Avaliação da Estimativa do Risco de Mercado pela Metodologia Value at Risk (VaR) com Simulação de Monte Carlo. Fabio Luiz de Oliveira Bezerra

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1 Universidade Federal de Pernambuco Cenro de Ciências Sociais Aplicadas Curso de Mesrado em Adminisração Avaliação da Esimaiva do Risco de Mercado pela Meodologia Value a Risk (VaR) com Simulação de Mone Carlo Fabio Luiz de Oliveira Bezerra Disseração apresenada como requisio complemenar para obenção do grau de Mesre em Adminisração. Recife, 001

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO CLASSIFICAÇÃO DE ACESSO A MONOGRAFIA DE DISSERTAÇÃO Considerando a naureza das informações e compromissos com suas fones, o acesso a monografias do Mesrado em Adminisração da Universidade Federal de Pernambuco é definido em rês graus: Grau 1 : livre (sem prejuízo das referências ordinárias em ciações direas e indireas); Grau : com vedação a cópias, no odo ou em pare, sendo, em conseqüência, resria a consula em ambienes de biblioeca com saída conrolada; Grau 3 : apenas com auorização expressa do auor, por escrio, devendo, por isso, o exo, se confiado a biblioecas que assegurem a resrição, ser manido em local sob chave ou cusódia. A classificação desa monografia se enconra, abaixo, definida por seu auor. Solicia-se aos deposiários e usuários sua fiel observância. A fim de que se preservem as condições éicas e operacionais da pesquisa cienífica na área da adminisração. Tíulo da Monografia: Avaliação da Esimaiva do Risco de Mercado pela Meodologia Value a Risk (VaR) com Simulação de Mone Carlo Nome do Auor: Fabio Luiz de Oliveira Bezerra Daa da Aprovação: 15 de fevereiro de 001 Classificação, conforme especificação acima: Grau 1 X Grau Grau 3 Local e daa: Assinaura do auor

3 Agradecimenos Ao orienador, Prof. Dr. Charles Carmona, pela dedicação com que ransmiiu seus conhecimenos, que exrapolaram, muias vezes, as froneiras acadêmicas. Ao Curso de Mesrado em Adminisração da Universidade Federal de Pernambuco, pela esruura oferecida. Ao amigo, Prof. Dr. Nilson Campos, pela colaboração no desenvolvimeno do méodo de Mone Carlo. À biblioecária Bera, pela relevane ajuda nas pesquisas bibliográficas. À Economáica e à Dinheirone.com.Br, pela disponibilização dos dados uilizados nese rabalho. À Divisão de Arrecadação do INSS, em Recife, pelo apoio recebido na realização dese projeo. Ao io Luís, pelo incenivo recebido ao longo desses anos. À Bebé, por quem enho imensa graidão pelo acompanhameno consane de meus esudos. Aos meus irmãos, Valéria, Neo, Daniel e Ana Paula, pelo carinho e amizade. Aos meus pais, Socorro e Bismarck, pelo amor e ernura. A Deus, pela paz e ranqüilidade.

4 Ao meu amor, Luciana.

5 Resumo Ese rabalho em o inuio de avaliar a capacidade da abordagem Value a Risk com simulação de Mone Carlo (SMC), na previsão do risco de mercado da ação da Perobrás (PETR4) e das opções de compra da PETR4 (PETRJ39, PETRH6, PETRH5). Compara-se a performance da SMC com os méodos denominados paraméricos: para a careira de ações, considera-se o modelo do desvio padrão, e, para a careira de opções, uiliza-se as aproximações Dela e Dela-Gama. Sabendo que a exaidão da esimaiva do VaR pela simulação de Mone Carlo reside no modelo de precificação do valor da careira, analisam-se os seguines modelos: o de Black & Scholes (SMC Univariada), o de Hull & Whie, que inclui volailidade esocásica (SMC Bivariada), e, por úlimo, a inclusão da axa de juros ambém esocásica aravés do modelo de Rendleman e Barer (SMC Trivariada). As evidências empíricas sugerem que a esimaiva do VaR pela simulação de Mone Carlo supera a dos méodos paraméricos. Especificamene quando se refere às opções, a performance da SMC é ainda melhor, devido a sua capacidade de capurar os efeios da não-linearidade desses aivos financeiros.

6 Absrac This sudy invesigaes he performance of he Value a Risk approach, applying Mone Carlo simulaion (SMC), on Perobrás socks (PETR4) and PETR4 opions (PETRJ39, PETRH6, PETRH5). SMC was compared wih he parameric mehods considering he sandard deviaion model for socks, and Dela and Dela-Gama aproximaions for opions. This simulaion was based in hree models: Black & Scholes (SMC Univariaed); Hull & Whie, which includes sochasic volailiy (SMC Bivariaed), and a model wih sochasic ineres rae by Rendleman and Barer s process (SMC Trivariaed). The empirical resuls show ha Mone Carlo simulaion overcomes he parameric mehods. For PETR4 opions, he SMC performance is beer, due o he abiliy o capure heir non-lineariy.

7 Sumário 1 Inrodução Apresenação do ema Problema de pesquisa Objeivos da pesquisa Jusificaiva e delimiação do esudo...15 Referencial eórico Risco VaR - Value a Risk Modelos de precificação de opções Simulação de Mone Carlo Gerando números aleaórios Seqüências deerminísicas de baixa discrepância Modelos de esimação da volailidade Volailidade de preço Volailidade implícia Criérios de avaliação dos modelos de VaR Evidências empíricas Meodologia Hipóeses Dados Reornos Valor de mercado da careira VaR - simulação de Mone Carlo Geradores de números aleaórios VaR paramérico Horizone de empo e significância Resulados empíricos Pseudo-aleaórios versus quase-aleaórios SMC versus méodos paraméricos Conclusões...89 Referências bibliográficas...93 Apêndices...97 Anexos...104

8 9 1 Inrodução 1.1 Apresenação do ema Os elevados prejuízos sofridos por bancos como Daiwa e Barings e, aqui no Brasil, mais recenemene, pelos Bancos Garania, Marka, Boa Visa e FoneCindam êm revelado a ineficiência do gerenciameno do risco nas insiuições financeiras e, ambém, a precária supervisão dos órgãos reguladores. Perdas desse ipo, decorrenes de variações de faores de risco financeiros, não são exclusividade de insiuições financeiras. O Meallgesellschaf, o 14 maior conglomerado indusrial alemão que empregava rabalhadores, quase chegou à falência, devido a perdas de cerca de 1,3 bilhões de dólares em sua subsidiária noreamericana, a MG Refining & Markeing (MGRM), em conraos nos mercados fuuros de óleo combusível. Os órgãos reguladores dos principais países, em diversas oporunidades, esabeleceram regras para conrole do risco, visando à proeção do sisema financeiro. O

