2 Generalized Autoregressive Moving Average Models (GARMA)

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1 Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA se caíulo esá fundamenado no arigo de Benamin, Rigb e Sasinooulos (003 [] o ual em como obeivo raar a eensão dos modelos ARMA (Auoregressive Moving Average Models com disribuição condicional gaussiana ara disribuições condicionais não-gaussianas, erencenes à família eonencial. Os modelos GARMA de Benamin, Rigb e Sasinooulos[] são eensões naurais dos modelos não-gaussianos desenvolvidos or Zeger e Qauish (988 [3] e Li (994 [3]. Conforme aneriormene colocado, nese rabalho esaremos focados nas esecificações GARMA ue odem ser uilizadas ara modelar séries de dados de conagem ue aresenam deendência emoral, a saber, os modelos GARMA com disribuições condicionais Poisson e Binomial Negaiva. Os modelos GARMA são definidos nese rabalho com a mesma noação e arcabouço uilizados nos GLM (Generalized Linear Models roosos or McCullagh e Nelder (989 [4] ara observações indeendenes. A diferença fundamenal enre as duas abordagens é ue enuano em McCullagh e Nelder a disribuição definida é a marginal, nos modelos de Benamin, Rigb e Sasinooulos a are aleaória do modelo é esecificada ela disribuição condicional ornando assim ossível o raameno de dados (amosras deendenes. Assim sendo, é conveniene inroduzir uma euena descrição dos GLM, anes de abordarmos os modelos GARMA.. Generalized Linear Models (GLM Traa-se da generalização do modelo de regressão linear e gaussiano de forma a adeuá-lo ara a modelagem de variáveis de resosa indeendenes ue aresenem caracerísicas elícias de não-normalidade, ais como variáveis coninuas com assimeria e dados de conagem.

2 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 5 Consideremos rimeiro o modelo de regressão linear clássico onde: ( n é o veor de observações; µ ( n é a are sisemáica ou elicaiva do modelo; são as variáveis elicaivas (regressores não esocásicos, onde,,...,; No arcabouço dos GLM, o modelo de regressão é esecificado aravés de rês comonenes, a saber: Pare aleaória: ( é NID( µσ, I ; ( Pare elicaiva: onde η é denominado o redior linear; η β ( Função de ligação: comonene ue faz a ligação enre a are aleaória e a are elicaiva do modelo de regressão: µ η (3 Para o caso generalizado emos as seguines diferenças em relação ao caso linear clássico: comonene aleaória: a disribuição vem de uma família eonencial, a ual engloba como casos ariculares, além da Gaussiana: Binomial, Poisson, Binomial Negaiva, Gama e Inversa Gaussiana.

3 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 6 comonene de ligação: a função de ligação não necessia ser a idenidade. A escolha da função de ligação adeuada vai deender da disribuição escolhida odendo ser ualuer função monoônica dulamene diferenciável: g ( µ η onde ( g é a função de ligação. A esimação dos modelos é efeuada or máima verossimilhança, a ual é demonsrado ser euivalene a um esuema de mínimos uadrados onderados reierados. Dada a breve descrição da modelagem GLM, agora será aresenada a definição do modelo GARMA.. Definição do modelo GARMA Nos modelos GARMA a disribuição condicional de cada observação ara cada, K, n dado o conuno de informações assadas H onde: {, K,,, K,, µ, K µ } H ; (4, é considerada erencene a uma mesma família eonencial abaio reresenada: ( ϑ ( ( ϑ b f / H e d, ϕ ; (5 ϕ onde ϑ é o arâmero canônico da família eonencial, ϕ é o arâmero de escala, b ( e ( d são funções esecíficas ue definem uma família eonencial esecífica e é o veor de variáveis elicaivas de amanho k.

4 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 7 Como no caso GLM, a média condicional do rocesso com o redior η ela função de ligação g (, ou sea, g( dulamene diferenciável e monoônica. µ se relaciona µ η sendo g ( Diferenemene do caso adrão GLM, aui, o redior η ossui uma comonene adicional, τ ue rovê a are relaiva aos ermos auoregressivos e médias móveis, bem como ambém inclui no redior valores assados das variáveis elicaivas resenes no modelo. Porano, eremos: g ( µ η β τ ; (6 com (,, β θ M (, µ τ φ A (7 onde A e M são funções ue reresenam os ermos auoregressivos e médias móveis resecivamene, com arâmeros associados φ ( φ K, ( θ K θ,, θ., φ e O modelo aresenado acima é muio geral e será aricularizado da mesma forma resene no arigo de Benamin, Rigb e Sasinooulos (003 []. Abaio esá descria a nova eressão ara o redior η feias as devidas alerações no ermo τ : { g( β} θ g( { η } η β φ (8. Logo, unando essa euação à euação de f ( / H odemos definir o modelo GARMA(,:

5 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 8 ( ϑ ( ( ϑ b f / H e d, ϕ (9 ϕ ( η β φ g( { β} θ g( { η } g µ (0. Da aramerização do modelo GARMA acima descrio e usando os seguines resulados á conhecidos e abaio enunciados, é ossível chegar nas eressões da média condicional de dado condicional de dado H, ( ser enconrados no aêndice [I]. Uilizando as relações: H, [ ] / H e da variância Var / H. Dealhes dese desenvolvimeno odem ( / log f H ϑ 0 ( log f ϑ ( / H log f ( / H ϑ 0 ( chega-se à: média condicional [ ] b ( ϑ (3 ϕ variância condicional Var( b( ϑ (4 Nesa disseração iremos elorar duas esecificações dos modelos GARMA aresenadas no arigo de Benamin, Rigb e Sasinooulos, a saber, o modelo GARMA-Poisson e o modelo GARMA-Binomial Negaiva (GARMA- NB, os uais serão aresenados a seguir.

