Autoria: Fábio Luiz de Oliveira Bezerra e Charles Ulises de Montreuil Carmona

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1 Avaliação a esimaiva o risco e mercao e ações e opções e compra a Perobrás uilizano a Meoologia Value a Risk (VaR) com Simulação e Mone Carlo Auoria: Fábio Luiz e Oliveira Bezerra e Charles Ulises e Monreuil Carmona Resumo Ese rabalho em o inuio e avaliar a capaciae a aboragem Value a Risk com simulação e Mone Carlo (SMC), na previsão o risco e mercao a ação a Perobrás (PETR4) e as opções e compra a PETR4 (PETRJ39, PETRH6, PETRH5). Compara-se a performance a SMC com os méoos enominaos paraméricos: para a careira e ações, consiera-se o moelo o esvio parão, e, para as opções, uilizam-se aproximações Dela e Dela-Gama. A SMC para as opções é obia pelos seguines moelos e precificação o valor a careira: o e Black & Scholes (SMC Univariaa), o e Hull & Whie, que inclui volailiae esocásica (SMC Bivariaa), e, por úlimo, a inclusão a axa e juros ambém esocásica aravés o moelo e Renleman e Barer (SMC Trivariaa). As eviências empíricas sugerem que a esimaiva o VaR pela simulação e Mone Carlo supera a os méoos paraméricos, noaamene em careiras não-lineares.. Inroução A aboragem Value a Risk (VaR) em sio uma as écnicas mais uilizaas no gerenciameno e risco ornano-se parão na inúsria bancária. Uma grane vanagem a esimaiva o risco aravés o VaR consise na capaciae e mensurar e agregar iversas posições e risco e oa a insiuição em um único valor. Isso orna a compreensão o nível e risco a empresa muio mais fácil para seus ireores, acionisas e invesiores. Embora a aboragem o VaR para a esimaiva o risco e mercao seja e fácil enenimeno, exisem iversas meoologias para sua obenção, caa uma apoiano-se em suposições iferenes quano às caracerísicas os faores e risco e mercao e aequano-se melhor a iferenes perfis e composição a careira. Conforme esacam Hull e Whie (987), os moelos maemáicos e esaísicos mais uilizaos para o cálculo o VaR (meoologia paramérica) amiem que reornos iários as variáveis e mercao (preço e aivos, axas e juros, câmbio) seguem uma isribuição e probabiliae o ipo normal. Na práica, as séries e reornos iários essas variáveis apresenam assimeria e significaivos graus e curose. Por ouro lao, a simulação e Mone Carlo parece ser uma meoologia confiável e abrangene para a mensuração e riscos financeiros e capaz e capurar uma grane varieae e riscos, inclusive e preço, e volailiae e e créio. É conveniene, porano, realizar uma análise e acuiae as meoologias para o cálculo o VaR, comparano-se a esimaiva e pera poencial e uma careira meia pelo VaR com a pera efeiva ou real observaa após a passagem o empo.. Referencial eórico Jorion () esabelece uma efinição formal para al meia: o VaR mee a pior expecaiva e pera urane um cero períoo e empo, sob conições normais e mercao e com um ao nível e confiança. Consierano-se VC o valor a careira no momeno inicial e R a sua axa esperaa e reorno no final o horizone e empo, o valor esperao a careira após o horizone eerminao será e VC VC ( + R), ambém efine VaR como a pera a careira relaiva ao seu valor esperao:

2 * * VaR VC VC VC ( R R ) one VC* é o valor esperao mínimo amiio para a careira referene ao nível e significância esejao, e R* é o reorno associao a VC*. O VaR poe ser efinio como a pera absolua a careira, ou seja, relaiva a zero ou sem referência com o valor esperao a careira: * * VaR VC VC VC R Esa úlima forma é a comumene uilizaa no meio acaêmico e e mercao, pois represena a pera real a careira em relação ao momeno em que esá se meino o VaR. Para enconrar o valor mínimo esperao, necessia-se esabelecer um nível e confiança e conhecer a função e isribuição e probabiliae fuura a careira e aivos ou o reorno a careira, respecivamene quano se calcula o VaR o valor a careira ou e reorno. Consierano a função e isribuição e probabiliae o valor fuuro a careira, f(x), a eerminao nível e confiança, q, eseja-se escobrir a pior realização possível para a careira, VC*, al que a probabiliae e exceer esse valor seja q: q VC * f ( x) x ou al que a probabiliae e um valor menor que VC*, probabiliae p, one q VC * Porano, em-se que VC F f ( x) x * P ( x p P( x VC VC *) p * ), seja -q: F ( p), que correspone ao valor o quanil e é a função inversa e ensiae e probabiliae. Daí: VaR VC * VC VC F p Se não há a função e isribuição e probabiliae analiicamene, eve-se proceer empiricamene à consrução a isribuição o valor a careira e calcular o quanil pela orenação irea as freqüências e ocorrências os valores. Como se vê, o VaR é obio o quanil a função e isribuição e probabiliae a careira, logo seno aplicao a qualquer isribuição, seja ela normal ou não, iscrea ou conínua, com caua grossa ou fina. Se a isribuição for normal, consierano µ e σ, respecivamene, méia e esvio parão, o quanil genérico p é a função inversa e isribuição normal cumulaiva e probabiliae Φ ( p). Para as isribuições normais, o VaR é ao por: VaR (-) VC ασ one α é esvio normalizao para a significância selecionaa, σ é o esvio parão e VC é o valor inicial a careira o momeno o cômpuo o VaR. Para careira com vários faores e risco, a função e isribuição e probabiliae a careira é obia a parir a isribuição os faores e risco ou variáveis financeiras aos quais esá exposa a careira. Consierano-se que as variáveis aleaórias que represenam os faores e risco são aos por X,..., X, a função que represena o valor a careira, que poe ser uma função pera ou moelo e precificação a careira, será aa por η L X, X,..., ). Denoa-se como a função e isribuição cumulaiva e ( X 3 F L ( )

