Dimensionamento de Lotes e Programação do Forno numa Fundição de Pequeno Porte

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1 Gesão & Produção., v.11, p , 2004 Dimensionameno de Loes e Programação do Forno numa Fundição de Pequeno Pore Silvio Alexandre de Araujo (silvio@din.uem.br) Deparameno de Informáica Universidade Esadual de Maringá Maringá PR Marcos Nereu Arenales * (arenales@icmc.usp.br) Deparameno de Ciências de Compuação e Esaísica Insiuo de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo-Campus de São Carlos São Carlos SP, Caixa. Posal 668 Alisair Richard Clar (alisair.clar@uwe.ac.u) Faculy of Compuing, Engineering and Mahemaical Sciences Universiy of he Wes of England Brisol, BS16 1QY, England Resumo Ese rabalho raa de um problema práico de dimensionameno e sequenciameno de loes em uma fundição. Exisem dois níveis de decisão iner-relacionados: programação do forno, onde um ipo liga é escolhido para ser produzido em cada período, e planejameno das máquinas de moldagem, que específica quais e que quanidade de cada iem deve ser produzida em cada período, iso é, dimensionameno dos loes. Um modelo de programação ineira misa é proposo e um méodo de solução baseado em busca local é desenvolvido. O planejameno da produção é feio usando a écnica de horizone rolane, onde somene a programação para os períodos imediaos é implemenada. Os resulados dos eses compuacionais são analisados e comparados com os resulados obidos uilizando um pacoe comercial. Palavras-Chave: Programação Ineira Misa, Planejameno e Programação da Produção, Fundições. * auor correspondene

2 1 Inrodução Aualmene, no Brasil as fundições esão presenes em odas as regiões produzindo desde peças simples de uso domésico, aé as mais sofisicadas, como auopeças de veículos e peças e/ou pares de máquinas e equipamenos de uso indusrial. Segundo o relaório da ABIFA-Associação Brasileira de Fundição (2002) o seor produziu em novembro de 2002 uma média de oneladas/dia e gera cerca de empregos direos. A grande maioria da produção brasileira de fundidos é fabricada por fundições caivas, que são deparamenos de grandes empresas (ais como, monadoras de auomóveis) cuja produção é desinada, basicamene, para consumo próprio. Esas fundições caivas esão orienadas para a produção em série, auomaizada e fabricam grandes quanidades de cada iem. Com isso, a demanda de empresas menores que precisam do produo fundido em quanidades pequenas, como as empresas que fabricam implemenos agrícolas e peças para manuenção de máquinas, é aendida por fundições de pequeno e médio pore chamadas fundições de mercado, que se dedicam exclusivamene às vendas para erceiros. Nos úlimos anos, as fundições de mercado vêm regisrando um grande crescimeno e a práica gerencial baseada apenas no bom senso e na experiência do adminisrador de processos não em sido suficiene. Fernandes e Leie (2002) fizeram uma pesquisa em 30 fundições de mercado perencenes aos cinco principais pólos do inerior do esado de São Paulo e concluíram que 80% das fundições êm ineresse em invesir em sisemas auomaizados para gesão da produção. Várias delas já possuem alguns sisemas informaizados, por exemplo, para emissão de ordens de compra e produção e para codificação de maeriais, porém, apenas uma possui sisema informaizado para a programação da produção. Ese rabalho enfoca problemas de planejameno e programação da produção que surgem numa fundição de mercado do inerior do esado de São Paulo. Embora o rabalho seja desenvolvido para um caso paricular, pode ser esendido para vários ouras pequenas e médias fundições que necessiam de uma melhoria na esruura organizacional, mas dispõem de recursos escassos para invesir em pesquisas, além de não erem esa culura. Revisões bibliográficas de rabalhos que raam de problemas de planejameno e programação da produção podem ser enconradas em Billingon e al. (1983), Bahl e al. (1987), Maes e van Wassenhove (1988), Goyal e Gunasearan (1990), Pos e van Wassenhove (1992), Kui e al. (1994), Drexl e Kimmis (1997) e Pos e Kovalyov (2000). Enreano, exisem poucos rabalhos que raam de problemas de planejameno e programação da produção volados para o seor de fundições. Denre os rabalhos enconrados

3 esão alguns do nosso grupo de pesquisa: Gonçalvez-Vianna e Arenales. (1995), Silva (2001), Sanos-Meza e al. (2002), Araujo e Arenales (2003) e Araujo e al. (2003). Foram enconrados na lieraura alguns rabalhos realizados para grandes fundições que raam, especificamene, do problema de sequenciameno das arefas nas máquinas. Sounderpandian e Balashanmugam (1991), Gravel e al. (2000). No enano, a grande maioria dos rabalhos enconrados na lieraura raa do problema de programação da produção em grandes siderúrgicas. Tang e al. (2001) fazem uma revisão bibliográfica de rabalhos de planejameno e programação da produção aplicados à indúsria de fabricação de aço. Vários rabalhos raam de problemas práicos enconrados em grandes siderúrgicas: Peersen e al. (1992), Hamada e al. (1995), Bowers e al. (1995), Hendry e al. (1996), Lee e al. (1996), Lopes e al. (1998), Tang e al. (2000a), Tang e al. (2000b). 2 O Processo Produivo Um fluxograma do processo produivo foi criado e é apresenado na Figura 1: Maérias-Primas: Sucaas e Minérios Início: Careira de Pedidos (2) (1) Programação da Produção (4) (7) Formação das Ligas (9) (8) Preparação dos Modelos (3) Seor de Moldagem Forno Maéria-Prima: Areia (5) (6) Moldes (10) (11) Fim: Produo Final Figura 1: Processo produivo da fundição. A lisa de iens demandados é organizada numa careira de pedidos com odas as especificações, incluindo prazo de enrega. As informações dos pedidos dos clienes são passadas para o seor onde é feia a programação da produção (1). A programação é feia diariamene de acordo com a capacidade da empresa. O gerene de processos oma as decisões baseadas no seu bom senso, dando preferência a iens que esejam com o prazo de enrega basane arasado e iens pedidos por clienes especiais (grandes clienes ou clienes que