9 10 Comiê de Basiléia 1 emiiu, em 1988, uma regulamenação específica para o conrole de riscos de crédio, na qual esabelecia limies mínimos de capial para as insiuições financeiras baseados na qualidade dos seus emprésimos. Esa regulamenação, no enano, não conemplava regras para a incorporação de riscos de mercado, ou seja, perdas poenciais devidas às alerações nos valores dos faores de risco como, por exemplo, preço de aivos, axa de câmbio e axa de juros, aos quais esão exposas as careiras das insiuições financeiras. O risco de mercado em esreia ligação com o risco de crédio, uma vez que perdas decorrenes das variações de preços de variáveis financeiras podem implicar fala de recursos para o pagameno de compromissos por pare dos paricipanes do mercado. Com o aumeno das operações de derivaivos financeiros, a inerligação enre o risco de crédio e o risco de mercado ornou-se mais inensa. O Comiê de Basiléia emiiu, em 1995, normas conemplando o conrole e a divulgação de informações de risco de mercado, pelas quais as insiuições financeiras deverão maner capial próprio mínimo de acordo com o risco de crédio de suas conrapares e, ambém, conforme o risco de mercado assumido. O objeivo desas normas é esabelecer um vínculo enre o risco incorrido e a provisão necessária para a coberura de evenuais resulados adversos. Ademais, foi esabelecido que a medida do risco de mercado assumido, ou seja, a perda poencial devido às fluuações de faores de risco de mercado, deveria ser calculada aravés da écnica de avaliação do risco conhecida como Value a Risk (VaR). Jorion (000) esabelece uma definição formal para al medida: o VaR mede a pior expecaiva de perda durane um cero período de empo, sob condições normais de mercado e com um dado nível de confiança. 1 É formado por represenanes dos Bancos Cenrais e auoridades do grupo dos 10 países, G-10 (Bélgica, Canadá, França, Alemanha, Iália, Japão, Holanda, Suíça, Reino Unido, EUA) e de Luxemburgo.

10 11 Por ouro lado, as insiuições financeiras vêm desenvolvendo seus próprios modelos de conrole de riscos de mercado. Aravés do aprimorameno de seus sisemas de gesão de risco, as insiuições esão obendo uma visão mais precisa dos riscos assumidos e omando melhores decisões, considerando a relação risco e reorno. A abordagem Value a Risk em sido a mais uilizada no gerenciameno de risco e em-se ornado padrão na indúsria bancária. Uma grande vanagem da esimaiva do risco aravés do VaR consise na capacidade de mensurar e agregar diversas posições de risco de oda a insiuição em um único valor. Isso orna a compreensão do nível de risco da empresa muio mais fácil para seus direores, acionisas e invesidores. Segundo Jorion (000), o VaR é úil para uma série de propósios: a) fornecimeno de informações dos riscos de uma operação, úeis para a ala gerência e acionisas; b) definição de limies para as operações, ajudando a decidir aonde alocar o capial disponível; c) esabelecimeno de uma associação enre o desempenho dos operadores e o risco por eles assumidos. Apesar da meodologia do VaR er surgido visando à aplicação em insiuições financeiras, ela ambém pode ser uilizada em ouros ipos de empresas, para medir os seus riscos em uma larga variedade de casos: para medir os riscos das empresas devido às fluuações das axas de cuso de oporunidade; para medir a exposição ao risco cambial de empresas que, por erem fornecedores, clienes ou subsidiárias em ouros países, possuem fluxo de caixa em diversos ipos de moeda;

11 1 Muias empresas indusriais como, por exemplo, a Siemens (Pries, 1997), vêm aplicando o conceio do VaR para moniorar os riscos em suas obrigações financeiras e aplicações em derivaivos de proeção, em função das variações das axas cambiais e das axas de juros. Uiliza-se ambém a meodologia do VaR para calcular o risco global da empresa. Nese caso, a empresa é considerada como se fosse uma grande careira, cujos conraos são as unidades operacionais, as quais esão exposas ao risco de mercado, devido à exposição a uma série de faores de risco financeiro, como os preços de maériasprimas, as axas de juros e as axas cambiais. Com a ajuda do VaR, as empresas não-financeiras podem minimizar seus riscos financeiros, aravés da idenificação dos ponos que propiciam maior exposição ao risco, e, enão, podem se proeger, aravés da uilização de derivaivos ou ouros mecanismos. Assim, podem se concenrar na adminisração da essência de seus negócios, que são os produos e serviços oferecidos a seus clienes. 1. Problema de pesquisa Embora a abordagem do VaR para a esimaiva do risco de mercado seja de fácil enendimeno, exisem diversas meodologias para sua obenção, cada uma apoiandose em suposições diferenes quano às caracerísicas dos faores de risco de mercado e adequando-se melhor a diferenes perfis de composição da careira. As meodologias possuem diferenes hipóeses e, porano, os valores de VaR obidos segundo cada méodo apresenarão provavelmene valores disinos. As esimaivas do VaR esarão, a priori, idenificando riscos poenciais que deverão ser conrolados, e,

12 13 embora o risco real de uma posição seja independene da meodologia empregada, esimaivas diferenes levarão à adoção de medidas diferenciadas para conrole de um mesmo risco. Assim, a idenificação da meodologia que mais se adapa às caracerísicas da careira da insiuição financeira e dos faores de risco a que esá exposa é de grande relevância por permiir um conrole mais eficiene sobre os verdadeiros riscos assumidos. É conveniene, porano, realizar uma análise de acuidade das meodologias para o cálculo do VaR, comparando-se a esimaiva de perda poencial de uma careira medida pelo VaR com a perda efeiva ou real observada após a passagem do empo. Diane dese conexo, formulam-se as seguines pergunas de pesquisa: A esimaiva do Value a Risk (VaR) obida pela simulação de Mone Carlo (SMC) é adequada para a avaliação do risco de mercado das ações e das opções de compra da Perobrás? A esimaiva Value a Risk (VaR) obida pela simulação de Mone Carlo (SMC) em melhor desempenho do que a obida pelo méodo paramérico na avaliação do risco de mercado das ações e opções especificadas acima? 1.3 Objeivos da pesquisa Ese rabalho visa a aingir o seguine objeivo geral: Avaliar o desempenho do méodo VaR com simulação de Mone Carlo no cálculo do risco de mercado das ações e das opções de compra da Perobrás S/A.

