DIMENSIONAMENTO DE LOTES E PROGRAMAÇÃO DO FORNO NUMA FUNDIÇÃO AUTOMATIZADA DE PORTE MÉDIO

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1 versão impressa ISSN / versão online ISSN DIMENSIONAMENTO DE LOTES E PROGRAMAÇÃO DO FORNO NUMA FUNDIÇÃO AUTOMATIZADA DE PORTE MÉDIO Silvio Alexandre de Araujo Deparameno de Informáica Universidade Esadual de Maringá Maringá PR silvio@din.uem.br Marcos Nereu Arenales * ICMC Ins. de Ciências Maemáicas e de Compuação Universidade de São Paulo Campus de São Carlos São Carlos SP arenales@icmc.usp.br * Corresponding auhor / auor para quem as correspondências devem ser encaminhadas Recebido em 0/2002; aceio em 08/2003 após revisão Received Ocober 2002; acceped Augus 2003 afer one revision Resumo Ese rabalho consise no esudo de um problema práico que ocorre numa fundição que em apenas um forno em operação por período, consisindo no gargalo do processo produivo, e várias máquinas de moldagem que produzem diferenes ipos de iens com demandas conhecidas que devem ser feios com diferenes ligas. Em cada período, a programação da produção envolve dois níveis imporanes de decisão que esão iner-relacionados: ) qual liga deve ser produzida no forno; 2) a quanidade de cada iem a ser produzida em cada máquina de moldagem. Num esudo anerior, foi proposo um modelo de dimensionameno de loes monoeságio, com resrições de capacidade, máquinas paralelas e múliplos iens. Nese rabalho foram realizadas exensões do modelo e do méodo de solução, considerando-se cusos de preparação e admiindo-se arasos na daa de enrega. Esa abordagem fornece ao decisor possíveis rearranjos na demanda, caso não seja possível o aendimeno sem araso. Palavras-chave: programação ineira misa; planejameno e programação da produção; fundições. Absrac This wor consiss of sudying a pracical problem ha arises from a foundry, which has only one furnace operaing a each period, which is he producion bolenec. Several moulding machines produce moulds for a nown demand of differen ypes of iems, which mus be made wih differen alloys. For each period, he producion programming has wo imporan and lined decision levels: ) which alloys should be produced in he furnace, and 2) he quaniy of each iem o be produced in each moulding machine. In an earlier sudy, a single-level, muli-iem, capaciaed, parallel machine lo-sizing model was proposed. In his wor, ha model has been exended considering seup cos and baclog of orders, as well as he soluion mehod. This approach provides he decision maer wih possible arrangemens on demand, in case of baclogging. Keywords: mixed ineger programming; lo sizing and scheduling; foundries. Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

2 . Inrodução O seor de fundição caraceriza-se como uma imporane indúsria primária que fornece bens inermediários para diversas ouras, ais como, auomoivas, siderúrgicas, consrução, denre ouras. No Brasil o seor produziu, de janeiro a março de 2002, oneladas e, no mesmo período de 2003, oneladas represenando um crescimeno de 2,2%, gerando cerca de empregos direos (ABIFA, 2003). A grande maioria da produção brasileira de fundidos é consumida pelas indúsrias auomoivas e siderúrgicas (fundições caivas), ficando apenas uma pequena parcela para os seores da indúsria mecânica e da infra-esruura (fundições de mercado). Esa demanda relaivamene baixa e a ausência de uma políica de mercado caracerizam as fundições de mercado como empresas de pequeno ou médio pore, carenes de uma esruura gerencial organizada. Enreano, nos úlimos anos, as fundições de mercado vêm regisrando um grande crescimeno, e a práica gerencial baseada apenas no bom senso e na experiência do adminisrador de processo não em sido suficiene. A fundição que serviu de base para ese rabalho foi primeiramene esudada por Sanos- Meza e al. (2002). O processo produivo (Figura ) caraceriza-se por um forno que é alimenado por maérias-primas (em geral, lingoes fundidos obidos após um processo de refino de minérios, sucaas e ouros) produzindo deerminado ipo de liga. O forno em uma limiação de capacidade por hora podendo produzir uma quanidade máxima de uma cera liga. Uma vez deerminada a liga que deve ser produzida, deve-se deerminar a melhor misura de maéria-prima, de acordo com a composição química, de forma a minimizar o cuso da liga, ou seja, em-se que resolver o clássico problema da misura. Após fundida, a liga é vazada em moldes de areia e o forno é enão realimenado para a produção de um novo (ou mesmo) ipo de liga. Início: Pedidos Planejameno da Produção Fornos Maéria-Prima: Problema da Misura Vazameno Maéria-Prima: Areia Máquinas Moldagem Moldes Rebarbação Final: Produo Final Figura processo produivo em uma fundição 404 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

