O problema de dimensionamento e seqüenciamento de lotes na indústria de nutrição animal

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1 O problema de dimensionameno e seqüenciameno de loes na indúsria de nurição animal Eli Angela Vior Toso (UFSCar) eli@dep.ufscar.br Reinaldo Morabio (UFSCar) morabio@power.ufscar.br Resumo Ese rabalho apresena uma abordagem inegrada para os problemas de dimensionameno e seqüenciameno de loes na indúsria de nurição animal. Um esudo de caso foi realizado em uma empresa do seor, localizada no inerior de São Paulo, cujo problema pode ser viso como monoeságio, capaciado e com empos de preparação dependenes da seqüência produiva. O problema é modelado por programação linear ineira e resolvido por meio da linguagem de modelagem GAMS/CPLEX. Experimenos realizados com dados reais mosram que esa abordagem é capaz de gerar resulados melhores do que os uilizados pela empresa. Palavras chave: Dimensionameno de loes, Seqüenciameno da produção, Indúsria de nurição animal. 1. Inrodução O problema de dimensionameno de loes (lo sizing) na indúsria de nurição animal consise em deerminar quano produzir de cada ração em cada período, ajusando a capacidade produiva às variações de demanda. Para ano, dispõe de duas alernaivas viáveis: aumeno da capacidade (por exemplo, com a uilização de horas exras) e anecipação da produção nos períodos de folga (uilização de esoques). O problema de seqüenciameno de loes (sequencing) consise em deerminar em que ordem produzir os loes de forma a minimizar os empos de preparação, que diminuem a capacidade produiva (Johnson & Mongomery (1974), Hax & Candea (1984), Winson (1991), Gershwin (1994) e Nahmias (1995)). Esas decisões são freqüenemene raadas de forma independene, ano na lieraura quano na práica (Drexl & Kimms (1997)). O seqüenciameno da produção geralmene é uma arefa adicional ao processo de planejameno, aribuída ao chão de fábrica. Na indúsria de nurição animal (e para ouras com processos similares), raar eses problemas independenemene gera dificuldades para ornar a produção flexível às mudanças do mercado e para ober soluções (para os amanhos e seqüência de loes) viáveis do pono de visa da capacidade disponível e do aendimeno dos prazos de enrega. Desa forma, um dos desafios do planejameno nesa indúsria é coordenar de forma eficaz esas decisões. Nese rabalho é proposa uma abordagem para oimizar o problema inegrado, uilizando um modelo de programação maemáica para represenar as decisões envolvidas. O arigo esá organizado da seguine maneira: na seção 2 é feia uma breve descrição da indúsria de nurição animal, com base no esudo de caso realizado numa empresa do seor. A seção 3 apresena um modelo de programação linear ineira para represenar o problema. Para resolvêlo, uiliza-se linguagem de modelagem GAMS (com o solver CPLEX) juno com alguns procedimenos para enar reduzir os empos compuacionais. Na seção 4 são apresenados os resulados obidos a parir de experimenos com dados reais, bem como a comparação com os resulados praicados pela empresa. Finalmene, a seção 5 discue conclusões e perspecivas para pesquisa fuura. ENEGEP 2004 ABEPRO 2934

2 2. Descrição do problema 2.1 O processo produivo Ese rabalho esá baseado no esudo de caso da unidade produora de suplemenos de uma empresa do seor. Esa plana produz suplemenos viamínicos: sais minerais, núcleos, premixes e promoores para bovinos, eqüinos, suínos, aves, ec. Grosso modo, o processo produivo pode ser dividido em rês eapas: Dosagem das maérias primas, feia mediane formulação pré-esabelecida pelo deparameno écnico. Nesa eapa as maérias primas são pesadas separadamene. Conforme vão sendo dosados, os ingredienes são encaminhados para uma área chamada de pré-misura, onde aguardam aé que oda a formulação seja pesada; Misura dos ingredienes, que ocorre em rês fases: a misura a seco, a adição de líquidos e uma nova fase de misura. Os empos