UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA

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1 Curitiba 01 de abril de 2006 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA Transporte de na Projeção Universal Transversa de Mercator

2 Transporte de coordenadas na Projeção Transversa de Mercator A projeção UTM assume posição de destaque no estudo de projeções cartográficas porque é uma projeção conforme e é a projeção oficialmente adotada no Brasil para a realização do mapeamento sistemático, e recentemente foi adotada como projeção cartográfica a ser usada no registro de imóveis rurais, na chamada Lei do INCRA. Muitas vezes é necessário calcular coordenadas UTM de pontos da superfície topográfica que foram medidos por procedimentos de topografia. Nestes casos deve-se combinar as medidas realizadas na superfície topográfica com coordenadas UTM. Isto quer dizer que serão misturadas grandezas de duas superfícies diferentes, uma SR e uma SP.

3 Como se trata de duas superfícies diferentes, as medidas realizadas na superfície topográfica não têm correspondência imediata com suas representações na projeção UTM. A diferença entre estas grandezas é tratada como redução de dados, de uma superfície para outra. A redução de dados a que estão sujeitas as grandezas medidas na superfície topográfica para que fiquem adequadas ao uso na projeção UTM são de duas naturezas: as reduções de natureza linear, e as reduções de natureza angular. Reduções lineares Uma distância observada em campo, em geral, é inclinada e representa a distância entre o centro eletrônico do distanciômetro e o espelho refletor. O cálculo de uma coordenada no plano de projeção UTM requer um comprimento reduzido à projeção por meio da aplicação do conceito de distorção de escala.

4 Na figura anterior pode-se ver a sequência da aplicação das reduções lineares. As reduções lineares são todas aquelas operações que possibilitam obter a distância na projeção a partir de uma distância medida no campo. Durante este processo de redução a distância inclinada é usada para calcular a distância horizontal, e esta é usada para calcular a distância reduzida à superfície do elipsóide. Esta por fim é usada para calcular a distância na projeção cartográfica, por meio da distorção de escala.

5 Transporte de coordenadas na projeção UTM: reduções lineares Z Distância inclinada Superfície topográfica Distância horizontal Distância sobre o elipsóide (azul) Parte que corresponde à geodésia: determinação do comprimento da geodésica

6 Transporte de coordenadas na projeção UTM: reduções lineares Z Distância inclinada Superfície topográfica Distância horizontal Comprimento sobre a projeção (vermelho) Distância sobre o elipsóide (azul) O comprimento da geodésica projetada é obtido do comprimento da geodésica afetado da distorção de escala (m). Neste caso m > 1.

7 Transporte de coordenadas na projeção UTM: reduções lineares Z Distância inclinada Superfície topográfica Distância horizontal O comprimento da geodésica projetada é obtido do comprimento da geodésica afetado da distorção de escala (m). Neste caso m < 1. Distância sobre o elipsóide (azul) Comprimento sobre a projeção (vermelho)

8 Transporte de coordenadas na projeção UTM: reduções lineares Z Distância inclinada Superfície topográfica Distância horizontal Distância sobre o elipsóide (azul) Comprimento sobre a projeção (vermelho) O comprimento da geodésica projetada é obtido do comprimento da geodésica afetado da distorção de escala (m). Neste caso m ~= 1.

9 Reduções angulares Apesar da projeção UTM ter a propriedade de conformidade existe um tratamento a ser dado às grandezas angulares observadas em campo antes que se possa usálas no cálculo de novas coordenadas UTM. Estão envolvidos o conceito de convergência meridiana (γ ), azimute de quadrícula (Azq), azimute geodésico (Azg), ângulo entre a corda da geodésica projetada e a geodésica projetada (ψ ). Partindo de um azimute geodésico, o cálculo do azimute de quadrícula requer a consideração dois ângulos a convergência meridiana (γ ) e a redução angular (ψ ). Pode-se dizer que azimute é um ângulo horizontal medido no sentido horário entre o alinhamento considerado e a direção do meridiano que passa pelo ponto inicial deste segmento.