3 Os moldes são preparados segundo projeos que especificam odos os dealhes dos conornos, canais de vazameno, bem como o ipo de liga adequada e são produzidos por máquinas de moldagem paralelas auomaizadas que êm axas de produividade conhecidas. Esas máquinas podem rabalhar uma pare da hora produzindo um ipo de molde e oura pare na produção de ouros ipos. No enano, cabe observar que, para o problema em quesão, embora as máquinas de moldagem possam ser re-preparadas para a produção de diferenes moldes denro de uma hora, a liga produzida pelo forno somene pode ser alerada na mudança de urnos (6 horas). Porano, as mudanças na produção dos moldes são resrias aos iens que uilizam a mesma liga. Diane disso, observa-se que, a programação da produção nesa fundição em dois momenos imporanes e inerligados: a programação do forno, na qual é definida a liga a ser produzida em cada período; e a programação das máquinas de moldagem, na qual é definida a quanidade de cada iem a ser produzida em cada período, ou seja, deve-se dimensionar os loes de cada iem. Pode-se definir de forma basane simples o problema de dimensionameno de loes como um problema de oimização que consise em deerminar a quanidade de iens a ser produzida em uma ou mais máquinas, em cada período ao longo de um horizone de planejameno finio, de modo a aender uma cera demanda e a oimizar uma função objeivo (por exemplo, minimizar cusos). Em geral, esses problemas perencem a classe NP-difícil, fazendo com que a maioria dos méodos de solução sejam heurísicos. No caso das fundições, o problema de dimensionameno de loes esá presene na programação do seor de moldagem onde se deermina a quanidade de cada iem a ser produzida em cada período. Revisões bibliográficas deses problemas são enconradas em Bahl e al. (987) e Kui e al. (994). O problema de programação da produção (scheduling) é definido como um problema de oimização que consise em programar deerminadas arefas em uma ou várias máquinas de forma a oimizar uma função objeivo (por exemplo, minimizar o empo de processameno). As decisões omadas são de curo prazo (nível operacional). A programação do forno em fundições, onde são definidas quais ligas devem ser produzidas em cada período, é um bom exemplo de um problema de programação da produção. Algumas revisões bibliográficas podem ser enconradas em Pos & van Wassenhove (992), Pos & Kovalyov (2000) e Allahverdi e al. (999). O objeivo dese rabalho é propor um modelo maemáico e um méodo de solução para auxiliar, principalmene as fundições de mercado, na resolução dos problemas planejameno e programação da produção. O modelo considera de forma simulânea o problema de dimensionameno de loes para os iens e problema de programação das ligas. Drexl & Kimms (997) apresenam uma excelene revisão bibliográfica de rabalhos que consideram problemas inegrados. Uma revisão da lieraura em problemas de planejameno e programação da produção em fundições é apresenada na seção 2. A seção 3 coném o modelo maemáico que pode ser caracerizado por um problema de dimensionameno de loes monoeságio com vários iens, cuso de preparação, resrição de capacidade e máquinas paralelas, sem considerar empo de preparação e admiindo araso no aendimeno à demanda. Na seção 4 é proposo um méodo de solução heurísico. Na seção 5 são apresenados os resulados compuacionais e, na seção 6, as conclusões. Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

4 2. Revisão Bibliográfica Após uma ampla revisão bibliográfica foi possível consaar a escassez de rabalhos envolvendo problemas de planejameno e programação da produção especificamene volados ao seor de fundições, principalmene, fundições de pequeno e médio pore. Em Araujo e al. (2002) é realizado um esudo do problema de planejameno e programação da produção para um caso práico enconrado em uma fundição de pore pequeno. O processo produivo é basane parecido com o processo descrio na seção, as principais diferenças consisem no fao de que as ligas podem ser modificadas a cada fornada e, cada iem pode ser produzido por uma, e somene uma, liga. Araujo e al. (2002) modelaram o problema como um problema de programação ineira misa, com resrição de capacidade, cuso de preparação e considerando a possibilidade de araso no aendimeno a demanda. O objeivo principal é minimizar os arasos e os cusos de esoque. O méodo de solução desenvolvido consise num méodo de horizone rolane, ou seja, resolve-se o problema para um horizone de planejameno de T períodos onde apenas o primeiro período é efeivamene implemenado e os dados aualizados. Em seguida o horizone é rolado à frene e o méodo é aplicado novamene para mais T períodos. Além disso, os auores uilizaram busca local para fixar algumas variáveis a cada eapa do méodo. São apresenados alguns resulados compuacionais comparando o méodo de solução e o pacoe Cplex 7.. Em Araujo (2003) foi feio um esudo de caso em uma fundição de grande pore para a qual foi proposo um modelo maemáico que foi resolvido com um pacoe de oimização ineira. Nesa fundição, exisem vários fornos em operação que produzem apenas dois ipos principais de liga, ornando a programação dos fornos menos críica de modo que, a programação das linhas de moldagem é que puxa a programação dos fornos. Os resulados compuacionais foram comparados com aqueles obidos pela empresa, mosrando expressivos ganhos de produividade e redução de arasos na enrega dos pedidos. O esudo em Sanos-Meza e al. (2002) é semelhane ao presene rabalho, no enano, os auores não consideram cuso de preparação e não permiem araso no aendimeno à demanda. O méodo de solução proposo por Sanos-Meza e al. (2002) serviu de base para o méodo da seção 4 dese rabalho. Sounderpandian & Balashanmuga (99) esudaram o problema de sequenciameno de arefas às máquinas numa grande fundição (850 empregados), que êm como principal cliene a indúsria auomobilísica. A fábrica produz 200 ipos de iens em 4 máquinas. Para cada máquina são aribuídos valores de 0 a 00 de acordo com a conveniência de se uilizar a máquina para fazer deerminado iem. O méodo de solução considera apenas os 00 iens principais que represenam 90% da demanda e é baseado no clássico Problema de Transpores, onde cada máquina oferece uma quanidade de horas por semana e cada iem demanda um cero número de horas para ser fabricado. O objeivo é a minimização do cuso oal da programação (que é baseado numa mariz de conveniência). Segundo os auores, o méodo foi implanado facilmene na empresa conseguindo reduzir os problemas enconrados. Gravel e al. (2000) uilizaram algorimos genéicos para resolver um problema de sequenciameno das ligas numa fundição de alumínio. O indúsria possui rês fornos que devem produzir diferenes ipos de ligas. Enre duas cargas do forno é possível deixar um resíduo da liga aniga para que o empo de aquecimeno da nova liga seja menor. Enreano, dependendo da seqüência em que as ligas são feias iso não é possível, pois a liga anerior pode er componenes que não podem esar presenes na liga que será feia poseriormene. 406 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

