3 Processos Estocásticos

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1 3 Processos Esocásicos Um processo esocásico pode ser definido como uma seqüência de variáveis aleaórias indexadas ao empo e ambém a evenos. É uma variável que se desenvolve no empo de maneira parcialmene aleaória e imprevisível. Sob ouro pono de visa, um processo esocásico é uma seqüência de funções mensuráveis, ou seja, uma variável aleaória X definida num espaço de probabilidade (Ω,P) que oma valores num espaço de funções F. Tais processos podem ser classificados em esacionários e não esacionários. Em paricular, são amplamene uilizados os processos esocásicos esacionários de segunda ordem que são caracerizados por média e a variância consanes no empo. Em conraparida, os não esacionários possuem momenos que crescem sem limie, à medida que o empo passa. Além dessas classificações, os processos esocásicos podem er o parâmero empo conínuo ou discreo. Definição Maemáica Segundo Brandão (000), seja W um conjuno, onde esado da naureza. Seja ambém uma função f al que w W denoa um f : R W R f ( x, w), x R e w W Dado um w W, f (o,w) orna-se função de x. Valores diferenes de w e valores diferenes de x. Assim êm-se duas funções. Quando x represena o empo enão f ( x, w) e f ( x, w) represenam duas rajeórias diferenes que dependem de esados do mundo. W represena a aleoriedade e a função f ( x, w) é uma função aleaória ou um processo esocásico.

2 40 3. Random Walk O processo esocásico conhecido como (Random Walk) é considerado um dos processos esocásicos mais simples em empo discreo e esado discreo. Nese processo em-se a variável aleaória x e seu valor inicial x0 é conhecida no insane inicial do processo. Nos insanes sucessivos, x assume salos de amanho um para cima ou para baixo, sempre com probabilidade ½. Como os salos são independenes enre si, podemos descrever a dinâmica de x como: x = + ε (3.) x onde ε é uma variável aleaória com disribuição de probabilidade prob ( ε = ) = prob ( ε = ) = ( =,,3,...) (3.) A disribuição de probabilidade de x pode ser enconrada a parir da disribuição binomial. Para passos, a probabilidade de se erem n salos negaivos e, conseqüenemene, - n salos posiivos será: (3.3) Assim, se houver n salos negaivos e - n salos posiivos num espaço de empo, o valor de x será - n + ( - n) = - n. A probabilidade de x assumir o valor - n no empo é dado por: (3.4)

3 4 Se x = 0 0 enão a esperança de x é igual a zero, pois a probabilidade de descer e de subir é a mesma: E ( ) 0 (3.5) 0 x = Verifica-se pela equação 3. que o processo é do ipo Markoviano, pois a disribuição de probabilidade de disribuição de X no insane. X no insane + depende apenas da Logo, pode-se generalizar o processo de duas maneiras: A primeira seria alerando os valores de p e q, onde q = p. Caso p > q, o Random Walk possuiria um drif e conseqüene mene, E ( ) 0. A segunda maneira para 0 x > generalizar o processo é raar o amanho do salo em cada insane como uma variável aleaória conínua. Se a disribuição fosse do ipo normal com média zero e variância σ, o processo é conhecido como processo esocásico em empo conínuo e esado discreo, exemplo do Processo Auo-regressivo de Primeira Ordem (AR()). Ou seja, o Random Walk seria um caso paricular do processo auo-regressivo de primeira ordem. 3. Processo Auo-regressivo de Primeira Ordem (AR) Segundo Brandão (000), esse ipo de processo é um processo de reversão à média, iso é, no longo prazo x ende a um valor consane. A dinâmica de X pode ser descria da seguine forma: x = δ + ρ + ξ (3.6) x onde δ e ρ são consanes e -< p < e ξ ~ N (0,) E x ) = E( δ + ρ + ξ ) (3.7) ( x E ( x ) = + ρx δ (3.8)

