Implementação Numérica do Método do Tubo de Trajetórias para a Equação de Convecção.

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1 ISSN Implemenação Numérica do Méodo do Tubo de Traeórias para a Equação de onvecção. Luciana Prado Moua Pena Deparameno de Maemáica Aplicada GMA), Universidade Federal Fluminense - UFF 00-0, Nierói-RJ, Brasil lucianapena@vm.uff.br Nelio Henderson Insiuo Poliécnico, Universidade do Esado do Rio de Janeiro , Nova Friburgo-RJ, Brasil nelio@ipr.uer.br Resumo. Nese rabalho é desenvolvido um esquema robuso e eficiene para o méodo do ubo de raeórias, o qual foi formulado de uma forma geral na primeira pare dese arigo, [5]. Aqui são ambém apresenados resulados de eemplos numéricos e algumas comparações com ouras meodologias.. Inrodução Na primeira pare dese rabalho, vea [5], desenvolvemos a formulação geral do méodo do ubo de raeórias desinado à resolução da equação de convecção, + V ) = 0, ) onde a função incógnia =, ) é um escalar denoando a concenração de um raçador, é um veor que represena a posição e simboliza o empo. A função V = V, ), a qual saisfaz o sisema de EDO s d = V, ) d é um campo de velocidade previamene conhecido. Deduzimos o méodo do ubo de raeórias uilizando os princípios básicos da mecânica dos meios conínuos, de modo que ele é Lagrangiano e conservaivo. Assim, conforme mosrado na formulação doméodo, considerando num insane de empo + ) uma malha reangular como indicada na Figura, obemos, ) d n+ ) D =, ) Ω onde Ω + d + é a medida de uma célula arbirária + Ω + n+) Ω, D a sua imagem mapeada para o insane anerior e é o valor médio da concenração na célula Ω +. omo enfaizado na Fig., ese mapeameno é feio seguindo-se as raeórias do raçador no senido reverso do empo. Logo, o elemeno D não é necessariamene apesar da ilusração na referida figura) um quadriláero, e possivelmene enconra-se deformado com relação à Ω +. Noe que a formulação na Eq. ) é oalmene eplícia, uma vez que ela deermina valores médios de concenração no nível + em função de valores de no empo anerior. 89

2 ISSN Figura. Tubo de raeória no domínio discreizado. Nese arigo, parindo da Eq. ), apresenamos um dos possíveis esquemas numéricos para a formulação geral deduzida na formulação doméodo, [5], a qual foi desenvolvida inicialmene na ese de douorado de Sampaio, [6]. Tal esquema foi analisado e eausivamene esado na disseração de douorado de Pena, []. Nossa abordagem baseia-se em rês paradigmas fundamenais, robusez, eficiência e simplicidade. Algumas implemenações, igualmene eficienes, podem ser enconradas em dois arigos recenemene publicados por nós, [] e [].. Esquema Numérico Supomos, por simplicidade, que o domínio mapeado D no nível empo ) é um quadriláero, mas não necessariamene um reângulo vea novamene a Fig. ). onsideramos que a raeória de uma parícula do raçador é deerminada uilizando-se o campo de velocidade V, referene ao fluido. Noe que esa hipóese é basane razoável, pois de acordo com o modelo físico adoado na Eq. ) esamos desprezando os efeios da difusão molecular, ou sea, esamos efeivamene considerando V a) V, onde V a) denoa a velocidade do raçador. O procedimeno para o cálculo da inegral, ) d é elaborado como descrio a seguir. O D primeiro passo é consiuído de uma eapa denominada de eapa de backracking. Nessa eapa realizamos um processo reroaivo no empo ao longo das raeórias. Efeivamene, os ponos,, e os vérices do suposo quadriláero D ) são obidos resolvendo-se o sisema de equações diferenciais ordinárias represenado na Eq. ), com condições finais do ipo + ) = ɶ. ~ ~ ~ ~ Isso é feio para cada vérice,, e de Ω +. Esse passo deermina compleamene o suposo) quadriláero mapeado, D. Depois, a inegral, ) d é aproimada aravés de uma esraégia de inegração eficiene. Essa segunda eapa será denominada de eapa de inegração. No presene rabalho, consideramos somene eemplos bidimensionais. Assim, escreveremos =, y) e V = u, v). Em odos os eemplos, usaremos uma grade de células cenradas possuindo N N y blocos de amanho uniforme, com espaçamenos = L N e y = L y N y, onde L e L y são as dimensões do domínio reangular nas direções e y, respecivamene, vea a Fig.. D 89

