4 Modelos em Espaço de Estado e Filtro de Kalman

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1 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman A modelagem em espaço de esado fornece uma meodologia padrão para raar uma ampla variedade de problemas em séries emporais Nesa abordagem é, em geral, assumido que o comporameno de um sisema em esudo é deerminado por uma série de veores não observáveis α 1,, α n, associada a uma série de observações y 1,, y n A relação enre α s e os y s é especificada por um modelo em espaço de esado O propósio da análise em espaço de esado é inferir sobre propriedades relevanes dos α s a parir das observações conhecidas y 1,, y n (Durbin & Koopman, 2001 Os modelos apresenados nese rabalho são colocados na forma de espaço de esado, e logo são esimados por maxima verossimilhança e filro de Kalman 41 Modelo Linear em Espaço de Esado Seja o veor de séries emporais p-variado y, = 1, 2,, n O modelo linear em espaço de esado para y esá definido pelas seguines equações: y = Z α + d + ε, ε W N(0, H (4-1 α +1 = T α + c + R η, η W N(0, Q (4-2 sendo as equações (4-1 e (4-2 chamadas respecivamene de equação das medidas e equação do esado O veor α de dimensão m é chamado veor de esado, e o veor de esado inicial é dado por α 1 (a 1, P 1 Os processos esocásicos ε e η p-variados e r-variados, respecivamene, de médias nulas e descorrelaados no empo, iso é corr(ε, η s = 0,, s = 1, 2, n e ambém descorrelaados com α 1 As marizes/veores Z, d, H, Q, c, R e T evoluem deerminisicamene no empo e são chamadas de marizes do sisema Se ε e η são independenes, disribuídos normalmene e [ε, η ] independene de α 1, enão o modelo é chamado de modelo em espaço de esado linear Gaussiano

2 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 33 Se adicionalmene ao pressuposo de normalidade, algumas marizes do sisema dependerem de ermos passados de y, enão o modelo é chamado de modelo em espaço de esado condicionalmene Gaussiano(Harvey, 1989 Algumas marizes do sisema podem ser invarianes no empo No caso em que odas cumprem esse pressuposo o modelo é chamado de modelo invariane no empo Enre os modelos mais conhecidos, os quais podem ser colocados na forma de espaço de esado emos os modelos esruurais univariados, mulivariados, modelos ARIMA, modelos de regressão, modelos auo-regressivos com coeficienes varianes no empo ec 42 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman Uma vez que o modelo é colocado na forma de espaço de esado, poderá fazer uso do filro de Kalman para sua esimação A seguir apresenamos os dealhes dese processo 421 Filragem O processo de filragem em como objeivo a aualização do conhecimeno sobre α a cada observação y que ingressa no sisema em esudo Paricularizando as equações do modelo em espaço de esado linear (4-1 e 4-2, assumimos que ε e η são independenes e normalmene disribuídos y = Z α + d + ε, ε N(0, H α +1 = T α + c + R η, η N(0, Q (4-3 α 1 N(a 1, P 1 Seja Y 1 = {y 1,, y 1 } o conjuno de observações passadas É direo ver que da equação (4-3 emos que p(y α 1,, α, Y 1 = p(y α e p(α +1 α,, α 1, Y = p(α +1 α A abela (41 mosra as dimensões dos veores e marizes do modelo dado em (4-3 Considerando a seguine noação a = E(α Y 1 e P = V ar(α Y 1, emos as equações de filragem expliciadas em (4-4 para = 1,, n e as dimensões dos veores e marizes do filro na abela 42

3 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 34 Tabela 41: Dimensões dos veores e marizes do modelo 4-3 Veor Mariz y p 1 Z p m α m 1 T m m ε p 1 H p p η r 1 R m r Q r r a 1 m 1 P 1 m m Tabela 42: Dimensões dos veores e marizes do filro 4-4 Veor Mariz υ p 1 F p p K m p L m m M m p a m 1 P m m υ = y Z a d F = Z P Z + H K = T P Z F 1 L = T K Z (4-4 a +1 = T a + c + K υ P +1 = T P L + R Q R A dedução Gaussiana do filro, apresenada em Durbin & Koopman (2001, não é a mais simples, no enano ela evidencia que o processo de aualização (de α ocorre devido a inovação υ que coném a informação y que não esá presene em σ(y 1 1 As equações (4-4 são válidas ainda quando a hipóese de normalidade é relaxada, pois em ausência de normalidade as expressões do filro de Kalman represenam esimadores lineares óimos (Brockwell e Davis, 2002; Shumway e Soffer, Suavização O processo de suavização considera a esimação de α dado y, onde y = (y 1,, y n, sendo n o amanho da amosra Fazendo uso da noação 1 σ(y é a σ-álgebra gerada pelo veor de observações Y