3 probabiliae a função pera, F L ( l) Pr( η < l). Consierano G a função e isribuição mulivariaa as variáveis,...,, a função e isribuição cumulaiva é: X ( l) Pr( L( X,..., X ) < l) [ L( X,..., X )] G( X,..., X ) (-) p ) X l R F L O cálculo o VaR consise, enão, na esimaiva o quanil: para um ao p, enconrar l al que F L ( l p. Enão VaR é ao por l ( p). Porano, para calcular p o VaR é preciso aproximar a inversa a função e isribuição cumulaiva e probabiliae a função e pera a careira.. Moelos e precificação e opções Para calcular o VaR e conraos não-lineares como, por exemplo, conraos e opções, orna-se funamenal eerminar o moelo e precificação os mesmos, que, subraío o valor inicial a careira, represena a função pera o valor a careira. Exise uma série e moelos maemáicos para o cálculo os prêmios e opções. O moelo proposo por Black & Scholes (973) B&S foi a primeira solução para a fórmula e equilíbrio geral na avaliação o prêmio e opções. Para o caso e opções o ipo européia, B&S apresenaram as seguines fórmulas para a avaliação os seus prêmios: Para opção e compra: p F L Para opção e vena: R ( T ) c S N( ) K e N( σ T ) (-3) R ( T ) p S N( ) + K e N( σ T ) Como sabemos, o moelo B&S pare o pressuposo e que o aivo objeo em um comporameno esocásico conínuo, na forma e movimeno geomérico browniano. Iso quer izer que se assume que a isribuição probabilísica os preços o aivo objeo, em uma aa fuura, é log-normal e, por conseguine, a isribuição probabilísica as axas e reorno calculaas e forma conínua e composa enre uas aas é normal. O preço a ação é a solução a seguine equação iferencial esocásica: S µ S + σ w() one S( ) S >, w() é um processo e Wiener, com enência insanânea e esvio aos, respecivamene, por σ e µ. Um moelo alernaivo ao B&S é o proposo por Hull e Whie (987), no qual pressupõem-se as mesmas hipóeses e B&S, exceo a que se refere ao comporameno o preço e a volailiae. Nese, o preço e uma ação assume um processo esocásico mais geral e a volailiae é assumia como esocásica, a seguine forma: S µ ( S, σ, ) S + S w() V φ (, ) V + ξ (, ) V z( ) σ one V é a variância insanânea os reornos, w() e z() são ois processos e Wiener σ inepenenes enre si, e S é o preço a ação no insane. Hull e Whie (987) emonsram que, quano a volailiae não é correlacionaa com o preço a ação, poe-se escrever o valor e uma opção e compra européia em como: c( S S σ σ, σ, ) cbs ( V ) f ( V σ ) V 3

4 one ( V ) é a fórmula e B&S, f(.) é a função e ensiae e probabiliae e V, e V é o valor méio a axa e variância efinio como: T V σ s T c BS Iso é, o preço a opção é a esperança conicional em o preço B&S, uilizanose o valor a inegral acima como parâmero e volailiae. Poe-se usar uma aproximação o moelo e H&W que o orna ão práico como o e B&S, uilizano-se como parâmero e volailiae na fórmula e B&S a raiz quaraa a méia as previsões a volailiae ao quarao aé T- passos à frene (Duffie e Pan, 997). Consierar a axa e juros eerminísica poe não ser ão realisa, assim, o ieal seria relaxar esa hipóese e abrir a possibiliae e juros esocásicos. Hull () aesa que, em geral, a axa e curo prazo é escria, num moelo neuro ao risco, pelo processo e Iô, a seguine forma: R m( R) + s( R) z Assume-se que o esvio insanâneo m(r) e a enência s(r) sejam funções e R, mas inepenenes o empo. Esse moelo implica que oas as axas se movem a mesma ireção urane qualquer inervalo e empo, mas não na mesma proporção. No moelo e Renleman e Barer (98), consiera-se que m(r)µr e o s(r)σr, one µ é a axa e crescimeno esperaa e σ a volailiae a axa e juros, levano a crer que evio ao comporameno a economia, as axas e juros enham enência e reversão à méia em longo prazo.. Simulação e Mone Carlo Para as isribuições e probabiliae, nas quais não há os valores a função e isribuição cumulaiva e probabiliae em forma analíica ou pelo menos abulaos, necessia-se uilizar os méoos numéricos e inegração, para o cálculo o quanil que represena o VaR. Uma as écnicas possíveis é o méoo e Mone Carlo. A aplicação mais comum o méoo e Mone Carlo é o cálculo e inegrais, embora seja ambém uilizao para ouras finaliaes como, por exemplo, a resolução e equações. Consiera-se, primeiramene, a seguine inegral efinia: θ b a f ( x) x O problema e calcular a inegral orna-se um problema e esimaiva a méia, ^ f y E(f(Y)). Um esimaor para a méia é ao pela fórmula: ( i ) θ ( b a ) n one y i são valores e uma amosra aleaória e amanho n reiraa a isribuição e probabiliae uniforme sob o inervalo [a, b]. A variância essa esimaiva é aa por: ( b a) ^ b b Var (θ ). f x f n ( ) ( ) a a O esvio parão esá ireamene associao ao erro e convergência, e, a equação anerior, conclui-se que a orem o erro é e n /. Uma imporane proprieae o esvio parão a esimaiva pelo méoo Mone Carlo é a inepenência com a imensão a inegral. Os erros normalmene são epenenes a imensão : n (Genle, 998). x 4