4 4 Pela equação acima se verifica que o processo é Markoviano. O valor esperado de X no longo prazo será: E 0 ( δ xn ) = p (3.9) 3.3 Processo de Markov Os processos esocásicos aneriores, Random Walk e o AR(), saisfazem a propriedade de Markov, porano, são chamados de processo de Markov. Nese processo somene o valor presene de uma variável é relevane para prever o fuuro. A vanagem do processo de Markov é que ele simplifica a análise dos processos esocásicos. Geralmene os preços das ações são modelados usando o Processo de Markov. Se o preço de alguma ação específica segue um processo de Markov, previsões sobre a fluuação fuura dos preços desa ação não devem levar em cona a fluuação ocorrida na semana, mês ou ano passado. 3.4 Processo de Wiener Segundo Dixi and Pindyck (994), o processo de Wiener, ou Movimeno Browniano, é um ipo paricular de Processo de Markov em empo conínuo que apresena rês propriedades ineressanes. É considerado um processo de Markov em empo conínuo, ou seja, a disribuição de probabilidades dos valores fuuros do processo depende somene do seu valor aual. Para fazer uma previsão do valor fuuro da variável basa apenas a sua disribuição de probabilidade e o seu valor aual. Como apresena incremenos independenes, as disribuições de probabilidade para as variações em qualquer insane de empo são independenes de qualquer ouro inervalo de empo.

5 43 Mudanças no processo sobre qualquer inervalo de empo são normalmene disribuídas, com variância proporcional, que aumena linearmene com o inervalo de empo. Definição Maemáica Define-se o processo pela equação abaixo: dx = a( x, ) d + b( x, ) dz (3.0) Onde a( x, ) é a função não-aleaória de endência, b( x, ) é a função nãoaleaória de variância. Ainda segundo Brandão (000), a relação enre a variação de z e a variação de é dada por: ) A relação enre Δ z e Δ é dada por Δz = ε Δ, onde ε ~ N(0,) ) A variável aleaória ε não possui correlação serial, iso é, E( ε, ε s ), para s. Sendo assim, os valores para dois quaisquer inervalos diferenes são independenes, de forma que z() segue um processo de Markov. ~ ~ Considerando um inervalo de empo infiniesimalmene pequeno, ou seja, Δ 0 refleindo na derivada d = 0, é possível represenar o incremeno do Processo de Wiener (dz) no empo conínuo como: dz = d (3.) ε Pelo fao de que ε ~ N(0,) e uilizando a equação acima, verifica-se que o valor esperado da variação de z é zero e sua variância e proporcional ao inervalo de empo da variação (d) : Desse modo: E[ dz] E[ ε ]. d = 0, pois E[ ε ] = 0 (3.) =

6 44 Var[ dz] = Var[ ε. d ] = ( d ). Var[ ε ] = d.() = d, pois DP[ ε ] = (3.3) Logo, obêm-se dz ~ N(0, d ). Uilizando a definição do Processo de Wiener: dx = a( x, ) d + b( x, ) dz, onde (dz) é o incremeno e a ( x, ) e b ( x, ) são funções não aleaórias conhecidas. Subsiuindo-se os parâmeros a ( x, ) e b ( x, ) por, respecivamene, α (conhecido como parâmero drif) e σ (parâmero de variância), ambos consanes, chega-se à seguine equação para o conhecido processo MAB (Movimeno Ariméico Browniano): dx = α d + σ dz (3.4) α represena o parâmero de endência no empo (ou crescimeno), σ o parâmero de variância, que exprime a incereza ou ruído do processo, ou seja, deermina a ampliude dos choques aleaórios que x sofre ao longo do empo e é conhecido como volailidade e x é um processo esocásico. Considerando-se em um inervalo de empo (Δ), a mudança em x, denoada por Δx, em-se: Δx = α Δ + σ ε Δ (3.5) Sendo, a média e a variância definidos respecivamene como: E[ Δx] = α Δ (3.6) Var[ Δx] = σ Δ (3.7) A soma do componene deerminísico (drif) ao componene aleaório normalmene disribuído gera (dx). A soma de uma consane com uma variável

7 45 aleaória normal resula numa variável (dx) ambém normal com média α e variância σ. Muio embora seja uilizado em larga escala para previsão de inúmeros processos, o Movimeno Geomérico Browniano pode divergir levando x() para o infinio, de forma que alguns modelos que seguem ese processo podem não ser muio realisas. Enreano essa abordagem é uilizada em larga escala por acadêmicos e profissionais. No MGB, os parâmeros drif e variância são dados por: a( x, ) = αx (3.8) b( x, ) = σx (3.9) Subsiuindo as equações acima na equação 3.0, em-se: dx = α xd + σ xdz (3.0) A maior pare dos esudos de opções reais assume que os faores de incereza (preço do peróleo, axa de câmbio e as axas de sondas) seguem um MGB. No MGB, a endência é um crescimeno (ou queda) exponencial e os preços em uma disribuição log-normal com variância crescendo com o horizone emporal. Uma represenação gráfica dese processo esá apresenada na figura abaixo:

8 46 Figura 3. Simulação do Movimeno Geomérico Browniano com drif 3.5 Processo de Reversão a Média Na abordagem práica, os preços de peróleo são modelados geralmene uilizando o MGB. De acordo com o gráfico anerior, o MGB possui uma endência de se disanciar do seu pono inicial com o passar do empo. Segundo Dias (996), no caso do processo de reversão à média, a endência é que os preços devem reverer para um nível de equilíbrio de mercado. Dessa forma, enquano no curo prazo eses preços podem variar aleaoriamene, no longo prazo eles endem a reornar para um nível próximo ao seu cuso marginal de produção. A grande quesão é conseguir deerminar com precisão esse movimeno. O processo de reversão à média é um caso paricular do processo de Io. O processo de reversão à média serve para modelar variáveis aleaórias que não seguem um MGB, conforme já foi descrio. Uma dificuldade para ese ipo de processo é que ele não possui uma derivada convencional em relação ao empo, o que pode ser resolvido pelo Lema de Io, analisado mais adiane.

9 47 Segundo Dias (005), se o preço do peróleo P esiver disane (acima ou abaixo) de cero preço de equilíbrio ou média de longo prazo P, forças de mercado agirão para puxar os preços de vola para o nível de equilíbrio. Ese procedimeno se dá seguindo a lógica econômica de balanço ofera e demanda, de forma que do lado da ofera, as forças de mercado irão agir para aumenar (se P > P ) ou reduzir (se P < P ) a produção e o invesimeno no seor, e do lado da demanda, a mesma ende a cair em casos de alos preços e ende a aumenar em caso de baixos preços. Eses mecanismos de mercado criam uma força de reversão análoga à força de uma mola: ela é mais fore quano mais longe esiver o preço P em relação ao seu nível de equilíbrio P. Exisem diversos modelos de reversão à média. O mais simples deles é o modelo que rabalha com logarimo dos preços. Nese caso: x = ln(p) (3.) dx = η ( x x) d + σdz (3.) sendo os elemenos que definem a equação diferencial esocásica acima, ambém conhecida como processo de Ornein-Uhlenbeck, apresenados a seguir: η é a velocidade de reversão, x é o valor de equilíbrio de longo prazo σ é a volailidade do processo A variável x em disribuição Normal e, porano a variável P em disribuição lognormal. As equações para a média e variância da variável esocásica x são dadas pelas expressões a seguir, onde x = x = 0) = ln( ). 0 ( P0 Diferenemene do MGB, no MRM a variância é limiada. O valor esperado oscila enre o valor inicial x 0 e a média de longo prazo, onde os pesos são axas de declínios de modo que eses pesos somam um. Apesar de ser um processo de Markov, a reversão à média não em incremenos independenes. As propriedades esaísicas do processo de reversão à média são:

10 48 (3.3) (3.4) A figura abaixo mosra graficamene um exemplo ípico de um processo de reversão à média: Figura 3. Movimeno de Reversão a Média com Nível de Equilíbrio Embora o MRM possa ser mais adequado para a análise da evolução de preços de (commodiies) e para axa de juros, o processo puro de reversão para um nível fixo seria basane previsível e, porano, menos confiável do que o MGB. Exise a possibilidade de se combinar o MRM com o MGB para a obenção de um nível de equilíbrio ou ainda a inclusão do processo de Poisson com salos. que será discuido a seguir. Um processo de Iô é um processo conínuo no empo, mas que não pode ser diferenciado pelas regras ordinárias de cálculo. Enreano, iso seria essencial para a valoração de uma opção. Sendo assim, faz-se necessário uilizar-se o Lema de Io, chamado ambém de Teorema Fundamenal do Cálculo Esocásico que será objeo no iem a seguir.

11 Lema de Iô A parir do lema de Io orna-se viável o cômpuo das ransformações do processo de Io. O Lema de Io em relaiva imporância para o cálculo esocásico, assim como a Expansão de Taylor para o cálculo numérico..nessa abordagem, F( x, ) é diferenciável ao menos duas vezes em relação a x, sendo esa a variável esocásica e uma vez em relação a. Uilizando-se o Lema de Io, esa derivada será: df F x F F x = dx + d + dx (3.5) Nesse caso d n = 0 para n >, dz = d sendo dx = a( x, ) d + b( x, ) dz Como dx = a ( x, ) d + b ( x, ) d + a( x, ) b( x, ). d 3 / = b ( x, ) d (3.6) Subsiuindo na equação acima obêm-se pelo Lema de Iô df F F F F = [ + a( x, ) + b ( x, ) ] d + b( x, ) dz x x x (3.7) Uilizando as variáveis do MGB, simplifica-se a equação abaixo: df F F F F = [ + ax + σ x ] d + σx dz x x x (3.8)