4 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 35 ˆα = E(α y e V = V ar(α y emos as equações (4-5 do suavizador, as quais dependem de algumas marizes calculadas na filragem r n = 0, N n = 0 r 1 = Z F 1 υ + L r N 1 = Z F 1 Z + L N L (4-5 ˆα = a + P r 1 V = P P N 1 P Esses esimadores são chamados de suavizadores (Shumway & Soffer, 2006 porque os gráficos de linha no empo das correspondenes esimaivas são mais suaves do que as esimaivas da filragem Uma prova da obenção dessas equações, baseada na abordagem de Jong (1989 pode ser enconrada em Durbin & Koopman ( Traameno de Valores Ausenes Um grande araivo da abordagem de modelos em espaço de esado é a habilidade de lidar com a ausência parcial ou oal de observações em cada um dos veores y 1,, y n De forma ilusraiva, sejam os veores de dados onde é um bloco com dados falanes: y 1,1,, y i 1,1,,, y n,1 y 1,p y i 1,p y i,p y n,p onde y = W y é o veor que coném somene os dados presenes observados, sendo W uma mariz de seleção com as linhas de I p correspondenes às coordenadas observadas de y Desa forma, a equação (4-1 com as informações parciais é dada por: na qual y = Z α + d + ε, ε W N(0, H (4-6 Z = W Z, d = W d, ε = W ε e H = W H W

5 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 36 As dimensões dos veores e marizes y, υ, F e K mudam para cada, porém a dimensão do veor de esado não muda Logicamene, quando não exisem dados falanes, a equação das medidas (4-6 é igual à equação do filro original (4-4 Enreano se a informação no empo é oalmene ausene, nesse caso Z = 0 e d = 0, reduzindo as equações de filragem para: a +1 = T a + c P +1 = T P T + R Q R (4-7 Analogamene, as equações de suavização omam a seguine forma: r 1 = T r N 1 = T N T ˆα = a + P r 1 (4-8 V = P P N 1 P Os dados falanes são obidos a parir do veor de esado suavizado, al que: ŷ,i = Z,i ˆα + d,i + ˆε,i onde ˆε,i = 0 se y,i for uma observação falane Quando a observação esiver presene ŷ,i = y,i e nesse caso não necessariamene ˆε,i = 0 A previsão no arcabouço dos modelos em espaço de esado com filro de Kalman em como objeivo prever o esado em α n+h e y +h a parir das informações y 1,, y n De forma práica, para fazer previsões h passos à frene, basa considerar as observações y n+1,, y n+h como falanes e rodar o filro aé y n+h fazendo uso das equações com essa especificidade (4-7 2 Para que ese procedimeno seja viável, odas as marizes do sisema precisam esar disponíveis aé = n + h, caso conrário não é possível fazer previsão mais de um passo à frene para um modelo condicionalmene Gaussiano 44 Traameno Univariado para Séries Mulivariadas A principal moivação que sugere o uso do raameno univariado para séries mulivariadas, é a eficiência compuacional, pois é bem mais simples rabalhar com valores escalares do que marizes O exemplo mais ilusraivo dese ganho fica aparene considerando um processo de oimização com inicialização difusa, pois 2 Para o caso em que h = 1, o problema já foi resolvido pelo filro de Kalman (4-4

