CÁLCULO DE ÁREAS DE POLÍGONOS SOBRE O ELIPSÓIDE USANDO PROJEÇÕES EQUIVALENTES 1

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1 CÁLCULO DE ÁREAS DE POLÍGONOS SOBRE O ELIPSÓIDE USANDO PROJEÇÕES EQUIVALENTES 1 Autores: Mauricio Galo João F. Galera Mônico Leonardo Castro de Oliveira 1 GALO, M.; MONICO, J. F. G.; OLIVEIRA, L. C. de Cálculo de áreas de polígonos sobre o elipsóide usando projeções equivalentes. In: MITISHITA, E. A. (Editor chefe). Série em Ciências Geodésicas Volume 3 - Novos Desenvolvimentos em Ciências Geodésicas. Imprensa Universitária da UFPR, Curitiba - PR, p , 23. (ISBN )

2 CÁLCULO DE ÁREAS DE POLÍGONOS SOBRE O ELIPSÓIDE USANDO PROJEÇÕES EQUIVALENTES Mauricio Galo 1 João F. Galera Monico 1 Leonardo Castro de Oliveira 2 1 Universidade Estadual Paulista UNESP, Departamento de Cartografia galo@fct.unesp.br, galera@fct.unesp.br 2 Instituto Militar de Engenharia - IME -, Departamento de Engenharia Cartográfica leonardo@ime.eb.br RESUMO O cálculo de áreas de figuras elipsoidais é freqüentemente necessário em algumas aplicações geodésicas. Para os casos em que os lados dos polígonos são arcos de paralelo ou de meridiano, o cálculo é mais simples. No entanto, em situações onde os lados são formados por arcos de paralelo, arcos de meridiano e linhas geodésicas, a solução não é trivial. Algumas soluções consideram a divisão da área original em triângulos, usando a triangulação de Delaunay, sendo a área de cada triângulo calculada usando expressões da trigonometria esférica. Nesse caso, o raio médio de curvatura para o centro do triângulo é usado como raio da esfera de cada triângulo esférico. Como alternativa propõe-se que seja realizado o cálculo da área a partir da segmentação dos lados do polígono em segmentos menores, criando pontos adicionais, seguido da transformação das coordenadas geodésicas de todos os pontos (originais e adicionas) para coordenadas em uma projeção plana equivalente sobre o elipsóide, para então realizar o cálculo da área do polígono projetado através da fórmula de Gauss. A proposta apresentada foi implementada e os resultados indicam que essa alternativa pode ser utilizada em aplicações que requerem grande rigor de qualidade, proporcionando erros relativos em área da ordem de ppb (partes por bilhão) ou mesmo ppt (partes por trilhão), desde que sejam utilizados intervalos adequados para a segmentação dos lados. Palavras-chave: Área de polígonos elipsoidais, Projeções equivalentes, Divisão de linhas geodésicas, meridianos e paralelos. 465

3 AREA COMPUTATION ON THE ELLIPSOID SURFACE USING EQUIVALENT PROJECTION ABSTRACT The computation of areas on the ellipsoid surface is frequently necessary in some geodetic applications. For the cases where the sides of the polygons are arcs of meridians and parallels, the computation is simple. However, in situations where arcs of parallels, arcs of meridians and geodesic lines compose the polygons, the solution is not trivial. At some solutions, it is considered the division of the original area in triangles, using Delaunay triangulation, and the area of each triangle is computed using expressions of spherical trigonometry. In this case, the average radius of curvature of the center of the triangle is used as local radius for the spherical triangle. As an alternative, it is proposed to segment the borders of the polygon in small parts, followed by transformations of the geodetic coordinates into an azimutal equivalent projections coordinates over the ellipsoid. Finally, the area of the projected polygon is computed by Gauss equation. The proposed approach was implemented and the results indicate that relative error of ppb (parts per billion) or even ppt (parts per trillion) can be obtained by this method. Consequently, this approach can be considered in applications requiring very high quality area computation on the elipsoidal surface, since adequate interval for the borders segmentation is used. Keywords: Area computation on the ellipsoid, Equivalent projections, Segmentation of geodetic lines, meridians and parallels. 1. INTRODUÇÃO e OBJETIVOS Algumas aplicações em Geodésia e Cartografia requerem, freqüentemente, o cálculo de áreas de polígonos, cujos lados sejam formados por arcos de paralelo, arcos de meridiano e linhas geodésicas. O cálculo das áreas de tais figuras não é trivial, a não ser que os lados sejam formados apenas por arcos de paralelo e de meridiano. No caso da figura ser composta por vários "quadriláteros elipsoidais", pode-se fazer a segmentação em n quadriláteros, sendo cada quadrilátero limitado por dois paralelos (ϕ i e ϕ i+1 ) e por dois meridianos (λ i e λ i+1 ). Logo, a área total (A T ) da figura é calculada pelo somatório das áreas de todos os n quadriláteros, ou seja: n A =, (1) T Q j j= 1 onde a área de um dado quadrilátero é obtida por 466

