6. Estudo de Caso. 6.1.Características do Contrato

Transcrição

1 6. Esudo de Caso O modelo de Schwarz e Smih (000) com sazonalidade rimesral vai ser uilizado ara modelar e rever os reços do GN com base na série hisórica dos reços do Henry Hub. O esudo é feio num conexo binomial baseado em Hahn e Dyer (011) ara o cálculo de oções de swing dos conraos de GN, cujo conrao aresena as mesmas caracerísicas de Jaille e al. (004). Uma vez que, não é ossível se ober um conrao adrão no mercado brasileiro de energia, oou-se or uilizar um formao já analisado aneriormene. 6.1.Caracerísicas do Conrao O conrao analisado embue uma oção de swing com quaro daas de exercício, onde só odem ser exercidos, no máximo, dois direios. O emo de refração será considerado redundane e fará are da caegoria de conraos cujo efeio local é levado em consideração. Cada exercício ermie a aquisição de um ou dois MMBus, ou seja, a cada direio, o iular do conrao de swing ode escolher um volume incremenal osiivo, ou ode simlesmene não exercer esse direio. O exercício ocorre no úlimo dia do mês em que o conrao do mês seguine é negociado. É considerado um horizone de emo de um ano, com ossíveis exercícios rimesrais, com duas ossíveis esruuras de reços de exercício: Preço de exercício fixado em $3,70 or MMBu, média dos úlimos 1 meses do conrao F4 (quando oderá exercer, ela rimeira vez, a oção). Preço de exercício variável e baseado na esruura dos reços fuuros ara as daas de exercícios. Todo conrao de swing em uma are fixa, que garane um volume básico a ser fornecido or um eríodo a um reço ré-fixado, e uma are variável, que ermie que o comrador alere a quanidade básica em daas esecíficas com algumas resrições. No esudo de caso, só será analisado a are variável do conrao. Além disso, há ausência de mulas e enalidades.

2 49 Num ambiene neuro ao risco, a axa de juros é considerada de 5% ao ano e consane em odo o eríodo. Demais cusos burocráicos, fiscais e oeracionais esão sendo desconsiderados nos cálculos. O conrao analisado visa rincialmene calcular os valores das oções de swing. Para isso, o conrao de GN em esudo ode ser resumido nas seguines caracerísicas: Horizone no emo: 1 ano com exercícios rimesrais; Daa da assinaura do conrao: de maio de 01; Daas de ossíveis exercícios: de agoso de 01, 1 de novembro de 01, 1 de fevereiro de 013 e de maio de 013; Preço de exercício: fixo ou variável (análise dos dois casos); Número máximo de exercícios: ; Processo esocásico ara os reços do GN: modelo de dois faores de Schwarz e Smih (000) com sazonalidade rimesral; Taxa de descono livre de risco: r = 5% aa; Ausência de mulas, enalidades, imosos e demais cusos. 6.. Análise da Série de Preços do GN As commodiies, em geral, não são negociadas no mercado à visa fazendo que os reços à visa não sejam observáveis no esrio conceio. É comum enconrar na lieraura os conraos fuuros com vencimeno mais róximo como uma roxy ara o reço à visa. Ese rabalho visa imlemenar o modelo de Schwarz e Smih (000) ara os reços fuuros do GN do Henry Hub. Essa imlemenação é feia com o méodo do filro de Kalman que relaciona as variáveis de esado não observáveis com os reços fuuros de diversas mauridades. Os dados básicos uilizados ara análise dos modelos foram os reços da commodiy GN Henry Hub. Esa commodiy é negociada na Bolsa de Mercadorias de Nova Iorque (NYMEX). O Henry Hub é o ono físico de convergência de grandes gasoduos no Esado da Luisiana e de onde os reços de surimeno de GN nos Esados Unidos são referenciados, sendo usados como referência ara os