6 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 37 é necessário zerar duas marizes para poder esabilizar o processo de oimização Quando adoa-se o raameno univariado do modelo mulivariado uma dessas marizes orna-se um escalar, sendo bem mais fácil ober um zero nesa condição do que fazendo uma mariz de zeros Também durane o processo de oimização de um modelo mulivariado é possível ober marizes, que mesmo que não conenham odos os elemenos nulos, esas marizes podem ser singular, o qual complica ainda mais o processo de oimização, pois nesse caso é necessário considerar inversas generalizadas Um exemplo desa classe de problemas é o surgimeno da singularidade na mariz F O propósio desa abordagem é reconhecer o processo y = (y 1,, y p descrio no empo por: y 1,1, y 2,1,, y n,1 (4-9 y 1,p1 y 2,p2 y n,pn como se as coordenadas y,i, i = 1,, p ; N chegassem uma de cada vez, endo como série univariada correspondene: y 1,1, y 1,2,, y 1,p1, y 2,1,, y 2,p2,, y n,1,, y n,pn (4-10 É claro que se y segue um modelo mulivariado em espaço de esado, enão o processo univariado em (4-10 depende de um veor de esado O propósio é achar um modelo univariado equivalene para (4-9 e assim as recursões de Kalman ornam-se aplicáveis Uma vez que (4-9 é reescria como (4-10 a dinâmica do modelo mulivariado deve ser esriamene respeiada, de forma que (4-9 e (4-10 sejam probabilisicamene equivalenes Assumindo inicialmene a seguine esruura para H = diag(σ,1, 2, σ,p 2 3, as equações de medidas e de esado para (4-10 são respecivamene: y,i = Z,i α,i + d,i + ε,i ; ε,i W N(0, σ 2,i i = 1,, p, = 1,, n (4-11 α,i+1 = α,i ; i = 1,, p 1 α +1,1 = T α,p + c + R η,p ; η,p (0, Q α 1,1 = α 1 (4-12 Onde T, c, R e Q são as marizes do sisema correspondenes ao modelo 3 Para os casos em que H não é diagonal sugere-se adicionar ε ao veor de esado ou fazer uma decomposição em H, al que seja possível adicionar a esruura de dependência na equação de medidas (H cheia

7 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 38 mulivariado no empo Como é possível observar em (4-12, a equação de esado não muda quando ela vai de uma observação para oura no mesmo empo, mas muda quando vai da observação y,p para y +1,1 O seguine algorimo de filragem é disponibilizado em Durbin & Koopman, 2001, para implemenar o filro de Kalman previamene apresenado Algorimo 1 a 1,1 a 1 P 1,1 P 1 for = 1 o n do for i = 1 o p do F,i = Z,i P,i Z,i + σ 2,i K,i = P,i Z,iF 1,i υ,i = y,i Z,i a,i d,i a,i+1 = a,i + K,i υ,i P,i+1 = P,i K,i F,i K,i end for a +1,1 = T a,p +1 + c P +1,1 = T P,p +1T + R Q R end for um algorimo alernaivo pode ser dado por: Algorimo 2 a 1 a 1 P 1 P 1 for = 1 o n j=1 p j do if Ω hen T else = T ; c = c ; Q = Q T = I; c = 0; Q = 0 end if F = Z P Z + σ 2 K = T P Z F 1 L = T K Z υ = y Z a d a +1 = T a + c + K υ P +1 = T P L R Q R end for para Ω = {p 1, p 1 + p 2,, n j=1 p j} O algorimo 1 é proposo por Durbin & Koopman, e é possível chegar a ele

8 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 39 a parir do algorimo 2 Observe que no algorimo 1 é feio o cálculo α,p +1, dispensado no segundo algorimo Por ouro lado, no algorimo alernaivo impõe-se a presença de T quando esa é mariz idenidade e de c e Q quando esas são marizes nulas, o que poderia ser subsiuído eficienemene pela omissão de ais marizes em K, L, a +1 e P +1 Enreano, os cálculos em excesso do algorimo 2 geram menores perdas de eficiência compuacional dada a simplicidade das marizes envolvidas Observe ambém que ese segundo algorimo é consruído com apenas um sub-índice, subsiuindo os dois criados no código anerior, de forma que, odas as indexações do sisema em, i são subsiuídas por 1 j=1 p j + i na nova ordenação Com isso, marizes do sisema do ipo Z,i são represenadas por Z 1 j=1 p j+i Esa simplificação orna o segundo algorimo mais inuiivo Lembrando que a abordagem univariada surge somene com o propósio de solucionar problemas no processo de esimação mulivariada, orna-se necessário recuperar o esado filrado correspondene ao modelo mulivariado Como é sabido a = E(α Y 1 e P = V ar(α Y 1 Enão, do algorimo 1 podemos dizer que a = a,1 e no algorimo 2 resgaamos que a = a 1 j=1 p De forma análoga j+1 emos para a mariz variância covariância do veor de esado dos dois algorimos respecivamene P = P,1 e P = P 1 j=1 p j+1 Escrevendo o modelo em espaço de esado mulivariado para (4-9 e fazendo uso das equações do filro (4-4 é possível recuperar as inovações υ do modelo mulivariado e ouros resulados que sejam de nosso ineresse, pois odos eles são função de a e P Após a obenção das marizes resulanes do filro, é possível consruir os seguines algorimos para suavização Algorimo 3 r n,pn 0 N n,pn 0 for = n o 1 do for i = p o 1 do L,i = I m K,i Z,i r,i 1 = Z,iF 1,i υ,i + L,ir,i N,i 1 = Z,iF 1,i Z,i + L,iN,i L,i ˆα,i = a,i + P,i r,i 1 V,i = P,i P,i N,i 1 P,i