3 ISSN Figura. Grade de células cenradas. Dese modo, no insane +, a variável ) + i i+ + denoará o valor médio de na célula Ω = [, ] [ y, y ]. Aqu al quanidade efeivamene represenará o valor da ) concenração no cenro de Ω +. Na eapa de backracking, resolveremos o sisema de equações diferenciais indicado na Eq. ), sueio às condições finais dadas por + ) = ~ e y + ) = ~ y. Isso é feio aravés do méodo de Runge-Kua de quara ordem. Apesar da possibilidade de empregarmos méodos de inegração em duas variáveis, no enano, obeivando a eficiência e simplicidade do esquema, a inegral dupla de, ) sobre o domínio D será calculada como segue,, ) d ˆ Λ, ) D sendo ˆ = ˆ, ), onde ˆ é um pono em D obido por backracking do cenro da célula Ω é a medida de uma área apropriadamene escolhida, a ser descria abaio. Após a deerminação de ˆ, o cálculo de ˆ = ˆ, ) solicia uma inerpolação bidimensional. Isso é eigido pois esse pono não reca necessariamene, no cenro de uma célula da grade, referene ao insane. Empregamos uma inerpolação -D com pesos. Traa-se de uma inerpolação robusa que uiliza o valor da concenração definido no cenro da célula que coném o pono ˆ = ˆ, yˆ ) e os valores definidos em cada célula vizinha ao bloco que possui o referido pono, vea a Fig.. Assim, se os nós, y ) represenam de uma forma geral) os cenros das células indicadas na i i n+ ) Fig., enão a inerpolação bidimensional com pesos pode ser escria na seguine forma: ) +, e Λ 89

4 ISSN Figura. Eemplos de ponos usados na inerpolação -D com pesos. id i ˆ i, 5) d i i onde as disâncias d ˆ ˆ i = i ) + y yi ) são os pesos considerados. Finalmene para complear o cálculo de, ) d é necessário deerminar a área Λ indicada D na Eq. ). Aqu de acordo com a Fig., suporemos que Λ é a área do quadriláero cuo os vérices são os ponos =, ), =, ), =, ) e =, ), os quais á foram obidos y y y y por backracking. Assim sendo, podemos calcular Λ pela soma dos seguines deerminanes, y y Λ = y + y. 6) y y. Resulados Numéricos om o obeivo de comparar o méodo do Tubo de Traeórias com ouras meodologias, opamos por dois méodos descrios e analisados no arigo de Giraldo e Nea, []. Nossa escolha reside em alguns ponos fundamenais. O primeiro refere-se ao fao dos códigos compuacionais dos algorimos analisados por Giraldo e Nea escrios em FORTRAN 77) esarem disponíveis, sendo de fácil acesso no endereço elerônico hp://mah.nps.navy.mil/~bnea. O segundo pono em haver com os ipos de meodologias disponibilizadas por esses auores. Foi desenvolvido um código de um méodo Euleriano que uiliza uma esraégia sofisicada de elemenos finios, e um ouro méodo que combina a mesma discreização em elemenos finios com uma abordagem Lagrangiana para a equação de convecção. Assim, podemos comparar o méodo do Tubo de Traeórias com um méodo do ipo Euleriano, além de compará-lo com um ouro méodo ípico da sua própria classe.. Teses omparaivos Nos eses comparaivos selecionamos um problema proposo por Leveque 996). Traa-se da B = 0, 0,. O corpo sólido em seu esado inicial roação de um sólido definido no domínio [ ] [ ] definido pela seguine função: 00, y,0) = [ + cos π r, y))], 7) sendo r, y) = min c ) + y yc), r0 ) / r0 c = 0.5, y c = 0.5 e r, 0 = 0.. O corpo é poso a girar no senido ani-horário com velocidade angular ω, em orno de um eio 89

