exp Primeiro exercício sobre integração TOL k erg h erg sec c cm λ

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Tiago Mangueira Oliveira
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1 Primeiro eercício sobre integração TOL. O fluo, q(,t)d, com que a energia radiante é emitida da superfície de um corpo negro com comprimento de onda entre e +d é dada pela equação de Planck: h c q, T d d h c ep k T onde: c: velocidade da luz: = cm/s; h: constante de Planck = erg. s k: constante de Boltzmann = erg /K T: temperatura [K]; : comprimento de onda [cm]. Calcule o fluo total da energia emitida [ em erg/cm /s] de um corpo negro entre os comprimentos de onde : = Angstrom e = 89.9 Angstrom às temperaturas de e 6 K. c.9979 cm h ergsec k.84 6 erg λ cm λ cm sec K q( λt) T T πhc hc λ kλt e K 6K λ Integrando Q q( λt) dλ Q λ λ Q q( λt) dλ Q.94 λ erg cm sec erg cm sec Adimensionamento das Variáveis Comprimento para o Adimensionamento de LT ( ) Fluo Padrão para o Adimensionamento de Q INTEGRAÇÃO PELO MÉTODO DE SIMPSON Q padrão ( T) πhc LT ( ) 4 Fluo de Energia a K Fluo de Energia a 6 K hc kt

2 Simpson( f a b n δ) S f( a) f( b) δ TOL n T K a λ b a h n S S n j n j f[ a ( j ) h] f( a jh) h I S 4 S ( S ) Δ while Δ δ LT ( ) R n n n h h S S S S n j f[ a ( j ) h] h I pro S 4 S ( S ) Δ I I pro I I pro 6I pro I h b λ LT ( ) f( ) qlt ( ( ) T) L( T) Re Simpson( f a b n δ) Q padrão ( T) Re T (.68.8 ) Q Re Q padrão ( T) Q erg cm sec λ λ qlt ( ( ) T) L( T) T 6K a LT ( ) b LT ( ) f( ) Re Simpson f a Q padrão ( T) Fluo de Energia a K ( b n δ) Re T ( ) Q Re Q padrão ( T) Q.94 erg cm sec Fluo de Energia a 6 K Segundo Eercício de integração : O TROCADOR DE CALOR (a) Projeto do trocador para aquecer o gás carbônico T R T R T K t 46R k BTU hrftr k BTU hrftr

3 k int () t t T t T t T T T T T t T t T T T t T T T T T T T t T t T t T T T T T T T t T t T t T T T T T T T k k k j i j t T T T j Verificação da Adequação da Interpolação do Coeficiente de Condutividade k k int t j. k i. μθ ( ). θ 46R 4 t j T i.9 lb fthr c P ( t). BTU.46 BTU lbr lbr ( t 46R) 44 BTUR lb t W. lb D.49in hr ht ( ). k int() t Re() t.8 Pr() t.4 D Re() t 4W πdμ() t Pr() t μ()c t P () t k int () t T input ( 6 46) R T output ( 46) R T vapor ( 46) R T output W c P () t L dt L.7m πd ht () T vapor t T input (b) Projeto do trocador para aquecer o etileno glicol líquido T g () t g () t R 4 8. μ lb i μ. i 4 fthr i μ.6.7 t T t T t T t T 4 T T T T T T 4 T T t T t T t T t T 4 T T T T T T 4 T T g () t g 4 () t t T t T t T t T 4 T T T T T T 4 T T t T t T t T t T T T T T T T T T 4 μ int () t g () t g () t g () t 4 g 4 () t j μ j t T T T j 4 Verificação da Adequação da Função Interpoladora para a Viscosidade

4 μ int t j.8 μ i μ μ.6.4. t j T i k. BTU c P ( t). BTU.6 BTU hrftr lbr lbr ( t 46R) W 4 lb 4W μ int ()c t P () t D.in Re() t Pr() t hr πdμ int () t k T input 46R T output ( 8 46) R T vapor ( 46) R ht ( ). k int() t Re() t.8 Pr() t.4 D T output W c P () t L dt L 74.m πd ht () T vapor t T input ) O Problema do Foguete a) Um foguete é lançado do solo sendo sua aceleração registrada nos 8 primeiros segundos após seu lançamento. Estes valores estão tabelados abaio t (seg.) a (m/s ) Baseado nos valores tabelados calcule a velocidade e a altura do foguete ao cabo dos 8 s. t sec m a sec h sec v m k 4 v v sec k k h a 4a a k k k v T ( ) km sec S T ( ) km Resultados Finais: v.87 km 4 sec S.746km S m k S S k k h v 4v v k k k 4-) Quadratura Proposta 4

5 a) Determine e de modo que a fórmula de quadratura abaio apresente a maior ordem de precisão possível: f F Primeira Solução: f f f root F Segunda Solução: root F ) Quadratura Gaussiana com peso = Determine as abcissas e pesos da fórmula de quadratura tipo Gauss: f W f W f Ik ( ) I ( k. b ) I ( c lsolve ) I ( ) c I ( ) I ( ) I ( ) r polyroots( c) r T ( ) W lsolve r r I ( ) I ( ) W T ( ) 7) Quadratura Gaussiana com peso = ln Ik ( ) I ( ( k ) b ) I ( c lsolve ) I ( ) c I ( ) I ( ) I ( ) r polyroots( c) r T ( ) W lsolve r r I ( ) I ( ) W T ( ) 8-) Quadratura Especial com Determine os valores de W, W e W na fórmula de quadratura: f( ) f W f W f W f Teste seu resultado para a função f k( α) lsolve onde é um número entre e +. e = -,. α α α. K k( α) K T ( ) f( ) K f( ) K f( ) K f ( α) )Quadratura de Lobatto