4 esão pressionando). Além disso, alguns iens são fabricados de forma a enar aproveiar a capacidade oal do forno, ou seja, é feio um encaixe de iens que uilizam a mesma liga. A careira de pedidos é passada ambém para o seor de preparação dos modelos (2). Em geral, os modelos são fornecidos pelo cliene e são uilizados para fazer os moldes dos iens. As decisões omadas pela programação da produção são passadas para o seor de moldagem (4), que uiliza a areia como maéria prima (5) para a fabricação dos moldes (6). O seor de programação da produção ambém em a função de definir quais as ligas e em que quanidades serão produzidas. As decisões são omadas de acordo com os iens que deverão ser produzidos. Esas decisões são passadas para a formação das ligas (7), onde é feia a misura de maérias-primas (sucaas e minérios de ferro) (8) que deverá formar deerminada liga. Esa misura é enão colocada no forno para a fusão (9). Aualmene, a indúsria uiliza apenas dois fornos, com capacidade de 120 g e 360 g e empo de fusão de 45 min e 1h e 55 min, respecivamene. Devido à limiação da energia conraada, não é possível a uilização dos dois simulaneamene. Além disso, não é aconselhável que seja feia a roca de forno durane um mesmo dia de rabalho devido ao alo empo de preparação. No enano, essas rocas vêm ocorrendo na práica. Um forno pode ser ligado com uma carga abaixo de sua capacidade oal (deve-se er pelo menos 1/3 da capacidade oal). Apesar da subuilização do forno não ser ideal do pono de visa de programação, é preferível subuilizar o forno de 360 g (se já esiver ligado) com apenas 120 g, do que desligar o forno de 360 g e ligar o de 120 g. Em muios casos a subuilização do forno ocorre devido a falhas na programação, sendo necessário fazer um loe de iens que não uilize oda a capacidade do forno. Ouro fao que ocorre, devido ao mau planejameno, é a sobra de liga no forno, sendo necessário despejar o líquido no chão para formar lingoes que reornarão para o esoque de maéria-prima. Com o aual nível de produção é comum ocorrer filas de moldes esperando pela liga que deve ser fundida.. Após a fusão, a liga é vazada nos moldes (10) previamene preparados. O empo de solidificação para a maioria das ligas é de apenas 10 minuos. Após o vazameno é feio um choque érmico colocando a peça na água, os canais de vazameno e massaloes são reirados, os quais volam a ser maéria-prima (sucaa),. Finalmene, a peça é levada para um pequeno esoque de produos finais (11).

5 3 Modelagem Maemáica Como ocorre na maioria dos modelos maemáicos que represenam problemas práicos, algumas simplificações foram consideradas no modelo apresenado nesa seção. Tais simplificações viabilizam a resolução do modelo e não compromeem muio a represenação práica do problema. Na modelagem maemáica é considerado apenas o forno maior (360 g). Cabe lembrar que não é possível a uilização dos dois fornos ao mesmo empo. No enano, em alguns casos pariculares, pode aconecer que a soma dos pesos das demandas de odos os iens que devem ser produzidos numa deerminada liga, seja menor que 120 g, ou seja, abaixo de 1/3 da capacidade do forno de 360 g, e, porano, não é possível uilizá-lo. Nese caso, ais demandas devem ser reiradas da careira de pedidos e acumuladas numa careira separada aé complear uma quanidade de cargas suficienes para que sejam feias num mesmo dia de rabalho, uilizando nese dia, somene o forno menor (120 g). No caso do vencimeno do prazo de enrega dos iens que esão na careira separada ocorrer anes que se enha uma quanidade suficiene para um dia de rabalho, exise a possibilidade de rabalhar num sábado pela manhã, em hora exra, com o forno menor. A decisão de considerar esa simplificação foi omada com o proprieário da indúsria. Anes de apresenar o modelo maemáico, serão feias algumas observações com respeio às caracerísicas do problema práico em quesão. A careira de pedidos usada nos eses compuacionais em 26 diferenes ligas, as quais são uilizadas para produzir 403 diferenes iens demandados. Cada iem deve ser feio por uma única liga, os iens são demandados em diferenes quanidades (1 a 400 unidades) e êm diferenes pesos (0.1 Kg a 300 Kg). A capacidade do forno é 360 Kg por carga e cada carga demora em orno de 2 horas, sendo possível fazer no máximo 10 cargas do forno por dia. Um horizone de planejameno de 5 dias é suficiene segundo o proprieário da empresa, oalizando 50 períodos se cada carga do forno for planejada separadamene. Por fim, a minimização do araso no aendimeno à demanda aparece como o principal objeivo da empresa. No modelo de programação ineira misa proposo a seguir, o forno é considerado o gargalo do processo produivo e os seguines dados são uilizados: Índices: =1,..., K i=1,..., N =1,..., T ipos de ligas; ipos de iens; períodos de empo.