4 Q ( ϕ i, ϕi 1, λ i, λ i 1 ) = Sϕ S λ i 1 ϕi i+ 1 λ i, (2) sendo λ i e λ i+1 expressos em radianos e Sϕ = b senϕi + e sen ϕi + e sen ϕi + e sen ϕi (3) i Na Equação 3, S ϕi é a área compreendida entre dois arcos de meridiano de amplitude igual a um (1) radiano, entre o equador e o paralelo de latitude ϕ i, como descrito em Bugayevsky & Snyder (1995, p. 52). Esta solução só é possível na situação em que os "lados" sejam formados por arcos de paralelo e meridiano, o que é comum em algumas aplicações, como por exemplo, no cálculo de blocos de exploração e produção de petróleo (Araujo & Varella, 1999). A solução apresentada por Araujo & Varella (1999) para este problema considera a divisão dos blocos de exploração em sub-blocos, podendo resumir a solução nas seguintes etapas: fazer a divisão da área em sub-blocos de amplitude igual a 9,375" em latitude e longitude; calcular a área plana de cada subbloco usando a Projeção Policônica; calcular o fator de escala; fazer a correção da área com o fator de escala calculado; e, finalmente, realizar o somatório da área de cada um dos sub-blocos. Em Diaz & Oliveira (21) é apresentada uma solução para o cálculo da área de polígonos elipsoidais baseada na divisão do polígono original em uma série de triângulos. Inicialmente o polígono é dividido em regiões triangulares, usando a triangulação de Delaunay, sendo a área de cada triângulo elipsóidico aproximada pela área de um triângulo esférico no qual o raio de curvatura do triângulo é igual ao raio médio de curvatura calculado para o ponto médio do triângulo. Nessa solução a área total do polígono elipsoidal é dada pela soma da área de cada triângulo esférico. Posteriormente, cada triângulo é sucessivamente subdividido em quatro triângulos e a área é recalculada. O processo finaliza quando o valor da área estabiliza. Segundo os autores, o erro relativo obtido, quando foi calculada a área do elipsóide adotado para o Brasil, é da ordem de , o que eqüivale a,1 ppb (partes por bilhão). Pode-se observar pelas duas alternativas apresentadas que a área total de uma figura composta por quadriláteros elipsoidais e de um polígono genérico no elipsóide, respectivamente, é obtida pelo somatório de áreas de quadriláteros elipsoidais ou de triângulos esféricos. Em Moraes (21) é apresentada uma solução para o cálculo da área de polígonos delimitados por linhas geodésicas que se baseia no cálculo da área entre cada uma das linhas geodésicas e o equador. Assim, considerando que o contorno do polígono seja composto de L geodésicas, a área do polígono será obtida pela composição (soma ou subtração) da área entre cada um dos L lados e o equador. Esta solução só é válida para figuras formadas por linhas geodésicas, o que nem sempre é o caso. Deste modo, o objetivo deste trabalho é propor uma solução que considere figuras onde os lados não sejam apenas linhas geodésicas, e nem apenas arcos de 467