10 Transporte de coordenadas na projeção UTM: reduções angulares N Geodésica projetada Corda da geodésica projetada Tangente à geodésica projetada Paralela ao eixo N 1 Az qc12 ψ 21 Az qc23 3 α ψ 23 2 E

11 Transporte de coordenadas na projeção UTM: reduções angulares A linha que une dois pontos da superfície do elipsóide recebe o nome de linha geodésica. Os pontos definidores de uma linha geodésica quando representada na projeção UTM aparecem como uma curva com a concavidade voltada para o eixo X (das coordenadas N). A diferença em comprimento entre a curva e a corda da curva é pequena,e pode ser desprezada. Assim em todos os cálculos realizados na projeção UTM usa-se o comprimento da corda da geodésica projetada ao invés do comprimento real da geodésica projetada. O ângulo entre a direção da geodésica projetada e a sua corda, no entanto, não pode ser desconsiderado nos cálculos de transporte de coordenadas. Este ângulo recebe o nome de redução angular (ψ ). As reduções angulares envolvem os ângulos convergência meridiana (γ ângulo redução angular (ψ ). ) e o

12 Transporte de coordenadas na projeção UTM: reduções angulares As reduções lineares e angulares são aplicadas aos dados observadas de modo a torná-los passíveis de uso nas expressões abaixo: N 3 = N 2 + Dc 23 * cos Az qc 23 N2 N E 3 = E 2 + Dc 23 * sen Az qc 23 N3 Az qc23 Dc 23 = comprimento da corda da geodésica projetada N1 Dc 23 E1 E2 E3 E Az qc 23 = azimute de quadrícula da corda da geodésica projetada

13 Transporte de coordenadas na projeção UTM PROBLEMA DIRETO Dados de entrada: - coordenadas UTM de um ponto ré (N 1, E 1 ); - coodenadas UTM do ponto ocupado (N 2, E 2 ); - ângulo observado entre o lado 2-1 e 2-3 (α); - comprimento da geodésica 2-3 (De). Pretende-se calcular as coordenadas UTM do ponto 3. /firkowski/curso_crea/

14 Transporte de coordenadas na projeção UTM

15 Transporte de coordenadas na projeção UTM PROBLEMA INVERSO Dados de entrada : - coordenadas UTM do ponto 1 (N 1, E 1 ); - coordenadas UTM do ponto 2 (N 2, E 2 ). Pretende-se calcular o azimute geodésico e o comprimento da geodésica /firkowski/curso_crea/

16 Transporte de coordenadas na projeção UTM

17 Avaliação do valor numérico de área de polígonos Fórmula de Gauss ( ) Area 1 n = Y X i= 1 i i 1 X i+ 2 1 Area 1 n = i= 1 X 2 i 1 ( Y Y ) i 1 i+ X = [ ]; Y = [ ]; Area=(1*(1 5 )+ 3*(2 6)+ 5*(5 5)+ 7*(6-4) + 9*(5-2)+4*(4-1)+3*(2-2))/2= 18,50m 2. O valor numérico de uma área depende da superfície na qual se avalia a área. Um polígono que, por exemplo, pertence à superfície topográfica produz um valor numérico de área diferente do correspondente valor numérico de área para o mesmo polígono representado na superfície do elipsóide. Portanto, uma mesma figura (polígono), representado em diferentes superfície terá diferentes valores numéricos de área.

18 Avaliação do valor numérico de área de polígonos Diferentes valores numéricos de área para mesmo polígono na Projeção UTM 1- Área na projeção UTM distorção de escala 2- Área na superfice do elipsóide Geodésicas Elipsoidais fator elipsóide sup. topográfica Cartesianas Geocêntricas 3- Área na superfície topográfica Cartesianas Topocêntricas 4- Área no referencial topocêntrico local

19 Avaliação do valor numérico de área de polígonos na Projeção UTM 1- Área na projeção UTM Para se obter a área na superfície de projeção, projeção UTM aplica-se a fórmula de Gauss ( X X ) i 1 i+ Area 1 n = i= 1 Y 2 i 1

20 Avaliação do valor numérico de área de polígonos na Projeção UTM 1- Área na projeção UTM 2- Área na superfice do elipsóide distorção de escala Para obter-se o valor numérico da área do polígono correspondente na superfície do elipsóide deve-se calcular a distorção de escala m. Pode-se adotar o centro médio do polígono, isto é, o valor médio das coordenadas N e o valor médio as coordenadas E. A partir destes valores calcular as coordenadas TM dos pontos, calcular a latitude do pé da normal ao eixo X pelo ponto médio e então calcular a distorção de escala média. O valor numérico da área do polígono sobre a superfície do elipsóide é dado pela divisão entre o valor numérico da área na projeção UTM pelo quadrado da distorção de escala. (Este valor de área é aproximado)

