MARCELO GAZZANO INTERAÇÃO SOCIAL NA CRIMINALIDADE: SIMULAÇÕES E EVIDÊNCIAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA MARCELO GAZZANO UM MODELO ESPAÇO-TEMPORAL BAYESIANO PARA MEDIR A INTERAÇÃO SOCIAL NA CRIMINALIDADE: SIMULAÇÕES E EVIDÊNCIAS NA REGIÃO METROPOLITANA DE SÃO PAULO Poro Alegre 8

2 MARCELO GAZZANO UM MODELO ESPAÇO-TEMPORAL BAYESIANO PARA MEDIR A INTERAÇÃO SOCIAL NA CRIMINALIDADE: SIMULAÇÕES E EVIDÊNCIAS NA REGIÃO METROPOLITANA DE SÃO PAULO Disseração submeida ao Programa de Pós- Graduação em Economia da Faculdade de Ciências Econômicas da UFRGS como quesio arcial ara obenção do íulo de Mesre em Economia. Orienador: Prof. Dr. Flavio A. Ziegelmann Poro Alegre 8

3 DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP) Resonsável: Biblioeca Gládis W. do Amaral Faculdade de Ciências Econômicas da UFRGS G89m Gazzano Marcelo Um modelo esaço-emoral bayesiano ara medir a ineração social na criminalidade: simulações e evidências na Região Merooliana de São Paulo / Marcelo Gazzano. Poro Alegre 8 46 f. : il. Orienador: Flávio A. Ziegelmann. Disseração (Mesrado em Economia) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul Faculdade de Ciências Econômicas Programa de Pós- Graduação em Economia Poro Alegre 8.. Criminalidade : Inferência Bayesiana.. Criminalidade : São Paulo Região Merooliana de (SP). 3. Criminosos : Ineração Social : São Paulo Região Merooliana de (SP). I. Ziegelmann Flávio A. II. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Faculdade de Ciências Econômicas. Programa de Pós-Graduação em Economia. III. Tíulo. CDU

4 MARCELO GAZZANO UM MODELO ESPAÇO-TEMPORAL BAYESIANO PARA MEDIR A INTERAÇÃO SOCIAL NA CRIMINALIDADE: SIMULAÇÕES E EVIDÊNCIAS NA REGIÃO METROPOLITANA DE SÃO PAULO Disseração submeida ao Programa de Pós- Graduação em Economia da Faculdade de Ciências Econômicas da UFRGS como quesio arcial ara obenção do íulo de Mesre em Economia. Arovada em: Poro Alegre de de 8. Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira Fundação Geulio Vargas SP Prof. Dr. Marcelo Savino Porugal Universidade Federal do Rio Grande do Sul PPGE Prof. Dr. Thelma Sáfadi Universidade Federal de Lavras Dearameno de Ciências Exaas 4

5 Agradecimenos Agradeço ao meu orienador Flavio Ziegelmann or odo o emo desendido e comenários que elevaram o nível desse rabalho. Também agradeço as conribuições de Juan Carlos Vivar-Rojas Dani Gamerman Aline Trindade Figueiredo e Susana Ochoa e a CAPES elo suore financeiro. Agradecimenos eseciais ara meus familiares amigos e a odos que de alguma forma ambém ajudaram e ornaram a elaboração desse rabalho ossível. 5

6 Resumo Nese rabalho uilizamos um modelo esaço-emoral rooso em Rojas (4) ara medir a ineração social da criminalidade na região merooliana de São Paulo. Realizamos simulações de Mone Carlo ara esar a caacidade de esimação do modelo em diferenes cenários. Observamos que a esimação melhora com o aumeno de observações ao longo do emo. Já os resulados emíricos indicam que a região merooliana de São Paulo é um ho so no esado ois é enconrado um maior grau de ineração social no índice de homicídio em relação aos índices de roubo e furo. Palavras chave: Modelo esaço-emoral MCMC Esaísica esacial Méodos Bayesianos Criminalidade. Absrac In his aer we emloy a saio-emoral model roosed in Rojas (4) o evaluae he social ineracion in crime in São Paulo meroolian area. We carry ou Mone Carlo simulaions o es he model esimaion caabiliy in differen scenarios. We noice ha he esimaion ges beer as he number of observaions in ime raises. The resuls oin ou ha São Paulo meroolian area is a ho so in he sae since we found ou a greaer social ineracion for he homicide index comared o robbery and hievery. Key words: Saio-emoral model MCMC Saial saisics Bayesian mehods Criminaliy 6

7 Sumário INTRODUÇÃO...8 REVISÃO DA LITERATURA: ECONOMIA/ECONOMETRIA DO CRIME... 3 METODOLOGIA ESTATÍSTICA INFERÊNCIA BAYESIANA MODELOS LINEARES DINÂMICOS FILTRO DE KALMAN FORWARD FILTERING BACKWARD SAMPLING AMOSTRADOR DE GIBBS METROPOLIS-HASTINGS ESTATÍSTICA ESPACIAL O MODELO MODELO POLINOMIAL DE PRIMEIRA ORDEM ESTIMAÇÃO Prioris Filro de Kalman e FFBS Condicionais Comleas ( Veor de esados ) σ ( Variância da equação de medida ) ( Correlação emoral ) κ ( Parâmero de escala ) α ( Correlação esacial )

8 5 SIMULAÇÕES DE MONTE CARLO CRIME NA REGIÃO METROPOLITANA DE SÃO PAULO CONCLUSÃO...46 REFERÊNCIAS

9 INTRODUÇÃO O esudo da criminalidade é muio imorane descobrir seus deerminanes e como reduzi-la ode ajudar na formulação de olíicas e no bem esar dos indivíduos. O roblema criminal no Brasil é grande Andrade e Lisboa () esimam que caso o índice de homicídios fosse erradicado da cidade do Rio de Janeiro os homens cariocas viveriam em média 34 anos a mais no ano de 995. Esse roblema no esado de São Paulo não arece ser menor. Em relaório do ILANUD (Insiuo Laino Americano das Nações Unidas ara Prevenção do Delio e Traameno do Delinqüene) Khan (999) esima os cusos da violência ara o esado de São Paulo. Para o ano de 999 o insiuo esima que R$ 89 bilhões (cerca de 3% do PIB esadual) foram gasos ela sociedade na comra de segurança e com erdas geradas direamene elos incidenes. A criminalidade afea direamene as decisões dos indivíduos algumas vezes sem erceber deixamos de visiar deerminada região esacionar o carro em ceras vizinhanças adquirir algum arigo ec. Rondon e Andrade (3) esimam os cusos da criminalidade nos alugueis da cidade de Belo Horizone. Os auores enconram uma redução em aé 7% do valor do aluguel devido às axas criminais em deerminada região da caial mineira. Mesmo razendo uma grande ineficiência ara a economia economisas não resavam muia aenção ara esse assuno. A lieraura sobre economia do crime só começa a aarecer com um maior desaque a arir de Becker (968). Segundo Becker o criminoso oma decisões como qualquer ouro indivíduo da sociedade ou seja maximizando sua uilidade. Dessa forma uilizando um arcabouço eórico microeconômico Becker deeca que um indivíduo comeerá um crime caso o cuso eserado enha menor valor do que o ganho eserado do crime. Poso de oura forma o criminoso avalia os cusos eserados do crime ais como robabilidade de areensão robabilidade de condenação severidade da unição e cuso de oorunidade de ingressar no mercado formal de rabalho; e avalia esses cusos relaivamene aos ganhos que ele eria com al aividade ilícia. A rincial forma de combae ao crime or are dos municíios do esado de São Paulo em sido aumenar os cusos do crime rincialmene com o aumeno da 9

