UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CURSO DE ESTATÍSTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA DEPARAMENO DE ESAÍSICA CURSO DE ESAÍSICA Isabela Abreu Curim Uma Revisão de Modelos Lineares Dinâmicos Juiz de Fora 2014

2 Isabela Abreu Curim Uma Revisão de Modelos Lineares Dinâmicos Monografia apresenada ao curso de Esaísica da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisio para a obenção do grau de Bacharel em Esaísica Orienador: Joaquim Henriques Vianna Neo Douor em Esaísica UFRJ Juiz de Fora

3 Isabela Abreu Curim Uma Revisão de Modelos Lineares Dinâmicos Monografia apresenada ao curso de Esaísica da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisio para a obenção do grau de Bacharel em Esaísica Aprovada em 14 de julho de 2014 BANCA EXAMINADORA Joaquim Henriques Vianna Neo (Orienador) Douor em Esaísica UFRJ Auguso Carvalho de Souza Mesre em Esudos Populacionais e Pesquisas Sociais - ENCE Alfredo Chaoubah Douor em Engenharia Elérica PUC-Rio 3

4 Agradecimenos Agradeço à minha mãe Eliana, que sem ela nada diso seria possível, que ininerrupamene me deu base e apoio Agradeço à minha irmã Isadora, que sempre dividiu, não só, o venre e o colo da mãe, mas como udo nessa vida, alegrias, medos e conquisas Agradeço à Pedrina e à Nilza pela preocupação e carinho Agradeço ao Joaquim pela orienação e paciência Agradeço aos amigos Camila, Carolina, Víor, Anna e Franciele, por erem começado essa jornada ao meu lado, pelas dúvidas divididas e por poder aprender e ensinar junos Agradeço à minha nova urma, com a qual cursei meus dois úlimos anos, pelo ânimo renovado E por fim, agradeço ao meu marido e companheiro Pedro, por me animar e nunca me deixar desisir e por dividir a vida comigo 4

5 Resumo A modelagem dinâmica é uma proposa de análise e previsão de séries emporais do pono de visa Bayesiano Ese rabalho de conclusão de curso em como objeivo apresenar os Modelos Lineares Dinâmicos (MLD), seu uso e conexo de aplicação São mosradas e demonsradas propriedades dos MLDs, como o Filro de Kalman, a suavização, a previsão um passo à frene e, ambém, k passos à frene São revisados méodos de Mone Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) em algorimos recursivos usados para esimar parâmeros, são eles: amosrador de Gibbs, Meropolis-Hasings e FFBS Palavras-chave: Modelos Lineares Dinâmicos, MLD, Séries emporais, Filro de Kalman, Suavização, Previsão, Inferência Bayesiana, Amosrador de Gibbs, Meropolis-Hasings, FFBS 5

6 Absrac he sae space models are a proposal for ime series analysis and forecasing in viewpoin Bayesian his course conclusion work aims o presen he Dynamics Linear Models (DLM), is use and applicaion conex DLM s properies are shown and demonsraed, like Kalman filer, he smoohing, he forecasing one-sep-ahead and so he forecasing k seps ahead Markov chain Mone Carlo mehods (MCMC) are reviewed in recursive algorihms used o esimae parameers, hey are: Gibbs sampler, Meropolis- Hasings e FFBS Keywords: Dynamics Linear Models, DLM, ime Series, Kalman Filer, Smoohing, Forecasing, Bayesian Inference, Gibbs Sampler, Meropolis-Hasings, FFBS 6

7 Sumário 1 Inrodução Modelos Dinâmicos Modelos Lineares Dinâmicos Exemplos de Modelos Lineares Dinâmicos Passeio aleaório mais ruído Modelo de crescimeno linear Modelo de Regressão Linear Um MLD que generaliza um Modelo de Regressão Linear Filro de Kalman Filro de Kalman para MDG Filro de Kalman para MLD Suavização Suavização Recursiva para MDG Suavizador de Kalman Previsão k Passos à Frene Recursão Prediiva para MDG Recursão Prediiva para MLD Checagem do Modelo 30 3 Modelos com componenes desconhecidas Faor de Descono Méodos de Mone Carlo via Cadeias de Markov Amosrador de Gibbs Meropolis-Hasings Amosrador de Gibbs para MLD FFBS 39 4 Conclusão 41 Referências bibliográficas 42 7

8 Capíulo 1 Inrodução No princípio da década de 60, na engenharia, que se iniciou a Modelagem Dinâmica, ambém conhecida como modelos de espaço de esados, primeiramene com Kalman (1960) aravés de um novo pono de visa e poseriormene pela solução enconrada por Kalman e Bucy (1963), nomeada Filro de Kalman Porém, esas descoberas só foram uilizadas por esaísicos cerca de dez anos depois (PERIS e al 2009) e, a parir de enão, o ineresse e o uso de Modelos Dinâmicos na análise de séries emporais vem crescendo consideravelmene Modelos Dinâmicos proporcionam a modelagem de uma série emporal usando a combinação de diversas componenes, como endência, sazonalidade e componene regressiva Ao mesmo empo, êm uma elegane e poderosa esruura probabilísica que evolui ao longo do empo, garanindo aos modelos flexibilidade e aplicabilidade em uma ampla variedade de problemas nas mais diversas áreas de conhecimeno Os modelos dinâmicos consideram uma série afeada pelo empo, aravés de deformações dinâmicas e aleaórias Eles seguem a inerpreação naural das séries emporais combinando componenes sazonais ou regressivos E ao mesmo empo, com uma esruura probabilísica robusa, oferecendo um sisema flexível com inúmeras aplicações Os problemas de esimação e inferência são resolvidos por algorimos recursivos, que seguem nauralmene o enfoque Bayesiano Os modelos de espaço de esados podem ser usados em séries emporais univariadas ou mulivariadas, ambém na presença de mudanças esruurais não esacionárias e padrões irregulares Ao se deparar com uma série basane previsível, onde seu comporameno repee ao longo do empo, segue uma endência e possui um componene sazonal bem regular, como a série exibida na Figura 11, um modelo simples considerando a endência e a sazonalidade, seria saisfaório De fao, uma análise de série emporal básica depende da possibilidade de enconrar uma regularidade razoável no comporameno do fenômeno esudado, prevendo assim o comporameno fuuro No enano, em séries emporais onde claramene há uma mudança na sazonalidade e/ou do nível, como as séries exibidas nas Figuras 12 e 13, respecivamene, senimos a necessidade de modelos mais flexíveis, que não assumam um padrão regular nem um sisema esável, mas que se ajusem bem aos dados, conemplando possíveis insabilidades no nível ou na variância, ponos de mudança, desvios esruurais ou 8