12 50 Resolvendo os ermos F F = 0 x = F x x = x (3.9) obêm-se df = ( a σ ) d + σdz Percebe-se que a variação de F ~ N[ ( a σ ), σ ], onde (3.30) F = ln x. Os processos de Wiener e Iô originam os processos descrios aé agora. Tais processos são obidos a parir de funções diferenciáveis dos processos e descrevem os movimenos dos aivos reais. No enano, alguns processos não são homogêneos no empo e podem sofrer mudanças abrupas em sua rajeória influenciadas por algum faor exógeno. Tal mudança abrupa pode ser descria com um salo na rajeória do aivo. O processo de Poisson é uilizado para avaliar ese ipo de siuação. 3.7 Processo de Poisson Em alguns cenários específicos de mercado pode ser mais realisa considerar que uma variável econômica segue um processo com salos discreos. Muios movimenos exógenos podem ocorrer, de modo a induzir algum movimeno abrupo na rajeória dos preços. Esse ipo de siuação pode ocorrer em cenários de crise, mudanças inesperadas na políica macroeconômica, enrada ou saída de compeidores em mercados com poucos compeidores, enre ouras siuações. Os processos de Poisson são processos esocásicos que possuem a caracerísica de realizar um salo discreo, mas não frequene ao longo do empo. Tais salos (jumps) podem ser de amanhos fixos ou aleaórios e o empo de chegada dos salos segue uma disribuição de Poisson.

13 5 Um processo simples de Poisson é definido pela seguine equação diferencial: dx = f ( x, ) d + g( x, ) dq (3.3) Onde dq corresponde ao incremeno aleaório, podendo assumir o valor zero ou o valor de um salo de ampliude μ, que ocorre com probabilidade λ d, onde λ é a freqüência do processo. Exisem algumas siuações que os processos esocásicos se inegram. No caso específico dessa disseração, o preço do peróleo negociado no mercado inernacional pode evoluir coninuamene segundo MGB ou MRM na maior pare do empo e, evenualmene, pode sofrer grandes variações insanâneas em decorrência de evenos raros ais como crises financeiras, guerras, denre ouros. O processo heerogêneo abaixo é um miso de Poisson com Iô e pode ser represenado maemaicamene pela seguine equação: dx = f ( x, ) d + g( x, ) dz + h( x, ) dq (3.3) O conhecimeno de al processo é imporane para valorar opções reais, ainda mais na conjunura inernacional vigene onde as mudanças ocorrem de maneira muio acelerada e de forma quase que imprevisível. O gráfico a seguir ilusra o comporameno de um aivo simulado no processo de Poisson puro.

14 5 Figura 3.3 Simulação de um Processo de Poisson Puro 3.8 Méodos Numéricos Serão apresenados os principais méodos numéricos: Modelo Binomial, Diferenças Finias e Simulação de Mone Carlo e Quase Mone Carlo 3.8. Modelo Binomial O méodo binomial exposo abaixo foi baseado na abordagem de Cox, Ross e Rubisein (979) e é considerado um dos méodos mais uilizados para a avaliação de aivos. A idéia básica do méodo é a neuralidade ao risco. A meodologia discreiza o processo de neuralidade ao risco represenado pela EDP de Black e Scholes, e aplica a programação dinâmica para deerminar o valor do aivo. Esa écnica de valoração de opções deu origem ao ermo que se conhece como árvore binomial. A figura abaixo ilusra uma árvore binomial para uma ação S em rês períodos:

15 53 Figura 3.4 Exemplo de uma árvore binomial com 3 períodos de empo Nesa écnica uilizam-se as árvores binomiais que foram uilizadas pelo fao de o preço do aivo subjacene seguir um processo binomial muliplicaivo em períodos discreos. A disribuição de probabilidades do aivo em cada período, suposa log-normal, foi aproximada por uma disribuição do ipo binomial e esa represena as diferenes rajeórias que poderão ser seguidas pelo preço da ação ao longo do empo. As premissas assumidas nessa abordagem são de que a vida úil da opção é dividida em M períodos de empo e considera-se que o preço do aivo é negociado somene nesses períodos. Como ilusra a figura acima, a arvore é consruída parindo-se de um valor inicial S, gerando apenas dois preços possíveis ( Su e Sd) no segundo período, rês preços possíveis ( Su, Sud e Sd ) no erceiro período e assim por diane, aé que a vida úil seja aingida. Com a abordagem neura ao risco, as preferências do invesidor ao risco não necessiam ser levadas em cona, já que se pode criar uma careira dinâmica livre de risco em cada insane. Suponha o processo a seguir: ds = α Sd + σ Sdz (3.30)