5 O méoo e Mone Carlo ambém é basane uilizao na precificação e opções: simulam-se as rajeórias os faores e risco aé o prazo e vencimeno a opção, aplicam-se esses valores na função que represena o valor a opção e escona aé a aa esejaa a uma axa e juros livre e risco. O preço aual e uma opção e compra européia, consierano as hipóeses e B&S, é o valor esperao a opção numa siuação e iniferença ao risco, esconao a uma axa e juros livre e risco: c R( T ) e E[ g( S )] (-4) one T- é o empo aé o vencimeno a opção, S é o preço o aivo no empo, e g(.) é a função pay-off a opção e R é a axa livre e risco. Por simplificação algébrica, supõe-se que. Num muno neuro ao risco, ln S T possui uma isribuição e probabiliae normal one o preço a ação num empo fuuro T será ao pela expressão, conforme esacao em Boyle (977): T S T S e ( R ( σ / )) T +σε T (-5) one ε é uma variável aleaória com isribuição normal parão, R é a axa livre e risco e S T é o preço o aivo no empo T. Aplicano esa úlima equação na função o valor esperao a opção (Eq..4), em-se (Joy, Boyle e Tan, 996): RT (( R ( σ / )) T+ σε T) ε / g[ Se ] e π c e ε Aravés a inversa a função e isribuição e probabiliae a variável normal ε, ransforma-se a inegral e menos a mais infinio para uma inegral com isribuição uniforme sobre o inervalo [,]: c h( ε) e π ε / ε h( Φ ( x)) x f ( x) x Esa simplificação permie ober uma aproximação eficiene para a inegral pela seleção apropriaa e amosras e ponos no inervalo [,]. Pela simulação e Mone Carlo, gera-se n valores e variáveis com isribuição uniforme e o valor a opção será ao por: n c f ( ξ i ), one ξ i ~ U (,) n i Poe-se opar pela geração e valores e variáveis normais e o valor a opção ornará: n c h( ε i ), one ε i ~ N(,). n i Será viso em iem poserior que, com os números pseuo-aleaórios, o erro a / esimaiva acima será a orem e n, enquano que, com os números quase-aleaórios ( log( n) ) será a orem e. n.3 Gerano números aleaórios Poe-se classificar os números aleaórios em rês grupos: 5

6 a) Aleaórios. Os números aleaórios são os números puramene aleaórios, que são selecionaos por meio não eerminísico, que não envolvem algorimos ou funções, e normalmene são obios por inerméio e evenos naurais ou físicos. Nesa classificação, enquaram-se os geraores e números aleaórios (Sobol, 994). b) Pseuo-aleaórios. São os obios por meio e algorimos, e al forma que apresenem um ciclo e repeição ão alo quano possível, e moo a simular uma isribuição veraeiramene ranômica. Nese grupo, enquaram-se os méoos e congruência linear aboraos por Genle (998). c) Quase-aleaórios. Conhecios como seqüências e baixa iscrepância, são ambém obios por proceimenos maemáicos. Desenhano um conjuno e números pseuo-aleaórios em uas imensões, vê-se que os mesmos não preenchem regularmene os espaços, verificano-se regiões one não há ponos, ou seja, os números pseuo-aleaórios não são isribuíos uniformemene no espaço (Paskov e Traub, 995). Para ornar melhor a esimaiva a inegração pela sua méia (Sobol, 994), seria conveniene que os números aleaórios puessem ser isribuíos uniformemene a caa amosra subseqüene. Há um conceio em eoria os números enominao iscrepância, que mee o esvio a uniformiae e um conjuno e ponos em uma imensão. A quesão em saber qual conjuno e ponos em uma imensão em a iscrepância mais baixa aina não foi resolvia, porém há várias seqüências e ponos e baixa iscrepância conhecias. Conforme Papageorgious e Paskov (999), o erro e aproximação uilizano números eerminísicos é o prouo a variância, Var ( ρ l ), a função ρ l, com a ( log( n) ) iscrepância a amosra D n, Dn C, one C é uma consane que epene a n seqüência e baixa iscrepância e é a imensão o problema. Percebe-se que o erro e convergência para ponos e baixa iscrepância é proporcional ao inverso a quaniae e números uilizaos, sugerino que ese méoo é superior que o méoo e Mone Carlo (Paskov, 994). Esa vanagem iminui com o aumeno a imensão e alguns pesquisaores relaam que esa vanagem eórica esaparece para > 3 (Paskov e Traub, 995)..4 Criérios e avaliação os moelos VaR Os criérios evem ienificar a ocorrência e falhas nas previsões, imporano para a avaliação os ponos one a previsão foi inferior à efeivamene ocorria (cauas a isribuição e reornos). Criérios e avaliação que procurem capar o esempenho a previsão ao longo e oa a curva e isribuição os reornos não necessariamene serão os melhores o pono e visa o risco, principalmene quano a aboragem é o VaR. Os criérios baseaos em funções-objeivo avaliam a capaciae o moelo em esimar a curva e isribuição e reornos, conuo, a grane preocupação com o risco é a capaciae e prever exceções, já que o VaR procura capurar os piores cenários. Dessa forma, as cauas a isribuição e probabiliae são mais imporanes o pono e visa o risco e opou-se por avaliar a esimaiva o VaR pelo criério e backesing, proposo pelo Comiê e Basiléia, conjugao com o ese e proporção e falhas proposo por Kupiec (995). Kupiec esenvolveu um moelo que serve para verificar se o número e vezes em que as peras efeivas superaram as peras esimaas pelo VaR poe ser consierao aceiável. 6

