Br Br US US. tempo as estruturas a termo dos EUA e do Brasil, enquanto que o par x t x

Transcrição

1 39 3 Caso Brasileiro Nesse caíulo esecificamos uma versão simles do modelo desenvolvido no caíulo 2 (enendido como aquela em que não há um número excessivo de forças em oeração nem amouco um número elevado de arâmeros a serem esimados) a dados oriundos dos mercados nore-americano e brasileiro ou seja o ar de aíses esudado é comoso or EUA e Brasil e a axa de câmbio bilaeral é o reço do dólar dos EUA em reais. Asecos relacionados à esimação do modelo or MM são discuidos e os resulados de esimação são analisados. 3.. Descrição do Modelo Simlificado O rimeiro asso é esecificar o número de variáveis laenes no veor de esado x. O exercício será realizado suondo k 4 de maneira que: Br Br 2 2 x x x x x O ar x x 2 refere-se às variáveis laenes que afeam ao mesmo Br emo as esruuras a ermo dos EUA e do Brasil enquano que o ar x x Br 2 influencia somene a esruura a ermo brasileira. Podemos ensar em x x 2 como as forças que conduzem a dinâmica da economia nore-americana enquano Br Br que 2 x x são forças idiossincráicas que influenciam somene o Br Br comorameno da economia brasileira. O fao do ar x x 2 influenciar somene a economia brasileira reflee a hióese 2 de Bonomo e Lowenkron. A fim de rabalhar com um modelo simles vamos suor que a lei de movimeno de x (cuja forma geral é dada or [39]) segue um rocesso VAR com média zero ( 0) e sem volailidade esocásica ou seja:

2 40 x x [80] onde 0 NID I4 e é uma mariz diagonal. Os faos dos choques em serem indeendenes e ser diagonal arofundam a simlicidade do modelo ois esamos suondo que as driving forces da economia evoluem de maneira indeendene. Essa hióese significa que I4 o que nos leva a vec I 4 e 06 x 4. Oura conseqüência dessa simlificação é que os marke rices of risk relaivos à recovery inensiy e aos faores de descono esocásicos dos EUA e do Brasil vão ser consanes no emo ou seja em em e (ver [52]). Sendo assim os rêmios de risco inerenes a essa versão serão invarianes no emo; em aricular a inclinação da regressão [70] seria igual a sob a hióese nula de que essa versão é válida. Mas como se raa aenas de um exercício reliminar e como a inserção de volailidade esocásica oderia comlicar sobremaneira o rocedimeno de esimação decidiu-se oar essa simlificação em derimeno do realismo do modelo. O faor de descono esocásico dos Esados Unidos deende somene das variáveis laenes x x 2 de maneira que a curva de juros reflee somene a influência dessas variáveis. Isso nos leva a imor as seguines resrições em [49] e [52]: [8] o que elimina comleamene a deendência com relação às variáveis laenes Br Br brasileiras e aos choques em que afeam a dinâmica de x e x 2. Já o faor de descono esocásico brasileiro e a recovery inensiy vão deender de odos os elemenos de x e vão ser afeados or odos os elemenos de. Com essas hióeses as axas de juros relaivas aos íulos de cuom zero emiidos elo governo dos EUA e elo governo do Brasil em dólares e reais são dadas or: r A B x [82]

3 4 Br Br Br r A B x [83] BrR BrR BrR r A B x [84] Já as fórmulas recursivas ara os coeficienes em [82] a [84] são: B B [85] A A B B 2 [86] em em B B [87] A A B B 2 em em em em [88] BrR Br Br R B B [89] A A B B 2 Br R Br Br Br R Br Br R Br R [90] A lei de movimeno ara o logarimo naural da axa brua de variação cambial é: Br Br Br Br Br s s x 2 [9] É úil fazer uma conagem do número de arâmeros dese modelo. A lei de movimeno [80] ara o veor de esado x ossui 4 arâmeros que são os elemenos da diagonal rincial de. Com as resrições imosas em [8] a esecificação [49] ara o faor de descono esocásico do aís desenvolvido ossui 5 arâmeros ( em 2 em e 2 em ). Já a esecificação [50] ara o faor de descono esocásico do aís emergene ossui 9 arâmeros ( em em 4 em em e 4 em em ). A esecificação [5] ara a lei de movimeno da recovery inensiy or sua vez em 9 arâmeros ( em 4 em e 4 em ). Isso quer dizer que o número oal de arâmeros é o que dificula um rocedimeno de esimação baseado na maximização da função de

4 42 verossimilhança calculada or meio do filro de Kalman. É or isso que acabamos uilizando o méodo MM a ser descrio na seção seguine onde nese méodo os arâmeros são esimados sucessivamene de forma a reroduzir os momenos incondicionais de ordens e 2 esimados dos dados. O rocedimeno em eaas reduz o número de arâmeros esimado em cada uma delas e facilia a busca dos valores óimos ois cada sub-roblema de minimização do quadrado da disância enre momenos observados e eóricos (ou seja calculados com base nas resrições imosas elo modelo simlificado) não ossui dimensionalidade excessiva de maneira que a busca ode ser feia em um esaço de amanho moderado Descrição do Procedimeno de Esimação Seja a variável aleaória y cuja oulação esaísica é caracerizada or um conjuno de k arâmeros e seja y y y y uma amosra aleaória dessa 2 n oulação esaísica. Os momenos a serem considerados são os momenos oulacionais esabelecidos como funções dos arâmeros Ey ' ' k k k k e os momenos amosrais m y j: k ' k n u :n j u O méodo dos momenos (MM) é um méodo de esimação que consise em igualar momenos oulacionais com os resecivos momenos amosrais e resolver o sisema de equações resulane: ' m k 2 ' k k k Em algumas siuações os momenos cenrados ambém oderão ser uilizados e em ouras oma-se q Eq k sendo q k uma esaísica obida k