9 Figura 11 1 Despesa familiar em comida, do 1º rimesre de 1996 ao 4º de 2005 Figura Consumo de gás no Reino Unido, do 1º rimesre de 1960 ao 4º de 1986 Figura 13 3 Medidas anuais do nível do rio Nilo em Ashwam, de 1871 a 1970 salos repeninos Os modelos de espaço de esados possuem esa flexibilidade e podem ser aplicados, por exemplo, a séries não esacionárias, como a exibida na Figura 14, sem a necessidade de qualquer ransformação preliminar dos dados 1 PERIS e al, PERIS e al, PERIS e al,

10 Figura Preço diário do Google Inc Os problemas de esimação e previsão na modelagem dinâmica são resolvidos por algorimos recursivos, calculando as disribuições condicionais das quanidades de ineresse dadas as informações observadas Nese senido, eses modelos são nauralmene raados seguindo o paradigma Bayesiano O objeivo dese rabalho é fazer uma revisão de uma classe específica de modelos dinâmicos, chamada de Modelos Lineares Dinâmicos (MLD), que assumem uma suposição de normalidade da variável dependene e das suas perurbações raaremos, no capíulo 2, de apresenar e demonsrar a modelagem maemaicamene e como ela nos possibilia passear enre os dados e incorporar os evenos aleaórios associados à passagem do empo Sem nos aprofundarmos, faremos ambém uma breve apresenação dos Modelos Dinâmicos Generalizados (MDG), que são uma exensão dos MLD, porém sem a suposição de normalidade No capíulo 3, apresenaremos écnicas e algorimos recursivos para o caso dos MLD com parâmeros desconhecidos, com os quais, geralmene, nos deparamos Por fim, no capíulo 4, apresenaremos as conclusões 4 PERIS e al,

11 Capíulo 2 21 Modelos Dinâmicos em Formalmene, um modelo dinâmico é formado por uma série emporal em 0 p e uma série emporal em 1 Y em n, que saisfaz as seguines suposições: é uma cadeia de Markov, ou seja, 0 Condicionado a 0 f,, f para 1 (21), os Y são independenes e Y depende somene de, ou seja, f y,, y,,, f y,,, f y, para i 0 1 i i i1 i1 Como consequência de (21), usando o eorema da muliplicação, emos que f 1,, f 1 f 0, para 1 (23) i1 (22) Agora, como consequência de (22) e (23), o modelo espaço de esado é compleamene especificado pela disribuição f 0 e pelas disribuições condicionais 1 f y para 1 De fao, pelo eorema da muliplicação, para 1 abaixo 0,,, 1,, 1,, 0,, 0,, pela equação 22 f y y f y y f f y f i1 pela equação 23,, 0 f y f 1 f 0 i1 i1 f e O fluxo de informação assumido pelo modelo espaço de esado é represenado na figura Y1 Y2 Y 1 Y Y 1 11

12 22 Modelos Lineares Dinâmicos Uma classe específica de modelos dinâmicos é a de modelos de espaço de esados Gaussianos e lineares, mais conhecidos como Modelos Lineares Dinâmicos (MLD) Um MLD é especificado por uma disribuição a priori normal para o veor de esados no insane zero, ~ N m ; C, Junamene com um par de equações para cada empo 1: Equação das observações: Equação do sisema: o o o de esado; o o Sendo, para 1, Y F v, onde v N 0; V, (24) G 1 w, onde w N 0; W (25) é um veor p-dimensional denominado parâmero de esado do modelo dinâmico; F é uma mariz de regressão n p, cujos elemenos são valores conhecidos; G é uma mariz p p conhecida que descreve a evolução emporal dos parâmeros V é uma mariz de covariância n n conhecida associada ao erro observacional v ; W é uma mariz de covariância p p conhecida associada ao erro de evolução dos parâmeros de esado w Considerando 1, 2,, as equações (24) e (25) podem ser reescrias da seguine forma, respecivamene: Equação das observações: Equação do sisema: Y N F ; V e N G ; W 1 1 A suposição de normalidade é sensível em muias aplicações e pode ser jusificada por argumenos que uilizem o eorema do Limie Cenral No enano, exisem exensões imporanes, como erros de caudas pesadas para modelar ouliers ou os modelos dinâmicos generalizados, usados denre ouras aplicações para raar séries emporais discreas O preço a 12

13 ser pago ao remover a suposição de normalidade é aumenar a dificuldade compuacional (PERIS e al 2009) 23 Exemplos de Modelos Lineares Dinâmicos Vamos apresenar agora alguns exemplos de MLD Nosso objeivo é ilusrar como a esruura descria em (24) e (25) pode caracerizar uma grande variedade de modelos 231 Passeio aleaório mais ruído O modelo mais simples para uma série emporal univariada é o passeio aleaório mais ruído, definido por Repare que ese é um MLD com: o n p 1, para 1, o o F G 1 para 1, o V o W V para 1 e W para 1 Y v, onde v N 0; V e 1 w, onde w N 0; W Inuiivamene, ese modelo é apropriado para séries emporais que não possuem variação de endência ou sazonalidade O modelo assume que as observações provém de um ruído mais um nível que, por sua vez, esá sujeio a perurbações aleaórias ao longo do empo Ese modelo é ambém chamado de modelo de nível local Repare ainda que se W for aproximadamene zero, emos aproximadamene um modelo normal de média e variância consanes Com o inuio de exemplificar, apresenaremos nas Figuras 21 e 22 o comporameno dese modelo Os dados dese exemplo correspondem às vendas mensais de uma bala (SALES), de janeiro de 1976 a novembro de 1981, do arquivo CANDYDA do pacoe BAS, no programa R, realizado por Migon e Gamerman (2004) 13

14 Figura Esimaiva do nível uilizando o modelo passeio aleaório mais ruído Figura Esimaiva das vendas uilizando o modelo passeio aleaório mais ruído 232 Modelo de crescimeno linear Um modelo um pouco mais elaborado é o modelo de crescimeno linear, ou modelo de endência linear local, que em a mesma equação de observação do modelo de nível local, mas 5 MIGON & GAMERMAN, MIGON & GAMERMAN,

15 considera, na esruura dinâmica de longo do empo: Repare que ese é um MLD com: o n 1, o p 2,, um incremeno (inclinação do nível) que varia ao Y v, v N 0, V, w,1, w,1 N 0,, 2 1 w,2, w,2 N 0, o o o F 1 0 V para 1, para 1, V para 1 e o o 1 1 G 0 1 w,1 w w,2 para 1, o W para 1 2 Vale observar que para próximo de zero, emos aproximadamene um modelo com incremeno consane ao longo do empo Noe que nese exemplo, as marizes F, G e as marizes de covariâncias V e consanes ao longo do empo Neses casos, o modelo é dio invariane no empo Observe nas Figuras 23 e 22, como ese modelo se adéqua melhor às observações W são 24 Modelo de Regressão Linear Como foi inroduzido aneriormene, os modelos lineares dinâmicos pressupõem normalidade, o que nos possibilia fazer uma comparação inicial com o modelos de regressão linear simples ou múlipla 15