6 Dados do problema: Cap L capacidade do forno por período; número máximo de cargas do forno por dia; ρ i peso bruo do iem i; α i β i dias de araso do iem i quando =0, iso é, no início da programação (para pedidos que não esão em araso, α i recebe valores não posiivos, dependendo da quanidade de dias enre o início da programação e o dia de enrega do pedido e α i =0 significa que o prazo de enrega do iem vence no dia em que esá sendo feia a programação); nível de prioridade do iem i (por meio dese faor é possível forçar que deerminado iem seja produzido); d i demanda da peça i no período (se =L, 2L, 3L,... enão d i 0 senão d i =0); S() conjuno de iens i que usam a liga (cada iem uiliza um, e somene um, ipo de liga, ou seja: {1,..., N} S(1)... S(), S(h) S(j)=Ø, h j); H i penalidade pelo araso na enrega de uma unidade do iem i no período (se =L,2L, 3L,... enão H = ρ α β senão H =0); i i i i i + H i penalidade por anecipação de uma unidade do iem i no período (se =L,2L,3L,... enão H + = ρ senão H + =0); i i s penalidade por preparação da liga. i Variáveis do problema: X i quanidade produzida do iem i no período ; + I i quanidade esocada do iem i no período ; I i quanidade arasada do iem i no período ; Y variável binária ( Y período, caso conrário, =1 indica que o forno é preparado para produzir a liga no Y =0); Z variável que indica se é cobrado o cuso de preparação para a liga no período : Z =0 se Y 1 Y e Z =1 se Y < Y 1 essência, pode ser modelada como conínua.. Embora esa variável seja binária em

7 Modelo: N T + + Minimizar ( H I + H I + ( s Z (1) Sujeio a: + i,1 i,1 i= 1 = 1 + i i i i i ) K T = 1= 1 ) I - I +X i - I + I =d i i=1,..., N =1,..., T (2) i S( ) i ρ i X i CapY =1,..., K =1,..., T (3) Z 1 Y Y =1,..., K =1,..., T (4) K 1 = 1 Y =1,..., T (5) 0 Y {0,1} ( Y =0) =1,..., K =1,..., T (6) Z 0 =1,..., K =1,..., T (7) X i 0 ineira i=1,..., N =1,..., T (8) + I i e Ii 0 i=1,..., N =1,..., T (9) Anes de explicar a formulação (1)-(9) as seguines observações devem ser feias: i- a demanda (d i ) assim como as penalidades por araso e anecipação ( H e i + H i ) são posiivas somene no úlimo período de cada dia. Com isso, esses valores são diários na práica, o que faz mais senido do que considerar que eses valores sejam posiivos a cada carga do forno, que represena algumas horas. ii- se um mesmo iem i é demandado em diferenes períodos, serão considerados como diferenes iens, um para cada período. Esa consideração eve que ser feia para reraar o principal objeivo da fundição, que consise na minimização do número máximo de dias de araso para deerminado pedido. Para reraar esse objeivo foram associadas penalidades a cada iem ( H i ) que crescem de acordo com o número de dias em araso (α i ). Assim, se, no início da programação, deerminado iem em uma demanda em araso e em ambém uma demanda para algum dia poserior ao dia do planejameno, serão considerados diferenes valores α i e, conseqüenemene, penalidades diferenes serão associadas a ese iem, levando-nos à consideração de dois iens diferenes. Embora ese seja um faor que pode aumenar basane o amanho do problema, isso não ocorre no caso práico em quesão devido às caracerísicas da

8 careira de pedidos onde raramene se em um pedido para o mesmo iem em dois dias diferenes. iii- o fao de considerar iens diferenes quando em apenas um, com prazos de enrega disinos, não causa falsas preparações, pois as preparações são das ligas, as quais produzem deerminados conjunos de peças e, os iens diferenes (que na verdade represenam apenas um) seguramene são fabricados com a mesma liga. Os modelos clássicos que associam preparações aos iens criariam falsas preparações ao disinguir iens com prazos disinos. Na formulação (1)-(9), a função objeivo (1) procura reraar a maior preocupação da empresa que consise em minimizar os arasos na enrega dos pedidos. Para ano, uma penalidade é associada às variáveis I i que represenam esoques negaivos, ou seja, araso no aendimeno da demanda. Além disso, a função objeivo minimiza ambém as penalidades por anecipação associadas às variáveis de esoque muio maiores que as penalidades por anecipação. + I i. No enano, as penalidades por arasos são Obviamene, o desejo de não er arasos poderia ser modelado com resrições, o que, no enano, poderia inroduzir infacibilidades desnecessárias, uma vez que é admissível o araso no aendimeno da demanda, ou seja, esoques negaivos. A variável uma variável arificial usada para ober uma solução facível. Se I i funciona como I it >0 para algum i, significa que não foi possível aender a demanda no horizone de planejameno esabelecido com a capacidade disponível nesse horizone, pois exise araso no úlimo período para algum iem. No enano, se I i >0, para algum i com T e I it =0 i, enão exise capacidade suficiene para produzir a demanda denro do horizone de planejameno esabelecido. Vale observar que, os esoques negaivos correspondem a arasos e o gerene de programação, pode, calibrando os parâmeros da função objeivo (1), proibir ou não arasos de ceros iens. Além disso, os esoques negaivos fornecem uma ferramena para a avaliação dos prazos de enrega. Por exemplo, se d i1 =30 e I i1 =10, I i2 =5, I i3 =0, significa que a demanda para o iem i será oalmene aendida com 3 dias de araso. Desa forma, é possível alerar o cliene e, se necessário, re-calibrar os parâmeros relaivos a esa peça. Ainda na função objeivo (1), exise uma erceira parcela que, assim como as penalidades por anecipações ( H araso ( H i + i ), em um peso pequeno em relação às penalidades por ). Esa parcela consise nas penalidades por preparação que é um valor cobrado de