5 43 numa amosra da oulação esaísica de y. As vanagens e desvanagens são esabelecidas conrasando o MM com o méodo da máxima verossimilhança (MMV). - Em geral o méodo da máxima verossimilhança roduz esimadores de melhor qualidade que o méodo dos momenos. - Em alguns casos o MMV exige recursos comuacionais e écnicas numéricas sofisicadas enquano que o MM é mais simles ráido e de fácil alicação. Enreano as esimaivas elo MM odem servir como esimaivas reliminares do MMV. - Em algumas siuações os esimadores coincidem enquano que em ouras como na esimação de comonenes de variância em esruuras orogonais o MM roduz esimadores óimos. Os momenos de ordens e 2 comuados ara as axas de juros de mauridade consane observadas nos EUA e no Brasil (caso no qual emos axas em dólares dos EUA e em reais) e ara a variação cambial vão ser uilizados no rocesso de esimação do modelo aravés de MM. A idéia básica como já dissemos é escolher valores ara os arâmeros de forma que a disância enre os momenos calculados com base nos dados e os momenos que seriam obidos caso o rocesso gerador dos dados fosse a versão simlificada do modelo (os chamados momenos eóricos ) seja a menor ossível. Suonha que emos uma amosra de amanho n na qual disomos de dados relaivos à variação da coação do dólar em reais às axas de juros de mauridade consane erencenes a curva de juros dos EUA (ou seja essa curva cona com vérices observáveis) às 2 axas de juros de mauridade consane erencenes a curva de juros brasileira ara emissões em dólares dos EUA no mercado inernacional e às 3 axas de juros de mauridade consane erencenes a curva de juros brasileira ara emissões em reais no mercado domésico. A versão simlificada do modelo inegrado de juros e câmbio descria na seção anerior ode ser escria sob a forma de um modelo em esaço de esados da seguine maneira:

6 44 y A Bx n x x [92] onde: 0 NID 0 H G G Q 2 3 Br Br Br R Br R r r r y r r r s s Br Br Br R Br R s A A A A A A A A Br Br Br R Br R B B B B B B B s B 2 3 Br Br Br R Br R Br 4 Q I 2 3 Br Br Br R Br R Br Br H diag e Br G. A forma em esaço de esados do modelo simlificado sugere as dificuldades do rocesso de esimar os arâmeros maximizando a função de verossimilhança calculada com o filro de Kalman. Reare que emos os 27 arâmeros que conamos acima (que fazem are das esecificações assumidas ara x m em m e ) mais 2 3 arâmeros que corresondem às variâncias dos erros (que esão em v ). Se ivermos or exemlo 5 vérices na curva de juros dos EUA 0 vérices na curva de juros do Brasil ara emissões em

7 45 dólares no mercado inernacional e 7 vérices na curva de juros do Brasil ara emissões em reais no mercado domésico enão o oal de arâmeros do modelo em esaço de esados é 60 número que esá muio acima daquilo que é considerado razoável ara considerar seriamene a uilização dessa écnica. Uma solução ossível ara melhorar a eficiência comaível da Máxima Verossimilhança como já dissemos é usar MM e adoar um rocedimeno em eaas no qual os arâmeros são esimados sucessivamene a fim de reroduzir os momenos de ordens e 2 observados nos dados. A cada eaa um sub-conjuno dos 27 arâmeros resenes nas leis de movimeno de em x m m e é esimado de forma a reduzir a disância enre uma coleção de momenos observados e eóricos. Na eaa oserior os arâmeros esimados nas eaas assadas são omados como dados e os valores óimos ara ouro sub-conjuno são obidos visando reduzir a disância enre oura coleção de momenos observados e eóricos. Ao final do rocesso logramos ober o conjuno comleo de 27 arâmeros e com isso odemos esimar os valores assumidos elos elemenos de A e B. Ora aós essa eaa a obenção dos valores assumidos elas variáveis de esado em cada insane de emo dos n que comõem a amosra é fácil basando ara isso esimar uma regressão or mínimos quadrados ordinários. Vamos enão à discussão das eaas. I. Primeira Eaa: Nessa eaa vamos esimar os arâmeros do veor que são aqueles que afeam a dinâmica da curva de juros dos EUA. ossui dois elemenos que são aqueles que erencem à diagonal rincial de e esão vinculados às variáveis laenes que afeam a economia nore-americana x x 2. O modelo que descreve o comorameno da curva de juros dos EUA ode ser escrio como: y A B x N 0 H 0 2 x x N I n [93]

8 46 onde: y r r A A A B B B e é uma mariz diagonal de amanho 2x2 o qual é a mariz diagonal aricionada inferior da mariz. Os elemenos das marizes A e B obedecem às equações [77] e [78]. Adicionalmene seja P a mariz de variância e covariância de x ; é ossível demonsrar que 4. 2 vec P I vec I. Para o rocedimeno de esimação H 0. x A esimação dos arâmeros em será dividida em duas sub-eaas. Na rimeira sub-eaa rabalhamos com os momenos de ordem 2 das axas de juros nore-americanas ou seja vamos esimar os arâmeros em que influenciam somene o valor assumido or esses momenos. Na segunda sub-eaa rabalhamos com os momenos de ordem que são influenciados or odos os arâmeros em. A sub-eaa 2 é execuada omando como dados os arâmeros esimados na sub-eaa e esimando somene os arâmeros remanescenes. Em seguida vamos discuir cada uma dessas sub-eaas. I.. Esimação de Nessa sub-eaa esimamos minimizando a soma de duas comonenes a saber a soma do quadrado das diferenças comuadas enre as variâncias eóricas e emíricas e a soma do quadrado das diferenças calculadas enre as auocorrelações eóricas e emíricas dos sreads (enendidos como a diferença enre as axas de juros de eríodos e eríodo). O veor de arâmeros coném somene os arâmeros que imoram ara o cálculo desses momenos. A

9 47 mariz de variância e covariância eórica das axas de juros dos EUA é denoada or V y enquano que a sua conraare emírica é denoada ˆ V y. Já a mariz com as auocorrelações de ordem eóricas dos sreads é denoada or w enquano que a sua conraare emírica é simbolizada or ˆ w Uma forma comaca de reresenar o roblema de esimação é:. ˆ ˆ ˆ 2 2 arg min diag V y V y diag w w [94] No Aêndice C demonsramos que 2 2 w D D onde V y B P B e D é a mariz diagonal cujos elemenos erencem à diagonal rincial da mariz calculada como F B P B F F B P B F. Já é. Esses resulados são obidos de maneira imediaa se ercebermos que o veor com os sreads das axas de juros denoado or w é exraído do veor de axas y aravés de uma rémulilicação desse úlimo ela mariz F definida como: F x Ao final dessa sub-eaa esimamos 4 arâmeros ou seja o rocedimeno de busca da solução do roblema [94] é efeuado em um esaço de dimensão 4. I.2. Esimação de 2 Nessa sub-eaa esimamos 2 minimizando a soma do quadrado das diferenças comuadas enre as médias eóricas e emíricas das axas de juros dos EUA. As médias eóricas são denoadas or E y enquano que as médias

