O Problema dos Números Congruentes: Três versões equivalentes

Transcrição

1 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Trabalho apresenado no CNMAC Gramado - RS 016 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Compuaional and Applied Mahemaics O Problema dos Números Congruenes: Três versões equivalenes Jaime Edmundo Apaza Rodriguez 1 Deparameno de Maemáica UNESP Ilha Soleira SP Nair Rodrigues de Souza Insiuo Federal de Mao Grosso do Sul IFMS Três Lagoas MS Resumo A procura dos números ineiros n que represenem áreas de riângulos reângulos e cujos lados sejam números racionais é conhecido como o Problema dos Números Congruenes Ese problema apareceu pela primeira vez nos manuscrios arabes por vola de 900 AC Em 1983 J B Tunnell deu uma resposa conjecural a ese problema provando que se exise um riângulo com área n (seja ese par ou ímpar) enão o número de soluções pares é igual ao número de soluções ímpares (para ceras equações Diofaninas) Recenemene o Problema dos Números Congruenes veio a ona de novo com a descobera da sua fore conexão com a Ariméica da Curvas Elípicas um assuno muio discuido nas úlimas décadas Nese rabalho apresenamos rês versões equivalenes do Problema dos Números Congruenes: A versão original a versão riangular e a versão com Curvas Elípicas Palavras-chave Números Congruenes Curvas Elípicas Equações Diofaninas 1 Inrodução O problema dos Números Congruenes foi declarado pelo maemáico persa Al-Karaji ( ) Sua versão não considerava riângulos mas a expressava em ermos de números quadrados números que são quadrados de números ineiros: os quadrados de números racionais: 5/9 49/ /5 ec A quesão indagada por ele era: Se para qualquer número ineiro n exise um quadrado a enão a n e a + n são ambém quadrados? Quando iso for verdade n é dio número congruene O nome vem do fao de que exisem rês quadrados que são congruenes módulo n Al-Karaji foi foremene influenciado pela radução árabe das obras do maemáico grego Diofano (10 90) o qual já esudava e elaborava problemas similares Houve um cero progresso nos mil anos seguines Em 15 Fibonacci demonsrou que os números 5 e 7 são congruenes e conjecurou que o número 1 não é congruene A prova foi fornecida por Ferma em 1659 Em 1915 os números congruenes menores do que 100 já foram deerminados e em 195 Kur Heegner inroduziu profundas écnicas maemáicas sobre ese assuno e mosrou que odos os números primos na sequência 1 jaime@mafeisunespbr nairsouza@ifmsedubr DOI: / SBMAC

2 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N são congruenes No enano aé 1980 haviam ainda alguns casos de números menores do que 1000 que não foram resolvidos Em 198 J B Tunnell da Universidade Rugers fez progressos significaivos via a conexão (Heegner foi o primeiro em usar) enre os números congruenes e as curvas elípicas Ele enconrou uma simples fórmula para deerminar se um número n é ou não congruene Iso permiiu que os primeiros mil casos fossem rapidamene resolvidos A quesão é que a oal validade da sua fórmula depende da veracidade de um caso paricular que é um dos problemas pendenes na maemáica conhecido como a Conjecura de Birch e Swinneron-Dyer Esa conjecura é um dos See Problemas do Milênio apresenados pelo Insiuo Clay de Maemáica com um prêmio de um milhão de dólares As duas primeiras versões do problema Segundo um manuscrio árabe do século X o principal objeivo dos riângulos reângulos racionais é a seguine quesão: Problema dos Números Congruenes: Versão I: Dado um número ineiro posiivo n enconrar um racional quadrado a (a Q ) al que a ± n sejam ambos racionais quadrados Definição 1 Um ineiro n é um número congruene se exisir um racional quadrado a al que a ± n sejam ambos racionais quadrados Exemplo 1: (1) 5 é um número congruene pois exise a = 41 1 ( ) 41 5 = 1 ( ) 31 1 al que ( ) = 1 ( ) 49 1 () 6 é um número congruene pois exise a = 5 al que ( ) 5 6 = ( ) 1 ( ) = ( ) 7 (3) 7 é um número congruene pois exise a = ( ) = 10 ( ) al que ( ) = 10 ( ) Definição Um riângulo reângulo é dio racional se seus lados e hipoenusa são odos números racionais DOI: / SBMAC

