Fundamentos de Telecomunicações 2004/05

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1 Fundamenos de elecomunicações 4/5 INSIUO SUPERIOR ÉCNICO Série de Prolemas nº 5 Pare I - ransmissão Digial em Banda de Base Prolema. Considere uma sequência inária de símolos esaisicamene indeendenes e equirováveis. Calcule o esecro de oência dos sinais PAM corresondenes quando são usados os seguines formaos de sinalização: a) uniolar sem reorno a zero, ) olar sem reorno a zero, c) uniolar com reorno a zero, d) olar com reorno a zero, e) iolar sem reorno a zero, f) iolar com reorno a zero, g) Mancheser. h) Comare os formaos de sinalização aneriores em ermos das resecivas eficiências esecrais. Prolema. Considere uma sequência de dados gerados aleaoriamene formada or símolos inários "" e "" equirováveis. Admia que esa sequência é ransmiida no formao olar sem reorno a zero usando imulsos definidos or π cos, =, + caso conrário a) Esoce a forma de onda ransmiida ara a sequência. ) Calcule o esecro de oência corresondene a ese formao de sinalização e esoce a reseciva forma. Prolema 3. Um comuador gera dados inários a uma axa de 56 Ks. A saída é ransmiida usando um sisema PAM em anda de ase com esecro do io raised-cosine. Calcule a anda de ransmissão requerida ara cada um dos facores de decaímeno (rolloff facors) seguines: α =.5,.5,.75,.. Prolema 4. Um sinal analógico é amosrado, quanizado, e codificado num sinal PCM. São usados 8 níveis de quanização. Um imulso de sincronização é acrescenado no fim de cada alavra de código reresenando uma amosra quanizada do sinal analógico. O sinal PCM resulane é ransmiido aravés de um canal com largura de anda KHz usando um sisema PAM quaernário com imulsos raised-cosine. O facor de decaímeno vale. a) Calcule a axa de ransmissão em s. ) Calcule a frequência de amosragem usada no sisema. Qual é o valor máximo da largura de anda do sinal analógico suorada or ese sisema? Prolema 5. Pare II - Análise no Esaço de Sinal Considere o conjuno de sinais da figura seguine. s s s 3 3-4

2 a) Usando o algorimo de Gram-Schimd, deermine a ase oronormal de funções que gera o esaço a que erencem eses sinais. ) Exrima eses sinais em ermos das funções da ase. Prolema 6. Considere um ar de sinais comlexos s e s = αφ + αφ < < + s = α φ + αφ < < + φ e s definidos or onde os sinais da ase () φ são reais e os coeficienes são comlexos. Demonsre a desigualdade de Schwarz ara o caso de sinais comlexos, i.e., * s s d s d s d. Em que condições é que esa relação se verifica com o sinal de igualdade? Prolema 7. Considere um rocesso X exandido da seguine forma: onde () X φ + W, X N = j= j j W é a comonene residual de ruído. Os sinais φ () formam uma ase oronormada de sinais definidos no inervalo or, { j } N j=, e os coeficienes { j} N j () φ X = j X j d. X = são dados Defina a variável aleaória W ( k ) como sendo o rocesso W oservado em = k. Mosre que j =,,, N E{ X jw( k )} =, k. Prolema 8. Considere o deecor óimo do sinal 8π s = sin,, em ruído ranco gaussiano. a) Deermine a saída do correlador suondo que o ruído esá ausene na enrada. ) Deermine a saída causal do filro adaado ao sinal s. c) Mosre que as saídas do correlador e do filro adaado são as mesmas aenas em =.