13 14 Para aingir ese objeivo principal, delineiam-se os seguines objeivos específicos: Avaliar o desempenho da simulação de Mone Carlo na esimaiva do VaR quando os números aleaórios são gerados pela seqüência de Sobol e comparar com a esimaiva obida com as seqüências de números pseudo-aleaórios. Para a careira de ações: Modelar o comporameno do preço da ação por um processo esocásico de Iô. Comparar o VaR obido pela simulação de Mone Carlo e pelo méodo paramérico do desvio padrão. Para a careira de opções: Simular a variação na careira uilizando o modelo de precificação de Black & Scholes, onde apenas o preço da ação segue um processo esocásico (SMC Univariada). Simular a variação na careira uilizando o modelo de Hull & Whie, onde, além do preço da ação, a volailidade ambém segue um processo esocásico (SMC Bivariada). Simular a variação da careira uilizando o modelo de Hull & Whie com a axa de juros seguindo o modelo esocásico de Rendleman e Barer (SMC Trivariada). Comparar a esimaiva do VaR pelos rês modelos de precificação acima com a obida pelas aproximações Dela e Dela-Gama. Aplicar para a avaliação da esimaiva de VaR o procedimeno de backesing (proposo pelo Comiê de Basiléia) e o ese de hipóese para proporções desenvolvido por Kupiec (1995).

14 Jusificaiva e delimiação do esudo Diane da gama de meodologias uilizadas para o conrole do risco de mercado ou sisêmico por pare das insiuições financeiras, ornou-se um grande desafio para os bancos cenrais e ambém para as próprias insiuições avaliar os modelos de gerenciameno para qualificá-los como adequados ou não. Conforme desacam Hull e Whie (1987), os modelos maemáicos e esaísicos mais uilizados para o cálculo do VaR (meodologia paramérica) admiem que reornos diários das variáveis de mercado (preço de aivos, axas de juros, câmbio) seguem uma disribuição de probabilidade do ipo normal. Na práica, as séries de reornos diários dessas variáveis apresenam assimeria e significaivos graus de curose. Nese úlimo, significa que evenos exremos ocorrem com uma probabilidade maior do que aquela previsa por uma curva normal. Porano, os valores calculados por essa meodologia podem esar subesimando o verdadeiro risco embuido nas variáveis de mercado (Lemgruber, 1997). Percebe-se, ambém, conforme evidenciam Almeida e Ghirardi (1999), que diferenes criérios de avaliação podem levar a diferenes resulados na análise do desempenho de um méodo de gerenciameno de riscos. Por exemplo, funções-objeivo, comumene uilizadas, procuram avaliar o desempenho ao longo de oda a curva de disribuição de resulados, em vez de avaliar os ponos críicos sob o enfoque do risco (caudas de disribuição), ficando impedidos de capar as deficiências do modelo. Diane do exposo, faz-se necessária uma análise de acuidade das meodologias uilizadas, comparando-se a esimaiva de perda poencial da insiuição financeira medida pelo VaR com a perda efeiva ou real observada após a passagem do empo. A simulação de Mone Carlo é o méodo analíico mais abrangene para a mensuração de riscos financeiros. Jorion (000) comena que ese méodo é capaz de

15 16 capurar grande variedade de riscos, inclusive de preço, de volailidade e de crédio. Como desaca Duare Jr. (1996b), os modelos de volailidade esocásica necessiam de uma melhor análise acadêmica para se precisar sua adequação à dinâmica dos mercados financeiros. No capíulo, a seguir, apresena-se o referencial eórico uilizado para o desenvolvimeno dese rabalho. No capíulo 3, em-se a meodologia do rabalho, onde são delineados os modelos uilizados e os raamenos dos dados realizados. No capíulo 4, procede-se à discussão dos resulados da invesigação empírica. E, por fim, no capíulo 5, as conclusões dese rabalho e sugesões para pesquisas poseriores.

16 17 Referencial eórico.1 Risco A quanificação do risco como variável financeira represena, ainda hoje, um dos grandes desafios para os pesquisadores de finanças. O modelo proposo no rabalho seminal de Harry Markowiz (195), que deu origem à Moderna Teoria das Careiras, é a base para os modelos de gesão de risco desenvolvidos desde enão. Ese modelo uiliza a variância dos reornos como uma medida significaiva do risco de uma careira, sob deerminadas resrições. Além de inroduzir uma medida de risco, ressala-se a imporância da diversificação de invesimenos para a redução do risco (Markowiz, 1959). O modelo de Markowiz é baseado em diversas hipóeses sobre o comporameno do invesidor, enre as quais desacamos: a) os invesidores consideram cada invesimeno alernaivo como sendo represenado por uma disribuição probabilísica de reornos esperados em um deerminado período; b) os invesidores maximizam a uilidade esperada de um período, e suas curvas de uilidade demonsram uilidade marginal decrescene de riqueza (comporameno racional do invesidor);

17 18 c) os invesidores esimam o risco de uma careira com base na variabilidade dos reornos esperados; d) os invesidores baseiam suas decisões, primariamene, nos níveis de reorno e risco esperados, de forma que suas curvas de uilidade são uma função somene do reorno esperado e da variância dos reornos; e) para um deerminado nível de risco, os invesidores preferem reornos maiores a reornos menores. Similarmene para um deerminado nível de reorno esperado, os invesidores preferem menor risco. O modelo proposo por Markowiz não assume, expliciamene, nenhuma disribuição probabilísica específica, muio embora sabe-se que, se a disribuição não for normal, a variância não será uma boa esimaiva. Muias meodologias foram desenvolvidas para o cálculo da volailidade, ou seja o risco de mercado, assumindo ou não a hipóese da disribuição normal, e consaa-se que não exise muia uniformidade no cálculo do risco de insiuições financeiras. As meodologias para esimação do risco requerem conhecimenos sobre a mecânica dos mercados de ineresse, alguma sofisicação maemáica, sisemas compuacionais e de informações confiáveis. A elevada insabilidade dos mercados financeiros, moivada por faores inernos e exernos às diversas economias, expressa-se aravés do fenômeno da heerocedasicidade dos reornos dos aivos negociados. A meodologia de variância condicionada, em alguns casos, pode capar ais variações. O risco financeiro é um conceio mulidimensional englobando quaro grandes grupos: risco de mercado, risco operacional, risco de crédio e risco legal. O risco de mercado reflee o comporameno do preço do aivo diane das condições de mercado. Esa pesquisa enfoca apenas o risco de mercado. Ese ipo de risco resula basicamene de