9 forma a eviar as rocas de ligas enre períodos. Eses cusos de preparação foram acrescenados ao modelo para represenar o desejo da empresa em enar minimizar ais rocas de ligas. Além disso, em visias a ouras fundições foi possível observar que ais cusos podem ser basane expressivos. Porano, o modelo com penalidades por preparação é mais geral e facilia a exensão para ouros casos práicos. No enano, para o esudo em quesão, as decisões com respeio a que iens produzir em cada período são omadas, principalmene, de acordo com as penalidades por arasos. As resrições (2) são de balanceameno de esoque e consideram ano esoques posiivos como negaivos. As resrições (3) são devido à limiação de capacidade do forno, onde o peso oal da liga produzida no período é limiado pela capacidade do forno. As resrições (3) asseguram ambém que iens que uilizam deerminada liga só poderão ser produzidos em deerminado período se a liga for fundida nese período ( Y =1 significa que a liga é produzida no período ). Mudanças de ligas são represenadas pelas resrições (4). As resrições (5) garanem que apenas uma liga pode ser produzida em cada carga do forno. Para represenar um período ocioso (onde nenhuma peça deve ser produzida) a mesma liga que esava sendo feia no período anerior é manida, com isso, não é cobrado nenhum cuso de preparação. Devido às caracerísicas da indúsria, onde exisem alguns pedidos para a fabricação de apenas 1 ou 2 iens pesados, as variáveis de produção X i não podem ser relaxadas como na maioria dos modelos de dimensionameno de loes. Seria possível relaxar ais variáveis para alguns iens leves que êm quanidades demandadas relaivamene grandes. No enano, como os iens êm de ser fabricados a parir de fornadas individuais (não é possível deixar um molde com apenas 60% de liga e na próxima fornada complear o molde), ais iens são basane represenaivos em cada fornada. Dessa forma, as variáveis de produção foram manidas ineiras represenando uma classe de problemas de dimensionameno de loes onde ais não podem ser relaxadas. As variáveis variáveis Y são binárias, sendo que, Y 0 =0 =1,,K. Embora as Z sejam conínuas, a função objeivo em conjuno com as resrições (4) fazem com que assumam, na oimalidade, apenas valores 0 ou 1. O modelo (1)-(9) em algumas semelhanças com os modelos de dimensionameno e sequenciameno de loes apresenados em Drexl e Kimms (1997). Observe que, as decisões de sequenciameno já esão embuidas quando se deermina a seqüência de cargas do forno pelas variáveis Y. Enreano, de forma diferene dos modelos de Drexl e Kimms (1997) onde a

10 preparação para o iem i num deerminado período permie a produção dese único iem no período, aqui a preparação da liga permie a produção de um conjuno de iens que uilizam a liga. Assim, a idéia de small buce esá presene no modelo (1)-(9) de oura maneira, ou seja, permie a produção de um único conjuno de iens por período, e não de apenas um único iem. Porano, o modelo (1)-(9) pode ser considerado um modelo de dimensionameno (variáveis X i ) e sequenciameno (variáveis Y ) de loes. 4 Méodo de Solução O modelo maemáico (1)-(9), o qual consise num modelo de programação ineira misa que, com os dados reais (N=403, K=26 e um horizone de planejameno de 5 dias), em: variáveis binárias Y, variáveis ineiras X i, variáveis conínuas Z e variáveis conínuas + I i e I i. Ao enar resolver ese problema num Penium III 500 MHz com 512 MB de memória RAM uilizando a linguagem de modelagem AMPL (Fourer e al., 1993) com o solver Cplex 7.1, não foi possível enconrar uma solução de boa qualidade (ver Tabela 1). Tabela 1:Resulado do Cplex aplicado ao modelo (1)-(9). Tempo de Busca Melhor Solução Aual (MS) Melhor Limiane Inferior (MLI) GAP (%) (MS-MLI)/MS B&B Nós Pesquisados 30 minuos Não Facível minuos , horas , horas , horas , Por ouro lado, como as penalidades por araso são subjeivamene esimadas e a careira de pedidos é aualizada freqüenemene denro do horizone de planejameno, na práica, a solução óima dese modelo requer ajuses periódicos. Conseqüenemene, é possível resolver o problema de forma saisfaória, usando modelos menores que incluem variáveis ineiras somene para os períodos imediaos (para o problema práico em quesão, serão considerados períodos imediaos apenas os períodos relaivos ao primeiro dia de rabalho, ou seja, L=10 cargas do forno). Poseriormene, o horizone é rolado progressivamene para uma nova aplicação do modelo (Clar e Clar, 2000). Porano, na próxima seção um modelo de horizone rolane é proposo, onde somene as decisões relaivas aos períodos imediaos são implemenadas, poseriormene o horizone é

11 rolado e o modelo é aplicado novamene com as informações aualizadas de demanda, esoque e capacidade. 4.1 Modelo de Horizone Rolane Para a apresenação do modelo de horizone rolane são necessárias as seguines modificações no modelo (1)-(9): - Novo dado: l número máximo de cargas do forno no período, =1,..., L,..., T; - Redefinição de Y como: Y número de cargas do forno com a liga no período ; K - Subsiuição das resrições (5) por: Y l =1,..., T. (5 ) = 1 Desa forma, um período de empo pode er diferenes amanhos, dependendo do valor de l, ou seja, pode corresponder a uma única carga do forno (l =1) ou a um conjuno de cargas (l >1), por exemplo, um dia em l =10. O modelo de horizone rolane pode ser aplicado ao problema práico em quesão fazendo-se (l = 1, =1,...,10) e programando assim, o primeiro dia de planejameno de forma dealhada, considerando períodos curos onde cada carga é programada separadamene. Para os ouros 4 dias de planejameno, basa considerar períodos grandes que agregam várias cargas do forno (l 11 =10, l 12 =10, l 13 =10 e l 14 =10). O planejameno para eses 4 dias fuuros é feio apenas para a avaliação da capacidade. Porano, é possível fazer um planejameno para 5 dias de rabalho, uilizando apenas 14 períodos, como é ilusrado na Figura l =1 = l 11 =10 l 12 =10 l 13 =10 l 14 =10 Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Figura 2: Descrição da aplicação do Méodo de Horizone Rolane. As decisões relaivas aos dez primeiros períodos de empo (primeiro dia) são realmene implemenadas, enquano que as decisões para os ouros 4 dias são uilizadas apenas para que se enha uma avaliação da capacidade disponível, dando ambém uma idéia do que deverá ser produzido e de possíveis arasos. Poseriormene, o horizone de planejameno é avançado em L=10 períodos e o modelo é aplicado novamene com a careira aualizada.