5 paralelo e meridiano; e que, além disso, não seja necessário fazer a divisão da figura em sub-regiões. Como alternativa sugere-se que seja feita a segmentação das bordas do polígono original, pela inclusão de pontos adicionais, permitindo o cálculo da área do polígono elipsoidal por meio de um polígono equivalente, obtido a partir do uso de uma projeção plana equivalente. Uma vez que se pretende obter a área sobre o elipsóide de revolução, considera-se que a projeção plana utilize como superfície de referência o elipsóide de revolução. 2. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E PROPOSTA DE SOLUÇÃO Dado um polígono formado por um conjunto de pontos geodésicos {(ϕ 1,λ 1 ), (ϕ 2,λ 2 ), (ϕ 3,λ 3 ),... (ϕ j,λ j ),...(ϕ n,λ n )}, com j {1, 2,...n}, sobre a superfície de referência (elipsóide de revolução), o problema se resume no cálculo da área deste polígono sobre essa superfície (A SR - área sobre a superfície de referência). Como mencionado anteriormente, uma alternativa para a solução é o cálculo da área do polígono equivalente, obtido considerando uma certa projeção cartográfica. Das classes de projeções possíveis, considerando os diversos critérios utilizados na classificação das projeções, uma de especial interesse é aquela formada por projeções equivalentes. Nesta classe de projeções a razão entre as áreas na superfície de projeção (A SP ) e superfície de referência (A SR ) pode ser obtida por ASP = mm9 = 1 (4) ASR onde m e m 9 são os fatores de escala ao longo das curvas paramétricas. A razão mostrada na Equação 4 é obtida ao considerar a condição de equivalência, que é atingida a partir da igualdade entre as áreas de paralelogramos diferencias sobre ambas superfícies, como se pode ver em Richardus & Adler (1972). Como normalmente as projeções equivalentes são utilizadas para escalas médias, a superfície normalmente adotada como referência para estas projeções é a esférica, seja a projeção desenvolvida sobre o plano, sobre o cilindro ou sobre o cone. Dentre os critérios que podem ser considerados na escolha do raio da esfera, um que merece destaque é aquele que se baseia na equivalência das áreas entre as superfícies, dando origem à esfera equivalente, ou esfera autálica, que possui a mesma área que a superfície do elipsóide de revolução. No entanto, para o caso colocado, onde se deseja calcular a área sobre o elipsóide de revolução, o adequado é considerar uma projeção equivalente que utiliza como superfície de referência o elipsóide de revolução. Dentre as alternativas de projeção tem-se, por exemplo, a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert. Um elemento importante ao utilizar as projeções azimutais é a determinação do ponto de tangência (ϕ,λ ). Assumindo que se tem inicialmente um conjunto de n 468

6 pontos com coordenadas geodésicas conhecidas, pode-se assumir que o ponto de tangência seja obtido por ( ) n n 1 1 ϕ, λ = ϕi, λi. (5) n i= 1 n i= 1 De posse do ponto (ϕ,λ ), utilizando-se da lei de formação da projeção e dispondo dos pontos {(ϕ 1,λ 1 ), (ϕ 2,λ 2 ), (ϕ 3,λ 3 ),...(ϕ j,λ j ),... (ϕ n,λ n )}, com j {1, 2,...n}, pode-se obter estes n pontos na projeção, ou seja: {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 3,y 3 ),... (x j,y j ),... (x n,y n )}. Considerando esses conjuntos de pontos e a propriedade dada pela Equação 4, a área na superfície de projeção poderá ser calculada indiretamente ao aplicar a tradicional fórmula de Gauss ao polígono projetado, uma vez que ele se localiza num plano. A princípio esta solução é correta. No entanto, observa-se que a propriedade da equivalência não é imediata, uma vez que nem sempre um lado representado como um segmento de reta na projeção, corresponde a um segmento de reta no quadrilátero original. Neste caso, haverá uma razão unitária entre as áreas (na superfície de referência e na projetada) se a quantidade de pontos do contorno for adequada (representativa). A Figura 1 mostra um exemplo para o caso em que se tem um polígono irregular onde os pontos extremos são transformados para a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert, e então são ligados por segmentos de reta. Posteriormente os lados são divididos em pequenos segmentos, sendo todos os pontos transformados para a projeção e mostrados na mesma figura. Na Figura 1b é mostrado um detalhe, onde se pode observar as discrepâncias entre esses dois conjuntos de pontos. a) b) FIGURA 1 - POLÍGONO ORIGINAL E SUBDIVIDIDO, ONDE OS PONTOS SÃO LIGADOS POR SEGMENTOS DE RETA (a). EM (b) É MOSTRADO UM DETALHE AMPLIADO DO MESMO POLÍGONO. Pode-se, portanto, observar pela Figura 1b a discrepância entre o polígono original, onde os pontos são ligados por segmentos de reta, e os lados após a divisão 469