3 Prolema 9. Considere o sinal inária onde o sinal s a/ s da figura. O sinal x reresena uma sequência = corresonde ao símolo inário. s s x() -a/ a) Deermine a resosa imulsional h do filro adaado ao sinal s. ) Deermine e reresene graficamene a resosa dese filro adaado quando a enrada é x. c) Suonha que o sinal é receido na resença de ruído ranco com densidade esecral de oência η/. Calcule a exressão da roailidade de erro em ermos dos arâmeros a, e η. Prolema. Considere o conjuno de sinais E π cos f i s π c + i = 4, com i =,3,5,7 e f c = n. caso conrário a) Qual é a dimensão N do esaço gerado or ese conjuno de sinais? Deermine uma ase oronormada que gere ese esaço. ) Calcule as coordenadas de cada um dos sinais s i segundo os vecores desa ase. c) Reresene os sinais s i no esaço de sinal e deermine as regiões de decisão óima do receor de máxima verosimilhança. d) Deermine a exressão da roailidade de erro em ermos da função erfc( x) = ex( u ) du, x π + e/ou de ( ) ( ) x + Q x = ex u du, x. π x Prolema. Num sisema coerene FSK inário, os sinais s e s reresenando os símolos e, resecivamene, são definidos or f s, s = A ccosπ f c ±,. a) Assumindo que f c > f, mosre que o coeficiene de correlação enre os dois sinais é aroximadamene dado or ρ = s s s d d sinc( f ). ) Qual é o mínimo valor de f ara o qual os sinais s e s são orogonais? c) Qual é o valor de f que minimiza a roailidade de erro média or símolo? d) Para o valor de f oido em c), deermine o acréscimo em E / η necessário ara que o desemenho dese sisema seja idênico ao de um sisema coerene PSK inário. 3

4 Pare III - Caacidade de Canal Prolema. Considere o diagrama de ransição de roailidade de um canal inário simérico, onde os símolos de enrada são equirováveis. x = y = a) Calcule as roailidades de ocorrência dos símolos de saída. ) Reia ara o caso em que as roailidades de ocorrência dos símols e na enrada são /4 e 3/4, resecivamene. Prolema 3. Considere o canal inário simérico do rolema anerior, onde e = são as roailidades de ocorrência dos símolos de enrada x = e x =, resecivamene. Seja a roailidade de ransição do canal. a) Mosre que a informação múua dese canal é dada or onde e z ( ; Υ) = H( z) H( ) I Χ, ( ) = z log + ( z) z = + ( )( ) H z log z H. ( ) = log + ( ) log ) Mosre que o valor de I Χ; Υ é igual a /. c) Mosre que a caacidade do canal é enão que maximiza ( ) ( ) C = H. Prolema 4. O canal inário com aagameno em dois símolos de enrada e rês símolos de saída, como se ilusra na figura. x = y = y e = e x = y = Calcule a caacidade dese canal. Prolema 5. Uma imagem de elevisão a reo e ranco inclui aroximadamene 5 x = y = 3 ixels, cada um dos quais reresena com igual roailidade um de dez ossíveis níveis de rilho. Assuma que a axa de ransmissão é de 3 imagens or segundo e que a 4

5 relação sinal-ruído vale 3 db. Calcule o valor mínimo da largura de anda do canal necessária ara suorar a ransmissão dese sinal de vídeo. Pare IV - Codificação de Canal Prolema 6. As marizes geradora e de verificação de aridade de um código de locos linear verificam a relação HG =. Se ransosermos amos os memros desa igualdade, vem GH =. Iso sugere que qualquer código de locos (n,k) linear com marizes geradora e de verificação de aridade G e H, resecivamene, em um código dual (n,n-k) com mariz geradora H e de verificação de aridade G. a) Parindo do código de Hamming (7,4), consrua as oio alavras do resecivo código dual. ) Calcule a disância mínima do código dual deerminado em a). Prolema 7. Considere um código de reeição (5,). Deermine o sindroma s corresondene aos seguines adrões de erro: a) odos os ossíveis adrões de erro singular; ) odos os ossíveis adrões de erro dulo. Prolema 8. Mosre que, ara um código de Hamming, o descodificador falha se ocorrerem dois ou mais erros de ransmissão or cada alavra receida. Prolema 9. O código esendido de Hamming (, k) (, k) n + oém-se a arir do original n adicionando um i de aridade gloal. Seja H a mariz de verificação de aridade do código de Hamming original. A mariz de verifiação de aridade do código esendido é definida or H e = H Considere o código de Hamming ( 7,4), cuja mariz de verificação de aridade é: H = a) Seja o i de aridade exra que é acrescenado à esquerda de cada alavra do código de Hamming original C de modo a oer a corresondene alavra do código de 8,4. Mosre que Hamming esendido ( ) se a alavra de C iver eso ímar = se a alavra de C iver eso ar ) Mosre que a disância mínima do código esendido é quaro. c) Deermine o sindroma s do código esendido ara (i) adrões de erro singulares; (ii) adrões de erro dulo. d) Mosre que os erros singulares odem ser corrigidos e que os erros dulos odem ser elo menos deecados. 5