12 Cabe observar que, as variáveis Y são binárias para =1,...,10, iso é, para o primeiro dia de programação, pois cada carga é programada separadamene. Além disso, as variáveis Z fazem senido apenas para o primeiro dia de programação, sendo subsiuídas as resrições (4) por (4 ). Z 1 Y Y =1,..., K =1,..., L (4 ) Para reduzir o amanho do problema e o empo compuacional, as condições de inegralidade das variáveis X i são relaxadas para os períodos =L+1,...,T. O mesmo poderia ser feio para as variáveis Y, mas para se er uma boa avaliação da capacidade, ais variáveis foram manidas ineiras para os períodos =L+1,...,T. Porano, as resrições (6)-(8) devem ser subsiuídas por (6 )-(8 ) dadas no modelo a seguir. Subsiuindo no modelo (1)-(9) odas as resrições proposas aneriormene nessa seção, surge um novo modelo o qual chamaremos de modelo de Horizone Rolane (HR): Modelo HR: N T + + Minimizar ( H I + H I + ( s Z (1) Sujeio a: + i,1 i,1 i= 1 = 1 + i i i i i ) K L = 1= 1 ) I - I +X i - I + I =d i i=1,..., N =1,..., T (2) i S( ) i ρ i X i CapY =1,..., K =1,..., T (3) Z 1 Y Y =1,..., K =1,..., L (4 ) K Y l =1,..., T (5 ) = 1 Y {0,1} =1,..., K =1,..., L (6 ) Y 0 ineira =1,..., K =L+1,..., T (6 ) Z 0 =1,..., K =1,..., L (7 ) X i 0 ineira i=1,..., N =1,..., L (8 ) X i 0 i=1,..., N =L+1,..., T (8 ) + I i e I i 0 i=1,..., N =1,..., T (9)

13 A demanda é disribuída para os períodos de planejameno, de acordo com as daas de enrega, da seguine forma: as demandas das peças com vencimeno no dia da programação foram colocadas para a úlima carga do primeiro dia de programação que equivale ao período =L=10; as demandas com daas de enrega marcadas para os 4 dias poseriores, foram colocadas nos períodos poseriores de acordo com o horizone de planejameno, ou seja, demandas para o dia poserior (segundo dia), recai no período =L+1=11, para o erceiro dia no período =L+2=12, e assim por diane. O modelo HR maném semelhanças com os modelos de dimensionameno e sequenciameno de loes descrios em Drexl e Kimms (1997). As idéias presenes no modelo General Lo-Sizing and Scheduling Problem (Fleischmann e Meyr, 1997 e Drexl e Kimms, 1997) aparecem no modelo HR de maneira um pouco diferene. Observe que pode se considerar 5 períodos grandes (5 dias), onde o primeiro período esá subdividido em 10 subperíodos, enquano que os ouros 4 períodos, não esão subdivididos. Esa idéia esá sendo desenvolvida em ouro rabalho. O modelo HR aplicado a um horizone de planejameno de 5 dias com os dados reais (N=403, K=26 e T=14) em 260 variáveis binárias Y (=1,,L), 104 variáveis ineiras (=L+1,,T), variáveis ineiras X i (=1, L), variáveis conínuas X i (=L+1,,T), 260 variáveis conínuas Z (=1,,L) e variáveis conínuas + I i e Cabe observar que, a solução do modelo HR não produz uma solução para o modelo (1)-(9), pois apenas dez cargas do forno (1 dia) são programadas separadamene e os ouros dias são programados de forma aproximada. Enreano, ao aplicar o modelo HR por cinco vezes, aualizando os dados a cada aplicação, chega-se a uma solução facível para o modelo (1)-(9), ornando possível a comparação dos resulados. Apesar do modelo HR ser menor que o modelo (1)-(9), ainda não é pequeno o suficiene para ser resolvido, usando o Cplex 7.1, em empo compuacional razoável. A melhor solução enconrada depois de 10 horas apresena um gap de 5.19% (veja Tabela 2). Tabela 2: Resulados do Cplex aplicado ao modelo HR (apenas uma vez). Tempo de Busca Melhor Solução Aual (MS) Melhor Limiane Inferior (MLI) GAP (%) (MS-MLI)/MS B&B Nós Pesquisados 5 minuos , horas , horas , horas , horas , Y I i.

14 Enreano, é possível melhorar o desempenho da écnica de horizone rolane resolvendo o problema em duas fases uilizando um méodo chamado relaxe-e-fixe (Wolsey, 1998). A primeira fase consise em fixar as variáveis Y (=1,..., L), ou seja, fixar as ligas que deverão ser feias nas L=10 cargas do primeiro dia de programação, as quais são as decisões mais imporanes no méodo de horizone rolane. Para ano, numa primeira fase, o modelo é resolvido considerando apenas as 260 variáveis Y (=1,..., L) como binárias e odas as ouras variáveis com as condições de inegralidade relaxadas. Porano, o problema fica apenas com 260 variáveis binárias e variáveis conínuas e pode ser resolvido uilizando o pacoe Cplex. Após fixar as variáveis binárias para o primeiro dia, na segunda fase do méodo a condição de inegralidade sobre as 104 variáveis Y (=L+1,..., T) e as variáveis X i (=1,..., L) são reconsideradas e o Cplex é uilizado novamene por alguns minuos para ober uma solução ineira facível. Os resulados compuacionais do méodo de horizone rolane aplicado em conjuno com o méodo relaxe-e-fixe (apresenados na Seção 5) foram muio melhores quando comparados com os resulados do méodo de horizone rolane aplicado com odas variáveis ineiras como descrio aneriormene. Observe pela resrição (3) que, para os primeiros L=10 períodos, ao fixar as variáveis Y, odas variáveis X i que não perencem à liga fixada podem ser eliminadas faciliando a resolução do modelo, ou seja, uma vez que a variável binária é fixada em 1, segue das resrições (3) que X i =0, para odo i S(). Y 4.2 Busca Local Como é possível observar na Seção 4.1 o méodo relaxe-e-fixe envolve a resolução de dois problemas de oimização ineira. O primeiro, e mais imporane (pois, decide as variáveis que serão realmene implemenadas na solução do problema práico), consise em fixar as variáveis ineiras para o primeiro dia. O segundo problema consise em deerminar valores ineiros para as 104 variáveis Y (=L+1,..., T) e para as 4030 variáveis X i (=1,..., L). Para resolver o segundo problema, uma heurísica de arredondameno (Maes e al., 1991) pode ser uilizada. Volando ao primeiro problema, um méodo de busca local será usado para fixar as variáveis binárias Y (=1,..., L). Os algorimos de busca local (ou busca em vizinhança) (Reeves, 1993; Pirlo, 1996 e Aars & Lensra, 1997) caracerizam-se por parirem de uma

