2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

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1 . REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.1 Modelo de Apreçameno de Opções GARCH A eoria de apreçameno de opções por GARCH foi desenvolvida por Duan (1995) ao esender o conceio de neuralidade a risco de Rubinsein (1976) e Brennan (1979). Devido à complexidade dos processos GARCH, uma versão generalizada de neuralidade a risco foi desenvolvida: o conceio Locally Risk- Neural Valuaion Relaionship (LRNVR). No LRNVR, a variância é consane para apenas um período à frene. A variância além de um período pode apresenar mudanças. Assim, diferenemene do modelo de B&S, o modelo de apreçameno de opções por GARCH leva em consideração o faor prêmio de risco caracerísico do aivo-objeo. As premissas perinenes ao modelo de apreçameno de opções por GARCH são as seguines: O preço do aivo-objeo segue o movimeno browniano geomérico; A volailidade dos reornos do aivo-objeo segue um modelo GARCH; e Para um período à frene, o desvio-padrão é consane. Se o preço de um aivo-objeo (S), como por exemplo uma ação, segue o movimeno browniano geomérico, em-se que d ln S ( ) d, 1 onde é o reorno logarímico esperado do aivo, é o desvio-padrão no insane, e é 1 Ver Hull (1999, p. 37).

2 1 uma variável aleaória que possui uma disribuição normal com média 0 e variância condicional. Enão, como sob condições de log-normalidade, é igual a exp( r ), onde é a unidade de prêmio de risco, e r é o reorno logarímico do aivo livre de risco, ambos para um período, em-se que o preço do aivo objeo para um período segue o seguine processo: S S -1 exp[ r 1 ~ N(0, ), sob a medida P; e ]. (.1.a) É assumido que, a variância condicional de, segue um processo GARCH (1,1) de Bollerslev (1986). A dinâmica é governada pela lei de probabilidade P com respeio a é o conjuno de odas as informações aé o período. Assim sendo,. (.1.b) 1 Os parâmeros de GARCH edevem ser maiores quezero mede o impaco marginal da inovação mais recene na variância condicional e capura os impacos marginais combinados das úlimas inovações. Para garanir a esacionariedade da covariância de, a soma dos parâmeros ea parir dese momeno chamada deve ser menor que 1. O parâmero pode ser encarado como uma medida de persisência a choques da variância condicional. 3 Um alo valor de indica uma pequena axa de decaimeno na variância condicional devido à influência das inovações, o que faz com que a variância condicional fique longe de sua média de longo prazo (volailidade esacionária) por um grande período. Esudos empíricos de reornos financeiros mosram que os valores esimados de são maiores que os de, 4 ou seja, a persisência da variância é na maioria das vezes caracerizada por um efeio pouco significane, porém 1 Para se garanir a esacionariedade do modelo, deve ser menor que 1 para que a volailidade incondicional, /(1-), não seja negaiva. 3 Ver Engle e Musafa (199, p.9) e Bollerslev, Chou e Kroner (199) sobre discussões acerca da persisência a choques de variância. 4 Ver Taylor (1986), Akgiray (1989), Lamourex e Lasrapes (1990), Ng (1991), Engle e Musafa (199) e Heynen e Ka (1994). 1

3 prolongado, das inovações da variância em um cero período. Isso corresponde a uma pequena auocorrelação enre os quadrados dos reornos (devido à menor magniude do parâmero ), mas que decai vagarosamene (devido à maior magniude do parâmero ). De uma forma geral, pode-se dizer que o primeiro impaco do valor do parâmero é no valor desa auocorrelação, enquano o primeiro impaco do valor do parâmero é no seu decaimeno. Pode-se uilizar, nese modelo, quaisquer especificações para a variância, ais como o EGARCH (Nelson, 1991), o GJR-GARCH (Glosen e al., 1993) ou o NGARCH (Engle e Ng, 1993) 5 desde que os reornos do aivo sigam o processo especificado. 6 Alguns esudos empíricos sobre preços de ações, como os de Bollerslev (1986) e Bollerslev, Engle e Nelson (1994), evidenciam que os resíduos do modelo GARCH possuem excesso de curose. Taylor (1994) sugere o uso de uma disribuição ou uma disribuição de erros generalizada para o modelo. No modelo de apreçameno por GARCH exise apenas uma fone de aleaoriedade, o, que faz pare da equação do preço do aivo-objeo (equação.1.a). A volailidade do reorno para um período à frene é conhecida, dado o conjuno de informações. Duan (1995) define uma medida de preço Q absoluamene conínua com respeio a P, e sob a qual 1 (um) mais o reorno condicional esperado do aivo-objeo é igual a exp(r) ao invés de exp(r + a variância condicional, conudo, é a mesma para ambas as medidas. Porano, como a média condicional de 1 (um) mais o reorno condicional esperado é independene de qualquer parâmero relaivo à preferência do invesidor, a medida Q é dia saisfazer uma locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR). Se a variância for consane, a LRNVR se reduz ao convencional risk-neural valuaion relaionship. Assim, o LRNVR é uma versão generalizada de neuralidade a risco. É imporane observar que a medida Q não saisfaz a neuralidade a risco global. 5 O NGARCH, EGARCH e GJR-GARCH são especificações do modelo GARCH que capuram o efeio alavancagem. 6 É pressuposo que exisa normalidade condicional dos resíduos dos reornos.