16 Figura Esimaiva do nível uilizando o modelo de crescimeno linear Figura Esimaiva das vendas uilizando o modelo de crescimeno linear Y 1 Em um Modelo de Regressão Linear Simples (MRLS) emos um processo esocásico, onde Y, geralmene denominada variável resposa, é descrio por Y x v, MIGON & GAMERMAN, MIGON & GAMERMAN,

17 onde 2 v é um erro aleaório não observado com disribuição 0, N Em ouras palavras, Y é descrio pela soma de uma componene deerminísica x e uma componene aleaória 0 1 v, sendo a deerminísica função linear de uma quanidade regressora x Já a componene aleaória represena os inúmeros faores que, conjunamene podem inerferir em Y A diferença para o Modelo de Regressão Linear Múlipla (MRLM) é que podemos expressar o valor esperado de Y como função de várias variáveis regressoras (CHARNE e al, 2008) O modelo de regressão múlipla pode ser dado da forma: onde 2 v é o erro e em disribuição 0, Y x x v, 0 1,1 q, q N, o modelo ambém pode ser descrio de forma compaca e maricial: Y F v, 0 1 onde F 1 x,1 x, q e q O coeficiene i informa, para i 1,, q, a influência da quanidade explicaiva, sobre a resposa Y Na práica, é desconhecido e pode ser esimado aravés de um conjuno 1 de observações pareadas y; x GAMERMAN, 2004), sendo y uma realização de x i Y (MIGON & 25 Um MLD que generaliza um Modelo de Regressão Linear Uma série emporal é um conjuno de observações obidas sequencialmene ao longo do empo A caracerísica mais imporane desse ipo de dados é que as observações vizinhas são dependenes Enquano nos modelos de regressão a ordem das observações é irrelevane, em séries emporais a ordem dos dados é crucial (EHLERS, 2009) Para analisar uma série Y emporal 1 podemos pensar em um MRLM Y F v, (26) 17

18 0 1 v N, F 1 x,1 x, q e q 2 onde ~ 0, No enano, no modelo (26) a esruura de evolução emporal é esáica Já em um MLD admie uma evolução ao longo do empo e, assim, a forma do modelo em a possibilidade de mudar A parir de (26), o modelo dinâmico pode ser apresenado, como uma exensão do modelo de regressão: Y F v, para 1, (27) A diferença enre as equações (26) e (27) é a indexação do parâmero, que passa a evoluir emporalmene, como as variáveis e o ruído, deixa de ser fixo e inalerado como na equação (26), onde 1 1 Além disso, como já vimos, em modelos lineares dinâmicos assume-se uma forma geral para relacionar ao seu anecessor 1, conhecida como equação do sisema:, com ~ 0, G 1 w Repare que se a mariz de evolução se reduz ao caso esáico da regressão linear w N W G for a mariz idenidade e W for zero, o modelo 26 Filro de Kalman Como vimos, um MLD possui parâmeros sucessivos relacionados enre si Para esimar eses parâmeros podemos usar um algorimo de filragem chamado filro de Kalman, no qual as esimaivas para o insane 1 são obidas aravés da esimaiva no insane anerior, mais uma perurbação devida às mudanças do sisema (MIGON & GAMERMAN, 2004) Há cenenas de anos, a filragem é uilizada coidianamene, por reirar impurezas, geralmene da água, pela passagem dela por uma camada capaz de reer sua sujidade Nos sisemas de comunicação sempre há ruídos que confundem a mensagem e em ermodinâmica a filragem é uilizada a fim de minimizar as imprecisões causadas por eses barulhos Em diversos sisemas de conrole, o conrole é fundamenado em medições aneriores do processo Esas medições são carregadas de vieses aleaórios devidos ao processo, que são e devem ser eliminados aravés da filragem (ANDERSON E MOORE, 1979) 18

19 Primeiramene, descreveremos os passos recursivos do Filro de Kalman para os MLDs Generalizados, mesmo não aprofundando nese ópico, mas para servir de base para depois aplicá-los para os MLDs Gaussianos 261 Filro de Kalman para MDG Nos Modelos Dinâmicos Generalizados, pode não haver a suposição de normalidade da disribuição Como já discuimos, esa generalização é requerida para modelar séries emporais discreas Se a variável resposa Y é, por exemplo, a ausência ou presença de cera caracerísica no decorrer do empo, usaríamos a disribuição de Bernoulli, ou enão, se Y é uma conagem em deerminado período de empo, modelamos pela Poisson, ec Aravés da esruura Markoviana de um modelo dinâmico, é possível chegar à priori de hoje a parir da poseriori de onem, iso é, com as úlimas informações obidas de um passado próximo pode-se conhecer o presene E o méodo Bayesiano nos possibilia, com a informação da priori de hoje, obida pela equação do sisema, chegar à poseriori de hoje Para amanhã e dias fuuros, o ciclo se repee Resumindo, nos modelos de espaço de esados, informações fuuras são relacionadas à informações passadas, formando uma esruura dependene, como represenada abaixo Y1 Y2 Y 1 Quando F, G, V, W são conhecidos, a inferência sobre os parâmeros de esado pode ser realizada, nesa subclasse de modelos, aravés de algorimos recursivos orienados pela esruura acima, como o Filro de Kalman Y Y 1 Resulado (filro recursivo): A parir das suposições (21) e (22) e considerando informação oal obida aé o insane,,, D D y y, o modelo dinâmico generalizado esabelece que: i A disribuição prediiva um passo à frene para os parâmeros de esado podem ser compuadas a parir da disribuição filrada f D , conforme f D 1 f 1 f 1 D 1 d 1

20 ii A disribuição prediiva um passo à frene para as observações podem ser compuadas pela disribuição prediiva dos esados, segundo f y D 1 f y f D 1 d iii A disribuição filrada pode ser compuada a parir das disribuições dadas acima, por f 1 f y D f y f D D A propósio esas recursões ambém mosram que f D conida em observações passadas 1 D, que são suficienes para prever resume a informação Y k, para qualquer k 0, iso é, a parir da previsão um passo à frene, emos condições de prever k passos à frene Prova: Esa demonsração esá relacionada com as propriedades de independência condicionada Para provar (i), noe que é condicionalmene independene de D 1, dado Enão, 1, f D f D d , f D f D d f f D d Para provar (ii), noe que Y é condicionalmene independene de D 1, dado Logo,, f y D f y D d 1 1 1, f y D f D d f y f D d 1 1 A pare (iii) é provada pelo eorema de Bayes e por Y ser condicionalmene independene de D 1 dado Enão: f D 1, 1 f D D 1 1 f y D f D f D D f D f y 1 20