3 50 conraos fuuros de GN na NYMEX. Os reços fixados em Henry Hub são denominados em dólares or milhões de unidades érmicas briânicas ($/MMBu). Os dados uilizados no resene rabalho corresondem aos valores diários coleados diariamene e semanalmene do fechameno da quara-feira. No caso de feriado, o valor de quina-feira é o aurado. Foram analisados conraos ara diversos vencimenos como resume a abela e mosra a figura 7. Conrao Período Número de dados Média US$/MMBu Desvio Padrão US$/MMBu Média 1 meses US$/MMBu F1 5,65,37 3,69 F4 05/01/000 5,95,41 3,90 76 F7 a 6,08,38 4,06 semanais F10 8/03/01 6,1,9 4,1 F13 6,10,3 4,3 F1 5,85,37 3,43 F4 04/01/00 6,6,4 3, F7 a 6,44,36 3,86 diários F10 30/04/01 6,5,4 4,03 F13 6,5,14 4,19 F1 4,01 0,79 3,43 F4 0/01/009 4,40 0,79 3, F7 a 4,7 0,87 3,86 diários F10 30/04/01 5,00 0,88 4,03 F13 5,19 0,94 4,19 Tabela 1 Informações das séries de reços fuuros do gás naural uilizadas

4 51 Figura 1 Preços fuuros do gás naural Henry Hub Esimação dos Parâmeros Via Oimização Com base no modelo de Schwarz e Smih (000), onde o logarimo do reço fuuro do GN é linear com relação a duas variáveis inceras e ainda coném uma comonene deerminísica sazonal, o modelo ode ser esimado elo filro de Kalman onde são obidos os hierarâmeros do modelo e as variáveis e aravés da maximização da verossimilhança do erro de revisão. Os filros e odos os rocedimenos foram imlemenados com o uso do sofware EViews, da mesma forma que Aiube (005), orém inroduzindo o comonene sazonal deerminísico, f(). A comonene sazonal é imlemenada usando variáveis dummies rimesrais a fim de mensurar os efeios e imacos, que

5 5 as diferenes esações do ano (verão, ouono, inverno e rimavera) exercem sobre os reços do GN. Aravés do sofware MATLAB, Maroa (011) calculou os valores dos hierarâmeros com base nas séries de reços fuuros do GN ara o modelo de Schwarz e Smih (000). Esses dados foram usados como valores iniciais na esimação e esão aresenados na abela 3. Parâmero Valor Esimado Erro µ λ κ λ σ σ ρ 0,001 0,0013-0,0150 0,0034 3,3501 0,095-0,3678 0,1876 0,5734 0,035 0,367 0,0135-0,649 0,0781 Tabela Parâmeros usados ara a simulação Fone: Maroa, 011 Nesa seção será feio um breve resumo do filro de Kalman, com base em Aiube (005), Aiube e al. (006) e Maroa (011), junamene com sua imlemenação ara filragem e esimação dos arâmeros. O filro de Kalman é um rocedimeno recursivo eficiene de esimação ara calcular esimaivas de variáveis de esado (no conexo de Kalman são variáveis não observáveis) aravés de variáveis observáveis. É um rocedimeno que deermina o esimador óimo dadas as informações disoníveis aé o emo. Ese esimador é dio óimo uma vez que a variância do erro das variáveis de esado é mínima. As equações do filro de Kalman são agruadas em dois ios: as equações de ransição que regem as variáveis de esado e as equações de medição que relacionam as variáveis de esado e os reços observados. As equações de ransição são resonsáveis elo avanço das variáveis de esado e das covariâncias

6 53 ara se ober as rimeiras esimaivas ara o róximo insane de emo. Já as equações de medição incororam uma nova informação da variável observável nas esimaivas aneriores ara ober melhores esimadores. (000), Com base na equação dos reços fuuros do modelo de Schwarz e Smih ln κ ( T ) ( F, T ) = e + + A( T ) + f ( ) + u Onde F,T é o reço fuuro em de um conrao com vencimeno em T, u é um ruído Gaussiano, u ~ N(0, s i ), A(T-) é dado or: A( T ) = ( µ λ )( T ) (1 e + 1 σ κ ( T ) κ ( T ) κ ( T ) ( 1 e ) + σ ( T ) + ( 1 e ) κ λ ) κ ρ σ σ κ E função de sazonalidade f() é reresenada ela seguine equação: f ( ) = α Q + α Q + α Q Onde α, α 3 e α 4 reresenam os coeficienes do º rimesre, 3º rimesre e 4º rimesre, resecivamene. As variáveis Q, Q 3 e Q 4 são variáveis dummies 1 e referem-se aos resecivos rimesres, endo o 1º rimesre como adrão. Os arâmeros a serem esimados, aravés da maximização da verossimilhança do erro de revisão, são Θ = ( κ, λ, σ, µ, λ, σ, ρ, s, s, s, s, s, α, α α ) , adrão de ruído das observações do i-ésimo conrao. 4, onde s i é o desvio Assim, no modelo de Schwarz e Smih (000) as equações das variáveis de esado devem ser discreizadas. 1 Uma variável dummy é uma variável arificial, sendo 1 ara os casos em que ocorre deerminada siuação e 0 ara os casos conrários. Por exemlo, se uma observação esiver relacionada ao º rimesre, enão Q = 1, Q 3 = 0 e 4 = 0 Q.