de processameno de cada fase de misura dependem do ipo de produo; Ensaque. Terminado o processo de misura o maerial é descarregado no pós-misurador e encaminhado para a eapa de ensaque. O processo de produção é inermiene e ocorre em baeladas, que se referem ao loe mínimo produzido em cada operação. A quanidade produzida em cada baelada de produção é limiada pelo amanho do misurador. Embora o processo produivo enha várias eapas, podemos considerá-lo monoeságio, pois as eapas produivas esão disposas de forma linear, o padrão de fluxo de uma baelada é conínuo e basicamene não exise esoque em processo. Iso facilia a modelagem maemáica e a resolução do problema. O misurador em geral é o gargalo da produção, ou seja, a capacidade produiva depende do empo de processameno da misura. 2.2 Planejameno da produção A demanda varia muio enre os períodos do ano (sazonalidade). Para ajusar a capacidade produiva às oscilações na demanda, a empresa adoa a esraégia de uilizar horas exras nos períodos de pico ao invés de carregar esoques de um período para ouro, pois os produos são perecíveis. Cabe salienar que esa decisão precede as decisões de dimensionameno e seqüenciameno de loes. O horizone de planejameno é mensal. Semanalmene as previsões (mensais) vão sendo desdobradas e reavaliadas, considerando-se novos pedidos ou possíveis cancelamenos, a capacidade disponível e a necessidade de uilização de horas exras. Com isso são deerminados os amanhos de loe a cada semana. Uma vez deerminados os amanhos de loes, o seqüenciameno dos mesmos é realizado no chão de fábrica. Como algumas formulações misuram diversos ipos de medicamenos e minerais, é necessário sequenciar os loes de forma a eviar que produos com agenes conaminanes deixem resíduos na linha de produção, compromeendo a qualidade do próximo loe. Para eviar iso há duas alernaivas: procurar uma seqüência em que nenhum produo conamine os demais ou, quando isso não é possível, fazer uma limpeza nos equipamenos, o que resula em um empo de preparação adicional, que é dependene da seqüência produiva. No dimensionameno de loes a capacidade produiva é considerada em ermos das horas disponíveis para produção no mês e de uma axa média de produção por hora. Não é considerado o fao de que os empos de preparação são dependenes da seqüência produiva. ENEGEP 2004 ABEPRO 2935

3 Ou seja, diferenes programas resulam em diferenes seqüências, sendo que algumas podem demandar maior consumo de capacidade devido à necessidade de mais preparações, podendo inviabilizar alguns programas de produção. Porano, a empresa freqüenemene em dificuldades em coordenar de forma eficaz o dimensionameno de loes com o seqüenciameno da produção, pois, uma vez definidos os amanhos de loe, pode não ser possível enconrar uma seqüência de produção que seja viável do pono de visa da capacidade disponível. 3. Modelagem O modelo maemáico que mais se aproxima de uma represenação do presene problema é o GLSP-ST (General Lo Sizing Problem Seup Times) proposo por Meyr (2000), que considera a perda de capacidade resulane dos empos de preparação dependenes da seqüência. Hax & Candea (1984) apresenam um modelo de dimensionameno de loes capaciado que represena bem as considerações de uilização de horas exras para aumenar a capacidade produiva, penalizando os cusos de produção. Desa forma, o modelo a seguir é resulado de uma combinação e adapação deses dois modelos, sob as seguines considerações: A unidade de produção é uma baelada, independene do seu amanho (em peso ou volume). As demandas por produo são agregadas e aproximadas pelos múliplos dos amanhos das baeladas; Os produos são agregados em famílias, onde cada família só em produos perencenes ao mesmo grupo de conaminação e com caracerísicas comuns, como empo de processameno e quanidade por baelada; Quando não exise risco de conaminação residual, o empo de preparação enre um loe e ouro é pequeno. Por