21 262 Filro de Kalman para MLD Os resulados aneriores resolvem inicialmene os problemas de filragem e previsão, porém, em geral a compuação das disribuições condicionais relevanes não é algo rivial MLDs são um caso especial onde as recursões simplificam consideravelmene A prova é feia usando resulados da disribuição Normal mulivariada, que o veor aleaório 0 1 1,,,, Y,, Y é normalmene disribuído para qualquer 1 Sendo assim, as disribuições marginais e condicionais ambém são Gaussianas, elas são compleamene deerminadas pelas suas médias e variâncias As soluções dos problemas de filragem são resolvidas pelo renomado Filro de Kalman (PERIS e al, 2009) Enão, as previsões são feias a parir da combinação de informações obidas a priori, 1, com a equação das observações, y F v, chegando enão à chamada D disribuição prediiva, y D, na qual as previsões serão baseadas 1 O Filro de Kalman refere-se a um conjuno de procedimenos recursivos para esimação em modelos dinâmicos Considerando o MLD definido em (24) e (25) com F, G, V, W conhecidos para 1, 2, O Filro de Kalman é divido em rês eapas dependenes: evolução, previsão e aualização Considerando D informação oal obida aé o insane ser assim ilusrado:, o filro de Kalman pode D D 1 1 o o a i a o 1 D re is o Y D 1 A evolução é a passagem de D para D 1 1 Y D e aualização é a passagem de D para D 1 1, previsão é a obenção de 1 Resulado (filro de Kalman): Considerando o MLD especificado por (24) e (25), a parir da disribuição emos que: 21 D N m, C,

22 i A disribuição prediiva um passo à frene de dado D 1 é Normal, com parâmeros: a E D G m, 1 1 R Var D G C G W ' 1 1 ii A disribuição prediiva um passo à frene de Y dado D 1 é Normal, com parâmeros: iii A disribuição de filragem de dado onde e Y f é o erro de previsão f E Y D F a, 1 Q Var Y D F R F V ' 1 D é Normal, com parâmeros: m E D a R F Q e ' 1, C Var D R R F Q F R ' 1, Prova: O veor aleaório,,,, Y,, Y em disribuição conjuna, para qualquer 0, dada por f D f y f f j1, 0,, j j j j1 0 onde as disribuições marginais e condicionais são normais, logo a disribuição conjuna dada acima ambém é normalmene disribuída, para 1 Consequenemene a disribuição de qualquer subveor ambém é Gaussiana Enão a disribuição prediiva e a disribuição de filragem são odas normais, logo podemos calcular suas médias e variâncias Para provar (i), considerando D N a, R assim obidas: e, usando (25), a e 1 a E D 1 E E, D D E G Gm D 1 R Var D E Var, D D Var E, D D W G C G ' Para provar (ii), considerando Y D N f, Q assim obidas: 1, usando (24), f e R podem ser Q podem ser 22

23 e f E Y D 1 E E Y, D D E F D Fa Q Var Y D E Var Y, D D Var E Y, D D V F R F ' Provaremos, por fim (iii) A fim de calcular a disribuição de filragem no empo, emos que aplicar a fórmula de Bayes para combinar a priori f D 1 e a probabilidade f y No caso MLD, odas as disribuições são normais e o problema é o mesmo da inferência Bayesiana para o modelo linear com o parâmero regressivo Y F v, v N 0, V,, seguindo a priori Gaussiana, N a R Considerando V conhecido, emos que D N m, C, ' ' 1 onde, pelo eorema de Bayes, m m C X XC X V y Xm n e, consequenemene, m a R F Q Y Fa ' 1 ' ' Ainda pelo eorema de Bayes, 1 C C C X XC X V XC e, porano n C R R F Q F R ' 1 O filro de Kalman nos permie calcular as disribuições prediivas e filradas recursivamene, inicializando por N m, C, e enão calculando f, y procedendo recursivamene assim que novas observações se ornam disponíveis Nas Figuras 25 e 26, noe o desempenho dos modelos, apresenados nas seções 231 e 232, respecivamene, na previsão um passo à frene Onde foi uilizado o filro de Kalman e a mesma base de dados usada para gerar as Figuras 21, 22, 23 e , e 23

24 Figura Previsão um passo à frene uilizando o modelo passeio aleaório mais ruído Figura Previsão um passo à frene uilizando o modelo de crescimeno linear 27 Suavização A suavização ou análise rerospeciva é uma operação de passagem de informação para rás que usa oda a série observada para reavaliar a inferência feia durane o procedimeno sequencial Essa reavaliação é devida à uilização de observações colhidas após 9 MIGON & GAMERMAN, MIGON & GAMERMAN,

25 o período de ineresse, com mais informação, sabemos mais e dispomos de mais insrumenos para enender o que se passou (MIGON & GAMERMAN, 2004) A possibilidade de fazer esimação e previsão sequencialmene, assim que novos dados se ornam disponíveis, é um dos prós do MLD Na análise de séries emporais, em Y há um número limiado de observações, onde 1,, e o desejo é de reconsruir rerospecivamene o comporameno e a esruura desa série Nese caso, usa-se um algorimo recursivo inverso para calcular as disribuições condicionadas de dado D, para qualquer, endo como inicialização a disribuição de filragem f D e esimando rerospecivamene o hisórico dos parâmeros de esado (PERIS e al, 2009) 271 Suavização recursiva para MDG Em modelos dinâmicos generalizados, definidos por (21) e (22), as seguines afirmações susenam: i Condicionado a D, a sequência de parâmeros de esado,, 0, em probabilidades de ransição para rás, dadas por f 1 ii As disribuições suavizadas de dado 25 1 f D f f D, D seguine recursão inversa em, iniciando em f D 1 D, podem ser calculadas de acordo com a, f f D f D f D d f 1 D Prova: Para provar (i), noe que e Y 1: são condicionalmene independenes dado 1 ; além de 1 de Bayes, emos que e D serem condicionalmene independenes dado Usando o eorema 1, 1, f D f 1, D f 1 D f D f 1 f D f D f D Para provar (ii), basa enconrar a marginal de f, D 1 em relação à 1 : 1

26 , f D f D d 1 1 f 1 D f 1, D d1 f 1 f D f 1 D f 1 D f D f D d 1 1 f D f d Suavizador de Kalman Para um modelo linear dinâmico gaussiano, a suavização recursiva pode ser esabelecida mais expliciamene pelas médias e variâncias das disribuições de suavização Para o MLD, se D N s, S, enão D N s, S s m C G R s a ' ' S C C G R R S R G C, onde O suavizador de Kalman nos permie calcular as disribuições de por 1, que nese caso D N s m, S C D, começando, e enão prosseguindo inversamene para calcular as disribuições de para 2, 3,, iso é, uiliza-se odos os dados disponíveis para esimar esas disribuições Noe que a suavização recursiva depende somene dos dados obidos pela filragem e previsão um passo à frene, aravés do Filro de Kalman Prova: É baseada nas propriedades da disribuição Normal mulivariada que a disribuição condicional de variância Enão, e dado 1 dado S Var D D D é Normal, iso basa para calcular sua média e s E D E E 1, D D 1 1 Var E, D D E Var, D D Como mosrado na prova da seção 271, e Y 1: são condicionalmene independenes, de modo que f, D f, D 1 1 Pode-se usar o eorema de Bayes 26