7 54 d d = κ d + σ dz = µ d + σ dz ransição: Aós a discreização, obêm-se as equações denominadas equações de = (1 κ ) = + ε + µ + ν Onde ε ~ N(0, ) e ν ~ N(0, ), sendo ρ a correlação enre as σ ε duas disribuições normais e σ ν o inervalo de emo. Como as disribuições das variáveis e são condicionalmene normais, as variâncias condicionais e a mariz de covariância são dadas or: Var Var Cov κ ( ) [ 1 ] = ( 1 e ) [ ] = σ = σ 1 [, ] = ν σ = σ ε κ σ κ ( ) κ ( ) ( 1 e ) ( 1 e ) κ σ σ ρ κ ( ) ( 1 e ) σ ( ) κ σ σ κ ρ Já endo as equações de ransição, a equação de medição é dada or: ln κ ( T ) ( F T ) = e + + A( T ) + f ( ) + u, Onde u ~ N(0, σ ) é um ruído Gaussiano que foi inroduzido no logarimo u dos reços fuuros, cujos erros são descorrelacionados dos erros das equações de ransição ε e ν. De osse de odas as equações e ruídos é ossível imlemenar o algorimo do filro de Kalman e a cada rodada aualizar a esimaiva ara as variáveis de

8 55 esado não observáveis. Para minimizar o erro quadráico das revisões é reciso enconrar o esimador óimo aravés da maximização da função verossimilhança dado o veor inicial de hierarâmeros. A abela 4 mosra os resulados da esimação dos arâmeros com o filro de Kalman, aós inerações. Tabela 3 Parâmeros Esimados A maioria dos esimadores, ano ara os dados diários quano ara os dados semanais, são basane similares, orém a sazonalidade é mais significaiva na análise dos dados diários. Com base nas esimaivas enconradas, os arâmeros ara os reços diários com dados de 00 a 01 se mosraram mais consisenes e serviram de base ara a revisão dos reços do GN Consrução da Árvore de Preços do Gás Naural Com base nos arâmeros, odem-se rever os reços do GN ara as daas dos ossíveis exercícios da oção. De acordo com os cálculos feios, os valores iniciais das variáveis ara a daa da assinaura do conrao, de maio de 01 são:

9 56 = 0,3097 = 1, Assim, ln( S ln( S S 0 0 = ) = Y ) = 0, ,101 0,098 = 0,7617 $,14 = + + f ( ) Além disso, = σ = σ ν * * = κ λ = 0,4816 = 0, = 0,408 = 0,1091 = 3,919 0,5887 ν = µ λ = 0, ,603 = 0,40 A arir desses valores, esimam-se os logarimos dos reços ara um esquema de árvore binomial bidimensional. Pare da árvore esá na figura 8. Ln(S1) uu / ud / ,101 1, ,1091 = 1,103 0, ,408 uu / = 0, ud / 0,3097 0,408 = 0,5505 1,1414 0, du dd /( 1 ) 0 + /( 1 ) 1 1,101 0,1091 = 0, du dd /( 1 ) /( 1 ) 0, ,408 = 0,0689 0,3097 0,408 = 0,5505 0,93 0,4416 Figura Árvore binomial bidimensional dos reços do gás naural Tano a variável de curo razo quano a de longo razo odem er um incremeno osiivo ou negaivo em cada asso de emo discreo, fazendo com que essas duas árvores binomiais resulem em quaro valores ara o reço em cada insane. A figura 9 mosra de forma inuiiva are do deslocameno desses reços a cada inervalo de emo deendendo das variações de cada um dos faores, ou seja, cada reço resula em quaro ossíveis reços em cada insane de emo.