7 das bordas em pequenos segmentos, obtendo-se uma maior quantidade de pontos (cruzes). Deste modo, a proposta para o cálculo da área pode ser resumida nas seguintes etapas: 1) leitura dos vértices do polígono em coordenadas geodésicas; 2) divisão dos lados em vários segmentos, pela criação de pontos adicionais; 3) cálculo do ponto de tangência (ϕ,λ ); 4) conversão de todos os pontos para a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert; e 5) cálculo da área do polígono final pela Fórmula de Gauss. Este procedimento é detalhado no fluxograma que compõe a Figura 2. Inicio Leitura do arquivo com os pontos do polígono (ϕ,λ) t i =3 Caso 3: Geodésica Determinação do número de lados (n) Leitura do passo (p) usado na divisão i=1 Verificação do tipo do lado i: t i ={1,2,3} t i =2 t i =1 N N N S S i>n S Para todos os pontos calcular* x=f(ϕ,λ) e y=g(ϕ,λ) Divisão da Geodésica Caso 2: Meridiano Divisão do Meridiano Caso 1: Paralelo Divisão do Paralelo i=i+1 Cálculo da área do polígono final. Fim FIGURA 2 - FLUXOGRAMA DO ALGORITMO PARA O CÁLCULO DA ÁREA (*Projeção Azimutal Equivalente de Lambert sobre o Elipsóide) Pode-se observar pelo fluxograma apresentado que na divisão dos lados considera-se que os lados do polígono sejam formados por arcos de meridiano, arcos de paralelo ou linhas geodésicas. Na seqüência são apresentadas as equações que permitem a conversão das coordenadas geodésicas em coordenadas na Projeção Azimutal Equivalente de Lambert, considerando como superfície de referência o elipsóide de revolução, com semi-eixo maior a e excentricidade e. 2.1 PROJEÇÃO AZIMUTAL EQUIVALENTE DE LAMBERT Dadas as coordenadas geodésicas de um ponto genérico (ϕ,λ) e assumindo que o plano de projeção seja tangente ao elipsóide de revolução em (ϕ,λ ), as 47

8 coordenadas na Projeção Azimutal Equivalente de Lambert deste ponto genérico poderão ser calculadas, segundo Snyder (1982, p. 173), por: x= BDcosΦsen( λ λ ) y= B [cos D Φ senφ senφ 471. (6) cosφcos( λ λ )] Nesta equação, Φ representa a latitude autálica do ponto de latitude geodésica ϕ e Φ representa a latitude autálica do ponto de latitude geodésica ϕ. A latitude autálica corresponde a latitude de um ponto, sobre a esfera autálica, ou esfera equivalente, como definido anteriormente. Mais detalhes podem ser obtidos em Snyder (1982) e Richardus & Adler (1972). Nas Equações 6 os termos B e D podem ser obtidos por: com e B= R q { 2/ [ 1+ senφ senφ+ cosφ senφcos( λ λ )]} am D= R cosφ q ( q / ) 1/ 2 q a p 2 1/ 2, (7) R =, (8) q Φ= arcsen, q p (9) sendo R q o raio da esfera autálica. Os termos q e m podem ser obtidos por: 2 senϕ 1 1 esenϕ q= (1 e ) ln 2 2, 1 e sen ϕ 2e 1+ esenϕ (1) cosϕ m =. 1 e 2 sen 2 ϕ (11) Nas Equações 8 e 9 o termo q p representa o valor de q estimado a partir da Equação 1 para ϕ=9º. Para mais detalhes sobre estas equações e sobre a interpretação geométrica de alguns destes elementos, sugere-se Snyder (1982) e Richardus & Adler (1972). 2.2 SEGMENTAÇÃO DE ARCOS DE MERIDIANO, DE PARALELO E DE LINHAS GEODÉSICAS A partir do fluxograma da Figura 2 percebe-se a necessidade da divisão dos lados, que podem ser arcos de meridiano, de paralelo ou de linhas geodésicas. Pressupõe-se, portanto, no algoritmo implementado, que apenas estas três categorias