10 robabilidade do criminoso ser reso. Aesar de esaísicas de homicídios esarem aresenando uma endência de queda furos e roubos aresenam uma evolução diferene. Os roubos no esado de a 6 arecem esacionários ao redor de 583 or ano or mil habianes do esado; já o furo no esado era de 9 or ano or mil em conra 338 or ano or mil habianes em 6. O esforço do esado em reduzir a criminalidade arece surir efeio nos crimes mais violenos como homicídios larocínios e seqüesros orém as esaísicas aresenadas aneriormene não aonam ara uma coerção em roubos e furos. Glaeser Sacerdoe e Scheinkman (996) aresenam um modelo de ineração social que aarena resolver esa ineressane quesão. Os auores concluem que crimes mais brandos como roubo e furo êm um alo grau de ineração social ou seja deendem muio da ineração dos indivíduos de uma deerminada região enquano crimes como seqüesro e assassinao êm baixo grau de ineração social. Os auores observam que os índices de criminalidade variam muio de região ara região. Por exemlo: a cidade de Ridgewood Village em Nova Jersey em 8 crimes conra essoas er caia conra 384 crimes conra essoas er caia em Alanic Ciy; índices de homicídios variam de 6 homicídios or milhão no Jaão 6 na Suécia e 98 nos Esados Unidos. Essas diferenças arecem ser muio grandes ara serem exlicadas aenas elos cusos e benefícios do crime além mesmo de variáveis socioeconômicas como desigualdade de renda e desemrego. Para os auores a exlicação ara essa ala variância é a ineração social enre os criminosos ou seja quando a decisão de um indivíduo ingressar no mercado criminal afear a decisão de seu vizinho enão os índices de criminalidade das regiões vão ser diferenes dos índices revisos elas caracerísicas das mesmas. Assim uilizando um modelo esaço-emoral rooso or Rojas (4) buscaremos idenificar alguma ineração social nos seguines índices: homicídio doloso (doravane homicídio) roubo e furo na região merooliana de São Paulo. Acrediamos que modelando esaço e emo simulaneamene eremos uma melhor esimaiva da ineração social desses índices. Em a oulação carcerária do esado era de 9.86 (5% da oulação oal do esado) já em 6 a oulação era de (35% da oulação oal do esado). Resulado não eserado ois de acordo com a eoria um aumeno no cuso do crime faria com que os índices de criminalidade caíssem.

11 Anes de aresenarmos os resulados ara a região de ineresse realizamos simulações de Mone Carlo ara esar a caacidade de esimação do modelo. Observamos que mesmo com um número de observações equeno (mesmo amanho do conjuno de dados reais) a esimação é saisfaória se o modelo esiver bem esecificado no senido que emos uma idéia da direção que as variáveis esão aonando ou seja conseguimos saber se a ineração social é ala ou baixa. Os resulados indicam que a região merooliana de São Paulo é um ho so no esado 3 onde enconramos um maior grau de ineração social no índice de homicídio. Ese rabalho esá dividido em cinco caíulos além da resene inrodução e das considerações finais. No Caíulo aresenamos uma revisão da lieraura sobre economia e economeria do crime a fim de osicionar esse rabalho em relação aos ouros. O Caíulo 3 faz uma revisão do arcabouço eórico que uilizaremos em nosso rocesso de modelagem e esimação a saber: uma inrodução à esaísica esacial inferência bayesiana e méodos Markov Chain Mone Carlo (MCMC). O Caíulo 4 descreve o modelo uilizado assim como as disribuições condicionais comleas ara os arâmeros. Simulações de Mone Carlo são realizadas com o objeivo de esar a caacidade de esimação do modelo no Caíulo 5. Finalmene o Caíulo 6 aresena os resulados ara a ineração social na criminalidade ara região merooliana de São Paulo. 3 O ermo ho so ara criminalidade começou a er um maior uso na lieraura a arir de Cohen e Tia (999) que denominaram regiões que aresenam uma ala concenração de aividades criminais como um ho so. Puech (4) uiliza o ermo ho so ara idenificar uma região com uma ala concenração de homicídios sendo ese significado que adoaremos nese rabalho.

12 REVISÃO DA LITERATURA: ECONOMIA/ECONOMETRIA DO CRIME A lieraura sobre economia do crime começa a aarecer com um maior desaque a arir de Becker (968). O auor quebra com o ensameno de que o criminoso em algum roblema menal é excluído da sociedade e não em condições de comeir no mercado de rabalho legal. Segundo Becker o criminoso oma decisões como qualquer ouro indivíduo da sociedade ou seja maximizando sua uilidade. Dessa forma uilizando um arcabouço eórico microeconômico Becker deeca que um indivíduo comeerá um crime caso o cuso eserado enha menor valor do que o ganho eserado do crime. Poso de oura forma o criminoso avalia os cusos eserados do crime ais como robabilidade de areensão robabilidade de condenação severidade da unição e cuso de oorunidade de ingressar no mercado formal de rabalho; e avalia se esses cusos são menores que os ganhos que ele eria com al aividade ilícia. Alguns rabalhos emíricos mosram a validade do modelo econômico do crime de Becker denre eles desacam-se: Ehrlich (973) Freeman (99) Levi (996) Levi (998) e Imrohoglu Merlo e Ruber (). De alguma forma esses rabalhos mosram que maiores robabilidades de areensão e condenação diminuem as axas de criminalidade ainda quano mais severa for a ena (geralmene medida em média de anos na risão) menores são as axas de criminalidade. Também a relação enre criminalidade e variáveis econômicas como desigualdade de renda salário e desemrego em ganhado basane vigor rincialmene aós o modelo desenvolvido or Burde Lagos e Wrigh (3). Os auores exandem o modelo de jobsearch radicional rooso or Morensen (986) 4 assim os auores conseguem endogeneizar o índice de criminalidade em um ambiene em que há desigualdade de renda e chegam à conclusão que quano maiores forem o desemrego e a desigualdade de renda maior será o índice de criminalidade. Vale ciar que a maioria dos rabalhos emíricos ciados aneriormene incororam de alguma forma a desigualdade de renda em seus esudos. Pois era quase um consenso 4 No modelo original de Morensen (986) o indivíduo ode esar emregado em um emrego formal ou desemregado. Desa maneira o auor ena descrever o roblema encarado elo desemregado e roõe esraégias ara uma decisão óima de emrego. Burde Lagos e Wrigh (3) incluem a ossibilidade de o indivíduo esar comeendo algum ao criminoso além dos esados já descrios em Morensen (986).