10 57 Como essas árvores são recombinanes, vários valores se reeem como ode ser observado na figura 9. Figura 3 Esquema dos reços do gás naural 6.4. Cálculo da Oção de Swing no Conrao de Gás Naural Com a revisão dos reços já feia, odem-se calcular as oções do conrao da mesma forma que fez Jaille e al. (004). Considerando uma oção de swing simles com duração de um ano e quaro daas de exercício (rimesrais), onde só odem ser exercidos, no máximo, dois direios de swing. Cada exercício ermie a aquisição de um ou dois MMBus de GN. Para o valor dessa oção, consroem-se

11 58 rês árvores binomiais bidimensionais - não exercer os direios, exercer um direio, e exercer dois direios. No rimeiro caso, o reço de exercício esá fixado em $3,70 or MMBu. Como essa árvore é basane exensa, a figura 10 coném are da árvore já com as quaro ramificações ara cada insane de emo e mosra os valores da oção de swing. As rês árvores odem ser exlicadas da seguine forma, lembrando que a análise é feia de rás ara frene no emo: O nível inferior mosra o valor da oção sem exercícios realizados. Os zeros na figura 10 são aribuídos a ausência de ossíveis medidas a serem omadas e a ausência de mulas. O nível médio mosra a árvore, quando um direio é exercido e dois MMBus de GN exras são comrados. Nesa árvore, o valor ara o rimeiro nó do reângulo suerior no insane T3 é calculado da seguine forma,,7148 = max ( r [ PGN _ T 3 PExrcício ) + 0; Poção 1 _ T 4e ] r [ (5,0574 3,70) + 0; (6,53 + 1, , ,00 ) e ] 4 [ + 0; (1,006) e ] 0,05 / = max[,7148;1,1857 ] = max (1,3574) uu ud du dd Isso mosra que é ideal exercer a oção de swing nesse nó ara o máximo ossível de MMBus ao invés de eserar, ois o ganho com a diferença enre o reço à visa do GN e o reço de exercício é maior do que o valor da esera (os valores da oção em T4 onderados, desconando a axa livre de risco ara T3). Por isso ao exercer essa oção já não ode mais ermanecer nessa árvore e ulase ara a árvore inferior onde não é ossível exercer nenhuma oção, seguindo o caminho indicado em vermelho na figura 10. No nível mais alo o valor da oção de swing com dois direios exercidos, em cada nó, é dado elo maior valor enre: Exercer agora + valor resene eserado neuro ao risco do valor da árvore abaixo (no nível médio); Adiar o exercício e er o valor resene eserado dos róximos quaro nós se manendo na árvore suerior.

12 59 Nesa árvore, o valor de $3,90 no rimeiro nó do reângulo suerior ara o insane de emo T3, é obido or: 3,9005 = max[ ( P = max[ (5,0574 3,70) + (6,53 = = (6,53 GN _ T 3 uu P Exrcício + 1,059 ud ) + P oção 1 _ T 4 + 3,8004 r ; P + 1, ,00 oção _ T 4 ) e max [ (1,3574 ) (1,006 ) ; (1,006 ) ] 0,05 / 4 0,05 / 4 + e e max [ 3,9005 ;1,1857 ] uu du e ud dd e + 3,8004 r r ] ] du + 0,00 dd ) e r ; Nesse nó, o exercício da oção de swing é mais valioso do que a esera, orano é válido exercer a oção. Ao exercer essa oção, ula-se ara a árvore do nível médio onde ainda é ossível exercer oura oção, seguindo o caminho indicado em vermelho na figura 10.

13 Figura 4 Árvore de oção de swing Preço de Exercício Fixo 60

14 61 Num segundo caso, é analisado o valor da oção onde o reço de exercício é diferene ara cada uma das daas de ossível exercício. Observando os conraos fuuros do Henry Hub negociados no NYMEX, na daa de assinaura do conrao fixam-se os reços de exercícios elos reços fuuros ara os meses de ossíveis exercícios. O fechameno dos conraos fuuros ara os meses de ineresse esão na abela 5. Daa Exercício Preço Fuuro US$/MMBu Agoso de Seembro de Fevereiro de Maio de Tabela 4 Preços de Exercício do GN Os cálculos ara a oção de swing com diferenes reços de exercício foram feios da mesma forma que os exlicados aneriormene. A figura 11 mosra o mesmo esquema da figura 10 onde com o exercício da oção ula-se ara a árvore abaixo. A única diferença é que nesse segundo caso, o reço de exercício varia ara cada uma das daas de ossível exercício da oção.