9 de curvas sejam aceitas e caso os lados não sejam paralelos nem meridianos, eles são considerados geodésicas. É relevante lembrar que apenas duas classes de curvas poderiam ser consideradas, arco de paralelo e linhas geodésicas, uma vez que todo meridiano é uma geodésica. No entanto, manteve-se estas três classes pois o número de operações necessárias para a divisão de um arco de meridiano é inferior ao necessário para dividir uma linha geodésica. Para que o algoritmo faça a classificação de cada um dos lados do polígono original, utilizam-se como dados de entrada as coordenadas das extremidades de cada lado e, uma vez que a divisão é realizada sobre as coordenadas geodésicas, é necessário converter o passo (p), dado em metros, para o passo (p a ), dado em unidade angular. Nesta conversão é utilizado o raio médio de curvatura para o ponto de tangência ( R ϕ ) e realizada a operação p p / R a = ϕ. No Quadro 1 são apresentados os algoritmos para a divisão de paralelos e de meridianos. Na coluna da esquerda considera-se que os pontos extremos do paralelo possuem coordenadas (ϕ,λ A ) e (ϕ,λ B ). Os termos em negrito correspondem àqueles que são modificados ao considerar os meridianos (na coluna da direita no Quadro 1), sendo os demais mantidos iguais e, por isso, não foram repetidos. No caso de arcos de meridianos considera-se que os pontos extremos possuem as coordenadas (ϕ A,λ) e (ϕ B,λ). QUADRO 1 - ALGORITMO PARA A SEGMENTAÇÃO DOS PARALELOS (esquerda) E DOS MERIDIANOS (direita). 1) Cálculo de S=SINAL(λ B-λ A) 2) λ INICIAL=λ A S=SINAL(ϕ B-ϕ A) ϕ INICIAL=ϕ A 3) i=1 4) Se S> Então 5) λ i = λ INICIAL + S*p a ϕ i = ϕ INICIAL + S*p a 6) Se λ i<λ B Então ϕ i<ϕ B 7) Salvar (ϕ,λ i) (ϕ i,λ) 8) λ INICIAL=λ i ϕ INICIAL=ϕ i 9) i=i+1 1) Vá para (5) 11) Se não 12) Vá para (22) 13) Se não 14) λ i = λ INICIAL + S*p a ϕ i = ϕ INICIAL + S*p a 15) Se λ i>λ B Então ϕ i>ϕ B 16) Salvar (ϕ,λ i) (ϕ i,λ) 17) λ INICIAL=λ i ϕ INICIAL=ϕ i 18) i=i+1 19) Vá para (14) 2) Se não 21) Vá para (22) 22) Paralelo Segmentado Meridiano Segmentado 472