simplicidade, empos de preparação pequenos são desprezados. Os índices do modelo são: i família, i = 1,..., N (número de famílias) período, = 1,..., T (número de períodos do horizone de planejameno) s subperíodo, s = 1,..., S (oal de subperíodos em odos os períodos T) Nese modelo o período corresponde a uma semana e é dividido um número máximo fixo de subperíodos S,. Ese número deermina a quanidade máxima de famílias diferenes (loes) que podem ser produzidas no período. Não exise sobreposição enre os subperíodos e seus amanhos são variáveis de decisão, podendo inclusive er comprimeno zero. O amanho de s depende do empo de preparação e da quanidade produzida em s. A seqüência de subperíodos consecuivos onde uma mesma família é produzida define um loe, e a quanidade produzida durane eses subperíodos, definem o amanho do loe. Observe que um loe pode coninuar ao longo de diversos subperíodos e períodos. Os parâmeros do modelo são: C empo disponível (capacidade) no período p i empo necessário para produzir uma unidade da família i lm i loe mínimo da família i (unidades) h i cuso de maner uma unidade de esoque da família i por um período. co cuso uniário de hora exra no período s ji empo de preparação para mudar da família j para a família i d i demanda da família i no período (unidades) I i0 esoque inicial da família i no começo do horizone de planejameno (unidades) indica se a linha esá preparada para produzir a família i no começo do horizone de x i0 ENEGEP 2004 ABEPRO 2936

4 planejameno (x j0 = 1) ou não (x j0 = 0) u limie máximo de horas exras permiido no período As variáveis de decisão do modelo são: I i q is esoque da família i no fim do período (unidades) amanho do loe da família i produzido no subperíodo s (unidades) x is indica se a linha esá preparada para a família i em s (x is = 1) ou não (x is = 0) y jis indica se ocorre roca das famílias j para i no subperíodo s (y jis =1) ou não (y jis =0) O quanidade de horas exras uilizada no período O seguine modelo para represenar o presene problema é proposo: minimizar h I N T + T i i i= 1 = 1 = 1 co O I = I, + q d, i (2) i i 1 is i s S N N N piqis + i= 1 s S i= 1 j= 1 s S p q N i i= 1 y q is s ji y jis C ( C + u ) xis i s S + O (1) (3),, (4) x is = 1 s (5) x + x 1 i, j s (6) jis j, s 1 is, is lmi ( xis xi, s 1 ) s, i (7) { 0,1} s i x is, (8) I i, qis, y jis 0, qis in eiro, i, j, s, para i j (9) 0 O u (10) A função objeivo (1) expressa o criério de desempenho procurado pela empresa, que é minimizar os cusos de esocagem e horas exras. Se exise capacidade disponível, é possível realizar preparações adicionais sem necessariamene incorrer em cusos adicionais relevanes. As resrições (2) são de balanceameno de esoque: a quanidade de esoque em mãos (I i ) de uma família i no fim da semana deve ser igual a quanidade de esoque em mãos (I i,-1 ) no início da semana, mais a somaória das quanidades da família i produzidos nos subperíodos s da semana, menos a quanidade demandada d i da família i na semana. As resrições (3) se referem à capacidade produiva, considerada em ermos de empo e correspondendo aos urnos rabalhados denro da semana, mais as possíveis horas exras necessárias para aender a demanda do período. Os empos de preparação referenes às rocas de famílias acarream em perda da capacidade. As resrições (4) garanem que a produção de uma família i só pode ocorrer no subperíodo s do período se a linha esiver preparada (limpa) para esa família nese subperíodo. As resrições (5) garanem que a linha só pode esar preparada para uma única família no subperíodo s. As resrições (6) relacionam os esados de preparação e os indicadores de mudança, ou seja, oda vez que há uma mudança na linha de produção de uma família i para uma família j, deve haver uma mudança no esado de preparação da linha. Noe que se x i,s-1 =1 e x js =1, enão (6) ENEGEP 2004 ABEPRO 2937

