CURVA GEODÉSICA. GA116 Sistemas de Referência e Tempo

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1 CURVA GEODÉSICA GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 SEÇÃO NORMAL Curva resultante da interseção de um plano normal (plano que contém a normal de um ponto) e um segundo ponto com a superfície elipsoidica. Normal de P2 Normal de P1 P2 P1 P2 P1 P1 P2 seção direta seção recíproca ou inversa Seção normal de P1 P2 Contém: O ponto P1 A normal de P1 O ponto P2 Seção normal de P1 P2 Contém: O ponto P2 A normal de P2 O ponto P1

3 LINHA GEODÉSICA OU GEODÉSICA Menor distância entre dois pontos na superfície elipsoidica. É uma curva reversa. Situada entre as seções normais de dois pontos. Normal de P2 Normal de P1 P2 P1 P2 P1 P1 P2 Geodésica

4 LINHA GEODÉSICA OU GEODÉSICA P1 P2 P1 P0 P2 P0 P0 P1 P0 P2 P0 P0 P4 P0 P3 P4 P0 P3 P0 P4 P3 Geodésica Aproxima-se da seção normal direta do ponto mais próximo

5 Relação de azimutes geodésicos Azimute Geodésico de uma direção geodésica é o ângulo contado do norte por leste, desde o meridiano que contém um ponto à linha geodésica. A Az AB Meridiano λ B Meridiano λ A B Az AB = Az BA ± γ convergência meridiana Az BA

6 θ (") = 855. s cos 2 (φ 1 ). sen(2. Az 12 ) l = e2. s 3. cos 2 φ 1. sen(2. Az 12 ) 16N 2 P2 Com: s φ 1 Az 12 N e 2 comprimento da geodésica em km latitude geodésica de P1 Azimute geodésico da direção P1 P2 grande normal em P1 1ª excentricidade ao quadrado P2 P1 s l P1 θ 2θ 3 θ 3 P1 P2 Meridiano λ 1

7 θ (") = 855. s cos 2 (φ 1 ). sen(2. Az 12 ) l = e2. s 3. cos 2 φ 1. sen(2. Az 12 ) 16N 2 P2 Exemplo: φ 1 = 0 Az 12 = 45 s = 40 km P2 P1 s l θ = 0, 014 l = 1 mm Muitos casos é desprezível P1 θ 2θ 3 θ 3 P1 P2 Meridiano λ 1

8 É possível simplificação aproximação esférica Adoção de Raio local R LOCAL = MN (M e N calculados para latitude média φ m entre os pontos) GARANTIA Precisões de 0,0001 ou 3 mm em distâncias de até 80 km ~ lados das redes geodésicas APLICAÇÕES Transporte de coordenadas PUISSANT Formulas simplificadas de Molodensky (conversão) NBR Rede de referência cadastral

9 Cálculo do comprimento da geodésica Integral elíptica solução complexa Alternativas métodos numéricos para aproximação, processos iterativos. Uma opção: Vincenty, T. Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations. In: Survey Review, v. 23, n. 176, Aplicativos desenvolvidos: National Geodetic Survey (NGS) - NOAA (EUA)

10 Aplicativos desenvolvidos: National Geodetic Survey (NGS), NOAA (EUA)

11 DESCRIÇÃO INVERSE Calcula o azimute geodésico e o comprimento da geodésica entre dois pontos de coordenadas geodésicas (φ, λ) conhecidos. φ 1, λ 1 φ 2, λ 2 Az 12, S 12 FORWARD Determina as coordenadas geodésicas de um ponto, sendo conhecidos o azimute geodésico e o comprimento da geodésica a partir de um ponto de coordenadas geodésicas conhecidos. φ 1, λ 1 Az 12, S 12 φ 2, λ 2 INVERS3D, FORWRD3D Versões similares que incluem a altitude elipsoidal (h) nos cálculos.