10 48 ˆ emíricas são reresenadas or E y reresenar o roblema:. Segue abaixo uma forma comaca de ˆ 2 ˆ E y 2 arg min diag E y 2 [95] E y De acordo com cálculos que odem ser enconrados no Aêndice C A. odos os arâmeros em esão resenes nessa fórmula mas os arâmeros em são fixados nos valores esimados na sub-eaa anerior ao execuarmos essa sub-eaa. Ao final da sub-eaa 2 conseguimos esimar mais 3 arâmeros em um rocedimeno de busca efeuado em um esaço de dimensão 3. II. Segunda Eaa: Br Nessa eaa vamos esimar os arâmeros que são aqueles que afeam a recovery inensiy. Como a recovery inensiy deende das quaro variáveis laenes em x é necessário esimar os valores dos elemenos da diagonal rincial de que esão vinculados às variáveis laenes que afeam a Br Br economia brasileira x x 2. Os arâmeros que influenciam a dinâmica da curva de juros dos EUA e que são imoranes na deerminação da curva de juros brasileira em dólares já foram esimados na rimeira eaa e seus valores são omados como dados. O modelo que descreve o comorameno da curva de juros do Brasil relaiva a íulos denominados em dólares e negociados inernacionalmene ode ser escrio como: Br Br Br Br Br Br 0 y A B x N H x x N 0 I 4 n onde: [96]

11 49 y Br Br r Br r 2 A Br 2 Br A Br A 2 B Br 2 Br B Br B 2 e é definido em [80] sendo Br. Os elemenos das marizes Br A e Br B obedecem as equações [87] e [88] resecivamene. Adicionalmene seja P a mariz de variância e covariância de x ; é ossível demonsrar que ela é igual a vec P I. vec I. E manendo o suoso de 6 4 Br H 0. A esimação dos arâmeros em vai se dividir em duas sub-eaas. Na rimeira sub-eaa rabalhamos com os momenos de ordem 2 das axas de juros brasileiras ara emissões em dólares no mercado inernacional ou seja vamos esimar os arâmeros em que influenciam somene o valor assumido or esses momenos. Na segunda sub-eaa rabalhamos com os momenos de ordem que são influenciados or odos os arâmeros em. A sub-eaa 2 é execuada omando como dados os arâmeros esimados na sub-eaa e esimando somene os arâmeros remanescenes. No que se segue vamos discuir cada uma dessas sub-eaas. Br II.. Esimação de Nessa sub-eaa esimamos minimizando a soma de duas comonenes a saber a soma do quadrado das diferenças comuadas enre as variâncias eóricas e emíricas e a soma do quadrado das diferenças calculadas enre as auocorrelações eóricas e emíricas dos sreads. O veor de arâmeros coném somene os arâmeros que imoram ara o cálculo desses momenos. A mariz de variância e covariância eórica das axas de juros brasileiras ara Br oerações no mercado inernacional em dólares é denoada or V y

12 50 enquano que a sua conraare emírica é denoada ˆ Br V y. Já a mariz com Br as auocorrelações de ordem eóricas dos sreads é denoada or w Br enquano que a sua conraare emírica é simbolizada or ˆ w forma comaca de reresenar o roblema é:. Uma ˆ Br ˆ Br V y 2 arg min diag V y Br Br ˆ 2 diag w w [97] De acordo com resulados que odem ser enconrados no Aêndice C Br 2 2 e Br Br Br w D D Br Br Br V y B P B onde Br D é a mariz diagonal cujos elemenos são reirados da diagonal Br Br Br Br. Já rincial da mariz F B P B F Br Br Br Br como Br é calculada. Mais uma vez o veor de sreads F B P B F Br w é calculado ré-mulilicando o veor de axas Br y ela mariz Br F definida como: F Br x 2 2 Ao final dessa sub-eaa esimamos 6 arâmeros ou seja o rocedimeno de busca da solução do roblema [97] é efeuado em um esaço de dimensão 6. II.2. Esimação de 2 Nessa sub-eaa esimamos 2 minimizando a soma do quadrado das diferenças comuadas enre as médias eóricas e emíricas das axas de juros brasileiras ara oerações no mercado inernacional em dólares. As médias

13 5 Br eóricas e emíricas são reresenadas or E y e ˆ Br E y resecivamene. Segue abaixo uma forma comaca de reresenar o roblema: ˆ 2 arg min diag E y 2 Br ˆ Br E y 2 [98] Br De acordo com resulados do Aêndice C E y Br A. odos os arâmeros em esão resenes nessa fórmula mas os arâmeros esimados na sub-eaa anerior são omados como dados (e assumem os valores esimados ali) ao execuarmos essa sub-eaa. Ao final da sub-eaa 2 conseguimos esimar mais 5 arâmeros em um rocedimeno no qual buscamos a solução de [98] em um esaço de dimensão 5. III. erceira Eaa: Br Br Br Br Nessa eaa vamos esimar os arâmeros do veor que esão resenes na lei de movimeno do faor de descono esocásico em brasileiro m. Reare que essa é a eaa final ois os arâmeros que erencem às leis de movimeno de m e x já foram esimados nas eaas aneriores. O modelo que descreve o comorameno da curva de juros do Brasil relaiva a íulos denominados em reais e negociados no mercado domésico ode ser escrio como: BrR s BrR s BrR s BrR s y A B x x x n [99] BrR s 0 BrR s H BrR s G N 0 BrR s G I4 onde