5 garane que y 1. jis As resrições (7) impõem a produção de um loe mínimo lm i da família i no subperíodo s se a linha não esava preparada em s-1 (x i,s-1 =0) e esava preparada em s (x i,s =1). Esas resrições são necessárias uma vez que a mariz de empos de preparação não saisfaz a desigualdade riangular, ou seja, s + s s, i, j, k = 1, K N, nem sempre é válido. jk ki ji, As resrições (8) e (9) são de não negaividade e inegralidade das variáveis. O esoque em mãos I i da família i no período deve ser não negaivo, pois não são permiidos pedidos pendenes. A quanidade produzida q is da família i no subperíodo s, além de ser não negaiva, deve ser uma variável ineira medida em número de baeladas. Convém observar que, diferene do modelo de Meyer (2000), a variável y jis não é penalizada na função objeivo (1) do modelo acima. Quando não há capacidade disponível, é necessário uilizar horas exras que são penalizadas na função objeivo. Para esa condição os empos de preparação devem ser oimizados de forma a minimizar o impaco das horas exras no cuso oal. Admie-se que iso faz com que as variáveis y jis resulem binárias, sem necessidade de impor esa condição nas resrições (9). Esa suposição é verificada nos experimenos compuacionais da próxima seção. Iso ambém pode ser explicado pelo seguine argumeno: dada uma solução óima com valores y jis fracionais, sempre é possível enconrar uma solução alernaiva, ou seja, com o mesmo valor da função objeivo, fixando as variáveis y jis em 0, quando 0< y jis <1, e em 1, quando y jis >1. Finalmene, as resrições (10) referem-se aos limies de horas exras. Admie-se o limie u como o máximo de horas exras permiidas pelas leis rabalhisas. 4. Resulados Nesa seção são apresenados os resulados obidos com o modelo (1)-(10). Para resolvê-lo, foi uilizada a linguagem de modelagem algébrica GAMS 2 com o solver CPLEX 7. Para realização dos experimenos compuacionais foi uilizado um micro-compuador com processador AMD Alhon 1333mhz com 512mb de memória RAM e sisema operacional Windows XP. A seguir são apresenados os resulados da aplicação do modelo com dados reais da empresa, referenes a um mês de produção. São considerados 4 períodos (semanas) para o horizone de planejameno, com um oal de 21 famílias (i,j=21) podendo ser demandadas semanalmene (S =21). A formulação resula em cerca de variáveis (das quais 1764 são ineiras e 1764 são binárias) e resrições. Nos diversos eses compuacionais realizados observou-se que, após cero empo, as soluções enconradas não apresenam melhoria significaiva. Por isso um limie para empo de processameno do modelo GAMS/CPLEX foi arbirariamene fixado em 12 horas. Os parâmeros para o modelo, bem como o resulado compleo da pesquisa, são enconrados em Toso (2003). Aplicando o modelo GAMS/CPLEX com os parâmeros da empresa, sem qualquer olerância no gap de oimalidade, obivemos um plano de produção com cuso de 8230 unidades moneárias após 12 horas de processameno. Comparada ao limiane inferior (calculado pelo modelo), esa solução enconra-se a, no máximo, 63,96% do valor óimo, iso é, o gap com o limiane superior é grande. Conforme pode ser observado em Toso (2003), para melhorar esa solução inicial obida foram realizados experimenos com várias esraégias: Alerar a condição da variável y jis no modelo GAMS: canalizar, declarar como binária, incluir na função objeivo; ENEGEP 2004 ABEPRO 2938