13 que desigualdade de renda afea a criminalidade mesmo sem uma eoria que conseguisse incororar no comorameno do indivíduo a desigualdade de renda. Conudo Glaeser Sacerdoe e Scheinkman (996) observam uma ala variância aravés do emo e esaço nas axas criminais. E essa variância arece ser ala demais ara ser exlicada aenas elos cusos e benefícios do crime além mesmo de variáveis socioeconômicas como desigualdade de renda e desemrego. Para os auores a exlicação ara essa ala variância é a ineração social enre os criminosos ou seja quando a decisão de um indivíduo ingressar no mercado criminal afear a decisão de seu vizinho enão os índices de criminalidade das cidades vão ser diferenes dos índices revisos elas caracerísicas das cidades. Dessa forma os auores roõem um modelo baseado no modelo de voação de Kindermann e Snell (98). A decisão de um agene sobre enrar ou não numa aividade criminosa deende de suas caracerísicas (aqui enram as caracerísicas da cidade) e da decisão de seu vizinho. Exisem dois ios de indivíduos: os que influenciam e são influenciados elos vizinhos e os que influenciam mas não são influenciados elos vizinhos. Para esar o grau de ineração social Glaeser Sacerdoe e Scheinkman (996) uilizam diversas axas de criminalidade ara algumas cidades dos Esados Unidos nos anos de 985 e 97 e ara Nova York em 985. Ou seja os auores rabalham com dados em cross secion ara esar a ineração social na criminalidade em algumas cidades dos Esados Unidos. É enconrada uma ala ineração social ara roubo de carro e furo uma ineração mais baixa mas considerável ara invasão de roriedade e roubo. Baixos índices de ineração social são visos em assassinao e esuro. Alguns rabalhos emíricos se desacam no senido de medir uma ossível ineração social nos índices de criminalidade. Case e Kaz (99) Puech (4) e Oliveira (5) uilizam uma abordagem semelhane. Eses auores aresenam uma esimação cross secion ara índices de criminalidade em odos eles a referência geográfica enra como uma variável exlicaiva do modelo. Além disso os auores incluem ouras variáveis que ossam influenciar a criminalidade. Procurando enender a criminalidade dos jovens em Boson Case e Kaz (99) noam que morar em uma vizinhança em que uma grande are da oulação aricia de aividades criminais aumena a robabilidade de o indivíduo ingressar em al aividade. 3

14 Puech (4) faz uma análise ara os municíios de Minas Gerais em. O auor enconra uma maior deendência esacial ara crimes conra a roriedade (furo e roubo) do que ara crimes conra essoa (homicídio e enaiva de homicídio). Além disso Puech observa conglomerados ara os crimes conra essoa eses ficam localizados rincialmene em orno de cidades grandes como or exemlo Belo Horizone 56. Oliveira (5) mede a ineração social ara roubo furo e homicídio nos municíios do Rio Grande do Sul no ano. Nesse rabalho é ambém enconrada uma menor ineração social ara homicídio quando comarada com a ineração ara roubo e furo. Ho sos ambém são observados no Rio Grande do Sul. Uilizando eses genéricos ara deecar conglomerados 7 Beao Filho e al. () analisam os 4 bairros de Belo Horizone. Os auores enconram uma maior robabilidade de ocorrência de homicídio em dessas 4 regiões 8. Eles noam que essas regiões de maior risco esão concenradas em favelas. Porém não arece ser a favela o resonsável elo maior risco de homicídio nessas regiões e sim o fao desses bairros serem foco do ráfico de drogas. Conudo noamos que muios rabalhos emíricos rabalham ou a are esacial ou a are emoral. Como os efeios emoral e esacial na criminalidade não arecem ser desrezíveis seria ineressane rabalhar com modelos que conemlem essas duas caracerísicas simulaneamene. Rojas (4) veoriza o camo observado dos modelos lineares dinâmicos de Wes e Harrison (997) e modela os erros das equações de sisema seguindo um rocesso de camo aleaório Markoviano Gaussiano (CAMG). Dessa forma o auor sugere alguns modelos esaço-emorais. Nese rabalho iremos uilizar o modelo linear de rimeira ordem rooso or Rojas (4). 9 5 Cohen e Tia (999) Messner e al. (999) e Baller e al. () de alguma forma ambém raam de conglomerados de homicídio em alguma região. 6 A lieraura raa desses conglomerados de homicídios como ho sos de uma deerminada região. 7 Uma referência básica ara eses ara deecção de conglomerados é Lawson e Kulldorf (999). A idéia do ese genérico é esar a hióese nula de que não exise conglomerado na região de esudo conra a hióese alernaiva de que há algum conglomerado na região sem esecificar onde ese conglomerado esaria. 8 Os auores uilizam dados agregados de homicídios ara o eríodo de 995 a Aesar de muios rabalhos emíricos sobre economia do crime não conemlarem os efeios esaçoemorais vale ciar que esses modelos esão sendo muio uilizados em várias ouras alicações como ecologia e eidemiologia. Assunção Reis e Oliveira () Nobre Schmid e Loes (4) e Lawson e Viel (995) aresenam modelos ara eidemiologia. Paez (4) e Rojas (4) aresenam uma alicação ecológica desses modelos. 4

15 Com isso buscaremos idenificar alguma ineração social nos seguines índices de criminalidade: homicídio roubo e furo na região merooliana de São Paulo. Acrediamos que modelando esaço e emo simulaneamene eremos uma melhor esimaiva da ineração social desses índices. Ainda devemos ressalar que não serão uilizadas variáveis exógenas ara exlicar a criminalidade o veor de esados (esimado endogenamene) erá o ael de caurar os efeios de variáveis como: robabilidade de areensão robabilidade de condenação severidade da ena desigualdade de renda ec. Com isso odemos conornar um roblema exoso em Puech (4) o auor noa que exisem dados criminais disoníveis ara cidades mineiras em ouros anos além do ano. Porém só emos dados ara variáveis que ossam ajudar a exlicar a criminalidade em nível municial ara o ano (a saber ano do úlimo censo no Brasil). Evidene que a adição dessas variáveis melhora a erceção do roblema no senido que odemos mensurar o quano um aumeno na severidade da ena ode reduzir a criminalidade ou ainda quano da criminalidade é exlicado ela desigualdade de renda. Ainda a adição de variáveis conemorâneas deve melhorar a revisão do modelo. Mas devido ao já mencionado roblema de fala de dados criminais no Brasil (rincialmene em nível municial) o modelo escolhido em essa vanagem. O róximo caíulo fará uma breve inrodução aos conceios esaísicos alicados nesse rabalho. Começamos com as bases da inferência bayesiana em seguida aresenamos os modelos lineares dinâmicos bem com a esimação via filro de Kalman e FFBS. Deois aresenamos dois algorimos MCMC: amosrador de Gibbs e Meroolis- Hasings. Por fim uma inrodução a esaísica esacial é realizada. 5