7 Ele consierou, para vários períoos, inervalos e não rejeição a hipóese nula e que p é a correa probabiliae a proporção (número e falhas iviio pelo oal e ias) a um nível e significância e 5%, conforme inicao na abela abaixo. Pp* (%) N55 ias N5 ias N ias, x<7 <x< 4<x<7,5 <x< 6<x< 5<x<36 5, 6<x< 6<x<36 37<x<65 7,5 <x<8 7<x<5 59<x<9, 6<x<36 38<x<65 8<x< Tabela.. Inervalos e não-rejeição a hipóese nula Ho e que a proporção e falhas p* é igual a p, a 5% e confiança O número x inica a quaniae e insucessos que poeria se observao numa amosra e amanho n, sem rejeiar a hipóese nula e que p é a correa probabiliae a um nível e significância 5%. Kupiec ambém fornece oura maneira e esar o moelo e VaR, aravés a quaniae máxima que a amosra uilizaa everá coner para rejeiar a hipóese anerior, ressala que a écnica e avaliação as esimaivas e VaR só será confiável com um grane número e observações. 3. Meoologia Foram formulaas as seguines hipóeses a serem esaas: H: A simulação e Mone Carlo (SMC) com geraor e números quase-aleaórios apresena maior convergência que com números pseuo-aleaórios, na esimaiva o VaR as ações e as opções a Perobrás S/A. H: O VaR calculao pela simulação Mone Carlo (SMC) e geraor e números quasealeaórios apresena-se aequao na previsão a variação e ais aivos. H3: A simulação e Mone Carlo (SMC) apresena melhor esempenho na avaliação o VaR o que os méoos paraméricos. A base e aos empregaa nese rabalho é composa pelos preços observaos a ação preferencial nominaiva a Perobrás S/A, nos mercaos à visa (PETR4), e e conrao e opções e compra a PETR4 (PETRJ39, PETRH5 e PETRH6). Os aos a ação PETR4 foram coleaos no períoo e 4 e julho e 994 a 8 e agoso e, enquano foram obios os preços as opções e compra e séries negociaas no períoo e e abril e 998 a 8 e agoso e. Uilizam-se as coações iárias e fechameno a ação e a opção e compra como realização o processo esocásico os preços (Taylor, 986). Para a análise proposa por ese rabalho, uilizou-se uma careira linear hipoéica composa e uma ação PETR4 e uma careira não-linear hipoéica composa por uma opção e compra a PETR4. O reorno foi calculao pela forma logarímica, que é ao por: F r ln F one: F é o valor o faor e risco no insane. Para o cálculo o prêmio a opção uilizaram-se os moelos e B&S, H&W e o moelo e H&W associao com o moelo e Renleman e Barer (98), que consiera a axa e juros como variável esocásica, para a avaliação os prêmios e conraos e opção. 7