3 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Problema dos Números Congruenes: Versão II: Dado um número ineiro posiivo n enconrar um riângulo reângulo al que seus lados sejam números racionais e sua área igual a n As versões I e II do Problema dos Números Congruenes são equivalenes como se mosra a seguir Versão I = Versão II: Seja n número ineiro posiivo e suponha que α β γ são números racionais quadrados cuja diferença comum é n Enão verifica-se que o riângulo reângulo com lados e hipoenusa a = γ α b = γ + α c = β em área n Versão II = Versão I: Reciprocamene suponha que emos um riângulo reângulo racional [a b c] com área n Enão os números ( ) a b ( c ) ( ) a + b formam uma progressão ariméica de 3 números racionais cuja diferença comum é n Exemplo : (1) 5 é a área de um riângulo reângulo racional [ ] () 6 é a área de um riângulo reângulo racional [3 4 5] (3) 7 é a área de um riângulo reângulo racional [ ] Observação 1 Assumimos que n é um ineiro posiivo livre de quadrados (não múliplo de nenhum quadrado) já que se [a b c] é um riângulo reângulo com área n enão [ak bk ck] é ambém um riângulo reângulo com área nk onde k é qualquer número racional Teorema 1 (Ferma) Os números 1 3 não são congruenes Demonsração: Sejam (a b c) números ineiros posiivos dois a dois coprimos al que a + b = c Enão exise um par de ineiros posiivos coprimos (p q) com p + q ímpar al que a = pq b = p q c = p + q Obemos assim um número congruene gerado pela fórmula: n = pq(p + q)(p q) m Agora suponha que 1 seja um número congruene Enão exise um riângulo reângulo com lados ineiros [a b c] com área mínima m = pq(p + q)(p q) DOI: / SBMAC

4 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Como os 4 faores de m são coprimos enão Assim obemos a equação p = x q = y p + q = u p q = v (u + v) + (u v) = (x) Logo a erna (u + v u v x) forma um riângulo reângulo com menor área y o que é uma conradição pois ínhamos um riângulo reângulo [a b c] cuja área mínima era m = pq(p + q)(p q) Porano 1 não é um número congruene Analogamene se mosra que e 3 não são números congruenes e assim esá mosrado o resulado Corolário 1 (O riângulo reângulo de Ferma) Se n é um quadrado enão n não é um número congruene Observação Embora se enha a fórmula n = pq(p + q)(p q) m para gerar números congruenes ela é pouco eficiene Por exemplo n = 157 é a área de um riângulo reângulo racional cujos caeos e hipoenusa são [Yan] a = b = c = Eses resulados se devem ao maemáico americano D B Zagier Ese fao coloca em evidência mais uma vez que maemáicos não podem ser subsiuídos por compuadores 3 Curvas Elípicas: Terceira versão Definição 31 Uma curva elípica é uma curva algébrica (plana) definida por uma equação cúbica da forma com = 4a 3 + 7b 0 E : y = x 3 + ax + b (a b Z) O número é o discriminane do polinômio cúbico f(x) = x 3 + ax + b e a condição = 0 equivale a dizer que f(x) não em raízes repeidas em C Ese polinômio em 3 raízes reais ou apenas uma (pois as raízes complexas aparecem em pares) Seja E(Q) o conjuno de ponos racionais da curva elípica E ou seja o conjuno de ponos (x y) Q que saisfazem a equação acima juno com o pono O no infinio Ese pono hipoéico O deve ser considerado como um pono que se enconra em ambas as DOI: / SBMAC

5 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N ponas de cada rea verical Uma forma precisa de explicar o pono O é aravés do mergulho da curva afim no seu compleameno que é uma curva projeiva Os seguines dois faos a respeio das curvas elípicas são desacáveis: 1 Uma curva elípica pode ou não er um número infinio de ponos racionais O fao de curvas elípicas erem um número finio de ponos racionais é ainda uma quesão em abero O conjuno E(Q) em uma esruura de grupo abeliano Denoa-se a operação no grupo por (não confundir com a operação de adição em R ) Esa é dada pelo méodo da corda e angene A soma de dois ponos pode ser expliciamene calculada como segue (algebricamene iso não faz diferença mas vamos ilusrar apenas no caso em que x 3 + ax + b em uma única raiz real) Para somar dois ponos P 1 = (x 1 y 1 ) e P = (x y ) de E(Q) inerseamos a rea (corda) L passando por P 1 e P (esa será angene a E em P se P 1 = P = P ) com E A rea cora a cúbica em 3 ponos (onde cona-se o pono O como pono de E e no caso da rea angene a E cona-se o pono de angência como ponos) Seja P 3 = (x 3 y 3 ) o pono de inerseção de E com L Enão P 1 + P = (x 3 y 3 ) O pono no infinio O aua como idenidade já que quasquier ponos de E(Q) que perençam à rea verical serão colineares com O Verifica-se enão que P 1 P E(Q) Deixando de lado os casos riviais quando P 1 = P ou quando pelo menos um deles é igual a O podemos calcular as coordenadas de P 1 + P Para um pono P = (x y) seja x = x(p ) a x-coordenada de P (similarmene para y(p )) e seja L a rea que surge da definição de adição endo por equação y = mx + l Enão m = y 1 y Q x 1 x Subsiuindo na equação da cúbica emos x 3 m x + (a ml)x + b l = 0 Como x 1 x e x 3 são as rês soluções da igualdade acima iso equivale a escrever (x x 1 )(x x )(x x 3 ) = 0 ou na forma expandida x 3 (x 1 + x + x 3 )x + (x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 )x x 1 x x 3 = 0 Comparando o coeficienes obemos ( ) x(p 1 + P ) = x 3 = m y1 y (x 1 + x ) = (x 1 + x ) x 1 x Finalmene ( ) [ ( ) y1 y y1 y y(p 1 + P ) = (x 1 + x )] + l x 1 x x 1 x Como l é claramene racional iso mosra que P 1 P em coordenadas racionais Um caso especial de curva elípica é dada por y = x 3 n x com n N n > 1 A conexão enre números congruenes e curvas elípicas esá dada no seguine resulado DOI: / SBMAC