16 3 METODOLOGIA ESTATÍSTICA Nese caíulo aresenaremos uma revisão de oda a meodologia esaísica que uilizaremos nese rabalho. Começamos com uma revisão da idéia da inferência bayesiana em seguida aresenamos os modelos lineares dinâmicos e o filro de Kalman deois arimos ara o algorimo Forward Filering Backward Samling (FFBS). Em seguida revisamos os algorimos MCMC amosrador de Gibbs e Meroolis-Hasings. Ao fim do caíulo aresenamos uma equena inrodução à esaísica esacial. Algumas referências básicas ara inferência bayesiana e méodos MCMC são: Gamerman e Loes (6) Loes (8) Koo (3) Gilks Richardson e Siegelhaler (996). Já ara os modelos lineares dinâmicos as referências são: Wes e Harrison (997) ara uma abordagem bayesiana e Kim e Nelson (999) numa abordagem clássica e bayesiana. Desacamos ara o algorimo FBBS Caé Moulines e Rydén (5). Para o leior que queira se arofundar em esaísica esacial algumas referências básicas são Bailey e Garell (995) Cressie (996) Riley (98) e Banerjee Carlin e Gelfand (4). 3. INFERÊNCIA BAYESIANA A filosofia da esaísica clássica é baseada no fao de que oda a informação a reseio do fenômeno aleaório que se deseja inferir é fundamenada aenas naquilo que for observado (i.e. dados). Além disso o esaísico clássico considera os arâmeros do modelo como quanidades fixas. Por ouro lado a escola bayesiana considera os arâmeros de ineresse (or serem desconhecidos) como quanidades aleaórias. Assim disribuições de robabilidade ara os arâmeros são necessárias na consrução de um modelo bayesiano. Com isso esaísicos bayesianos diferenemene dos clássicos não consideram aenas as informações oriundas dos dados como ambém a informação que o esquisador em a reseio do fenômeno esudado. O conhecimeno do esquisador sobre os arâmeros é dio conhecimeno a riori sendo reresenado ela disribuição a riori. Essa Nesse senido ara um bayesiano não exise disinção enre quanidades observáveis e os arâmeros do modelo ois odos são considerados quanidades aleaórias. 6

17 informação a riori é combinada com a informação obida nos dados (função de verossimilhança) essa combinação é conhecida como disribuição a oseriori. A disribuição a oseriori será a base ara oda a inferência que se fizer ineressane. O arcabouço eórico ara se fazer inferência bayesiana esá fundado em um eorema anigo de robabilidade. Considere dois evenos aleaórios A e B definidos em R odemos escrever a robabilidade conjuna de A e B como ( A B) ( A B) ( B) =. (.) A seguine exressão ambém é valida: ( A B) ( B A) ( A) =. (. ) Igualando (.) a (.) emos ou ainda ( A B) ( B) ( B A) ( A) = ( B A) ( A B) ( B) ( A) =. (.) A equação (.) nada mais é que o eorema de Bayes. Denominando o veor de arâmeros (que como mencionado aneriormene na abordagem bayesiana assam a ser considerados variáveis aleaórias) or e o veor de observações or y odemos rocar B or e A or y em (.4) obendo ( y) ( y ) ( ) ( y) =. (.3) 7

18 Como esamos direamene ineressados em fazer inferência sobre arâmeros odemos ignorar o ermo ( y) em (.3) e dessa forma reescrever essa exressão como ( y) ( y ) ( ). (.4) Denominamos ( ) como a densidade a riori ( y ) e ( y) como a densidade a oseriori. como a função de verossimilhança A riori ( ) não deende dos dados e coném oda informação que o esquisador iver sobre os arâmeros anes de conhecer os dados. As rioris odem ser informaivas (ara o caso em que o esquisador em algum conhecimeno da disribuição dos arâmeros anes da amosragem) ou não informaivas (no caso do esquisador não disor de conhecimeno révio da disribuição dos arâmeros anes da amosragem). A função de verossimilhança ( y ) anes das observações serem feias é a densidade condicional de y dados os arâmeros. Por fim a oseriori ( y) aualizada de deois de se conhecer as observações. é a disribuição Fica claro que oda inferência na esaísica Bayesiana é baseada na disribuição a oseriori. Conudo ober analiicamene (ou aé mesmo or aroximação numérica) a disribuição a oseriori não é das arefas mais fáceis uma vez que normalmene esse cálculo envolve inegrais múlilas. Dessa forma fazem-se necessários méodos baseados em simulação ara ober-se a disribuição a oseriori. Aualmene os méodos uilizados são conhecidos como Markov Chain Mone Carlo (MCMC) 3. Méodos MCMC consisem em simular observações deendenes de uma cadeia de Markov. Eses algorimos ossibiliam a geração de amosras de disribuições a oseriori nos casos em que ela é desconhecida ou demasiadamene comlicada. Os rinciais méodos MCMC são o amosrador de Gibbs e o algorimo de Dado que a amosra já foi observada ( y) assa a ser uma consane em relação à. Dessa forma é naural que diferenes esquisadores enham diferenes graus de incereza em relação à resulando em diferenes esecificações ara um modelo. 3 Méodos MCMC foram uma verdadeira revolução na esaísica Bayesiana. Uma frase raduzida de Rober e Casella (8) indica bem esse fenômeno: Durane o inicio da década de 9 esquisadores descobriram que algorimos de Gibbs e Meroolis-Hasings oderiam acabar com qualquer roblema ao qual esivessem resos (...). 8

19 Merolis-Hasings os quais serão raados mais a frene nese caíulo. Parimos agora ara uma breve inrodução aos modelos lineares dinâmicos. 3. MODELOS LINEARES DINÂMICOS Os modelos lineares dinâmicos numa abordagem bayesiana são aresenados inicialmene or Harrison e Sevens (976). Wes e Harrison (997) descrevem dealhadamene ais modelos. A idéia dos mesmos é relacionar uma variável observável com um veor de esados (não observável) e um erro. Chamaremos essa equação de equação de observação ou de medida. Também eremos uma equação de ransição que descreve a evolução do veor de esados. Uma formulação geral ara um roblema desse io é y = F = G + ε + ω ε ω ~ N ~ N ( V) ( W ) (.5) (.6) ara =... T onde (.5) ransição. Ainda é a equação de medida ou observação e (.6) é a equação de y é um veor de variáveis observáveis; é o veor de esados (laene); F é uma mariz que relaciona o rocesso não-observável com as observações; ε é o erro da equação de observação (com média zero não correlacionado enre si e em mariz de variância-covariância V ); G reraa a evolução do rocesso não-observado no emo; é o erro da equação de medida (com média zero não correlacionado enre si e em mariz de variância-covariância W ). Além disso os erros ε e ω são indeendenes. ω 3.3 FILTRO DE KALMAN A esimação do modelo rooso é feia aravés do filro de Kalman rooso em Kalman (96). O filro de Kalman é um rocedimeno recursivo ara esimar o veor de esados assumindo que F G V e W são conhecidos. Basicamene o filro 9