5 Nese caso, o forno em que ser esvaziado e o empo de preparação é muio maior. Desa forma, o empo de preparação depende da seqüência em que as ligas são produzidas. Os auores apresenaram um algorimo genéico em duas fases. Na primeira fase as ligas são associadas aos fornos e, na segunda fase é feio o sequenciameno das ligas nos fornos. Segundo os auores, o méodo apresena bons resulados e esá sendo uilizado pela empresa. Bowers e al. (995) esudaram o problema de planejameno e programação da produção numa indúsria de fabricação de lingoes de alumínio. Nesa indúsria, não é permiido araso no aendimeno à demanda. Quando não exisem lingoes para o aendimeno da demanda, deve-se imporar lingoes ou aparar lingoes mais largos para suprir a demanda. O objeivo do arigo é minimizar a quanidade de lingoes imporados ou aparados. Os auores apresenaram um méodo de solução em duas fases aplicado de forma rolane no empo, onde, na primeira fase uma heurísica deermina a programação das máquinas de moldagem para odo o horizone de planejameno e, na segunda fase, um problema linear é resolvido para deerminar a programação óima dos fornos de acordo com a programação esabelecida na primeira fase. Os resulados compuacionais apresenados mosram, segundo os auores, uma redução de 20,4% para 0,4% de lingoes imporados ou aparados. Hendry e al. (996) esudam um problema de core de esoque acoplado ao problema de programação da produção numa indúsria de cobre. O processo produivo pode ser dividido em rês pares e consise basicamene em fundir o meal no forno, produzir barras grandes e corar as barras grandes em pedaços menores. O objeivo principal do esudo é a redução de cusos, o que implica direamene na redução do número de vezes que o forno é uilizado e na redução das perdas no core das barras. Um méodo de solução, em dois eságios, baseado no princípio de horizone rolane foi proposo. No primeiro eságio, um modelo maemáico de programação ineira é resolvido heurisicamene deerminando uma solução agregada indicando os padrões de cores a serem uilizados minimizando a perda. No segundo eságio, ouro modelo de programação ineira é resolvido por um méodo exao deerminando um programa de produção diária para a solução agregada dada pelo primeiro eságio. Os resulados são comparados com os resulados práicos da empresa, mosrando uma redução subsancial nos cusos com ganhos no rendimeno dos fornos e diminuição das perdas no processo de core. Foram enconrados alguns ouros rabalhos que raam do problema de programação da produção em grandes siderúrgicas onde o processo produivo é um pouco diferene daquele enconrado em fundições. O processo produivo da indúsria siderúrgica é caracerizado pela inexisência do seor de moldagem, pois os iens demandados são chapas de aço de diferenes amanhos e composições fabricadas por máquinas de laminação, onde o meal passa por cilindros rolanes disanciados de acordo com as especificações da chapa a ser fabricada. Tang e al. (200) fazem uma revisão bibliográfica de rabalhos de planejameno e programação da produção aplicados à indúsria siderúrgica. Nese rabalho, o desenvolvimeno hisórico do processo produivo é descrio, dando uma ênfase maior ao processo de produção aual, onde se inegram as várias fases de produção. Além de modelagem maemáica, fazem ainda uma revisão dos méodos de solução, em sua maioria desenvolvidos especificamene para grandes siderúrgicas e, por fim, aponam algumas direções para fuuros rabalhos com novas modelagens e méodos de solução que podem ser desenvolvidos. Lopes e al. (998) enfaizam seus esudos na programação da produção do seor de laminação. Os auores modelaram o problema como um problema do caixeiro viajane com resrições do ipo mochila e propõem um méodo heurísico, baseado em busca abu. Dados Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

6 práicos foram uilizados para ober os resulados compuacionais que mosraram uma melhoria do méodo proposo em relação ao plano que vinha sendo implemenado na indúsria. Tang e al. (2000a) ambém resolvem o problema de programação da produção no seor de laminação, com uma modelagem de múliplos caixeiros viajane, sendo que, no méodo de solução é feia uma relaxação para o problema de um único caixeiro viajane, o qual é resolvido uilizando algorimos genéicos. O méodo foi aplicado numa grande fábrica durane um ano obendo uma melhoria de 20% em relação ao sisema anerior. Tang e al. (2000b) apresenam um modelo de programação não linear que raa do conflio enre máquinas, cujo objeivo consise na ponualidade na enrega dos pedidos e coninuidade do fluxo produivo, ou seja, minimizar o empo de espera enre as operações da fábrica. O méodo de solução consise numa reformulação do problema como um modelo de programação linear. Lee e al. (996) dão uma visão geral do desenvolvimeno do processo de fundição e descrevem com dealhes o processo de fabricação no qual o ferro fundido é ransformado em placas de aço, desacando os vários objeivos que podem ser considerados nese ipo de fundição. São relaadas várias experiências da IBM em desenvolvimeno de méodos de solução para o problema de sequenciameno de arefas enre as várias máquinas. Ouros rabalhos que raam do problema de sequenciameno em grandes siderúrgicas são: Peersen e al. (992), onde foi desenvolvida uma heurísica gulosa e Hamana e al. (995) que apresenaram um méodo de solução híbrido uilizando algorimos genéicos. 3. Modelo Maemáico Índices: m=,...,m máquinas de moldagem; =,...,T períodos de empo; i=,...,n ipos de iens; =,...,K ipos de ligas. Dados: a im quanidade de iens do ipo i possível de ser produzida na máquina m por hora (se a im =0, o iem i não pode ser produzido pela máquina m); Cap quanidade máxima de liga produzida pelo forno por hora no período ; d i demanda de iens do ipo i no período ; h número de horas no período ; cuso de esocar uma unidade do iem i de um período para o próximo; H + i H i penalidade por arasar uma unidade do iem i de um período para o próximo; cs penalidade por preparar a liga (é um parâmero do problema que, por consisência fuura, represena simbolicamene número de iens não produzidos pela mudança de liga); S conjuno de iens que uilizam a liga ; G um número grande. 408 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