27 para enconrar esa disribuição Noe que f, D f equação do sisema (25), logo n N G, W pode ser expressa pela A priori é f D, que é normalmene disribuída com parâmeros m, C ' ' 1 ' ' e 1 n m m C X XC X V y Xm C C C X XC X V XC, emos que ' ' 1, E D m C G G C G W G m m C G R a ' ' 1 e Var, D C C G R G C, do qual resula, endo assumido que E D s e 1 1 Var D S, ' 1 1, s E E D D m C G R s a e 1 1 S Var E, D D E Var, D D C C G R G C C G R S R G C ' 1 ' C C G R R S R G C ' Por 28 Previsão k Passos à Frene Há muias aplicações para previsões maiores, para um fuuro mais longínquo que apenas para o insane seguine Previsões socioeconômicas, por exemplo, como esará a siuação financeira do brasileiro daqui a 10 anos? Previsões com a inenção de fazer um plano governamenal não podem ser basear apenas para o dia seguine, mês, ou ano, é necessário que haja para 10, 20, 50 anos, porém, quano maior for esse espaço de empo, mais informações são perdidas e incerezas adicionadas ao modelo Para séries emporais, onde novas observações são disponibilizadas sequencialmene, a cada dia ou a cada hora, a previsão um passo à frene é naural e pode ser muio bem aplicada À medida que novos dados são incluídos no modelo, as previsões e aualizações são feias, ambém, sequencialmene Porém, quando se em Y k, ou parâmeros de esado, k 27 D e a inenção é esimar valores fuuros,, a previsão um passo à frene pode ser uma ferramena

28 para enender o comporameno do modelo As disribuições prediivas um passo à frene, dos esados e observações, no MLD, podem ser obidas aravés do Filro de Kalman, apresenado na seção 26 Dado que emos informações aé o insane, para esimar as médias e variâncias das disribuições condicionadas dos esados e das observações para um insane fuuro apresenaremos uma fórmula recursiva Pela naureza Markoviana do modelo, a disribuição de filragem, no insane, age como uma disribuição inicial de evolução fuura do modelo Iso é, a disribuição conjuna dos parâmeros de esado presenes e fuuros kk 0 Y observações fuuras, kk 1 k, e as, são aquelas que provêm do modelo dinâmico com disribuições condicionais f k k 1 e f y k k, e disribuição inicial f D sobre o fuuro fornecido pelos dados esá oda conida nesa disribuição Para os MLD, os dados são usados apenas para ober a média de f D, a informação, m, que fornece um resumo dos dados que é suficiene para fins prediivos O ciclo abaixo represena uma esruura de dependência enre as variáveis, mosrando o rajeo enre Y 1: e Y k, onde se vê que D fornece informações sobre parâmero de esado de evolução fuura aé, que por sua vez provê informações sobre o k maior for k, as previsões serão cada vez mais imprecisas, e consequenemene sobre Y k e quano 281 Recursão Prediiva para MDG Para modelos dinâmicos generalizados, definidos por (21) e (22), as seguines afirmações asseguram que, para qualquer k 0 : i A disribuição prediiva k passos à frene dos parâmeros de esado é f k D f k k 1 f k 1 D d k1; ii A disribuição prediiva k passos à frene das observações é f y k D f y k k f k D d k 28

29 enão Prova: Para prova (i), usamos as propriedades de independência condicional do modelo,, f D f D d k k k 1 k 1, f D f D d k k1 k1 k1 f f D d, k k1 k1 k1 A prova de (ii) é ambém baseada nas propriedades de independência condicional do modelo, emos que, f y D f y D d k k k k, f y D f D d k k k k f y f D d k k k k 282 Recursão Prediiva para MLD R 0 Para modelos lineares dinâmicos definidos em (24) e (25), considere C a 0 m e, iso é, a média e variância da disribuição prediiva um passo à frene de dado D 1, no insane zero, é igual a média e variância da disribuição de filragem de respecivamene Enão, para k 1, eles seguem as seguines afirmações: i A disribuição de kdado D é Normal, com a k G a k, k1 ' k, k1 k k R k G R G W ii A disribuição de Y kdado D é Normal, com k 1, ' f k F a k k Q k F R k F V k k k, ; dado Prova: Sabe-se já que odas as disribuições condicionadas são Gaussianas Enão para E G a k E D k E E D, D G k k k 1 k k 1 a, k 1, D D, 29

30 , 1, 1 R k Var D k Var E D D E Var D D G R G W k k k k ' k, k 1 k k f k E Y k D E E Y k D, k D E F kk D F ka k,,, ' F R k F V Q k Var Y D k, Var E Y D D E Var Y D D k k k k k k k 29 Checagem do Modelo Como foi viso, com a modelagem dinâmica podemos calcular previsões um passo à frene f E Y D 1, e o erro de previsão é assim definido: e Y E Y D Y f, 1 iso é, o erro é, por definição, a observação verdadeira menos sua previsão, para um dado insane Os erros de previsão podem ser escrios, de maneira alernaiva, em ermos da esimação um passo à frene, como apresenado abaixo e Y F a 30 F v F a F a v Seja e a sequência de erros de previsão de um MLD, para 1, que seguem as seguines propriedades: i O valor esperado de e é zero; ii O veor aleaório e não em correlação com qualquer função de Y1,, Y 1; iii Para qualquer s iv Para qualquer s, e e Y s são descorrelacionados;, e e e s são descorrelacionados; v e é uma função linear de Y,, 1 Y ; e vi 1 é um processo Gaussiano

31 Prova: Prova-se (i) omando valores esperados ierados, E e E E Y f D 1 0 Para provar (ii), considere Z g Y,, Y 1 1 Enão:, E ez Cov e Z E E e Z D 1 1 E E e D Z 0 Prova-se (iii), se as observações são univariadas, segue-se de (ii), considerando Z Y s Caso conrário, use (ii) para cada componene de Y s Para provar (iv), ambém segue-se de (ii), omando univariadas Caso conrário, aplique (ii) componene a componene Para (v), desde que 1,, Z e, se as observações são Y Y enha disribuição conjuna Normal, f s E Y Y é uma 1: 1 função linear de Y1,, Y 1 Como consequência, e é uma função linear de Y,, 1 Y Por fim, para provar (vi), para qualquer, endo em visa (v), e,, 1 e é uma ransformação linear de Y,, 1 Y, que em uma disribuição conjuna Normal Enão, e,, 1 e ambém em disribuição conjuna Normal Desde que odas as disribuições de dimensão finia sejam Gaussianas, o processo 1 e é ambém Gaussiano Em Y f e, podemos pensar em Y como a soma de um componene, 31 f, que é previsível a parir de observações passadas, com ouro componene, e, que é independene do passado, enão coném informações realmene novas fornecidas pela observação Y Por ese moi o, os erros de pre is o podem ser chamados de ino a õe s, algumas vezes, pode ser conveniene rabalhar com ese ermo em um MLD A inovação é obida pela eleição dos veores a E D 1, como novas variáveis de esado Enão, a parir de e Y f Y Fa, a equação das observações é dada por Y Fa e (28) e, omando a G m 1, onde m 1 é obido pelo filro de Kalman, enão: a G m 1 ' 1 G a 1 G R 1F 1Q 1 e ;