20 consise de dois assos. O rimeiro é a revisão em que queremos calcular o valor de baseado em odas as informações aé ( ~ ) y ara isso recisamos calcular róximo asso é a aualização deois do emo aconecer devemos calcular o erro de revisão ( y ~ y ) feia. υ. Assim aós conhecer y uma melhor esimaiva de = O filro de Kalman irá nos fornecer a disribuição condicional de informação disonível D ( D { D }) mulivariada ( ) ~ N( m ) C D ara algum veor de médias m e mariz de variânciacovariância C conhecidos. = ˆ y. O ode ser dada a y. Suomos que a riori em = é normal Assim ara algum veor de médias m e mariz de variância-covariância C seja a oseriori em ( ) ~ N( m C ) D. Para enconrarmos a média da disribuição a riori de oerador eserança em (.6): em basa alicarmos o ( G ω ) E + = = G m. O erro de revisão do veor de esados será dado or = G m G ω ( m ) ω = G. A mariz de variância-covariância da disribuição a riori de variância do erro de revisão. em será a

21 ( )( ) E R = R + = G C G W. Desse modo a disribuição de a riori em é ( ) ~ N( G m R ) D. Alicando o oerador eserança em (.5) odemos ober a revisão de que será dado or y aé ~ y F + ε = E ~ y F G m. = Assim o erro de revisão das observações um asso a frene será υ = y ~ y υ F + ( G m ) ε =. A variância do erro de revisão um asso a frene é dado or Q = Q ' [ υ υ ] E = V. F R F + A disribuição da revisão das observações um asso a frene é ( y ) ~ N F G m Q D.

22 Com as informações aé agora odemos escrever y R R D ~ N. R Q Porano a oseriori em é ( ) ~ N( m C ) D onde m = + R F Q y F e = ( ) C R R F Q Q R F Q. 3.4 FORWARD FILTERING BACKWARD SAMPLING O algorimo FFBS é uma maneira de gerar de informações. Assim a idéia básica é amosrar amosrar rês assos: de ( ) : T condicionado ao conjuno comleo de ( m ) N (Forward Filering) e C D T (Backward Samling). Podemos descrever o algorimo em - Uilizar o filro de Kalman ara enconrar a média e variância das disribuições a oseriori. - Gerar um valor de ( ). T D T 3- Calcular média e variância de ( ) T j desa disribuição. onde j =... T. Gerar T j T j+ Com isso cada gerado esá condicionado ao conjuno comleo das observações. Os esados são gerados odos de uma só vez com a vanagem da ordenação do emo do modelo esaço de esados. A seguir aresenamos os seguines méodos MCMC: amosrador de Gibbs e Meroolis-Hasings. D T

23 3.5 AMOSTRADOR DE GIBBS O amosrador de Gibbs foi inroduzido or Geman e Geman (984) num conexo de rocessameno de imagens oseriormene Gelfand e Smih (99) mosraram os benefícios do algorimo ara a análise bayesiana. Assim como aneriormene a disribuição de ineresse é ( y) (... ). Foi mencionado que amosrar de ( y) = k onde ode ser uma arefa comlicada orém sob escolhas adequadas ode ser razoavelmene simles reirar amosras de ( ( ) y ( )... ( k) ) ( ( ) ( ) ( 3)... ( k) ) ( y ) reduzida ( i) ( i) ( ) y... ( ) ( )... k y ( k) ou de forma. Chamamos essas disribuições de disribuições condicionais comleas. Podemos descrever o rocesso de amosragem de Gibbs da seguine maneira: ( ) ( ) ( ) =( ( ) ( )) ( j) ( j) ( y... ( k) ). ( j) ( j) ( j) ( y ( 3)... ( k) ). ( j) ( j) ( j) ( j) ( ). Escolher os valores iniciais dos arâmeros... k. j. Tome uma amosra aleaória ( ) de ( ) ( ) j 3. Tome uma amosra aleaória ( ) de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j 4. Tome uma amosra aleaória ( 3) de ( 3 ) y ( ) ( ) ( 4)... ( k). M j j j j k. Tome uma amosra aleaória ( k) de ( k) y ( ) ( )... ( k). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Reia os assos de k aé a convergência (assumimos que a convergência ocorre a arir da ieração m ) 45. Aqui fica claro que essa seqüência é uma cadeia de Markov isso orque a ieração j deende dos valores da cadeia no asso j. 4 A lieraura aresena algumas maneiras de deerminar convergência. Podemos seará-las em dois gruos: méodos eóricos e emíricos. Rober (995) e Cowles e Carlin (996) fazem uma revisão das duas verenes. Basicamene os méodos eóricos enam medir disâncias e esabelecer froneiras aravés das funções de disribuição geradas elas cadeias. Já os méodos emíricos são consruídos aravés de algumas esaísicas baseadas nas simulações. Devido a dificuldade de alicação em modelos ráicos dos méodos eóricos esse rabalho irá uilizar aenas o méodo emírico. 5 O eríodo aé a convergência é conhecido na lieraura como burn-in. 3

24 Exisem alguns méodos ara ober uma amosra de amanho n a arir da cadeia aresenada. Uma maneira é rodar n cadeias aé a convergência e reirar um único elemeno de cada cadeia. Dessa forma eremos mn gerações da cadeia ara esse caso é fácil ober indeendência aenas devemos definir valores iniciais diferenes e com grande disersão ara comuacionalmene. ( ). Conudo fica claro que essa maneira é muio cusosa Uma alernaiva é rodar aenas uma cadeia e reirar n elemenos seguidos dessa cadeia aós convergência. Esse rocesso requer m+ n gerações da cadeia. Um ossível roblema com essa forma é o fao de a amosra er deendência devido à deendência da cadeia. Teoremas ergódicos garanem que a inferência baseada numa amosra como essa ainda é válida orém se a amosra não for muio grande e se a auocorrelação da cadeia for muio ala algumas regiões serão subreresenadas na amosra. Uma forma de conornar o roblema da deendência é omar elemenos dessa cadeia a cada ierações aós o eríodo de burn-in à medida que cresce os valores ficam menos correlacionados e virualmene indeendenes. Aqui emos m+ n gerações da cadeia. Ainda odemos rodar l cadeias indeendenes 6 e reirar uma amosra cadeia aós o burn-in. Esse rocesso necessia de n de cada l lm+ n gerações da cadeia. Assim como foi dio aneriormene odemos exrair os elemenos de cada cadeia a cada ierações aós o eríodo de burn-in. Nesse caso emos lm+ n gerações da cadeia. A róxima seção aresena o algorimo conhecido como Meroolis-Hasings. 3.6 METROPOLIS-HASTINGS Se alguma das disribuições condicionais comleas não em forma fechada é ossível uilizar o algorimo de Meroolis-Hasings rooso or Meroolis e al. (953) e Hasings (97). O algorimo em os seguines assos.. Escolha o valor inicial ( ). 6 Geralmene escolhemos um número equeno ara l or exemlo menor que dez. 4