6 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N Teorema 31 Um número ineiro posiivos n livre de quadrados é número congruene se e somene se a curva elípica E definida por y = x 3 n x em um número infinio de ponos racionais Teorema 3 Para n > 0 exise uma correspondência 1 1 enre os seguines conjunos: {(a b c) : a + b = c 1 ab = n} {(x y) : y = x 3 n x y 0} As correspondências muuamene inversas enre os dois conjunos são dadas por: ( nb (a b c) c a n ) ( x n (x y) nx c a y y x + n ) y Demonsração: Fixemos o número n > 0 As soluções reais (a b c) para cada uma das seguines equações a + b = c 1 ab = n descrevem uma superfície em R 3 Por isso é naural esperar que essas duas superfícies se corem em uma curva Queremos descrever a al curva y = x 3 n x sob a escolha cera de coordenadas Seja c = +a Subsiuindo em a +b = c obemos b = +a ou equivalenemene a = b Como ab = n 0 enão nem a nem b são nulos e assim podemos escrever a = n b e subsiuir em a = b para ober 4n = b ou 4n = b 3 b b Observemos que 0 pois caso conrário eríamos a = c e enão b = 0 Mas lembre-se que ab = n 0 Assim dividindo por 3 obemos 4n = ( ) b 3 b Muliplicando ambos os lados por n 3 conseguimos Finalmene fazendo x = bn = elípica y = x 3 n x Observação 31 ( ) n = ( bn bn c a e y = n ) 3 ( ) bn n = n 0 obemos a equação da curva c a (1) A equação y = x 3 n x em rês soluções racionais riviais para y = 0 : (0 0) (n 0) ( n 0) DOI: / SBMAC

7 Proceeding Series of he Brazilian Sociey of Applied and Compuaional Mahemaics Vol 5 N () A correspondência esabelecida no eorema 3 preserva posiividade Problema dos Números Congruenes: Versão III: Para um número posiivo n enconrar um pono racional com y 0 sobre a curva eĺıpica E n : y = x 3 n x O eorema 3 esabelece a equivalência enre as versões II e III do Problema dos Números Congruenes Porano as versões I II e III são equivalenes Observação 3 O pono de visa da equação y = x 3 n x permie fazer algo marcane: produzir um novo riângulo reângulo racional com área n a parir de dois riângulos conhecidos (pela lei de grupo de ponos sobre curvas elípicas) 4 Conclusões O problema esudado enunciado há mais de mil anos refere-se as áreas dos riângulos reângulos O problema é surprendenemene difícil na hora de deerminar quais são os números ineiros que represenem a área de riângulos reângulos cujos lados sejam números ineiros ou racionais Segundo Brian Conrey Direor do Insiuo Americano de Maemáica eses velhos problemas podem parecer escuros mas geram uma grande quanidade de pesquisas úeis e ineressanes assim como novos desenvolvimenos Nese rabalho observamos que exisem aé rês formas diferenes (equivalenes enre si) de se esudar o problema dos Números Congruenes As duas primeiras são relaivamene mais fáceis de esudar e analisar A erceira forma que requer o esudo de uma classe de curvas cúbicas (curvas elípicas) é muio mais sofisicada Seu uso requer um esudo mais profundo de ópicos da Ariméica das Curvas Elípicas uma grande área de esudo da Geomeria Algébrica Referências [1] M A Benne Lucas s Square Pyramid Problem Revised Aca Arihmeica- Warszawa p [] J S Chahal Congruen Numbers and Ellipic Curves The Mahemaical Associaion of America Vol 113 No 4 Apr 006 [3] J B Tunnell A Classic Diophanine Problem and Modular Forms of Weigh 3/ Inven Mah 7() p [4] L C Washingon Ellipic Curves Number Theory and Crypography CRC Press Taylor and Francis Group Second Ediion 008 [5] P Yan Congruen Numbers and Ellipic Curves mahoksaeedu 014 [6] A rillion riangles New compuer mehods reveal secres of ancien mah problem American Insiue of Mahemaics 009 DOI: / SBMAC