9 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 40 end for r 1,p = T 1r,0 N 1,p = T 1N,0 T 1 end for seguine: e o algorimo de suavização correspondene ao algorimo de filragem 2 é o Algorimo 4 r n j=1 p j = 0 N n j=1 p j = 0 for = n j=1 p j o 1 do if Ω hen T else T end if = T = I m L = T K Z r 1 = Z F 1 υ + L r N 1 = Z F 1 Z + L N L ˆα = a + P r 1 V = P P N 1 P end for 45 Inicialização do Filro de Kalman Nas seções aneriores supôs-se o conhecimeno, a priori, de a 1 e P 1, o que nem sempre é facível O problema da inicialização surge quando o veor de esado em pelo menos uma coordenada não esacionária, de forma que incide grande incereza sobre a média e variância dessa coordenada, o que implica em dificuldade para fixação de a 1 e P 1 Decompondo o veor de esado em = 1 como a soma de dois ermos, um conendo as coordenadas esacionárias(m q e o ouro as não esacionárias(q α 1 = a + Aδ + R 0 η 0, η 0 N(0, Q 0 (4-13 onde o veor a de dimensão m 1 é conhecido, δ um veor de dimensão q 1 de quanidades desconhecidas, as marizes A de dimensão m q e R 0 de dimensão m (m q são marizes de seleção, onde cada uma delas conem as colunas da mariz I m correspondenes a coordenadas não esacionárias e esacionárias, respecivamene

10 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 41 O veor δ pode ser raado como um veor fixo de parâmeros desconhecidos ou como um veor de variáveis aleaórias normais com variâncias infinias No caso onde δ é fixo e desconhecido sua esimação pode ser feia por máxima verossimilhança; ver Rosenberg(1973 Considerando o segundo caso δ N(0, κi q (4-14 de (4-13 e (4-14 a 1 = E(α 1 = a P 1 = V ar(α 1 = κaa + R 0 Q 0 R 0 = κp + P Se o comporameno do i-ésimo elemeno de α 1 esa descrio por um processo esacionário, enão o i-ésimo elemeno de a é a média incondicional do dio processo e zero se o processo for não esacionário A mariz P é a mariz de variâncias e covariâncias dos processos esacionários de α 1 ; o problema surge na obenção da mariz P Se κ for pré-especificado num valor numéricamene grande (diga-se 10 4 a 10 9 de cera forma esaria refleindo uma grande incereza sobre as coordenadas não esacionárias de α 1 (Harvey and Phillips, 1979 Esa alernaiva de inicialização é chamada big κ e a implemenação é muio simples, mas esa alernaiva não em um susenação eórica saisfaória Além disso pode gerar problemas compuacionais numéricos, ais como diferenes resulados na filragem para diferenes valores de κ e dificuldades de convergência numérica no processo de esimação de parâmeros A oura alernaiva para raar o problema de inicialização das coordenadas não esacionarias é chamada de inicialização exaa, a qual faz uso da expansão de marizes como séries de poência de κ 1 considerando somene os dois ou rês primeiros ermos, e quando fazemos κ obemos o ermo dominane Esa ideia foi inroduzida por Ansley e Kohn (1985, e depois foram considerados em forma mais claros por Koopman (1997, Durbin & Koopman (2001 Quando o veor de esado em pelo menos uma coordenada não esacionária, o processo de inicialização é chamada de inicialização difusa Da mesma forma vai exisir um d N, onde P, 0; d considerada como a pare difusa da filragem As recursões de filragem mudam para d e para valores > d, passando da pare difusa do filro para o filro normal em = d + 1 Mas ambém há que er em consideração o problema que aconece quando a mariz de variâncias e covariâncias das inovações é singular na pare difusa (F, = 0, pois ela pode ser zero ainda quando P, 0 Para isso a filragem na pare difusa se divide