4 3 Assim, uma medida de preço em equilíbrio Q saisfaz o conceio locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR) se para qualquer valor do aivoobjeo, S, as seguines condições são saisfeias: (a) Q é muuamene conínua com respeio a P; (b) S 1 é log-normalmene disribuído sob Q; S (c) E Q S ( S 1 ) = exp(r +1 ); e (d) Var Q S (ln( S 1 ) ) = Var P S1 (ln( ) ). S Sob a medida de preço Q, em-se que: S S-1 exp[ ] (.1.c) r ~ N(0, 1 (.1.d) ( 1 1) 1 ) Como a medida Q saisfaz o LRNVR, o parâmero não deve esar presene na equação que modela o preço do aivo-objeo. Para isso, subsiuiu-se a variável aleaória nas equações.1.a e.1.b por. O modelo de variância condicional obido é o modelo GARCH assimérico não-linear de Engle e Ng (1993) - NGARCH. Porano, opções de um aivo que segue o radicional GARCH, simérico e linear, podem ser avaliadas como se o aivo seguisse um modelo GARCH assimérico não-linear com a unidade de prêmio de risco,, sendo o parâmero de alavancagem. Se a variância condicional é correlacionada negaivamene com o reorno anerior do aivo-objeo, ou seja, o impaco na variância de surpresas negaivas no reorno é maior que o de surpresas posiivas. Esse efeio assimérico na volailidade ambém é chamado de efeio alavancagem. É imporane observar que o LRNVR não elimina a unidade de prêmio de risco. Ela afea a inovação na variância condicional sob Q, a qual, por sua vez, afea o preço do aivo-objeo. 3

5 4 Duan (1995) afirma que se qualquer meodologia GARCH fosse escolhida, como por exemplo o EGARCH, um resulado semelhane para a variância condicional, seria obido. Da mesma forma que no GARCH simérico, sempre que aparecer na equação da variância condicional, ele deve ser subsiuído por, com odo o reso permanecendo sem alerações. O valor da opção de compra (C ) na daa, com preço de exercício K, é obido ao se desconar, à axa livre de risco, o valor esperado do pagameno final sob a medida Q: C exp(-r(t - ))E Q [max (S T - K, 0) ], (.1.c) onde T é o prazo de vencimeno da opção. Uma vez que uma solução fechada para a equação.1.c não pode ser derivada analiicamene, a simulação de Mone Carlo é um méodo conveniene para o modelo de apreçameno de opções por GARCH. O valor da opção de venda (P ) na daa pode ser calculado uilizando-se a relação de paridade enre as opções de compra e as opções de venda: P = C + exp(-r (T-))K - S. Os parâmeros de GARCH podem ser esimados não só a parir de preços à visa dos aivos-objeo, como ambém a parir dos preços das opções 7, sempre se empregando écnicas economéricas como a máxima verossimilhança e o mínimo do quadrado dos erros.. Modelo de Apreçameno de Opções GARCH x Modelo de Black&Scholes (B&S) Sob a incorrea premissa da homoscedasicidade dos reornos de um aivoobjeo, na qual o modelo de B&S se baseia, quando o que governa realmene os processos é a heeroscedasicidade, a neuralidade a risco deve ser global (e não local) a fim de se maner a consisência do modelo. Assim, o processo homoscedásico uilizado pelo modelo de Black&Scholes (B&S) é um caso especial do modelo de apreçameno de opções por GARCH ao 7 Ver Duan e Zhang (000, p. 8-9). 4