7 Variáveis de decisão: X im fração de empo no período uilizado para produzir iens do ipo i na máquina m; I + i I i esoque do iem i no final do período ( I + i0 = 0 ); quanidade arasada do iem i no final do período ( I i0 = 0 ); Y variável binária que indica se a liga é produzida no período ; Z variável que indica se será cobrado cuso de preparação para a liga no período (como será explicado poseriormene, embora esa variável seja conínua, as caracerísicas do modelo fazem com que ela assuma apenas valores 0 ou ). O problema é formulado maemaicamene como: Minimizar Sujeio a: N T i= = i i i i (H I H I ) + K T (cs Z ) () = = M + + aimh Xim Ii + Ii + Ii( ) Ii( ) = di m= i =,...,N =,...T (2) N M h a im X im Cap h =,...,T (3) i= m= X im ( Y ) G + =,...K =,...,T m=,...,m (4) i S X im ( Y ) G =,...K =,...,T m=,...,m (5) i S K = Y = =,...,T (6) Z Y Y =,...K =,...,T (7) X im 0 i=,...,n =,...,T m=,...,m (8) I + i e I i 0 i=,...,n =,...,T (9) 0 Y {0, } ( Y =0) =,...,K =,...,T (0) Z 0 =,...,K =,...,T () A função objeivo () consise nos cusos de esoques e nas penalidades por araso no aendimeno a demanda. A resrição de balanceameno de esoque em (2) considera o esoque negaivo. Observe que, M h a im X im significa a quanidade produzida, em oneladas, de m= iens do ipo i no período (em odas as máquinas). A resrição (3) define a capacidade de produção do forno em cada período. As resrições (4) e (5) garanem que, em cada período, Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

8 somene iens associados à liga escolhida possam ser produzidos. Ainda, (6) faz com que apenas um ipo de liga seja produzido em cada período, e (7) represena a mudança de liga de um período para o ouro. As demais inequações delimiam as variáveis do modelo, sendo, que a variável Z apesar de ser conínua, a resrição (7) em conjuno com a função objeivo () faz com que, na oimalidade, assuma somene valores 0 ou ( Z =0 se Y = Y (i.e., não houve mudança de liga); e Z = se Y =0 e Y = (i.e., houve mudança de liga)). Na função objeivo (), as penalidades por araso êm peso maior do que os cusos de esoques. Além disso, a segunda parcela da função objeivo consise nas penalidades por preparação, que, nese caso, penaliza mudanças de liga, não endo relação com a ordem em que as ligas são feias. A variável I i funciona como uma variável arificial usada para ober uma solução facível. Se I it >0 para algum i (ou seja, exise araso no úlimo período para algum iem), significa que não foi possível aender a demanda no horizone de planejameno esabelecido com a capacidade disponível nesse horizone. No enano, se I i > 0, para algum i com T e I it =0 para odo i, enão exise capacidade suficiene para produzir a demanda denro do horizone de planejameno esabelecido. Vale a pena observar que os esoques negaivos correspondem a arasos e o decisor pode, alerando os parâmeros da função objeivo (), proibir, ou não, arasos de ceros iens. Além disso, os esoques negaivos fornecem uma ferramena para a avaliação dos prazos de enrega. Por exemplo, se d i =30 e I i =0, I i2 =5, I i3 = 0, significa que a demanda para o iem i será oalmene aendida com 3 dias de araso. Desa forma, é possível alerar o cliene e, se necessário, re-calibrar os parâmeros relaivos a ese iem. Observe que, no modelo ()-(), as equações (4) e (5) não podem ser simplificadas por M m= i S im X MY =,...,K =,...,T (4') N X m=,...,m =,...,T (5') i= im como na maioria dos modelos de dimensionameno de loes. Isso decorre do fao que um mesmo iem pode ser produzido por diferenes ligas. Por exemplo, sendo S ={, 2} e S 2 ={2, 3} o conjuno de iens que as ligas e 2 podem produzir, respecivamene. Se Y =0 (a liga do ipo não é preparada no período ), enão X,m, = X 2,m, = 0 devido a (4') (os iens 2 e 2 não podem ser produzidos no período ), o que é um erro pois, se Y = (a liga do ipo 2 é preparada no período ), enão X 2m 0. Isso ocorre pois o iem 2 perence aos conjunos S e S 2. Observa-se que ()-() é um modelo de programação ineira misa e, enconrar a solução óima para casos práicos é, na maioria das vezes, inviável. Um méodo de solução mais eficiene do que a oimização exaa do modelo é, porano, fundamenal. Esse é o objeivo do méodo de solução proposo a seguir. 40 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