11 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 42 em duas pares, uma quando F, 0 e caso conrário As recursões do filro de inicialização difusa são as seguines: F, = Z P, Z F, = Z P, Z + H M, = P, Z M, = P, Z Para P, 0: para F, 0 F (1 F (2 = F 1, = F 1,F, F 1, K (0 = T M, F (1 K (1 = T M, F (2 + T M, F (1 L (0 = T K (0 L (1 = K (1 Z Z υ (0 = y Z a (0 d a (0 +1 = T a (0 + K (0 υ (0 + c P,+1 = T P, L (1 + T P, L (0 + R Q R P,+1 = T P, L (0 : para F, = 0 L (0 = T K (0 L (1 = K (1 Z P,+1 = T P, T P,+1 = T P, L (0 Z + R Q R Quando P, 0 a filragem passa da pare difusa para a não difusa e as recursões de filragem e suavização para > d são as mesmas dadas em (4-4 e (4-5, onde P = P,, a = a (0 e υ = υ (0

12 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 43 As recursões do suavizador são dadas por: r (0 d N (0 d = r d = N d r (1 d = 0 N (1 d = 0 N (2 d = 0 r (0 1 = L (0 r (0 r (1 1 = Z F (1 υ (0 + L (0 r (1 + L (0 r (0 N (0 1 = L (0 N L (0 N (1 1 = Z F (1 Z + L (0 N (1 L (0 + L (1 N (0 L (0 + L (0 N (0 L (1 N (2 1 = Z F (2 Z + L (0 N (2 L (0 + L (0 + L (0 N (1 L (1 + L (1 N (0 L (1 + L (1 N (1 L (0 ˆα = a (0 + P, r (0 1 + P, r (1 1 V = P, P, N (0 1P, P, N (1 1P, P, N (1 1P, P, N (2 1P, Como foi dio d é a quanidade de dados necessários aé esabilizar o processo de filragem Não é possível assegurar de forma geral que a quanidade d num modelo em espaço de esado mulivariado com esados não esacionários é o mesmo quando se faz um raameno univariado para séries mulivariadas É imporane mencionar que o valor d geralmene é diferene, dependendo se se faz um raameno univariado ou um raameno mulivariado, pois é simplesmene observar que d depende do valor que ome P, e esa mariz em uma evolução no empo que muda de um raameno para ouro dependendo do valor que ome a mariz T, Z ec; vide exemplo no apêndice 46 Esimação por máxima verossimilhança Nas seções aneriores foram descrios a esruura de um modelo em espaço de esado e a inicialização do processo de filragem Aé esse pono foi considerado que os parâmeros dos quais depende a esruura e comporameno do modelo são conhecidos Nesa seção será raada uma das meodologias usada para a esimação dos parâmeros, que consise na maximização da verossimilhança como função do veor de parâmeros fixos do modelo ou hiperparâmeros 461

13 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 44 Evaluação da verossimilhança Seja Y = (y 1,, y, um veor de parâmeros θ e considerando o pono de inicialização do filro a 1 (θ e P 1 (θ A verossimilhança do modelo esá definida por 4 : L(y, θ = p(y 1,, y n ; θ = p(y 1 n p(y Y 1 ; θ Na práica geralmene se rabalha com logarimo da verossimilhança log L(y, θ = =2 n log p(y Y 1 (4-15 onde p(y 1 Y 0 = p(y 1 Para o modelo (4-3 a verossimilhança é dada por: =1 log L(y, θ = np 2 log 2π 1 2 n =1 ( log F + υ F 1 υ (4-16 onde υ e F são obidas do processo de filragem A equação de verossimilhança (4-16 é válida na pare não difusa (o veor de esado só em processos esacionários, enquano que a verossimilhança difusa (o veor de esado em processos não esacionários é dada por: onde: log L d (y, θ = np 2 log 2π 1 2 ω = { d ω 1 2 =1 n =d+1 ( log F + υ F 1 υ log F,, se F, é definido posiivo log F, + υ (0 F, 1 υ (0 se F, = 0 (4-17 Para mais dealhes, ver capíulo 7 de Durbin & Koopman ( Esimação dos parâmeros A esimação por maxima verossimilhança, consise em enconrar um veor ˆθ definido como: ˆθ = arg max L d (y, θ (4-18 θ Considerando d = 0 podemos er que L d (y, θ = L(y, θ Enão pode-se dizer que a equação (4-18 é generalizada para os modelos com esados esacionários e não esacionários 4 para simplificar a noacao iremos considerar p(y Y 1 ; θ = p(y Y 1