18 19 quaro fones: risco de axa de câmbio, risco de axa de juros, risco dos preços de ações e risco de preços de commodiies. Há duas formas de medir o risco de mercado: a) Risco de mercado relaivo. É uma medida do deslocameno dos rendimenos de uma careira de invesimenos em relação a um índice uilizado como benchmark; b) Risco de mercado absoluo. Medem-se as perdas de uma careira de invesimeno sem qualquer relação a índices de mercado. Para o cálculo do risco de mercado absoluo de uma careira, podem ser usadas diferenes medidas, por exemplo: desvio padrão dos reornos passados (Markowiz, 195), downside risk (média momeno parciais) dos reornos passados e Value a Risk (VaR).. VaR - Value a Risk A abordagem aualmene mais uilizada para o cálculo do risco de mercado é o VaR Value a Risk. VaR é uma medida da aleração máxima do valor de um aivo (ou careira de aivos), com uma dada probabilidade, denro de um horizone de empo prédeerminado. Considerando-se VC 0 o valor da careira no momeno inicial e R a sua axa esperada de reorno no final do horizone de empo, o valor esperado da careira após o horizone deerminado será de VC = VC 0 (1 + R). esperado: Jorion (1996) define VaR como a perda da careira relaiva ao seu valor VaR = VC VC * * = VC ( R R ) 0

19 0 onde VC* é o valor esperado mínimo admiido para a careira referene ao nível de significância desejado, e R* é o reorno associado a VC*. Em algumas siuações, por exemplo quando há ineresse em comparar modelos de VaR, é ineressane calcular o VaR para o reorno da careira: VaR reorno = R R * O VaR pode ser definido como a perda absolua da careira, ou seja, relaiva a zero ou sem referência com o valor esperado da careira: VaR = VC * * 0 VC = VC0 R Esa úlima forma é a comumene uilizada no meio acadêmico e de mercado, pois represena a perda real da careira em relação ao momeno em que esá se medindo o VaR. Para enconrar o valor mínimo esperado, necessia-se esabelecer um nível de confiança e conhecer a função de disribuição de probabilidade fuura da careira de aivos ou do reorno da careira, respecivamene quando se calcula o VaR do valor da careira ou de reorno. Considerando a função de disribuição de probabilidade do valor fuuro da careira, f(x), a deerminado nível de confiança, q, deseja-se descobrir a pior realização possível para a careira, VC*, al que a probabilidade de exceder esse valor seja q: q = VC * f ( x) dx * ou al que a probabilidade de um valor menor que VC*, p = P( x VC ), seja 1-q: 1 q = VC * f ( x) dx = P ( x VC *) = p probabilidade p, onde * Porano, em-se que VC = F 1 ( p), que corresponde ao valor do quanil de 1 F é a função inversa de densidade de probabilidade. Daí:

20 1 * 1 VaR = VC0 VC = VC0 F ( p) Se não há a função de disribuição de probabilidade analiicamene, deve-se proceder empiricamene à consrução da disribuição do valor da careira e calcular o quanil pela ordenação direa das freqüências de ocorrências dos valores. Como se vê, o VaR é obido do quanil da função de disribuição de probabilidade da careira, logo sendo aplicado a qualquer disribuição, seja ela normal ou não, discrea ou conínua, com cauda grossa ou fina. Se a disribuição for normal, considerando µ e σ, respecivamene, média e desvio padrão, a função de disribuição de probabilidade é dada por: f ( x) = 1 e π σ 1 x µ σ, x R A função de disribuição normal cumulaiva de probabilidade é: Φ ( p) = 1 π σ p e ( x µ ) σ dx Enão, o quanil genérico p é a função inversa Φ 1 ( p). Sabe-se que não é possível aplicar o Teorema Fundamenal do Cálculo, porque não há função cuja derivada seja igual a f(x). Fazem-se necessários méodos de inegração numérica para resolver al quesão. Para a função normal padronizada, êm-se seus valores abulados em livros esaísicos e pode-se derivar o VaR, o quanil, dos parâmeros esaísicos que caracerizam a disribuição normal, essencialmene a variância. Para as disribuições normais, o VaR é dado por: VaR = VC0 ασ (-1) onde α é desvio normalizado para a significância selecionada, σ é o desvio padrão e VC 0 é o valor inicial da careira do momeno do cômpuo do VaR.

21 A esimaiva do VaR erá o horizone deerminado pela medida do desvio padrão, iso é, se o desvio padrão é calculado a uma base diária o VaR pela fórmula acima será uma esimaiva diária. Para associar o VaR a ouros horizones de empo diferenes da medida do desvio, deve-se uilizar a agregação no empo do desvio padrão pela seguine relação: σ = σ T, onde T é o empo em dias. T Considere agora que a careira possui vários faores de risco. A função de disribuição de probabilidade da careira é obida a parir da disribuição dos faores de risco ou variáveis financeiras aos quais esá exposa a careira. Considerando-se que as variáveis aleaórias que represenam os faores de risco são dados por X 1,..., X, a função que represena o valor da careira, que pode ser uma d função perda ou modelo de precificação da careira, será dada por η = L X, X,..., ). Denoa-se ( 1 X 3 FL como a função de disribuição cumulaiva de probabilidade da função perda, F L ( l) = Pr( η < l). Considerando G a função de disribuição mulivariada das variáveis X,..., X, a função de disribuição cumulaiva é: 1 d F L d l R ( l) = Pr( L( X 1,..., X ) < l) = [ L( X 1,..., X )] dg( X 1,..., X ) (-) d 0 O cálculo do VaR consise, enão, na esimaiva do quanil: para um dado p, d d enconrar l p al que F ( l ) p. Enão VaR é dado por l = F 1 ( p). Porano, para L p = p L calcular o VaR é preciso aproximar a inversa da função de disribuição cumulaiva de p(1 p) probabilidade da função de perda da careira. O erro-padrão assinóico de l p é, Tf ( p) onde T é o amanho da amosra e f(.) é a função de disribuição de probabilidade do valor da careira.