9 4. Méodo de Solução Nesa seção apresenamos um méodo de solução heurísico que pode ser dividido em 3 fases. Na primeira fase em-se uma relaxação do problema onde se considera que odos os iens possam ser produzidos por uma única liga. Com isso é proposo um modelo de programação linear que deermina a quanidade de cada iem a ser produzida em cada período. Na segunda fase, uma heurísica deermina a liga que deve ser produzida em cada período, levando-se em consideração as decisões do problema relaxado. Finalmene, na erceira fase em-se a programação das máquinas de moldagem. 4. Relaxação Considere o problema relaxado onde uma liga pode produzir odos os iens. Desa forma, não é necessário fazer a programação do forno e as resrições (4), (5), (6), (7), (0) e () podem ser desconsideradas do modelo relaxado, assim como a segunda parcela da função objeivo. Considerando ais relaxações e definindo uma nova variável, P i = M h a im X im i=,...,n =,...,T (2) m= segue o seguine problema relaxado: Minimizar Sujeio a: N T i= = i i i i (H I H I ) (3) I + i I i + P i I + i N i= + I i = d i i=,...,n =,...,T (4) P i Cap h =,...,T (5) P i 0 i=,...,n =,...,T (6) I + i e I i 0 i=,...,n =,...,T (7) O modelo (3)-(7) é linear e consise num modelo de dimensionameno de loes monoeságio com resrição de capacidade, e pode ser considerado como um problema de fluxo em redes, o qual pode ser facilmene resolvido. Nese rabalho foi uilizado o pacoe Ampl/Cplex (Fourer e al., 993 e ILOG CPLEX 7., 200) para resolver esse modelo. 4.2 Heurísica Resolvendo o problema relaxado (3)-(7) o valor de P i é obido e consise na quanidade de cada iem a ser produzida em cada período. O próximo passo consise na verificação da exisência de alguma liga capaz de produzir odos os iens dados na solução do problema em cada período, ou seja, deve-se procurar ligas, =,...,T de forma que: { i : Pi 0, i,2,...,n } S > =. Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

10 Caso não exisa uma liga que produza odos os iens para algum deerminado período, adoase uma heurísica para escolher a liga, período a período, iso é, quando da escolha da liga no período, já foram escolhidas as ligas nos períodos,,-. Heurísica para a escolha de uma liga em cada período Suponha,..., - são os índices das ligas já produzidas nos períodos,...,-, respecivamene (observe que os iens perencenes aos conjunos S τ, τ=,..., -, podem ser produzidos anes do período ).. Deermine o conjuno de iens A - que podem ser produzidos anes do período : A 0 =, A - = S S 2... S 2. Deermine o conjuno de iens B com ala prioridade em (iso é, iens demandados em algum período τ =,..., que não podem ser produzidos em períodos aneriores, pois suas ligas não foram previamene preparadas): B = {i i A - e diτ > 0, τ =,2,..., } 3. Se B Enão: Deermine o conjuno de ligas com ala prioridade no período : C = {: S B } Se C = enão: escolha a liga para o período al que: B S = argmax ( P i ) csz (8) =,...,L i S ( é o índice para o qual o máximo é enconrado) senão: escolha a liga para o período al que: arg max P cs Z (9) = i C i S Senão: escolha a liga para o período al que: (Obs. Em (8) (20) o valor da variável Z é dado por: Fim da heurísica para a escolha da liga no período. = arg max Pi csz (20) =,...,L i S Z =0 se = - e Z = se - ) Os passos e 2 são de imporância fundamenal para o sucesso da heurísica, pois a escolha da liga em deerminado período é feia com base em decisões omadas em períodos aneriores, o que é muio imporane para minimizar os arasos. 42 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

11 No passo 3, as equações (8), (9) e (20) deerminam a liga a ser produzida com base nas decisões do problema relaxado (P i ) e em uma penalidade por rocas de ligas (cs Z ). Nas equações (8) e (20) a escolha é feia enre odas as ligas, sendo que, em (8) é dada uma prioridade maior às ligas que produzem a maior quanidade de iens associados ao conjuno B. Na equação (9) a escolha é feia somene enre as ligas que produzem odos os iens associados ao conjuno B. Como criério de desempae nas equações (8), (9) e (20), a liga para a qual o conjuno S em maior cardinalidade será escolhida. Cabe observar que, ouras heurísicas para a escolha das ligas foram implemenadas e esadas, mas os resulados compuacionais foram inferiores à heurísica acima. Uma delas considerava o impaco que a escolha de uma deerminada liga provocaria na função objeivo do problema relaxado. Oura heurísica implemenada, cujos resulados são apresenados na seção 5 (Tabela 6) e foram basane próximos dos resulados da heurísica acima, apenas subsiui a equação (8) por: = arg max Pi + Iiτ csz (8 ) =,...,L i S τ = A idéia desa heurísica é privilegiar uma liga que possa produzir os iens sugeridos pelo problema relaxado no período, iso é, P i, além dos iens com grandes arasos. Vale a pena observar que a solução P i do problema relaxado (3)-(7) já carrega o esforço de diminuir os arasos. 4.3 Programação das Máquinas de Moldagem Uma vez deerminadas heurisicamene as ligas que serão produzidas em cada período, devese fazer a programação das máquinas de moldagem, que consise em definir a fração de empo que cada máquina m deve ser uilizada para produzir deerminado iem i num período (X im ). Lembre-se que o oal de iens do ipo i produzido na máquina m no período é a im h X im. Para ano, um problema de ranspore generalizado é resolvido para cada período. Pode-se uilizar vários criérios para se definir a função objeivo. Por exemplo: N min max { X } (2) m=,..,m i = o qual ena balancear a produção dos iens enre as máquinas de moldagem. Definindo uma nova variável: F = N m=,..,m i = im im max { X } (22) segue o seguine modelo (o qual foi resolvido com o pacoe Ampl/Cplex) para deerminar a programação das máquinas em cada período : Minimizar F (23) Sujeio a: N X im F m=,...,m (24) i= Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