25 ( j) ( ( ; ). Reire da densidade candidaa geradora q. 3. Calcule a robabilidade de aceiação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = y = q ; = ( j) ( j) ( j) α ( ; ) e = ( j) ( j) ( ) ( = ) ( = ) ; y q ; = min ( j) j j α = ( ) 4. Defina j = com robabilidade ( j) ( ) α ;.. com robabilidade Reia os assos de 4 aé a convergência. Vale noar que assim como o amosrador de Gibbs o algorimo de Meroolis-Hasings é um méodo de MCMC. Isso orque o candidao é reirado da variável aleaória em que a densidade deende de ( j). Devemos regisrar que odemos uilizar o algorimo de Meroolis-Hasings como um asso denro do amosrador de Gibbs. Claramene a densidade candidaa geradora não é igual à oseriori. Para que não aconeça o roblema de reirar a amosra de um esaço aramérico errado o algorimo corrige isso aravés da robabilidade de aceiação. Isso orque a robabilidade será maior nas áreas onde a robabilidade da oseriori for maior e menor nas áreas onde a robabilidade da oseriori for menor. Ou seja se ( j) esá numa área de baixa ( j) robabilidade da oseriori o algorimo ende a se mover raidamene de or ouro ( j) lado se esá numa área de ala robabilidade da oseriori o algorimo ende a ficar ( j) em. Porém devemos er aenção ara a escolha da densidade candidaa geradora. A lieraura nessa área não é conclusiva robabilidades de aceiação muio baixas vão fazer a cadeia se mexer ouco o que ode levar a cadeia a visiar ouco regiões de ala robabilidade. Por ouro lado robabilidades de aceiação muio alas fazem a cadeia se mexer muio o que ode levar a cadeia a visiar muias vezes regiões de baixa robabilidade. Nese rabalho seguiremos a idéia de Benne Racine-Poon e Wakefield (995) que consideram óimas robabilidades de aceiação em orno de % e 5%. Deve ficar claro que o rocesso de obenção de uma amosra de amanho n no algorimo de Meroolis-Hasings é idênico ao ciado na seção anerior. A róxima seção raa das bases da esaísica esacial. 5

26 3.7 ESTATÍSTICA ESPACIAL O ramo esaísica esacial esuda dados que ossuem coordenadas geográficas. Aqui o conjuno de índices do esaço erá mais de um elemeno além disso a referência geográfica deve ser usada exliciamene no modelo. O uso de referência geográfica arece fazer basane senido ois é inuiivo ensar que duas regiões muio róximas são correlacionadas e essa correlação deve ser menor quano mais disane as regiões forem umas das ouras. É imorane desacar os diferenes ios de dados esaciais emos: dados de rocessos onuais dados de suerfícies aleaórias dados de ineração esacial e dados de área. Dados de rocessos onuais são dados onde o conjuno de coordenadas geográficas reresena as localizações exaas dos evenos (or exemlo: as residências que foram invadidas or ladrões) aqui o que é aleaório é a localização do eveno no maa. Problemas como: saber se exise alguma aglomeração nos casos ou se esar róximo a uma fone (or exemlo favelas) aumena o risco de ocorrências do eveno são íicos de esudo de dados de rocessos onuais. Dados de suerfície aleaória aqui considera-se a suerfície do eveno como aleaória. Esa caegoria comreende o esudo da geoesaísica eremos n esações de colea de dados (acidez do solo emeraura do solo H da água ec.) em localizações fixas. Ese io de esudo ode er como objeivo rever a caracerísica de uma suerfície não moniorada ou escolher uma localização ara sediar uma róxima esação de colea de dados. É imorane ressalar que ao conrario dos dados de rocessos onuais o rocesso que gerou o osicionameno dos dados no maa não é de ineresse. Dados de ineração social: há ares ordenados de esações fixas onde um elemeno do ar é considerado a origem e o ouro é o desino e um fluxo rafega enre os ares. Dados comuns nessa caegoria são fluxo de elefonemas enre orres de caação fluxo migraório fluxo de assageiros enre cidades ec. Um 6

27 esudo comum ara ese io de dado é verificar quais caracerísicas das esações (amanho disância PIB ec.) deerminam o volume de fluxo enre esações. Dados de área: são dados que reresenam uma agregação em deerminado esaço de um maa. Assim o dado não esá associado a uma osição esecifica e sim a oda a área em quesão. Aqui as áreas são aricionadas de acordo com uma divisão olíica (coninenes aíses esados cidades ec.) ou caracerísicas das regiões (zonas climáicas culurais econômicas ec.). Nese rabalho esaremos rabalhando com dados de área ois emos índices de criminalidade ara cada cidade da região merooliana de São Paulo. Como mencionado aneriormene a referência geográfica deve ser usada exliciamene no modelo assim devemos de alguma forma raduzir o maa ara uma linguagem acessível ao modelo. A forma mais comum de se raduzir o maa ara o modelo é aravés da mariz de esos esaciais essa mariz geralmene é quadrada de dimensão n n (onde n é o número de regiões) e denoada or W a qual mede a roximidade geográfica ou esruura de vizinhaça enre regiões. Tal roximidade enre as regiões i e j será medida elo elemeno w ij. Exisem diversas maneiras de medir a roximidade de uma região: odemos considerar w ij como a disância enre os cenros da região i e j ainda ode-se ensar em w ij como sendo roorcional ao fluxo de essoas que residem em i e rabalham em j ou o mais comum omando o elemeno w = ara regiões que não fazem froneira e w ij = k ara regiões que fazem froneira 7. No modelo uilizado nese rabalho a mariz W vai enrar no erro da equação de medida. O róximo caíulo que raará do modelo mosra como nossa mariz de esos esaciais é consruída. ij 7 Esa esruura de vizinhança é comumene chamada de vizinhança de rimeira ordem. 7