22 3 Observe que, nese caso, foi definido a disribuição da perda da careira e não o valor da careira, de modo que o quanil já é o próprio VaR, não sendo necessário fazer a diferença com o valor inicial da careira. No cálculo do VaR, é necessário definir arbirariamene um nível de significância e um período de empo. A escolha do nível de significância é realizada de acordo com o propósio da uilização do VaR, conforme recomendam Beder (1995) e Jorion (000). Se for para deerminação de capial, a escolha depende do grau de aversão ao risco do adminisrador. Quano mais avesso ao risco, menor deve ser o nível de significância, para que o capial alocado seja maior. Se a finalidade for a comparação de diferenes sisemas de risco, sob a hipóese de normalidade, o nível de significância não é muio relevane, pois o VaR pode ser direamene ransformado num ouro nível de significância qualquer com a simples aleração do parâmero da volailidade. Pela definição uilizada nesa seção, o cálculo do VaR envolve apenas um problema probabilísico, haja visa que supõe-se conhecer a disribuição de reornos da careira. Na práica, no enano, o cálculo do VaR envolve ambém um problema de inferência, pois a única informação disponível é a realização do processo esocásico gerador dos reornos. Pelo que foi abordado, pode-se classificar em duas as formas de se esimar o VaR, quando se considera a disribuição de probabilidade dos faores de risco: a) Méodos paraméricos. Quando se ena adequar os resulados a uma disribuição conhecida paramerizada, como a normal, e calcula-se o VaR direamene dos parâmeros que caracerizam as disribuições. b) Méodos não paraméricos. Quando o VaR é esimado pelo quanil amosral da disribuição empírica.

23 4 Inuiivamene, a abordagem paramérica parece ser mais precisa, pois seus esimadores uilizam informações perinenes à disribuição ineira, enquano que o quanil uiliza apenas a ordenação de dados e as observações ao redor do valor esimado. No enano, se as variáveis financeiras não se comporarem como a disribuição paramerizada, os resulados podem ser basane disorcidos. Em relação à abordagem das correlações enre os faores de risco aos quais esá exposo a careira, pode-se agrupar as meodologias para cálculo do VaR em dois grandes grupos: Local valuaion. A esimaiva do VaR é feia para cada aivo e, poseriormene, obémse o VaR da careira uilizando-se as correlações enre os aivos na forma de mariz. Um exemplo de méodo dese grupo é o Dela-Normal, conhecido ambém como analíico ou de marizes de covariâncias. Full valuaion. Mona-se a função de disribuição de probabilidade de perda da careira a parir da simulação das variações dos faores de risco e esima-se direamene desa disribuição o VaR. Exemplos: simulação hisórica e simulação de Mone Carlo. A simulação hisórica é similar à simulação de Mone Carlo, exceo no que diz respeio às mudanças nos valores dos faores de risco, que não são simuladas por meio de modelos esocásicos e sim são reiradas aleaoriamene dos valores hisóricos. Esses dois méodos resolvem o problema de convexidade enfrenado pelo méodo analíico. No enano, a simulação hisórica apresena o pressuposo de que o passado represena o fuuro, ou seja, a disribuição dos faores de risco é assumida como esacionária, o que não é muio realisa com relação às evidências empíricas observadas das caracerísicas das séries financeiras. Por ouro lado, ese méodo não depende de modelos de avaliação ou da esruura esocásica subjacene ao mercado.

24 5.3 Modelos de precificação de opções Para calcular o VaR de conraos não-lineares como, por exemplo, conraos de opções, orna-se fundamenal deerminar o modelo de precificação dos mesmos, que, subraído do valor inicial da careira, represena a função perda do valor da careira. Uma opção simples é um aivo que dá a seu deenor o direio de comprar/vender um ouro aivo por um deerminado preço K (preço de exercício) em um insane de empo fuuro T (daa de vencimeno). As opções podem ser de compra (call) ou de venda (pu), conforme o direio de opção seja de comprar ou vender o aivo objeo. Exise uma série de modelos maemáicos para o cálculo dos prêmios de opções. O modelo proposo por Black & Scholes (1973) B&S foi a primeira solução para a fórmula de equilíbrio geral na avaliação do prêmio de opções. Para o caso de opções do ipo européia, ou seja, aquelas opções que só podem ser exercidas na daa do vencimeno, sobre aivos que não disribuam dividendos, B&S apresenaram as seguines fórmulas para a avaliação dos seus prêmios: Para opção de compra: Para opção de venda: onde: c = S N( d) K e p = S N( d) + K e R ( T ) R ( T ) N( d σ T ) (-3) N( σ T d) S ln R ( T ) K e d = σ T σ + T

25 6 c é o valor eórico de uma opção de compra; p é o valor eórico de uma opção de venda; S é o preço à visa do aivo objeo; K é o preço de exercício da opção; T- é a fração de empo anual aé o vencimeno; σ é a volailidade expressa da forma decimal; R é a axa de juros livre de risco, na forma de capialização conínua; N(.) é a função de disribuição cumulaiva normal. O modelo B&S pare do pressuposo de que o aivo objeo em um comporameno esocásico conínuo, na forma de movimeno geomérico browniano. Iso quer dizer que se assume que a disribuição probabilísica dos preços do aivo objeo, em uma daa fuura, é log-normal e, por conseguine, a disribuição probabilísica das axas de reorno calculadas de forma conínua e composa enre duas daas é normal. O preço da ação é a solução da seguine equação diferencial esocásica: ds = µ S d + σs dw() onde S ( 0) = S 0 > 0, w() é um processo de Wiener, com endência insanânea e desvio dados, respecivamene, por σ e µ. O modelo ambém assume que a axa de juros e a variância são consanes durane oda a vida da opção. Além desas, há ainda ouras hipóeses inseridas no modelo de B&S: Não exisem imperfeições de mercado como, por exemplo, cusos de ransação, imposos e resrições à venda a descobero. Os íulos são perfeiamene divisíveis; Qualquer aivo pode ser comprado ou vendido em qualquer quanidade, inclusive a descobero;

26 7 Exise um aivo sem risco, e sua axa de reorno é consane no empo (axa de juros); Não exisem oporunidades de arbiragem sem risco; A negociação de aivos é conínua e o preço da ação-objeo obedece a um processo esocásico conínuo e esacionário, do ipo processo de difusão. Por esa úlima razão, orna-se necessário, ao inroduzir o valor da axa de juros sem risco na fórmula de B&S, ransformar sua forma discrea mercado) em conínua R D (como é negociada no R C (conforme esá definida a axa R), pela seguine relação: R = ln( 1 + R C D No mercado brasileiro, as opções de compra são do ipo americano, ou seja, podem ser exercidas em qualquer momeno aé sua daa de vencimeno. No enano, é muio raro alguém exercer a opção de compra anes do seu vencimeno, pois seria o caso de o invesidor desembolsar um valor (para comprar o aivo-objeo, no preço de exercício da série da opção) algum empo anes, quando poderia esperar a daa de vencimeno para realizar ese mesmo desembolso. Em ouras palavras, poderia deixar o dinheiro aplicado, rendendo juros, para pagar só na daa limie, aé mesmo para ver como esará o mercado na daa do vencimeno, se vale a pena exercer a opção (Hull, 000). Uma das razões para a enorme difusão do modelo B&S é a exisência de uma solução analíica do preço c como função dos parâmeros. Há vários problemas na condução de pesquisas empíricas uilizando o modelo de B&S, na precificação de opções, segundo Hull (000). O primeiro é que qualquer hipóese esaísica a respeio de como precificar opções deve susenar que: a fórmula de precificação esá correa os mercados são eficienes ) Não é ineiramene correo, pois a disribuição normal padrão acumulada é aproximada numericamene.