14 52 y BrR s s BrR r BrR r 3 s A BrR s 2 A BrR A BrR A 2 s B BrR s 3 BrR B BrR B 3 B s e é definido em [80] o qual já foi esimado na segunda eaa. Os elemenos das marizes A BrR s e B BrR s obedecem às equações [89] e [90] resecivamene. Adicionalmene P a mariz de variância e covariância de aneriormene como vec P I. vec I que 6 4 BrR s H é uma mariz 3 3 x foi achada. Por ouro lado vamos suor x de zeros exceo o elemeno Br Br da diagonal rincial o qual vem a ser BrR s 0 Br 4 G E a mariz Os arâmeros em Br serão esimados minimizando a soma de rês comonenes quais sejam a soma do quadrado das diferenças comuadas enre BrR s as variâncias eóricas (denoadas or V y ) e emíricas ( ˆ BrR V y s soma do quadrado das diferenças calculadas enre as auocorrelações eóricas BrR s BrR ( w ) e emíricas ( s ˆ w ) a ) dos sreads e variação cambial e a soma do quadrado das diferenças calculadas enre as médias eóricas ( BrR s E y emíricas ( ˆ BrR E y s ). odos esses momenos serão levados em cona ao mesmo emo (e orano essa eaa não será dividida em sub-eaas) orque os elemenos de Br (ou seja os marke rices of risk relaivos ao faor de descono esocásico no Brasil) são necessários ara calcular odos eles. Uma forma comaca de reresenar o roblema é: ˆ ˆ E y 2 arg min diag E y Br Br BrR s BrR s BrR s ˆ BrR s V y diag V y BrR s diag w ˆ w BrR s 2 2 ) e

15 53 De acordo com o Aêndice C E y [00] BrR s BrR s A BrR s BrR s BrR s BrR s 2 2 V y B P B e BrR s BrR s BrR s w D D onde D BrR s é a mariz diagonal cujos elemenos são reirados da diagonal BrR s BrR s BrR s BrR s rincial da mariz F B P B F. O BrR como s BrR s BrR s F B P G B BrR s BrR s F BrR s é calculado. Mais uma vez o veor de sreads e da variação de cambio BrR s w é calculado ré-mulilicando o veor de axas BrR s y ela mariz F BrR s assim definida: F BrR s x Ao final dessa eaa conseguimos esimar os 9 arâmeros resanes em um rocedimeno no qual buscamos a solução de [00] em um esaço de dimensão 9. IV. Eaa Final Aós a esimação dos hierarâmeros é ossível calcular os valores assumidos elos coeficienes A Br A BrR A s A B Br B BrR B e s B ara quaisquer mauridades e curvas que se queira. Com isso a esimação dos valores assumidos elas variáveis laenes a cada insane de emo ode ser feia de maneira basane simles basando ara isso uilizar um esimador de mínimos quadrados ordinários. Por exemlo os valores que as forças x e x 2 relaivas à curva de juros nore-americana assumem a cada eríodo são obidos a arir de [84] da seguine maneira: ' ' xˆ B B B y A n [0]

16 54 A reeição desse rocedimeno ara dados relaivos ao ar de curvas de juros brasileiras e a variação cambial ermie que recueremos as rajeórias das Br Br variáveis laenes x e x 2. Ese rocedimeno requer que inegremos as equações [87] e [90] da seguine maneira Br Br Br Br y A B BrR s BrR s BrR s BrR s y A B x n [02] E observar que as forcas no x corresondene à curva de juros nore-americana já foram esimadas no rocedimeno anerior orano é que a mariz vai ser aricionada al que a equação [93] seja agora assim B B Br BrR s Br Br Br Br 2 Br Br y A B B x BrR s BrR s BrR s BrR s2 Us BrR s y A B B x ou Br Br Br Br 2 Br y A B Br B Us x x BrR s BrR s BrR s BrR s2 BrR s y A B B Onde Us x e Br x são os veores de amanho dois que conem as forcas das curvas nore-americanas e brasileiras resecivamene. Porano seguine maneira: Br x é esimado da xˆ Br Br ' Br Br ' Br 2 y Br Br BrR s BrR s BrR s BrR s BrR s BrR s2 y B B B A B Us x B B B A B [03]

17 Descrição dos Dados Os dados uilizados esão na freqüência mensal e se referem à axa brua de variação cambial regisrada ara o reço do dólar em reais e às axas de juros de mauridade consane dos EUA e do Brasil ara diversos razos. No caso brasileiro as axas são exraídas dos reços de mercado de emissões em dólares ara o mercado inernacional e em reais ara o mercado domésico. Os dados bruos foram reirados de um erminal Bloomberg. As axas de juros são exressas de al forma que se x é a axa de juros original exressa em % ao ano enão a x medida uilizada é x 00.ln. Os razos incororados à amosra são e 360 meses no caso dos íulos emiidos elo governo dos EUA; e 360 no caso dos íulos emiidos elo governo brasileiro denominados em dólares e negociados no mercado inernacional; e e 84 meses ara os íulos brasileiros denominados em reais e ransacionados no mercado domésico. A variável de câmbio é 00 vezes o logarimo naural da variação do reço do dólar em ermos de reais. É necessário ressalar que infelizmene exise uma grande quanidade de dados falanes na amosra esecialmene nas séries emorais relaivas às axas de juros brasileiras. De acordo com a abela denro do eríodo que se esende de 0/997 a 0/2009 só emos séries emorais comleas no caso da variação cambial e das axas de juros nore-americanas ara os razos de 2 a 240 meses (as axas relaivas às mauridades de 3 6 e 360 meses esão disoníveis somene a arir de 2007). No caso das axas de juros brasileiras ara emissões em dólares negociadas no mercado inernacional somene a axa relaiva à mauridade de 20 anos ossui um rack record razoável ois sua série emoral começa em 02/2000. As circunsâncias são ainda mais graves ara as axas de juros brasileiras relaivas a emissões em reais negociadas domesicamene. Nesse caso as axas ara as mauridades de 2 e 4 anos são aquelas que ossuem uma quanidade maior de observações (40 reiradas do eríodo enre 07/2006 a 0/2009).