6 5 se admiir que a variância é consane aravés do empo. Nese caso, uma medida de variância a ser uilizada na fórmula de B&S, a fim de se comparar os dois modelos, é a variância esacionária (incondicional) de GARCH sob a medida P, igual a /(1 ), 8 uma vez que esa medida de volailidade pode ser P definida como a variância média de longo prazo. 9 Essa variância não possui correlação com os reornos passados. A disribuição dos preços do aivo-objeo é log-normal e não depende do caminho da variância, apenas da variância média. No modelo de apreçameno de opções por GARCH, a variância dos reornos do aivo-objeo para o próximo período é conhecida sob as informações correnes, e, conseqüenemene, a disribuição dos reornos do aivo-objeo é log-normal para um período à frene. Além desse período, as variâncias são esocásicas e dependem de qual modelo GARCH foi assumido. Assim, a disribuição da variância condicional de um período fuuro não é log-normal e a disribuição do preço final do aivo-objeo provavelmene não é log-normal, dado o caminho da variância condicional para um período. É improvável que a variância inicial do modelo GARCH seja igual a, a variância incondicional sob a medida P. Mesmo que seja uilizada como variância inicial do modelo GARCH, o conceio LRNVR implica que a variância condicional sob a medida Q irá se reverer a uma variância incondicional maior que P e, porano, a variância média não será igual à variância uilizada no modelo de B&S. Esse aumeno ocorre porque o LRNVR induz uma variância incondicional igual a /[1 (1+ )- 10 Quando a unidade de prêmio de risco,, é diferene de zero, o LRNVR ambém induz uma correlação enre a variância condicional e os reornos aneriores do aivo objeo. Se a correlação enre o reorno do aivo-objeo e a variância condicional puder ser ignorada (i.e., o parâmero for pequeno ver equação.1.a), e a p p 8 Para o GARCH(1,1), 0V 1 1, com = 0V e 0, a variância incondicional V é igual a /(1 ). 9 Ver HULL (1999, p. 37). 10 Para o NGARCH(1,1), 0V ( 1 ) 1, com = 0V e, a volailidade incondicional V é igual a /[ 1 ( 1) ]. O processo 0 ( 1) 1 é esacionário se. 5

7 6 disribuição condicional do preço final do aivo-objeo puder ser considerada lognormal (i.e., os parâmeros de GARCH e forem pequenos), o preço dado pelo modelo de opções por GARCH é aproximadamene o preço enconrado pelo modelo de B&S. Se o parâmero não for pequeno o suficiene, o preço dado pela fórmula de B&S se disancia do preço dado por GARCH por dois moivos. Primeiro, o preço de B&S seria baseado numa variância incondicional incorrea, a variância incondicional da medida P. Segundo, porque o preço dado por GARCH depende da variância condicional, e exise um prêmio de risco em seu processo; ou seja, o preço dado por GARCH depende do caminho da variância condicional..3 Aplicações do Modelo de Apreçameno de Opções GARCH A primeira enaiva de se prover um fundameno eórico para o apreçameno de opções por GARCH foi realizada por Duan (1990). Nesa primeira enaiva, o conceio de Risk-Neural Valuaion Relaionship foi incorreamene aplicado para apreçameno de opção por uma esruura GARCH. 11 Duan (1995) desenvolve a eoria de apreçameno de uma opção por GARCH e a fórmula para o seu dela. Sua análise numérica sugere que o modelo GARCH pode ser capaz de explicar alguns vieses sisemáicos bem documenados associados ao modelo de B&S, a saber: o sub-apreçameno de opções fora-dodinheiro e de opções com curo empo para vencimeno. Conudo, em sua análise os resulados não são comparados com os preços de mercado. As variáveis de conrole são os próprios preços dados por B&S. No experimeno, o méodo GARCH uilizado foi o GARCH (1,1) sobre as coações do índice do S&P100 (preços de fechameno durane rês anos) a fim de se apreçar opções sobre esse índice. A axa livre de risco é considerada nula para faciliar a classificação das opções quano à proximidade do dinheiro (classificação fora, no e denro-do-dinheiro). Os parâmeros de GARCH 11 Sachell e Timmermann (199) a Amin e NG (1993) propuseram modelos de apreçameno de opções que uilizavam esruuras GARCH que invalidaram a uilização do conceio de Risk- Neural Valuaion Relaionship uilizado por Duan (1990). 6