16 54 Onde α é a axa de crescimeno de S, σ é a volailidade de S e dz é o incremeno de Wiener. No processo neuro ao risco α pode ser subsiuído por r δ, onde r é a axa livre de risco. Os parâmeros u, d e p são dados pelas equações a seguir: u = σ d (3.3) d = (3.3) u p = + ( α σ ) d (3.33) Sendo assim, o algorimo de programação dinâmica é aplicado ao longo da árvore binomial. Em cada um dos nós erminais a remuneração da opção é calculada de acordo com a equação a seguir: F ( S ) = máx( S I,0) (3.34) As seqüências de decisões que podem ser adoadas em cada período de empo são decomposas em duas pares: decisão imediaa e decisão fuura. A decisão óima é aquela que maximiza o valor presene líquido. A decomposição do problema em duas decisões é fundamenada no Princípio de Bellman. Para o problema de avaliação de uma opção de espera, a Equação de Bellman é dada a seguir: F ( S ) = máx { S I, E[ F + ( S+ )]} (3.35) ( + r) onde, F represena o valor da oporunidade de invesimeno no empo, S o valor presene dos fluxos de caixa no empo, I o cuso de invesimeno, r a axa de descono livre de risco e E ] o valor esperado da oporunidade de [ F + invesimeno em +, condicionado às informações em. O valor esperado da oporunidade de invesimeno pode ser calculado, pois o modelo binomial disponibiliza as probabilidades de ransição enre dois período de empo consecuivos.

17 55 Como exemplo, considere que em +, a remuneração da opção, quando o valor do aivo passa de S para us, é dado por F +, u ( S+ ) = máx( us I,0), e F +, d( S+ ) = max( ds I,0) quando o valor do aivo passa de S para ds. Já o valor da opção em é obido usando a equação anerior e calculando o valor esperado da oporunidade de invesimeno em +. Eses cálculos são feios em odos os nós da árvore, do período T Δ aé 0 onde o preço da oporunidade de invesimeno (F0) é calculado. ) = máx { S I, [ pf +, u + ( p) F d ]} (3.36) ( + r) F ( S +, 3.8. Modelo de Diferenças Finias O méodo de diferenças finias avalia um derivaivo aravés da solução da equação diferencial a que o derivaivo saisfaz, converendo-a numa lisa de equações diferenciais que são resolvidas ieraivamene. Para ilusrar o méodo, analisa-se uma opção de venda do ipo americana sobre um aivo que não paga dividendos. A equação diferencial que a opção deve saisfazer é: f f + rs S F + σ S rf = 0 (3.37) S Deve-se escolher um número de inervalos de empo enre o insane inicial e a daa de vencimeno da opção (T). Assim, o horizone de empo será ( Δ ) dividido em inervalos de magniude, com (N+) insanes de empo N (, + Δ, + Δ,..., T ). E ainda, é preciso discreizar o preço do aivo subjacene. Para isso, define-se inicialmene um preço limie (Smáx) (SMAX) suficienemene grande de modo a garanir que a probabilidade do preço do aivo ulrapassar ese valor seja nula. Assim, o grid dos preços da ação será dividido em inervalos de

18 56 ( Smáx) magniude Δ S =, e eremos (M+) preços possíveis para o M aivo ( 0, Δ S,ΔS,..., Smáx). A figura abaixo mosra o exemplo de um grid para a abordagem por diferenças finias: Figura 3.5 Grid Diferenças Finias O grid é formado por um oal de ( M + )( N + ). ponos. O pono ( i, j) corresponde ao pono no insane iδ com a ação a um preço jδs. O méodo das diferenças finias pode ser aplicado de forma explícia ou implícia. A grande desvanagem da abordagem implícia em relação a explícia deve-se a necessidade da resolução de (M-) equações simulaneamene para obenção dos valores da opção em cada insane de. No enano, sempre apresena resulados convincenes, pois, converge para a solução da equação diferencial quando Δ S e Δ endem a zero. A abordagem pelo méodo explício é mais simples que pelo méodo implício. Porém, o modo explício nem sempre converge para a solução da