18 56 abela : Valores ausenes na base de dados das axas de juros. Numero de observações Daa I. axa de Câmbio Real / Dólar 54 Jan-97/Ou-09 axa de Dereciação 53 Fev-97/Ou-09 II. axas de Juros A 3m 8 Mai-08/Ou-09 6m 8 Mai-08/Ou-09 2m 54 Fev-97/Ou-09 24m 54 Fev-97/Ou-09 36m 54 Fev-97/Ou-09 48m 54 Fev-97/Ou-09 60m 54 Fev-97/Ou-09 72m 54 Fev-97/Ou-09 84m 54 Fev-97/Ou-09 96m 54 Fev-97/Ou-09 08m 54 Fev-97/Ou-09 20m 54 Fev-97/Ou-09 80m 54 Fev-97/Ou m 03 Abr-0/Ou m 3 Ago-09/Ou-09 Brasil 2m 73 Ou-03/Ou-09 24m 94 Jan-02/Ou-09 48m 77 Jun-03/Ou-09 60m 64 Jul-04/Ou-09 72m 56 Mar-05/Ou-09 20m 6 Ou-04/Ou-09 80m 57 Fev-05/Ou m 7 Fev-00/Ou m 70 Jan-04/Ou m 46 Jan-06/Ou-09 Brasil R 3m 25 Ou-07/Ou-09 6m 0 Jan-09/Ou-09 2m 3 Ou-08/Ou-09 24m 40 Jul-06/Ou-09 36m 28 Jul-07/Ou-09 48m 40 Jul-06/Ou-09 84m 34 Jan-07/Ou-09 Exisem muias axas de juros não disoníveis. A segunda coluna indica a quanidade dos dados exisenes de cada variável e a erceira aresena a daa inicial e final de disonibilidade dos dados. A Figura mosra a axa de câmbio real/dólar em nível cujos valores se enconram no eixo à direia e as variações dessa axa com valores no eixo à esquerda. Salam aos olhos a endência de dereciação observada a arir da mudança do regime cambial em 0/999 aé o úlimo rimesre de 2002 quando o

19 57 rocesso aingiu o seu ico em virude das incerezas decorrenes das eleições residenciais daquele ano; a endência de areciação observada a arir daí que ode ser aribuída a faores como a recueração da confiança que sucedeu o comromisso assumido elo candidao vencedor (de oosição) em maner os rincíios básicos da gesão macroeconômica (regimes de meas de inflação e câmbio fluuane reseio à lei de resonsabilidade fiscal e à olíica de geração de suerávis rimários); e a seqüência dereciação/areciação observada nos úlimos 2 anos causada elas erurbações inroduzidas ela crise financeira e econômica em escala global que exlodiu nesse eríodo. A Figura 2 mosra as rajeórias das axas de juros ara diversas mauridades nos casos de EUA e Brasil (quando as emissões odem ser em dólares e em reais). O gráfico no cano suerior esquerdo mosra odas as rajeórias em um só frame enquano que os demais gráficos mosram as axas de juros relaivas a cada uma das curvas searadamene. Sala aos olhos a resença de dados falanes o que confirma visualmene a informação da abela. As axas de juros nore-americanas e brasileiras ara oerações em dólares exibem uma clara endência decrescene mas nada ode ser dio acerca das axas de juros brasileiras ara oerações em reais devido ao roblema dos dados falanes que é mais agudo aqui. O ico observado em 2002 no caso das axas de juros brasileiras em dólares reflee as incerezas inerenes ao eríodo. Movimenos de aberura e fechameno dos sreads enre axas de mauridades longas e curas odem ser visos com facilidade no caso nore-americano orém o mesmo não ocorre no caso brasileiro. O gráfico do cano suerior esquerdo indica que há uma disância enre a curva de juros dos EUA e a curva de juros brasileira ara emissões em dólares no mercado inernacional; essa disância reflee fundamenalmene o rêmio de risco exigido elos invesidores inernacionais na hora de adquirir íulos soberanos brasileiros dado que eles esão sujeios ao risco de defaul. O mesmo gráfico indica que há uma disância enre a curva de juros brasileira ara emissões em dólares no mercado inernacional e a curva de juros brasileira ara emissões em reais no mercado domésico; essa disância reflee essencialmene as execaivas de variação cambial dado que os invesidores enam igualar reornos em dólares e em reais.

20 jan-97 ou-97 jul-98 abr-99 jan-00 ou-00 jul-0 abr-02 jan-03 ou-03 jul-04 abr-05 jan-06 ou-06 jul-07 abr-08 jan-09 ou Figura : axa de câmbio do real/dólar e a axa de dereciação do real. Dereciação Real axa de Câmbio: real/dólar Dereciação do Real axa de Câmbio (R/) Figura 2: Series de emo das axas de juros do esouro americano e do Brasil em dólares e reais. Já mencionamos que o modelo simlificado descrio na seção 3. será esimado de acordo com o rocedimeno MM descrio na seção 3.2 no qual ajusamos os arâmeros a fim de romover a igualdade enre momenos eóricos (que são aqueles que refleem as resrições imosas ela esruura do modelo) e emíricos. Para isso é necessário calcular os momenos de ordens e 2 que nos

21 59 ineressam (quais sejam médias variâncias e auocorrelações dos sreads) denro do eríodo fixado arefa que é basane delicada em um conexo no qual as séries emorais não só conêm muios dados falanes mas ambém a fala de dados se disribui de maneira desigual enre elas (or exemlo sendo mais fore no caso das axas de juros relaivas a emissões do governo brasileiro em reais ara o mercado domésico). Nesse rabalho adoaremos a esraégia de reencher os dados falanes a fim de rabalhar com séries emorais comleas e a arir daí calcular os momenos de ineresse. Mais esecificamene o que roomos é uilizar os rabalhos de Nelson e Siegel (987) Diebold e Li (2005) e Diebold Li e Yue (2008) ara consruir modelos que odem ser ranscrios ara a forma de esaço de esados e cujos oucos arâmeros odem ser esimados aravés da maximização de funções de verossimilhança calculadas or inermédio do filro de Kalman. A uilização dessa écnica em 2 vanagens fundamenais que são ornar viável a esimação aesar da resença de dados falanes e ao final do rocesso esimar valores ara os rórios dados falanes. No caso da curva de juros que emana dos íulos de cuom zero emiidos elo governo dos EUA a saída é uilizar o modelo rooso or Diebold e Li e desenvolvido com base no framework de Nelson e Siegel que roõem aroximar a curva de juros vigene em um dado eríodo como uma soma de 3 funções exonenciais. As caracerísicas dessas funções são ais que a dinâmica da curva é decomosa em movimenos de nível inclinação e curvaura ou seja esse framework é comaível com os faos esilizados levanados or exemlo em Lierman e Scheinkman (99) [5]. O modelo coném aenas 4 arâmeros que são aqueles que medem a conribuição de cada função exonencial na combinação linear que gera cada uma das axas além do arâmero que mede as axas de crescimeno e decrescimeno das exonenciais envolvidas. A meodologia é exlicada em dealhe no Aêndice D. No caso das curvas de juros que emanam dos íulos de cuom zero emiidos elo governo brasileiro o roblema é mais comlexo orque há mais dados falanes rincialmene no caso da curva domésica ara emissões em reais. A saída é uilizar o modelo hierárquico rooso or Diebold Li e Yue que ode ser