8 7 enconrados na regressão não são aualizados em momeno algum, e as opções apreçadas esão denro da amosra, ou seja, denro do período de esimação dos parâmeros das equações. Para se verificar o impaco da variância condicional inicial no preço da opção, rês variâncias iniciais são esudadas: 0,8, 1 e 1, vezes a variância incondicional. São realizadas simulações de Mone Carlo para cada opção. O modelo de B&S é sempre empregado com a variância incondicional do GARCH (1,1), /( 1 ). Os resulados mosraram que o modelo de B&S, conhecido por sub-apreçar opções fora-do-dinheiro, pode apreçar a maior ou a menor, que o modelo GARCH, essas opções, dependendo da variância condicional inicial uilizada (quano maior a variância uilizada, maior o preço por GARCH). Para opções fora-do-dinheiro de curo empo para vencimeno, o apreçameno a menor do modelo de B&S se orna mais acenuado. Para opções exremamene-fora-dodinheiro, o modelo de B&S sempre apreçou a menor. O auor uiliza a fórmula de B&S para deerminar a volailidade implícia dos preços por GARCH para a verificação do efeio sorriso. O gráfico preço/preço de exercício (S/K) X volailidade implícia é consruído para rês empos para vencimeno diferenes (T=30, T=90 e T=180). As volailidades implícias ambém produziram um formao de U, sendo esa forma muio mais acenuada para as opções de menor empo para vencimeno. Chaudhury e Wei (1996) esudam a sensibilidade do modelo de apreçameno GARCH à volailidade condicional inicial e aos parâmeros, e e comparam ese modelo ao de B&S. As condições do experimeno são semelhanes ao de Duan (1995): o processo GARCH uilizado é o GARCH (1,1), a axa livre de risco é admiida como nula, os parâmeros enconrados na regressão não são aualizados, as opções apreçadas esão denro do período de esimação dos parâmeros das equações (experimeno denro-da-amosra), o modelo de B&S é empregado com a variância incondicional do GARCH (1,1) e os preços de mercado não são considerados. Para o modelo GARCH são realizadas simulações. Em geral, o preço por GARCH não é muio sensível à volailidade condicional inicial, exceo nas opções exremamene-fora-do-dinheiro e de curo empo para vencimeno. Quano a mudanças na unidade de prêmio de risco, o 7

9 8 preço por GARCH não se alera sempre no mesmo senido. Para opções fora-dodinheiro e no-dinheiro, o aumeno de faz o preço diminuir, ocorrendo o oposo para as opções denro-do-dinheiro. Porém, o grau de sensibilidade foi pequeno, exceo para opções exremamene-fora-do-dinheiro. Não houve uniformidade na variação do preço dado por GARCH ao se variarem os parâmeros e porém o grau de sensibilidade é mais acenuado para opções exremamene-fora-dodinheiro e de curíssimo empo para vencimeno. Ao comparar os modelo de B&S com o GARCH, os auores observam que a diferença percenual enre os modelos aumena ao se diminuir a relação preço/preço de exercício (S/K) e o empo para vencimeno. Assim, a maior diferença percenual ocorre em opções de curíssimo empo para vencimeno e em opções exremamene-fora-do-dinheiro. As opções exremamene-denro-dodinheiro e as de muio grande empo para vencimeno endem a ser sub-apreçadas pelo modelo de B&S. As de curo empo para vencimeno e exremamene-denrodo-dinheiro e as de curo empo para vencimeno e exremamene-fora-dodinheiro sempre são sub-apreçadas. Nas opções no-dinheiro, o comporameno não é uniforme. Após esa primeira análise comparaiva da diferença enre os modelos, os auores aleram os parâmeros de GARCH e a variância condicional inicial no modelo de apreçameno por GARCH. Observa-se que o parâmero de persisência da variância é um faor imporane na magniude da diferença enre os dois modelos (quano maior o maior diferença percenual enre os modelos, independene da variância condicional inicial uilizada). A unidade de prêmio de risco é imporane para deerminar a direção do viés do modelo de B&S em relação ao GARCH. O modelo de B&S ende a sub-apreçar as opções ao se uilizar um maior no modelo GARCH. Um algorimo para apreçar opções americanas quando seu aivo-objeo segue um processo GARCH de empos discreos foi desenvolvido por Richken e Trevor (1999). Os modelos esocásicos de volailidade bivariada aparecem como casos especiais dese modelo. O algorimo é apenas descrio em dealhes para o modelo NGARCH, mas pode apreçar opções sob quase odos os processos GARCH exisenes e sob a grande gama de processos de volailidade esocásica bivariada. 8