19 57 equação diferencial. Ese problema de insabilidade depende dos inervalos ΔS e Δ usados para a formação do grid Méodos de Simulação A seguir serão apresenadas as principais écnicas de simulação. O objeivo é abordar as écnicas de simulação uilizadas nesse rabalho bem como mosrar suas principais aplicações na geração de cenários fuuros para os principais faores de risco Méodo Tradicional de Mone Carlo A simulação de Mone Carlo foi inroduzida pela primeira vez por Boyle (977) na avaliação de opções. Tradicionalmene a simulação era visa como um méodo inadequado para avaliar opções americanas, por aquela ser um méodo progressivo e a avaliação de opções reroaiva. Nos úlimos anos vários auores propuseram diferenes méodos que ornaram possível a avaliação de opções americanas, uilizando a simulação: desde Tilley (993), Barraquand e Marineau (995); e Longsaff e Schwarz (00), ese úlimo que dos vários méodos, foi o que ganhou paricular relevância e será abordado nessa disseração. A Simulação de Mone Carlo é uma ferramena de simulação esaísica que uiliza méodos de amosragem para resolver problemas de naureza esocásica ou deerminísica. É considerado um méodo apropriado para resolver os problemas de dimensão ala e/ou parâmeros esocásicos e, muias vezes, é uilizada para calcular o valor esperado de uma variável que é função de várias variáveis esocásicas e que não pode ser raada analiicamene. A meodologia da simulação de Mone Carlo uiliza ponos aleaórios para fazer o cálculo numérico de uma inegral, ou seja, uiliza uma seqüência de números pseudo-aleaórios para obenção da área sob a função de esudo como mosra o gráfico abaixo:

20 58 Figura 3.6 Área da inegral na Simulação de Mone Carlo Para ober o valor da inegral correspondene à área descria acima, uilizase de um méodo de soma que gera uma boa aproximação desse valor. A esimação de Mone Carlo vai aproximar a inegral I do seu valor real, aravés da média de uma amosragem suficienemene grande e aleaória de xi s. A fórmula de cálculo é descria da seguine maneira: I x x i= N ( x x ) = f ( x) dx f ( xi ) (3.5) N O méodo de Mone Carlo pode ser viso como um problema de cálculo inegral. O objeo principal de qualquer simulação esá no cômpuo de uma ou mais expecâncias da forma E[ ϕ ( X )]. Em geral, ese méodo envolve problemas

21 59 de cálculo de inegrais mulidimensionais, que pode ser expresso pela seguine função de acordo com a aproximação de Mone Carlo: N θ = ϕ( x) f( x) dx ϕ( xi ) (3.5) N i= xi B onde, xi é uma amosra aleaória e independene de N números da função f(x) oriundos de uma amosra aleaória da disribuição uniforme no inervalo de [0,]s. A simulação de Mone Carlo (SMC) geralmene segue os seguines passos: Modelagem das variáveis de enrada imporanes, incluindo uma descrição das inerdependências enre diferenes variáveis ao longo do empo; Especificação das disribuições de probabilidade para cada uma das variáveis de enrada, com base num hisórico de dados ou no conhecimeno e sensibilidade dos profissionais envolvidos; Obenção da amosra aleaória (usando um gerador de números aleaórios) a parir da disribuição de probabilidades das variáveis de enrada, possibiliando assim o cálculo dos fluxos de caixa líquidos de cada período e o respecivo VPL do projeo para a amosra considerada; O processo é repeido diversas vezes, obendo-se para cada vez que se repee o processo um VPL para o projeo. Ao final, uma disribuição de probabilidades do VPL do projeo pode ser gerada. A uilização da SMC é especialmene adequada para opções dependenes de múliplas variáveis de esado ou opções que dependem do caminho. As vanagens principais da simulação de Mone Carlo são: Fácil implemenação. O cálculo requer apenas uma amosra aleaória de valores possíveis para x para se chegar o seu equivalene em f(x). Meio rápido e práico de cálculo da inegral quando se rabalha com problemas de ala dimensão.