12 M h a im X im = P i i=,...,n (25) m= X im 0 m=,..., M i S (26) X im = 0 m=,..., M i S (27) 4.4 Algorimo Geral Cabe observar que, o procedimeno proposo nas seções , produz uma solução facível (sem garania de oimalidade) para o modelo ()-(). De fao, se a heurísica for capaz de ober uma solução, enão ao reconsiderar o modelo ()-() as resrições (6) e (7) são saisfeias pois, Y = e Y =0 para odo. As resrições (5) são saisfeias devido à (27) e (4) são saisfeias devido á hipóese de que a capacidade da máquinas é folgada, de modo que F <. As ouras resrições do modelo ()-() são consideradas no modelo (3)-(7). Algorimo Geral Faça =. Enquano T, faça:. Resolva o problema relaxado (3)-(7)..2 Deermine, heurisicamene (seção 4.2), a liga para cada período. i : P > 0, i =,2,...,N S Se { i } Enão: =+ e repia o passo.2 Senão: Faça P i =0, i S, =+ e vá para o passo. 2 Resolva o problema relaxado (cabe observar que as ligas, 2,..., T já foram escolhidas para os períodos, 2,..., T, respecivamene). Para cada período, =,..., T resolva o problema (23)-(27), deerminando X im, a fração de empo do período uilizada para produzir iens do ipo i na máquina m. Fim. O méodo de solução proposo no Algorimo Geral acima é baseado no méodo proposo por Sanos-Meza e al. (2002). As principais modificações esão na heurísica para deerminação das ligas, onde, no passo 3 o problema deixa de ser infacível caso C =, pois, admiindo araso no aendimeno à demanda, mesmo que não exisa uma liga para produzir deerminado iem que em demanda posiiva num período, ese iem poderá ser produzido nos períodos seguines. Além disso, as equações (8), (9) e (20) iveram que ser adapadas para o novo modelo que considera araso no aendimeno a demanda e cuso de preparação. 5. Resulados Compuacionais Os eses compuacionais foram realizados num Penium III 500 MHz com 52 MB de RAM e os parâmeros uilizados para a geração dos exemplos são apresenados na Tabela : 44 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

13 Tabela Parâmeros uilizados na geração dos dados. Parâmeros Variações Número de Iens (N) 0, 45, 20 Número de Períodos (T) 6, 2 Número de Máquinas (M) 7 Número de Ligas (K) 6 Cuso de Esocagem ( H + ) Penalidade por Araso: ( H ) i i U[,4] U[0,40] Número de Horas por Período (h ) 6 Razão de Produção por Hora (a im ) U[0,300N/M] Penalidade por Preparação: (cs ) 0 Demanda (d i )* Capacidade (Cap )** * se d i <50 considera-se d i =0; ** Cap = β C onde C= N T d i i= = T h = U[0,200] 0,6 x C,0 x C,4 x C e β =0,6,,0 e,4. Observa-se que os dados uilizados nos exemplos foram semelhanes aos uilizados por Sanos-Meza e al. (2002). Enreano, foram feias algumas modificações que ornaram os exemplos mais próximos da realidade e, conseqüenemene, mais difíceis de serem resolvidos: demanda (d i ): a demanda para odos os iens e odos os períodos, inclusive para primeiro, foi gerada aleaoriamene no inervalo [0,200] com d i =0 se d i <50. capacidade (Cap ): foram consideradas diferenes capacidades para a geração dos exemplos. A capacidade foi alerada pelo faor muliplicaivo β que em Sanos-Meza e al. (2002) foi usado,4. Nos eses compuacionais realizados aqui foram considerados os seguines valores para β: 0,6,,0 e,4, represenando capacidade aperada, normal e folgada, respecivamene. Vale observar mais uma vez que o modelo aual permie rabalhar com capacidade mais aperada, pois lida com arasos. penalidade por preparação (cs ): devido às caracerísicas do problema práico, a penalidade por roca de ligas (preparação) é relaivamene pequena quando comparada com os ouros cusos. No enano, maneremos em (8), (9) e (20), os faores relaivos a decisões sobre preparações, pois assim em-se um méodo mais robuso e de fácil adapação para casos onde a penalidade por preparação é mais expressiva. Foram gerados 0 exemplos para cada combinação de parâmeros. Cada exemplo foi resolvido direamene pelo méodo branch and bound do pacoe Cplex 7. e pelo méodo heurísico descrio na seção 4. Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