10 9 Duan e Wei (1999) esendem o modelo de apreçameno GARCH para opções sobre axas de câmbio e sobre aivos coados em moeda esrangeira. Em sua análise numérica, os auores demonsram que o modelo fornece uma poencial explicação para sorrisos de volailidade e assimeria desas opções. Assume-se que a axa de câmbio segue o processo NGARCH sob a medida P. Assim, para a axa de câmbio em-se as seguines definições: e h h e -1 exp[ rd, re, h ] ; ~ N(0, h 1 ), sob a medida P ; e ; ( 1 ah 1) h 1 onde e é a axa de câmbio enre os mercados domésico e esrangeiro no empo (definida por unidades da moeda domésica por unidades da moeda esrangeira), é a unidade de prêmio de risco, r d, é o reorno logarímico do aivo domésico livre de risco enre o empo -1 e, enquano r e, é o reorno logarímico do aivo esrangeiro livre de risco enre o empo -1 e. Sob a medida de preço de equilíbrio domésico, Q d, que saisfaz o conceio LRNVR, em-se que: e h * e-1 exp[ rd, re, ] ; * ~ N(0, h ) ; 1 h ; 0 * 1[ 1 h 1( a)] h 1 Se K é o preço de exercício e T o prazo para o vencimeno, o valor da opção européia de compra sobre a axa de câmbio é expresso por: C Q exp(-r (T - ))E [max (e - K, 0) ]. d Se os dois parâmeros de persisência ( e ) forem iguais a zero, verificase a homoscedasicidade dos reornos da axa de câmbio. 1 Assume-se que um aivo-objeo em moeda esrangeira, como uma ação, segue a dinâmica NGARCH. Assim, para esse aivo êm-se as seguines definições: T 1 Ver Biger e Hull (1983) e Garman e Kohlgahen (1983). 9

11 30 S S-1 exp[, ] ; r e 1 ~ N(0, ), sob a medida P ; ( b) 1 1 P E ( 1 ) ; onde é a unidade de prêmio de risco, r e, é o reorno logarímico do aivo livre de risco esrangeiro enre o empo -1 e e é avariância dos reornos do aivoobjeo. É imporane observar que exise uma correlação condicional esocásica, +1, enre o preço do aivo-objeo e o reorno da axa de câmbio. Como para o processo da axa de câmbio, para o processo do aivo ambém é idenificada a dinâmica do preço de um aivo-objeo esrangeiro sob a medida de preço de equilíbrio domésica, Q d : 13 ; e S * S-1 exp[ re, 1 h ] ; * h ~ N(0, ) ; * 1( 1 1 1h 1 b) 1 ; e Q E d * * ( 1 ) A mudança nas medidas, de P para Q, faz com que haja uma covariância condicional no reorno esperado do aivo-objeo esrangeiro. Uma opção de compra de quano, que é uma opção de compra em um aivoobjeo esrangeiro com uma axa de câmbio fixa, é avaliada da seguine forma: quano Q C e0exp(-r(t - ))E [max (ST - K, 0) ], onde e 0 é uma axa de câmbio fixa, pré-especificada, K é o preço de exercício e T o prazo para o vencimeno, denominado em moeda esrangeira. É imporane observar que para uma opção de quano que envolva apenas o aivo-objeo esrangeiro, em-se que simular a axa de câmbio e o preço do aivoobjeo simulaneamene.. 13 Ver prova em Duan e Wei (1999, apêndice). 30

12 31 Em seu experimeno, os auores apreçam opções de compra da axa de câmbio do dólar americano por yen e índice Nikkei 5. São uilizados dados diários cobrindo aproximadamene cinco anos (início de 1994 a início de 1999). As opções apreçadas esão denro do período de esimação dos parâmeros, os quais foram calculados apenas uma vez (com dados dos cinco anos). Foram realizadas simulações para cada preço de opção. Os prêmios de risco (ee a correlaçãona esimação, foram esaisicamene insignificanes. Assim, eses parâmeros foram considerados nulos. O parâmero de assimeria para a axa de câmbio, a, é negaivo. O parâmero de assimeria para o índice Nikkei, b, é posiivo, o que sugere o efeio alavancagem. Para chegar aos resulados, os auores uilizam o mesmo arifício uilizado por Duan (1995), no qual enconram a volailidade implícia de opções apreçadas pelo modelo GARCH por inermédio da fórmula de B&S. Ao comparar as volailidades implícias com a volailidade esacionária de GARCH, os auores inerpream se houve sub ou super-apreçameno das opções (se a volailidade implícia esá abaixo da volailidade esacionária, o modelo sub-apreçou a opção; e vice-versa). Para as opções sobre a axa de câmbio, o modelo sub-apreçou opções forado-dinheiro e super-apreçou as denro-do-dinheiro (a volailidade implícia é crescene em relação a S/K), sendo que o maior erro ocorre para opções com menor empo para o vencimeno. Para as opções sobre o índice, o modelo subapreçou opções denro-do-dinheiro e super-apreçou as fora-do-dinheiro (a volailidade implícia é decrescene em relação a S/K). Os auores ambém realizam simulações na correlação,, a fim de observar o seu impaco no sorriso da volailidade implícia. É verificado que quano maior o mais acima esá a curva, sendo que quano mais fora-do-dinheiro esão as opções, maior a mudança na volailidade implícia e maior o sorriso da volailidade. Um algorimo fechado para apreçameno de opções européias por GARCH foi desenvolvido por Heson & Nandi (000). Os auores comparam ese modelo com o de B&S, uilizando, nese úlimo, a volailidade incondicional esimada pelo méodo de GARCH e ambém a volailidade implícia aualizada a cada 31