10 Para a divisão das linhas geodésicas deve-se utilizar as equações que possibilitam realizar o problema direto e inverso da Geodésia. Deste modo, podem ser consideradas diversas equações, como por exemplo, as mostradas no Quadro 2. QUADRO 2 - ALGUMAS EQUAÇÕS UTILIZADAS PARA O TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS COM O RESPECTIVO ALCANCE. Fórmula Alcance* Fórmula de Puissant Correta para linhas de 5 ou 6 milhas. Fórmula de Tardi Correta para linhas da ordem de 15 milhas. Fórmula de Clarke (Utilizada pelo USGS para linhas longas) Correta para linhas de 2 a 25 milhas. Fórmula de Graaff-Hunter Correta para linhas de 3 milhas. Extensão de Rainsford para a fórmula aproximada de Clarke. (A fórmula de Clarke foi desenvolvida para L<1milhas e Correta além de 5 milhas. Rainsford acrescentou outros termos.) Fórmula de Clarke (Clarke s best formula) Correta além de 5 milhas. Correta para 5 milhas (e Fórmula de Rudoe provavelmente para qualquer distância (Bomford, 1952, p. 84)). Equações de T. Vincenty (Vincenty, 1975) Erro menor que,1 mm para linhas de até 18 km. * Foram mantidas as unidades usadas nas fontes: Bomford (1952) e Vincenty (1975). O algoritmo para a divisão da geodésica é apresentado na seqüência. Considerase nesse caso que os pontos extremos da geodésica são dados por (ϕ A,λ A ) e (ϕ B,λ B ) e que o intervalo usado na divisão seja p. QUADRO 3 - ETAPAS DO ALGORITMO PARA A SEGMENTAÇÃO DAS GEODÉSICAS. 1) Cálculo da distância geodésica entre A e B (D AB) 2) Cálculo do azimute da geodésica em A (Az AB) 3) i=1 4) d i=i*p 5) Se d i<d AB Então 6) ϕ i= F(ϕ A,λ A,Az AB,d i) 7) λ i= G(ϕ A,λ A,Az AB,d i) 8) Salvar (ϕ i,λ i) 9) i=i+1 1) Vá para (4) 11) Se não 12) Vá para (13) 13)Geodésica segmentada No algoritmo anterior, as funções F e G permitem calcular a latitude e a longitude de um dado ponto (ϕ i,λ i ), dadas a posição do ponto origem (ϕ A,λ A ), o azimute da geodésica que liga os pontos A e B e d i, sendo d i a distância contada sobre a geodésica entre o ponto origem e o ponto (ϕ i,λ i ). Para o caso de polígonos 473

11 onde os lados sejam inferiores a 5-6 milhas (92-111km) recomenda-se o uso da Fórmula de Puissant. Para o caso de polígonos de maiores dimensões, pode-se utilizar outras formulações, como as apresentadas por Bomford (1952) e Vicenty (1975), ambas descritas no Quadro 2. No presente trabalho considerou-se a formulação de Vicenty (1975), por meio de adaptações de subrotinas disponibilizadas pelo NGS (National Geodetic Survey) no endereço 3. EXPERIMENTOS E RESULTADOS Nesta seção são apresentados os resultados dos experimentos realizados a partir da implementação do procedimento proposto AVALIAÇÃO DA ÁREA DO ELIPSÓIDE O procedimento proposto foi aplicado no cálculo da área do elipsóide de revolução oficialmente utilizado no Brasil, o Elipsóide de Referência de 1967, cujos parâmetros foram definidos pela IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics) em Os valores do semi-eixo maior e achatamento deste elipsóide são, respectivamente, a=637816,m e f=1/298,25. A área da superfície do elipsóide, calculada a partir do uso da Equação 2 e usada como referência, é igual a , km 2. Para a aplicação do procedimento proposto considerou-se o elipsóide dividido em quadriláteros de 15 o de latitude por 15 o de longitude, situados entre os paralelos o a 15 o, 15 o a 3 o, 3 o a 45 o, 45 o a 6 o, 6 o a 75 o e 75 o a 9º. Foram calculadas as áreas destes quadriláteros, utilizando o procedimento proposto, sendo a área do elipsóide de revolução obtida pela soma das áreas de todos os quadriláteros calculados. Diferentes intervalos foram considerados na divisão dos lados dos quadriláteros, sendo mostrado o erro absoluto e o erro relativo na Tabela 1. Ao observar os valores da Tabela 1 pode-se notar que o erro é menor à medida que diminui o intervalo usado na segmentação dos lados, o que já era esperado. Apenas como elemento de comparação, em Lukatela (2) o erro relativo em área para o elipsóide de revolução, usando polígonos de Voronoi, é da ordem 1/ , o que corresponde a aproximadamente 9,17 ppb. Em Diaz & Oliveira (21) o erro relativo obtido, usando a divisão sucessiva dos triângulos de Delaunay, é da ordem de,1 ppb. 474