8 E, para represenar a axa e reorno o aivo livre e risco, uilizou-se a axa e juros SELIC, que reflee o cuso méio as operações com íulos públicos feerais. A careira hipoéica é composa e opções e compra a ação PETR4, no enano a posição poe ser compraa ou venia, e, a epener esa, a avaliação o esempenho os méoos em prever a pior pera na careira será iferene. É conveniene, enão, analisar as uas siuações. 3. VaR - Simulação e Mone Carlo Para a careira linear, formaa apenas com ações à visa, basa simular os valores a ação uilizano rajeórias e preço. Como foi viso, num muno neuro ao risco, ln S T possui a seguine isribuição e probabiliae, e pela equação.5 poe-se escrever uma fórmula recursiva, iscreizaa no inervalo, para o preço a ação a seguine forma: S S e ( R ( σ / )) + σε (3-6) one ε é uma variável aleaória com isribuição normal parão, R é a axa livre e risco e S é o preço o aivo na eapa. Para a careira e opções, no moelo e B&S, simulam-se as rajeórias e preço a ação para o momeno e empo esejao, e aplica-se a fórmula e precificação para ober uma isribuição empírica o valor a opção. O VaR enão é meio ireamene pelo quanil a significância esejaa. No moelo H&W, simulam-se as rajeórias e preço e e volailiae implícia, e aplica-se o moelo e precificação para ober o valor esperao a opção para o momeno em que se esar esimano a pera a careira. No erceiro moelo analisao, além essas uas rajeórias, ambém simula-se o processo esocásico a axa e juros pelo moelo e Renleman e Barer (98). Quano há mais e um faor e risco, er-se-á a seguine expressão: one i X X j X j e j ( R ( σ / )) + σ são os valores no insane os faores e risco j, sejam preço a ação, volailiae ou axa e juros, e ε são variáveis aleaórias inepenenes enre períoos e empo e enre as séries j. Enreano, os faores e risco são geralmene correlacionaos, e, para moelar essa correlação, uiliza-se a faoração e Cholesky para as variáveis aleaórias. O componene essencial e um geraor e números pseuo-aleaórios é uma isribuição uniforme sobre o inervalo [,], que prouz uma variável aleaória x. A parir e uma isribuição uniforme, poe-se ransformar esa em iversas isribuições esejaas. No caso e inegração e funções, que correspone ao proceimeno e inversão a função e isribuição para esimar o quanil, uilizam-se isribuições uniformes. Para simular as rajeórias e preços os faores e risco, parino a suposição e que seguem o movimeno browniano geomérico, precisa-se e uma isribuição normal paronizaa. Exisem vários méoos para ransformar uma isribuição uniforme em normal parão. Um os mais uilizaos é o méoo e Box Miller (Press e al., 99), no enano apresena pera e eficiência em seqüências quase-aleaórias (Galani e Jung, 997) que será e funamenal imporância para ese rabalho, como será viso logo a seguir. Uilizar-se-á o méoo proposo por Moro (995). Ese méoo ransforma o número aleaório com isribuição uniforme na isribuição esejaa, aravés a inversa a função e isribuição e probabiliae cumulaiva. j ε j 8

9 Como geraores e números aleaórios, uiliza-se a função ran (Press e al., 99), que é baseao no méoo e congruência linear, e, como geraor e números quasealeaórios, uiliza-se a seqüência e Sobol (Press e al.,99), implemenaos em Forran. Eses algorimos fornecem variáveis uniformes e para proceer a ransformação em variável aleaória normal, uiliza-se o algorimo e Moro (995). As variações e valor para conraos lineares poem ser oalmene explicaas pelos ermos e primeira orem a expansão a série e Taylor, já que os e maiores são nulos. Para a careira hipoéica composa a ação PETR4, assumiu-se que o reorno seguirá uma isribuição normal, e moo a uilizar a seguine fórmula o VaR apresenaa no referencial eórico, a que enomina-se e méoo paramérico o esvio parão: VaR VC ασ, one α é esvio normalizao para a significância selecionaa, σ é o esvio parão ou volailiae o preço a ação e VC é o valor e mercao a careira. Uiliza-se o esvio parão amosral em janelas móveis e amanho e ias como esimaor a volailiae o preço. Para erivar uma expressão analíica o VaR para a careira não-linear composa e opção e compra, recorre-se ao moelo e precificação e Black&Scholes (equação.3), que relaciona o valor e uma opção a vários faores e risco: R c g( S, σ, R, ) S N( ) K e N( σ T ) Uilizano os primeiros ermos a expansão e Taylor para esa função g(.), a variação no valor a opção poe ser escria a seguine forma: g g g g g c S+ S + σ + r+ S S σ r É comum efinir as erivaas parciais a função g(.) o valor a opção pelas seguines leras gregas: Dela a opção: g N() S Gama a opção: g Φ( ) Γ S Sσ T Vega a opção: g Λ S σ T Φ() Rô a opção: g R( T ) ρ Ke ( T ) n( σ T ) r O grane faor e risco a opção é sem úvia o preço a ação. É por isso que normalmene se usa a aproximação linear o Dela para a análise o risco a opção. A grane vanagem a aproximação Dela é a aição, ou seja, se emos uma careira com várias opções, o risco poe ser analisao como a soma as posições Dela e caa opção. Consierano só o Dela, a variação o valor o prêmio a opção, c, será: c S e porano: Var( c) Var( S) Consierano σ a volailiae as variações o preço a ação, σ(s/s), e recorreno a equação o processo e Iô, S µ S + σsz, em-se que : Var( S) σs Supono agora que a isribuição essa variação é normal, poe-se aplicar a fórmula o VaR aa pela equação.. Enão, o VaR a variação o valor a opção será: VaR( c) α Sσ 9