14 As Tabelas 2 e 3 mosram o empo médio (em segundos) gaso pelo pacoe Cplex e pelo méodo heurísico, respecivamene. Como é possível observar, para odos os exemplos o empo compuacional do méodo heurísico é significaivamene inferior ao obido pelo pacoe, que só não é ainda maior devido ao fao de que foi imposa uma limiação de empo, pois, caso conrário, o pacoe Cplex levaria várias horas para rodar os exemplos, muias vezes sem melhorar a solução. O limie de empo esabelecido foi de hora (3.600 segundos), pois, considerando um problema práico onde o programa deve ser rodado pelo menos uma vez por dia, permiir mais de hora orna sua aplicação inviável. Tabela 2 Tempo compuacional médio gaso pelo pacoe Cplex 7. Iens Períodos β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 Média 6 50,5 283,3 324, * Média 866, * os casos onde o empo compuacional é de 3600 seg. significam que, para odos os exemplos resolvidos o limie de empo (3600 seg.) foi aingido anes da oimalidade e, nesses casos, a melhor solução facível é considerada. Tabela 3 Tempo compuacional médio gaso pelo méodo heurísico Iens Períodos β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 Média 6 0,72 0,79 0,79,4,46,4 3,09 3,45 3,3,82 2,36,55,54 3,38 3,5 3,4 8,95 0,3 0,08 4,89 Média,04,7,6 2,4 2,48 2,4 6,02 6,88 6,69 3,35 Analisando os resulados das Tabelas 2 e 3 pode-se concluir que, para o méodo heurísico, o aumeno do amanho do exemplo causa um impaco suave no empo compuacional. Enreano, isso não aconece para o pacoe Cplex onde, ano o aumeno do número de iens como do número de períodos fazem com que o esforço compuacional aumene de forma desproporcional. O efeio da variação de capacidade no empo compuacional do méodo heurísico ambém é basane suave, sendo que, para o pacoe Cplex, em geral, quano mais aperada a capacidade menor o empo compuacional. Isso ocorreu porque para exemplos com capacidade aperada, as decisões com respeio às ligas que deverão ser produzidas em cada período são mais simples, desde que, poucos iens podem ser produzidos em cada período. A Tabela 4 fornece a porcenagem de exemplos em que o pacoe conseguiu enconrar a solução óima anes do limie de empo (uma solução é considerada óima se esá a menos de % do limiane inferior). Como era de se esperar, quano menor o amanho do exemplo, maior a porcenagem. Para a maioria dos exemplos grandes (mais de 45 iens e 2 períodos), o limie de empo ( hora) foi alcançado anes da oimalidade (ver o complemenar dos números da Tabela 4). Neses casos, a melhor solução facível enconrada é apresenada. 46 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

15 Tabela 4 Porcenagem de exemplos em que o pacoe Cplex 7. obeve a solução óima Iens Períodos β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 Média , Média ,2 Comparando agora a qualidade da solução, a Tabela 5 mosra a variação média enre os dois méodos, sendo que, esa variação é calculada de acordo com a seguine fórmula: ( Sol. Heurísica Sol. do Cplex ) Variação = 00 Sol. do Cplex Tabela 5 Variação média (em %) da solução heurísica em relação a solução obida pelo pacoe Cplex 7. Iens Períodos β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 Média 6 2,96 0,45 8,55 3,90 4,23 7,74,98 3,64 8,83 8,03 2 2,6 4,0 7, ,47-5,07-2,35-26,2-20,4-8,9 Média 2,78 7,23 7,87 0,92-3,62,33-0,8 -,28-5,78-0,08 Avaliando o desempenho do méodo heurísico em relação ao méodo branch and bound do pacoe Cplex pode-se observar que, em geral, a heurísica apresena um desempenho muio bom. Observe que, na medida em que o amanho dos exemplos cresce, o desempenho do méodo heurísico melhora em relação ao pacoe. Isso ocorreu porque, para problemas maiores, a porcenagem de exemplos em que o Cplex obeve a solução óima decresce (ver Tabela 4) e a qualidade das soluções facíveis enconradas pelo pacoe é inferior do que as soluções enconradas pela heurísica. Mesmo para problemas pequenos, onde o Cplex obeve a solução óima, pode-se considerar que a heurísica apresena bons resulados. Uma oura heurísica foi implemenada onde se uiliza a escolha da liga por (8 ) no lugar de (8). Os resulados compuacionais são apresenados na Tabela 6 e, para os exemplos em que o Cplex chegou a oimalidade a variação média da solução heurísica é de 6,63%. Porano, em média, os resulados compuacionais foram inferiores aos da heurísica anerior (Tabela 5). Isso ocorreu devido a alguns exemplos (cerca de % do oal de exemplos) onde a heurísica com (8 ) apresenou resulados muio ruins fazendo piorar a média geral. Isso mosra que a heurísica com a escolha (8) é mais robusa, enfaizando a imporância de escolher ligas que produzam iens perencenes ao conjuno B de iens críicos. Tabela 6 Variação média (%) da solução heurísica com (8 ) em relação a solução obida por Cplex 7. Iens Períodos β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 Média 6 3,09 0,28 20,50 2,25 7,96 26,62 0,3 0,35 8,80 8,88 2 4,22 4,79 8,26-2,66-2,53-7,27-2,75-27,3-6,34-6,7 Média 3,65 7,53 4,38-0,20-6,78 9,67 -,3-3,39-3,77,08 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