12 TABELA 1 - ÁREA DO ELIPSÓIDE OBTIDA PELA SOMA DA ÁREA DE QUADRILÁTEROS DE 15 o x15 o, USANDO DIFERENTES PASSOS NA SEGMENTAÇÃO DOS LADOS. Intervalo usado na segmentação dos lados (m) Erro absoluto em área (m 2 ) Erro em ppb (partes por bilhão) ,5, ,6, ,8, ,1, ,8, ,6, ,6, ,7,2311 Pode-se portanto observar que, pela escolha de um passo adequado na divisão dos lados, o procedimento proposto pode ser aplicado de modo a obter erros relativos iguais ou menores que os obtidos por outros procedimentos, como os descritos no parágrafo anterior, não sendo necessário fazer a segmentação da região em sub-regiões, mas apenas do seu contorno INFLUÊNCIA DA DIMENSÃO DA REGIÃO E DA LATITUDE Na seqüência são apresentados os erros relativos, em ppb - partes por bilhão, ao considerar uma área de 1 o x1 o em diferentes latitudes e divididas com diferentes intervalos. As latitudes consideradas no processamento foram o, 15 o, 3 o, 45 o e 6 o, como pode ser visto na Figura 3. FIGURA 3 - ERRO RELATIVO PARA UMA ÁREA DE 1 o x1 o USANDO DIFERENTES PASSOS NA DIVISÃO DOS LADOS, EM DIFERENTES PARALELOS. Pode-se notar que para os intervalos mostrados no gráfico da Figura 3, o maior erro relativo é inferior a 1,2 ppb. 475

13 Na Figura 4 são apresentados os erros relativos para polígonos de 1 o x1 o, 5 o x5 o, 1 o x1 o, 15 o x15 o e 2 o x2 o, considerando diferentes passos na segmentação. Embora o erro relativo seja proporcional à área do polígono, pode-se observar que mesmo para polígonos de dimensão 2 o x2 o o erro relativo é inferior a,8 ppb para o passo de 5m usado na divisão dos lados, podendo ser reduzido pela escolha de um passo inferior. FIGURA 4 - ERRO RELATIVO EM ÁREA PARA POLÍGONOS DE DIFERENTES DIMENSÕES COMPARAÇÃO DO PROCEDIMENTO PROPOSTO COM O USO DA PROJEÇÃO UTM O próximo experimento realizado visa comparar o resultado obtido pelo procedimento proposto com o obtido pelo uso da Projeção UTM - Universal Transversa de Mercator. Esta projeção tem como propriedade principal a conformidade, ou seja, a manutenção da forma de pequenas áreas, sendo uma das projeções mais utilizadas no país. Nessa projeção, como o fator de escala independe da direção, pode-se escrever m = m 9 = m (ou k). Deste modo, diferentemente das projeções equivalente, na qual a razão entre A SP e A SR assume o valor 1 (Equação 4), nesta projeção tem-se: A 2 SP 2 = mm9 = m.m= m (ou k ). (12) ASR Logo, uma vez calculada a área (A SP ) a partir da projeção conforme, para obter a área correspondente na superfície de referência deve-se fazer a operação: ASP A SR =. (13) 2 k O inconveniente do uso da Equação 13, ou de projeções conformes para o cálculo de áreas, se deve ao fato de que k varia ponto a ponto. Por outro lado, embora na Equação 4 os valores de m e m 9 variem ponto a ponto, o produto m m 9 se mantém constante para toda a projeção, o que não ocorre com as projeções que não são equivalentes. 476