12 Característica da Geodésica Seja o raio do paralelo E a grande normal R p = N. cos φ a N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2 Teorema de Clairaut O produto do seno do azimute da geodésica em um ponto pelo raio do paralelo deste ponto é constante para qualquer ponto da geodésica. R p. sen Az = constante N. cos φ. sen Az = constante

13 Teorema de Clairaut Aplicação LOCAÇÃO DE UMA GEODÉSICA Adaptado de NADAL, C. A. Dadas as coordenadas de dois pontos geodésicos pertencentes a RBMC, calcular a distância geodésica, o azimute e o contra azimute geodésico da direção que une o ponto A ao ponto B. Pontos: Ponto A Ponto B Santíssima Trindade/MT Chapecó/SC

14 Coordenadas em SIRGAS2000 (época 2000,4) Ponto A (Santíssima Trindade /MT) φ A = ,1369" S λ A = ,5996" W Ponto B (Chapecó/SC) φ B = ,2367" S λ B = ,2243" W

15 1. Determinação do comprimento da geodésica, azimute e contra azimute da direção geodésica AB. Programa INVERSE parâmetros de entrada: elipsoide 1º ponto 2º ponto

16 1. Determinação do comprimento da geodésica, azimute e contra azimute da direção geodésica AB. Programa INVERSE resultados: Parâmetros do elipsoide Resultados

17 Ponto A (Santíssima Trindade /MT) φ A = ,1369" S λ A = ,5996" W Ponto B (Chapecó/SC) φ B = ,2367" S λ B = ,2243" W d AB = , 905 m Az AB = , 6152" Az BA = , 2367

18 d AB = , 905 m Az AB = , 6152" Az BA = , 2367" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto A N = ,780 m R p = ,995 m R p. sen Az AB = , 463 m (constante) Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto B N = ,339 m R p = ,868 m R p. sen Az BA = , 463 m (constante)

19 Como traçar + pontos sobre a geodésica?

20 Como traçar + pontos sobre a geodésica? Programa FORWAD Determinar novos pontos sobre a geodésica Ponto C, distante 50 km do ponto A. Parâmetros de entrada: elipsoide 1º ponto Azimute e distância

21 Ponto C, a 50 km do ponto A, na geodésica φ A = ,1369" S λ A = ,5996" W d AC = ,000 m Az AB = ,6152" Coordenadas do ponto C calculadas: ϕ C = ,9642" S λ C = ,5597" W Az CA = ,5693" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto C N = ,795 m R p = ,555 m R p. sen Az CA = ,463 m (constante) O ponto C encontra-se sobre a geodésica AB. R p. sen Az BA = , 463 m (constante)

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23 Ponto D, a 500 km do ponto A, na geodésica φ A = ,1369" S λ A = ,5996" W d AD = ,000 m Az AB = ,6152" Coordenadas do ponto D calculadas: ϕ D = ,0923" S λ D = ,3953" W Az DA = ,0081" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto D N = ,061 m R p = ,107 m R p. sen Az DA = ,463 m (constante) O ponto D encontra-se sobre a geodésica AB. R p. sen Az BA = , 463 m (constante)

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25 Ponto E, a 1000 km do ponto A, na geodésica φ A = ,1369" S λ A = ,5996" W d AE = ,000 m Az AB = ,6152" Coordenadas do ponto E calculadas: ϕ E = ,4309 S λ E = ,2139" W Az EA = ,9633" Aplicando o Teorema de Clairaut no ponto E N = ,598 m R p = ,107 m R p. sen Az EA = ,463 m (constante) O ponto E encontra-se sobre a geodésica AB. R p. sen Az BA = , 463 m (constante)

26 Geodésica traçada (curva reversa)

27 Exercício R p. sen Az BA = , 463 m (constante) Verifique se os pontos F e G pertencem ou não à geodésica AB, considerando os dados em SIRGAS2000. Elipsoide: GRS80 (a = , 000 m ; f = 1/298, ) Ponto F ϕ F = ,98751" S λ F = ,80223" W Az FA = ,32420" Ponto G ϕ G = ,30937" S λ G = ,87578" W Az GA = ,54600" e 2 = 2f f 2 a N = 1 e 2 sen 2 φ 1/2 R P = N. cos φ

28 Solução R p. sen Az BA = , 463 m (constante) Ponto F ϕ F = ,98751" S λ F = ,80223" W Az FA = ,32420" N = ,858 m R p = ,867 m R p. sen Az FA = ,769 m!!! Ponto F não pertence à geodésica AB. Ponto G ϕ G = ,30937" S λ G = ,87578" W Az GA = ,54600" N = ,609 m R p = ,174 m R p. sen Az GA = ,463 m (constante) Ponto G pertence à geodésica AB.