28 4 O MODELO 4. MODELO POLINOMIAL DE PRIMEIRA ORDEM Vamos uilizar o modelo olinomial de rimeira ordem rooso or Rojas (4). Esse modelo é uma generalização do modelo linear dinâmico de Wes e Harrison (997) com erros nas equações de observação e sisema seguindo camos aleaórios Markovianos Gaussianos (CAMG). Consideramos que emos n regiões indexadas elos ineiros... n formando uma grade denro de uma área de ineresse e T observações ara o emo (... T ). Para cada emo e região s observamos a variável de ineresse =...T. Assim denoando y... y como ( ) y n o modelo fica: y s s =... n y = = + ε + ω ε ω ~ N ( σ I n) ( W ) ~ CAMG (3.) (3.) onde ε... ε T e T ω... ω os erros da equação de observação e sisemas resecivamene e são indeendenes; é o rocesso esaço-emoral não-observado (essa variável laene irá coner o efeio de odas as variáveis que afeam criminalidade como: robabilidade de areensão robabilidade de condenação severidade da ena desigualdade de renda ec.); + reraa a evolução do rocesso não-observado no emo noe que caso o modelo é inegrado de rimeira ordem se esiver no inervalo (- ) o modelo é esacionário; e σ reresena a variância dos erros da equação de observação noe que esamos considerando que os erros da equação de observação são indeendenes. A mariz W desemenha o ael de descrever a deendência esacial (ineração social) do sisema. Anes de coninuar devemos definir a esruura de vizinhança do sisema. Desse modo definimos { l : l é vizinho de k} N k = como o conjuno de vizinhança N k de uma = 8

29 região k. Nese rabalho será considerada vizinha qualquer região que fizer froneira com a região k. Definimos um camo aleaório Markoviano Gaussiano da seguine forma cada região ossui um conjuno de regiões vizinhas e ara cada região k a disribuição condicional de z k dado z s em k z k (o conjuno de odos os z exceo o k-ésimo) deende só dos N ou seja ( z z ) = ( z z l N ) k k k l k. Pode-se definir a esruura de correlação de um camo aleaório Markoviano Gaussiano como κ M = Σ onde κ é um arâmero de escala ao invés da mariz de covariâncias Σ. Assim definimos a mariz M de dimensão ( n n) como ( M ) mk = g k l kl k = l k N l caso conrário (3.3) onde g kl > é uma medida de similaridade enre as regiões k e l e m = k g kl l N k. Aqui sem erda de generalidade consideramos g =. kl Porém com a consrução roosa a mariz M é singular dessa forma a disribuição conjuna de z não é rória. Como recisaremos de densidades bem definidas uilizaremos uma mariz de recisão W = κ( αi + M) n onde κ é um arâmero de escala α > é um arâmero que caa o grau de correlação esacial e I n é a mariz idenidade de dimensão ( n n). Dese modo esamos inserindo α à diagonal rincial de M ornando W uma mariz diagonal dominane esria 8 logo W assa a ser osiiva definida. Caso o valor de α seja equeno a correlação esacial enre as regiões é ala se α aumena a correlação esacial enre as regiões cai. 8 Uma Mariz A é dia diagonal dominane se a ii i a j ij ara odo i. Quando odas as inequações são esrias chamamos a mariz de diagonal dominane esria. Pode-se rovar que uma mariz diagonal dominane esria é não singular e se odos os elemenos da diagonal rincial são osiivos a mariz será osiiva definida. Para mais informações sobre marizes diagonal dominane ver Golub e Van Loan (996). 9

30 Fica claro que a variável de ineresse ara esar a ineração social nos índices de criminalidade é o α quano menor ese arâmero maior a ineração social do índice em quesão. Assim como ambém é claro que reraa a correlação emoral da média do índice de criminalidade. 4. ESTIMAÇÃO A esimação do veor de esados será feia via filro de Kalman e algorimo Forward Filering Backward Samling (FFBS) já as esimações do arâmeros ( α κ σ ) e de será feia aravés dos algorimos MCMC: amosrador de Gibbs e Meroolis-Hasings. Devemos começar definindo as rioris. 4.. Prioris Iremos uilizar as mesmas disribuições a riori roosas or Rojas (4). Uma gama inversa ara σ n ~ n σ GI s com hierarâmeros n e s conhecidos. segue uma uniforme enre - e ~ U( ). Para α e κ uilizamos a riori de referência de Ferreira e Oliveira (4) n n ( α κ) κ ( n) ( λi + α) ( λi + α) onde λ i i= i= i =... n são os auovalores da mariz M de vizinhança ais que λ λ... λ. Fica n = claro na riori ara α e κ que α e κ são indeendenes a riori. A disribuição a riori de é ( α κ) = CAMG( ( ) ) W assumindo esacionariedade emoral. Como a disribuição conjuna a oseriori é roorcional à verossimilhança vezes a riori eremos a seguine disribuição a oseriori 3

31 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α κ σ κ α κ α σ κ α σ D T T T :T y = =. As róximas subseções irão raar das equações do filro de Kalman FFBS e das condicionais comleas ara cada arâmero de ineresse. 4.. Filro de Kalman e FFBS As equações do filro de Kalman ficam conforme a seguir ara esse modelo: A disribuição de a riori em é ( ) ( ) R m ~ N D onde W C R + =. A disribuição da revisão um asso a frene é ( ) ( ) Q m y ~ N D onde n I R Q +σ =. A disribuição a oseriori em é ( ) ( ) C m ~ N D onde ( ) y Q R m + = e ( ) = Q R Q Q R R C. Já as equações do algorimo FFBS são consruídas a arir da equação ( ).4 3 ( ) ( ) + + = j j j V T C W D κ α σ ( ) ( ) ( )( ) = j j j j j j j V E W m C D D T T κ α σ κ α σ 4..3 Condicionais Comleas ( Veor de esados ) Para ober a condicional comlea de combinamos os ermos de ( ).4 3 que deendem de. Assim ( ) 3.4

32 ( α κ) ( α κ) ( α κ) ( ) ( ) α κ ex W W ( α κ) ~ ( W) N. Como a condicional comlea de é conhecida (normal mulivariada com veor de médias e mariz de variância-covariância W ) a simulação desse arâmero será feia via amosrador de Gibbs σ ( Variância da equação de medida ) A condicional comlea de σ se dá mulilicando os ermos de (.4) 3 que deendem de σ. T ( ) ( ) ( ) ( ) n + n s σ σ :T DT y D σ ex = σ ( ) ( ) ( nt+ n ) σ D σ T :T T σ = ( + ) ex ns + ( y ) ( ) y ( ) σ σ σ : T D T ~ GI a b onde a = nt + n e b = n s + ( ) ( ) σ y y σ T =. Também ara σ uilizaremos o amosrador de Gibbs ara a simulação uma vez que a condicional comlea é conhecida (gama inversa) ( Correlação emoral ) Volamos à equação ( 3.4) e combinamos os ermos que deendem de ara ober 3