15 Figura 5 Árvore de oção de swing Preço de Exercício Variável 6

16 Resulados Aós esimar os arâmeros do modelo de dois faores de Schwarz e Smih (000) dos reços do GN com base nas séries hisóricas dos reços fuuros do Henry Hub aravés do filro de Kalman, foi ossível rever os reços do GN ara o eríodo de vigência do conrao. A rojeção desses reços foi feia de forma discrea aravés de árvores binomiais bi-variável, e as oções de swing nos conraos de GN foram calculadas de forma equivalene a Jaille e al. (004). Com base nos cálculos acima e analisando numa erseciva de rás ara frene (backwards), num conrao de GN com oção de swing válido or um ano, com quaro daas de exercício (exercício rimesral) odendo realizar aé dois exercícios, o valor da oção de swing é de $1,56. Nesse conrao o reço de exercício foi fixado em $3,70 or MMBu. Como em cada exercício odem ser conraados MMBus além do conrao adrão, cada oção ermie aumenar em 4MMBus o volume inicialmene conraado. Tendo como base o reço à visa do GN esimado elo modelo de Schwarz e Smih (000) ara a daa de assinaura do conrao de $,14 or MMBu, exressando em ercenagem do reço à visa do GN, o valor da oção de swing é de 73% do reço do GN, 18% do reço à visa do GN or MMBu exra que ode ser conraado. Ou seja, num mercado de incereza como o de GN, o comrador esá disoso a agar 18% do reço à visa do GN or cada MMBu exra que lhe dá o direio, mas não a obrigação de comrar em daas fuuras. Caso queira assinar um conrao que seja menos flexível e exercer uma vez o direio de comrar mais MMBus, essa oção de swing vale $1,06 que equivale a 50% do reço à visa do GN na daa de assinaura do conrao. Nesse caso, agase 50% do reço do GN ela garania de er o fornecimeno de MMBus excedene. Esse valor equivale a 5% do reço à visa do GN or MMBu exra que a oção lhe dá o direio de comrar. Analisando um conrao de GN com oção de swing com as mesmas caracerísicas do conrao anerior (a única diferença no reço de exercício, ois os reços de exercício são diferenes ara cada uma das daas de ossíveis exercícios) foram considerados os reços fuuros do Henry Hub, negociados na

17 64 daa da assinaura do conrao, ara cada mês das daas de exercício. O valor da oção com o reço de exercício variando é de $,, e reresena 104% do reço à visa do GN, enquano que o ercenual or MMBu é de 6%. O valor da oção com a ossibilidade de um único exercício é de $1,9 (60% do reço do GN). Essa oção é mais valiosa do que a oção de swing com reço de exercício fixo orque, nesse caso, os reços de exercício são odos inferiores a $3,70 (reço de exercício do conrao fixo) aumenando as chances de exercer a oção, o que a orna mais araiva e valiosa. Algumas análises odem ser realizadas, mesmo não odendo ser feia uma comaração rigorosa com os resulados de Jaille e al. (004), or erem usado diferenes eríodos de observação como base. Considerando um conrao de GN com oção de swing cujo reço de exercício é fixo, em Jaille e al. (004), o valor da oção é de $1,39 (59% do reço à visa do GN). Esse valor é menor do que o valor enconrado, mas esse aumeno arece realisa com a execaiva de crescimeno do mercado de GN e com o reço de exercício adoado. Já no caso de reços de exercícios diversos, o valor da oção em Jaille e al. (004) é de $1,01 (43% do reço à visa do GN), um valor muio inferior ao enconrado devido, rincialmene, aos valores de exercício escolhidos. Vale ressalar que o reço de exercício e a esimação dos reços fuuros afeam significanemene o reço da oção Análise de Sensibilidade Diversas análises de sensibilidade odem ser feias ara verificar as variações do valor da oção de swing de acordo com mudanças em algumas variáveis de ineresse. Seguem algumas que foram realizadas. A oção de swing com exercício variável é mais valiosa do que a oção calculada com reço de exercício fixo, os valores dos exercícios variáveis são inferiores ao valor fixado, incenivando mais o exercício da oção e valorizandoa. Para analisar o quano o reço de exercício influencia no valor da oção, a figura 1 mosra os valores da oção de swing com um ou dois exercícios ara diferenes reços de exercício. Quano menor o reço fixado do GN, maior o valor da oção, ois maior a robabilidade da oção ser exercida. À medida que o reço