22 60 O desvio-padrão não depende da dimensão da inegral como a maioria das ouras écnicas dependem. O méodo de Mone Carlo ambém permie uma aplicação práica muio grande a problemas da vida real, jusamene na simulação de valores possíveis que alguma variável poderá vir assumir. Já as principais desvanagens e demais criicas a essa meodologia são feias principalmene por Niederreier (99) apud Krykova (003). São elas: a simulação de Mone Carlo converge devagar para o verdadeiro valor da ordem de N onde N é o amanho da amosra simulada. Isso significa que para reduzir o erro pela meade é necessário que aumene o amanho da amosra em quaro vezes. Os erros nas caudas das disribuições geradas por Mone Carlo podem er o seu valor sobre esimado devido ao desenvolvimeno do inegrando da função. A simulação necessia que o analisa arbire um valor inicial para o processo ou uilize um gerador auomáico para al função Na enaiva de melhorar os resulados da SMC, pode-se aumenar o número de simulações, o que por sua vez pode elevar demasiadamene o cuso compuacional dese processo. Exisem algumas écnicas de redução de variância que aumenam a eficiência da SMC sem um acréscimo significaivo do cuso compuacional Geração de Números Aleaórios Ese é a eapa que requer a análise mais cuidadosa. Gerar números aleaórios no Excel uilizando, por exemplo, a função padrão randn(), pode resular em algumas disorções em ermos de resulados como afirma Albuquerque (008). O auor afirma que o gerador Excel não consegue aproximar os valores nos ponos exremos da disribuição. É imporane ressalar que essa

23 6 diferença enre os dois inversores pode levar a problemas na correa deerminação dos ponos ao longo da curva de disribuição de probabilidades acarreando e imprecisão nos valores gerados e conseqüenemene da análise via al méodo Tipos de Geradores de Números Aleaórios Exisem basicamene rês ipos de geradores de números aleaórios: pseudo-aleaórios, quasi-aleaórios e aleaórios. Os números aleaórios são de difícil obenção o que resringe seu uso práico. Os números quasi-aleaórios, apesar de convergirem mais rapidamene para problemas de baixa dimensão, apresenam deficiências a medida que se aumenam as dimensões. Porém uma boa solução nesse caso seria a uilização do gerador aleaório híbrido. Para o programa dessa disseração, foram uilizados números pseudo-aleaórios Convergência Nas seqüências Pseudo-Aleaórias o esimador converge à axa N. Onde N é o número de simulações. Na precificação de derivaivos se forem necessários um grande número de inervalos aé o vencimeno a dimensão cresce, o que pode se ornar um problema para as sequências quase-aleaórias. A grande vanagem das pseudo-aleaórias é que o erro independe da dimensão. A desvanagem é a baixa velocidade de convergência (por exemplo, se quisermos diminuir o erro pela meade deve-se quadruplicar o número de simulações). Nas seqüencias quase aleaórias o limie máximo da axa de convergência log( N) d do esimador é N. Quando a dimensão d é baixa esa sequência apresena resulados muio superiores aos números pseudo-aleaórios, com o esimador convergindo aproximadamene a axa /N.

24 6 Conudo, quando a dimensão cresce, podem ocorrer problemas como ilusrado no gráfico abaixo, que mosra a irregularidade da disribuição de duas sequências adjacenes de ala dimensão. Figura 3.7 Problemas com ala dimensão O gráfico acima ilusra a seqüência de Sobol e sua uilização em problemas de dimensão elevada. A consrução de seqüências aleaórias é feia aravés de um algorimo que gera uma disribuição uniforme no inervalo (0,). Exisem basicamene 3 méodos que ransformam uma disribuição uniforme em normal padrão : Esaísica, Box Miller e Paramerização. Escolheu-se o Box Miller nese rabalho porque se compora bem em sequências pseudo-aleaórias. Há ambém a possibilidade de uilização da inversão de Moro que se mosra basane eficaz na ransformação. Tano Box Miller quano moro foram implemenados no programa em VBA da disseração.

25 Aproximação de Box & Muller Um imporane méodo usado para gerar dados da disribuição normal é o de Box-Müller, que é baseado na generalização do méodo da ransformação de probabilidade para mais de uma dimensão. A disribuição normal padrão denro da família normal, definida pelos seus parâmeros μ e σ², é aquela com média nula e variância uniária. Esa densidade será referenciada por N (0: ). Essa deve ser uma função exerna escria pelo usuário. Os argumenos μ e σ² da função são a média e o desvio padrão da disribuição normal que preende-se gerar. A função de densidade da normal é: f ( x u) σ ( x) e = (3.53) πσ O méodo é baseado na generalização do méodo da ransformação de probabilidades para mais de uma dimensão. Considere p variáveis aleaórias X,...,, X X p com função de densidade conjuna f ( x, x,..., x p ) e p variáveis aleaórias Y,...,, Y Yp, funções de odos os X ' s, enão a função de densidade conjuna dos Y ' s é: em que J = (3.54) ( ) J = ( ) é o Jacobiano da ransformação dos X ' s em relação aos y ' s. considerando a ransformação (3.54) para gerar dados y normais com densidade dadas por (3.53) devidamene adapada para acomodar y e não x. Para que seja aplicada a ransformação de Box-Müller, é preciso considerar duas variáveis aleaórias uniformes enre 0 e, represenadoas por x e x e duas funções delas, represenadas por y e y e dadas por:

26 64 y ln x cos(π ) = x (3.55) y = ln x sen(π ) (3.56) x Assim, a função de densidade conjuna de y e y é dada por sendo, porano: f x ; x ) ( J, f ( y ; y ) = e π y e π y (3.57) Desde que a densidade conjuna acima seja o produo de duas normais independenes, pode-se afirmar que as duas variáveis geradas são normais padrão independenes. Assim, uiliza-se esse resulado para gerar variáveis aleaórias normais. A dificuldade é apenas compuacional, pois a uilização de funções rigonoméricas como seno e co-seno pode ornar leno o algorimo gerado. Uma saída uilizada na práica é ao invés de considerar os valores das variáveis aleaórias uniformes x e x de um quadrado de lado igual a (quadrado uniário), omarmos u e u como coordenadas de um pono aleaório em um círculo uniário (de raio igual a ). A soma de seus quadrados R u + = u é um valor de uma variável aleaória uniforme que pode ser usada como x. Já o ângulo que o pono ( u ; u ) que deermina em relação ao eixo u, pode ser usado como um ângulo aleaório dado por θ = πx. A vanagem da não uilização direa da expressão (3.55) refere-se ao fao do co-seno e do seno poderem ser obidos alernaivamene por: u u cos(π x ) = e sen (π x ) =, eviando assim as funções R R rigonoméricas. Na figura abaixo ilusra-se os conceios apresenados e denominamos o ângulo que o pono ( u ; u ) deermina em relação ao eixo u porθ.

27 65 Figura 3.8 Círculo uniário onde um pono aleaório ( u ; u ) deermina em relação ao eixo u Técnicas de Redução de Variância Exisem diversas écnicas uilizadas para diminuir os erros nas esimaivas ao uilizar-se o méodo de simulação para precificar opções. O erro é mensurado do pela seguine equação: σ N sim sim. Quano menor o desvio da simulação, maior a precisão dos resulados. Esse desvio deve esar associado à variância dos valores da opção obidos aravés de repeição das simulações um grande número de vezes, sendo assim um desvio padrão populacional e não amosral. Vários méodos foram desenvolvidos no inuio de reduzir esse desvio padrão e assim diminuir ambém o número de simulações necessárias a deerminado nível precisão. Podese ciar: Variáveis Aniéicas, Esraificação, Variáveis de conrole, Imporance Sampling, denre ouros. A seguir será abordada a principal écnica uilizada nessa aplicação que são as variáveis aniéicas.

28 Variáveis Aniéicas Esa abordagem é a mais simples e ambém a mais uilizada para reduzir a variância de uma esimaiva. Uiliza-se o conceio de que uma rajeória de preços e sua imagem possuem a mesma probabilidade de ocorrência. Ou seja, deve-se gerar uma variável esocásica negaivamene correlacionada à variável de esado do aivo objeo. Assim, cada rajeória deve ser associada a um par de seqüências, iso é, duas rajeórias negaivamene correlacionadas. Supondo que uma variável aleaória Z i enha uma disribuição normal padronizada, enão a mesma disribuição. Desse modo o mesmo preço obido uilizando obido com Z i ambém erá Z i pode ser Z i, de modo que para gerar N caminhos aleaórios basa apenas gerar N/ números aleaórios melhorando a rapidez na convergência como no exemplo abaixo: Exemplo Numérico: Dados do Modelo Invesimeno : $ 000 Taxa de Dividendos do Projeo: 5% ao ano Valor do Projeo: $ 000 Taxa Livre de Risco: 0% ao ano Volailidade do MGB: 5% Inervalo de Tempo: 3 anos Quadro 3. Exemplo Numérico da uilização da Variável Aniéica Número de Opção MC Desvio MC Opção Ani Desvio Ani rajeórias 00 73,34 9,90 75,7 3, ,40,3 7,39 6, ,90 7,59 7,75 5, ,73 6, 70,76 4, ,0 3,59 70, 3, ,05,6 70,0,09

29 67 Acima, verificou-se a parir da uilização do programa desenvolvido em VBA pelo auor que à medida que aumena o número de rajeórias o valor da opção converge para um nível de preço. Em cada iem da simulação a inrodução de variáveis aniéicas conribuiu para a diminuição do desvio quadráico médio.