14 Para avaliar a diferença entre os valores das áreas obtidas pela projeção UTM com as obtidas pelo procedimento proposto, foi feito o cálculo da área de alguns quadriláteros, todos situados próximo ao paralelo 2º. Considerou-se ainda estes quadriláteros em duas posições dentro do fuso UTM, uma próximo ao centro do fuso e outro na borda do fuso. A Figura 5 mostra o erro em área (em hectares) quando se utiliza o procedimento proposto, que se baseia no uso da Projeção Equivalente de Lambert - PEL e também quando se usa a projeção UTM. Para a aplicação do procedimento proposto considerou-se como intervalo para a segmentação dos lados o valor 5m. No cálculo da área usando a Projeção UTM foi utilizada a fórmula de Gauss e as coordenadas, no plano UTM, dos pontos originais do polígono. FIGURA 5 - ERRO EM ÁREA PARA REGIÕES DE DIFERENTES DIMENSÕES, USANDO A PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE LAMBERT (PEL) E A PROJEÇÃO UTM. Pode-se notar claramente pela Figura 5 que ao usar a projeção UTM, na sua forma "bruta", isto é, sem corrigir as deformações, têm-se uma ampliação das áreas quando se está próximo aos bordos do fuso e uma redução quando se está próximo ao centro do fuso, tal como preconiza a teoria. No entanto, ao utilizar o procedimento sugerido, o erro em área é inferior, independente da localização da região dentro do fuso UTM. Ao aplicar a Equação 13 às áreas obtidas pela projeção UTM ocorre uma compensação da área, como mostra o gráfico da Figura

15 FIGURA 6 - ERRO EM ÁREA AO USAR O PROCEDIMENTO PROPOSTO E A PROJEÇÃO UTM APÓS A CORREÇÃO DO FATOR DE ESCALA. Pode-se observar pelos resultados mostrados na Figura 6 que mesmo após a aplicação do fator de escala médio ao valor da área obtida pela projeção UTM, o procedimento sugerido neste trabalho apresenta discrepâncias inferiores, indicando que seu uso é mais adequado. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho abordou-se o problema do cálculo de áreas de polígonos sobre o elipsóide. O procedimento proposto baseia-se na segmentação dos limites da área, seguida da transformação das coordenadas geodésicas para as coordenadas na Projeção Azimutal Equivalente de Lambert. Esta projeção foi escolhida devido a propriedade de equivalência e também por considerar o elipsóide de revolução como superfície de referência. Um ponto importante a ser considerado consiste no fato de que é mais fácil segmentar curvas no espaço do que superfícies. Por esta razão procurou-se considerar a segmentação dos limites (bordas). Na segmentação dos paralelos e meridianos considera-se a interpolação das longitudes e latitudes, respectivamente. No caso da segmentação das linhas geodésicas são utilizadas as mesmas equações utilizadas na solução dos problemas direto e inverso da Geodésia. Considerou-se neste trabalho que os polígonos utilizados podem ser formados por arcos de meridiano, arcos de paralelo e linhas geodésicas. A partir dos experimentos e das análises realizadas conclui-se que é possível chegar a estimativas de áreas com erros da ordem de ppb (partes por bilhão) e até menores, desde que se faça a escolha adequada do intervalo de segmentação dos limites dos polígonos. 478

16 REFERÊNCIAS ARAUJO, R. L. de; VARELLA, L. E. S. Metodologia para cálculo das áreas dos blocos de exploração e produção de petróleo. In.: Anais do XIX Congresso Brasileiro de Cartografia. Recife - PE: 3-8 de outubro, Anais em CDROM. BOMFORD, G. Geodesy. Oxford: Clarendon Press, p. BUGAYEVSKIY, L. M.; SNYDER, J. P. Map Projections: a reference manual. London: Taylor & Francis, p. DIAZ, J. M. C.; OLIVEIRA L. C. de Cálculo de área de um polígono elipsoidal. In.: Anais do XX Congresso Brasileiro de Cartografia. Porto Alegre - RS: Centro de Convenções da PUCRS, 7-12 de outubro, 21. Anais em CDROM. LUKATELA, H. Ellipsoidal area computation of large terrestrial objects. In.: International Conference on Discrete Global Grids. Santa Barbara: March, 2. Disponível em: < Acesso em: Fevereiro de 23. MORAES, C. V. de Caracterização de estremas no espaço geométrico: fundamentos jurídicos e geodésicos. In.: Revista Brasileira de Cartografia, n. 53, p. 1-15, Dezembro 21. ISSN RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, p. SNYDER, J. P. Map Projections used by the U. S. Geological Survey. Washington DC: United States Government Printing Office, p. VICENTY T. Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with application of nested equations. In.: Survey Review, XXII, 176, p.88-93,