5 ISSN fio que passa aravés do pono y ) B 0, e em direção normal ao plano y. Os valores que 0 represenam a velocidade linear nas direções e y são dados, respecivamene, pelas relações: u = ω y, 8) y 0 ) ) v = ω 0, 9) sendo, 0 = y0 = 0.5 e ω =. om inuio de comparar a solução numérica com a solução eaa dada por, y, ) =, y,0) foram especificados cinco diferenes valores para k:,,, e 5, sendo f = kp com f p = π / ω o empo de uma revolução complea do corpo). A análise comparaiva realizada aqui leva em consideração o esudo erro, definido por: numérica analíica ) analíica ) = Além disso, comparamos ambém o erro relaivo de conservação de massa definido por: eor. n) ), y, ) d Ω Ω M. ) eor., y, ) d onde a inegral somaório Ω eor., y, ) d represena a massa eaa obida com auílio da solução eórica e o B Ω represena a massa oal calculada com a solução numérica, ambas omadas n) ) sobre o domínio B. A condição FL foi obedecida escolhendo-se o número de ouran ) aproimadamene 0.5, onde = ma{ u, v } ) ma{, y}. R A Figura mosra a solução analíica, após cinco revoluções. 0) R Figura. Superfície e curva de nível da solução eaa. Tabela Erros, máimos e mínimos de concenração e empo compuacional para cinco diferenes valores de k Número de Revoluções), com o méodo Euleriano semi-implício. k M mínimo máimo

6 ISSN Figura 5.Superfície e curva de nível da solução numérica obida com o méodo Euleriano semi-implício θ = ), proposo por Giraldo e Nea, usando k = 5, = 0.05 p e = y = 0.0, com R 0.5. Tabela Erros, máimos e mínimos de concenração e empo compuacional para cinco diferenes valores de k, com o méodo semi-lagrangiano semi-implício. k M mínimo máimo Figura 6. Superfície e curva de nível da solução numérica obida com o méodo semi-lagrangiano semiimplício θ = ), proposo por Giraldo e Nea, usando k = 5, = 0.0 p e = y = 0.0, com R.0. Tabela Erros, máimos e mínimos de concenração e empo compuacional para cinco diferenes valores de k, com o méodo do Tubo de Traeórias. k M mínimo máimo E E E E E E E E E E

7 ISSN Figura 7. Superfície e curva de nível da solução numérica obida com o méodo do Tubo de Traeórias, usando k = 5, = 0.5 p e = y = onclusões omparações numéricas com duas meodologias diferenes, uma Euleriana e a oura semi- Lagrangiana, demonsram a superioridade do méodo proposo. As discreizações uilizadas são disinas para os diferenes méodos, pois ao conrário do méodo do Tubo de Traeórias, os demais méodos devem saisfazer à condição FL. Os resulados compuacionais confirmaram que o esquema analisado apresena na práica uma boa propriedade conservaiva, esabilidade e precisão numérica, e eficiência suficiene para ser empregado em problemas práicos, modelados pela equação de convecção. Em resumo, a análise eperimenal desenvolvida nese arigo ressala a superioridade da solução gerada pelo méodo do Tubo de Traeórias. 6. Referências [] Giraldo, F.. e Nea, B., A omparison of a Family of Eulerian and Semi-Lagrangian Finie Elemen Mehod for he Advecion-Diffusion Equaion, In ompuer Modelling of Seas and oasal Regions Ii J. R. Acinas and. A. Brebbia eds), ompuaional Mechanics Publicaions, Souhampon, U. K., 997). [] Henderson, N. ; Sampaio, M. ; PENA, L.. Developing new approaches for he pah ubes mehod. Applied Mahemaical Modelling, v. 5, p. 85-0, 0). [] Henderson, N. ; Sampaio, M. ; Pena, L.. Pah ubes mehod: A semi-lagrangian approach for linear advecion equaions. hemical Engineering Science, v. 6, p. 8-6, 009). [] Pena, L. P. M., Análise de um Méodo para a Equação de onvecção Formulado à Luz da Mecânica dos Meios onínuos com Aplicações a Advecção de Anomalias Oceânicas e Meeorológicas, Tese de Douorado, IPRJ-UERJ, 006). [5] Pena, L. P. M., Henderson, N, Formulação do Méodo do Tubo de Traeórias para a Equação de onvecção, arigo compleo a ser submeido ao IV NMA, Águas de Lindóia, São Paulo, 0). [6] Sampaio, M., O Méodo do Tubo de Traeórias: Uma Abordagem Semi Lagrangiana para Equações de onvecção-difusão, Tese de Douorado, IPRJ-UERJ, 006). 897