18 65 aumena, o valor das oções ende a convergir e se aroximar de zero. A oção assa a não er mais valor significaivo quando o reço de exercício ainge valores sueriores a $7,00. Figura 6 Valor da Oção X Preços de Exercícios Analisando a esruura da formação dos reços elo modelo de dois faores de Schwarz e Smih (000), ln( S ) = Y d = ( κ λ ) d + σ dz d = ( µ λ ) d + σ dz dz dz = ρ = + d Os arâmeros κ, µ, σ e σ e a correlação x ρ odem afear o valor da oção. Alerando o valor da velocidade de reversão à média do rocesso de curo razo κ, como mosra a figura 13, observa-se que quano mais róxima de quaro, maior é o valor da oção. Como ode assumir valores osiivos e negaivos e a velocidade de reversão ambém afea as robabilidades, a axa de reversão à média rovoca variações diversas no reço da oção.

19 66 Figura 7 Valor da Oção X Taxa de reversão à média Com relação ao arâmero de crescimeno de longo razo µ, quano mais róximo de zero a axa de crescimeno enalizada do rêmio de risco µ λ ), ( menor é a endência de crescimeno dos reços do GN na medida neura e com isso menor o valor da oção de swing. Por ouro lado, essa axa ambém afea as robabilidades de subida e de descida dos reços, fazendo com que o comorameno da endência de longo razo neura ao risco se comore de modo que o valor da oção cresce à medida que a endência neura ao risco se aroxima de 0,5 e sofre um leno decaimeno com o aumeno no valor da endência neura ao risco. A figura 14 mosra as variações somene da endência de longo razo, enquano que na figura 15, observam-se variações aenas no rêmio de risco do faor de longo razo λ. Já a figura 16 aresena os imacos no valor da oção de acordo com variações na axa de crescimeno neura ao risco ( µ λ ).

20 67 Figura 8 Valor da Oção X Tendência de longo razo Figura 9 Valor da Oção X Prêmio de risco de longo razo

21 68 Figura 10 Valor da Oção X Tendência neura ao risco Quano maior as volailidades ano do rocesso de curo razo ( σ x ) quano da endência de longo razo ( σ ), maior a incereza dos reços do GN e essa incereza aumena o valor da oção. Essa endência crescene é basane inuiiva e ode ser observada nas figuras 17 e 18. Figura 11 Valor da Oção X Volailidade de curo razo

22 69 Figura 1 Valor da Oção X Volailidade de longo razo Analisando o rêmio de risco do faor de curo razo ( λ ), a figura 19 mosra claramene que quano maior esse rêmio, menor o valor da oção. Isso ocorre orque o rêmio de risco enaliza a endência do faor de curo razo do rocesso κ λ ), inibindo grandes variações nos reços e desvalorizando a oção. ( Figura 13 Valor da Oção X Prêmio de risco de curo razo A correlação enre as variáveis de curo e longo razo ρ ambém influenciam no valor das oções de forma significaiva. Na figura 0, observa-se

23 70 que, quano maior a correlação dos faores, maior o valor da oção. E à medida que essa correlação diminui e se orna negaiva, a oção é desvalorizada. Figura 14 Valor da Oção X Correlação Do ono de visa macroeconômico, oura análise de sensibilidade ode ser feia, com relação à axa de juros. A figura 1 mosra o quão ouco a axa de juros afea o valor da oção de swing, ou seja, variações significaivas na axa de juros não causam alerações relevanes no valor da oção. Assim, a axa de juros assa a ser uma variável não muio relevane. Figura 15 Valor da Oção X Taxa de Juros