6 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 9.3 Modelo GARMA-POISSON O modelo GARMA-Poisson consise no modelo GARMA onde a função de disribuição de robabilidade uilizada ara dado H é a disribuição Poisson. Para ese modelo a função de ligação escolhida foi a logarímica ois esá rovê valores não negaivos ara ( µ g η não imorando os valores aribuídos a η. não, fazendo uso das considerações enunciadas odemos definir o modelo GARMA-Poisson: f ( / H µ µ e (5! * ( β φ { log( β} * log µ θ log (6 µ onde é conhecido ue : [ / ] [ / ] H Var H µ (7 * onde ma( c ara 0 < c <. O arifício de usar, * ao invés de se mosrou necessário ara subsiuir os valores em ue 0 or c a fim de ermiir o uso da função logarímica como função de ligação ara modelagem de séries ue ossuam algumas observações iguais a zero. São casos ariculares da modelagem GARMA-Poisson os modelos uramene auoregressivos ( θ 0 ara,, K, esudados or Zeger e Qaish (988 [3] e ambém os modelos uramene médias móveis, ( φ 0 ara,, K, esudados or Li (994 [3].

7 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 0 Algumas ouras formas de modelagem foram esudadas or Davis e al. (999 [6] e Brumback e al. (000 [5]. Davis discue em seus esudos mudanças na eressão do redior uilizando os resíduos de Pearson ara os ermos médias móveis, enuano Brumback definiu um modelo similar ao GARMA-Poisson chamado TGLM (Transiional Generalized Linear Models roondo uaro diferenes formas de se definir o redior..4 Modelo GARMA-BINOMIAL NGATIVA (GARMA-NB No modelo GARMA-Binomial Negaiva emos ue a disribuição de robabilidade condicional uilizada é a disribuição Binomial Negaiva. A aramerização uilizada e abaio enunciada é a mesma resene em Benamin, Rigb e Sasinooulos (003 []. f ( H Γ( k ( k Γ( / (8 Γ µ k µ k µ k k ara 0,,, K e k > 0 onde k é o arâmero de disersão. Nesa aramerização a média condicional e a variância condicional dado odem ser enconrados elas resecivas eressões: [ H ] / µ (9 Var [ / H ] µ µ (0 k onde a eressão ara log(µ é a mesma uilizada no modelo GARMA-Poisson: * ( β φ { log( β} * log µ θ log ( µ

8 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA Verifica-se facilmene ara a disribuição Binomial Negaiva ue: [ H ] [ H ] Var / > / ( ou sea, o modelo GARMA-NB aresena suerdisersão em relação ao modelo GARMA-Poisson. Dealhes dos cálculos da média e da variância condicionais bem como a eressão de f ( / H ara o caso GARMA-Negaiva Binomial na forma adrão da família eonencial em uesão enconram-se no aêndice (II..5 simação do veor de hierarâmeros Para esimar o veor de arâmeros desconhecidos ( β, φ, θ γ de um modelo GARMA uiliza-se o logarimo da função de verossimilhança, a ual deve ser maimizada: ( γ ;,,, ln ( ;,,, γ l K L K (3 Tal como nos GLM esa maimização irá eigir a uilização de méodos numéricos. Para o modelo GARMA-Poisson esa função em a seguine eressão: l l T ( µ µ e γ,,, log ; τ τ K T (4 τ! T ( γ,,, µ log(! [ ] ; K (5 τ τ T µ τ Para o modelo GARMA-NB a eressão é dada or: l ( γ,,, k Γ( ( ( k µ k k Γ µ k µ k T ; τ τ K T log (6 τ Γ

9 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA l T ( γ ;,, K, [ log Γ( k τ τ T τ µ k log k µ k µ k ( log( Γ( k log( Γ( (7 onde τ é o índice da rimeira observação não nula (a arir da ual emos disribuições rórias. Para esimar os hierarâmeros dos modelos esudados foi uilizada a ferramena fmincon resene no sofware Malab. Fmincon é uma ferramena rória ara achar o mínimo de uma função de múlilas variáveis num subesaço aramérico bem definido. Logo ara esimar os valores dos hierarâmeros basou minimizar o negaivo da função de log-verossimilhança..6 sacionariedade dos modelos GARMA Tal ual nos modelos ARMA Gaussianos, é necessário ambém invesigar as condições de esacionariedade dos modelos GARMA, de forma ue inferências adeuadas seam obidas a arir deses modelos. Uma análise das condições necessárias ara garanir esacionariedade dos rocessos GARMA será abaio aresenada. sa análise enconra-se dividida em dois casos. No rimeiro caso verifica-se as condições de esacionariedade dos modelos GARMA cua função de ligação é a idenidade. No segundo caso esuda-se a condição de esacionariedade dos modelos GARMA cuas funções de ligação não são idenidade. se úlimo caso é o ue nos ineressa, ois nossa função de idenidade é a logarímica..6. Modelos com função de ligação idenidade São definidas nesa seção condições de esacionariedade ara a média e a variância incondicionais bem como a eressão da média e da variância. Para um modelo definido elas euações (9 e (0 a média incondicional ode ser obida