33 T :T = ( α κ) ( α κ ) ( α κ ) ( ) ( ) T T n ( :T α κ) ex W W ( ) ( )( ) = = 9. Como não conhecemos esa disribuição alicamos o algorimo de Meroolis- Hasings ara simulação desse arâmero. Denominando como o valor de rooso em cada asso do algorimo e ( j) escolhemos como disribuição roosa com variância o valor de em j (anerior ao asso aual) ( j) ( q( ) uma normal runcada enre e T T υ W e média m = W = = = odemos reescrever a condicional comlea de da seguine forma: υ. Dessa forma n ( α κ) NTr( )( m υ )( ). :T Assim emos a seguine robabilidade de aceiação α ( j) ( ) min ( j) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :T α κ q j j :T α κ q ; = n ( ) ( ( ) ) ( j) ( ) ( ) = min ( j) α. ; n Teremos ( j) = com robabilidade ( j) ( ) α ;. ( j) ( ) α ; e ( j) ( j) = com robabilidade 9 reresena a função indicadora igual a se e igual a caso conrário. ( )( ) 33

34 κ ( Parâmero de escala ) A condicional comlea de κ é obida aravés dos ermos de ( ).4 3 que deendem do arâmero de escala. ( ) ( ) ( ) ( ) κ κ α κ α α κ T :T = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = + n n :T I M I M α α κ κ α κ ex T n nt ( ) ~ κ κ α κ b a G :T onde ( ) + = T n a κ e ( ) ( )( ) ( ) ( ) n n I M I M α α κ = = T b. A disribuição da condicional comlea de κ é uma gama (conhecida) assim ara o arâmero de escala uilizaremos o amosrador de Gibbs ara simulação α ( Correlação esacial ) Finalmene emos a seguine condicional comlea ara α combinando os ermos de ( ).4 3 que deendem desse arâmero. ( ) ( ) ( ) ( ) α κ α κ α κ α T :T = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ex = = = + = n i n i i i T T n i i n α λ α λ ακ α λ κ α :T

35 Assim como ara vamos uilizar o algorimo de Meroolis-Hasings ara simular α uma vez que não conhecemos a disribuição acima. Escolhemos como ( j ) ( ) disribuição roosa o valor absoluo de uma normal do seguine io N α α onde α é escolhido a fim de ober axas de aceiação adequadas. Aqui escolhemos uma roosa diferene da escolhida or Rojas (4) esa roosa arece melhorar a esimação do modelo rincialmene quando escolhemos valores inicias disanes dos valores verdadeiros. Com isso a robabilidade de aceiação de α fica: α ( j) ( α α ) min ( j) ( α ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :T κ qα α j j α :T κ qα α ; =. ( j) ( j) ( α α ) Aceiamos α = α com robabilidade α ; ( j) ( α α ) α ;. e ( j) ( j) α = α com robabilidade A seguir aresenamos alguns esudos simulados ara esar a caacidade de esimação do modelo aresenado. 35

36 5 SIMULAÇÕES DE MONTE CARLO Geramos dois conjunos de dados com o modelo aresenado aneriormene. Os dois conjunos êm o mesmo número de regiões (i.e. 39 ) e os mesmos valores ara α κ e σ. A única diferença enre um gruo e ouro é o número de observações ao longo do emo emo: ara o rimeiro emos T = 7 enquano no segundo emos T =. Assim enaremos disinguir o comorameno do rocesso de esimação ara T equeno (mesmo amanho do conjuno de dados reais analisados oseriormene a saber T = 7 ) e T grande na esimação do modelo. Os valores escolhidos ara cada arâmero foram: = 5 ; α = 3 ; κ = 7 e σ = 7. Tais valores êm um significado esecial eses são os valores simulados das modas a oseriori ara o índice de furo na região merooliana de São Paulo elo modelo em quesão. Geramos 5 relicações (5 conjunos de dados) com ierações MCMC ara esimação de cada conjuno. A cada esimação guardamos os valores ara a média e moda a oseriori e desvio adrão dos valores simulados ara os arâmeros de ineresse. Os valores iniciais ara os arâmeros foram semre (em odas relicações) os seguines: = ; α = 7 ; κ = 5 e σ = 5 ou seja relaivamene longe dos valores verdadeiros. Em ambos os casos noamos visualmene que a convergência foi aingida em orno da ieração. De maneira conservadora uilizamos aenas as úlimas 5 ierações ou seja consideramos que a arir da ieração 5 a cadeia converge. Para conornar o roblema de deendência da cadeia reiramos elemenos dessa cadeia a cada 5 ierações aós o eríodo de convergência esabelecido ( 5 ) o que nos deixa com uma amosra de observações ara cada arâmero. As abelas 5. e 5. mosram os valores mínimos e máximos média e desvio adrão das modas e médias a oseriori dos arâmeros esimados ara T = 7. E as abelas Todos os rogramas ara simular e esimar o modelo foram escrios em R elo auor. Para ober o rograma comleo enrar em conao com o auor aravés do magazzano@gmail.com. A mariz M ara ambos os casos foi consruída com base na esruura de vizinhança da região merooliana de São Paulo. 36

37 5.3 e 5. 4 mosram os valores mínimos e máximos média e desvio adrão das modas e médias a oseriori dos arâmeros esimados ara T =. Já as figuras 5. e 5. mosram os gráficos das ierações e o hisograma das disribuições marginais a oseriori ara T = 7 e T = resecivamene ara uma reeição escolhida ao acaso. Tabela 5.: Valores mínimo e máximo média e desvio adrão das modas a oseriori dos arâmeros ara T = 7 (enre arêneses esá o valor verdadeiro dos arâmeros). ( 5) α ( 3) κ ( 7) σ ( 7) Mínimo Máximo Média Desvio Padrão Fone: Elaborada elo auor. Tabela 5.: Valores mínimo e máximo média e desvio adrão das médias a oseriori dos arâmeros ara T = 7 (enre arêneses esá o valor verdadeiro dos arâmeros). ( 5) α ( 3) κ ( 7) σ ( 7) Mínimo Máximo Média Desvio Padrão Fone: Elaborada elo auor. Tabela 5.3: Valores mínimo e máximo média e desvio adrão das modas a oseriori dos arâmeros ara T = (enre arêneses esá o valor verdadeiro dos arâmeros) ( 5) α ( ) κ ( ) σ ( ) Mínimo Máximo Média Desvio Padrão Fone: Elaborada elo auor. Tabela 5.4: Valores mínimo e máximo média e desvio adrão das médias a oseriori dos arâmeros ara T = (enre arêneses esá o valor verdadeiro dos arâmeros) ( 5) α ( ) κ ( ) σ ( ) Mínimo Máximo Média Desvio Padrão Fone: Elaborada elo auor. 37

38 Como era de se eserar quano maior o número de observações melhor é a esimação. Analisando as abelas 5. e 5. ercebemos que o único arâmero em que o valor verdadeiro esá denro dos valores máximo e mínimo das modas e médias a oseriori é o κ. Porém a Figura 5. mosra que a disribuição a oseriori dá alguma robabilidade ara o valor verdadeiro dos arâmeros. Noe que a disribuição a oseriori ara varia de algo em orno de e 6 enquano o verdadeiro valor desse arâmero é 56 e isso vale ara odos os arâmeros em quesão. Figura 5.: Gráficos das ierações e o hisograma das disribuições marginais a oseriori ara T = 7. Fone: Elaborada elo auor. 38