13 3 período (o período é uma semana; a volailidade implícia uilizada é a da quarafeira da semana anerior). Aé o momeno, arigos aneriores só haviam comparado o modelo GARCH com o modelo de B&S uilizando a volailidade incondicional do processo GARCH. É ambém o primeiro rabalho que compara os preços dados pelos modelos com os preços efeivos de mercado. De uma forma geral, o algorimo do modelo GARCH apreçou melhor que o modelo de B&S. Essa consaação foi evidenciada mesmo com a aualização semanal do modelo de B&S, enquano os parâmeros de GARCH calculados inicialmene eram manidos consanes ao longo de odo o período analisado. Para o desenvolvimeno do algorimo, Heson & Nandi (000) parem de uma dinâmica, aqui só mosrada em sua primeira ordem, diferene da de Duan (1995): S exp[ r ]; S -1 ~ N(0, 1 ) ; e, ( 1 1 1) 1 onde é o parâmero resulane da influência assimérica dos choques ( ); um choque posiivo afea a variância diferenemene de um choque negaivo. Se o valor de é posiivo há uma correlação negaiva enre o reorno do aivo-objeo e a variância. conrola a assimeria da disribuição dos reornos logarímicos. Se é nulo, a disribuição é simérica. Deve-se observar a ausência do ermo na equação do preço do aivoobjeo e que o processo da variância pode ser inerpreado como uma jusaposição dos modelos NGARCH e VGARCH de Engle e Ng (1993). O processo é esacionário se <1. Os auores realizam eses empíricos com o algorimo fechado 14 em opções de compra e venda sobre o índice do S&P500. São realizados eses denro-daamosra e fora-da-amosra. Os parâmeros de GARCH (e) e o são esimados por máxima verossimilhança. A axa livre de risco r é admiida como zero. Duas versões foram realizadas para a esimação; GARCH Simérico, com 14 O algorimo fechado para o apreçameno de opções européias derivado por Heson e Nandi não foi descrio nese esudo devido à sua complexidade. Ver a sua fórmula em Heson & Nandi (000). 3

14 33 nulo e o GARCH Assimérico com diferene de zero. Os dados da amosra foram coleados a cada quara-feira (o passo era de uma semana) nos anos de 199, 1993 e SQE n Pm A comparação enre os resulados dos modelos foi feia com base na medida, onde SQE é soma do quadrado dos erros enre o preço do modelo, o erro é igual à diferença enre preço dado pelo modelo e o verificado no mercado, n é o amanho da amosra e Pm é o preço médio das opções no mercado. Para os eses denro-da-amosra foi adoado o seguine procedimeno: com os parâmeros calculados para ambas as versões de GARCH com dados do 1º semesre de cada ano, foram esimados os preços das opções para ese mesmo período. Eses valores foram comparados com os preços efeivos do mercado e com os enconrados aravés do modelo de B&S em duas versões: uilizando a volailidade incondicional esimada pelo méodo de GARCH (B&S consane) e uilizando a volailidade implícia da daa anerior (uma quara-feira passada) para o cálculo do preço da opção na daa aual (B&S aualizado). Os resulados dos eses denro-da-amosra mosram que o é sempre posiivo, o que indica: que há assimeria e que os choques de variância e o reorno são correlacionados negaivamene; que o GARCH assimérico foi superior a odos os modelos de B&S; que o GARCH simérico foi superior ao B&S consane (como observado na seção.1, o B&S consane é uma versão resria do GARCH simérico); que o B&S aualizado foi superior ao GARCH simérico. Os procedimenos dos eses fora-da-amosra são descrios a seguir: com os parâmeros calculados no 1º semesre de cada ano para a versão do GARCH assimérico, foram esimados os preços das opções para o º semesre de cada ano. Os parâmeros não são aualizados. O GARCH simérico foi abandonado devido ao seu insucesso no ese denro-da-amosra. Os preços das opções por GARCH foram comparados aos preços efeivos do mercado e aos enconrados aravés dos modelos de B&S consane (que uiliza a volailidade incondicional enconrada com base nos parâmeros de GARCH dos 1 os semesres de cada ano) e B&S aualizado (que uiliza a volailidade implícia aualizada período a período). 33