10 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 3 seguindo os seguines assos a arir da eressão (0 alicando-se a função de ligação idenidade. { } { } η θ β φ β µ. (8 Definindo ν µ (9 emos ue ν é o erro de revisão com média e auocovariância iguais a zero. Subsiuindo a eressão (8 em (9, { } { } ν η θ β φ β (30 e reorganizando a eressão acima, chegamos à euação, { } { } ν η θ β φ β. (3 Fazendo η υ e β w (3 ode-se escrever uma nova euação em função de w, w w ν υ θ φ (33 ou ( B w ν Ψ (34

11 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 4 onde: Ψ ( B Φ( B Θ( B (35 Ψ ( Ψ B Ψ B K B (36 Ψ ( ( Ψ B Ψ B K B (37 Φ ( B Φ B K Φ (38 B Θ ( B Θ B K Θ (39 B onde Φ ( B é inversível. Feias essas considerações oderemos enão calcular o valor eserado incondicional de ao omarmos o valor eserado dos ermos da euação (3. [ ] [ β] [ w ] (40 [ ] β (4 Para o cálculo da variância incondicional, faz-se novamene uso da euação (3 chegando-se enão na seguine eressão: [ ] ϕ Ψ ( υ ( µ Var B (4 screvendo a euação da variância na forma acima facilia o reconhecimeno das condições de esacionariedade ara a mesma. Viso ue υ ( µ deende da disribuição condicional esecificada, a eressão da variância incondicional aresenará forma disina, deendendo do modelo considerado,

12 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 5 Poisson ou Binomial Negaiva. Para o modelo GARMA-Poisson a variância incondicional será dada or: ( [ ] Ψ ( β 0 Var (43 ( onde Ψ ψ. nuano ue ara o modelo GARMA-NB a variância incondicional será dada or: Var ( [ ] Ψ ( [ µ ] β 0, (44 k onde k é o arâmero de disersão resene na disribuição Binomial Negaiva e ( Ψ [ ] ( ( [ Ψ ( ] { β } µ 0 β 0 k k (45 sendo ( Ψ k k ( inversível..6. Modelos com função de ligação diferene da idenidade Diferenemene dos modelos com função de ligação idenidade, os modelos ue ossuem uaisuer ouras funções de ligação diferene da idenidade não ermiem uma forma direa e raável ara o cálculo das eressões dos momenos incondicionais e nem ambém uma forma simles de se deerminar às resrições araméricas necessárias ara garanir esacionariedade.

13 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 6 Podemos verificar ese fao analisando um dos casos mais simles em esudo, os modelos GARMA-Poisson e GARMA-Binomial Negaiva, ara os uais foram assumidos a função de ligação logarimo, ou sea ( log( g. Como eemlo emos o modelo GARMA aenas com um ermo auoregressivo (AR(, sem variáveis elicaivas e inerceo consane igual a β β. Definindo o modelo: 0 log ( / Y ~ Poisson( µ ( µ β 0 φ (46 O rimeiro momeno condicional será dado ela eressão: ( β 0 [ / ] φ Y e µ (47 Tenando calcular o rimeiro momeno incondicional noamos ela euação (50 ue ese é inraável. [ ] [ [ Y ] (48 / [ ] ( β0 φ [ ] e [ ] β0 ( φ [ ] e e (49 (50 Aenas ara fins comaraivos, abaio esão os mesmos uaro assos aneriores ara o mesmo modelo, mas agora com a função de ligação idenidade: [ / Y ] β 0 φ µ (5 [ ] [ [ Y ] (5 /

14 . Generalized Auoregressive Moving Average Models (GARMA 7 [ ] [ φ ] 0 β (53 [ ] φ [ ] 0 Como num rocesso esacionário [ ] [ ] β (54 enão chegaremos a uma euação ara o rimeiro momeno condicional ara ese modelo em uesão cua função de ligação é idenidade. [ ] β 0 (55 φ Conforme ode-se observar, ara modelos em ue a função de ligação difere da idenidade, o cálculo dos momenos incondicionais se orna imraicável imossibiliando a análise direa do esaço aramérico no ual a esacionariedade é garanida. No caíulo 3, seguindo o rocedimeno adoado or Benamin, Rigb e Sasinooulos (003 [], iremos invesigar a região de esacionariedade dos modelos GARMA, ela obenção, via simulação Mone Carlo, da disribuição incondicional imlicada elos modelos GARMA