32 enão, a nova equação do sisema ou dos esados é assim represenada: onde w * ' a G a w (29) * 1, G R F Q e O sisema (28) e (29) é a forma de inovação do MLD Noe que nesa forma, os erros observacionais e do sisema não são mais independenes, iso é, a dinâmica dos esados se orna dependene das observações A principal vanagem da forma de inovação é que odos os componenes do veor de esados, para os quais não podemos ober nenhuma informação a parir das observações, são auomaicamene removidos, se ornando enão, um modelo mínimo Quando as observações são univariadas, espera-se que a sequência de inovações ou erros padronizados sejam variáveis aleaórias normais, com média zero, independenes e idenicamene disribuídas Esa sequencia pode ser chamada de ruído branco Gaussiano e é definida por e e Q Para checar se o modelo esá correo, esa propriedade é úil para explorar as suposições dese, onde a sequencia e, 1, e deve ser um ruído branco Exisem diversos eses não paraméricos de normalidade, como por exemplo, Lilliefors, Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov e, ambém, de independência, como o Qui-Quadrado, para mais informações consule Conover (1971) Há oura maneira para checar a normalidade, aravés de análises gráficas, usando o hisograma comum, ou o diagrama conhecido como QQ-Plo O gráfico das inovações padronizadas disribuídas ao longo empo, pode mosrar ouliers, ponos de mudanças e ouros padrões inesperados Para observações mulivariadas, as ferramenas gráficas geralmene são as mesmas, aplicadas componene a componene 32

33 Capíulo 3 Modelos com componenes desconhecidas Quando as marizes F, G, V e W são desconhecidas, não é possível uilizar somene o Filro de Kalman e a inferência é feia aravés de méodos de simulação esocásica como, por exemplo, os méodos Mone Carlo via cadeias de Markov (MCMC), que são uma alernaiva em problemas complexos em que a disribuição a poseriori não pode ser expliciada (COSA, 2011) O que foi viso aé agora foram análises de séries emporais considerando os MLD com as marizes F, G, V e W conhecidas, para melhor compreender seu comporameno e propriedades gerais Porém na práica, iso raramene ocorre Nese capíulo, vamos assumir que esas marizes dependem de um veor de parâmeros desconhecidos Eses parâmeros desconhecidos, geralmene são consanes ao longo do empo, mas para respeiar as a esruura linear Gaussiana dos MLDs, indexaremos Sob o pono de visa clássico, geralmene esima-se (por máxima verossimilhança) e, assumindo que é conhecido, aplica-se as écnicas apresenadas no capíulo anerior para filragem, suavização ou previsão No enano, al procedimeno desconsidera a incereza inerene a no procedimeno de inferência para os parâmeros de esado Sob o paradigma bayesiano, é raado, junamene com os parâmeros de esado, como quanidade desconhecida e a incereza é conemplada inegralmene aravés da disribuição conjuna a poseriori do veor de parâmeros de esado e A inferência Bayesiana pode envolver cálculos de difícil manejo analíico ou aé mesmo inegrais sem solução analíica No enano, os méodos de Mone Carlo via Cadeia de Markov são bem eficienes na aproximação da disribuição poseriori de ineresse Mas anes de dealharmos mais esas écnicas, vamos raar, especificamene, o caso no qual as variâncias dos erros de evolução são desconhecidas, usando uma écnica conhecida como faor de descono 33

34 31 Faor de Descono Aé em modelos esruurais simples, onde F e G são conhecidos, raramene as marizes de covariância V e W são oalmene conhecidas, desse modo, o problema é esimalas Quando Descono V é conhecido, W pode ser especificado por uma écnica chamada Faor de A esruura e a grandeza da mariz de covariância de parâmeros de esado W em um papel crucial na deerminação da função das observações passadas na esimação e previsão dos esados Pensando em W como uma mariz diagonal, por simplicidade Grandes valores na diagonal de W, implicam em grandes incerezas na evolução do esado, enão muia informação da amosra é perdida passando de 1 para, iso é, D 1 nos dá informações sobre 1, o qual, no enano, se orna de pouca relevância para previsão de, na verdade o que realmene é deerminane na esimação de D são as observações auais y Nas recursões do filro de Kalman, as incerezas sobre dado D 1 são resumidas na mariz de covariância condicional de esados G 1 w Var D C Aualizando 1 para, aravés da equação, a incereza aumena e emos ' Var D R G C G W Enão se W 0, iso é, considerando que não haja erro na equação de esados, digamos que 1 1 R Var G D P ; caso conrário P é acrescido em R P W Nese caso W expressa a perda de informação na passagem de 1 para devido ao erro esocásico na evolução do esado, a perda depende da grandeza de pode-se expressar W como proporção de P : 1 W P W em relação a P Por esse moivo, onde 0 1 O parâmero é chamado de faor de descono, m a e q e e e descona a mariz P que por sua vez, é deerminísica na evolução de esado da mariz R Se 1, enão W 0 e não exise perda de informação na passagem de 1 para, Var D Var G 1 D 1 P, iso é, o modelo permanece esáico Porém para sendo 1, por exemplo 0,8 1 Var D Var G 1 D 1 1, 25P 0,8, o que, emos