15 solução facível inicial (que pode ser obida por uma oura heurísica) e alerá-la, ieraivamene, para soluções vizinhas ambém facíveis, mas com melhor valor da função objeivo, aé que um criério de parada seja saisfeio. Considere um problema: min F(s) sujeio a s S, onde S é um conjuno de soluções facíveis. Nese pono, é necessária a definição de vizinhança. Para cada s S, é possível associar um conjuno N(s) S chamado vizinhança de s, onde N(s) é o conjuno de soluções às quais é possível chegar a parir de s, com apenas uma operação elemenar chamada movimeno, que deve ser definida para cada problema específico. Um méodo de busca local começa com uma solução inicial s 0 S e, a cada passo n faz uma ransição para uma nova solução s n+1 perencene à vizinhança N(s n ) da solução aual s n. Se a solução vizinha s n+1 em o valor da função objeivo melhor que a solução s n, ou seja, se F(s n+1 )<F(s n ) enão s n+1 é adoada como a nova solução. Senão, novas soluções vizinhas podem ser esadas na enaiva de melhorar a solução aual. Se nenhuma solução melhor for enconrada, a busca é inerrompida e a solução aual é a melhor solução enconrada. Explicações mais dealhadas de méodos de busca local e de ouros méodos mais elaborados chamados mea-heurísicas podem ser enconradas em Goldberg (1989), Reeves (1993), Laguna (1995), Díaz e al. (1996), Gen e Cheng (1997) e Glover e Laguna (1997). Volando ao caso práico em esudo, para aplicar a busca local na fixação das 260 variáveis binárias Y (=1,..., L), o procedimeno começa com uma solução inicial, que pode ser obida aleaoriamene (o fao de considerar esoques negaivos permie a obenção de uma solução facível independenemene dos valores de Y (=1,..., L)). Com os valores das variáveis Y (=1,..., L) fixos, odas as ouras variáveis são relaxadas e o problema linear resane é enão resolvido. Na ieração seguine, as variáveis Y (=1,..., L) são modificadas (represenado um movimeno da busca local) e o problema linear é resolvido novamene. A cada ieração a melhor solução é manida como solução aual. Quando o criério de parada é saisfeio, as variáveis Y (=1,..., L) esarão fixadas na melhor solução enconrada. Devido às caracerísicas do problema esudado (as quais serão comenadas com mais dealhes na Seção 5), não foi preciso muio esforço para se chegar a uma combinação de parâmeros que obivesse boas soluções para ese exemplo práico paricular. A seguir são dadas algumas explicações sobre esses parâmeros. A represenação da solução consise num veor com L=10 coordenadas, e cada coordenada represena a liga feia na correspondene carga do forno no primeiro dia de

16 programação. Por exemplo, a solução represenada pelo veor (2, 2, 20, 1, 4, 4, 8, 2, 10, 3) indica que a liga 2 é produzida nas duas primeiras cargas do forno, a erceira carga é feia com a liga 20, e assim por diane. A solução inicial é consruída aleaoriamene, ou seja, cada carga do forno é associada a uma liga de forma aleaória. O criério de parada consise em ierações da busca local. Um movimeno basane simples foi considerado para mudar de uma solução aual para uma solução vizinha. Nese movimeno uma posição do veor é escolhida aleaoriamene e a liga que esá sendo produzida é modificada para oura liga. Por exemplo, se a sexa posição do veor é escolhida aleaoriamene para ser modificada e a liga 24 é escolhida, enão a nova solução será (2, 2, 20, 1, 4, 24, 8, 2, 10, 3). A nova liga pode ser escolhida aleaoriamene ou usando uma heurísica gulosa, com maior probabilidade de escolha para as ligas que êm mais iens associados ( S() ). A seguir é apresenado um algorimo para faciliar o enendimeno do méodo: Algorimo 1 (Busca Local aplicada ao problema práico) 1-Deermine aleaoriamene uma solução inicial { Y binárias, =1,...,L}. 2- Relaxe as condições de inegralidade das variáveis X i (=1,, T) e Y (=L+1,...,T). 3- Resolva o modelo linear resane e manenha a solução como a solução aual 4- Faça IT ierações e, em cada ieração: - Gere uma solução vizinha: selecione aleaoriamene um período (1 L) e enão escolha qual a nova liga que deverá ser produzida nese período. Em ouras palavras, fixe o novo valor das variáveis Y. - Resolva o modelo linear resane e mova para a solução vizinha, se esa for melhor que a solução aual (nese caso, a solução vizinha passa a ser a solução aual). 5- Pare e imprima a solução aual como a melhor solução (para o problema relaxado) enconrada pela busca. 6 Fixe os valores das variáveis Y na melhor solução enconrada no passo 4. Resaure a inegralidade das variáveis Xi (=1,, L) e Y (=L+1,...,T) ( Para ano, uilize uma heurísica de arredondameno ou um pacoe de oimização ineira).