22 60 viso como uma exensão do modelo de Diebold e Li ara raar simulaneamene um conjuno de curvas de juros oencialmene inerligadas. A idéia básica desse modelo é que essas curvas refleem a ação de faores globais (ou seja que influenciam a dinâmica das curvas de odos os aíses) e idiossincráicos (que são forças íicas de cada aís ou seja que só influenciam as rajeórias das axas de juros observadas em um aís esecífico e não agem sobre os demais). O raameno que imlemenamos aqui é al que em uma rimeira eaa as curvas de juros brasileiras êm sua dinâmica exlicada elas rajeórias dos seus faores subjacenes que são resonsáveis elos movimenos no nível e na inclinação observados ara cada uma delas 4. Na segunda eaa esses faores são decomosos em comonenes globais (que afeam as 2 curvas simulaneamene) e idiossincráicas (que só afeam uma curva or vez) e é aí que a maior quanidade de informação disonível na curva de juros brasileira ara emissões soberanas em dólares no mercado inernacional ode ser uilizada ara inferir os valores falanes das axas de juros ara emissões em reais no mercado domésico. Exlicações dealhadas do modelo e do rocedimeno uilizado ara a sua esimação esão no Aêndice E. Os resulados de esimação desses modelos auxiliares se enconram na abela 2. A segunda coluna mosra os resulados de esimação dos arâmeros do modelo ara a curva de juros dos EUA que or hióese é influenciada or 3 faores laenes. As colunas 3 e 4 or sua vez mosram os valores esimados ara os arâmeros dos modelos no caso das curvas de juros brasileiras referenes a emissões em dólares e em reais resecivamene. As duas curvas or hióese são influenciadas or 2 faores laenes. Os valores esimados se referem à rimeira eaa do rocedimeno na qual as forças que deerminam a dinâmica de cada uma das curvas são maeadas searadamene. Os resulados de esimação da segunda eaa do rocesso que faz a decomosição das forças levanadas na rimeira eaa em uma comonene global e uma comonene idiossincráica esão na abela 3. 4 Nesse caso não vamos uilizar o faor resonsável or alerações na curvaura orque além de não ser imorane no caso brasileiro sua inserção rejudicaria a arcimônia do modelo.

23 6 abela 2: Esimação dos hierarâmeros do modelo de Nelson e Siegel na rimeira eaa. Hier arâmeros esouro americano Brasil Brasil R i i i i i.000* i.000* i.000* 2i H H H H H H H H H H H H H H H Likelihood A rajeória dos faores que conduzem a dinâmica das axas de juros noreamericanas se enconram na Figura 3. Verifica-se que o rimeiro faor (que é resonsável elos deslocamenos de nível) em uma endência decrescene enquano que o segundo faor (que é resonsável or mudanças na inclinação) assume valores negaivos (o que indica que a curva de juros esava osiivamene inclinada) enre 200 e 2005 e nos dois úlimos anos or efeio da crise econômica mundial. Já as rajeórias dos faores que conduzem a dinâmica das axas de juros brasileiras em dólares e em reais se enconram na Figura 4. O rimeiro gráfico (esquerda) mosra os caminhos seguidos elos faores resonsáveis or deslocamenos de nível e inclinação nas 2 curvas; as linhas

24 62 cheias se referem aos faores idenificados com mudanças de nível enquano que as linhas onilhadas indicam a rajeória dos faores idenificados com mudanças de inclinação. O segundo gráfico (direia) mosra os caminhos seguidos elos mesmos faores aós o reenchimeno dos valores falanes o que é ossível graças ao vínculo exisene com as rajeórias esimadas ara os faores globais subjacenes. Reare que é a recueração das rajeórias dos faores idenificados com mudanças de nível e inclinação em cada uma das curvas que ermie que recueremos ambém as rajeórias das axas ausenes. abela 3: Esimação dos hierarâmeros do modelo Global de Nelson e Siegel na segunda eaa. Hier arâmeros Esimação l 5.04 s -.7 l s l s 0.75 l s Likelihood A Figura 4 mosra que o rimeiro faor recuerado a arir das axas de juros brasileiras em dólares exibe uma endência decrescene e que na hora de fazer o reenchimeno dos dados falanes essa endência acaba sendo incororada elo rimeiro faor relaivo às axas de juros brasileiras em reais. Ela mosra ambém que o ico ocorrido em 2002 (rovocado elas incerezas

25 63 eleiorais e suas conseqüências sobre a coninuidade das olíicas macroeconômicas) facilmene observável no rimeiro caso ambém acaba sendo incororado no segundo. Assim como nos EUA os faores resonsáveis or mudanças na inclinação ambém assumem valores basane negaivos nos dois úlimos anos o que evidencia o caráer mundial da crise. Figura 3: Faores de nível inclinação e curvaura da curva de juros dos Esados Unidos esimados do modelo de Nelson e Siegel. Figura 4: Faores de nível e inclinação ajusados ara as curvas brasileiras em dólares e reais. A Figura 5 ode ser visa como a Figura 2 aós a inserção dos dados falanes. É a arir dessas séries que calcularemos os momenos necessários ara execuar o rocedimeno MM descrio na seção anerior. Reare que sineizamos séries relaivas às mauridades de mês nos 3 casos ois elas são imoranes na esimação do veor com as consanes ( Br e ) que esão resenes nas leis

26 64 de movimeno da recovery inensiy e dos faores de descono esocásicos do Brasil e dos EUA. Figura 5: Series de emo das axas de juros do esouro americano e do Brasil em dólares e reais reenchidos elo modelo de Nelson e Siegel. Agora esamos aos a calcular os momenos de ordens e 2 que serão uilizados na esimação dos arâmeros da versão simlificada do modelo descria na seção 3.. Isso será feio com uma amosra que se inicia em 02/2000 e ermina em 0/2009 que coném dados já disoníveis ou inferidos com base nos modelos auxiliares que acabamos de descrever. A abela 4-A mosra algumas roriedades esaísicas das axas de juros de mauridade consane calculadas com base nos reços de mercado dos íulos de cuom zero emiidos elo governo dos EUA. A segunda coluna da referida abela informa as médias incondicionais dessas axas; como essas médias crescem com a mauridade conclui-se que a curva de juros média é osiivamene inclinada. A erceira coluna mosra os desvios adrão incondicionais dessas axas; como esses desvios adrão decrescem com as mauridades conclui-se que a esruura a ermo da volailidade é