16 O modelo maemáico e o méodo de solução proposo por Sanos-Meza e al. (2002) foram uilizados para enar resolver os exemplos do presene rabalho. Enreano, o fao de não permiir araso no aendimeno da demanda fez com que em nenhum dos exemplos o méodo proposo em Sanos-Meza e al. (2002) conseguisse enconrar uma solução facível. Foi possível consaar que, para exemplos com capacidade aperada e normal (β=0,6 e,0) as infacibilidades ocorreram principalmene devido à violação das resrições de capacidade. Enreano, para exemplos com capacidade folgada (β=,4) a maioria das infacibilidades ocorreram devido à fala de liga capaz de produzir odos os iens demandados em cada período (C =, para algum período ). A Tabela 7 apresena a porcenagem de exemplos em que a causa das infacibilidades foi a violação das resrições de capacidade. Como odos os exemplos foram infacíveis, o complemenar desa porcenagem represena os exemplos em que a fala de liga foi a causa das infacibilidades. Tabela 7 Porcenagem de exemplos em que houve violação das resrições de capacidade Iens Períodos β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 β=0,6 β=,0 β=,4 Média , ,3 Média ,2 A consideração de demanda posiiva no primeiro período de planejameno ornou os exemplos difíceis de serem resolvidos sem considerar arasos, pois no primeiro período não é possível aender a demanda pelos esoques. Tais infacibilidades não ocorreram em Sanos- Meza e al. (2002), pois para realização dos eses compuacionais, os auores uilizaram uma esruura especial para a geração da demanda, ou seja, no primeiro período não exise demanda e, além disso, para exemplos maiores (mais de 45 iens), a mariz de demanda foi gerada numa esruura de escada (por exemplo, exise demanda para os iens i=,..., 5 somene nos períodos =, 2, 3; demanda para os iens i=3,..., 25 somene ocorrem nos períodos =4, 5, 6...) eviando a fala de liga que produza odos os iens demandados. Os auores argumenaram que ese ipo de esruura ocorre em alguns problemas práicos, devido à formação de loes em eságios subseqüenes. 6. Conclusão Ese arigo foi baseado num rabalho anerior desenvolvido por Sanos-Meza e al. (2002) que raa de um problema práico enconrado numa fundição de médio pore. Com a inenção de ornar o modelo mais geral e mais próximo da realidade, nese rabalho é proposo um modelo esendido considerando cuso de preparação e permiindo araso no aendimeno à demanda (o que, em muios casos práicos, é ineviável). Desa forma, foi possível ober soluções mesmo com a redução da capacidade do forno. O modelo proposo consise num modelo de programação ineira misa de difícil resolução. Após a análise dos resulados compuacionais foi possível ressalar a imporância do desenvolvimeno de méodos heurísicos baseados em caracerísicas específicas do 48 Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de 2003

17 problema, pois, além do baixo cuso de implanação, em ermos de empo compuacional o méodo heurísico desenvolvido se mosrou perfeiamene aplicável a problemas práicos de grande escala. Em ermos de qualidade da solução o méodo foi basane eficiene, principalmene quando se em em mene que em problemas práicos, a busca pela oimalidade muias vezes não se faz realmene necessária, pois os dados são geralmene imprecisos ais como, as penalidades por araso e cusos de esoque que são subjeivamene esimados e as previsões de demanda que nem sempre são correas e sofrem alerações freqüenes. Como proposa de pesquisa fuura em-se a exensão do modelo e do méodo de solução para casos onde se em cuso e empo de preparação dependene da seqüência. Além disso, o modelo deverá ser esado, alvez com pequenas adapações, em diferenes casos práicos que surgem em ouros seores indusriais. Agradecimenos Os auores agradecem as conribuições feias pelos árbiros anônimos da revisa Pesquisa Operacional, que muio melhoraram esa versão e o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Esado de São Paulo (FAPESP) e do Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico (CNPq). Referências Bibliográficas () ABIFA Associação Brasileira de Fundição (2003). Relaório anual do seor de fundição. <hp:// (2) Allahverdi, A.; Gupa, J.N.D. & Aldowaisan, T. (999). A Review of Scheduling Research Involving Seup Consideraions. Omega, Inernaional Journal of Managemen Science, 27, (3) Araujo, S.A. (2003). Modelos e Méodos para o Planejameno e Programação da Produção Aplicados no seor de Fundições. Tese de Douorado, ICMC-USP/SC. (4) Araujo, S.A.; Arenales, M.N. & Clar, A.R. (2002). A Lo-sizing and Scheduling Problem in a Foundry. Noas do ICMC, n. 68. (5) Bahl, H.C.; Rizman, L.P. & Gupa, J.N.D. (987). Deermining Lo Sizes and Resource Requiremens: A Review. Operaions Research, 35, (6) Bowers, M.R.; Kaplan, L.A. & Hooer, T.L. (995). A Two-Phase Model for Planning he Producion of Aluminum Ingo. European Journal of Operaional Research, 8, (7) Drexl, A. & Kimms, A. (997). Lo Sizing and Scheduling Survey and Exensions. European Journal of Operaional Research, 99, (8) Fourer, R.; Gay, D.M. & Kernighan B.W. (993). AMPL A Modeling Language for Mahemaical Programming. Boyd and Frase, Danvers, Massachuses. <hp:// (9) Gravel, M.; Price, W.L. & Gagné, C. (2000). Scheduling Jobs in an Alcan Aluminium Foundry Using a Geneic Algorihm. Inernaional Journal of Producion Research, 38(3), Pesquisa Operacional, v.23, n.3, p , Seembro a Dezembro de

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