17 5 Resulados Compuacionais Para comparar o desempenho dos méodos implemenados, dados reais foram uilizados. O primeiro méodo, denoado por CPLEX, consise num méodo geral embuido no pacoe Cplex e baseado na écnica branch-and-bound, ou seja, consise na aplicação pura e simples do pacoe Cplex ao modelo original (1)-(9) considerando um horizone de planejameno de 5 dias. Todas as cargas do forno foram planejadas separadamene e numa única rodada, como mosra a Figura 3, onde as linhas ponilhadas denoam que as cargas do dia são programadas separadamene e são realmene implemenadas. O segundo méodo, chamado CPLEX-HR, consise em aplicar o pacoe Cplex no modelo de horizone rolane (modelo HR) usando o méodo relaxe-e-fixe descrio na Seção 4.1. Finalmene, o erceiro méodo, chamado BL-HR, aplica o méodo de busca local ao modelo HR (Seção 4.2). Somene 5 dias de planejameno foram considerados para comparar os resulados dos méodos aplicados no modelo HR com o méodo CPLEX aplicado ao modelo (1)-(9), ou seja, o horizone de planejameno dos méodos aplicados ao modelo HR, não foi rolado além de 5 dias, pois caso conrário, não seria possível a comparação com o méodo aplicado ao modelo (1)-(9), onde somene 5 dias são considerados. Desa forma, nos méodos CPLEX-HR e BL- HR aplicados ao modelo HR, na rodada 1 são considerados 5 dias de planejameno mas somene as variáveis relaivas ao primeiro dia são realmene implemenadas. Os dados são enão aualizados (iso é, os iens que foram produzidos no primeiro dia da rodada 1 são subraídos na careira de pedidos) e o méodo é rodado novamene (rodada 2) programando o dia 2 aé o dia 5. No enano, somene as variáveis relaivas ao segundo dia de planejameno são realmene implemenadas. Após cinco rodadas, os 5 dias são dealhadamene programados. Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 rodada 1 rodada 2 rodada 3 rodada 4 rodada 5 Resulado Final Méodo CPLEX aplicado ao modelo (3.1)-(3.9) Méodos CPLEX-HR e BL-HR aplicados ao modelo de horizone rolane (HR) Figura 3: Desenho ilusraivo: como cada méodo foi aplicado para ober os resulados. (as linhas ponilhadas correspondem às programações dealhadas a serem implemenadas)

18 Deve-se observar que, na práica, os 5 dias de planejameno devem ser manidos em odas as rodadas. Além disso, no dia-a-dia da programação, os dados relaivos aos 5 dias de planejameno, considerados inicialmene, são comumene alerados (por exemplo, com novas demandas) anes que se conclua ese horizone de planejameno. A Figura 4 explica como o méodo de horizone rolane é aplicado na práica. Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Dia 7 Dia 8 Dia 9 rodada 1 rodada 2 rodada 3 rodada 4 rodada 5 Figura 4: Desenho ilusraivo: como méodo de horizone rolane é aplicado na práica. (as linhas ponilhadas correspondem às programações dealhadas a serem implemenadas) Para ober os resulados compuacionais, primeiramene o méodo CPLEX é rodado por 10 horas ( segundos) para resolver o modelo (1)-(9) com 5 dias de planejameno programando cada carga separadamene. Para comparar os ouros dois méodos, inicialmene o méodo BL-HR é rodado 25 vezes para cada um dos cinco dias de planejameno e, em cada uma desas 25 rodadas, o méodo é re-iniciado com uma nova solução aleaória e as ierações são feias aé que o criério de parada seja saisfeio. Desa forma, a cada rodada, os resulados podem ser diferenes devido à aleaoriedade da busca local (observe que os dados são os mesmos para as 25 rodadas). Uma média do empo compuacional (sobre essas 25 rodadas) é calculada e enão o méodo CPLEX-HR é rodado por um empo limiado à média calculada. A Tabela 3 mosra o empo compuacional de cada rodada do méodo de horizone rolane. Observe que o empo dos méodos CPLEX-HR e BL-HR são iguais devido à limiação imposa ao méodo CPLEX-HR. Evenualmene, uma solução óima poderia er sido obida em empo inferior, mas isso não aconeceu. Como o número de variáveis diminui a cada rodada, o empo compuacional ambém decresce. Observe que os empos compuacionais oais para os méodos baseados na esraégia de horizone rolane (CPLEX- HR e BL-HR) são muio menores do que o do méodo CPLEX que não uiliza esa esraégia. Tabela 3: Tempo compuacional (em segundos) de cada méodo. Méodos Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 5 Dias CPLEX CPLEX-HR BL-HR

19 A Tabela 4 compara a qualidade da solução (valor médio da função objeivo sobre 25 rodadas no caso do méodo BL-HR) dos rês méodos considerando cada dia separadamene e ambém a solução oal para os 5 dias. Tabela 4: Valor da função objeivo para cada méodo. Méodos Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 5 Dias CPLEX CPLEX-HR BL-HR Observe que, quando se aplica o méodo CPLEX para o modelo compleo com 5 dias programando cada carga separadamene, mesmo rodando por 10 horas, a qualidade da solução é muio pior do que a qualidade das soluções obidas pelos méodos que uilizam a esraégia de horizone rolane (méodos CPLEX-HR e BL-HR). Comparando apenas os dois méodos que uilizam horizone rolane é possível observar que o méodo de busca local (BL-HR) foi ligeiramene melhor que o méodo relaxe-e-fixe (CPLEX-HR) CPLEX CPLEX-HR BL-HR Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Di a s Figura 5: Resulados dos 3 méodos considerando cada dia separadamene. Ao rodar o méodo CPLEX, limianes inferiores para o valor da solução dos 5 dias são gerados. A Figura 6 mosra o melhor limiane inferior enconrado (depois de 20 horas rodando o méodo CPLEX) e o gap enre ese limiane inferior e o valor das soluções enconradas por cada um dos méodos. Observe que, o gap enre o méodo BL-HR e o limiane inferior é de apenas 2,97%, ou seja, a solução enconrada pelo méodo BL-RH esá relaivamene próxima da solução óima.