27 65 negaivamene inclinada. Os coeficienes de assimeria são aresenados na quara coluna. Eles são odos negaivos e sua magniude é maior ara as axas curas o que indica que as disribuições subjacenes ossuem uma cauda longa à direia. Já as medidas de curose são aresenadas na quina coluna da abela e sugerem que as axas relaivas a mauridades mais curas (longas) são leocúricas (laicúricas). odas as axas de juros são basanes ersisenes conforme indicado elas suas auocorrelações de ordem. Esses faos esilizados já foram levanados em inúmeros rabalhos sobre o comorameno da curva de juros dos reasuries nos EUA e a aderência a eles sugere que o rocedimeno execuado ara reencher dados falanes chegou a resulados basane aceiáveis. abela 4: Proriedades das axas de juros dos íulos do esouro Americano. Mauridade Média Desvio Padrão Assimeria Curose Auocorr() A. axas de juros mês meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses B. Sreads sobre a axa cura 3 meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses

28 66 A abela 4-B aresena esaísicas relacionadas aos sreads longo-curo definidos como a diferença enre a axas de juros relaiva a oerações de eríodos e a axas de juros ara oerações de eríodo. Os sreads que serviram de base ara calcular as esaísicas aresenadas na referida abela são obidos a arir das axas de juros de mauridade consane calculadas com base nos reços de mercado dos íulos emiidos elo governo dos EUA. Cabe desacar o fao das auocorrelações de ordem dos sreads crescerem com a mauridade o que é imorane na hora de definir a ersisência dos faores x e x 2. As médias são osiivas (com exceção do rimeiro sread) e crescem com a mauridade o que é razoável na medida em que axas mais longas cosumam carregar um erm remium maior. Os desvios adrão dos sreads ambém exibem um adrão crescene com a mauridade. As abela 5 e abela 6 mosram as mesmas roriedades ara as axas de juros relaivas a íulos emiidos elo governo brasileiro. A abela 5 mosra esaísicas calculadas com base nas axas de juros exraídas dos reços de mercado de íulos de cuom zero denominados em dólar e negociados no mercado inernacional enquano que a abela 6 coném resulados ara as axas de juros exraídas dos reços de mercado de íulos de cuom zero denominados em real e ransacionados no mercado domésico. As abelas do io A (B) mosram roriedades das axas (sreads). O anorama geral que foi viso ara a curva de juros dos reasuries dos EUA se reee aqui ou seja as curvas de juros brasileiras são osiivamene inclinadas suas esruuras a ermo das volailidades são negaivamene inclinadas médias e desvios adrão dos sreads crescem com a mauridade e auocorrelações de ordem dos sreads decrescem com a mauridade. O nível geral ocuado elas axas da curva em reais é maior orque ela reflee dois riscos a saber o de defaul e o inerene às variações da coação do dólar em reais. As axas erencenes à curva em dólares arecem ser mais voláeis do que as suas conraares em reais.

29 67 abela 5: Proriedades das axas de juros dos íulos brasileiros em dólares. Mauridade Média Desvio Padrão Assimeria Curose Auocorr() A. Proriedades das axas de juros mês meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses B. Sread sobre a axa cura 2 meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses abela 6: Proriedades das axas de juros dos íulos brasileiros em reais. Mauridade Média Desvio Padrão Assimeria Curose Auocorr() A. Proriedades das axas de juros mês meses meses meses meses meses meses meses B. Sread sobre a axa cura 3 meses meses meses meses meses meses meses

30 68 Encerramos essa seção discuindo algumas roriedades da axa de câmbio real/dólar e das suas variações que odem ser visualizadas na abela 7. A axa de câmbio média no eríodo enre 02/2000 e 0/2009 é R reais or dólar com desvio adrão igual a 0.5. Essa axa em uma auocorrelação de rimeira ordem basane ala (0.977) o que oderia indicar que essa série não é esacionária. Já a variação do real é % ao mês em média o que aona ara uma suave areciação do real ao longo do eríodo. Sua volailidade é basane elevada enquano que a medida de assimeria arece indicar a resença de uma cauda longa à direia na disribuição subjacene. Já a medida de curose sugere que a disribuição das variações cambiais é laicúrica. abela 7: Proriedades da axa de câmbio e dereciação do real. axa de Câmbio axa de Dereciação Média Desvio Padrão Assimeria Curose Auocorr() Resulados de Esimação da Versão Simlificada do Modelo Essa seção aresena os resulados de esimação do modelo descrio na seção 3. uilizando o rocedimeno discuido na seção 3.2 alicado aos momenos emíricos calculados na seção 3.3. Os valores esimados ara os arâmeros se enconram na abela 8. Os resulados indicam que as variáveis Br Br laenes x e x 2 (que influenciam a dinâmica das curvas de juros brasileiras mas não a dinâmica da curva de juros nore-americana) são basane ersisenes ois os seus coeficienes auoregressivos esão ero de. A variável laene x ambém em esse erfil orém a variável x 2 ossui ersisência menor. O valor esimado ara o arâmero é o que quer dizer que a axa de juros média ara oerações de mês nos EUA é igual a ou 372% ao

31 69 ano. Essa axa deve ser comarada com a axa média informada na abela 4-A (38% ao ano). Já o valor esimado ara o arâmero é logo a axa de juros média ara emissões de mês denominadas em dólar feias elo governo brasileiro no mercado exerno é ou 804% ao ano. Essa axa deve ser comarada com a axa média informada na abela 5-A (808% ao ano). abela 8: Esimação dos hierarâmeros do modelo afim. Hier arâmeros Faor de Descono Esocásico EUA Recovery Inensiy Faor de Descono Esocásico Brasil i * i * i * * Variáveis Laenes (*) Valores dos hierarâmeros fixos dado ela resrição de que as variáveis laenes brasileiras não afeam o mercado esadunidense. Aesar das magniudes serem equenas odemos dizer que o faor de descono esocásico dos EUA ( m ) é mais sensível à variável laene x do que x (00002 vs ). No enano o marke rice of risk associado ao choque a 2 que afea a dinâmica de x 2 ossui magniude maior ( vs. -026). A Br recovery inensiy é mais sensível a x 2 e x 2 ois os resecivos coeficienes de sensibilidade ossuem a maior magniude (00004 e ). Já Br os o marke rices of risk associados aos choques em x e x 2 são os que Br ossuem a maior magniude. O faor de descono esocásico do Brasil ( m ) Br arece er um deerminane domésico ( x e 2 ) e dois deerminanes exernos ( x Br x ) enquano que os marke rices of risk associados aos choques em x 2 x