10 Consierano que a variação o prêmio a opção esá inseria nas gregas Dela e Gama, a série e Taylor, a variação o prêmio a opção será: c S + Γ S Se a variável S for normalmene isribuía, obém-se: Var( c) Var( S) + ( ΓVar( S) ) Consierano σ a volailiae as variações o preço a ação, σ(s/s), o VaR a opção será: VaR( c) α S σ + ( ΓS σ ) A composição Dela-Gama fornece uma aproximação muio melhor para as variações na opção, enreano sempre se esará incorreno em erro, evio ao fao e os ermos e orens maiores que o Gama esarem seno esprezaos. Uiliza-se a volailiae implícia como esimaor para a volailiae o aivoobjeo quano a aplicação os moelos e precificação e opções. No cálculo o VaR, é necessário efinir arbirariamene um nível e significância e um períoo e empo. Uilizou-se um inervalo e confiança e 99% no cálculo o VaR para a careira linear e ações a Perobrás. Já no caso a careira e opções, como as séries e opções não são muio negociaas, uilizou-se o inervalo e 95%. 4. Resulaos Empíricos Compara-se inicialmene a eficiência os números quase-aleaórios e pseuo aleaórios, no cálculo o VaR uilizano a simulação e Mone Carlo para careiras lineares e não-lineares. A careira linear hipoéica uilizaa para a análise é composa e (uma) ação preferencial a Perobrás S/A PETR4. Uilizano a equação 3-6, implemenam-se iversas rajeórias e preço a ação para o ia seguine, a parir a simulação e uma isribuição normal a variável ε. Com a isribuição os preços, eermina-se a isribuição a pera a careira, e one reira-se, pela significância esejaa, o VaR o quanil amosral corresponene. Uilizano as informações aé o ia 3/4/998, procee-se ao cálculo o VaR para o ia seguine, /5/998, com significância e 99%. Consiera-se o valor veraeiro o VaR, o obio com simulação e Mone Carlo com 5. ponos (valor exao.895). A convergência o proceimeno numérico é verificaa pelo gráfico o erro relaivo percenual versus número e simulações, consane na figura 4.. Erro relaivo - VaR SMC (Pseuo-aleaórios) Erro relaivo - VaR SMC (Quase-aleaórios) 3.%.%.%.% -.% -.% -3.% número e simulações 3.%.%.%.% -.% -.% -3.% número e simulações

11 Figura 4.. Erro relaivo percenual o VaR a ação PETR4 calculao pela SMC com números pseuoaleaórios e quase-aleaórios Poe-se ambém comparar eses méoos uilizano-se o criério referenciao por Papageorgiou e Traub (996), verificano-se para um mesmo nível e erro relaivo percenual (ER), E-4 por exemplo, quanos ponos são necessários para aingir al erro pela uilização os ois ipos e geraores e aleaórios. A velociae relaiva, calculaa pela razão enre a quaniae e números uilizao para o mesmo nível e precisão, ambém serve e parâmero para verificar a axa e convergência relaiva enre os geraores. Méoo Erro relaivo (ERE-4) Velociae relaiva SMC pseuo-aleaórios 4.5 SMC quase-aleaórios Tabela 4.. Erro relaivo percenual e velociae relaiva a esimaiva VaR aravés a SMC com números pseuo-aleaórios e quase-aleaórios. Consaa-se pela abela 4. que a velociae relaiva a SMC com números quasealeaórios é bem superior a a SMC com números pseuo-aleaórios. Iso represena, além a eficiência numérica, um empo compuacional muio menor e, por conseguine, um cuso ambém menor. Verifica-se, em seguia, a performance a simulação e Mone Carlo e Quase Mone Carlo no cálculo o VaR e uma careira composa e opção e compra a Perobrás S/A, que represena nese rabalho uma careira não-linear. A PETRJ39 é uma opção e compra a ação PETR4 com vencimeno em e ouubro e e com preço e exercício e R$ 5,, para o loe e (cem) ações. Uiliza-se, para o cálculo a volailiae a série a ação objeo a opção, o esimaor e máxima verossimilhança com mínima variância, uilizano como base hisórica os úlimos ias e negociação a ação PETR4. O valor veraeiro para o VaR a careira e opção foi consierao o valor obio com simulação e. números. Consiera-se, inicialmene, como variável esocásica, apenas o preço o aivoobjeo (SMC Univariaa), obeeceno a movimeno efinio como um processo e Iô, enquano que os emais parâmeros necessários para o cálculo o prêmio são consieraos consanes. Ese é o moelo original e Black & Scholes. Para comparação a performance a geração os números aleaórios, calcula-se o VaR para o ia /8/, uilizano o moelo acima e combinano seqüências e Sobol e e números pseuo-aleaórios. Pela figura 4.3, observam-se que os números quase-aleaório fazem com que a esimaiva o VaR enha convergência mais rápia para o valor veraeiro. Com menos e simulações, já foi possível aingir o valor veraeiro, e permanecer em orno ese valor com erros relaivos inferiores a E-4.