20 Gap=14,40% Gap=4,26% Gap=2,97% Valor da Função Objeivo CPLEX CPLEX-HR BL-HR LI CPLEX Méodos Figura 6: Gaps das soluções de cada méodo considerando os 5 dias de planejameno Várias esraégias foram esadas com o inuio de melhorar o desempenho da busca local ais como, diferenes ipos de movimenos mais elaborados, écnicas de redução de vizinhança (Clar, 2002) e esraégias mea-heurísicas, como, por exemplo, simulaed annealing. No enano, eses méodos não melhoraram os resulados. Provavelmene isso ocorreu pelo fao das penalidades por araso serem muio maiores do que as penalidades por anecipação e por preparação e, no exemplo práico uilizado, exise uma grande quanidade de peças arasadas. Assim, a ala penalidade por arasos faz com que não exisa um rade-off enre preparação e araso ou enre preparação e anecipação, ou seja, sempre será melhor minimizar os arasos mesmo que para isso sejam necessárias várias preparações, do que arasar mais para diminuir o número de preparações. Conseqüenemene, exisem poucos óimos locais e a busca local simples obém bons resulados sem a necessidade de esraégias mea-heurísicas. Enreano, ese é um exemplo paricular de um caso práico e, ese rade-off pode surgir quando os cusos de preparação são incremenados (mas ese não é o principal objeivo da fundição em esudo, onde se deseja, principalmene, minimizar arasos) ou, quando empo de preparação é incluído nas resrições de capacidade (ambém não é o caso do problema práico em quesão). No enano, depois de visiar ouras fundições, foi possível observar que em alguns processos, o empo de preparação deve ser considerado. Desa forma, para dar algumas direções para fuuros rabalhos, o méodo foi rodado novamene subsiuindo as resrições (3) por:

21 i S( ) ρ i X i + s Z Cap Y =1,..., K =1,..., T (3 ) onde: s represena a perda de capacidade devido à preparação da liga. O mesmo conjuno de exemplos foi rodado considerando esa perda de capacidade por preparação e os resulados compuacionais são apresenados na Tabela 5 e na Figura 7. Tabela 5: Qualidade da solução para cada méodo considerando perda de capacidade por preparação. Méodos Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 5 Dias CPLEX CPLEX-HR BL-HR Gap=26,00% Valor da Função Objeivo Gap=8,54% Gap=6,90% CPLEX CPLEX-HR BL-HR LI CPLEX Méodos Figura 7: Gaps dos méodos para os 5 dias de planejameno com perda de capacidade por preparação Os resulados compuacionais com a inclusão de perda de capacidade por preparação mosram que a qualidade das soluções obidas pelos méodos que uilizam a esraégia de horizone rolane (CPLEX-HR e BL-HR) coninuaram melhores que os resulados obidos pelo méodo CPLEX. Além disso, os resulados do méodo de busca local BL-HR ambém se maniveram ligeiramene melhores do que os resulados do méodo relaxe-e-fixe (CPLEX- HR). O gap enre o limiane inferior e o méodo BL-HR cresceu de 2,97% para 6,9%, sugerindo ser possível melhorar os resulados da busca local com esraégias mea-heurísicas. Desa forma, um novo rabalho esá sendo desenvolvido onde, um novo modelo é proposo considerando empos e cusos de preparação dependenes da seqüência

22 6 Conclusões e Trabalhos Fuuros Nese rabalho raamos de um processo produivo que surge numa fundição de pequeno pore do inerior paulisa, que embora seja um único esudo de caso, represena uma parcela significaiva do seor. O problema foi modelado maemaicamene como um problema de programação ineira misa cujo principal objeivo foi a minimização dos arasos no aendimeno à demanda. Para resolver ese modelo foi proposo um méodo de busca local onde, a cada ieração, um conjuno de variáveis é fixado e o problema é resolvido com odas as ouras variáveis relaxadas. No final da busca, um pacoe de oimização ineira é uilizado para arredondar as variáveis relaxadas para valores ineiros. O planejameno da produção é feio usando a écnica de horizone rolane, onde somene a programação feia para períodos imediaos é realmene implemenada, depois disso o horizone é rolado para frene e o modelo é aplicado novamene com os dados aualizados. Os resulados compuacionais mosraram que a abordagem por horizone rolane foi eficiene para um exemplo práico específico. Tenaivas de resolver o modelo uilizando o méodo branch-and-bound embuido no pacoe Cplex levaram um empo compuacional inviável para ser uilizado na práica. Além disso, a qualidade da solução enconrada pelo pacoe foi pior do que as soluções enconradas pelas abordagens por horizone rolane, em paricular a heurísica BL-HR. Isso mosra a imporância do desenvolvimeno de méodos de solução baseados em caracerísicas específicas do problema. Enreano, os eses compuacionais foram feios apenas para um exemplo práico com caracerísicas basane específicas. Caracerísicas esas que permiiram a obenção de bons resulados, mesmo uilizando um méodo de busca local basane simples. Desa forma, com o inuio de melhorar a qualidade dos eses compuacionais, um ouro rabalho esá sendo desenvolvido serão gerados novos exemplos. Cada parâmero será gerado em inervalos específicos e serão considerados cuso e empo de preparação dependenes da seqüência, os quais, serão expressivos em relação aos ouros parâmeros. Com isso espera-se esar a robusez do méodo com exemplos de diferenes caracerísicas e que exigem a implemenação de novos méodos de busca local mais sofisicados. Agradecimenos: Os auores agradecem o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Esado de São Paulo (FAPESP) e do Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico (CNPq).

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