32 70 x arecem ser os mais imoranes. No geral os resulados sugerem que as e 2 curvas de juros brasileiras êm deerminanes exernos imoranes o que esá de acordo com as conclusões de Bonomo e Lowenkron (2008) 6. A Figura 6 mosra que os valores esimados ara os arâmeros são caazes de reroduzir saisfaoriamene as médias e os desvios adrão das axas de juros assim como as auocorrelações de ordem dos sreads. Os gráficos siuados na rimeira coluna da figura mosram a qualidade do ajuse ara a curva de juros dos EUA. Percebe-se que o maching é eficiene orém há dificuldade em ajusar os momenos relaivos às mauridades mais longas. O mesmo ode ser dio da curva de juros brasileira ara emissões em dólares no mercado inernacional (ver os gráficos siuados na segunda coluna). O maching coninua saisfaório orém há dificuldades em ajusar as auocorrelações de ordem dos sreads (veja que há uma endência a subesimá-los). No caso da curva de juros brasileira ara emissões em reais no mercado domésico (ver os gráficos da erceira coluna) o maching arece ser menos eficiene dado que há dificuldades em ajusar os momenos em quase odas as mauridades (em esecial nas longas). Da abela 9 aé a abela 2 informam esaísicas relaivas aos erros comeidos definidos como as diferenças enre as axas de juros observadas enre 02/2000 e 0/2009 e aquelas ajusadas ela versão simlificada do modelo. Podemos ver que os erros médios são em geral equenos. No caso da curva de juros dos EUA os erros médios jamais ulraassam 25 onos base dado que o número de maior magniude observado é (que corresonde à mauridade de 240 meses). Os desvios adrão indicam que esses erros médios esão conidos em inervalos de confiança de no máximo 00 onos base acima ou abaixo dos valores esimados ara eles (inervalos esses que corresondem ao nível de confiança de 95% elo menos em ermos aroximados) dado que o número de maior magniude observado é 0.5 (que corresonde à mauridade de 24 meses). A largura desses inervalos de confiança sugere que aesar dos erros médios esimados serem equenos rovavelmene há circunsâncias em que os desvios calculados enre valores observados e ajusados é significaivo. Os erros médios êm maior magniude na região de mauridades médias (grosso modo enre 84 e 20 meses) e endem a ser ersisenes.

33 7 No caso da curva de juros brasileira ara emissões do governo em dólares no mercado inernacional (abela 0) os erros médios são algo maiores mas não sueram 80 onos base dado que o número de maior magniude observado é (que ambém corresonde à mauridade de 240 meses). Os desvios adrão indicam que esses erros médios esão conidos em inervalos de confiança de 95% basane largos (aroximadamene 380 onos base acima ou abaixo dos valores esimados ara eles) dado que o número de maior magniude observado é.85 (que corresonde à mauridade de 360 meses). A largura desses inervalos de confiança sugere que os desvios calculados enre valores observados e ajusados odem ser grandes. Mais uma vez esses desvios endem a ser ersisenes. No caso da curva de juros brasileira ara emissões do governo em reais no mercado domésico (abela ) os erros médios coninuam sendo equenos (dado que o número de maior magniude observado é que corresonde à mauridade de 84 meses). Os desvios adrão indicam que esses erros médios esão conidos em inervalos de confiança de 95% que odem ser basane largos (algo em orno de 440 onos base acima ou abaixo dos valores esimados ara eles que é o caso da mauridade de 84 meses). A largura desses inervalos de confiança sugere que os desvios calculados enre valores observados e ajusados odem ser grandes em esecial ara as mauridades mais longas da curva em reais (ver os resulados ara 48 e 84 meses). Mais uma vez esses desvios endem a ser ersisenes. Esse resulado ode ser considerado razoável basando ara isso lembrar que o rocesso de alongameno da curva de juros em reais é recene. Em ouras alavras negócios envolvendo íulos de renda fixa convencionais com renabilidade ré-fixada em ermos nominais ara razos mais longos ainda são esorádicos (anes eles simlesmene não ocorriam); conseqüenemene a ausência de liquidez faz com que as axas de juros de equilíbrio ara mauridades acima de 3 anos sejam deerminadas com basane incereza. Encerramos a análise quaniaiva dos erros ressalando o desemenho alcançado elo modelo simlificado no ajuse da variação cambial observada enre 02/2000 e 0/2009. Reare que ano os erros médios quano o desvios adrão dos erros são equenos o que sugere que o modelo é eficiene quando exlica a rajeória observada da variação da axa de câmbio real/dólar. Os erros comeidos orém ainda são ersisenes.

34 72 Da Figura 7 aé a Figura 0 mosram as rajeórias das axas de juros noreamericanas e brasileiras (ara emissões em dólares e em reais) e da variação cambial observada enre 02/2000 e 0/2009 (linhas cheias) comarando-as com os valores ajusados elo modelo (linhas onilhadas). raa-se orano de uma informação necessária ara fazer uma areciação visual dos erros comeidos. No caso da curva de juros dos EUA não há discreâncias consideráveis mas evenualmene as duas rajeórias se afasam consideravelmene; ver or exemlo os gráficos corresondenes às axas de juros ara oerações de e 24 meses (em esecial nos úlimos 2 anos) e os gráficos relaivos às rajeórias observada e esimada das axas de juros ara oerações de 240 e 360 meses. O mesmo ocorre ara a curva de juros brasileira relaiva a emissões em dólares no mercado inernacional ou seja os desvios raramene são dramáicos mas as discreâncias odem ser relevanes esecialmene ara as axas de juros relaivas às mauridades mais longas (ver os gráficos corresondenes aos razos acima de 80 meses). No caso da curva de juros brasileira relaiva a emissões em dólares no mercado inernacional ambém não há desvios significaivos aesar das discreâncias oderem ser grandes na ona longa. É necessário ressalar a aderência noável que revalece enre as rajeórias observada e ajusada da variação da axa de câmbio real/dólar. abela 9: Esaísicas descriivas dos resíduos da curva de juros do esouro americano. Mauridade Media Desvio Padrão MAE RMSE ˆ 2 ˆ ˆ 30 mês meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses meses