21 Avaliação do valor numérico de área de polígonos na Projeção UTM 1- Área na projeção UTM 2- Área na superfice do elipsóide distorção de escala fator elipsóide sup. topográfica 3- Área na superfície topográfica O valor numérico da área do polígono sobre a superfície topográfica é obtido a partir do cálculo do raio médio do elipsóide para o ponto médio, já calculado. Com o valor do raio médio do elipsóide para o ponto médio da região e com a altitude média da região calculase o fator Fet (fator elipsóide-topográfico) Fet = (Rm + hm)/ Rm. O fator Fet é aplicado ao valor de área na superfície do elipsóide, também ao quadrado.

22 Avaliação do valor numérico de área de polígonos na Projeção UTM A B Geodésicas Elipsoidais Cartesianas Geocêntricas C Cartesianas Topocêntricas D 4- Área no referencial topocêntrico local A Problema inverso da transformação de coordenadas B Transformação de coordenadas geodésicas em coordendas cartesianas geocêntricas por meio das equações paramétricas do elipsóide C Transformação ortogonal no espaço das coordenadas geocêntricas em coordenadas topocêntricas locais D Cálculo da área pela fórmula de Gauss

23 Avaliação do valor numérico de área de polígonos na Projeção UTM Xc = (N + h) cos φ cos λ Yc = (N+h) cos φ sen λ Zc = (N+h) (1-e 2 ) senφ Problema inverso (N,E) -> (ϕλ) Eq. Param. do elipsóide Geodésicas Elipsoidais R Cartesianas Geocêntricas = XL Xc Xo = YL R Yc Yo ZL Zc Zo cos(90 + λo) cos(90 ϕo) *sen (90 + λo) sen (90 ϕo) *sen (90 + λo) sen(90 + λo) cos(90 ϕo) *cos(90 + λo) sen (90 ϕo) *cos(90 + λo) 0 sen (90 ϕo) cos(90 ϕo ) Cartesianas Topocêntricas 4- Área no referencial topocêntrico local Trans. afim no espaço

24 Avaliação do valor numérico de área de polígonos Pto. N (m) E (m) Pto. N (m) E (m) Pto X L (m) Y L (m) Z L (m) Pt X L (m) Y L (m) Z L (m) 1 117, ,313-0,005 o12 4, ,279-0, , ,521-0, , ,135-0, , ,206-0, , ,340-0, , ,710-0, ,911-7,968-0, , ,245-0, ,699-30,004-0, , ,113-0, ,899-33,215-0, ,643 32,066-0, ,085-24,432-0, ,068 11,727-0, ,373 40,803-0, , ,310-0, , ,971-0, , ,587-0, , ,193-0, , ,327-0, , ,703-0,003

25 Avaliação do valor numérico de área de polígonos Referência Área (m 2 ) Modo de obtenção Projeção UTM Fórmula de Gauss Elipsóide Distorção de escala ou fator de escala (m) Sup. Topográfica Fator (Fet) Sist. Local Topocêntrico Transformação entre referenciais Área UTM Elipsóide Sup. Topog. (Fet) S. Local Topoc. UTM 0,00 m 2-99,87 m 2-146,80 m 2-146,84 m 2 Elipsóide 99,87 m 2 0,00 m 2-46,93 m 2-46,95 m 2 Sup. Topog. (Fet) 146,80 m 2 46,93 m 2 0,00 m 2-0,05 m 2 S. Local Topoc. 146,84 m 2 46,97 m 2 0,05 m 2 0,00 m 2 Área UTM Elipsóide Sup. Topog. (Fet) S. Local Topoc. UTM 0,00 % 0,07 % 0,10 % 0,10 % Elipsóide 0,07 % 0,00 % 0,03 % 0,03 % Sup. Topog. (Fet) 0,10 % 0,03 % 0,00 % 0,00 % S. Local Topoc. 0,10 % 0,03 % 0,00 % 0,00 %

26 Transformação entre referenciais geodésicos N, E, h referencial 1 ϕ, λ referencial 1 Xg, Yg, Zg referencial 1 Molodensky dϕ e dλ - X 12 - Y 12 - Z 12 N, E, h referencial 2 ϕ, λ referencial 2 Xg, Yg, Zg referencial 2 Proj. cart. Geodésia X 12 Y 12 Z

27 Transformação entre referenciais geodésicos Programa TrDatum.exe