15 34 Os resulados do ese para o modelo GARCH foram inferiores aos do ese denro-da-amosra. Conudo, o apreçameno por GARCH coninua superior a ambas as versões de B&S. Para opções fora-do-dinheiro, o desempenho do modelo GARCH é subsancialmene superior, principalmene para as opções de venda. Para ambos os modelos, B&S e GARCH, quano maior o empo para vencimeno, menores os erros. Opções fora-do-dinheiro de curo empo para vencimeno são as que possuem maior erro em ambos os modelos, embora o erro no modelo de GARCH seja subsancialmene menor. Os auores concluem que a melhor performance de seu modelo se deve à sua habilidade para capurar a correlação enre a volailidade e os reornos, e à dependência do preço ao caminho da volailidade. Hsieh & Richken (001) comparam os modelos de apreçameno de opções de Duan (1995), de Heson & Nandi (000) e o de B&S com volailidade implícia aualizada oda semana para opções européias do índice S&P500. Os resulados indicaram que o méodo de Duan possui menos erros em relação ao preço de mercado que o de Heson & Nandi para odas os empos para vencimeno e para odas as siuações de proximidade do dinheiro. O GARCH uilizado para o ( 1 1) 1 processo de Duan foi o NGARCH,, onde -1 é uma variável aleaória normalmene disribuída com média 0 e variância 1. Os resulados indicam ainda que ambos os modelos GARCH foram capazes de reduzir os vieses do modelo de B&S de sub-apreçameno de opções de fora-do-dinheiro e de curo empo para vencimeno. Os eses empíricos foram realizados nos anos de 1991 a 1995, com os parâmeros dos modelos GARCH sendo calculados sempre no 1º semesre de cada ano, para se apreçar opções no º semesre de cada ano (ese fora-da-amosra). Para o modelo de B&S, o méodo uilizado foi o mesmo de Heson & Nandi (000), em que era enconrada a volailidade implícia do modelo na quara-feira de uma semana, para ser uilizada na mesma opção na quara-feira seguine (ese denro-da-amosra). Os auores afirmam que o modelo NGARCH de Duan, mesmo não sendo reesimado freqüenemene (em bimesres ou aé em anos), coninua a er um desempenho normalmene melhor que o modelo de B&S sempre aualizado para opções denro e no-dinheiro. Como exisem algorimos eficienes para apreçar 34

16 35 opções americanas e exóicas que uilizam o processo NGARCH, os auores sugerem a uilização do modelo de apreçameno por GARCH por odos os profissionais da área de risco. Duan e Zhang (000) invesigam o apreçameno de opções européias sobre o índice Hang Seng (índice sobre ações negociadas na bolsa de valores de Hong Kong) pelo modelo GARCH. O processo uilizado no modelo mais uma vez é o NGARCH (1,1). O modelo é comparado a duas versões do modelo de B&S: uma empregando o valor de volailidade implícia exraída da opção no período anerior; e oura uilizando volailidades diferenes para opções com empo para vencimeno e preços de exercício diferenes. Para a segunda versão do modelo de B&S, foram calculadas, a cada quarafeira, as volailidades implícias para opções com o mesmo empo para vencimeno, mas com preços de exercício diferenes. Para a quara-feira seguine são manidas as mesmas razões enre as volailidades da daa anerior, porém as volailidades são ajusadas por uma consane de acordo com o novo preço das opções. Em ouras palavras, o formao da curva de volailidade é fixado, mas é permiido que essa curva suba ou desça. Os dados da amosra são semanais (a cada quara-feira) ao longo de 1997 e de janeiro de 1998, ou seja, cobrem o período de urbulência da crise asiáica. 15 Somene foram coleadas as opções que possuíam vencimenos no mês correne, no seguine, ou no mês poserior a ese úlimo. Foram excluídas opções com menos de 14 dias para o vencimeno a fim de eviar vieses em relação à liquidez. Também foram excluídas opções exremamene-denro-do-dinheiro e exremamene-fora-do-dinheiro, uma vez que são pouco negociadas e podem disorcer informações da volailidade. O experimeno foi realizado denro-da-amosra, que abrange o ano de 1997, e fora da amosra, que compreende janeiro de Os parâmeros do processo NGARCH foram obidos ao se minimizar o quadrado dos erros enre as volailidades implícias do preço dado pelo modelo GARCH e do preço de mercado. Para o cálculo da volailidade implícia do apreçameno pelo modelo GARCH foi uilizada, mais uma vez, a fórmula de 15 A crise asiáica eve seu início na Tailândia em julho de 1997, com a desvalorização do Thai Ba, a moeda local. Logo em seguida houve a desvalorização do Won (Coréia do Sul), do Ringgi (Malásia), e do Peso Filipino e a economia asiáica enrou em recessão. 35