14 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 45 Definida a relação (4-18 é fácil de ver que a esimação é um problema de oimização com resrições 5 Uma proposa de passos a seguir para a esimação(considerando um modelo que em series não esacionarias no veor de esado é a seguine: consrução de uma função de filragem que calcule F,, υ (0, P, e F, para um veor de parâmeros dado consrução de uma função que calcule a verossimilhança do modelo com os resulados do iem anerior consrução de uma função que oimize funções que enham como argumeno de enrada um veor e reorne um valor real 6 consrução do programa principal onde se faz a leiura da base de dados, chue inicial dos parâmeros, código para rodar a função oimizadora, gráficos, ec O algorimo de oimização faz uso de méodos numéricos para conseguir resolver o problema de oimização Ele basicamene segue os seguines passos: 1 especificação de um valor inicial para o veor de hiperparâmeros ˆθ = θ 0 ; 2 passar a função de filragem para θ 0 ; 3 avaliar a verossimilhança com os resulados obidos da filragem; 4 repeir os passos 1, 2 e 3 com θ j, j = 1, 2, aé aingir um ou mais criérios de parada Os criérios de parada de um algorinmo de oimização não-linear podem ser do seguine ipo: θ j θ j+1 < ε log L d (y, θ j log L d (θ j+1 < ε log L d(y,θ θ θ=θj+1 < ε onde ε j são ipicamene dados por ε 1 = 10 5, ε 2 = ou ε 3 = pois alguns dos hiperparâmeros possuem domínio em subconjuno dos Reais Por exemplo, as variâncias de H e Q são não negaivas 6 Sofwares como Malab, R, Ox, ec possuem biblioecas de oimização não lineares

15 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman Diagnósicos e medidas de aderência 471 Análise de resíduos Os diagnósicos serão feios sobre as inovações padronizadas (υ (p, as quais são calculadas da seguine forma: υ (p = F 1 2 υ onde F 1 = F 1 2 F 1 2, e os eses ípicamene considerados são os seguines: Tese de heerocedasicidade (exemplo: ese F Tese para correlação serial (exemplo: ese Ljung - Box Tese para independência e mesma disribuição (exemplo: ese BDS Tese de normalidade (exemplo: ese Jarque Bera, Anderson-Darling e alguns procedimenos gráficos e descriivos sobre υ (p que podem ser úeis sao: Plo no empo FAC e FACP (nível ou quadrado Média e variância amosrais Hisograma e QQ-plo 472 Medidas de aderência As medidas de aderência sao calculadas para valorar a qualidade de ajuse do modelo, as medidas consideradas sao as seguines: MAPE = 100 MSE = 1 n d n =d+1 n n d =d+1 y ŷ 1 y ( y ŷ 1 2 Pseudo R 2 ( ˆR 2 = ( Corr(y, ŷ 1 2 ( AIC = 1 2 log L n d (ˆθ + 2(q + w, onde q é o número de coordenadas não esacionarias em α 1, e w é a dimensão de θ ( BIC = 1 2 log L n d (ˆθ + (q + w log n

16 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman Modelos do preço de peróleo em forma de espaço de esado 481 Modelo SS padrão O modelo SS padrão em forma de espaço de esado para as 13 mauridades com as quais se fará a esimação, esá represenado pelas seguines equações: Equação de Medidas ln F,τ1 ln F,τ2 = ln F,τ13 ξ A (τ 1 A (τ 2 A (τ 13 Equação de Esado ( ( ( χ 0 = + µ ξ + ( e κ e κτ 1 1 e κτ ( 2 1 e κτ 13 1 χ ξ χ ξ ( + + ω 1, ω 2, υ,τ1 υ,τ2 υ,τ13 (4-19 (4-20 Consideramos υ,τ1,, υ,τ13 descorrelaados Isso não quer dizer que as séries de preços a diversas mauridades sejam descorrelaadas, pois elas são função do mesmo veor de esado, e assim isso faz com que elas conservem a correlação capurada pelos faores O seguine comporameno para os erros da equação de medidas υ,τ1 υ,τ2 υ,τ13 0 συ N 0, 0 σ 2 υ συ 2 13 As esimação dos parâmeros fixos do modelo é efeuada sobre os seguines subespaços paraméricos Tabela 43: Espaços paraméricos Símbolo Espaço paramerico σ χ R + σ ξ R + µ ξ R µ ξ R κ < 0, 1 12 ρ χξ [0, 1] λ χ R σ υi R +, i = 1,, 13