27 8 O segundo problema é que a suposição de variância consane é uma simplificação inserida no modelo B&S, implicando a necessidade de mudar coninuamene o parâmero de volailidade como forma a incorporar as inovações mais recenes ocorridas sobre o aivo, conforme desaca Engle (1993). Ademais, o fao de a volailidade de preços da ação ser uma variável não-observável requer méodos precisos de esimação. Um erceiro problema é cerificar se as informações de preço da ação e de preço da opção esão sincronizadas. Por exemplo, se a opção for pouco negociada, não será adequado comparar seus preços de fechameno com os preços de fechameno da ação, iso porque, o preço de fechameno da opção poderá corresponder a um negócio às 13h e o da ação, a um negócio às 16h. Um modelo alernaivo ao B&S é o proposo por Hull e Whie (1987), no qual pressupõem-se as mesmas hipóeses de B&S, exceo a que se refere ao comporameno do preço e da volailidade. Nese, o preço de uma ação assume um processo esocásico mais geral e a volailidade é assumida como esocásica, da seguine forma: ds dv = µ ( S, σ, ) S d + σ S dw( ) = φ ( σ, ) V d + ξ ( σ, ) V dz( ) onde V = σ é a variância insanânea dos reornos, w() e z() são dois processos de Wiener independenes enre si, e S é o preço da ação no insane. Hull e Whie (1987) demonsram que, quando a volailidade não é correlacionada com o preço da ação, pode-se escrever o valor de uma opção de compra européia em como: c( S, σ, ) cbs ( V ) f ( V σ ) = d V

28 9 onde c ( V BS ) é a fórmula de B&S, f(.) é a função de densidade de probabilidade de V, e V é o valor médio da axa de variância definido como: 1 V = T T σ ds Iso é, o preço da opção é a esperança condicional em do preço B&S, uilizando-se o valor da inegral acima como parâmero de volailidade. Pode-se usar uma aproximação do modelo de H&W que o orna ão práico como o de B&S, uilizando-se como parâmero de volailidade na fórmula de B&S a raiz quadrada da média das previsões da volailidade ao quadrado aé T- passos à frene (Duffie e Pan, 1997). Considerar a axa de juros deerminísica pode não ser ão realisa, assim, o ideal seria relaxar esa hipóese e abrir a possibilidade de juros esocásico. Hull (000) aesa que, em geral, a axa de curo prazo é descria, num modelo neuro ao risco, pelo processo de Iô, da seguine forma: dr = m( R) d + s( R) dz Assume-se que o desvio insanâneo m(r) e a endência s(r) sejam funções de R, mas independenes do empo. Esse modelo implica que odas as axas se movem da mesma direção durane qualquer inervalo de empo, mas não na mesma proporção. No modelo de Rendleman e Barer (1980), considera-se que m(r)=µr e o s(r)=σr, onde µ é a axa de crescimeno esperada e σ a volailidade da axa de juros. Há alguns faos econômicos que levam a crer que as axas de juros enham endência de reversão à média em longo prazo. Quando as axas são alas, a economia ende a desacelerar-se, havendo menos demanda por recursos pelos omadores de emprésimo, e, por conseguine, as axas caem. Quando as axas esão baixas, ende a haver uma fore demanda por recursos e conseqüenemene elas sobem. Ouros modelos, ais como os de

29 30 Vasicek 3 ou Cox, Ingersoll e Ross 4, incorporam caracerísicas adicionais, como, por exemplo, a endência de reorno à média..4 Simulação de Mone Carlo Para as disribuições de probabilidade, nas quais não há os valores da função de disribuição cumulaiva de probabilidade em forma analíica ou pelo menos abulados, necessia-se uilizar os méodos numéricos de inegração, para o cálculo do quanil que represena o VaR. Uma das écnicas possíveis é o méodo de Mone Carlo. A aplicação mais comum do méodo de Mone Carlo é o cálculo de inegrais, embora seja ambém uilizado para ouras finalidades como, por exemplo, a resolução de equações. Considera-se, primeiramene, a seguine inegral definida: θ = b a f ( x) dx Para enconrar o valor de θ, idenifica-se uma variável Y aleaória com uma função de densidade de probabilidade p(y) e uma função g(.) al que E(g(Y))=θ. Ou seja: E( g( Y )) = b g( y) p( y) dy = f ( y) dy = a Em muios casos, Y é reirada de uma função de densidade de probabilidade uniforme e g(.) é considerada como f(.). Assim emos: θ = (b-a)e(f(y)). b a θ 3 VASICEK, O. A. An equilibrium characerizaion of he erm srucure, Journal of Financial Economics, n. 5, p , COX, J. C., INGERSOLL, J.E. e ROSS, S.A. A heory of he erm srucure of ineres raes, Economerica, n. 53, p , 1985.

30 31 O problema de calcular a inegral orna-se um problema de esimaiva da média, E(f(Y)). Um esimador para a média é dado pela fórmula: θ = ( b a ) ^ f ( y ) n i onde y i são valores de uma amosra aleaória de amanho n reirada da disribuição de probabilidade uniforme sob o inervalo [a, b]. A variância dessa esimaiva é dada por: ^ ( ( Var f y Var ( θ ) = ( b a ) n i ) = ( b a ) n Var ( f ( Y )) ( b a) ^ b b Var (θ ) =. f x f n ( ) ( ) a a d O desvio padrão esá direamene associado ao erro de convergência, e, da equação anerior, conclui-se que a ordem do erro é de Um esimador da variância é: 1 / n. ^ ^ ( b a) ^ Var ( θ ) = ( f ( yi ) θ ) n 1 Uma imporane propriedade do desvio padrão da esimaiva pelo méodo Mone Carlo é a independência com a dimensão da inegral. Os erros normalmene são dependenes da dimensão d: 1 d n (Genle, 1998). Se não dispuser da função analíica de disribuição de probabilidade, deve-se consruir empiricamene al função e calcular direamene da mesma o quanil correspondene ao nível de significância desejado. Uilizam-se os passos abaixo para esimar o quanil da disribuição de probabilidade de perda da careira pela simulação de Mone Carlo: 1. Gerar aleaoriamene n amosras de valores de uma disribuição mulivariada de X,..., X ; 1 d dx