17 36 B&S. Os parâmeros foram esimados para odas as semanas do ano de 1997 (5 semanas). O modelo de apreçameno por GARCH obeve desempenhos superiores a ambas as versões do modelo de B&S, denro e fora-da-amosra. A primeira versão de B&S sub-apreçou opções denro-do-dinheiro e super-apreçou as fora-dodinheiro, sendo que os vieses foram acenuados em opções de menor empo para vencimeno. Eses vieses sisemáicos desapareceram para a segunda versão. O modelo GARCH não apresenou vieses sisemáicos claramene idenificáveis. A amosra foi dividida em anes e depois de dois de julho de 1997, dia em que foi permiida fluuar a moeda da Tailândia, o que marca o começo da crise asiáica. Apesar da volailidade er subido basane após o início das urbulências, o modelo GARCH apresena um desempenho superior similar, em ambos os períodos, aos modelos de B&S. Os auores concluem que os resulados empíricos indicam que o mercado de opções sobre o índice Hang Seng funciona de uma forma consisene e previsível, e que o fenômeno do sorriso da volailidade deve ser encarado como uma falha do modelo de B&S. Os auores acrescenam ainda que, para opções exóicas negociadas em balcão, é exremamene imporane empregar modelos consisenes, uma vez que não podem ser conduzidas como uma simples inerpolação como em opções européias líquidas. Como observado aneriormene, ese esudo é o primeiro rabalho brasileiro que emprega o modelo apreçameno de opções GARCH. Porém, se faz ineressane comenar alguns rabalhos nacionais, uma vez que apresenam várias caracerísicas semelhanes as dese esudo. Duare Jr. (1997) ilusra a imporância da simulação de Mone Carlo para o mercado de opções. Ele explica passo a passo como devem ser feios o apreçameno de opções européias e a esimação das gregas pela simulação de Mone Carlo. Porém, a volailidade é manida consane ao longo do empo para o vencimeno. Aragão e La Roque (1999) uilizam a simulação de Mone Carlo, com volailidade esocásica, para a análise de risco de uma careira de opções. O méodo consise em gerar cenários aleaórios para preços do aivo-objeo num momeno fuuro, re-apreçar a careira de opções em cada um dos cenários, deerminar a disribuição de probabilidade do resulado da careira e calcular o 36

18 37 VaR. É enfaizado que é fundamenal se incorporar a influência da volailidade da volailidade implícia (no caso, a de B&S) na análise, ou seja, a lera grega vega", principalmene no mercado brasileiro. Assim, do mesmo modo que no modelo GARCH de apreçameno de opções, são simuladas duas variáveis aleaórias, o preço do aivo e a sua volailidade. Porém, essas variáveis são simuladas por inermédio de equações diferenes; para o preço em-se: S S z, onde é o drif, e z é o movimeno browniano-padrão e para a volailidade implícia: V V v vw, onde é o drif da volailidade, e é a v volailidade da volailidade implícia. Os auores mosram que as diferenças dos resulados dese ipo de análise, em comparação à simulação de Mone Carlo padrão, em que há a simulação apenas do preço da ação, podem ser subsanciais. Ressala-se, ainda, a imporância da correlação enre o preço da ação e da volailidade implícia para os resulados de risco. Ao concluir o arigo, os auores enfaizam que a meodologia pode ser empregada no apreçameno de opções. Enreano, para se elaborar um modelo preciso, seria necessário um maior preciosismo na definição dos processos esocásicos e consisência enre eles. Silva e Guimarães (000) uilizam o modelo de apreçameno de opções de Bakshi que inclui volailidade esocásica e salos no processo de difusão no preço do aivo subjacene ao conrao de opção. O modelo é mais uma alernaiva ao modelo de B&S que não precisa recorrer à hipóese de que o parâmero de volailidade em que ser ajusado para cada preço de exercício e daa de vencimeno de opção. Apesar da maior complexidade em relação ao modelo de B&S, o modelo de Bakshi possui fórmula fechada para os preços de opção de compra e venda européias. Os resulados mosraram que o modelo proposo foi capaz de explicar melhor os preços das opções de Telebras (com vencimeno em abril, junho e agoso de 1999) do que o modelo de B&S. 37