Q( x) 6

7 FORMULÁRIO Noação re, =, / aso onrário ri =,, aso onrário sin ( x) ( πx) sin = πx Idenidades rigonomérias j sinθ = exp( jθ) exp( jθ) osθ = exp( jθ) + exp( jθ) sin αsinβ = os( α β) os( α + β) os α osβ = os( α β) + os( α + β) sin α osβ = sin( α β) + sin( α + β) sin ( α ± β) = sin α osβ ± sin β os α os( α ± β) = os α osβ m sin α sin β os θ = + os( θ) sin θ = os( θ) sin θos θ = sin( θ) Série de Fourier de sinal periódio om período =/f () s = n e s() e n d, n = K,,,, K = P s = n s jπnf () d = n= ransformada de Fourier jπf n = s () = S( f ) e df S () f s() E s = s df () d = S() f ransformadas de Fourier úeis re sin( f) f sin( B) re B B α exp( α ) α + πf ri sin ( B) ( ) jπnf = π e j f d sin B ( f) ri f B 7

8 eoria da Informação Enropia H( A) log M Desigualdade de Kraf Variáveis Aleaórias M i= l i σ fdp gaussiana de média m e variânia / u m f X u = πσ exp σ Desigualdade de Chebishev Pr X m εσ ε ( ) ( ) ( ) { }, - < u < Função de erro omplemenar Função Q erf Q ( x) = exp ( ) π x x u du ( x) = exp( u / ) π Ruído Passa Banda N du () = A () os( πf + Φ () ) = N () os( πf ) N () sin( πf ) N η N I S () + N f = re re SN () f = SN () f = η re B B B I Q f + f f f Relação Sinal Ruído de Reepção PR poênia de sinal reebida SNR R = = (medidas na saída do filro de reepção) PN poênia de ruído Relação Sinal Ruído de Deeção Po poênia de sinal na ausênia de ruído SNR D = = (medidas na saída do reepor) P poênia de sinal na ausênia de mensagem N o Saída do reepor oerene de AM: omponene em fase do sinal reebido Saída do deeor de envolvene: envolvene do sinal reebido Saída do reepor de PM: desvio insanâneo de fase do sinal reebido Saída do reepor de FM: desvio insanâneo de frequênia do sinal reebido Q f 8

9 ransmissão Digial Sinal PAM x () = a p( ) Espero de Poênia do Sinal PAM S () f = x k k b k= P() f + R a b n= ( n) e jπfn b Capaidade do anal adiivo gaussiano C = Blog + η P B Códigos de Bloos Lineares (k,n) mensagem binária - m : ( k) palavra do ódigo binário - x : ( n) mariz geradora - G : ( k n) x = mg om G = [ I P], P : ( k ( n k) ) k [ m b ] x = L b n k 9