6 Deseja-se desenvolver uma fórmula de quadratura do tipo Lobatto: f W f f W f f W f Calcule o valor da constante e de W, W e W de modo que o método apresente a maior ordem de precisão possível. 7 α w lsolve w w w w T ( ) k 8 I k I k numk w ( ) k w α k ( α) k I T ( ) T I num ( ) I I num w k T.4 ( ) Eercício-Quadratura de Chebishev Determine as abcissas e o peso da fórmula de quadratura tipo Chebishev: f W f f f. y. z.7 Given y z = y z = y z = Solucao Find( y z ) Solucao sort( Solucao) Solucao T ( ) X Solucao f( ) i i i i i i.6 7 Newton_Raphson( ) flag while y flag = f( ) Δ lsolve Δ flag if y TOL flag if Δ TOL f( X).7 6 y 6. Newton_Raphson( ) sort( ) f( ) 6

7 T ( ) k 4 I eatok k I chebishevk i i k i i.487 I eato T ( ) T I chebishev ( ) I eato I chebishev T. 7 -Determine as abscissas e os pesos das fórmulas de quadratura tipo Radau: (i) f f f f (ii) f f f f Confronte as precisões das fórmulas de quadratura dos eercícios e.. 7 c lsolve c raiz polyroots( c) raiz T ( ) 7 9 W i W lsolve raiz raiz i ω ω ω ω i raiz i ω T ( ) raiz raiz raiz raiz raiz raiz T ( ) gk ( ) k k g ( ) g ( ) g ( ) d lsolve d g ( ) g ( ) g4 ( ) Raiz polyroots( d) Raiz σ lsolve Raiz Raiz Raiz Raiz Raiz T (.87.8 ) σ T ( ) k R R ω raiz k k k i i k i R R.4 R R ξ ξ ξ ξ R k i R.9 R.8 R.4 σ i Raiz i k dξ R k i raiz i k raiz Raiz Raiz.9.8 7

8 -Determine as abscissas e pesos da fórmula de quadratura tipo Gauss para o cômputo de integrais duplas: f y λ, y dy f, y f, y f, y f, y m n, Q mn m, n, i j Q mn 4, λ i m λ j n Q f( y) e cos( πy) Q Q.96 7 f( y) dy.74 i j 4 f λ λ i j.797 -Calcule a integral imprópria: significativos. e com uma precisão de quatro algarismos e π k J J. k J J k k J J J c lsolve Δ c J J J ω lsolve q q J J ω 4c q. c Δ. Δ c q.94.4 Res i ω i q i Res J c lsolve J J J J 4 c q polyroots( c) q T ( ) J J J J J 4 J J 8

9 J q q q ω lsolve J q q q ω T ( ) J ω i Res Res i q i c lsolve J J J J J J J J 4 J J J 4 J J J 4 J J 6 J 4 J J 6 J 7 c q polyroots( c) q T ( ) 4 ω lsolve q q q q q q q q q J q q J J q J ω T ( ) ω i Res Res i q i pp( ) e RR Simpson pp 6 RR Calcule a integral imprópria: significativos. e ln e ln( ).776 γ.776 e ln( ).776 com uma precisão de cinco algarismos lim ( ln ( )) N i N j N A ( i j) b ( N i) ij i c lsolve( Ab ) c q polyroots( c) N A ij q j i b i ω lsolve( Ab ) i 9 N I quad ω ln q i i I quad.647 i f( ) if = e ln( )

10 RR Simpson f RR RR γ RR. 8-Calcule a integral imprópria: significativos. e com uma precisão de quatro algarismos I e I.797 f( ) if = e RR Simpson f 9 RR N q i I quad ω e I i quad.8 i k k y f k k k. y A função Si() é definida por: Si significativos, a integral: Si( ) sin( ) p 7 ( ) Sisen. p 4 ( ) 9 sen d. Calcule, com quatro algarismos 4 88 Si( ) sin( ξ) dξ Si( ).9468 ξ Si( ) sin( ) f( ) if = 9 I f( ) I.89 RR Simpson f 9 RR.89.

11 Si( ) sin( ) p 7 ( ) g ( ) if = I pol I pol RR Simpson g 9 δ RR I pol δ.89 RR O Método de Monte-Carlo pode ser aplicado para calcular integrais definidas. Tal método aplicado ao cômputo de: b f (sendo: para a b f fma a ) consiste em sortear simultaneamente N pares de valores de entre a e b e de y entre zero e f ma. Após os sorteios calcula-se f, se f y faça k k (iniciando-se com k ) e parta para novo sorteio; caso contrário, isto é: nada faça e parta para novo sorteio. Ao cabo b f y k N dos N sorteios calcule: f ba fma cálculo da integral:. Aplique o procedimento para o a e, compare o valor obtido com o valor eato da integral que é: e erf Nn ( ) N for i n rnd( ) y rnd( ) [ erf é a função erro]. N N N if y e n 6 M N( n) M 7476 M n.7476 π erf( ) M n -Calcule o valor da integral pelo método de Simpson e pela quadratura do eercício : I e y dy y y e dy.7746 π erf( ).7746

12 f( y) e f( ) e y f( y) dy.7746 i j 4 f λ λ i j.744 RR Simpson f RR RR

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