12 Erro Relaivo - VaR SMC (Pseuo-aleaório) Erro Relaivo - VaRSMC (Quase-aleaório) 3.%.%.%.% -.% -.% -3.% número e simulações 3.%.%.%.% -.% -.% -3.% número e simulações Figura 4.. Convergência o VaR a careira e opções e compra PETRJ39 uilizano simulação e Mone Carlo (Univariaa) Na abela 4., comparam-se os méoos, uilizano o criério a velociae relaiva referenciao no iem anerior. Observa-se que a velociae relaiva é quase cinco vezes maior para a seqüência e números quase-aleaórios. Esa velociae iminuiu um pouco em relação à velociae relaiva obia para a careira linear. Méoo Erro relaivo (ERE-4) Velociae relaiva SMC pseuo-aleaório 38. SMC quase-aleaório Tabela 4.. Erro relaivo percenual (ER) e velociae relaiva o VaR a opção e compra PETRJ39 uilizano simulações e Mone Carlo (Univariaa) Supõe-se, em seguia, que o aivo-objeo e a volailiae implícia seguem um processo esocásico (SMC Bivariaa). Uiliza-se a aproximação o moelo e H&W para precificar a opção e calcular o seu valor no horizone e um ia a frene, e moo a esimar o VaR. Na abela 4.3, apresenam-se os valores os erros relaivos percenuais, consierano o valor exao para a esimaiva o calculao com. simulações. Verifica-se que a esimaiva o VaR pela simulação e Mone Carlo (SMC Bivariaa) com geraor e números quase-aleaórios converge a uma velociae relaiva e quaro vezes em comparação com o e números pseuo-aleaórios. Percebe-se que esa vanagem iminui em relação à SMC Univariaa one se consierou apenas o preço a ação como uma variável esocásica. Méoo Erro relaivo (ERE-4) Velociae relaiva SMC pseuo-aleaórios 6.5 SMC quase-aleaórios 5 4. Tabela 4.3. Erro relaivo percenual e velociae relaiva o VaR a opção PETRJ39 calculao com SMC Bivariao

13 Consiera-se, agora, que as rês variáveis, o preço a ação, a volailiae a ação e a axa e juros, são esocásicas e acima seguem um processo e Iô. O moelo os juros é amiio como seno o moelo e Renleman e Barer (98). Na abela 4.5, apresenam-se os valores os erros relaivos, consierano o valor exao para a esimaiva o calculao com simulações. Observa-se novamene que a seqüência e números quase-aleaórios foi mais eficiene, consierano-se que aingiu um erro relaivo com uma quaniae menor e simulação. No enano, quano comparao com a SMC Bivariaa, percebe-se que a velociae relaiva iminuiu mais um pouco. Méoos Erro relaivo (ERE-4) Velociae relaiva SMC pseuo-aleaórios 5.3 SMC quase-aleaórios Tabela 4.4. Erro relaivo percenual e velociae relaiva o VaR a opção PETRJ39 com SMC Trivariaa Depreene-se a análise que, inepenenemene o geraor e aleaórios uilizao, a convergência o proceimeno numérico e cálculo o VaR é maior quano se raa e careira lineares. A velociae relaiva a esimaiva, uilizano-se seqüências e quase-aleaórios, apresenou-se em oos os momenos mais eficiene. Aemais, percebe-se que, à meia que se incluiu uma imensão no proceimeno numérico, com a inclusão sucessiva e variáveis esocásicas, a performance relaiva os quase-aleaórios iminui, embora a vanagem em relação aos pseuo-aleaórios coninue grane. Ese resulao esá coerene com a análise as fórmulas o erro e esimaiva / uilizano números pseuo-aleaórios, obio na seção.4, que é a orem e n, e o erro ( log(n) ) a esimaiva uilizano números quase-aleaórios, que é a orem e. Esses n resulaos ambém esão coerenes com os obios por Paskov e Traub (995), Joy, Boyle e Tan (996), Papageorgiou e Traub (996) e Galani e Jung (997). Em sínese, poe-se concluir que a simulação e Mone Carlo (SMC) com geraor e números quase-aleaórios apresena maior convergência que com números pseuoaleaórios, na esimaiva o VaR e uma careira e ações e e uma careira e opções a Perobrás (Hipóese não rejeiaa). Uilizano agora apenas as seqüências e números quase-aleaórios, verifica-se a capaciae os moelos e SMC e paramérico, para uma careira linear e oura não- linear, em prever a variação na careira para um ia e horizone e empo. Calcula-se o VaR a ação PETR4 para o horizone e (um) ia e a 99% e confiança, para os 5 ias compreenios enre //998 e 5//999. Os (cem) ias aneriores a //998 foram uilizaos para calcular os parâmeros volailiae e méia, a serem aplicaos nos moelos. O VaR paramérico em mais e 9 (nove) ias foi superao pelo reorno efeivo, enquano que o VaR pela SMC só foi exceio em (ois) momenos. Resa saber se as falhas ocorrias para os méoos esão enro a incereza oriuna a variação amosral. Para ano uiliza-se a abela., consruía por Kupiec (995). 3