17 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 48 Considerar que a mariz de variância-covariância dos erros da equação das medidas seja diagonal é imporane por dois moivos: o primeiro deles em a ver com a correlação capurada pelos faores, pois eles são imporanes para a esimação do preço spo e a informação embuida neles ajuda a esimar o preço spo de forma mais adequada O ouro moivo é que o modelo fica mais simples para esimar, e é possível fazer o raameno univariado para séries mulivariadas sem muias complicações 7, eviando assim problemas nos processos de oimização e de inicialização 482 Modelo SS com drif esocásico As seguines equações apresenam o modelo com drif esocásico na forma de espaço de esado Equação de medidas ln F,τ1 ln F,τ2 ln F,τ13 = B (τ 1 B (τ 2 B (τ 13 + e κχτ e κ µτ 1 κ µ e κ χτ e κµτ 2 κ µ e κχτ e κ µτ 13 κ µ χ ξ µ + υ,τ1 υ,τ2 υ,τ13 Equação de esado χ ξ µ = e κ χ e κµ χ ξ µ + ω 1, ω 2, ω 3, onde ω 1, = σ χ z χ, ω 2, = σ ξ z ξ e ω 3, = σ µ z µ É assumida a seguine disribuição para o veor de erros da equação de esado ω 1, ω 2, ω 3, N 0 0 0, σ 2 χ ρ χξ σ χ σ ξ 0 ρ χξ σ χ σ ξ σ 2 ξ σ 2 µ 7 Quando a mariz de variâncias covariâncias dos erros da equação de medidas não é diagonal é possível fazer ese raameno, mas orna necessário realizar modificações na esruura do modelo, como, por exemplo, mudanças nas marizes do sisema (Durbin & Koopman, 2001

18 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman Modelo mulivariado para o peróleo e derivados Consideremos d derivados com h i preços fuuros, i = 1,, d e r com preço spo O modelo em forma de espaço de esado será dado pelas seguines equações: Equação de Medidas onde: Y = ln F (1,τ 1 ln F (1,τ h1 ln F (d,τ 1 ln F (d,τ hd ln S (d+1 ṭ ln S (d+r Y = B + AΥ + υ (4-21 B1(τ 1 B 1(τ h1, B = Bd (τ 1, υ = Bd (τ h d φ d+1,0 φ d+r,0 υ (1,τ 1 υ (1,τ h1 υ (d,τ 1 υ (d,τ hd υ (d+1 υ (d+r A = φ 1,1 e κ Xτ 1 φ 1,2 φ 1,2 κ U (1 e κ U τ 1 φ 1,1 e κ Xτ h1 φ 1,2 φ 1,2 κ U (1 e κ U τ h1 φ d,1 e κ Xτ 1 φ d,2 φ d,2 κ U (1 e κ U τ 1 φ d,1 e κ Xτ hd φ d,2 φ d,2 κ U (1 e κ U τ hd φ d+1,1 φ d+1,2 0 φ d+r,1 φ d+r,2 0, Υ = X E U Equação de Esado X e κ X 0 0 = 0 1 E U 0 0 e κ U X E U + w 1, w 2, w 3, (4-22

19 Capíulo 4 Modelos em Espaço de Esado e Filro de Kalman 50 w 1, w 2, w 3, N 0 0 0, σ 2 X ρ XEσ X σ E 0 ρ XE σ X σ E σ 2 E σ 2 U A esimação dese modelo será efeuada usando os derivados apresenados na Tabela 31 São considerando 3 preços fuuros por derivado, quando ese derivadao apresenar mercado fuuro Da equação (4-21 emos que h i = 3 para os d = 4 derivados com preços fuuros e r = 7, com preços spo Os erros da equação de medidas são assumidos com disribuição normal com média zero e mariz de variância diagonal, onde συ 2 τ,i é a variância do erro correspondene ao preço fuuro com mauridade τ do derivado i Enquano que συ,i 2 é a variância do erro correspondene ao preço spo do derivado i