6 Incorporar desigualdades válidas ao modelo, na enaiva de reduzir o espaço de soluções (sem perda de oimalidade) e eviar algumas redundâncias; Sequenciar apenas o 1º período, relaxando a preparação dependene nos demais; Relaxar a condição de inegralidade da variável q is. O experimeno que apresenou o melhor resulado, após 12 horas de processameno foi o que usou a esraégia de declarar a variável y jis, como binária, e relaxar a condição de inegralidade da quanidade produzida (q is ). A figura 1, abaixo apresena o plano de produção gerado pelo modelo GAMS para ese experimeno s i qis s i qis s i qis s i qis 1 fam fam21 52,33 43 fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam3 1 5 fam fam fam fam fam fam fam fam10 79 seup 7 fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam21 11, fam fam fam fam seup 60 fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam fam19 4 Figura 1. Resulado gerado pelo modelo GAMS. No primeiro período (1) a demanda é compleamene aendida, e ainda é produzido para esoque 5 unidades da família 20. Para produzir a seqüência gerada pelo modelo é necessário fazer apenas uma preparação nese período. A capacidade de empo oal previsa para ese período é de 62,17 horas (60,5 horas para produção mais 1,67 horas para a preparação). No segundo período (2) a demanda é aendida oalmene pelas quanidades produzidas, e ainda prevê a produção para esoque de 1 unidade da família 19 e 15,333 unidades da família 21. A seqüência dese período ambém necessia de apenas uma preparação, porano o empo oal previso é de 63,27 horas. No erceiro período (3) o plano de produção gerado aende compleamene a demanda do ENEGEP 2004 ABEPRO 2939

7 período, exceo pela família 19 que uiliza 1 baelada do esoque, e pela família 20 que uiliza 4 baeladas produzidas aneriormene. Ainda é programada a produção de 19 baeladas de esoque para a família 21. Para produzir a seqüência planejada para ese período não é preciso realizar nenhuma preparação, a capacidade de empo necessária para produção é de 64 horas. Finalmene, no quaro período, onde a demanda previsa é superior à capacidade produiva do período, a demanda é aendida pelas quanidades produzidas mais 1 baelada esocada da família 20 e 34,333 baeladas em esoque da família 21. Da mesma maneira que no período anerior a produção é seqüenciada de forma que não é necessário realizar nenhuma preparação. O empo oal para produção ambém é de 64 horas. Ese plano de produção não prevê a uilização de horas exras em nenhum período. Iso implica que o cuso resulane dese plano de produção (3481 u.m.) corresponde apenas aos cusos de maner esoques. Esa solução viola um imporane aspeco do problema real que consise na condição de inegralidade da quanidade produzida (q is ), enreano, podemos aproximá-la de uma solução ineira facível e avaliar seu impaco nos cusos. Observe na figura 1 que nesa solução a inegralidade da variável foi violada apenas para a família 21 nos períodos 2 e 4, com quanidades previsas de 53,333 e 12,667, respecivamene. Na práica podemos produzir 54 baeladas em 2 e 12 em 4, acarreando em um cuso exra de mais 0,667 baeladas esocadas por dois períodos, o que acarrearia em um acréscimo de 595 u.m. no cuso do plano inicial. Oura solução seria produzir 53 baeladas em 2 e 13 baeladas em 4. Iso acarrearia em uma redução no cuso de esocagem de 0,333 baeladas esocadas por dois períodos, enreano, como a capacidade do quaro período é resriiva, seria necessária a uilização de horas exras, resulando em um acréscimo de 562 u.m. O programa de produção da empresa consise em produzir a cada semana, apenas a demanda previsa para a mesma (chase sraegy) (Nahmias, 1995), incorrendo na uilização de horas exras. A empresa aposa nesa esraégia, pois considera que as incerezas em relação à demanda são basane grandes. Quano ao seqüenciameno, conforme descrio na seção 2, ele não é planejado no programa inicial, ficando a cargo do chão de fábrica. Aravés das ordens de fabricação reporadas da empresa, sabemos que a produção dese mês foi seqüenciada de maneira que foram necessárias quaro preparações no período 1, rês em 2, quaro em 3 e duas em 4. Considerando o empo necessário para produzir a demanda em cada semana, mais o empo gaso nas preparações, sabemos que o empo oal (em horas) necessário por semana é de: ,18 61,41 67,98 78,24 Analisando o programa de produção uilizado pela empresa com os mesmos parâmeros de cuso do modelo GAMS/CPLEX, emos que, o programa da empresa resula num cuso exra de produção