35 revela um aumeno na incereza E quano menor for o faor de descono maior será a perda de informação Na práica, o valor de é fixado enre 0,9 e 0,99 ou é escolhido observando o comporameno prediivo do modelo para diferenes Valores muio próximos de provocam mudanças ão suis no sisema, que são quase impercepíveis Além disso, podem ser considerados diferenes faores de descono i para diferenes componenes do veor de esados 32 Méodos de Mone Carlo via Cadeias de Markov Em inferência Bayesiana, a disribuição a poseriori dos parâmeros, frequenemene é desconhecida, porano uma alernaiva é um méodo que simule esa disribuição Os méodos de Mone Carlo baseados na simulação de variáveis aleaórias de uma Cadeia de Markov, são, aualmene, a maneira usual de fazer uma análise Bayesiana dos dados, chamados de Méodos de Mone Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) Dois desses méodos serão apresenados, são os algorimos recursivos mais uilizados, Amosrador de Gibbs e Meroplis-Hasings Nas próximas seções, vamos apresenar écnicas para simulação de um veor aleaório qualquer,, 1 k que, num conexo bayesiano, represena os parâmeros desconhecidos de um modelo Sendo assim, os méodos de simulação que iremos apresenar são uilizados em inferência bayesiana para simular da disribuição a poseriori de,, 1 k 321 Amosrador de Gibbs Seja um veor aleaório,, 1 k, as disribuições de 1 2, 3,, k,,, são chamadas de condicionais compleas de k 1 2 k 1 probabilidades, a densidade condicional f,,,,, f i 1 i 1 i 1 k,,, 1 k E, pela eoria de pode ser assim obida:,, k 1 i 1,, i1, i1,, k f f,, d Nauralmene, para disribuições discreas, a inegral na expressão acima cede lugar ao somaório 1 k i 35

36 O Amosrador de Gibbs (AG) é um dos méodos MCMC mais uilizados, onde seu núcleo de ransição é formado pelas disribuições condicionais compleas, iso é, a parir de valores simulados sucessivamene das disribuições condicionais compleas, seu objeivo é chegar à disribuição conjuna a poseriori Desde que saibamos simular as condicionais compleas, o Amosrador de Gibbs é descrio pela roina abaixo para simular o veor aleaório,, 1 k : 1º Passo: Inicializar o conador de ierações j 1 e definir um veor de valores iniciais ,, k º Passo: Ober o veor,, 1 k, simulando: j j1 j1 j1 de p,, j j j1 j1 de p,, j j j j1 de p,, k k 1 1 k 1 3º Passo: Se o conador for menor que L, dado que L é o número desejado de ierações após a convergência, mude o conador de j para j 1 e repia o passo 2 Enão o algorimo do AG produz sequências k k 1 2 L,,,, para i 1,, K Na i i i práica, o procedimeno uilizado para ober amosras independenes da disribuição poseriori, a parir desas sequências, consise em descarar um número b de valores iniciais, e em seguida, escolher valores com espaçameno igual a As quanidades b e, são chamadas respecivamene de aquecimeno (burning) e espaçameno (hinning) Mais informações podem ser obidas em Gamerman e Lopes (2006) A simulação da disribuição poseriori pelo amosrador de Gibbs envolve enão a simulação das condicionais compleas Porém, quando esa simulação não é acessível, podemos usar ouras écnicas para simular de alguma (ou odas) as disribuições condicionais Uma desas ouras écnicas será apresenada na próxima seção: o Meropolis-Hasings 322 Meropolis-Hasings No algorimo Meropolis-Hasings, é uilizado um valor gerado de uma disribuição auxiliar conhecida como disribuição proposa e aceio com uma probabilidade Esse 36

37 mecanismo de correção garane a convergência da cadeia para a disribuição de equilíbrio, a poseriori A roina do Meropolis-Hasings é assim descria: 1º Passo: Inicializar o conador de ierações j 1 e definir um veor de valores iniciais ,, n 2º Passo: Ober um novo um novo veor * *,, * 1 n * j 1 q j 1, que pode ou não depender de 3º Passo: Simular uma amosra u, vinda da disribuição U 0,1, simulando uma densidade proposa 4º Passo: Calcular a razão j1 * 5º Passo: Se u r, r, j1 * * j1 * q j1 * j1 q f f, o valor proposo é aceio fazendo j *, caso conrário, o valor proposo é rejeiado fazendo j j 1 6º Passo: Se o conador for menor que L, dado que L é o número desejado de ierações após a convergência, mude o conador de j para j 1 e repia o passo 2 É imporane ressalar que ese méodo esá direamene ligado à disribuição analisada Caso a variância da disribuição seja muio pequena, a cadeia de Markov irá convergir lenamene, uma vez que seus incremenos serão pequenos Se a variância for grande, a axa de rejeição dos valores proposos será ala e a cadeia enderá a não se mover Alguns auores sugerem que a axa de aceiação do AG deva esar enre 20% e 50% (COSA,2011) Noe que o Amosrador de Gibbs é um caso paricular do Meropolis-Hasings, no qual os elemenos de são aualizados individualmene ou em blocos, onde a disribuição condicional oal é a proposa e a probabilidade de aceiação é igual a 1 Como a probabilidade de aceiação é igual a 1, não exise mecanismo de aceiação-rejeição, dese modo a cadeia irá sempre se mover para um novo valor As ransições de esado são feias de acordo com as disribuições condicionais compleas Os dois algorimos AG e MH produzem sequências 1 2 k,,, e para ober amosras aproximadamene independenes da disribuição, basa analogamene, reirar as observações iniciais (burning) e usar um espaçameno (hinning) 37

38 323 Amosrador de Gibbs para MLD Para simular da disribuição a poseriori de um MLD conendo um veor de parâmeros desconhecidos (conforme descrio aneriormene), com disribuição a priori f, geralmene usa-se os méodos de MCMC Quase odos amosradores de cadeia de Markov pra análises a poseriori de MLDs esão em uma desas rês caegorias: amosradores de Gibbs, que incluem os esados como variáveis laenes; amosradores marginais; e amosradores híbridos, que combina aspecos dos dois aneriores Nese rabalho, falaremos apenas do amosrador de Gibbs, para mais informações veja Peris, Peroni e Campagnoli (2009) Para um MLD, com observações observados, é dada por D, a disribuição poseriori de e dos esados não 0: 38 f, D (31) Geralmene é impossível calcular esa disribuição de forma fechada, enão, a solução é recorrer a méodos compuacionais de simulação esocásica: Méodos MCMC A abordagem MCMC habiual para analisar a disribuição poseriori (31) é reirar uma amosra dela e avaliar os resulados gerados pela amosra simulada Mesmo quando a inenção é esudar apenas a disribuição do veor de parâmeros desconhecidos f D, a inclusão dos parâmeros de esado na disribuição poseriori simplifica a roina de um amosrador eficiene Na verdade, simular uma variável ou veor aleaório a parir de f, D simples que a parir de f D é bem mais Iso é, uma amosra de (31) pode ser obida aravés do amosrador de Gibbs, alernando os soreios enre f, D e f D 0: 0: 0:, Esa amosra, por sua vez, pode ser uilizada como enrada para gerar uma amosra da disribuição Enão, prediiva dos esados e observações, f, y D 1: k 1: k f, y,, D f, y, f, D 1: k 1: k 1: k 1: k Porano, para cada par formado de f, D, pode-se gerar o fuuro, 1: k, y 1: k, de f 1: k, y 1: k, para ober uma amosra da disribuição prediiva A aproximação mosrada acima resolve odos os problemas da previsão, suavização e filragem de MLD com veor de parâmeros desconhecidos Porém, para séries em que novos dados são obidos sequencialmene, para aualizar a disribuição poseriori é necessário 0:

39 rodar o amosrador de Gibbs novamene, o que se orna uma arefa ineficiene Para séries dese ipo, exisem as análises online e simulações baseadas em aualizações sequenciais da disribuição poseriori dos parâmeros de esado e desconhecidos, que são ambém écnicas de Mone Carlo 324 FFBS Em uma amosra de Gibbs reirada de f D 39 0:,, é necessário simular a parir das disribuições condicionais compleas f, D e f D 0: 0:, Embora a primeira seja um problema específico, algorimos eficienes para amosragem da segunda esão disponíveis A suavização recursiva fornece um algorimo para calcular a média e variância da disribuição de condicionada a D e, para 1,2,, Já que odas as disribuições envolvidas são Normais, é fácil deerminar a disribuição marginal poseriori de D, Enreano, quando f D Gibbs reirada de f D dado, 0: 0:, em o papel de condicional complea em uma amosra de 0:,, o desafio é gerar um esquema a parir da disribuição de D A solução para esse problema foi desenvolvida por Carer e Khon (1994), Früwirh-Schnaer (1994) e Shepard (1994), um algorimo conhecido como FFBS, em inglês, Forward Filering Backward Sampling, e em poruguês, filragem para frene e amosragem para rás Pode-se represenar a disribuição conjuna de 0: dado D, como: f D f, D, (32) 0: 1: 0 onde o úlimo faor do produo é simplesmene f D de f, que é N m, C 0: D recursivamene para, iso é, a disribuição da filragem A equação (32) sugere que, ao invés de ober um esquema de, pode-se começar desenhando a parir de f, D a parir de sua disribuição, 1: N m C e enão, para 1, 2,,0 Noe que o FFBS é essencialmene uma versão simulada das recursões de suavização Vimos na prova da seção 272, que f, D f, D N h, H, onde e demonsramos que essa disribuição é 1: 1

40 Além disso, obendo já,, 1 parir de N h, H h m C G R a ' ' H C C G R G C,, o próximo passo consise em apenas desenhar a Noe que h depende apenas de 1 que já foi gerado O FFBS é frequenemene uilizado como um bloco na consrução do amosrador de Gibbs, no enano, se o MLD esudado não iver parâmeros desconhecidos, ainda assim, o uso do FFBS pode ser ineressane Nese caso, a disribuição marginal suavizada de cada, geralmene é suficiene para avaliar as probabilidades poserioris de ineresse A disribuição poseriori de uma função não linear dos esados pode ser complicada ou aé impossível de ser derivada, mesmo quando os parâmeros do modelo são conhecidos Nese caso, o FFBS fornece um jeio simples de gerar uma amosra da poseriori desa função, enão a aplicação da pare foward filering (fi ragem para frene) do a gorimo só precisa ser realizada uma vez 40

41 Capíulo 4 Conclusão O objeivo dese rabalho foi revisar e apresenar a modelagem dinâmica, onde foi possível enender seu funcionameno para análise de séries emporais e, ambém, o porquê de propor uma nova écnica de análise e previsão Bayesiana, uma vez que as clássicas poderiam parecer mais simples Vimos que os modelos de espaço de esados podem ser usados para modelar séries emporais uni ou mulivariadas, podendo ser não esacionárias ou apresenar mudanças esruurais ou padrões irregulares, como séries econômicas, por exemplo Durane o rabalho a eoria maemáica foi apresenada, mosrando casos gerais e especiais, quando o modelo deve ser mais complexo, necessiando de mais variáveis dinâmicas e quando ele pode ser mais simples e direo, como o passeio aleaório Foram exposas, esudadas e demonsradas écnicas de previsão um passo à frene, uilizando o renomado filro de Kalman que possibilia a evolução, a aualização e, por fim, a previsão dos parâmeros de esado e observações ainda não coleadas e, como vimos, pode ser muio bem aplicado em séries sequenciais, onde novas observações são coleadas enre períodos de empo fixos A parir do filro de Kalman como base, uiliza-se da eoria de previsão um passo à frene para realizar previsões mais disanes, k insanes após a úlima observação coleada, porém sabendo que mais incerezas são inseridas no modelo Foram apresenados, ambém, os méodos de suavização que aproveiam de odas as informações possíveis para analisar e compreender a esruura do modelo As provas deses méodos, suposições e como eles foram manipulados maemaicamene esão descrias no decorrer do rabalho Esudamos os modelos com a pressuposição de que alguns parâmeros eram conhecidos, para, depois, poder adequar seu uso na práica, onde frequenemene nos deparamos com odos os parâmeros desconhecidos Por esse moivo foram apresenados alguns algorimos recursivos baseados nos méodos de Mone Carlo via cadeias de Markov Vimos que o Amosrador de Gibbs pode esimar a disribuição poseriori dos parâmeros de esado e o FFBS é basicamene uma versão simulada das recursões de suavização, onde em eoria, os parâmeros são conhecidos e pode ser uilizado na consrução do amosrador de Gibbs Nos dias auais, onde emos oal acesso aos meios compuacionais, eses algorimos se mosram de exrema imporância e é um dos moivos de a modelagem dinâmica esar sendo difundida com maior frequência aualmene 41

42 Referências Bibliográficas ANDERSON, Brian D O; MOORE, John B Opimal Filering Englewood Cliffs: Prenice-Hall, 1979 CARER, C e KHON, R On Gibbs Sampling for Sae Space Models Oxford: Biomerika, 1994 CHARNE, Reinaldo; FREIRE, Clarice Azevedo de Luna; CHARNE, Eugênia M Reginao; BONVINO, Heloísa Análise de Modelos de Regressão Linear: Com Aplicações Campinas: Ediora da Unicamp, 2008 CONOVER, W J Pracical Nonparameric Saisics New York: Wiley, 1971 COSA, Ana Carolina Carioca da Modelos Dinâmicos Hierárquicos Espaço-emporais para Dados na Família Exponencial Rio de Janeiro: IM / UFRJ, 2011 EHLERS, Ricardo S Análise de Séries emporais São Carlos, SP: Universidade de São Paulo, 2009 [Consulado em 07 de Maio de 2014] Disponível em <URL:hp://wwwicmcuspbr/~ehlers/semp/semppdf> FRÜWIRH-SCHNAER, S Daa Augmenaion and Dynamic Linear Models Journal of ime Series Analysis, 1994 GAMERMAN, Dani e LOPES, Hediber F Mone Carlo Markov Chain: Sochasic Simulaion for Bayesian Inference London: Chapman & Hall, 2006 KALMAN, R A New Approach o Linear Filering and Predicion Problems rans Of he AMSE Journal of Basic Engineering (Series D), 1960 KALMAN, R e BUCY, R New Resuls in Linear Filering and Predicion heory rans Of he AMSE Journal of Basic Engineering (Series D),