31 3. Para cada amosra de valores gerada, calcular os valores simulados da perda da careira aravés da função perda L, obendo-se η 1,..., η d ; 3. Consruir empiricamene (uma amosra) a função de disribuição cumulaiva, F^ L, da função perda L; 4. Calcular o quanil amosral l^ p ^ ( ^ p al que p = F L l ) e considerá-lo como esimador do quanil real. Se a disribuição do quanil amosral for normal, quando n ender ao infinio, o esimador l^ p será o quanil real l p e o desvio padrão p( 1 p). f ( l ) p 1, onde f n é a função de disribuição de probabilidade do valor da careira. Verifica-se que a meodologia de simulação de Mone Carlo para cálculo do VaR subsiui o universo real dos valores dos faores de risco por um universo eórico correspondene, para se ober uma amosra da população eórica mediane sucessivos números aleaórios. Basicamene, usam-se mudanças passadas de faores de risco para gerar um modelo de equação para essas mudanças. Simula-se em seguida o comporameno dos faores de risco no próximo período. Dados valores auais e uma disribuição de valores arificiais que predizem valores fuuros, o modelo deverá calcular um possível valor fuuro para cada um de risco. Quando essa simulação é repeida um grande número de vezes, forma uma disribuição de possíveis valores fuuros. Cada um desses valores em a probabilidade deerminada de ocorrência. Tendo como base a disribuição arificial é produzida uma disribuição das variáveis do modelo. O méodo de Mone Carlo ambém é basane uilizado na precificação de opções: simula-se as rajeórias dos faores de risco aé o prazo de vencimeno da opção, aplica-se esses valores na função que represena o valor da opção e descona aé a daa desejada a uma axa de juros livre de risco.

32 33 O preço aual de uma opção de compra européia, considerando as hipóeses de B&S, é o valor esperado da opção numa siuação de indiferença ao risco, desconado a uma axa de juros livre de risco: c R( T ) = e E[ g( S )] (-4) onde T- é o empo aé o vencimeno da opção, S é o preço do aivo no empo, e g(.) é a função pay-off da opção e R é a axa livre de risco. Por simplificação algébrica, supõe-se que =0. T Num mundo neuro ao risco, ln ST possui a seguine disribuição de probabilidade: ln ST σ ~ φ ln S + 0 R T, σ T e o preço da ação num empo fuuro T será dado pela expressão, conforme desacado em Boyle (1977): S T = S 0 e ( R ( σ / )) T +σε T onde ε é uma variável aleaória com disribuição normal padrão, R é a axa livre de risco e ST é o preço do aivo no empo T. (-5) Aplicando esa úlima equação na função do valor esperado da opção (Eq..4), em-se (Joy, Boyle e Tan, 1996): RT (( R ( σ / )) T+ σε T) 1 ε / g[ S0e ] e π c= e dε Aravés da inversa da função de disribuição de probabilidade da variável normal ε, ransforma-se a inegral de menos a mais infinio para uma inegral com disribuição uniforme sobre o inervalo [0,1]:

33 34 c = ε / 1 h( ε) e dε = h( Φ ( x)) dx= 1 π f ( x) dx Esa simplificação permie ober uma aproximação eficiene para a inegral pela seleção apropriada de amosras de ponos no inervalo [0,1]. Pela simulação de Mone Carlo, gera-se n valores de variáveis com disribuição uniforme e o valor da opção será dado por: 1 c = n n i= 1 f ( ξ ), onde ξ ~ U (0,1) i Pode-se opar pela geração de valores de variáveis normais e o valor da opção ornará: 1 c = n n i= 1 h( ε ), onde ε ~ N(0,1). i Será viso em iem poserior que, com os números pseudo-aleaórios, o erro da esimaiva acima será da ordem de i i 1 / n, enquano que, com os números quase-aleaórios será da ordem de ( log( ) ) n n d. A função g(.) de uma opção européia é máx[ ST -X,0], e o valor da opção ornase: rt ( T X c = e S X ) q( S ) ds T T onde q(.) é a função de disribuição de probabilidade de S T. Duare Jr. (1996a) sineiza o que foi descrio nesa seção, apresenando um algorimo, na forma de fluxograma, basane acessível para precificar opções européias uilizando simulação de Mone Carlo. A precificação de opções pela simulação de Mone Carlo apresena maior vanagem quando o reorno do aivo-objeo da opção depende de vários processos esocásico (Boyle, 1977).

34 Gerando números aleaórios Para implemenar a simulação Mone Carlo é necessário simular a rajeória dos faores de risco e para ano precisa-se gerar números aleaórios e aplicar no modelo do comporameno do faor de risco, para deerminar a disribuição de probabilidade da variação da careira. Há diversas formas de se ober números aleaórios. Sobol (1994) divide em rês as maneiras de se ober ais números: abelas de números aleaórios, geradores de números aleaórios (por exemplo, ubo de vácuo) e méodos de números pseudo-aleaórios. Genle (1998) diz que se pode ober seqüências de números aleaórios aravés de geradores de congruência linear, geradores baseados em sisemas caóicos e abelas de números aleaórios. Para uniformizar a linguagem, podem-se classificar os números aleaórios em rês grupos: a) Aleaórios. Os números aleaórios são os números puramene aleaórios, que são selecionados por meio não deerminísico, que não envolvem algorimos ou funções, e normalmene são obidos por inermédio de evenos naurais ou físicos. Nesa classificação, enquadram-se os geradores de números aleaórios (Sobol, 1994). Eses geradores apresenam algumas desvanagens: é muio difícil verificar a qualidade dos números produzidos e praicamene impossível reproduzir a mesma seqüência de números, a menos que sejam gravados, o que demandaria muio espaço em memória de processadores. b) Pseudo-aleaórios. São os obidos por meio de algorimos, de al forma que apresenem um ciclo de repeição ão alo quano possível, de modo a simular uma disribuição

35 36 verdadeiramene randômica. Nese grupo, enquadram-se os méodos de congruência linear abordados por Genle (1998). c) Quase-aleaórios. Conhecidos como seqüências de baixa discrepância, são ambém obidos por procedimenos maemáicos, mas apresenam algumas peculiaridades adicionais, que serão dealhadas na próxima seção. O componene essencial de um gerador de números pseudo-aleaórios é uma disribuição uniforme sobre o inervalo [0,1], que produz uma variável aleaória x. A parir de uma disribuição uniforme, pode-se ransformar esa em diversas disribuições desejadas. No caso de inegração de funções, que corresponde ao procedimeno de inversão da função de disribuição para esimar o quanil, uilizam-se disribuições uniformes. Para simular as rajeórias de preços dos faores de risco, parindo da suposição de que seguem o movimeno browniano geomérico, precisa-se de uma disribuição normal padronizada. Exisem vários méodos para ransformar uma disribuição uniforme em normal padrão. Um dos mais uilizados é o méodo de Box Miller (Press e al., 199), no enano apresena perda de eficiência em seqüências quase-aleaórias (Galani e Jung, 1997) que será de fundamenal imporância para ese rabalho, como será viso logo a seguir. Uilizar-se-á o méodo proposo por Moro (1995) que esá especificado no apêndice 3. Ese méodo ransforma o número aleaório com disribuição uniforme na disribuição desejada, aravés da inversa da função de disribuição de probabilidade cumulaiva.