de unidades moneárias, referenes à uilização de horas exras. Para mais dealhes desa análise, o leior pode consular Toso (2003). Noe que o programa de produção gerado pelo modelo GAMS/CPLEX, comparado ao programa de produção inicial da empresa, consegue uma redução subsancial no cuso oal de 77,5%. O cuso oal (cuso de horas exras e cuso de esocagem) da solução do modelo é significaivamene menor porque, além de anecipar a produção nos períodos onde exise capacidade ociosa, o modelo enconra seqüências de produção melhores, ou seja, com menos preparações. Cabe salienar que o programa de produção da empresa é caueloso em relação ENEGEP 2004 ABEPRO 2940

8 ao pico de demanda previso para o final do mês, ou seja, a programação da empresa aposa que ele não vai ocorrer. Se iso aconecer de fao, a esraégia de produção da empresa pode ser melhor. Enreano, esa cauela da empresa em relação às incerezas da demanda pode ser conemplada no modelo por meio de análise de sensibilidade, alerando-se os parâmeros de demanda por valores menos oimisas e execuando o programa para diversos cenários. 5. Conclusões e perspecivas para pesquisa fuura No problema de dimensionameno e seqüenciameno de loes na indúsria de rações para nurição animal, o objeivo é enconrar um plano de produção que aenda a demanda sem arasos, oimizando a uilização dos recursos disponíveis. Na práica ese problema é resolvido em duas eapas, o que gera dificuldades para ornar a produção flexível às mudanças do mercado e para ober soluções (para os amanhos e seqüência de loes) viáveis do pono de visa da capacidade disponível e do aendimeno dos prazos de enrega. Desa forma, um dos desafios do PCP é coordenar de forma eficaz esas decisões. A abordagem proposa nese rabalho raa o problema de forma inegrada, propondo um modelo de programação linear ineira para represenar as decisões envolvidas e resolvendo-o pelo sofware GAMS/CPLEX. Experimenos realizados com dados reais mosram que esa abordagem é capaz de gerar resulados melhores do que os uilizados pela empresa. Desa forma, o modelo parece ser apropriado para apoiar as decisões de dimensionameno e seqüenciameno de loes na indúsria rações para nurição animal. Um inconveniene desa abordagem é o esforço compuacional requerido pelo solver CPLEX para resolver o modelo, requerendo ordem de horas de um microcompuador. Uma perspeciva imporane para pesquisa fuura é esudar e desenvolver méodos de solução (exaos e aproximados) alernaivos para raar o modelo, que garanam enconrar boas soluções em pouco empo compuacional (por exemplo, ordem de minuos). Tais méodos podem combinar écnicas de decomposição do modelo, relaxação de resrições e variáveis, procedimenos de fixação de variáveis, além de heurísicas consruivas, buscas locais e meaheurísicas. Devido às incerezas em relação à demanda, uma aplicação mais efeiva desa abordagem pode ser alcançada com a uilização do conceio de horizone rolane. Referências DREXL, A., KIMMS, A. (1997). Lo sizing and Scheduling Survey and exensions. European Journal of Operaional Research, pg GERSHWIN, S. (1994). Manufacuring sysems engineering. Prenice Hall, New Jersey. HAX, A., CANDEA, D. (1984) Producion and invenory managemen. Prenice-Hall, Englewood Cliffs, N. J. JONHSON, L.A., MONTGOMERY, D.C. (1974). Operaions research in produion planning, scheduling and invenory conrol. Wiley, New York. MEYR, H. Simulaneous losizing and scheduling by combining local search whi dual reopimizaion. European Journal of Operaional Research 139, , NAHMIAS, S. (1995). Producion an Operaions Analisys. Irwin, Hoewood, IL. TOSO, E.A., Oimização do problema inegrado de dimensionameno e seqüenciameno de loes: esudo de caso na indúsria de rações. Disseração de Mesrado, Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção. DEP-UFSCar. São Carlos, WINSTON, W. (1991). Operaions Research: Applicaions and algorihms. PWS-Ken, Boson. ENEGEP 2004 ABEPRO 2941