14 Méoo Posição Número e falhas Proporção e falhas VaR paramérico compraa.96% venia.35% VaR SMC compraa.39% venia.39% Tabela 4.5. Tese e rejeição a hipóese e que a proporção e falhas é e % Para um nível e confiança e 95%, a máxima quaniae e falhas permiia para não rejeiar a hipóese e que a proporção as mesmas é igual ao nível e confiança o VaR, ou seja 99%, é e ocorrências, conforme Kupiec (abela.). Rejeia-se, porano, apenas o VaR paramérico a careira com posição venia. Verifica-se que, embora, para a careira com posição compraa, não enham sio rejeiaos os ois méoos, é significaiva a iferença a quaniae e erros para caa méoo, apresenano o méoo e SMC menos erros. Para verificar a capaciae as esimaivas e VaR os méoos proposos para careiras não-lineares, uiliza-se uma careira hipoéica composa e opções e compra PETRH5 e PETRH6, pois as mesmas apresenam o maior inervalo e negociação para o períoo analisao, e moo a er maior consisência para o ese e proporção as falhas. Realizou-se o cálculo o VaR para oo o períoo e negociação a opção uilizano a simulação e Mone Carlo com números quase-aleaórios e ambém pelas aproximações Dela e Dela-Gama. Os resulaos são comparaos com o valor a pera efeiva a careira. Aplicano o proceimeno e backesing, calcula-se a proporção e falhas os méoos na previsão a pera a careira. Méoo Posição Número e falhas Proporção e falhas (p) Hipóe se nula: p.5 SMC Uni compraa 4 8.7% não rejeia venia 4.35% não rejeia SMC Bi compraa 4 8.7% não rejeia venia 4.35% não rejeia SMC Tri compraa 4 8.7% não rejeia venia 4.35% não rejeia Dela compraa 3 5.% rejeia venia 47.83% rejeia Dela-Gama compraa % rejeia venia 9 4.3% rejeia Tabela 4.6. Tese e Hipóese e que a proporção e falhas o VaR é.5 a 95% e confiança A proporção e falhas pelos méoos paraméricos foi rejeiaa a 95% e confiança, enquano os 3 (rês) moelos e SMC não foram rejeiaos. A performance os 3 (rês) ipos e simulação e Mone Carlo foi exaamene a mesma. Concluí-se, porano, que a inclusão e variáveis esocásicas, quase sejam, a volailiae implícia e juros, não agregou ao moelo capaciae e prever a variação a careira. 4

15 Replicou-se o mesmo proceimeno para a opção PETRH5, obeno-se resulaos similares: ambém os méoos paraméricos foram reprovaos. Em sínese, poe-se concluir que o VaR calculao pela simulação Mone Carlo (SMC) e geraor e números quase-aleaórios apresena-se aequao na previsão a variação as careiras e ações PETR4 e e opções a Perobrás, PETRH5 e PETRH6 (Hipóese não rejeiaa), bem como apresena melhor esempenho que os méoos paraméricos (Hipóese 3 não rejeiaa). Porano, as rês hipóeses formulaas não foram rejeiaas. 5. Conclusões A esimaiva o VaR pela simulação e Mone Carlo para a ação PETR4 foi consieraa aequaa para previsão a pera a careira, ao nível e confiança e 99%, uilizano-se o ese e proporção e falhas proposo por Kupiec (995). Aemais, ese méoo eve performance melhor que o méoo paramérico o esvio parão. O VaR calculao pela simulação e Mone Carlo, uilizano os rês moelos e precificação, o Black&Scholes (SMC Univariaa), o e Hull&Whie que inclui volailiae esocásica (SMC Bivariaa) e, por úlimo, a inclusão a axa e juros ambém esocásica aravés o moelo e Renleman e Barer (SMC Trivariaa), apresenou-se aequao na avaliação a pera o valor as opções. Nas séries analisaas, não se rejeiou a hipóese e que a esimaiva e VaR é suficiene para prever as piores realizações a careira e opções, enro e um nível e confiança esejao e 95%. A SMC eve performance melhor o que os moelos paraméricos e aproximação pela expansão e Taylor, Dela e Dela-Gama. Na realiae, as esimaivas o VaR pelos méoos Dela e Dela-Gama foram inclusive rejeiaas pelo ese e Kupiec (995). As esimaivas o VaR pelos moelos e Black & Scholes (SMC Univariao), Hull & Whie (SMC Bivariaa) e o o Hull & Whie com juros esocásicos (SMC Trivariaa) foram compaíveis. Não houve melhorias significaivas na esimaiva e VaR pelo moelo e B&S com a inclusão a volailiae implícia como variável esocásica (SMC Bivariao). A esimaiva o VaR consierano-se, além o preço e a volailiae, a axa e juros como variável esocásica, ambém não apresenou iferenças significaivas com relação àquelas obias pelos moelos e Black & Scholes e e Hull & Whie. Referências Bibliográficas BOYLE, P. P. Opions: a mone carlo approach. Journal of Financial Economics, n. 4, p , 977. GENTLE, J. E. Ranom number generaion an Mone Carlo mehos. New York: Springer-Verlag, 998. HULL, J. C. e WHITE, A. Opions, fuures & ohers erivaives. 4 ª e., Upper Saler River: Prenice-Hall,. JOY, C., BOYLE, P. P. e TAN. K. S. Quasi-Mone Carlo mehos in numerical finance. Managemen Science, v. 4, n. 6, p , jun JORION, P. Value a risk: he new benchmarking for managing financial risk. ª e., New York: McGraw-Hill,. KUPIEC, P. Techniques for verifying he accuracy of risk measuremens moels. Journal of Derivaives, v., p , ez MORO, B. The full mone. Risk, v. 8, n., p , fev PRESS, W. H., e. al.. he ar of scienific compuing, ª e., Cambrige - EUA: Cambrige Universiy Press,996. SOBOL, I. M. A primer for he Mone Carlo Meho. USA: CRC Press LLC,