36 37.4. Seqüências deerminísicas de baixa discrepância Desenhando um conjuno de números pseudo-aleaórios em duas dimensões, vê-se que os mesmos não preenchem regularmene os espaços (Figura.1), verificando-se regiões onde não há ponos, ou seja, os números pseudo-aleaórios não são disribuídos uniformemene no espaço (Paskov e Traub, 1995). Para ornar melhor a esimaiva da inegração pela sua média (Sobol, 1994), seria conveniene que os números aleaórios pudessem ser disribuídos uniformemene a cada amosra subseqüene. Há um conceio em eoria dos números denominado discrepância, que mede o desvio da uniformidade de um conjuno de ponos em uma dimensão d. A quesão em saber qual conjuno de ponos em uma dimensão d em a discrepância mais baixa ainda não foi resolvida, porém há várias seqüências de ponos de baixa discrepância conhecidas. Definições mais aprofundadas e ambém consruções eficienes são analisadas em Tezuka (1995) incorporando os conceios aneriores.

37 38 Seqüência de Sobol Seqüência de Pseudo-Aleaórios a números de 1 a números de 1 a Seqüência de Sobol Seqüência de Pseudo-Aleaórios números de 19 a números de 19 a 51 Seqüência Sobol números de 1 a 51 Seqüência de Pseudo-Aleaórios números de 1 a 51 Figura.1. Disribuição em (duas) dimensões de seqüências de números pseudo-aleaórios gerados pela função ran e de quase-aleaórios gerados pelo algorimo de Sobol 5 5 A função ran e o algorimo de Sobol obidas em Press e al. (1996).

38 39 Recenes consruções de seqüências de baixa discrepância êm levado a avanços significaivos em ermos de redução de cuso compuacional em precificação de derivaivos financeiros, por exemplo. Quase-Mone Carlo (méodo de Mone Carlo com seqüências de quase-aleaórios) alcança uma performance equivalene em uma fração de empo menor que a exigida pelo méodo de Mone Carlo. Para algumas funções de disribuição, por exemplo, a normal ou a log-normal, pode-se ransformar a equação., selecionando uma apropriada função ρ l, em: l d F ( ) [( x x L l 1,..., d )] dx1,..., = ρ [0,1] dx d Conforme Papageorgious e Paskov (1999), o erro de aproximação uilizando números deerminísicos é o produo da variância, Var( ρ l ), da função ρ l, com a discrepância da amosra D n, D n ( log( n) ) d = C d, onde Cd é uma consane que depende n da seqüência de baixa discrepância e d é a dimensão do problema. Percebe-se que o erro de convergência para ponos de baixa discrepância é proporcional ao inverso da quanidade de números uilizados, sugerindo que ese méodo é superior que o méodo de Mone Carlo (Paskov, 1994). Esa vanagem diminui com o aumeno da dimensão d e alguns pesquisadores relaam que esa vanagem eórica desaparece para d > 30 (Paskov e Traub, 1995). Como exemplo desa écnica, realizou-se a inegração da função normal padronizada resulando na conhecida função normal acumulada: 1 N ( x) = f ( ) d, onde f ( ) = e π x Calculou-se, em função do número de simulações, o erro relaivo percenual, como sendo a diferença enre o valor obido pela simulação e o valor exao da função

39 40 dividido por esse mesmo valor. Na figura abaixo, percebe-se a convergência mais rápida da inegração uilizando números quase-aleaórios. Erro Relaivo Percenual Simulação com Números Sobol da Função Normal Acumulada em x= Número de Simulações Erro Relaivo Percenual Simulação comnúmeros Aleaórios da Função Normal Acumulada emx= Número de Simulações Figura.. Convergência da Função Normal Acumulada uilizando números quase-aleaórios e pseudo-aleaórios.5 Modelos de esimação da volailidade O conceio de volailidade desempenha papel fundamenal na precificação de aivos financeiros e no gerenciameno do risco de mercado. Traando-se de derivaivos, o conceio assume ainda maior imporância, pois a volailidade é a única variável não observável no modelo B&S. Exisem basicamene dois ipos de volailidade: a de preço e a implícia. A primeira diferença imporane enre volailidade implícia e a de preço esá relacionada com a informação necessária para o seu cálculo: enquano a volailidade de preço usa dados de preços, a volailidade implícia depende de coações dos prêmios de opções sobre o aivo/índice de ineresse. A segunda diferença é que a volailidade de preço

40 41 é obida aravés de esimadores esaísicos, enquano a implícia depende para sua obenção de modelos de precificação de opções..5.1 Volailidade de preço pela normal: Considerando que o faor de risco em sua disribuição de probabilidade dada f ( x) = 1 e π σ 1 x µ σ x R onde µ e σ denoam respecivamene a média e o desvio padrão dessa disribuição, podemse uilizar diversos esimadores e modelos esaísicos na lieraura para o cálculo da volailidade de preços. O mais simples esimador é o de máxima verossimilhança com mínima variância dado por: n ^ ^ x σ i = 1 σ = (-6) n 1 Ese esimador apresena algumas deficiências, das quais desacam-se o fao de ponderar igualmene odas as observações, dando a mesma imporância ano para a observação mais recene quano para a mais aniga, o que não permie ao esimador reagir rapidamene a mudanças bruscas no preço de aivos. Uma alernaiva para conornar esa deficiência é o esimador de média móvel com amorecimeno exponencial (EWMA -Exponenially Weighed Moving Average): ^ n σ = w i ( x µ), onde n n i+ 1 w, 0 < < 1, w, = i λ λ i µ i= 1 ~ i= 1 ~ n i= 1 w i x